Medidas de Tendência Central

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Estatística Aplicada 
à Educação
Material Teórico
Responsável pelo Conteúdo:
Prof.ª Me. Maria Luisa Cervi Uzun
Revisão Textual:
Prof. Me. Luciano Vieira Francisco
Medidas de Tendência Central
• Introdução;
• Médias;
• Cálculo da Média, Moda e Mediana.
• Conhecer as medidas de tendência central: média, moda e mediana; medidas que aju-
dam na descrição de uma dada situação, complementando a distribuição de frequências.
OBJETIVO DE APRENDIZADO
Medidas de Tendência Central
Orientações de estudo
Para que o conteúdo desta Disciplina seja bem 
aproveitado e haja maior aplicabilidade na sua 
formação acadêmica e atuação profissional, siga 
algumas recomendações básicas: 
Assim:
Organize seus estudos de maneira que passem a fazer parte 
da sua rotina. Por exemplo, você poderá determinar um dia e 
horário fixos como seu “momento do estudo”;
Procure se alimentar e se hidratar quando for estudar; lembre-se de que uma 
alimentação saudável pode proporcionar melhor aproveitamento do estudo;
No material de cada Unidade, há leituras indicadas e, entre elas, artigos científicos, livros, vídeos 
e sites para aprofundar os conhecimentos adquiridos ao longo da Unidade. Além disso, você tam-
bém encontrará sugestões de conteúdo extra no item Material Complementar, que ampliarão sua 
interpretação e auxiliarão no pleno entendimento dos temas abordados;
Após o contato com o conteúdo proposto, participe dos debates mediados em fóruns de discus-
são, pois irão auxiliar a verificar o quanto você absorveu de conhecimento, além de propiciar o 
contato com seus colegas e tutores, o que se apresenta como rico espaço de troca de ideias e de 
aprendizagem.
Organize seus estudos de maneira que passem a fazer parte 
Mantenha o foco! 
Evite se distrair com 
as redes sociais.
Mantenha o foco! 
Evite se distrair com 
as redes sociais.
Determine um 
horário fixo 
para estudar.
Aproveite as 
indicações 
de Material 
Complementar.
Procure se alimentar e se hidratar quando for estudar; lembre-se de que uma 
Não se esqueça 
de se alimentar 
e de se manter 
hidratado.
Aproveite as 
Conserve seu 
material e local de 
estudos sempre 
organizados.
Procure manter 
contato com seus 
colegas e tutores 
para trocar ideias! 
Isso amplia a 
aprendizagem.
Seja original! 
Nunca plagie 
trabalhos.
UNIDADE Medidas de Tendência Central
Introdução
Há várias medidas de tendência central, mas abordaremos aquelas que são mais 
significativas: média, mediana e moda.
As medidas de tendência central procuram instituir números em relação a um 
valor central, pois representam os fenômenos pelos seus valores médios, em torno 
dos quais tendem a concentrar os dados.
Essas medidas apoiam a distribuição de frequências – abordada na Unidade an-
terior – para descrever uma situação-problema.
Médias
Média Aritmética Ponderada
O cálculo da média aritmética ponderada deve levar em conta esta importância 
relativa ou peso relativo. Exemplo: João tirou nota 2 no primeiro bimestre, 5 no 
segundo bimestre, 8 no terceiro bimestre e 9 no quarto bimestre, sendo que no 
primeiro bimestre o peso é 2, no segundo bimestre o peso é 3, no terceiro bimestre 
o peso é 2 e no quarto bimestre o peso é 3; calcule a média aritmética ponderada 
de João:
x
xi pi
pi
x x x x2 2 5 3 8 2 9 3
2 3 2 3
62
10
6 2,
PesosNotas
Somatório
Símbolo 
da média
Figura 1
Média Aritmética Simples 
É a média mais utilizada, pois faz parte de nosso cotidiano. É calculada so-
mando-se todos os valores do conjunto e dividindo-se o resultado pelo número de 
elementos do conjunto. Exemplo: considerando que as notas de João, nos quatro 
bimestres, foram, respectivamente, 1, 2, 3 e 4, qual foi a média de João ao final 
do ano?
8
9
x
xi
n
x x.. .. ,1 2 3 4
4
10
4
2 5
Número de
elementos da série
Figura 2
Moda: É o valor de maior frequência em um conjunto de elementos.
Mediana: É o elemento que separa a série em duas partes iguais, ou seja, 50% para 
mais e 50% para menos.
Cálculo da Média, Moda e Mediana
Dados Brutos ou Rol
Dados brutos ou rol ocorrem quando analisamos os dados sem a necessidade de 
montar uma tabela.
Média
Nos dados brutos ou rol utilizamos a média aritmética simples: x
xi
n
� � . Exemplo: 
os salários de seis funcionários são: R$ 300,00; R$ 300,00; R$ 234,00; R$ 367,00; 
R$ 895,00; R$ 1000,00.
Qual é a média de salários desses funcionários? Primeiramente, organizaremos 
esses dados, fazendo o rol:
234 300 300 367 895 1.000
Agora, calcularemos a média:
x
xi
n
� �
� � � � �
� �� 234 300 300 367 895 1000
6
3096
6
516
Interpretação: o salário médio dos funcionários da empresa é de R$ 516,00.
Moda
É o elemento mais frequente, portanto, R$ 300,00.
Interpretação: o salário mais frequente dos funcionários da empresa é de 
R$ 300,00 – pois é o único que aparece duas vezes.
9
UNIDADE Medidas de Tendência Central
Mediana:
Rol: 234 300 300 367 895 1.000
A mediana é o elemento do meio; se n – número de elementos da série – for par, 
teremos dois termos centrais que ocupam as seguintes posições: 
n no o
2 2
1
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�e .
Já que no exemplo citado – salários dos 6 funcionários de uma determinada 
empresa – o número de elementos corresponde a 6, logo, par; assim, utilizando 
as fórmulas mencionadas chegaremos a 
6
2
3
6
2
1 4
�
�
�
�
�
� � �
�
�
�
�
�
� �
o o
ª ªe , os elementos 
que estão na terceira e quarta posição são 300 e 367; assim, a mediana é a média 
desses dois valores: 
Md � � �300 367
2
333 5,
Interpretação: 50% dos funcionários da empresa recebem R$ 333,5 ou menos 
e 50% dos funcionários recebem R$ 333,5 ou mais. Porém, quando n – número 
de elementos da série – for ímpar, a mediana ocupará apenas um valor central na 
posição 
n o��
�
�
�
�
�
1
2
.
Portanto, consideramos a mediana o elemento central. Exemplo: em 1, 2, 3, 
4, 5 a mediana é o número 3, pois ocupa a terceira posição 
n o��
�
�
�
�
� �
�
�
1
2
5 1
2
3ª
Interpretação: 50% dos valores do rol são menores ou iguais a 3 e 50% do rol 
são valores maiores ou iguais a 3.
Variável Quantitativa Discreta
Média
Aqui utilizaremos a média aritmética ponderada, considerando a frequência sim-
ples como ponderação dos elementos – peso.
Assim, temos a seguinte fórmula:
x
xi fi
fi
�
��
�
Exemplo: sabemos que a variável quantitativa discreta é uma tabela sem interva-
los de classe, portanto, temos o seguinte caso:
10
11
As faltas anuais dos funcionários de uma empresa foram as seguintes:
4 5 5 5 6 6 6 6 6 7
7 7 7 7 7 8 8 8 9 9
Primeiramente, teríamos que realizar o rol; como já está feito, o próximo passo 
será construir a tabela com a frequência simples:
Tabela 1 – Número de faltas dos funcionários, por ano (média)
NÚMERO DE FALTAS ANUAIS 
(xi)
NÚMERO DE FUNCIONÁRIOS 
(fi)*
MÉDIA 
(xi . fi) 
4 1 4 × 1 = 4
5 3 5 × 3 = 15
6 5 6 × 5= 30
7 6 7 × 6 = 42
8 3 8 × 3 = 24
9 2 9 × 2 = 18
Total (∑) 20 ∑ xi . fi = 133
Aplicando na fórmula, temos:*
x
xi fi
fi
�
�
� ��
�
133
20
6 65,
Interpretação: em média, os funcionários da empresa faltam anualmente, apro-
ximadamente, 7 vezes.
Moda
Elemento de maior frequência, portanto, observamos na coluna do fi qual é o 
elemento que mais aparece. Dessa forma, a moda é 7, pois 6 funcionários faltaram 
7 vezes.
Interpretação: o número de faltas anuais de maior frequência é 7 vezes.
Mediana
A mediana é o elemento central; portanto, precisaremos achar a posição que 
esse elemento se encontra. Assim, utilizaremos as seguintes fórmulas: 
• Posição
fi
Posição
fi
� � �� �2 2
1e - número de elementos se for par;
• Posição
fi
ímpar�
�� 1
2
( ) - número de elementos se for ímpar.
* Não se esqueça de que a frequência simples é o número de vezes que o elemento aparece na série. Deve ser sempre 
escrita com letra minúscula para que você não confunda com a Frequência acumulada (F).
11
UNIDADE Medidas de Tendência Central
Portanto, no exemplo citado, a somatória de fi é par (20), de modo que aplica-
mos as seguintes fórmulas:
• Posição
fi
Posição� � ��
2
20
2
10ª ;
• Posição
fi
Posição� � � � ��
2
1
20
2
1 11ª .
Logo, tratam-se da 10ª e 11ª posições.
Para encontrar essas posições, precisaremos acrescentar a coluna da Frequência 
acumulada (F), pois é nesta que conseguiremos localizar as posições 10ª e 11ª.
Voltemos à Tabela do exemplo (Tabela 1) para acrescentarmos a coluna do F:
Tabela 2 – Número de faltas dos funcionários, por ano (média e mediana)
NÚMERO DE FALTAS ANUAIS 
(xi)
NÚMERO DE FUNCIONÁRIOS 
(fi)
MÉDIA 
(xi . fi)
FREQUÊNCIA ACUMULADA 
(F)
4 1 4 × 1 = 4 1 (1ª posição)
5 3 5 × 3 = 15 1 + 3 = 4 (2ª a 4ª posição)
6 5 6 × 5 = 30 4 + 5 = 9 (5ª a 9ª posição)
7 6 7 × 6 = 42 9 + 6 = 15 (10ª a 15ª posição)
8 3 8 × 3 = 24 15 + 3 = 18 (16ª a 18ª posição)
9 2 9 × 2 = 18 18 + 2 = 20 (19ª e 20ª posição)
Total (∑) 20 ∑ xi . fi = 133
Assim, a mediana também é a nota 7.
Interpretação: 50% dos funcionários da empresa faltaram 7 vezes ou menos 
por ano e 50% dos funcionários faltaram 7 vezes ou mais por ano.
Variável Quantitativa Contínua
Média
O que diferencia a variável quantitativa discreta da contínua é a existência do inter-
valo de classe; portanto, devemos encontrar os pontos médios das classes. Exemplo:
A seguinte distribuição representa as alturas de 60 funcionários de uma deter-
minada empresa:
Tabela 3 – Alturas (cm) dos funcionários (média)
CLASSE
ALTURAS (cm)
(int. classe)
NÚMERO DE 
FUNCIONÁRIOS (fi)
xi** (ponto médio do 
int. de classe)
MÉDIA 
(xi . fi)
1 150 |----- 160 2 155 310
2 160 |----- 170 10 165 1.650
3 170 |----- 180 18 175 3.150
12
13
CLASSE
ALTURAS (cm)
(int. classe)
NÚMERO DE 
FUNCIONÁRIOS (fi)
xi** (ponto médio do 
int. de classe)
MÉDIA 
(xi . fi)
4 180 |----- 190 12 185 2.220
5 190 |----- 200 16 195 3.120
6 200 |----- 210 2 205 410
∑ (somatória e total) 60 10.860
Assim, temos a seguinte média:**
x
xi fi
fi
cm�
�
� ��
�
10860
60
181
Interpretação: a altura média dos funcionários da empresa é de 181 cm.
Mediana
É o elemento central.
Na variável contínua, utilizaremos a seguinte fórmula:
Md I
fi
Fant
fimd
h� �
�
�
�
2
• Onde:
 » I = limite inferior de classe;
 » ∑ fi = número de elementos da série; 
 » Fant = frequência acumulada da classe anterior à classe mediana;
 » fimd = frequência simples da classe mediana;
 » h = amplitude do intervalo de classe.
Exemplo: calcularemos a mediana do exemplo citado.
Primeiramente, precisamos encontrar a sua posição. Para encontrar a posição, 
utilizaremos a seguinte fórmula:
Posição
fi
� �
2
A posição é 60 / 2 = 30ª posição.
Depois, precisaremos achar a coluna da Frequência acumulada (F) para encon-
trarmos a classe da mediana – voltaremos à Tabela 3.
** Na variável discreta, temos o xi; na variável contínua, temos que encontrá-lo.
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UNIDADE Medidas de Tendência Central
Tabela 4 – Alturas (cm) dos funcionários (média e mediana)
CLASSE
ALTURAS (cm)
(int. classe)
NÚMERO DE 
FUNCIONÁRIOS (fi)
xi (ponto médio 
do int. de classe)
MÉDIA
(xi . fi)
FREQUÊNCIA
ACUMULADA (F)
1 150 |----- 160 2 155 310 2 (1ª e 2ª posição)
2 160 |----- 170 10 165 1.650 2 + 10 = 12 (3ª a 12ª posição) Fant
3 170 (I) |----- 180 18 (fimd) 175 3.150 12 + 18 = 30 (13ª a 30ª posição)
4 180 |----- 190 12 185 2.220 30 + 12 = 42 (31ª a 42ª posição)
5 190 |----- 200 16 195 3.120 42 + 16 = 58 (43ª a 58ª posição)
6 200 |----- 210 2 205 410 58 + 2 = 60 (59ª e 60ª posição)
∑ (somatória 
e total) 60 10.860
Agora, calcularemos a mediana:
Md l
fi
Fant
fimd
h
Md
� �
�
�
� �
�
� � � � � � �
�
2
170
60
2
12
18
10 170
18
18
10 170 1 100 170 10 180� � � cm
Interpretação: 50% dos funcionários da empresa medem 180 cm ou menos e 
50% dos funcionários medem 180 cm ou mais.
Moda 
É o elemento de maior frequência. Podemos utilizar três coeficientes ou a moda 
simples, veja:
• Moda de Pearson: Segundo o coeficiente de Pearson, a moda pode ser obtida 
através da mediana e média. Assim, temos:
Mo = 3 . md – 2 . x
Utilizaremos o exemplo anterior, no qual a mediana é 181 cm e a média é 181 cm.
Mo = 3 . 180 – 2.181 = 540 – 362 = 178 cm
Interpretação: a altura mais frequente dos funcionários da empresa é de 178 cm.
• Moda de King: Segundo o coeficiente de King, a moda pode ser obtida atra-
vés da frequência simples da classe anterior e da posterior à classe modal. 
Assim, temos:
Mo l fipost
fiant fipost
h� �
�
�
14
15
• Onde:
I = limite inferior da classe modal;
fipost = frequência simples da classe anterior à classe modal;
fiant = frequência simples da classe posterior à classe modal;
h = amplitude do intervalo de classe.
Primeiramente, encontraremos a classe modal – é a classe de maior frequência. 
Voltaremos à Tabela 4.
Tabela 5 – Alturas (cm) dos funcionários (média e mediana)
CLASSE
ALTURAS (cm)
(int. classe)
NÚMERO DE 
FUNCIONÁRIOS (fi)***
xi (ponto médio 
do int. de classe)
MÉDIA
(xi . fi)
FREQUÊNCIA
ACUMULADA (F)
1 150 |----- 160 2 155 310 2
2 160 |----- 170 10 (fi ant) 165 1.650 2 + 10 = 12
3 170 |----- 180 18 175 3.150 12 + 18 = 30****
4 180 |----- 190 12 (fi post) 185 2.220 30 + 12 = 42
5 190 |----- 200 16 195 3.120 42 + 16 = 58
6 200 |----- 210 2 205 410 58 + 2 = 60
∑ (somatória e total) 60 10.860
Aplicaremos na fórmula:***-****
Mo l fipost
fiant fipost
h
Mo
� �
�
�
� �
�
� � � � �170
12
10 12
10 170
12
22
10 170 �� � � � �0 55 10 170 5 50 175 50, , , cm
Interpretação: a altura mais frequente dos funcionários da empresa é de 
175,5 cm.
• Moda de Czuber: Segundo o coeficiente de Czuber, temos:
Mo l fimo fiant
fimo fiant fimo fipost
h� � �
�� � � �� �
�
�
��
�
�
�� �
 » Onde:
I = limite inferior da classe modal;
fimo = frequência da classe modal;
fipost = frequência simples da classe anterior à classe modal;
fiant = frequência simples da classe posterior à classe modal;
h = amplitude do intervalo de classe.
*** A linha sublinhada também é a classe modal, pois o fi de maior frequência é 1; portanto, esta é também a linha da moda.
**** A 30ª posição se encontra nesta linha; portanto, esta é a linha da mediana.
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UNIDADE Medidas de Tendência Central
Aplicaremos na fórmula:
Mo l fimo fiant
fimo fiant fimo fipost
h
Mo
� �
�
�� � � �� �
�
�
��
�
�
�� �
� �170
118 10
18 10 18 12
10
170 5 714285714
175 7
�
�� � � �� �
�
�
��
�
�
�� �
� �
�
Mo
Mo
,
, 11cm
Interpretação: a altura mais frequente dos funcionários da empresa é de 175,71 cm.
• Moda simples: Ou simplesmente podemos utilizar a moda simples, que é o xi 
da classe modal.
O xi da classe modal é de 175 cm.
Interpretação: a altura mais frequente dos funcionários da empresa é de 175 cm.
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Material Complementar
Indicações para saber mais sobre os assuntos abordados nesta Unidade:
 Vídeos
Grings – moda, média e mediana
https://youtu.be/UfupcG1ax6U
Grings – média e mediana, dados agrupados
https://youtu.be/7djAJFHYyno
Medidas de Tendência Central (Média, moda e mediana)
https://youtu.be/RfJzw_1RRyQ
Estatística (Enem) – média aritmética, mediana e moda
https://youtu.be/uAtPI64xep417
UNIDADE Medidas de Tendência Central
Referências
BARROW, M. Estatística – Economia, Contabilidade e Administração. São Paulo: 
Ática, 2007.
BRUNI, A. L. Estatística aplicada à gestão empresarial. São Paulo: Atlas, 2008. 
CRESPO, A. A. Estatística fácil. São Paulo: Saraiva, 2002. 
SILVA, E. M. et al. Estatística para cursos de: Economia, Administração e Ciên-
cias Contábeis. v. 1. São Paulo: Atlas, 2010. 
STEVENSON, W. J. Estatística aplicada à Administração. São Paulo: Harbra, 2001.
TIBONI, C. G. R. Estatística básica para cursos de Administração, Ciências 
Contábeis, Tecnológicos e de Gestão. São Paulo: Atlas, 2010. 
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