INTRODUÇAO A ATUARIA 2

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Celina Trajano de Oliveira 
Introdução À Atuária
Sumário
03
CAPÍTULO 2 – O que é risco? .........................................................................................05
Introdução ...................................................................................................................05
2.1 Reserva matemática ..................................................................................................06
2.2 Tábua de mortalidade ..............................................................................................11
2.3 Nota técnica atuarial ................................................................................................16
2.4 Matemática atuarial ................................................................................................18
2.4.1 Taxa de juros simples .......................................................................................19
2.4.2 Taxa de juros compostos ..................................................................................22
Síntese ..........................................................................................................................24
Referências Bibliográficas ................................................................................................25
Capítulo 2
05
Introdução 
Antes de iniciar os estudos deste capítulo, reflita sobre as questões: você sabe o que é risco? 
Conhece os conceitos a respeito? 
A partir dessas perguntas, você entenderá a importância do conceito de risco e dos elementos 
aos quais está relacionado. Para tanto, trataremos de assuntos relacionados à expectativa de 
vida das pessoas e aos cálculos relacionados à necessidade de aposentadoria, entre os quais 
reserva matemática, tábua de mortalidade, nota técnica atuarial e matemática atuarial, taxas de 
juros simples e compostas.
O conceito de risco geralmente está vinculado à incerteza de que algo poderá acontecer, ou 
seja, a probabilidade de que um fato grave ocorra em relação a perdas, que podem ser de valo-
res, ou decorrentes de algum acontecimento desfavorável. Quando se fala em gestão de riscos, 
entende-se que são medidas para evitar, ou antecipar, os impactos e efeitos dos possíveis riscos. 
Em finanças, o risco está vinculado à perda relacionada a algum investimento.
Neste estudo, você identificará diversos conceitos de risco, por exemplo, risco de variação de 
preços, de terremotos, desabamentos, enchentes, riscos biométricos, de elevação ou redução 
de taxas de juros e de câmbio, além dos riscos de crédito, de liquidez e de mercado. Na área 
atuarial, o risco é gerenciado com objetivo de assegurar e preservar a liquidez, a solvência e o 
equilíbrio dos planos de benefícios. Esses planos são administrados pelas Entidades Fechadas 
de Previdência Complementar (EFPC), que estão sujeitas aos riscos que impactam os modelos 
matemáticos utilizados para cálculos de projeções atuariais.
O que é risco biométrico? Esse tipo de risco relaciona-se com a ocorrência de desvios 
entre as premissas e hipóteses demográficas utilizadas nas avaliações atuariais. Por 
exemplo, probabilidades para os eventos de mortalidade, de invalidez e de morbidez, e 
as ocorrências efetivas no âmbito dos planos de benefícios (PREVIC, 2016).
VOCÊ SABIA?
O risco torna-se evidente quando o devedor não paga as obrigações ao credor. Assim, você 
saberá que o risco de crédito está geralmente associado a uma obrigação financeira ou emprés-
timo, em que uma determinada pessoa recebe recursos e outra oferece os recursos por meio de 
acordos ou contratos, e a contraparte deixa de pagar pelos mais variados motivos – geralmente 
por falta de vontade ou por problemas vinculados a uma determinada incapacidade. Essa inca-
pacidade decorre, muitas vezes, da avaliação inadequada do devedor, por alterações sofridas 
pela dívida ou, ainda, pela perda da garantia oferecida. 
Neste estudo, você verá também que o risco de liquidez geralmente está relacionado à impossi-
bilidade de suficiência financeira para pagar os compromissos, Nesses casos, os recursos podem 
O que é risco?
06 Laureate- International Universities
Fundamentos de Atuária
deixar de ser obtidos por motivos como venda de um ativo com baixa liquidez, má gestão dos 
fluxos de caixa e crises no mercado financeiro, ocasionando baixa liquidez. Já o risco de merca-
do refere-se a situações em que o mercado financeiro está instável, seja no Brasil ou em qualquer 
país do mundo e, em virtude dessa instabilidade, o cliente poderá ter perdas financeiras. Esse 
tipo de risco geralmente está vinculado à variação de preços do mercado de ações ou das ope-
rações de câmbio, ou ainda das taxas de juros e dos preços das commodities. 
Figura 1 – Exemplo de risco causado por fenômenos naturais, como terremotos ou enchentes.
Fonte: Carlos Amarillo, Shutterstock, 2016. 
O risco atuarial, de acordo com o Guia Previc (2012, p. 11), também deve ser considerado, 
podendo abranger tanto a concessão dos benefícios inadequados pela EFPC, em virtude de 
possíveis erros de cálculo ou mesmo de fraude, quanto o próprio processo de elaboração da 
avaliação atuarial. E, ainda: 
[...] Os riscos atuariais estão basicamente presentes nos planos de benefício definido (BD) e de 
contribuição variável (CV) que oferecem renda vitalícia ou garantia de benefício mínimo, e de 
contribuição definida (CD) que oferecem benefícios de risco mutualistas por morte, invalidez ou 
morbidez. Esses riscos podem levar ao surgimento de desequilíbrio atuarial (déficit ou superávit) 
(GUIA PREVIC, 2012, p. 11).
Há ainda um risco chamado alavancagem, que está relacionado às operações de compra e ven-
da sem a devida cobertura. Outro risco que tem sido apresentado constantemente, principalmen-
te na área financeira, é o risco do uso da internet. Cada vez mais as pessoas estão utilizando esse 
recurso nas operações financeiras e, não é raro, correm o risco de terem seus dados “clonados” 
e divulgados indiscriminadamente. 
2.1 Reserva matemática
Considerando o que leu até aqui, reflita: você já sabe o que, exatamente, faz um atuário? O 
atuário é, acima de tudo, um profissional especializado em matemática, com conhecimentos em 
capitalização, previdência social e previdência privada. Em geral, também efetua cálculos de 
prêmios de seguros, de reservas e de contribuições. 
A reserva matemática de um grupo, no tocante a determinado benefício, é a diferença entre o 
valor atual dos compromissos futuros assumidos pela entidade quanto à concessão do benefício 
aos membros do grupo e o valor atual da renda de receitas futuras previstas para a cobertura 
dos referidos encargos, de acordo com o regime financeiro adotado especificamente para o 
benefício no plano de custeio vigente (SOUZA, 2016, p. 7).
07
Conforme o Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE, 2013), há três bases para o 
sistema previdenciário: 
• legal: benefícios oferecidos, regras de concessão dos benefícios, regras para o custeio 
dos benefícios; 
• atuarial: tábuas biométricas, taxas de juros, regimes financeiros, metodologias de cálculo; 
• cadastral: dados atualizados, dados consistentes, dados amplos.
Gustavo Henrique W. de Azevedo é um dos mais importantes nomes da matemática 
atuarial. Doutor em Engenharia de Produção pela Universidade Federal do Rio de Ja-
neiro, é especialista em Engenharia Econômica, Administração Industrial e de Empre-
sas, em Matemática Financeira e Estatística. Entre suas publicações, destaca-se o livro 
Seguros, matemática atuarial e financeira (Editora Saraiva, 2008), obra fundamental 
para os profissionais de Atuária. Para saber mais sobre a vida e a obra de Azevedo, 
acesse o endereço: http://www.editorasaraiva.com.br/autores/show/id:345385/gusta-
vo-henrique-w-de-azevedo/.
VOCÊ O CONHECE?
De acordo com Azevedo (2008), reservamatemática é um cálculo que se faz para assegurar um 
plano de previdência aos beneficiários, que podem estar ativos, inativos ou ser pensionistas. A 
reserva é a garantia de que eles receberão, futuramente, os valores dos benefícios. O cálculo é 
feito da seguinte forma: verificar a diferença entre o Valor Atual dos Benefícios Futuros (VABF) e 
o Valor Atual das Contribuições Futuras (VACF). Outra reserva que deve ser calculada refere-se à 
reserva matemática de benefícios concedidos, destinada aos servidores ou dependentes que têm 
direito ao recebimento porque atingiram condições para isso, ou porque já entraram na fase de 
condições para receber a aposentadoria.
A seguir, observe a Figura 2 e o Quadro 1, retirados do Manual Previdenciário do Tribunal de 
Contas do Estado do Paraná (2014, p. 30). Trata-se de uma servidora que iniciou a vida labora-
tiva aos 20 anos. Ela passou a contribuir ao regime próprio e está vinculada a partir desta idade 
e data, não possuindo tempo de serviço ou contribuições anteriores. Na data do cálculo, ela 
completara 30 anos de idade.
20
anos
a - Idade inicial
de contribuição
30
anos
x - Idade atual do
servidor na data
do cálculo
54
anos
r - Idade de
aposentadoria
Figura 2 – Linha da vida do servidor para cálculo matemático.
Fonte: TCE, 2014, p. 30.
30 – 20 = 10 anos de contribuição
A legislação determina que a servidora, mulher deve ter 30 anos de contribuição
08 Laureate- International Universities
Fundamentos de Atuária
30 – 10 = 20 anos (faltam 20 anos para se aposentar) 
20 x 20% (pedágio) = 4 anos
Acrescentando 4 anos ao tempo que falta para se aposentar, verifica-se que a servidora 
deverá trabalhar mais 24 anos. 
30 anos (idade atual) mais 24 anos (tempo faltante) = estima-se 54 anos de idade para sua 
aposentadoria.
Quadro 1 – Informações para efetuar o cálculo que determina a idade de aposentadoria da servidora.
Fonte: TCE, 2014, p. 30.
VOCÊ QUER VER?
O filme Grande demais para quebrar (Too Big to Fail), dirigido por Curtis Hanson, é im-
perdível para os profissionais que pretendem trabalhar na área contábil. Mostra os bas-
tidores da crise financeira de 2008, que “quebrou” instituições no mundo inteiro. Para 
assistir, acesse o endereço: <https://www.youtube.com/watch?v=srGQ9vm9sh4>.
Para que o cálculo da fórmula matemática possa ser efetuado, há necessidade de três informações 
básicas: idade inicial, idade atual e a idade da aposentadoria.
O Quadro 2 demonstra o cálculo da reserva matemática que viabilizará o benefício da apo-
sentadoria por idade. Para outros benefícios, como pensão ou aposentadoria por invalidez, há 
necessidade de outros cálculos e procedimentos atuariais.
PP (Provento Projetado) = R$1.000,00 
Tábua de Mortalidade – AT-49
Taxa atuarial – 6% a.a.
Ar(12 )– fator atuarial = 11,711729 (significa que o fundo irá pagar uma renda vitalícia, 
postecipada, isto é, no final do período).
RMr – Reserva Matemática
Quadro 2 – Cálculo da reserva matemática.
Fonte: TCE, 2014 p. 31.
Tábua Biométrica: AT-49
Idade Qx*
0 0,00404
1 0,00158
2 0,00089
3 0,00072
4 0,00063
09
Tábua Biométrica: AT-49
Idade Qx*
5 0,00057
6 0,00053
7 0,00050
26 0,00081
27 0,00085
28 0,00090
29 0,00095
30 0,00100
31 0,00107
32 0,00114
33 0,00121
34 0,00130
35 0,00139
50 0,00656
51 0,00728
52 0,00804
53 0,00884
54 0,00968
55 0,01057
56 0,01149
57 0,01246
58 0,01348
59 0,01454
60 0,01566
61 0,01687
62 0,01820
63 0,01967
64 0,02128
65 0,02307
66 0,02503
67 0,02719
68 0,02958
69 0,03220
10 Laureate- International Universities
Fundamentos de Atuária
Tábua Biométrica: AT-49
Idade Qx*
70 0,03509
71 0,03827
72 0,04177
73 0,04562
*Qx = probabilidade de morte
Tabela 1 – Tábua biométrica.
Fonte: IEPREV, 2016 (adaptado).
Cálculo inicial na idade de aposentadoria
PP (Provento Projetado) = R$ 1.000,00
Tábua de mortalidade – AT 49
Taxa atuarial 6%
Ar12 – Fator atuarial = 11,711729 (significa que o fundo irá pagar uma renda vitalícia poste-
ciapada, isto é, no final do período).
R.Mr= 13 x ar(12) x PP
R.Mr= 13 x 11,711729 x 1.000,00
R. Mr= R$ 152.252,47
Quadro 3 – Cálculo inicial da idade de aposentadoria. 
Fonte: TCE, 2014, p. 32.
Segundo Azevedo (2008), tábua de mortalidade é uma tabela utilizada para estimar quantos 
anos a pessoa poderá viver. As tábuas chamadas de “tábuas da vida” são baseadas nos cálculos 
populacionais dos Estados Unidos. São apresentadas por meio de siglas com o ano em que 
foram elaboradas. Por exemplo, AT 49, AT 83, AT 2000. No cálculo apresentado, a tábua da 
vida é AT 49.
O que significa este valor? O valor de R$152.252,47 (cento e cinquenta e dois mil, duzentos e 
cinquenta e dois reais e quarenta e sete centavos), é a reserva matemática necessária no ato da 
aposentadoria. Esse é o montante que a servidora precisará ter para poder se aposentar, se a 
reserva matemática for baseada na idade de 54 anos para a aposentadoria. 
As contribuições dos servidores sustentavam a maioria dos regimes próprios de previdência, fa-
zendo com que os fluxos de caixa das empresas apresentassem déficit previdenciário. O artigo 
40 da Constituição Brasileira de 1988 assegurou um aporte financeiro de caráter contributivo e 
solidário para ser revertido ao fundo com o objetivo de diminuir o passivo atuarial e preservar o 
equilíbrio financeiro e atuarial por meio do cálculo atuarial.
A reserva matemática é direito do segurado, que terá de receber da previdência (pública ou pri-
vada) o valor monetário referente às contribuições assumidas perante a entidade que ofereceu a 
promessa de benefícios futuros. É importante que o segurado saiba valores de juros, as rendas, 
valores atuais e os deveres. Quais deveres? Os regulamentos da entidade e a legislação perti-
nente para que possa visualizar seu direito securitário. 
11
Assim, se for admitido que um investimento que produza um juro de 6% ao ano, o valor atual 
de R$200.000,00, se for pago em quatro anos, será de R$126.734,90. Valor obtido por meio 
da fórmula: 
PV = R$200.000,00 / (1+0,06)4 = 158.418,73.
Se você quiser saber se o valor está certo, verifique:
R$158.418,73 x 1.06 = R$167.923,85
R$167.923,85 x 1.06 = R$177.999,28
R$177.999,28 x 1,06 = R$188.679,24
R$188.679,24 x 1.06 = R$200.000,00
Portanto, o montante do capital que você investiu por um determinado prazo, a partir da data 
atual, será a soma do capital mais os juros que foram produzidos no decorrer do tempo. 
A importância também ocorre quando você tiver um determinado valor a receber futuramente, 
mas não sabe quanto esse valor representa atualmente. 
Há fatores determinantes para a reserva matemática: as bases legal, atuarial e de dados. Os 
regimes próprios de previdência social serão avaliados anualmente, de acordo com as Normas 
de Atuária, portaria MPS 87, onde serão adotados o regime de capitalização, contribuição paga 
por todos os servidores, pela União, estados e municípios que se juntam às reservas matemáti-
cas; regime de repartição de capitais de cobertura, que é a contribuição paga por determinado 
período, sendo que deverá ser suficiente para integrar a reserva matemática; e o regime de re-
partição simples, geralmente utilizado quando as despesas estão estabilizadas e a quantidade de 
participantes está estacionada ou paralisada. O Valor Presente de Benefícios Futuros (VPBF) e o 
Valor Presente de Contribuições Futuras (VPCF) são métodos de cálculo da reserva matemática.
2.2 Tábua de mortalidade
Tábua Biométrica de Mortalidade e Sobrevivência é o nome dado a uma tabela utilizada por 
planos de previdência privada para calcular a expectativa de vida feita pelas seguradoras. Cabe 
à seguradora o cálculo da renda futura que será paga ao participante de umplano de aposen-
tadoria, a partir de uma estimativa de quantos anos ele poderá viver. As tábuas utilizadas sempre 
refletiram as tábuas da vida da população americana. São chamadas AT 49, AT 83, AT 2000, e 
o número junto às siglas se referem ao ano em que as tábuas foram feitas. Por exemplo, AT 49 
foi feita em 1949.
O IBGE também elabora uma tábua de expectativa de vida, mas ela não é utilizada pelo mer-
cado porque apresenta a longevidade dos brasileiros em geral e, com essa forma de cálculo, o 
mercado entende que a margem de erro é muito grande.
Como o cálculo é feito a partir do investimento em previdência privada, entende-se que o inves-
tidor tenha uma longevidade maior que a maioria dos brasileiros, portanto, a tábua americana 
estaria mais adequada à realidade do perfil do brasileiro que tem recursos financeiros para apli-
car em previdência privada.
12 Laureate- International Universities
Fundamentos de Atuária
Idades 
Exatas 
(X)
Probabilidades de 
Morte entre Duas 
Idades Exatas 
(X,N) (Por mil)
Óbitos D 
(X,N) I (X) L (X,N) T (X)
Expectativa 
de Vida à 
Idade X
E(X)
0 15,694 1569 100000 98583 7458083 74,6
1 0,983 97 98431 98382 7359500 74,8
2 0,629 62 98334 98303 7261118 73,8
3 0,477 47 98272 98249 7162815 72,9
4 0,390 38 98225 98206 7064567 71,9
5 0,334 33 98187 98170 6966361 71,0
6 0,295 29 98154 98140 6868190 70,0
7 0,270 26 98125 98112 6770051 69,0
8 0,254 25 98099 98086 6671939 68,0
9 0,248 24 98074 98062 6573852 67,0
10 0,252 25 98049 98037 6475791 66,0
11 0,266 26 98025 98012 6377754 65,1
12 0,305 30 97999 97984 6279742 64,1
13 0,367 36 97969 97951 6181758 63,1
14 0,508 50 97933 97908 6083808 62,1
15 0,803 79 97883 97844 5985900 61,2
16 0,998 98 97804 97756 5888056 60,2
17 1,173 115 97707 97649 5790301 59,3
18 1,309 128 97592 97528 5692651 58,3
19 1,414 138 97464 97395 5595123 57,4
20 1,518 148 97327 97253 5497728 56,5
21 1,621 158 97179 97100 5400475 55,6
22 1,693 164 97021 96939 5303375 54,7
23 1,727 167 96857 96773 5206436 53,8
24 1,733 168 96690 96606 5109662 52,8
25 1,726 167 96522 96439 5013056 51,9
26 1,722 166 96336 96273 4916618 51,0
27 1,731 166 96190 96106 4820345 50,1
28 1,759 169 96023 95939 4724239 49,2
29 1,804 173 95854 95768 4628300 48,3
30 1,856 178 95681 95592 4532532 47,4
Tabela 2 – Modelo de tábua de mortalidade.
Fonte: IBGE, 2013.
13
Além do IBGE, também a Fundação Escola Nacional de Seguros (Funenseg) criou as Tábuas Bio-
métricas de Mortalidade e Sobrevivência – Experiência do Mercado Segurador Brasileiro – 2010, 
conhecidas como tabelas BR-EMS.
As tábuas americanas possuem diferentes expectativas de vida, por exemplo, a AT 49 mostra uma 
expectativa de vida até os 80 anos; a AT 2000 apresenta uma expectativa até os 83 anos. O que 
isso representa? A diferença interfere significativamente no retorno do investimento. Por exemplo, 
quanto maior a expectativa de vida, menor será o benefício pago pela seguradora. As segura-
doras que se comprometem em pagar o benefício pelo tempo em que o contribuinte sobreviver, 
podem ter o risco da defasagem nas contas da empresa. Quando mais recente a tábua, melhor 
para o beneficiário.
A tábua abaixo (Tabela 3) começa com 10 milhões de pessoas vivas a partir de zero ano, se-
guindo as idades sucessivamente até 99 anos. Ou seja, neste modelo de tábua, entende-se que 
existam 10 milhões de pessoas sobreviventes que podem chegar até 99 anos. Como se faz a 
leitura? A primeira coluna (x) representa a idade das pessoas. A segunda coluna (lx) mostra as 
pessoas que vivem no começo do ano. Por exemplo: 10.000.000 (lx) de pessoas com zero ano 
(x) e 9.929.200 (lx) com 1 ano (x). Isso significa que, no intervalo, morreram 70.800 pessoas 
(dx), que representa 0,708 (qx) da probabilidade anual de morrer. E se a pessoa ultrapassar os 
99 anos? Nesse caso, receberá o capital segurado, visto que está viva e esta possibilidade não 
existe na tábua. 
x lx dx qx
0 10.000.000 70.800 0,00708
1 9.929.200 17.475 0,00176
2 9.911.725 15.066 0,00152
....
25 9.575.666 18.481 0,00193
26 9.557.155 18.732 0,00196
......
40 9.241.359 32.622 0,00353
53 8.524.486 92.832 0,1.089
97 37.787 18.456 0,48.842
98 19.331 12.916 0,66.815
99 6.415 6.415 100.000
Tabela 3 – Modelo de tábua biométrica.
Fonte: AZEVEDO, 2008, p. 220.
Segundo Azevedo (2008, p. 220):
Sendo d25 igual a 18.481, significa dizer que essa foi a quantidade de pessoas mortas com 
idade maior ou igual a 25 anos, mas que não completaram 26 anos. A probabilidade de 
alguém com 40 anos não chegar aos 41 é de 0,353%. Entretanto, a divisão de 140 sobre 141 
revela a probabilidade de alguém com 40 chegar aos 41.
14 Laureate- International Universities
Fundamentos de Atuária
Exemplos:
Qual a probabilidade de alguém com 26 anos sobreviver e chegar à idade de 53 anos?
Cálculo: Probabilidade = l53/ l26 = 8.524.486 / 9.557.155 = 89,19%. Portanto, a probabilidade 
de um pessoa com 26 anos chegar a 53 anos é de 89,19%.
O mercado atuarial possui várias tábuas de mortalidade, tais como: GAM 71; IBG 99 (-20%); AT 
83; AT 2000, entre outras. As tábuas consideradas conservadoras apresentam uma previsão de 
cobertura maior para o participante e oferecem a cobertura do benefício para o resto da vida, 
por isso o montante da reserva matemática terá que ser maior.
Os atuários, ao fazerem os cálculos, precisam fazer a correção da reserva matemática. No Brasil, 
os juros são de 6% ao ano e o índice de correção pode ser o IGP-M, INPC, IGP-DI. São índices 
utilizados para a correção do benefício.
As tábuas de mortalidade partem de um número fechado de participantes em que são considera-
das as quantidades de pessoas vivas anualmente por idade. Em inglês, AT significa annuitytable. 
As taxas podem ser mais conservadoras como a AT-49 e AT-83, ou mais modernas, como AT-
2000, considerada mais flexível e utilizada por diversas empresas no Brasil, principalmente para 
os planos PGBL. Por possuir um tempo de vida médio mais elevado, reduz o valor a ser pago 
pelas empresas. É importante que as tábuas reflitam a situação mais próxima da realidade, para 
que as empresas não corram o risco de não ter condições de pagar os beneficiários. As tábuas 
têm informações universais:
Seis colunas
• x: coluna de idades;
• lx: número de pessoas viva na idade x do grupo de estudo, de um total inicial hipotético 
de 100.000 novos nascimentos, ou sobreviventes;
• dx: número de indivíduos ou de pessoas do grupo que faleceram entre as idades x e x+1;
• qx: probabilidade anual de morte, ou seja, a razão entre o número de pessoas do grupo 
que morrem numa idade w (dw) pelo número de pessoas da idade de w (l w); 
• px: probabilidade anual de sobrevivência, pela relação px = 1 − qx; 
• ex: expectativa de vida para um indivíduo com idade x.
No Brasil, o IBGE costuma publicar suas tábuas de mortalidade populacionais (Experiência Brasi-
leira 1980, 1991 e 2002), que são divulgadas anualmente. Por apresentarem taxas relativas ao 
conjunto da população, são pouco utilizadas por pessoas que compram produtos do mercado 
previdenciário e securitário. De acordo com Oliveira et al. (2012, p. 18), “até a década de 1970, 
o Instituto de Resseguros do Brasil publicava tábuas com a experiência de seguros de vida e aci-
dentes do trabalho”. Em 2010, foi publicada uma tábua elaborada com base nos dados obtidos 
do setor de seguros, batizada de Experiência do Mercado Segurador Brasileiro (BR-EMS). A Susep, 
órgão fiscalizador do setor de seguros, e a Previc, autarquia supervisora e fiscalizadora dos fundos 
de pensão, adotam como parâmetro a tábua AT-2000, de origem norte-americana. As tábuas 
possuem algumas características, identificadas pela divisão em colunas que cruzam a idade (x). A 
quantidade de vivos é arbitrada em 100.000 ou 1.000.000. A primeiraidade é chamada de ida-
de-raiz da tábua; aA última idade que se pode atingir em uma tábua é representada pela letra w. 
Geralmente, as tábuas são classificadas por sexo, mas podem também ter outras classificações 
como o tipo de profissão, a classe socioeconômica, os vícios ligados ao fumo, por exemplo. 
15
Como as tábuas possuem modelos estáticos, os países mais desenvolvidos e com melhor quali-
dade de vida, veem a expectativa de vida aumentada ano a ano. Há então necessidade de apri-
morar os modelos, como o desenvolvimento de Tábuas Geracionais que apresentam as taxas de 
mortalidade de acordo com as gerações. Nesses casos, as projeções são mais rigorosas e atuais. 
Segundo o IBGE (2013, p. 7):
O IBGE informa antecipadamente à sociedade que a Tábua de Mortalidade de 2011, a ser 
divulgada em 29 de novembro de 2012, incorporará as informações mais recentes sobre 
população e óbitos, por sexo e idade, provenientes do Censo Demográfico 2010, e as 
estatísticas vitais oriundas da pesquisa Estatísticas do Registro Civil do mesmo ano. Trata-se de 
um procedimento necessário de atualização, quando se trabalha com indicadores e/ou modelos 
demográficos prospectivos. Além disso, o desenvolvimento desta atividade cumpre, também, o 
propósito de gerar parâmetros atualizados da mortalidade do Brasil para serem incorporados à 
Projeção da População por Sexo e Idade para o Período 1980-2050 - Revisão 2012.
Tabela 4 – Valores exemplificativos do tempo de contribuição.
Fonte: IEPREV, 2016.
16 Laureate- International Universities
Fundamentos de Atuária
Segundo o IBGE, as tábuas de mortalidade são informadas à sociedade antecipadamente com o 
objetivo de apresentarem informações recentes provenientes de censos demográficos.
Ainda de acordo com o IBGE (2013, p. 8):
A Tábua de Mortalidade projetada para o ano de 2012 resultou em uma expectativa de vida 
de 74,6 anos para ambos os sexos, um acréscimo de 5 meses e 12 dias em relação ao valor 
estimado para o ano de 2011 (74,1 anos). Para a população masculina o aumento foi de 4 
meses e 10 dias passando de 70,6 anos para 71,0 anos, em 2012. Já para as mulheres o 
ganho foi maior: em 2011 a esperança de vida ao nascer era de 77,7 anos se elevando para 
78,3 anos em 2012, 6 meses e 25 dias maior.
1,000
Log (Q(x,n))
Grá�co 1 - Logaritmos das probabilidades de morte por sexo e idade - Brasil - 2012
0,100
0,010
0,001
0,000
0 5 10 15 20 25
Homens
30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85
MulheresTotal
Figura 2 – Gráfico de probabilidade de morte.
Fonte: IBGE, 2013, p. 6.
Segundo MOORE (1946), uma tábua de mortalidade baseia-se em dados de nascimentos e mor-
tes e nas idades ao morrer. A utilidade destes dados depende de que as estatísticas sejam exatas, 
representativas, comparáveis e adequadas.
2.3 Nota técnica atuarial
Além da tábua de mortalidade, há ainda um documento importante utilizado pelos técnicos dos 
planos de previdência. Denominada nota técnica atuarial, trata-se de um documento descritivo 
que informa as atividades e os aspectos técnicos dos planos de previdência. Nesta nota são 
discriminados os cálculos efetuados, o controlados pela Superintendência de Seguros Privados 
(Susep). É elaborada por um atuário que precisa estar registrado no Instituto Brasileiro de Atuária 
(IBA), atendendo a exigência legal. A nota técnica atuarial deve conter as seguintes informações: 
as características gerais do plano ou do seguro, as fórmulas de cálculo e as técnicas utilizadas. 
Segundo portaria MPS 403 de 10 de dezembro de 2008, art. 2o
[...] VII - Nota Técnica Atuarial: documento exclusivo de cada RPPS que descreve de forma clara 
e precisa as características gerais dos planos de benefícios, a formulação para o cálculo do 
custeio e das reservas matemáticas previdenciárias, as suas bases técnicas e premissas a serem 
utilizadas nos cálculos, contendo, no mínimo, os dados constantes do Anexo desta Portaria; [...]
17
De acordo com a legislação, conforme a MP 403/2008, há elementos mínimos para elaboração 
de uma nota técnica atuarial, que vão desde os objetivos e metodologias, passando pelas taxas 
de crescimento e de juros, até os cálculos de pensões e benefícios concedidos e a conceder. 
Se houver algum erro, a nota técnica poderá ser alterada desde que exista um termo aditivo jun-
tamente com a justificativa técnica que deverá ser apresentada à Secretaria de Políticas Públicas 
da Previdência Social (SPPS). 
O documento deverá ser feito em formato pdf e enviado, via internet, para os órgãos vinculados 
ao Ministério da Previdência Social. 
Segundo a Susep (2013, p. 2), a nota técnica atuarial Vida Gerador Benefício Livre (VGBL) é um 
seguro de pessoas com cobertura por sobrevivência, estruturado no Regime Financeiro de Capi-
talização e na Modalidade de Contribuição Variável.
Ainda de acordo com a Susep (2013, p. 2): 
O plano tem como objetivo a concessão de capital segurado, sob a forma de 
(modalidade: pagamento único ou: renda mensal vitalícia, renda mensal temporária, 
renda mensal vitalícia com prazo mínimo garantido, renda mensal vitalícia reversível 
ao beneficiário indicado ou renda mensal vitalícia reversível ao cônjuge com 
continuidade aos menores ou renda mensal por prazo certo), de acordo com as 
regras estabelecidas no respectivo Regulamento, a pessoas físicas que estejam 
vinculadas, na forma estabelecida pelo contrato, a uma pessoa jurídica contratante, 
denominada estipulante-averbador [...].
No PGBL há modalidades de benefícios para anuidade antecipada e para anuidade postecipada. 
As modalidades de renda podem ser:
• Vitalícia: o pagamento se dá direta e exclusivamente ao assistido e cessa com o 
falecimento. Nessa modalidade não há devolução nem compensação. Os parâmetros 
para essa modalidade, segundo a Susep (2013), são a taxa de juros anual e a taxa 
biométrica de sobrevivência BR-EMS.
• Mensal vitalícia com prazo mínimo garantido: refere-se a uma renda mensal vitalícia paga 
ao participante-assistido, com prazo mínimo garantido.
• Mensal vitalícia reversível ao beneficiário indicado: é a modalidade em que o participante 
assistido indica um beneficiário que receberá (após a morte do participante) um percentual 
já pré-estabelecido até a morte.
• Mensal temporária: como o próprio nome diz, refere-se a uma renda que será paga por 
um tempo determinado ao participante assistido. O valor do benefício cessará no término 
do tempo estabelecido no contrato ou no falecimento do assistido.
• Mensal vitalícia reversível ao cônjuge com continuidade aos menores: renda vitalícia à 
qual o cônjuge e os dependentes menores terão direito após a morte do segurado.
• Mensal por prazo certo: o participante-assistido estipula o prazo máximo em meses em 
que a renda será paga. Ao terminar o prazo, cessará o pagamento.
O Vida Gerador de Benefícios Livre – VGBL, é um seguro de pessoas com cobertura por 
sobrevivência, estruturado no Regime Financeiro de Capitalização e na Modalidade de 
Contribuição Variável. O plano tem como objetivo a concessão de capital segurado, sob a 
forma de (modalidade: pagamento único ou: renda mensal vitalícia, renda mensal temporária, 
renda mensal vitalícia com prazo mínimo garantido, renda mensal vitalícia reversível ao 
beneficiário indicado ou renda mensal vitalícia reversível ao cônjuge com continuidade aos 
18 Laureate- International Universities
Fundamentos de Atuária
menores ou renda mensal por prazo certo), de acordo com as regras estabelecidas no respectivo 
Regulamento, a pessoas físicas que estejam vinculadas, na forma estabelecida pelo contrato, a 
uma pessoa jurídica contratante, denominada estipulante-averbado (SUSEP, 2013, p. 2).
O participante poderá solicitar portabilidade, total ou parcial, para outro plano de 
previdência complementar aberta, desta ou de outra EAPC, de recursos do saldo da 
Provisão Matemáticade Benefícios a Conceder. O prazo de carência para solicitações 
de portabilidades, a contar da data de protocolo da proposta de contratação na EAPC, 
e o intervalo mínimo entre pedidos de portabilidades estão definidos no respectivo re-
gulamento. O segurado não pode estipular portabilidades com intervalo inferior a 60 
dias (SUSEP, 2013).
VOCÊ SABIA?
2.4 Matemática atuarial 
Na nota técnica atuarial há necessidade de se demonstrar quais os cálculos utilizados. Esses são 
cálculos matemáticos estudados há muito tempo. Segundo Almeida (2016), a teoria dos jogos 
oferece subsídios teóricos para aqueles que buscam entender como a análise matemático-formal 
pode facilitar a compreensão de métodos de resolução de disputa, tais como o processo judicial, 
a mediação, a negociação e a arbitragem. Os estudos foram sendo aprimorados até a criação 
de tábuas de mortalidade, baseadas em boletins de nascimentos e morte. Mas, os interesses 
iniciais ficaram restritos aos jogos de azar e à teoria dos jogos. Partindo do estudo sobre jogos, 
surgiu na matemática atuarial o tratamento da chamada “anuidade vitalícia”, que continha a 
ideia de pagamentos enquanto o titular da anuidade estivesse vivo. Uma matriz desenvolvida por 
Pierre de Fermant e a obra de Abrahan de Moivre iniciaram as teorias dos estudos de probabili-
dades e anuidades, ainda hoje utilizadas. 
O livro Matemática atuarial de seguros de danos (PACHECO, 2014) apresenta con-
ceitos básicos de teoria das probabilidades, racionalidade, utilidade e demanda na 
oferta de seguros. Leitura importante para complementar os conhecimentos sobre a 
matemática atuarial.
VOCÊ QUER LER?
Segundo Azevedo (2008), as teorias relacionadas à probabilidade ocorreram devido ao desen-
volvimento dos seguros, jogos de cartas e jogos de dados. Geralmente essas pesquisas sobre 
probabilidades eram pedidas pelos nobres aos matemáticos interessados no assunto. O desen-
volvimento do conceito de esperança matemática desenvolveu-se em função da matemática dos 
seguros de vida, em que a esperança matemática é definida como o produto da probabilidade 
de ocorrência de um acontecimento pelo valor do prêmio que a pessoa recebe se ganhar.
O significado de Esperança Matemática: 
• E: esperança 
• Q: ganho esperado
19
• p: probabilidade
• Vn: fator de desconto
Portanto, a fórmula será:
E=Q x p x vⁿ em que v=1/(1+ i)
Exemplo 1 (AZEVEDO, 2008, s. p.):
Uma rifa que levará quatro meses para seu sorteio apresenta como prêmio um automóvel no va-
lor de R$60.000,00. Sabendo-se que o total de bilhetes é 15.000, qual o valor pelo qual deverá 
ser vendida cada cautela, se a taxa de juros é de 1% ao mês?
Resposta:
E=Q x p x vn
E= 60.000 x 1/15.000 x 1(1+0,01) x 4 = R$3,84
Exemplo 2 (AZEVEDO, 2008, s. p.):
Em um evento beneficente, haverá um sorteio de uma vagem a Paris, com acompanhante, cujo 
valor é de R$12.000,00. As pessoas, à entrada, compram o bilhete. Sabendo-se que o total de 
bilhetes é 2.000 e desprezando-se o fator de desconto, pois o sorteio acontecerá no mesmo dia 
da compra dos bilhetes, qual o valor pelo qual deverá ser vendido cada bilhete, ou seja, qual a 
esperança matemática?
Resposta:
E= Q x p x vn
E= 12.000 x ½.000 x 1 = R$6,00.
O cálculo atuarial tem como objetivo verificar o risco e o retorno nos segmentos financeiros 
e de seguros, por meio de técnicas matemáticas e estatísticas. A matemática atuarial estuda a 
teoria dos juros compostos e a teoria da probabilidade, considerando-se a possibilidade de o 
indivíduo estar vivo para fazer o pagamento, vinculado à questão da sobrevivência e à morte 
dos indivíduos. 
A Teoria do Risco Individual preocupa-se com as diferentes probabilidades de danos ao indivíduo 
com o objetivo de obter uma distribuição de probabilidades para danos agregados. Já a Teoria 
dos Riscos Coletivos, segundo Pacheco (2014, p. 27),
[...] estuda a distribuição probabilística de danos agregados em dada posição no tempo, 
inferida com base em premissas simplificadas a respeito das distribuições de danos individuais, 
assumidas idênticas e independentes entre si. 
2.4.1 Taxa de juros simples
Ao se compreender os conceitos matemáticos, é importante também entender a função dos ju-
ros na vida das pessoas. Para se entender o conceito e função dos juros, imagine que você está 
precisando de um dinheiro emprestado. Ao solicitar o dinheiro para um amigo, ele propõe que 
você devolva o dinheiro emprestado com um valor a mais, ao qual denomina-se juros. Os juros 
podem ser entendidos como a remuneração que alguém terá direito de deixar para um outro 
por algum tempo, e não poder utilizá-lo enquanto estiver na mão desta outra pessoa. Segundo 
Azevedo (2008, p. 19), “os juros podem ser entendidos como a remuneração de um capital 
emprestado a outra pessoa, ou um prêmio para quem postergou o gasto”. Alguns conceitos são 
importantes para o entendimento dos juros, tanto simples quanto compostos:
20 Laureate- International Universities
Fundamentos de Atuária
Ainda de acordo com Azevedo (2008), os conceitos são os seguintes:
Principal: é a quantia emprestada, também denominada de valor presente, capital, valor atual, 
valor aplicado ou valor financiado que será expresso em unidade monetária.
Montante: também expresso em unidade monetária, é o valor total ou futuro, a quantia que será 
quitada.
Taxa de juros: expressa em percentual, é razão entre os juros e o principal. Pode ser simples 
ou composto. Por exemplo: 3% a. m. (ao mês) ou 8% a. a. (ao ano), 10 % a. t. (ao trimestre). 
Quando se quer apresentar a taxa de juros unitária, é necessário dividi-la por 100. Então 2% é 
= 2/100 = 0,02. 
Período de capitalização: é a quantidade de períodos sob os quais a quantia principal ficará 
submetida a uma determinada taxa de juros.
Fluxos de caixa: são as entradas (recebimentos) e saídas (pagamentos) de dinheiro ao longo do 
tempo.
O que é taxa? Pode ser um valor fixo atribuído por acordo ou estabelecido entre as partes 
pelo uso. A taxa pode ser fixada pelo poder público para um determinado gênero de mer-
cadoria ou para comercialização de produtos, acrescida do valor final deste produto. Pode 
ainda ser cobrada sobre o valor específico para obtenção de empréstimos, ou tributo exigido 
como remuneração por um determinado serviço. Fonte: http://www.dicio.com.br/taxa/.
VOCÊ SABIA?
Segundo Azevedo (2008), no regime de capitalização simples, os juros incidirão sobre o montan-
te do capital inicial. Por exemplo:
M: Montante
P: principal
I: taxa de juros
n: período de capitalização
Portanto: M=P+J e J= P x i x n
Então: M= P + Pin → M= P (1+in)
Exemplo 1 de cálculo com juros simples:
João está passando por sérios problemas financeiros, resolve pedir um empréstimo a Pedro. Pe-
dro empresta R$3.000,00 por 4 meses a 2% de juros ao mês. Qual o valor total que João terá 
que pagar a Pedro daqui a 4 meses? Qual o valor dos juros?
Aplicando a fórmula:
M=P + Pin= M= 3.000,00 + (3.000,00x 0,02 x 4) → M= 3.000,00 + 240,00
M= R$3.240,00
J= R$240,00
21
Resposta: O valor total que João terá que pagar daqui a 4 meses será de R$3.240,00.
O valor dos juros cobrados será de R$240,00.
Exemplo 2
J= P x i x n ou J = P.i.n
Claudio está devendo R$ 2.000,00 a Mateus. Ele sabe que tem de pagar a dívida com juros 
simples de 8% a. m. Mateus pediu a Claudio que pague apenas os juros em dois meses. Quanto 
Claudio terá que pagar de juros ao final de dois meses?
J= 2.000,00 x 0,08 x 2= R$320,00.
Resposta: Claudio terá de pagar R$320,00 de juros a Mateus ao final do segundo mês.
Exemplo 3
M = P .( 1 + ( i . n ) )
Manoel emprestou a Pedro R$50.000,00 para serem pagos dentro de 145 dias com uma taxa de 
12,3% a. a. Qual o montante a ser pago ao final de 145 dias?
Resposta:
M= P x (1+ (i x n))
M= 50.000,00x (1 + (12,3 x 100) x ( 145/360))
M= 50.000,00 x (1+ (0,123) x (0,40277)M= 50.000,00 x (1 + 0,4954)
M= 50.000,00 x (1.4954)
M= 52.477,08
Resposta: o montante a ser pago após 145 dias será de R$52.477,08 (o dado 360 dias refere-
-se ao ano comercial utilizado para calcular operações comerciais. Há necessidade de se fazer 
a divisão para obter o valor equivalente em anos).
Exemplo 4
Francisco aplicou R$100,00 a uma taxa de 6% ao dia, e conseguiu R$1.300,00. Quanto tempo 
o dinheiro ficou aplicado para que Francisco pudesse receber essa quantia?
Resposta:
M= P (1+in) → 1.300,00 = 100,00 (1+ 0,06n)
1.300,00 = (100,00 + 6n)
6n= 1.300,00 – 100,00
6n= 1.200,00
n= 1.200,00/6
n= 200
Resposta: Francisco precisou ficar 200 dias com o dinheiro aplicado. 
22 Laureate- International Universities
Fundamentos de Atuária
Regime de capitalização simples ou regime de juros simples consiste em somar os juros 
ao capital uma única vez, no final do prazo contratado. Daí seu nome de capitalização 
simples. No regime de capitalização composta ou regime de juros compostos, é contrata-
do o período de capitalização. Se o prazo total em que é feito o investimento tiver vários 
desses períodos, no final de cada período os juros serão capitalizados e o montante assim 
constituído passará a render juros durante o período seguinte (OLIVEIRA, 2013, p. 18).
VOCÊ SABIA?
É importante ressaltar que o conceito de juros pode adquirir diversas formas e ser utilizado nas 
áreas econômicas, políticas, jurídicas, financeiras. É considerado um instrumento de manipula-
ção das políticas de desenvolvimento econômico em todos os países do mundo. Os juros muitas 
vezes referem-se ao pagamento que é dado ao credor pelo tempo que ele fica sem o dinheiro e 
corre o risco de não recebê-lo. Em outros conceitos, os juros são formas de pagamento do capi-
tal que a pessoa recebe do devedor como compensação pela demora. Há ainda a ideia de que 
juros são as remunerações pela disponibilidade de um capital por determinado tempo, dando ao 
credor os “frutos” colhidos pelo uso que o devedor utilizou o capital.
Os juros podem ser exigidos legalmente, por imposição ou determinação legal, ou juros ordiná-
rios, quando não acumulam no capital, também chamados de juros simples. Podem ainda ser 
moratórios, decorrentes do retardamento do cumprimento de uma obrigação. É uma dívida cha-
mada exigível. Há também os juros compensatórios, que são aqueles juros naturais aplicados no 
capital empregado, representam a justa compensação que se deve tirar de um dinheiro aplicado 
em algum negócio. O mercado raramente utiliza-se de juros simples. Os descontos de duplicatas 
no curtíssimo prazo, muitas vezes tem esse critério. A maioria das operações financeiras estão 
relacionadas aos juros compostos (ALENCAR, 2015).
2.4.2 Taxa de juros compostos
Os juros compostos têm uma metodologia diferente dos juros simples. A principal diferença é que 
incidem sobre o saldo devedor do período anterior. 
Para se obter as taxas de juros compostos também há necessidade de se conhecer o valor prin-
cipal, original ou nominal do crédito ou montante que será utilizado que será utilizado; os juros 
propriamente ditos, que referem-se ao percentual obtido na relação entre a remuneração e o va-
lor que será disponibilizado no tempo. E, também, a forma dos juros, simples ou compostos. Há 
ainda a usura, que é a cobrança de remuneração abusiva pelo uso do capital. Por fim, há o ana-
tocismo, que se refere à cobrança de juros sobre juros já incorporados a uma dívida capitalizada, 
ou seja, juros cobrados sobre a dívida original e sendo cobrada novamente sobre o montante. 
Nos juros compostos, segundo Azevedo (2008) a relação entre o montante e o principal deixa-
ram de ser lineares e passaram a ser exponenciais. Todas as operações de compras com cartões 
de crédito, empréstimos bancários, compras a longo prazo, aplicações financeiras, são feitas por 
meio de juros compostos. Exemplo:
M=P x( 1+ i)n
Quando há capitalização, chega-se ao montante ou valor futuro. Quando se descapitaliza o 
montante, chega-se ao capital ou valor presente.
23
Exemplo 1 (baseado em AZEVEDO, 2008, p. 36):
Pedro estava precisando de dinheiro. Falou com o amigo Marcos, informou que precisava de 
R$2.500,00, mas só poderia pagar depois de 1 ano e meio. Marcos informou que para devolu-
ção dentro desse prazo, cobraria 3% de juros compostos ao mês. Quanto Pedro pagará ao final 
de 18 meses?
M= 2.500,00 x (1+ 0,03)18
M= 2.500,00 x (1.7024) 
M= 4.256,08
O livro eguros, matemática atuarial e financeira (AZEVEDO, 2008) é dividido em três 
módulos. O primeiro trata da matemática financeira e compreende os instrumentos finan-
ceiros básicos; o segundo apresenta os diversos tipos de seguros, e o terceiro módulo é 
voltado para os aspectos atuariais. A leitura é essencial para o futuro profissional da atu-
ária que deseja conhecer um pouco mais sobre seguros e os cálculos pertinentes à área.
VOCÊ QUER LER?
ExemploParte inferior do formulário 2 (AZEVEDO, 2008, p. 32):
Marcos quer depositar dinheiro o suficiente para retirar R$1.500,00 daqui a 8 meses e R$3.500,00 
no final do ano. Quanto ele deverá depositar, sabendo que o banco oferece uma taxa de juros 
de 10% a. a.?
Primeiro, é necessário saber quanto Marcos precisará depositar para retirar R$1.500,00 dentro 
de 8 meses:
M= P x (1+ i)n
M= P x ( 1+ 0,10) 8/12
P= M/(1+0,10)8/12
P= 1.500,00/ (1+0,10) 8/12 = P = R$1.407,65
Agora será realizado o cálculo para a retirada de R$3.500,00 em 12 meses
M=P x( 1+ i) 12/12
M= P x ( 1+ 0,10) 12/12
P= M/ ( 1+0,10) 12/12
P= 3.500 / (1+0,10) 12/12
P= R$3.181,82
Segundo Azevedo (2008, p. 32), para retirar os valores mencionados ele terá que somar 
R$1.407,65 + R$3.181,82 que são valores presentes. O total a ser depositado por Marcos será 
R$4.589,47.
As pessoas trabalham, compram, vendem, investem, pedem dinheiro emprestado e muitas vezes 
desconhecem como essas operações, que envolvem dinheiro, estão sendo realizadas e quanto 
estão pagando por elas. Os juros compostos estão presentes na vida de todo o cidadão, princi-
palmente quando se busca satisfazer mais e mais necessidades sem considerar os riscos – ten-
dência que cresce a cada dia no mundo globalizado e capitalizado.
24 Laureate- International Universities
Você concluiu os estudos sobre risco e a importância da matemática para cálculos em aposenta-
dorias. Nesse capítulo você teve a oportunidade de:
• entender que o risco está vinculado à incerteza;
• aprender o que é reserva matemática e identificar a diferença entre os compromissos 
futuros assumidos pela entidade e os valores pagos pelos assistidos, acompanhando a 
forma como são feitos os cálculos; 
• conhecer a tabela biométrica e saber como é utilizada pelas entidades para o cálculo da 
aposentadoria;
• perceber a importância da matemática atuarial para cálculos de aposentadoria;
• conhecer os conceitos e utilidade dos juros simples e compostos.
SínteseSíntese
25
Referências
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de resolução de disputa. Estudos de Arbitragem Mediação e Negociação, v. 2. Disponível em: 
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-parte-artigo-dos-pesquisadores/a-teoria-dos-jogos-uma-fundamentacao-teorica-dos-metodos-
-de-resolucao-de-disputa>. Acesso em: 29 maio 2016.
AZEVEDO, Gustavo Henrique W. de. Seguros, matemática atuarial e financeira. São Paulo: 
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