Fisica1 Listas Profesor Fofo

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Módulo 1: Unidades e Grandezas Físicas (Exercícios)
Universidade de Brasília
Instituto de Física
Primeira Lista de Exercícios de Física I
Questão 1
A velocidade terminal de uma gota de água, de den-
sidade ρa, caindo na atmosfera da Terra é dada pela
expressão abaixo:
vt =
√
8Rρag
3Cγ
Onde R é o raio da gota, m a sua massa, g a aceleração
da gravidade e C é um coeficiente adimensional.
(a) Qual a dimensão do fator γ?
(b) Sendo γ uma propriedade da gota, analisando a
dimensão da mesma, que propriedade seria esta?
Solução
(a) Da análise dimensional, temos que:
[L]
[T ]
= [L]1/2[M ]1/2[L]−3/2[L]1/2[T ]−1[γ]−1/2
Ao representar a unidade de cada um dos termos na
equação. Lembre-se que os termos adimensionais não
precisam ser representados. Elevando ambos os lados
da equação ao quadrado, temos que:
[L]2
[T ]2
= [M ][L]−1[T ]−2[γ]−1
Portanto,
[γ] =
[M ]
[L]3
(b) Observando a equação e a unidade do fator γ, con-
cluímos que a propriedade em questão é a densidade
do meio, ou seja, da atmosfera.
Questão 2
Na equação abaixo:
x(t) = x0 + v0t+
1
2
at2 + βt3 + γt4
Qual a dimensão:
a) Do lado esquerdo da equação;
b) Do lado direito da equação;
c) De cada termo da equação;
d) Do parâmetro β; e) Do parâmetro γ.
Sendo x(t) a posição da partícula, t o tempo, v0 sua
velocidade inicial e β e γ parâmetros experimentais.
Solução
As duas regras básicas da análise dimensional são que:
i) O lado esquerdo da equação tem que ter a mesma di-
mensão que o lado direito da equação e ii) cada termo
de uma equação tem que ter a mesma dimensão. Des-
tas regras, identificando que a posição x(t) tem dimen-
são de comprimento, ou seja, [L], concluímos que: a) a
dimensão do lado esquerdo da equação é [L], b) a di-
mensão do lado direito da equação é [L] e c) a dimensão
de cada termo da equação é [L] também.
d) Para determinarmos a dimensão do parâmetro β,
utilizamos o fato de que o termo inteiro tem dimensão
de comprimento. Sendo assim:
[β][T ]3 = [L]
Portanto, [β] = [L]/[T ]3.
e) O mesmo procedimento é utilizado para determinar-
mos a dimensão de γ. Ou seja,
[γ][T ]4 = [L]
Portanto, [γ] = [L]/[T ]2.
Questão 3
Utilizando análise dimensiona, obtenha o período de os-
cilação T de uma massa m presa a uma mola ideal com
constante elástica k, suspensa sob ação da gravidade g.
Solução
As quatro quantidades envolvidas tem dimensão de T
[T ]; m [M ]; k [M ]/[T ]2; e g [L/T ]2. Sendo assim, se
expressarmos o período T como um produto das quan-
tidades envolvidas, elevada a uma potência qualquer,
podemos concluir que:
T = κmxkygz
onde κ é um parâmetro unidimensional. Sendo a equa-
ção com dimensões dada por:
[T ] =
[M ]x[M ]y[L]z
[T ]2y[T ]2z
de onde concluímos que: z = 0, y = 1/2 e x = −1/2.
Sendo a expressão dada por:
T = κ
√
k/m
Questão 4
A distância média do Sol à Terra é 390 vezes a distância
média da Lua à Terra. Considere a situação física de
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um eclipse total do Sol, ou seja, a Lua entre a Terra e o
Sol (vide Figura). Sabendo que o ângulo interceptado
pelo olho, ao olhar a lua, é 0, 50o, e a distância entre a
Terra e a Lua é 3, 8× 105km:
a) Determine a razão do diâmetro do Sol para o diâ-
metro da Lua.
b) Determine a razão do volume do Sol para o volume
da Lua.
c) Determine o diâmetro da Lua.
Solução (a) Quando o ângulo interceptado (θ) é medido
em radianos, então este é igual ao comprimento de arco
dividido pelo raio. Para grandes raios de círculo e pe-
quenos valores de ângulo — como é o caso — os arcos
podem ser aproximados por seguimentos de reta. No
nosso caso essas linhas retas são o diâmetro da Lua (d)
e do Sol (D). Assim,
θ =
d
RLua
=
D
RSol
⇒ RSol
RLua
=
D
d
o que leva D/d = 390 (b) Lembrando que a relação
em o raio do Sol e o Raio da Lua é a mesma que D/d,
temos:
4
3
piR3S
4
3
piR3L
= 3903 = 5, 9× 107
Transformando θ em radianos teremos aproximada-
mente 0, 009rad, assim
d = θRLua = (0, 009)(3, 8× 105) ≈ 3, 4× 103km
Questão 5
Suponha que você esteja deitado em uma praia e ob-
serve o sol se pôr no oceano, ligando um cronômetro
no momento em que ele desaparece. Em seguida, você
se levanta, fazendo com que seus olhos se movam para
cima de uma distância h = 1, 70m. No momento em
que o sol desaparece você pára o cronômetro, medindo
um tempo t = 11, 1s. Quanto mede o raio da Terra?
Solução Considerando o esquema temos por Pitágoras:
d2 = r2 = (r + h)2 = r2 + 2rh+ h2
ou
d2 = 2rh+ h2
como h é muito menor que o raio da Terra, podemos
desprezar o termo h2 assim, d2 = 2rh. O ângulo entre
os dois pontos de tangência A e B é θ, que é também o
ângulo que o sol descreve em torno da Terra durante o
intervalo de tempo medido. Em 24 horas o sol descreve
360o. Assim:
θ
360o
=
t
24h
substituindo os valores θ = 0, 04625o. Ainda pela figura
d = rtanθ. Combinando as equações em d temos:
r =
2h
tan2θ
substituindo valores temos r = 5, 2× 106m.
Questão 6
De acordo com o rótulo de uma garrafa de moloho de
salada, o volume do conteúdo é 0, 437liter(L). Usando
apenas as conversões 1L = 1000cm3 e 1in = 2, 54cm,
expresse este volume em polegadas cúbica.
Solução
0, 437L× (1000cm
3
1L
)× ( 1in
2, 54cm
)3 = 26, 66in3
1in3 é maior que 1cm3, então o volume em polegadas
cúbica (in3) é menor que o volume em centímetro cú-
bico (cm3).
Questão 7
As seguintes coversões de unidades ocorrem frequente-
mente na física e são muito úteis.
(a) Use 1mi = 5280ft e 1h = 3600s para converter
60mph (milha por hora) para unidades de ft/s (pés
por segundo).
Solução
(60
mi
h
)× ( 1h
3600s
)× (5280ft
1mi
) = 88ft/s
(b) A aceleração de um objeto em queda livre é 32ft/s2.
Use 1ft = 30, 38cm para expressar esta aceleração em
unidades de m/s2.
Solução
(32
ft
s2
)× (30, 48cm
1ft
)× ( 1m
100cm
) = 9, 8m/s2
(c) A densidade da água é 1, 0g/cm3. Converta esta
densidade para unidades de kg/m3.
Solução
(1, 0
g
cm3
)× (100cm
1m
)3 × ( 1kg
1000g
) = 103kg/m3
Questão 8
Um biscoito de chocolate é um disco circular com diâ-
metro de 8.50±0.02cm e a espessura de 0.050±0.005cm.
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(a) Encontre o volume médio de um biscoito e a incer-
teza no volume.
Solução
O volume de um disco de diâmetro d e espessura e é
V = pi(d/2)2e.
O volume médio é V = pi(8, 50cm/2)2(0, 50cm) =
2, 837cm3. Mas e tem apenas dois algarismos significa-
tivos, então a resposta deveria ser expressa com dois al-
garismos significativos: V = 2, 8cm3. A incerteza pode
ser encontrada da seguinte forma. O volume poderia
ser tão grande quanto V = pi(8, 52cm/2)2(0, 055cm) =
3, 1cm3, que é 0, 3cm3 maior que o valor médio. O
volume também poderia ser tão pequeno quanto V =
pi(8, 52cm/2)2(0, 045cm) = 2, 5cm3, que é 0, 3cm3 me-
nor que o valor médio. Assim, a incerteza é ±0, 3cm3
e o volume pode ser expresso como V = 2, 8± 0, 3cm3.
(b) Encontre a razão do diâmetro para a espessura e a
incerteza nesta razão.
Solução
A razão entre o diâmetro médio e a espessura média é
8, 50cm/0, 050cm = 170. Tomando o maior valor pos-
sível do diâmetro e o menor valor possível da espessura
nós obtemos o maior valor possível para esta razão:
8, 52cm/0, 045cm = 190. O menor valor possível da
razão é 8, 48cm/0, 055cm = 150. Assim, a incerteza
±20 e a razão pode ser escrita como 170± 20.
Questão 9
Um gry é uma antiga medida inglesa para compri-
mento, definida como 1/10 de uma linha, onde linha é
uma outra medida inglesa para comprimento, definida
como 1/12 de polegada. Uma medida comum no ramo
de publicação é um ponto, definido como 1/72 da po-
legada. Qual é a área de 0, 5gry2 em pontos quadrados
(pontos2)?
Solução
Os fatores de conversão 1gry = 1/10linha, 1linha =1/12polegada e 1ponto = 1/72polegadas implica em
que 1gry = (1/10)(1/12)(72pontos) = 0, 60ponto.
Assim, 1gry2 = (0, 60ponto)2 = 0, 36ponto2, então
0, 5gry2 = 0, 18ponto2.
Questão 10
A Terra é aproximadamente uma esfera de raio
6, 37× 106. Quais são (a) sua circunferência em quilô-
metros, (b) a área de sua superfície em quilômetros
quadrados, e (c) seu volume em quilômetros cúbicos?
Solução
(a) Substituindo R = (6, 37 × 106m)(10−3km/m) =
6, 37 × 103km , se a circunferência = 2piR, obte-
mos 4, 00 × 104km. (b) A área da sua superfície é
A = 4piR2 = 4pi(6, 37× 103km)2 = 5, 10× 108km2. (c)
O volume da Terra é V = 4pi
3
R3 = 1, 08× 1012km3.
Questão 11
A Antártica é aproximadamente semicircular, com um
raio de 2000km. A espessura média de sua cobertura
de gelo é 3000m. Quantos centímetros cúbicos de gelo
contém a Antártica? (Ignore a curvatura da Terra.)
Solução
O volume do gelo dado pelo produto da área superficial
semicircular e espessura. Assim: V = A.z = pir2
2
.z =
pi
2
.(2000× 105cm)2(3000× 102cm) = 1, 9× 1022cm3.
Questão 12
Até 1883, cada cidade nos Estados Unidos mantinha
sua própria hora local. Hoje, viajantes acertam seus
relógios apenas quando a mudança de fuso horário é
igual a 1, 0h. Em média, que distância uma pessoa nos
Estados Unidos deve percorrer, em graus de longitude,
até que seu relógio deva ser reajustado em 1, 0h? (Dica:
A Terra gira 306o em aproximadamente 24h.)
Solução
Desde que uma mudança longitudinal de 360o corres-
ponde a uma mudança de 24h, uma mudança de 1h é
360o/24 = 15o.
Questão 13
A planta com crescimento mais rápido de que se tem
registro é a Hesperoyucca whipplei, que cresceu 3, 7m
em 14 dias. Qual foi sua taxa de crescimento em mi-
crômetros por segundo?
Solução
Um dia é equivalente a 86400 segundos e um me-
tro é equivalente a um milhão de micrometros, assim
(3,7m)( 10
6µm
m
)
(14dias)(86400s/dias)
= 3, 1µm/s.
Questão 14
A Terra tem uma massa de 5, 98 × 1024kg. A massa
média dos átomos que compõem a Terra é 40u. Quan-
tos átomos existem na Terra?
Solução
Se a MT é a massa da Terra, m é a massa média de
um átomo na Terra, e N é o número de átomos, onde
MT = Nm ou N = MT/m. Convertendo a massa m
em quilogramas. Assim, N = 5,98×10
24kg
(40u)(1,661×10−27kg/u) =
9, 0× 1049.
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Questão 15
Como um contraste entre o antigo e o moderno e entre
o grande e o pequeno, considere o seguinte: na antiga
Inglaterra rural, uma jeira (entre 100 e 120 acres) era
a área de terra necessária para assentar uma família
com um único arado. ( Uma área de 1 acre é igual
a 4047m2.) Também, 1wapentake era a área de terra
necessária para 100 dessas famílias. Em Física quân-
tica, a área as seção transversal de um núcleo (definida
em termos da probabilidade de que uma partícula inci-
dente seja absorvida pelo núcleo) é medida em barns,
onde 1barn = 1×10−28m2. (No jargão da física nuclear,
se um núcleo é "grande", acertá-lo com uma partícula
é tão fácil quanto acertar uma bala na porta de um
celeiro (a palavra inglesa barn significa celeiro). Qual
é a razão entre 25wapentakes(wp) e 11barns?
Solução
Assumindo 1jeira = 110acres, a relação
25wp/11barns com os fatores de conversão fica :
(25wp)( 100hide
1wp
)( 110acre
1hide
)( 4040m
2
1acre
)
(11barns)( 1×10−28m2
1barn
)
= 1× 1036.
Questão 16
Nos Estados Unidos, uma casa de boneca tem uma es-
cala de 1 : 12 em relação a uma casa real ( ou seja, cada
comprimento da casa de boneca é 1/12 do comprimento
correspondente da casa real) e uma casa em miniatura
( uma casa de boneca para caber dentro da casa de
boneca) tem a escala de 1 : 144 em relação a uma casa
real. Suponha que uma casa real (figura abaixo) tem
um comprimento frontal de 20m, uma profundidade
de 12m, uma altura de 6, 0m, e um telhado inclinado
padrão (faces verticais triangulares nas extremidades
de 3, 0m de altura. Qual é o volume, em metros cúbi-
cos, (a) da casa de bonecas e (b) da casa em miniatura?
Solução
O volume total da casa real é a soma do prima trian-
gular com 3m de altura e da caixa retangular de 6m
de altura, ambos com 20m de comprimento. Assim:
V = 1
2
hA + h′A = (h
2
+ h′)A = 1800m3. (a) Cada
dimensão é reduzida pelo fator de 1/12, e encontramos
Vbon = (1800m
3)( 1
12
)3 = 1, 0m3. (b) Neste caso, cada
dimensão (relativa a casa real) é reduzida pelo fator de
1/144. Assim:Vmin = (1800m3)( 1144)
3 = 6, 0× 10−4m3.
Questão 17
Durante um festividade na Malásia, você compra um
boi pesando 28, 9piculs na unidade local de peso:
1picul = 100gins, 1gin = 16tahils, 1tahil = 10chees,
e 1chee = 10hoons. O peso de 1hoon corresponde a
uma massa de 0, 3779g. Quando você providencia o
envio do boi de volta para casa, deixando a família em
estado de choque, que massa em kg você deve declarar
no documento de embarque?
Solução
A massa em quilograma é
(28, 9piculs)(100gin
1picul
)(16tahil
1gin
)(10chee
1tahil
)(10hoon
1chee
)(0,3779g
1hoon
) =
1, 75× 103kg.
Questão 18
Uma unidade astronômica (UA) é a distancia média
entre a Terra e o Sol, aproximadamente 1, 50× 108km.
A velocidade da luz é aproximadamente 3, 0× 108m/s.
Expresse a velocidade da luz em unidades astronômicas
por minuto.
Solução
Convertendo metros para unidades astronômicas e
segundos para minutos usamos: 1000m = 1km,
1AU = 1, 50 × 108km, e 60s = 1min. Assim, (3, 0 ×
108m/s)(1km/1000m)(AU/1, 50×108km)(60s/min) =
0, 12AU/min.
Questão 19
Uma unidade de área freqüentemente usada na medi-
ção de áreas de terrenos é o hectare, definido como
104m2. Uma mina de carvão de escavação aberta con-
some 75 hectares de terra, até uma profundidade de
26m, a cada ano. Qual é o volume de terra removida
por ano em quilômetros cúbicos?
Solução
O volume removido em um ano é V = (75 ×
104m2)(26m) = 2×107m3 convertendo em quilômetros
cúbicos: V = (2× 107m3)(1km/1000m)3 = 0, 020km3.
Questão 20
Uma pessoa em dieta deveria perder 2, 3kg por semana.
Expresse a taxa de perda de massa em miligramas por
segundo, como se a pessoa em regime pudesse sentir a
perda segundo a segundo.
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Solução
Cada quilograma equivale a um milhão de miligramas,
assim 2, 3 kg/semana é 2, 3 × 106 mg/semana. Consi-
derando uma semana com 7 dias, 3600 segundos por
hora, encontramos 604800 segundos são equivalentes
a uma semana. Dessa forma, (2, 3 × 106)/(604800) =
3, 8mg/s.
Universidade de Brasília - Física 1 - Aula 2 - Prof. Demétrio Filho - 05/01/2016
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Instituto de Física
Segunda Lista de Exercícios de Física I
Questão 1
A posição de um objeto é dada pela equação x(t) = 2+10t2−t3.
(a) Calcule a posição do objeto nos instantes 0, 2 s, 4 s e 6 s.
(b) Calcule o deslocamento e a velocidade média entre os in-
stantes 0 e 6s. (c) Calcule a velocidade média entre os instantes
2 s e 4 s. (d) Pode-se afirmar que a velocidade média é igual à
velocidade instantânea no instante médio?
Solução
a) Substituindo-se os tempos pedidos na equação horária temos:
x(0) = 2 + 10× 02 − 03 = 2 m
x(2) = 2 + 10× 22 − 23 = 34 m
x(4) = 2 + 10× 42 − 43 = 98 m
x(6) = 2 + 10× 62 − 63 = 146 m
b) Utilizando-se as posições calculadas no item anterior:
∆x = 146− 2 = 144 m
vm =
∆x
∆t
=
144
6− 0 = 24 m/s.
c)
vm =
∆x
∆t
=
98− 34
4− 2 = 32 m/s.
d) Não, pois o instantes médios na letra b ((0 + 6)/2 = 3) na le-
tra c ((2 + 4)/2 = 3) iguais, logo, se a velocidade média fosse igual
à velocidade instantânea no instante médio, as velocidades médias
calculadas nas letras b e c deveriam ser iguais.
Questão 2
Você parte de Brasília com destino a Goiânia (200 km) e dirige
metade da distância com velocidade média de 80 km/h e a outra
metade com velocidademédia de 100 km/h. Ao retornar, dirige
metade do tempo a 80 km/h e a outra metade a 100 km/h. (a)
Qual é a velocidade média durante a viagem de ida? (b) Qual
é a velocidade média durante a viagem de volta? (c) Qual é
a velocidade média durante a viagem completa? (d) Podemos
dizer que a velocidade média é igual à média das velocidades?
Solução
a) A viagem pode ser dividida em dois trechos de 100 km. O tempo
necessário para percorrer cada trecho é calculado a partir da fórmula
da velocidade média:
vm =
∆x
∆t
⇒ ∆t = ∆x
vm
O tempo total é igual à somado tempo gasto em cada trecho:
∆tida = ∆t1 + ∆t2 =
100
80
+
100
100
= 2, 25 h
Portanto, a velocidade média durante a ida é
vida =
∆x
∆t
=
200
2, 25
= 88, 9km/h
b) O velocidade média na viagem de volta é
vvolta =
∆xvolta
∆tvolta
=
∆x3 + ∆x4
∆t3 + ∆t4
A distância percorrida em cada trecho pode ser calculada a partir
da fórmula
vm =
∆x
∆t
⇒ ∆x = vm∆t.
Substituindo na equação para a velocidade média
vm =
v3∆t3 + v4∆t4
∆t3 + ∆t4
Como os dois intervalos de tempo são iguais a ∆t/2, podemos escr-
ever
vm =
v3 + v4
2
=
80 + 100
2
= 90 km/h
.
c) O tempo necessário para a viagem de volta é
∆tvolta =
∆x
vvolta
=
200
90
= 2, 22 h.
Portanto, a velocidade média total é
vtotal =
∆xtotal
∆ttotal
=
∆xida + ∆xvolta
∆tida + ∆tvolta
=
200 + 200
2, 25 + 2, 22
= 89, 5 km/h.
d) Apenas na letra (b) aconteceu da velocidade média ser igual à
média das velocidades. A equação para a velocidade média mostra
que ela é igual à média das velocidades ponderada pelo tempo em
que o corpo viajou em cada velocidade. No caso da letra (b), os
tempos foram iguais, por isso, a velocidade durante a viagem de
volta virou uma média aritmética simples.
Questão 3
A linha grossa no gráfico abaixo mostra a posição em função do
tempo de uma partícula movendo-se ao longo do eixo x. (a) En-
contre a velocidade média durante o intervalo de tempo de 1,0
s a 3,0 s. (b) Calcule a velocidade instantânea no instante 2,0 s.
(c) Em que instante a velocidade do corpo é nula? (d) Pode-se
dizer que a velocidade média é igual à velocidade instantânea
no instante médio? (e) Pode-se dizer que a aceleração é sempre
positiva?
Solução
a) Do gráfico concluímos que, no instante 1,0 s, a posição da
partícula é 11,0 m, e, no instante 3,0 s, sua posição é 3,0 m. Usando
a fórmula da velocidade média:
vm =
∆x
∆t
=
3− 11
3− 1 = −4 m/s.
b) A reta mostrada tangencia o gráfico no instante 2 s, logo, sua
inclinação é igual à velocidade instantânea naquele momento. Os
valores de ∆x = −13, 3 m e ∆t = 3, 5 s podem ser obtidos dos cate-
tos do triângulo formado pela reta e os seguimentos dos respectivos
eixos. Dessa forma:
v(2) =
−13, 3
3, 5
= −3, 8 m/s.
c) A velocidade é nula quando a inclinação da curva é nula, ou seja,
em t = 4 s.
d) O instante médio entre 1,0 s e 3,0 s é 2,0 s. Comparando-se
a resposta do item (b) com a resposta do item (c) vemos que as
velocidades não são iguais.
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e) Se traçarmos uma reta tangente em diferentes pontos do gráfico,
veremos que a inclinação dessa reta cresce com o tempo, logo, a
velocidade aumenta sempre. Logo, a aceleração é sempre positiva.
Questão 4
O movimento de certa partícula é descrito pela equação x(t) =
3 + 2t2 − 5t3. (a) Determine os intervalos de tempo nos quais
a velocidade é positiva e negativa. (b) Faça o mesmo para a
aceleração.
Solução
a) A equação horária da velocidade pode ser encontrada derivando-
se a equação horária da posição:
v(t) =
dx(t)
dt
= 4t− 15t2.
A equação acima é uma parábola com concavidade para baixo, cu-
jos zeros são 0 e 4/15 s. Logo a velocidade é positiva quando
0 < t < 4/15 s e negativa para t < 0 s e 4/15 s < t.
b) A equação horária da aceleração pode ser encontrada derivando-
se a equação horária da velocidade:
a(t) =
dv(t)
dt
= 4− 30t.
Essa é uma reta inclinada para baixo que cruza o eixo dos x em
2/15 s. Logo a aceleração é positiva para t < 2/15 s e negativa para
2/15 s < t.
Questão 5
Utilizando a equação horária da questão anterior, (a) deter-
mine a aceleração média entre os instantes 1,0 s e 2,0 s. (b)
Encontre a aceleração instantânea em t = 1, 5 s.
Solução
a) Usando e equação horária para a velocidade obtida na equação
anterior, encontramos a velocidade instantânea em t = 1 s e em t =
2 s.
v(1) = 4× 1− 15× 12 = −11 m/s
v(2) = 4× 2− 15× 22 = −52 m/s
A aceleração média é dada por
vmed =
∆v
∆t
=
v(2)− v(1)
2− 1 =
−52− (−11)
2− 1 = −41 m/s
2.
b) A aceleração instantânea também pode ser calculada a partir da
equação obtida na questão anterior.
a(1, 5) = 4− 30× 1, 5 = −41 m/s.
Questão 6
Um carro parte do repouso e atinge a velocidade de 41,4 km/h
após 10 segundos, durante os quais ele percorre 60 m. São
necessários mais 15 segundos para que o carro atinja a veloci-
dade de 72 km/h, 280 m à frente do ponto de partida. Calcule
a velocidade média e a aceleração média entre as posições 60
m e 280 m.
Solução
vmed =
∆x
∆t
=
280− 60
15
= 14, 7 m/s,
amed =
∆v
∆t
=
72/3, 6− 41, 4/3, 6
15
= 0, 567 m/s2.
Questão 7
Certa bola de tênis é lançada verticalmente contra o solo a 90
km/h. Após uma colisão que dura cerca 3,0 ms, a bola sobe
até atingir a altura máxima de 25 m. Desprezando o efeito do
atrito com o ar, calcule a aceleração da bola durante a colisão.
Solução
Antes da colisão com o solo, a velocidade da bola é de 90/3,6 = 25
m/s. A partir da altura máxima, é possível concluir que a velocidade
da bola imediatamente após a colisão é:
v =
√
2gh =
√
2× 9, 82× 25 = 22, 2 m/s.
Tomando como positiva a velocidade para cima, a aceleração média
durante a colisão pode ser calculada como
amed =
∆v
∆t
=
22, 2− (−25)
3× 10−3 = 15 733 m/s.
Questão 8
Considere que, para não causar muito desconforto a seus ocu-
pantes, um carro não deva ser freado com aceleração de módulo
maior que 0,3 g. Imagine também que o tempo transcorrido
entre o instante em que o motorista vê o sinal amarelo e o o
momento em que pisa no freio é de cerca de 1 s. Se veloci-
dade máxima em determinada via é de 60 km/h, por quanto
tempo o sinal deve ficar amarelo de forma que nenhum mo-
torista tenha que frear o carro com aceleração superior a 0,3 g
para não passar no sinal vermelho?
Solução
O tempo necessário para parar, com aceleração constante de −0, 3
g, um carro que se desloca com 60 km/h (16,7 m/s) é
amed =
∆v
∆t
⇒ ∆t = ∆v
amed
=
0− 16, 7
−0, 3× 9, 8 = 5, 68 s.
Somando-se esse intervalo de tempo ao tempo de reação do mo-
torista, será necessário que o sinal permaneça no amarelo por 6,68
s.
Questão 9
A figura abaixo é a velocidade de um carro durante um teste em
uma pista de provas. (a) Calcule, a partir do gráfico, a distân-
cia total percorrida pelo carro.(b) Trace o gráfico da aceleração
do carro entre os instantes 0 s e 50 s. Escreva as equações que
descrevem o movimento do carro entre os instantes (c) 0a, (d)
ab e (e) bc. (f) Qual a velocidade média do carro entre os
instantes 0 e 50 s?
Solução
a) Tomando t = 15 s e t = 40 s e vx = 50 m/s como os vértices
superiores do trapézio formado pela curva da velocidade e pelo eixo
horizontal, a área do trapézio, que é igual ao deslocamento, é
∆x = área = 50
50 + 25
2
= 1 875 m
c) A reta que passa pelos pontos v(0) = 0 e v(15) = 50 m/s é
v(t) =
50
15
t.
Universidade de Brasília - Física 1 - Segunda Lista de Exercícios
d) A reta horizontal entre a e b é dada por
v(t) = 50 m/s.
e) A reta que passa pelos pontos v(40) = 50 m/s e v(50) = 0 é
v(t) =
−50
10
t + 250.
f)
vmed =
∆x
∆t
=
1 875
50
= 37, 5 m/s.
Questão 10
O gráfico a seguir mostra a aceleração em função do tempo para
uma partícula quese move ao longo de um eixo x. A escala
vertical é definida por as = 12 m/s
2. No instante t = −2, 0s
a velocidade da partícula é 7,0 m/s. Qual é a velocidade da
partícula no instante 6,0 s.
Solução
A reta mostrada no gráfico é descrita pela equação
a(t) = 8− 2t.
A variação na velocidade é igual à área entre a curva e o eixo hor-
izontal, considerada negativa quando a curva está abaixo do eixo.
Essa pode ser obtida do gráfico ou calculada por meio da integral
como mostrado abaixo:
∆v =
∫ 6 s
−2 s
a(t)dt =
∫ 6 s
−2 s
(8− 2t)dt = [8t− t2]6 s−2 s
∆v = 8× 6− 62 − [8× (−2)− (−2)2] = 32 m/s
v(6 s) = v(−2 s) + ∆v = 7 + 32 = 39 m/s
Questão 11
Na célebre corrida entre a lebre e a tartaruga, a velocidade da
lebre é de 30 km/h e a da tartaruga é de 1,5m/min. A distân-
cia a percorrer é de 600m, e a lebre corre durante 0,5min antes
de parar para uma soneca.Qual é a duração máxima da soneca
para que a lebre não perca a corrida? Resolva analiticamente.
Solução
Como o movimento é uniforme, usaremos apenas a equação que nos
fornece a distância percorrida em função do tempo:
∆x = v.t
O tempo total que cada um gasta para percorrer a distância ∆x é
dado por: tleb = ∆xvleb . e ttar =
∆x
vtar
Assim: tleb = 72s e ttar = 2, 4× 104s.
Para que a lebre não perca a corrida, seu tempo de percurso so-
mado com o tempo da soneca deve ser igual ao tempo de percurso
da tartaruga. Portanto:
tleb + tson = ttar e tson = 2, 393× 104s.
Questão 12
Um avião a jato de grande porte precisa atingir a velocidade
de 500km/h para decolar, e tem uma aceleração de 4m/s2.
Quanto tempo ele leva para decolar e que distância percorre na
pista até a decolagem?
Solução
Sabendo a velocidade inicial, a velocidade final e a aceleração, pode-
mos calcular a distância percorrida, usando a equação de Torricelli.
Assim:
v2 = V 2o + 2a∆x
Substituindo os valores temos: ∆x = 2, 41km.
Conhecendo a velocidade inicial, a velocidade final e a aceleração,
podemos também calcular o tempo de decolagem, usando a equação
de movimento, isto é:
v = v0 + a.t
Substituindo os valores temos: ∆t = 34, 7s.
Questão 13
Uma partícula, inicialmente em repouso na origem, move-se
durante 10s em linha reta, com aceleração crescente segundo a
lei a = bt, onde t é o tempo e b = 0, 5m/s2. Trace os gráficos da
velocidade v e da posição x da partícula em função do tempo.
Qual é a expressão analítica de v(t)?
Solução
Sabendo a expressão da aceleração e partindo da definição de aceler-
ação, a(t) = d
dt
v(t), integrando esta equação obtemos, v(t)− v(0) =∫ t
0
a(t)dt sendo v(0) = 0 temos v(t) =
∫
d.tdt assim: v(t) = 1
2
bt2.
E seu gráfico é
Questão 14
Numa rodovia de mão dupla, um carro encontra-se 15m atrás
de um caminhão (distância entre pontos médios), ambos trafe-
gando a 80km/h. O carro tem uma aceleração máxima de
3m/s2. O motorista deseja ultrapassar o caminhão e voltar
para sua mão 15m adiante do caminhão. No momento em que
começa a ultrapassagem, avista um carro que vem vindo em
sentido oposto, também a 80km/h. A que distância mínima
precisa estar do outro carro para que a ultrapassagem seja se-
gura?
Universidade de Brasília - Física 1 - Segunda Lista de Exercícios
Solução
A posição de cada carro no instante t é:
x1(t) = x01 + v01 +
1
2
a1t
2, x2 = xmin + v2t, xc(t) = x0c + vct, onde
xmin = x é a distância mínima entre os carros, apenas o carro 1 tem
aceleração e a origem do sistema está na posição inicial do carro 1.
Usando as condições de ultrapassagem temos: x1(t) = xc(t) + 15cm
sendo assim t = 4, 472s. Sendo a posição final igual para os dois
carros temos:
x1(t) = x2(t) assim substituindo os valores encontramos xmin =
228, 8m.
Questão 15
Um carro de corridas pode ser acelerado de 0 a 100km/h em 4s.
Compare a aceleração média com a aceleração da gravidade.
Se a aceleração é constante, que distância o carro percorre até
atingir 100km/h?
Solução
Se am = ∆v∆t , am =
(v−v0)
∆t
substituindo os valores temos am =
6, 9m/s2 e se g = 9, 8m/s2, então am
g
= 0, 71 ou seja, am = 0, 71g.
Durante o tempo em que foi acelerado de 0 a 100km/h. O carro per-
correu um distância dada por ∆x = 1
2
am(∆t)
2, logo ∆x = 55, 6m.
Questão 16
Um motorista percorre 10km a 40km/h, os 10km seguintes a
80km/h mais 10km a 30km/h. Qual é a velocidade média do
seu percurso? Compare-a com a média aritmética da veloci-
dades.
Solução
Temos três tempos um para cada percurso, a soma é o tempo total
da corrida, para encontrar o tempo usamos vm = ∆x∆t , assim:
∆t = 0, 708hr da mesma forma para o deslocamento que somado é
∆x = 30km jogando na formula da velocidade média encontramos
vm = 42, 2
km
h
.
Por outro lado, a média das velocidades é obtida calculando-se a
média aritmética das três velocidades. Assim,
vMA = (v1 + v2 + v3)/3
vMA = 50km/h
O que demonstra que estas duas quantidades em geral são diferentes.
Questão 17
A posição de uma partícula que se move ao longo do eixo x é
dada em centímetros por x = 9, 75 + 1, 50t3, onde t está em
segundos e x em centímetros. Calcule a velocidade instantânea
em t = 2, 00s.
Solução
Para velocidade média temos vm = ∆x/∆t substituindo os tem-
pos em na equação de x e depois na da velocidade encontramos
vm = 28, 5cm/s.
Para velocidade instantânea temos v = dx/dt derivando temos
v = 4, 5t2 substituindo t = 2 encontramos v = 18, 0cm/s.
Questão 18
Dois trens, cada um com velocidade de 30km/h, trafegam em
sentidos opostos sobre uma mesma linha férrea retilínea. Um
pássaro que consegue voar a 60km/h voa a partir da frente de
um dos trens, quando eles estão separados por 60km, direta-
mente em direção ao outro trem. Alcançando o outro trem,
o pássaro imediatamente voa de volta ao primeiro trem e as-
sim por diante. (Não temos a menos idéia por que o pássaro
comporta-se dessa maneira.) Qual é a distância total que o
pássaro percorre até os trens colidirem?
Solução
Sendo que a distância entre os trens diminui a uma taxa constante
de 60km/h o tempo para ocorrer a colisão é de t = 60km
(60km/h)
t = 1h.
Durante este tempo, o pássaro percorre x = vt = 60km
h
1h = 60km.
Questão 19
Você tem que dirigir em uma via expressa para participar de
uma entrevista em outra cidade, distante 300km. A entrevista
é às 11 : 15h da manhã. Você planeja dirifir a 100km/h, e
assim parte às 08 : 00h da manhã de modo a ter algum tempo
extra. Você dirige com a velocidade planejada os primeiros
100km, mas então trabalhos de reparo na rodovia abrigam você
a reduzir para 40km/h por 40km. Qual deve ser a velocidade
mínima que você deve desenvolver no restante da viagem para
chegar a tempo para a entrevista?
Solução
Os valores utilizados no problema se torna mais fácil de ver que no
primeiro trecho da viagem gastou-se 1h e no segundo trecho também
gastou-se 1h. Na forma decimal o tempo que ainda resta é 1, 25h e
a distância é 160km. Assim v = 160/1, 25 = 128km/h.
Questão 20
Em um certo instante de tempo, uma partícula tinha uma ve-
locidade de 18m/s no sentido positivo de x, e 2, 4s depois sua
velocidade era 30m/s no sentido oposto. Qual é a aceleração
média da partícula durante este intervalo de 2, 4s?
Solução
Utilizando a equação da aceleração média temos que amed =
(−30)−(+18)
2,4
= −20m/s2.
Universidade de Brasília - Física 1 - Segunda Lista de Exercícios
Universidade de Brasília
Instituto de Física
Terceira Lista de Exercícios de Física I
Questão 1
Um avião de transporte segue a rota indicada na figura.
Primeiramente ele voa, a partir da origem do sistema de co-
ordenadas mostrado, para uma cidade localizada a 175km na
direção 30.0o nordeste. Em seguida, ele voa 153km a 20.0o
noroeste para a cidade B. Finalmente o avião voa 195km a
oeste para a cidade C. Encontre o local da cidade C relativo à
origem.
Solução
Seguindo o sistema de coordenadas e os vetoresmostrado na figura
temos:
ax = acos(30.0
o) = (175km)(0.866) = 152km
ay = asen(30.0
o) = (175km)(0.500) = 87.5km
analogamente para os vetores b e c:
bx = bcos(110.0
o) = −52.3km
by = bsen(110.0
o) = 144km
cx = ccos(180.0
o) = −52.3km
cy = csen(180.0
o) = 0
somando as componente:
Rx = ax + bx + cx = 152km− 52.3km− 195km
Rx = −95.3km
Ry = ay + by + cy = 87.5km+ 144km+ 0
Rx = 232km
assim: R = (−95.3i+ 232j)km
Questão 2
Uma pessoa anda ao longo de uma trajetória circular de raio
de 5, 00m. Suponha que a pessoa caminhe somente metade
do círculo. Encontre: (a) a magnitude do vetor deslocamento
e (b) o quanto a pessoa andou. (c) Qual é a magnitude do
deslocamento, se a pessoa andar por todo o círculo?
Solução
a) |d| = |−10, 0i| = 10, 0m uma vez que o deslocamento é uma linha
reta do ponto A ao ponto B.
b) A distância real não é igual ao deslocamento em linha reta.
O quanto a pessoa andou segue a trajetória curva do semi-círculo
(ACB).
s =
1
2
(2pir) = 5pi = 15, 7m
c) Se a pessoa andar todo o círculo, então d começa e termina no
ponto A. Assim, |d| = 0
Questão 3
O vetro A tem magnitude de 8, 00 unidades e faz um ângulo
de 45, 0o com o eixo x positivo. O vetor B também tem magni-
tude de 8, 00 unidades e é dirigido ao longo do eixo x negativo.
Usando métodos gráficos, encontre: (a) o vetor soma A + B
e (b) o vetor diferença B−A
Solução
(a) Usando o método gráfico, coloque o fim do vetor B na ponta do
vetor A. O novo vetor soma terá magnitude 6, 1 a 112o do eixo x.
(b) O vetor diferença é encontrado colocando o negativo do vetor B
na ponta do vetor A. O vetor diferença tem magnitude de 14, 8 a
22o do eixo x.
Questão 4
Em notação de vetores unitários, (a) determine a soma dos ve-
tores: a = 4i−3j e b = −3i+2j. (b) Qual o módulo e a direção
de a+ b?
Solução
(a)Em notação vetorial o para determinar a soma de vetores basta
somar suas componentes. Assim sendo s = a + b, sx = ax + bx =
4− 3 = 1 e sy = ay + by = −3 + 2 = −1. Portanto s = i− j
(b)O módulo do vetor
s =
√
s2x + s2y =
√
(ax + bx)2 + (ay + by)2
substituindo valores, s =
√
2. A direção é dada por
tgφ =
sy
sx
=
ay + by
ax + ay
substituindo os valores e isolando o ângulo: φ = 45o
Questão 5
Dois vetores são dados por a = 4i− 3j+ k e b = −i+ j+ 4k.
Encontre (a) a+b. (b) a−b e um vetor c tal que a−b+c = 0
Solução
Questão 6
Dados dois vetores a = 4i−3j e b = 6i+8j encontre os módulos
e direções (Com relação ao eixo x ) de (a) a, (b) b, (c) a - b e
(d) b - a.
Solução
Questão 7
Use a definição de produto escalar e a propriedade a · b =
axbx + ayby + azbz para calcular o ângulo entre os dois vetores
a = 3i+ 3j+ 3k e b = 2i+ j+ 3k
Universidade de Brasília - Física 1 - Terceira Lista de Exercícios
Solução
Questão 8
Dois vetores de módulos a e b formam o ângulo θ entre si
quando têm origem comum. Prove, tomando componentes ao
longo de dois eixos perpendiculares, que o módulo de sua soma
é
r =
√
a2 + b2 + 2abcosθ.
Solução
Questão 9
Um paralelepípedo tem dimensões a, b, e c como mostrado na
figura. (a) Obtenha a expressão para o vetor diagonal de face
R1. (b) Determine a magnitude deste vetor. (c) Obtenha a
expressão para o vetor diagonal do corpo R2. (d) Prove que a
magnitude do vetor R2 é
√
a2 + b2 + c2.
Solução
Pela figura, R1 = ai+ bj. |R|1 =
√
a2 + b2.
R2 = ai+ bj+ ck
cuja magnitude é √
|R1|2 + c2 =
√
a2 + b2 + c2
Questão 10
Em geral, a posição instantânea de um objeto é especificado
pelo seu vetor posição P, que sai de uma origem fixa para
a localização do objeto. Suponha que para um determinado
objeto o vetor posição seja uma função do tempo, dada por
P = 4i+ 3j − 2tj, onde P é dado em metros e t em segundos.
Determine dPdt . O que essa grandeza representa?
Solução
dP
dt
=
d(4i+ 3j− 2tj)
dt
= 0 + 0− 2j = −(2, 00m/s)j
O vetor posição em t = 0 é 4i+ 3j. Em t = 1 é 4i+ 1j e assim por
diante. O objeto move-se em trajetória descendente à 2m/s.
dP
dt
representa o vetor velocidade.
Questão 11
Mostre que a×b pode ser expresso por um determinante 3× 3
como
a× b =
∣∣∣∣∣∣
i j k
ax ay ak
bx by bk
∣∣∣∣∣∣ .
Solução
Questão 12
Na figura abaixo, uma máquina pesada foi erguida com o aux-
ilio de uma rampa inclinada de um ângulo θ = 20, 0o, onde a
máquina deslizou ao longo de uma distância d = 12, 5m. (a)
De quanto a máquina foi erguida verticalmente? (b) De quanto
a máquina foi deslocada horizontalmente?
Solução
Por decomposição de vetores temos: (a) hy = d sin θ substituindo
os valores encontramos h = 4, 28m. (b) hx = d cos θ substituindo os
valores encontramos h = 11, 7m.
Questão 13
Dois vetores são dados por: ~a = 4, 0miˆ − 3, 0mjˆ + 1, 0mkˆ e
~b = −1, 0miˆ+1, 0mjˆ+4, 0mkˆ Em termos de vetores unitários,
encontre (a) ~a + ~b,(b) ~a − ~b e (c) um terceiro vetor ~c tal que
~a−~b+ ~c = 0.
Solução
(a)
~a+~b = (4 + (−1))ˆi+ (−3 + 1)jˆ + (1 + 4)kˆ
~a+~b = (3)ˆi+ (−2)jˆ + (5)kˆ
(b)
~a−~b = (4− (−1))ˆi+ (−3− 1)jˆ + (1− 4)kˆ
~a−~b = (5)ˆi+ (−4)jˆ + (−3)kˆ
c) ~b− ~a = ~c sendo assim ~c = (−5)ˆi+ (4)jˆ + (3)kˆ.
Questão 14
Em um jogo de xadrez de gramado, onde as peças são movidas
entre os centros de quadrados de 1, 00m de lado, um cavalo é
movido da seguinte forma: (i) dois quadrados para frente, um
quadrado para a direita; (ii) dois quadrados para a esquerda,
um quadrado para frente; (iii) dois quadrados para frente, um
quadrado para a esquerda. Qual o modulo do deslocamento
resultante do cavalo ao final da série de três movimentos?
Solução
Com iˆ direcionado para a frente e jˆ direcionado para a esquerda,
encontramos pela soma de vetores ~d = 5ˆi+ 2jˆ.
Questão 15
Na figura abaixo um cubo de lado a tem um de seus vér-
tices posicionado na origem de um sistema de coordenadas xyz.
Uma diagonal de centro é uma linha que vai de um vértice a
outro passando pelo centro. Em termos dos vetores unitários,
qual é a diagonal de centro que se estende a partir do vértice
de coordenada (a, 0, 0)?
Universidade de Brasília - Física 1 - Terceira Lista de Exercícios
Solução
Do ponto (a, 0, 0) com correspondente vetor posição aiˆ, o ponto dia
metricamente oposto é o ponto (0, a, a) com vetor posição ajˆ + akˆ.
Assim o vetor ao longo da linha é a diferença −aiˆ+ ajˆ + akˆ.
Questão 16
Um vetor ~A tem módulo igual a 6, 00 unidades, outro vetor ~B
tem módulo igual a 7, 00 unidades, e ~A · ~B vale 14, 0. Qual é o
ângulo entre eles?
Solução
Pela definição de produto vetorial temos : cos θ = ~A · ~B/AB substi-
tuindo os valores temos θ = 70, 5o.
Questão 17
Um vetor ~a de módulo igual a 10 unidades e um outro vetor ~b
de módulo igual a 6, 0 unidades diferem em sentidos por 60o.
Encontre o produto escalar dos dois vetores e o módulo do
produto vetorial ~a×~b.
Solução
O produto escalar dos dois vetores é ~a · ~b = ab cos θ =
10.6, 0. cos 60o = 30. A magnitude do produto vetorial dos dois
vetores é |~a×~b| = ab sin θ = 10.6, 0. sin 60o = 52.
Questão 18
Se ~d1− ~d2 = 5~d3, ~d1− ~d2 = 3~d3, ~d3 = 2ˆi+4jˆ, então, quais são,
em termos de vetores unitários, (a) ~d1 e (b) ~d2?
Solução
Resolvendo as equações simultâneas temos:
(a) ~d1 = 4~d3 = 8ˆi+ 16jˆ. (b) ~d2 = ~d3 = 2ˆi+ 4jˆ.
Questão 19
Um homem sai para caminhar, partindo da origem de um sis-
tema de coordenadas xyz, com o plano xy horizontal com o
eixo x para o leste. Carregando uma moeda sem valor, ele
caminha 1000m para o leste, 2000 para o norte, e então deixa
cair a moeda em um penhasco de 500m de altura. Em termos
de vetores unitários qual é o deslocamento da moeda do ponto
de partida ao ponto de aterrissagem?
Solução
Orientando iˆ ao leste, jˆ ao norte e kˆ. O deslocamento em metro é
consequentemente 1000ˆi+ 2000jˆ − 500kˆ.
Questão 20
Mostre que a área do triângulo contido entre ~a, ~b e a linha que
passa por suas extremidades na figura abaixo é 12 |~a×~b|.
SoluçãoA área de um triangulo é o produto de sua base e altitude. A base
é formada pelo vetor ~a. Enquanto que a altitude é b sin θ e área é
A = 1
2
ab sin θ = 1
2
|~a×~b|.
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Instituto de Física
Quarta Lista de Exercícios de Física 1
Questão 1
Um barco está navegando contra a correnteza de um rio, no
sentido positivo de um eixo x a 15km/h em relação à água
do rio. A água do rio está correndo a 8, 0km/h em relação à
margem. Uma criança dentro do barco caminha da parte de
trás para a parte da frente da embarcação a 4, 0km/h em re-
lação à embarcação. Calcule: (a) o módulo e a orientação da
velocidade do barco em relação à margem e (b) o módulo e a
orientação da velocidade da criança em relaç ao à margem.
Solução
(a) Vb/m = Vb/a + Va/m Vb/m = 15− 8 Vb/m = 7km/h
(b) Vc/m = Vc/b + Vb/m Vc/m = 4 + 7 = 11km/h
Questão 2
Uma pedra é arremessada do ponto P com uma velocidade
de 10m/s numa direção que forma um ângulo 45o com a ho-
rizontal, atingindo o ponto Q conforme indicado no esquema.
Considerando que a resistência do ar é desprezível, a distância
d indicada no esquema, em metros, é um valor mais próximo
de: (a) 2, 4 (b) 7, 1 (c) 12 (d) 14 (e) 24
Solução
Sendo um movimento bidimensional, é conveniente decompor em
duas direções: vertical (Y ) e horizontal (X). Na direção Y , temos
um MRUV com as seguintes equações:
y = yo + voyt+
1
2
at2
y = yo + vo. sin(θ)t+
1
2
at2
com a = g = −10m/s2, temos
y = 2, 5 + 10. sin(45o).t− 1
2
.10.t2
y = 2, 5 + 7, 07.t− 5.t2
Para determinar qual o instante t em que a pedra chega ao solo,
basta fazer y = 0. Então
y = 2, 5 + 7, 07.t− 5.t2
0 = 2, 5 + 7, 07.t− 5.t2
5.t2 − 7, 07.t− 2, 5 = 0
t = 1, 707s
O deslocamento horizontal (d na figura), nada mais é que o deslo-
camento na direção x (em MRU) durante t = 1, 707s, logo:
∆x = vx.∆t
∆x = vo. cos(θ).∆t
∆x = 10. cos(45o).1, 707
∆x = 12, 07m
Resposta: (c)
Questão 3
A função horária da velocidade de um carro é dada por vx(t) =
a + b.t2, onde a = 3m/s2 e b = 0, 1m/s3. Calcule (a) a ace-
leração média no intervalo de tempo t = 0s até t = 5s, (b) a
aceleração instantânea para t = 0s e t = 5s e (c) desenhe o
gráfico da velocidade em função do tempo e da aceleração em
função do tempo entre t = 0s e t = 5s
Solução
Substituindo t na função, encontramos que vx(5) = 5, 5m/s e
vx(0) = 3m/s e em seguida substituindo na expressão de aceleração
média, encontramos que
am =
v(5)− v(0)
5− 0 = 0, 5m/s
2
e
ax(t) =
dv(t)
dt
= 0, 2t = 1m/s2
para t = 5s, e para t = 0s temos que
ax(0) = 0s
Questão 4
Um pósitron sofre um deslocamento ∆~r = 2, 0ˆi− 3, 0jˆ+ 6, 0kˆ e
termina com o vetor posição ~r = 3, 0jˆ − 4, 0kˆ, em metros, qual
era o vetor posição inicial do pósitron?
Solução
Definimos o vetor deslocamento como sendo a diferença entre o vetor
final e o vetor inicial, podendo, também, analisar cada eixo separa-
damente. Vamos analisar o vetor como um todo. Sendo assim,
temos:
∆~r = ~rf − ~ri
2, 0ˆi− 3, 0jˆ + 6, 0kˆ = 3, 0jˆ − 4, 0kˆ − ~ri
~ri = 3, 0jˆ − 4, 0kˆ − 2, 0ˆi+ 3, 0jˆ − 6, 0kˆ
~ri = (−2, 0ˆi+ 6, 0jˆ − 10, 0kˆ)m
Questão 5
Um homem corre sobre uma esteira rolante levando 2, 5s para ir
de uma extremidade à outra. Quando chega ao final da esteira,
o homem decide voltar ao ponto de partida, levando 10, 0s para
efetuar o mesmo descolcamento. Qual é a razão entre a veloci-
dade do homem em relação à esteira e a velocidade da esteira
em relação ao solo?
Solução
Considerando L o comprimento da esteira, temos: Vh/s =
L
∆t
. Para
a ida, teremos: Vi =
L
2,5
e para a volta: Vv =
L
10
. Assim, temos
que:
L = 2, 5V i
e,
L = 10.Vx
Como na ida o tempo de deslocamento é o de menos, percebemos
que o sentido da velocidade da esteira é, nesse caso, o mesmo da
velocidade do homem. Na volta ocorre o inverso, portanto:
Universidade de Brasília - Física 1 - Quarta Lista de Exercícios
Vi = Vh/e + Ve/s e Vv = Vh/e − Ve/s
Logo,
2, 5.(Vh/e + Ve/s) = 10.(Vh/e − Ve/s)
−3.Vh/e = −5.V e/s
Vh/e
Ve/s
=
5
3
Questão 6
Uma pedrinha A é abandonada (voA = 0) de um ponto situado
a uma altura h do solo. No mesmo instante, outra pedrinha B
é lançada horizontalmente da mesma altura h e com velocidade
voB . Considere TA e TB os instantes em que as pedrinhas atin-
gem o solo. Despreze a resistência do ar e considere g constante.
I) Pode-se afirmar que:
(a) TA = TB , (b) TA > TB ou (c) TA < TB
Solução
No lançamento horizontal, o movimento da componente vertical é
uma queda livre. Logo
TA = TB
Resposta: (a)
II) Sejam vA e vB as velocidades com que A e B atingem o
solo. Pode-se afirmar que:
(a) vA = vB , (b) vA > vB ou (c) vA < vB
Solução
De vB = 2
√
v2x + v2y e sendo vx = vA, resulta: vB > vA.
Resposta: (c)
Questão 7
Um carro é parado no semáforo, a função horária dele é
x(t) = bt2 − ct3, onde b = 2, 4m/s2 e c = 0, 12m/s2. Cal-
cule (a) a velocidade média do carro para o intervalo de tempo
de 0s a 10s, (b) a velocidade instantânea em 0, 5s e em 10s.
(c) Depois de quanto tempo o carro irá parar novamente?
Solução
Substituindo os valores de t na função do espaço, encontramos que:
x(o) = 0m e x(10) = 10m
Usando a fórmula da velocidade média Vm =
Vf−Vi
tf−ti encontramos
que a velocidade média é igual a 12m/s. A velocidade instantânea
é dada por:
v(t) =
dx(t)
dt
= 2bt− 3ct2
Substituindo os valores de t encontramos que v(0) = 0m/s; v(5) =
15m/s; v(10) = 12m/s. Para descobrir quando o carro irá parar no-
vamente, é só encontrarmos quando a velocidade será igual a zero,
ou seja, as raízes da equação v(t) = 2bt− 3ct2, que são 0 e 13, 3s.
Questão 8
O vetor posição do elétron é ~r = (5, 0m)ˆi− (3, 0m)jˆ+(2, 0m)kˆ.
Determine o módulo de ~r.
Solução
Sabese que o módulo de um vetor no plano xy é dado pela fórmula
r = sqrt((componentex)2 + (componentey)2), mas como calcular o
módulo de um vetor tridimensional? É simples, basta usarmos a
mesma fórmula, porém com as três componentes:
r = sqrt((componentex)2 + (componentey)2 + (componentez)2)
Temos então,
r = sqrt((5)2 + (−3)2 + (2)2) = sqrt(38) ≈ 6, 2m
Questão 9
Um rio flui ao sul a 2, 0m/s. Um homem cruza o rio no sentido
oeste-leste em uma lancha com velocidade relativa à água de
4, 2m/s. O rio tem 800m de largura. Responda (a) que velo-
cidade (módulo e direção) a lancha tem em relação à Terra?
(b) Quanto tempo ela leva para cruzar o rio? (c) A que dis-
tância ao sul de seu ponto de partida a lancha chegará a outra
margem?
Solução
(a) Fazendo o diagrama das velocidades, perdecebos que podemos
relacioná-las pelo Teorema de Pitágoras da seguinte maneira:
(Vl/t)
2 = (Vl/r)
2 + (Vr/t)
2
Vl/t = sqrt((2)
2 + (4, 2)2) = 4, 7m/s
Para descobrir o ângulo, podemos aplicar a tangente
arc tg(
Vr/t
Vl/r
) = α
arc tg(
2
4, 2
) = α
α = 25, 5o
(b) Como a única velocidade na direção leste-oeste é a velocidade
da lancha em relação ao rio, temos:
(800m)
(4, 2m/s)
= 190, 5s
(c) Como a única velocidade na direção norte-sul é a da água em
relação à Terra, temos:
Universidade de Brasília - Física 1 - Quarta Lista de Exercícios
(2, 2m/s).(190, 5s) = 381m
Questão 10
Um Honda Civic viaja em linha reta ao longo de uma estrada.
O espaço percorrido é dado pela equação x(t) = at2−bt3, onde
a = 1, 5m/s2 e b = 0, 05m/s3. Calcule a velocidade média do
carro nos intervalos de tempo (a) 0 a 2s, (b) 0 a 4s e (c) 2 a 4s.
Solução
Substitindo os valores na função do espaço e depois na fórmula da
velocidade média, encontramos: (a) Vm = 2, 8m/s (b) Vm = 5, 2m/s
(c) Vm = 7, 6m/s
Questão 11
O vetor posição de um íon é inicialmente ~r = (5, 0m)ˆi −
(6, 0m)jˆ+(2, 0)kˆ e, 10 segundos depois,passa ser ~r = (2, 0m)ˆi+
(8, 0m)jˆ − (2, 0m)kˆ. Na notação de vetores unitários, qual é a
velocidade média ~v(med) durande os 10 segundos?
Solução
Velocidade média vetorial é definica como sendo o produto entre o
deslocamento e o tempo gasto neste deslocamento. Temos, então, o
seguinte:
~v(med) =
[2, 0ˆi+ 8, 0jˆ − 2, 0kˆ]m− [5, 0ˆi− 6, 0jˆ + 2, 0kˆ]m
10s
~v(med) =
[−3, 0ˆi+ 14, 0jˆ − 4, 0kˆ]m
10s
= [−0, 3ˆi+ 1, 4jˆ − 0, 4kˆ]m/s
Questão 12
Uma bolinha A é lançada horizontalmente de uma altura
h = 5m e atinge o solo a uma disctância D = 3m da verti-
cal de lançamento. Despreze a resistência do ar e considere
g = 10m/s2. (a)Calcule a velocidade vo de lançamento. (b)No
mesmo instante em que a bolinha A é lançada horizontalmente,
outra bolinha B é lançada verticalmente com velocidade 3vo.
Calcule a distância dAB entre as bolinhas A e B no instante em
que a bolinha A atinge o solo.
Solução
(a)
s =
g.t2
2
⇒ h = g.t
2
q
2
⇒=
√
2h
g
tq =
√
2.5
10
→ tq = 1s
D = vo.tq ⇒ 3 = vo.1⇒ vo = 3m/s
(b) Altura H atingida pela esfera B no instante t = 1s:
s = 3vo.t− gt
2
2
⇒ H = 3.3− 10.1
2
2
⇒ H = 4m
d2AB = D
2 +H2 = 32 + 42 ⇒ dAB = 5m
Questão 13
A frente de um avião aponta para o sul e o velocímetro indica
35m/s. Há um vento de 10m/s que sopra em direção ao su-
doeste em relação à Terra. (a) Desenhe um diagrama de soma
tetorial que mostra a relação de Va/t. (b) Se x está em dire-
ção ao leste e y ao norte, obtenha as componentes de Va/t. (c)
Obtenha o módulo e o sentido de Vv/t
Solução
(a)
Onde Vp/e = velocidadedoavioemrelaoTerra(Va/T ) Vp/a =
velocidadedoavioemrelaoaoar Va/e = velocidadedoaremrelaoTerra
(b) Como o sudoeste faz 45o com o sul, temos que a componente
no leste e no norte da velocidade do avião em relação à Terra serão
dadas por:
x : −(10m/s) cos 45 = −7, 1m/s
y : −(35m/s)− (10m/s) sin 45 = −42, 1m/s
(c) √
(−7, 1m/s)2 + (42, 1m/s)2 = 42, 7m/s
α = arc tg(
−42, 1
−7, 1 ) = 80
o, sudoeste.
Questão 14
Um ponto material em MCU, numa circunferência horizontal,
completa uma volta a cada 10s. Sabendo-se que o raio da cir-
cunferência é 5cm, calcule (a) o período e a frequência, (b) a
velocidade angluar, (c) a velocidade escalar e (d) o módulo da
aceleração centrípeta.
Solução
(a) Do enunciado, o período é: T = 10s A frequência é f = 1
T
⇒
f = 1
10
= 0, 1Hz
(b) A velocidade angular ω
ω = 2pif = 2.pi.0, 1 = 0, 2pirad/s
Universidade de Brasília - Física 1 - Quarta Lista de Exercícios
ω = 0, 2.3 = 0, 6rad/s
(c) A velocidade escalar
V = ωR⇒ V = 0, 6.5 = 3, 0cm/s
(d) O módulo da aceleração centrípeta
~acp = ω
2R
~acp = (0, 6)
2.5 = 1, 8cm/s2
Questão 15
Numa corrida de motos, uma moto correu as primeiras 10 mi-
lhas de um total d e20 milhas com a velocidade média de 8mi/h.
Qual deve ser a velocidade da moto nas próximas 10 milhas
para que a velocidade média total do percurso seja: (a) 4mi/h.
(b) 12mil/h. (c) Explique se é possível ou não que a velocidade
média do percurso seja de 16mil/h.
Solução
A velocidade média é a distância total percorrida dividida pelo
tempo gasto. A distância total percorrida é 20mi. Como a velo-
cidade média da primeira parte do percurso é 8mi/h, então o tempo
gasto é de
10mi
8mi/h
= 1, 25h. Com Uma velocidade média de 4mi/h
por 20mi, temos um tempo total de 5h. A segunda parte do per-
curso deve ser percorrida em 5h− 1, 25h = 3, 75h. Isto corresponde
a uma velocidade média de
10mi
3,75h
= 2, 7mi/h. Usando os mesmo
princípios do item anterior, encontramos que a velocidade média na
segunda aprte do percurso deve ser 24mi/h. Não é possível que a
velocidade média do percurso seja de 12mi/h, pois se for, a segunda
parte do trecho seria percorrida em 0h, o que sabemos que não é
possível.
Questão 16
Um trem com uma velocidade constante de 60, 0km/h se move
na direção leste por 40 minutos, depois em uma direção norte
por 20, 0 minutos, e finalmente, na direção oeste por mais 50, 0
minutos. Quais são (a) o módulo e (b) o ângulo da velocidade
média do trem durante essa viagem?
Solução
1o deslocamento:
Velocidade: 60, 0km/h; tempo: 2
3
h. Com isso, calculamos o deslo-
camento de 40km;
2o deslocamento:
Velocidade: 60, 0km/h a 50, 0o com direção norte. Tempo: 1
3
h.
Com isso, calculamos o deslocamento de 20km (com ângulo de
50, 0o);
3o deslocamento:
Velocidade: 60, 0km/h; tempo: 5
6
h. Com isso, calculamos o deslo-
camento de 50km;
Deslocamento total horizontal = 40 + 20. cos 40o − 50 = 5, 32;
Deslocamento total vertical = sin40o.20 = 12, 86;
A posição final do trem é (5,32; 12,86), que pode ser representada
por um vetor, sendo que seu módulo nos dá o deslocamento total;
Deslocamento total = 13, 92km.
Velocidade média = 13,9211
6
= 7.59km/h.
Ângulo da velocidade média = arc tg( ∆y
∆x
) = 22, 5o a leste do norte.
Questão 17
Um piloto deseja voar em direção ao oeste. Um vento de
80km/h sopra em direção ao sul. (a) Se a velocidade do avião
em relação ao ar é de 320km/h, qual a direção deve tomar o
piloto? (b) Qual a velocidade do avião em relação ao solo?
Solução
Onde vp/w é a velocidade do vento em relação ao solo. Vp/w é a
velocidade do avião em relação ao vento, e Vp/g é a velocidade do
avião em relação à Terra.
(a) A velocidade em relação ao vento do avião deve ter uma compo-
nente na direção norte que compense o vento na direção sul. Esta
componetne deve ser 80km/h e a direção:
α = arc sin(
80
320
) = 14o, aonoroeste.
(b) √
(320km/h)2 − (80km/h)2 = 310km/h
Questão 18
Segundo o modelo simplificado de Bohr, o elétron do átomo de
hidrogênio executa um movimento circular uniforme, de raio
igual a 5, 0x10−11m, em torno do próton, com período igual a
2x10−15s. Com o mesmo valor da velocidade orbital do átomo,
a distância, em km, que esse elétron percorreria o espaço livre,
em linha reta, durante 10 minutos, seria da ordem de: (a) 102
(b) 103 (c) 104 (d) 105
Solução
O deslocamento d no movimento retilíneo uniforme corresponde ao
produto entre a velocidade v e o tempo decorrido em segundos
∆t(10.60 = 600s)
A velocidade v no movimento uniforme corresponde à seguinte ra-
zão:
v =
2pir
T
=
2.3.5.10−11
2.10−13
≈ 1, 5.105m/s
Assim,
d = v∆t = 1, 5.105.600 = 0, 9.108m ≈ 105km
Resposta: (d)
Questão 19
A velocidade de um objeto é mensurada através da função
v(t) = a − bt2, onde a = 4m/s e b = 2m/s2. O objeto parte
da origem. (a) Calcule a posição e a aceleração do objeto em
função do tempo. (b) Qual o maior deslocamento positivo do
objeto em relação a origem?
Solução
Universidade de Brasília - Física 1 - Quarta Lista de Exercícios
Se integrarmos a função horária da velocidade, encontramos a fun-
ção do espaço, logo:
x(t) = 4t− 0, 667t3
a(t) = −4t
O valor máximo positivo de c(t) é quando V = 0 e a aceleração
a < 0 dada pela função a − bt2, resolvendo a equação encontramos
t = 1, 41s e substituindo na equação encontramos x(1, 41) = 3, 77m.
Questão 20
Um avião vai de São Paulo à Recife em 1 hora e 40 minutos.
A distância entre essas cidades é de aproximadamente 3000km.
Qual a velocidade média desenvolvida pelo avião?
Solução
Apenas para fixar: velocidade média é definida como sendo o pro-
duto entre o deslocamento e o tempo gasto neste deslocamento.
~vmed =
3000
1, 7
= 4500, 0km.h
Universidade de Brasília - Física 1 - Quarta Lista de Exercícios
Universidade de Brasília
Instituto de Física
Quarta Lista de Exercícios de Física I
Questão 1
A posição ~r de uma partícula que se move no plano xy é dada
por ~r = (2t3 − 5t)ˆi+ (6− 7t4)jˆ. Aqui ~r é dado em metros e t,
em segundos. Calcule: (a) ~r; (b) ~v e (c) ~a quando t = 2s.
Solução
(a) Em t = 2s a posição ~(r) da partícula é:
~r = [2× (2)3 − 5×(2)]ˆi+ [6− 7× (2)4]jˆ
~r = [16− 10]ˆi+ [6− 112]jˆ
~r = (6ˆi− 106jˆ)m
(b) A velocidade instantânea ~v é a primeira derivada de ~r em relação
ao tempo:
~v =
d~r
dt
=
d
dt
[(2t3 − 5t)ˆi+ (6− 7t4)jˆ]
~v = (6t2 − 5)ˆi− 28t3jˆ
Substituindo o valor de t = 2s:
~v = (6× 22 − 5)ˆi− 28× 23jˆ
~v = (19ˆi− 224jˆ)m/s
(c) A aceleração instantânea ~a é a primeira derivada de ~v em relação
ao tempo:
~a =
d~v
dt
=
d
dt
[(6t2 − 5)ˆi+−28t3)jˆ]
~a = 12tˆi− 84t2jˆ
Substituindo o valor de t = 2s:
~a = 12× 2ˆi− 84× 22jˆ
~a = (24ˆi− 336jˆ)m/s2
Questão 2
Um projétil é disparado com velocidade de 600m/s, num ân-
gulo de 60o com a horizontal. Calcule (a) o alcance horizontal,
(b)a altura máxima, (c) a velocidade e a altura 30s após o
disparo.
Solução
(a) Seja t = tA o instante em que o projétil atinje o ponto x = A. A
distância OA é chamada de alcance do projétil, Fazendo y(tA) = 0,
temos que:
y(t) = (v0 sin θ)t− 1
2
gt2
y(tA) = (v0 sin θ)t− 1
2
gt2 = 0→ (v0 sin θ − 1
2
gt)t = 0
Da expressão acima temos duas raízes, t = 0 e t = 2v0 sin θ
g
, que corre-
spondem às duas situações em que y = 0, uma no instante t = t0 = 0
e a outra ao atinjir o solo no ponto x = A, t = tA = 2v0 sin θg .
Sabendo que θ = 60o e g = 9, 8m/s2, então substituindo os valores
encontramos o valor de tA:
2× 600× sin 60o
9, 8
=
2× 600×
√
3
2
9, 8
≈ 106s
Para calcular o alcance usamos a expressão:
x(t) = (v0 cos θ)t
Agora substituimos o valor de ta em x(tA) = A, ou seja,
A = (v0 cos θ)tA = 600× cos 60o × 106 = 31800m = 31, 8km
(b) Da figura podemos ver que a altura máxima do projétil é no
instante de tempo tm = tA2 = 53s. Assim, y(tm) = ym, ou seja,
ym = (v0 sin θ)tm − 1
2
g(tm)
2
ym = 600×
√
3
2
× 53− 1
2
× 9, 8× 532 ≈ 13775, 5m
(c) Temos que ~v = vx iˆ+vy jˆ. Agora vamos calcular as componentes:
vx(t) = v0 cos θ
vx(30s) = v0 sin 60
o = 600× 0, 5 = 300m/s
vy(t) = v0 sin θ − gt
vy(30s) = v0 sin 60
o − gt
vy(30s) = 600×
√
3
2
− 9, 8× 30 ≈ 225, 6m/s
Então temos que:
v =
√
v2x + v2y =
√
3002 + 225, 62 ≈ 375, 4m/s
A altura y(30s) vale:
y(30s) = 600× sin60o × 30− 1
2
× 9, 8× 302
y(30s) =≈ 11178m ≈ 11, 2km
Questão 3
Um canhão antitanque está localizado na borda de um platô a
60m acima de uma planície, como mostra a figura abaixo. A
equipe do canhão avista um tanque inimigo parado na planície
a uma distância horizontal de 2, 2km do canhão. No mesmo in-
stante a equipe do tanque avista o canhão e começa a se mover
em linha reta para longe deste, com aceleração de 0, 9m/s2.
Se o canhão antitanque dispara um projétil com velocidade de
saída igual a 240m/s, com um ângulo de elevação de 10o acima
da horizontal, quanto tempo a equipe do canhão deverá esperar
antes de atirar para que o projétil atinja o tanque?
Solução
Vamos chamar de (tp) o tempo que o projétil leva para atinjir o
solo da planície e (tt) o tempo que o tanque leva para chegar ao
local onde o projétil cai, que fica a uma distância horizontal (R) do
canhão. O tempo de espera será t = tt − tp.
Universidade de Brasília - Física 1 - Quarta Lista de Exercícios
Inicialmente vamos analisar somente o movimento do projétil. Em
x o projétil se move com velocidade constante:
x = x0 + vxt
R = 0 + v0 cos θtp
tp =
R
v0 cos θ
Em y o projétil se move conforme a expressão:
y − y0 = vy0t+ 1
2
ayt
2
0− h = v0 sin θtp − 1
2
gt2p
Substituindo os valores tp = Rv0 cos θ , h = 60m, θ = 10
o e
g = 9, 8m/s2 na equação acima, encontramos duas raízes R1 ≈
2306, 77m e R2 ≈ −296, 53m. Como R corresponde a uma co-
ordenada positiva no eixo x, então R = 2306, 77m. Em seguida,
substituímos este valor na expressão tp = Rv0 cos θ e encontramos
tp ≈ 9, 76s.
Agora vamos analisar o movimento do tanque. Em x o tanque se
move com velocidade constante:
x = x0 − vx0t+ 1
2
axt
2
R− d0 = 0 + 1
2
att
2
t
Sendo d0 = 2, 2km e ax = at = 0, 9m/s2, então:
tt =
√
2(R− d0)
at
≈ 15, 4038s
Portanto, o tempo de espera será:
t = tt − tp = 15, 4038− 9, 76 ≈ 5, 64s
Questão 4
Um menino gira uma pedra em uma circunferência localizada
em um plano horizontal a 2, 0m acima do solo por meio de um
fio de 1, 5m de comprimento. Suponha que o fio arrebente e a
pedra seja atirada horizontalmente, atinjindo o chão a 10m de
distância. Qual era a aceleração centrípeta da pedra enquanto
estava em movimento circular?
Solução
Considere a seguinte figura:
A análise do movimento na horizontal (eixo x):
x = x0 + vxt
d = 0 + vt
t =
d
v
A análise do movimento na vertical (eixo y):
y = y0 + vy0t+
1
2
at2
0 = h+ 0− 1
2
gt2
h =
1
2
gt2
Substituindo o valor de t = d
v
:
h =
1
2
g
d2
v2
v2 =
gd2
2h
A aceleração centrípeta é dada por:
ac =
v2
r
=
gd2
2rh
ac =
(9, 8)(10)2
2(1, 5)(2)
≈ 163, 33m/s2
Questão 5
Um avião voa horizontalmente a uma altitude de 1km com
a velocidade de 200km/h. Ele deixa cair uma bomba sobre
um navio que se move no mesmo sentido e com velocidade de
20km/h. (a) Calcule a distância horizontal entre o avião e o
navio, no instante do lançamento, para que este seja atinjido
pela bomba. (b) Resolva o mesmo problema para o caso em
que o avião e o navio terem movimentos em sentidos contrários.
Solução
(a) Considere a figura abaixo:
A bomba é deixada cair de um avião que voa a v = 200km/h =
56m/s. Portanto, a bomba é lançada horizontalmente (θ = 0o) com
velocidade inicial v0x = 56m/s e v0y = 0, ou seja, v0 = 56m/s.
Para atinjir o navio, a bomba deve ser lançada sobre o ponto O,
que está a uma distância horizontal d do navio (Fig 5 (a)). Observe
que A = d + xn, onde A é o alcance do projétil, xn é a distância
percorrida pelo navio desde o instante do lançamento da bomba e
d é a distância procurada. Mas, o tempo que o projétil leva para
percorrer a distância x = A é obtido fazendo y(t) = 0 para t = tA,
ou seja,
y(t) = y0 + (v0 sin θ)t− 1
2
gt2
0 = 1000− 4, 9t2 → t = ±14, 3s
Em tA = 14, 3s,
A = x(tA)→ A = (v0 cos 0o)tA
A = 56× 14, 3 = 800, 8m
No intervalo de tempo t = tA, o navio percorreu uma distância uma
distância xn dada por:
xn = vntA = 5, 6× 14, 3 = 80, 1m
onde vn = 20km/h = 5, 6m/s é a velocidade do navio. Portanto,
temos que
d = A− xn = 720, 7m
(b) Agora temos o caso em que o navio se move em sentido contrário
ao do avião (Fig 5(b)). Nesta figura observamos que d = A + xn.
Como os valores são os mesmos, encontramos
Universidade de Brasília - Física 1 - Quarta Lista de Exercícios
d = 800, 8 + 80, 1 = 880, 9m
Questão 6
A chuva cai verticalmente com uma velocidade constante de
8, 0m/s. (a) A que ângulo com a vertical e (b) com qual ve-
locidade as gotas de chuva caem para o motorista de um carro
viajando numa estrada reta a 50km/h?
Solução
Considere o seguinte esquema vetorial de velocidades, onde vc é a
velocidade do carro em relação ao solo, vg é a velocidade das gotas
de chuva em relação ao solo e vgc é a velocidade das gotas de chuva
em relação ao carro:
(a) Sendo vc = 50km/h = 13, 9m/s, o ângulo que a chuva faz com
a vertical é:
θ = tan−1 (
vc
vg
) = tan−1 (
13, 9
8
) ≈ 60o
(b) A velocidade escalar da chuva é dada por:
vgc =
√
v2c + v2g =
√
13, 92 + 82 ≈ 16, 03m/s
Questão 7
Um trem viaja em direção sul com uma velocidade de 30m/s
em relação ao solo, sob uma chuva que é soprada por um vento
também dirigido para o sul. A trajetória de cada gota de chuva
faz um ângulo de 22o com a vertical, medido por um observador
parado em relação à Terra. Um observador sentado no trem,
entretanto, vê que os traços perfeitamente verticais das gotas
de chuva na janela do trem. Determine a velocidade das gotas
da chuva em relação ao solo.
Solução
Considere o seguinte esquema vetorial de velocidades, onde vt =
30m/s é a velocidade do trem em relação à Terra,vg é a velocidade
das gotas de chuva em relação à Terra e vgt é a velocidade das gotas
de chuva em relação ao trem:
Temos que:
~vg = ~vt + ~vgt
onde ~vt = −vt iˆ e ~vgt = −vg cos θjˆ. Então, temos que:
~vg = −vt iˆ− vg cos θjˆ
Sendo vt = vg sin θ, temos que:
~vg = −vt iˆ− vt
tan θ
jˆ
Portanto o módulo de vg será dado por:
vg =
√
v2t + (
vt
tan θ
)2 ≈ 80, 1m/s
onde θ = 22o.
Questão 8
Calcule a velocidade angular de um disco que gira com movi-
mento uniforme de 13, 2rad em cada 6s. Em seguida, calcule
o período e a frequência do movimento. Lembre-se que a fre-
quência é definida como o inverso do período ν = 1T .
Solução
A velocidade angular do disco é dada por:
ω =
∆θ
∆t
=
13, 2
6
= 2, 2rad/s
O período do movimento é dado por:
T =
2pi
ω
=
2× 3, 14
2, 2
= 2, 9s
A frequência é definida como o inverso do período:
ν =
1
T
=
1
2, 9
= 0, 34Hz
Questão 9
Um pósitron sofre um deslocamento ∆~r = 2, 0ˆi− 3, 0jˆ + 6, 0kˆ,
terminando com o vetor posição ~r = 3, 0ˆi − 4, 0jˆ, em metros.
Qual era o vetor posição inicial do pósitron?
Solução
O vetor posição inicial satisfaz: ~r − ~r0 = ∆~r assim, ~r0 = ~r −∆~r =
−2, 0ˆi+6, 0jˆ−10kˆ, onde a unidade é compreendida estar em metros.
Questão 10
Uma partícula se move de tal forma que sua posição (em met-
ros) em função do tempo (em segundos) é ~r = iˆ + 4t2jˆ + tkˆ.
Escreva expressões para sua velocidade e sua aceleração em
função do tempo.
Solução
(a) ~v = d
dt
(ˆi+4t2jˆ+ tkˆ) = 8tjˆ+ kˆ em m/s. (b) ~a = d
dt
(8tjˆ+ kˆ) = 8jˆ
em m/s2.
Questão 11
Um carro é impulsionado sobre um plano xy com as compo-
nentes da aceleração iguais a ax = 4, 0m/s2 e ay = −2, 0m/s2.
Universidade de Brasília - Física 1 - Quarta Lista de Exercícios
Sua velocidade inicial tem componentes v0x = 8, 0m/s e v0y =
12m/s. Em notação de vetores unitários, qual é a velocidade
do carro quando ele alcança o maior valor da sua coordenada
y?
Solução
Encontrando t pela equação do movimento ao longo do eixo y (com
vy = 0 caracterizando y = ymax): 0 = (12m/s) + (−2, 0m/s2)t →
t = 6, 0s. Aplicando a equação do movimento ao longo do eixo
x determinamos vx = (8, 0m/s) + (4, 0m/s2)(6, 0s) = 32m/s. As-
sim a velocidade do carro quando ele alcança o maior valor de y é
(32m/s)ˆi.
Questão 12
Na figura abaixo, uma pedra é projetada sobre um rochedo
íngreme de altura h com uma velocidade inicial de 42, 0m/s
direcionada em um ângulo de 60o acima da horizontal. A pe-
dra cai em um ponto A, 5, 50s após o lançamento. Encontre
(a) a altura de h do rochedo, (b) a velocidade da pedra ime-
diatamente antes do impacto em A, e (c) a máxima altura H
alcançada acima do chão.
Solução
(a) Para y = h: h = h0 + v0 sin θ0t − 12gt2 substituindo os valores
dados no problema encontramos h = 51, 8m.
(b) O movimento horizontal é estável, assim vx = v0x = v0 cos θ0,
mas a componente da velocidade na vertical varia. Assim, a veloci-
dade de impacto é v =
√
(v0 cos θ0)2 + (v0 sin θ0 − gt)2 = 27, 4m/s.
(c) Com vy = 0 e y = H: H = (v0 sin θ0)
2
2g
= 67, 5m.
Questão 13
Uma bolsa em um raio de 200m e uma carteira em um raio
de 3, 00m deslocam-se em movimento circular uniforme sobre
o piso de um carrossel que gira. Elas estão sobre a mesma
linha radial. Em um certo instante, a aceleração da bolsa é
(2, 00m/s2)ˆi+ (4, 00m/s2)jˆ. Naquele instante, qual é a aceler-
ação da carteira em notação de vetores unitários?
Solução
Desde que o período do movimento circular uniforme é T = 2pir/v,
onde r é o raio e v é a velocidade, a aceleração pode ser es-
crita como a = v
2
r
= 1
r
( 2pir
T
)2 = 4pi
2r
T2
. Com base nesta ex-
pressão, comparamos a magnitude da aceleração da carteira e da
bolsa, e encontramos sua relação entre os valores de r. Portanto
acart = 1, 5abolsa. Assim i vetor aceleração da carteira é acart =
1, 5[(2, 00m/s2)ˆi+ (4, 00m/s2)jˆ] = (3, 00m/s2)ˆi+ (6, 00m/s2)jˆ.
Questão 14
Um homem suspeito corre o mais rápido que ele pode ao longo
de uma esteira rolante, levando 2, 5s para ir de uma extrem-
idade à outra. Então, um agente de segurança aparece e o
homem volta correndo o mais rápido que ele pode ao seu ponto
de partida, levando 10, 0s. Qual é a razão entre a velocidade
do homem e a velocidade da esteira?
Solução
Enquanto o movimento do homem tem a mesma direção do movi-
mento da esteira temos vesteira + vhomem = d/t1, quando o movi-
mento é contrario (o homem voltando) temos vesteira − vhomem =
−d/t2. Isolando a vesteira da primeira e substituindo na segunda en-
contramos vesteira em função de d/t1 e d/t2, fazendo a mesma coisa
para a vhomem e depois dividindo as duas velocidades encontramos
12, 5/7, 5 = 1, 67.
Questão 15
Você deve atirar uma bola com uma velocidade escalar de
12, 0m/s em um alvo que está numa altura h = 5, 00m acima
do nível do qual você lança a bola (figura abaixo). Você quer
que a velocidade da bola seja horizontal no instante em que ela
atinge o alvo. (a) Em que ângulo θ acima da horizontal você
deve atirar a bola? (b) Qual é a distância horizontal do ponto
de lançamento até o alvo? (c) Qual é o módulo da velocidade
da bola no exato momento em que ela atinge o alvo?
Solução
Desde que v2y = v20y − 2g∆y e vy = 0 para o alvo, obtemos
v0y =
√
2(9, 80)(5, 00) = 9, 90m/s.
(a) Sendo v0y = v0 sin θ0, substituindo o valor de v0 e v0y encon-
tramos θ0 = 55, 6o.
(b) Agora, vy = v0y − gt chegamos em t = 9, 90/9, 80 = 1, 01s.
Assim, ∆x = (v0 cos θ0)t = 6, 85m.
(c) A velocidade do alvo tem somente a componente vx, que é igual
a v0x = v0 cos θ0 = 6, 78m/s.
Questão 16
Suponha que uma sonda espacial passa suportar um esforço
correspondente a uma aceleração de 20g. (a) Qual o menor
raio da curva que tal sonda pode efetuar quando se move com
um décimo da velocidade da luz? (b) Quanto tempo ela levaria
para completar uma volta de 90o a essa velocidade?
Solução
(a) Com v = c/10 = 3 × 107m/s e a = 20g = 196m/s2, temos
r = v2/a = 4, 6× 1012m.
(b) O período é dado por T = 2pir
v
= 9, 6 × 105s. Assim, como o
tempo é 1/4, isto é, T/4 = 2, 4× 105s ou 2, 8 dias.
Questão 17
No tempo t = 0, você atira uma bola a partir de um penhasco;
a velocidade inicial tem módulo 15, 0m/s e está direcionada 20o
abaixo da horizontal. Em t = 2, 30s, qual é o deslocamento (a)
horizontal (para frente) e (b) vertical (para baixo) da bola?
Solução
(a) Substituindo os valores dados na equação ∆x = (v0 cos θ0)t =
32, 4m.
(b) E encontramos o deslocamento na vertical: ∆y = (v0 sin θ0)t −
1
2
gt2 = −37, 7m.
Questão 18
Um carro se desloca em uma pista circular plana com uma ve-
locidade escalar de 12m/s. Em um certo instante, o carro pos-
sui uma aceleração de 3m/s2 na direção leste. Quais são sua
Universidade de Brasília - Física 1 - Quarta Lista de Exercícios
distância do centro da pista circular e seu sentido se ele está se
deslocando no sentido horário e no sentido anti-horário?
Solução
A distância até o centro é o raio e para ambos os sentidos ele é o
mesmo, usando a = v2/r temos que r = 48m.
Questão 19
Qual a velocidade inicial que o jogador de basquete na figura
abaixo deve arremessar a bola, em um ângulo de 55o acima da
horizontal, para acertar o lance livre? As distâncias horizon-
tais são d1 = 1, 0p e d2 = 14ps, e as alturas são h1 = 7, 0ps e
h2 = 10ps. Calcule em ft/s.
Solução
Usando a equação da trajetória do movimento de um projétil:
y = (tan θ0)x− gx22(v0 cos θ0)2 , isolando v0 encontramos v0 = 23ft/s.
Questão 20
Um projétil é atirado horizontalmente de uma arma que está
45, 0m acima de um terreno plano, emergindo da arma com
uma velocidade de 250m/s. Por quanto tempo o projétil per-
manece no ar?
Solução
Se θ0 = 0 o tempo de vôo é t =
√
2h
g
= 3, 03s.
Universidade de Brasília - Física 1 - Quarta Lista de Exercícios
Universidade de Brasília
Institutode Física
Quinta Lista de Exercícios de Física I
Questão 1
Uma criança deixa cair, acidentalmente, uma garrafa de borda
de uma mesa. Não despreze a resistência do ar. Responda: (a)
Quais forças são exercidas sobre a garrafa quando ela está no
ar? (b) Qual é a reação de cada força e sobre quais corpos a
garrafa os exerce?
Solução
(a) Como a resistência do ar não é negligenciada, a força resultante
sobre a garrafa é a soma da força peso exercida pela terra mais a
força de resistência do ar.
(b) A garrafa exerce uma força vertical para cima sobre o centro da
Terra (reação à força gravitacional) e uma força vertical para baixo
sobre o ar (reação à resistência que o ar exerce sobre a garrafa).
Questão 2
Na superfícia de Io, uma lua de Júpiter, a aceleração devido à
gravidade é g = 1, 81m/s2. Uma cadeira pesa 44, 0N na su-
perfícia terrestre. Responda: (a) Qual é a massa da cadeira na
superfícia terrestre? (b) Qual a massa e seu peso na superfícia
de Io?
Solução
(a)
M =
P
g
⇒ (44, 0N)
(9, 80m/s)
= 4, 49kg
(b) A massa é a mesma (4, 49kg), pois independe de qualquer força
sendo aplicada sobre o corpo. O peso é
PIo = (4, 49kg).(1, 81m/s
2) = 8, 13N
Questão 3
Uma força de 3, 0N e outra de 4, 0N , perpendiculares, atuam
sobre uma massa de 10kg. Se o objeto parte do repouso, sua
velocidade, ao final de 4, 0s, em m/s, será:
Solução
F 2r = 3
2 + 42 ⇒ F 2r = 25⇒ Fr = 5N
Fr = m.a
Fr = 10.
∆v
∆t
5 = 10.
∆v
4
∆v = 2m/s , como vo = 0m/s, vf = 2m/s
Questão 4
Um automóvel em trajetória reta, tem massa 1, 512kg e uma
velocidade inicial de 60km/h. Quando os freios são acionados,
para produzir uma desaceleração constante, o carro para em
1, 2min. A força aplicada ao carro é igual, em newtons, a:
Solução
V = Vo + at
0 =
60
3, 6
+ a72
a = − 60
259, 2
Fr = m.a
Fr = 1512.
60
259, 2
Fr = 350N
Questão 5
Na figura a seguir, as forças
~F1 e ~F2 são aplicadas a uma caixa
que desliza com velocidade constante sobre uma superfícia sem
atrito. Diminuímos o ângulo θ sem mudar o módulo de ~F1.
Para manter a caixa deslizando com velocidade constante de-
vemos aumentar, diminuir ou manter inalterado o módulo de
~F2?
Solução
A componente de
~F1 que está afetando o movimento é seu ~F1x. Ao
diminuírmos o ângulo θ entre o eixo X e o vetor ~F1 estaremos au-
mentando o valor da sua componente no eixo X, portanto, devemos
aumentar o valor de
~F2, que atua somente no eixo X, para que não
haja aceleração no movimento, ou seja, a velocidade se mantenha
constante.
Questão 6
No instante t = 0, uma força ~F constante começa a atuar sobre
uma pedra que se move no espaço sideral no sentido positivo
do eixo X. Responda: (a) Para t > 0, quais são as possíveis
funções x(t) para a posição da pedra?
(1) x = 4t− 3
(2) x = −4t2 + 6t− 3
(3) x = 4t2 + 6t− 3
(b) Para que função
~F tem o sentido contrário ao do movimento
inicial da pedra?
Solução
(a) As possíveis opções são as funções (1) e (3), pois representam
um movimento no sentido positivo do eixo X, ao contrário da função
(2), que é a resposta do item (b). Para verificar a resposta, basta
substituírmos valores, tais que x > 0.
Universidade de Brasília - Física 1 - Quinta Lista de Exercícios
Questão 7
Um macaco de 10kg sobe em uma árvore por uma corda de
massa desprezível que passa por um galho sem atrito e está
presa na outra extremidade em uma caixa de 15kg, inicialmente
em repouso no solo.
(a) Qual é o módulo da menor aceleração que o macaco deve
ter para levantar a caixa do solo?
(b) Se após a caixa ter sido erguida o macaco para de subir e
se agarra à corda, qual é o módulo e a orientação da aceleração
do macaco?
Solução
(a) Como o peso do macaco é menor que o peso da caixa, ele deve
submeter a corda à uma força que a levante. Dessa maneira:
Pb = Pm + Fm;
na qual Pb = peso da caixa de bananas, Pm = peso do macaco, Fm =
força que o macaco exerce ao puxar a corda.
Desenvolvendo a equação acima, e sabendo que a é a aceleração que
o macaco imprime para levantar a caixa, temos:
mb.g = mm.g +mm.a
a =
(15.9, 8− 10.9, 8)
10
= 4, 9m/s2
(b) Quando o macaco para de puxar a corda, as únicas forças que te-
mos atuando são os pesos das caixas e as trações. A força resultante
no sistema será dada por:
FR = Pb − Pm = M.a , onde M é a massa do sistema.
Logo, a = Pb−Pm
M
= 2, 0m/s2. Inicialmente tomamos a hipótese
de que a força resultante estaria voltada para cima, pois o peso da
caixa é maior que o peso do macaco. Como o resultado foi posi-
tivo, confirmamos esta hipótese e percebemos que a aceleração está
orientada para cima.
Questão 8
Uma corredora olímpica pode largar com uma aceleração de
quase 15m/s2. Qual a força horizontal que uma atleta de 55kg
deve aplicar aos blocos de saída para produzir esta aceleração?
Que corpo exerce a força que impulsiona a corredora?
Solução
F = m.a = 55.15 = 825N
A força que impulsiona a corredora é exercida pelos blocos como
sendo a reação à força que as pernas da atleta aplicam sobre a su-
perfície.
Questão 9
Um corpo de massa 12kg é abandonado sobre um plano incli-
nado formando 30o com a horizontal. O coeficiente de atrito
dinâmico entre o bloco e o plano é 0,2. Qual é a aceleração do
bloco?
Solução
Em y:
F yr = N − Py = 0
N = m.g. cos θ
N = 12.10. cos 30o
N = 104N
Em x:
F xr = m.a
Px − Fat = m.a
m.g. sin θ − µ.m.g. cos θ = m.a
a = g.(sin θ − µ. cos θ)
a = 10.(0, 5− 0, 2.0, 86)
a = 10.0, 326
a = 3, 26m/s2
Questão 10
Qual a aceleração do sistema a seguir, sendo que o coeficiente
de atrito dinâmico do plano é igual a 0, 2?
Universidade de Brasília - Física 1 - Quinta Lista de Exercícios
Solução
Considerando cada bloco individualmente:
Para o primeiro bloco:
PM − T = M.a
Para o segundo bloco: Na vertical:
N − Pm. cos 30o =
N = Pm. cos 30
o
Na horizontal:
T − Fat − Pm. sin 30o = m.a
Podemos montar um sistema de equações e somá-lo{
PM − T = Ma;
T − Fat − Pm sin 30o = ma.
PM − Fat − Pm sin 30o = a(M +m)
PM − µPm. cos 30o − Pm sin 30o = a(M +m)
Mg − µmg cos 30o −mg sin 30o = a(M +m)
g(M − µm cos 30o −m sin 30o) = a(M +m)
g(M − µm cos 30o −m sin 30o)
M +m
= a
a =
10(10− 0, 2.5.0, 8− 5.0, 5)
10 + 5
a =
10.6, 6
15
=
66
15
= 4, 4m/s2
Questão 11
A figura abaixo mostra vistas superiores de quatro situações
nas quais forças situam sobre um bloco que está em um piso
sem atrito. Se os módulos das forças forem escolhidos apropri-
adamente, em que situações é possível que o bloco esteja (a)
em repouso e (b) se movendo com velocidade constante?
Solução
(a) Situações tais como as ilustradas por (2) e (4) podem sugerir
que o bloco esteja em repouso dependendo da escolha dos módulos
das forças, pois vemos em ambas as situações componentes vetoriais
que podem se candelar. (b) Em (1) e (3) tem componentes que não
tem como se cancelarem, podendo gerar assim um movimento com
velocidade constante.
Questão 12
Duas forças horizontais
~F1 = (3N )ˆi− (4N)jˆ e ~F1 = −(1N )ˆi−
(2N)jˆ puxam uma banana split no balcão sem atrito de uma
lanchonete. Sem usar uma calculadora, determine quais dos
vetores do diagrama de corpo livre da figura abaixo represen-
tam melhor (a)
~F1 e (b) ~F2. Qual é a componente da força
resultante ao longo (c) do eixo X e (d) do eixo Y? Para que
quadrantes os vetores (e) da força resultante e (f) da aceleração
da sobremesa apontam?
Solução
(a) O vetor 6. (b) O vetor 7. (c)/(d) Somando os vetores tem-se
que
~Fr = (3−1)ˆi+(−4−2)jˆ = 2ˆi−6jˆ (e)/(f) Ambos apontam para
a mesma direção, no 4o quadrante.
Questão 13
A força normal que o piso de um elevador exerce sobre um
passageiro que pesa 650N é de 620N . Quais são as reações