Raciocínio lógico

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REVISÃO AV1
RACIOCÍNIO LÓGICO
RACIOCÍNIO LÓGICO
Prof. Marcelo Duarte
TÓPICO 1.1 – RAZÃO E CATEGORIAS/ CONJUNTOS NUMÉRICOS
Questão 1 – Os princípios gerais da razão são regras e requisitos para que o ser humano tenha bom senso em seus julgamentos. Segundo a filosofia, estes requisitos são divididos nos princípios da identidade, da não contradição, do terceiro excluído e da razão suficiente (ou causalidade) (Chaui, 2000). O que caracteriza cada um desses princípios?
Explicação:
O princípio da identidade afirma que tudo o que existe é o que realmente é. Por esse princípio,
consegue-se identificar um lápis como um lápis, independentemente do seu tamanho, cor ou tipo. Podemos fazer uma analogia com as impressões digitais, que identificam e atribuem os dados pessoais de uma única pessoa. Deste modo, o princípio da identidade atribui somente uma característica a um ser ou objeto.
Para o princípio da não contradição, não se pode afirmar que uma coisa é e não é ao mesmo tempo, ou seja, não se pode atribuir duas definições ao mesmo tempo para apenas um objeto. Se uma parede é azul, não há como ela ser vermelha. Se uma flor é uma violeta, não há como ser uma rosa.
Questão 1 – Os princípios gerais da razão são regras e requisitos para que o ser humano tenha bom senso em seus julgamentos. Segundo a filosofia, estes requisitos são divididos nos princípios da identidade, da não contradição, do terceiro excluído e as razão suficiente (ou causalidade) (Chaui, 2000). O que caracteriza cada um desses princípios?
Explicação:
O princípio do terceiro excluído sustenta que um objeto pode ser um objeto ou outro objeto, mas não um terceiro objeto. Para entendermos o conceito, podemos pensar em linguagem matemática, afirmando que “a” pode ser “a” ou “b” e não “c”. Uma camisa pode ser azul ou amarela, mas não preta (excluímos a cor preta). Assim, estamos restringindo o objeto em apenas dois conceitos e afirmando categoricamente que ela não poderá ser um terceiro.
No princípio da razão suficiente (causalidade), através da razão, conexões entre coisas ou ideias são estabelecidas. Se um evento ocorre, então outro acontece. Por exemplo: pense em um número. Se este número pensado terminar em 0, 2, 4, 6 ou 8, então este número é par. A conclusão é dita verdadeira, considerando a ideia inicial como verdadeira (a causa).
TÓPICO 1.1 – RAZÃO E CATEGORIAS/ CONJUNTOS NUMÉRICOS
Questão 2 – De acordo com Chaui (2000), os filósofos gregos estabeleceram alguns princípios gerais de como alcançar o conhecimento verdadeiro, chamados de bases fisiológicas da razão: sensação, percepção, memória e categorização. Caracterize cada uma dessas bases.
Explicação:
Sensação: trata-se da experiência dos sentidos. Os objetos exteriores excitam nossos órgãos dos sentidos e vemos cores, sentimos sabores e odores, ouvimos sons, sentimos a diferença entre o áspero e o liso, o quente e o frio, etc.
A Percepção é formada por um conjunto de sensações. As sensações se reúnem e formam uma percepção; ou seja, percebemos uma única coisa ou um único objeto que nos chegou por meio de várias e diferentes sensações.
A Memória é a evocação do passado. É a capacidade humana para reter e guardar o tempo que se foi,
salvando-o da perda total.
Categorização é o processo pelo qual ideias e objetos são reconhecidos, diferenciados e classificados
(organizados).
TÓPICO 1.1 – RAZÃO E CATEGORIAS/ CONJUNTOS NUMÉRICOS
TÓPICO 1.2 – OPERAÇÕES COM CONJUNTOS
Questão 3 – Existem diversas relações e operações que podem ser verificadas (ou efetuadas) entre conjuntos, dentre elas: igualdade, inclusão, união, intersecção e subtração, são as mais comuns. Considerando os conjuntos A = −𝟏, 𝟐, 𝟓, 𝟔, 𝟖 e B = 𝟎, 𝟐, 𝟓, 𝟕, 𝟗 , verifique se os conjuntos são iguais, suas relações de inclusão e também realize as operações indicadas a seguir:
a) A ∪ B;	b) A ∩ B;	c) A – B;	d) B – A
Explicação:
Como os elementos de A e de B são diferentes, não pode-se dizer que os conjuntos são iguais. Como todos os elementos de A não estão em B, A ⊄ B (ou ainda: B ⊅ A).
Pela mesma razão, B ⊄ A (ou ainda: A ⊅ B).
Quanto às operações:
a) A ∪ B = −1, 0, 2, 5, 6, 7, 8, 9
b) A ∩ B = 2, 5
c) A – B = −1, 6, 8
d) B – A = 0, 7, 9
TÓPICO 1.2 – OPERAÇÕES COM CONJUNTOS
10
A =
1
15
4
Questão 4 – Considerando os conjuntos A = [1, 10[ e B = [4, 15[, qual é o resultado da operação B – A?
Explicação:
B – A será o conjunto formado por todo o intervalo que está no conjunto B e que não está no conjunto
A. Assim, tem-se:
B =
B – A =
10	15
B – A = [10, 15[
TÓPICO 1.3 – DIAGRAMAS DE VENN E PROBLEMAS COM CATEGORIAS / CONJUNTOS
Total: 450 alunos
100
160
140
50
Questão 5 – Em uma prova constituída por 2 problemas, 300 alunos acertaram somente um dos problemas, 260 acertaram o segundo, 100 alunos acertaram os dois problemas e 210 erraram o primeiro. Quantos alunos fizeram a prova?
Explicação:
Deve-se montar um Diagrama de Venn para os dois conjuntos (representando os problemas), considerando o texto descrito, começando-se a resolução, preferencialmente, da intersecção entre os 2 conjuntos. Os demais dados deverão se encaixar no diagrama adequadamente, até que se encontre o valor desejado. Assim, faz-se:
P1	P2
Questão 6 – Os conjuntos numéricos surgiram para descrever as modificações e necessidades específicas dos problemas matemáticos. Como a variedade de tipos de números aumentou desde o surgimento dos sistemas numéricos, identificou-se a necessidade de reuni-los em grupos para facilitar o estudo dos seus comportamentos e características. O conjunto {1/2; 2/5; 2/3} faz parte de que conjunto numérico? Considere, para responder à questão, o menor conjunto numérico que contém o conjunto dado.
Explicação:
Naturais: ℕ = 0; 1; 2; 3; 4; 5; … .
Inteiros: ℤ = … ; −3; −2; −1; 0; 1; 2; 3; … .
Racionais: Corresponde aos dois anteriores, mais os números fracionados:
ℚ = { x | x = a/b, onde a e b ε ℤ, com b ≠ 0}. São todos os números que podem ser escritos na forma de
fração (naturais, inteiros, frações e as dízimas periódicas constantes).
Resposta: Conjunto dos números racionais.
OBS: O conjunto dos números reais (ℝ) contém o conjunto dos números racionais. Logo, o conjunto do enunciado também faz parte, de forma mais abrangente, do conjunto dos números reais. Entretanto, esse não é o menor conjunto que contém o conjunto dado.
TÓPICO 2.1 – CATEGORIAS/ CONJUNTOS NUMÉRICOS
Questão 7 – Os conjuntos numéricos surgiram para descrever as modificações e necessidades específicas dos problemas matemáticos. Como a variedade de tipos de números aumentou desde o surgimento dos sistemas numéricos, identificou-se a necessidade de reuni-los em grupos para facilitar o estudo dos seus comportamentos e características. O conjunto {1/3; 1; 𝟑; -3; 𝝅} faz parte de que conjunto numérico?
Explicação:
Além dos conjuntos vistos no tema anterior, existem os conjuntos:
Irracionais (𝕀): Neste conjunto, os números não podem ser representados através da divisão entre dois
inteiros, ou seja, são números que possuem dízimas infinitas e não constantes.
Reais (ℝ): Incluem os números que participam de todos os conjuntos anteriores.
Resposta: Conjunto dos números reais.
TÓPICO 2.1 – CATEGORIAS/ CONJUNTOS NUMÉRICOS
Questão 8 – Existem diversas relações e operações que podem ser verificadas (ou efetuadas) entre conjuntos, dentre elas: igualdade, inclusão, união, intersecção e subtração, são as mais comuns. Considerando os conjuntos A = −𝟏, 𝟐, 𝟓, 𝟔, 𝟖 , B = 𝟎, 𝟐, 𝟓, 𝟕, 𝟗 e C = −𝟏, 𝟎, 𝟓, 𝟔, 𝟕 , indique o resultado das operações:
a) (A ∪ B) ∩ C;	b) (A ∩ B) ∪ C;
Explicação:
Preliminarmente, resolvendo o que está entre parênteses:
A ∪ B = −1, 0, 2, 5, 6, 7, 8, 9	A ∩ B = 2, 5
a) (A ∪ B) ∩ C = −1, 0, 5, 6, 7 = C
b) (A ∩ B) ∪ C = −1, 0, 2, 5, 6, 7
TÓPICO 2.2 – OPERAÇÕES COM CONJUNTOS
Questão 9 – Existem diversas relações e operações que podem ser verificadas (ou efetuadas)entre conjuntos, dentre elas: igualdade, inclusão, união, intersecção e subtração, são as mais comuns. Considerando os conjuntos A = −𝟏, 𝟐, 𝟓, 𝟔, 𝟖 , B = 𝟎, 𝟐, 𝟓, 𝟕, 𝟗 e C = −𝟏, 𝟎, 𝟓, 𝟔, 𝟕 , indique o resultado das operações:
a) (A – B) ∪ C;	B) (B – A) ∩ C
Explicação:
Preliminarmente, resolvendo o que está entre parênteses:
A – B = −1, 6, 8	B – A = 0, 7, 9
a) (A – B) ∪ C = −1, 0, 5, 6, 7, 8
b) (B – A) ∩ C = 0, 7
TÓPICO 2.2 – OPERAÇÕES COM CONJUNTOS
TÓPICO 2.3 – DIAGRAMAS DE VENN E PROBLEMAS COM CATEGORIAS / CONJUNTOS
Questão 10 – A representação por balões, utilizada no Diagrama de Venn, é uma estratégia para simbolizar e representar conjuntos que se entrecruzam. É possível, por exemplo, identificar a preferência por uma determinada marca de celular, coletando dados de diversos clientes de uma loja e unindo simultaneamente estes balões para identificar quem gosta das marcas A, B e C ao mesmo tempo. Por exemplo, sabendo que 200 clientes compraram celulares das marcas Samsung, LG e/ou Motorola e que 120 clientes compraram o celular da Samsung; que outros 80, compraram o celular da LG; que 20 clientes compraram celulares das 3 fabricantes; que 40 deles, compraram celulares da LG e da Motorola; que 30 compraram celulares da Samsung e da LG e que 20 clientes compraram celulares da Samsung e da Motorola, descubra quantos clientes compraram apenas celulares da Motorola.
Explicação:
Deve-se montar um Diagrama de Venn para os três conjuntos (representando as empresas), considerando o texto descrito, começando-se a resolução, preferencialmente, da intersecção entre os 3 conjuntos. Depois, das intersecções dois a dois. Por fim, o que se conhece das compras individuais, até que se encontre o que falta. Assim, faz-se:
Samsung
LG
Motorola
20
TÓPICO 2.3 – DIAGRAMAS DE VENN E PROBLEMAS COM CATEGORIAS / CONJUNTOS
Samsung
LG
Motorola
10
20
20
0
TÓPICO 2.3 – DIAGRAMAS DE VENN E PROBLEMAS COM CATEGORIAS / CONJUNTOS
90
30
?
Samsung
LG
Motorola
10
20
20
0
TÓPICO 2.3 – DIAGRAMAS DE VENN E PROBLEMAS COM CATEGORIAS / CONJUNTOS
90
30
?
Samsung
LG
Motorola
10
20
20
0
A	soma	do	que	já	se	tem
conhecimento é 90 + 10 + 20 + 30 + 20
= 170. Para um total de 200 clientes, pode-se afirmar que 30 deles (200 –
170) compraram apenas celulares da Motorola.
Observe que o total de clientes que compraram celulares da Motorola foi
de	70	clientes,	porém	40	deles
também	compraram	celulares	de
outras marcas. A resposta que se quer, corresponde ao número de clientes que compraram somente o celular da Motorola, portanto, 30 clientes.
TÓPICO 2.3 – DIAGRAMAS DE VENN E PROBLEMAS COM CATEGORIAS / CONJUNTOS