Aula 5 - Testes quiquadrado

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Medicina Veterinária 
 Profa. Márcia K.Sato 
 
 
Bioestatística – Medicina Veterinária - pág.1/6 
 
 
Aula 5 – Testes qui-quadrado 
 
 
“Se um homem investe em tudo o que tem na cabeça, 
ninguém pode tomar isto dele. Investir no conhecimento 
sempre traz o maior lucro” 
Benjamim Franklin (1706-1790). 
cientista, inventor e político norte-americano 
 
 
Muitas vezes em uma pesquisa é necessário tomar uma decisão para o todo a partir 
de dados coletados de uma parte (amostra). Este procedimento denomina-se inferência. A 
inferência é realizada com o auxílio de testes estatísticos. 
 Consideremos um exemplo: Sabe-se que entre recém-nascidos a proporção de 
indivíduos que possuem uma determinada doença é 3%. Imagine que um pesquisador 
suspeita que esta proporção aumentou. Um teste estatístico pode ajudá-lo a tomar a decisão 
sobre se isto é provavelmente correto ou não. 
Existem duas possibilidades ou hipóteses que o pesquisador está considerando: a 
primeira é que o pesquisador está enganado e nada mudou, ou seja, a proporção de recém-
nascidos com esta determinada doença continua em 3%. A segunda é que esta proporção 
aumentou. A estatística chama a primeira hipótese de hipótese da nulidade e a indica por 
H0 (agá zero). A segunda é chamada de hipótese alternativa ou H1 (agá um). 
A partir disto será necessário avaliar uma grande quantidade de recém-nascidos para 
verificar se a proporção de 3% para aquela doença ainda é verificada. Digamos que 1000 
recém-nascidos serão examinados. 
Mas a questão que se faz agora é: 3% de 1000 é igual a 30 recém-nascidos. Isto quer 
dizer que se forem pesquisados 1000 recém-nascidos a expectativa pela hipótese da 
nulidade é que 30 crianças possuam a doença. Na verdade isto é um resultado médio e 
portanto, numa distribuição normal, altamente provável. Contudo, se verificarmos que 31 
ou mesmo 32 crianças apresentam a doença, o que isto significa? Qual é o limite crítico ou 
tolerância para rejeitarmos H0? 
Escolhido o nível de significância, usualmente trabalha-se com  igual a 10%, 5% 
ou mesmo 1%, o pesquisador escolhe o teste mais adequado a sua pesquisa dentre uma 
grande variedade de testes possíveis. Neste curso vamos ver o teste 2 (qui-quadrado). 
O teste 2 pode ser aplicado para verificar a aderência de um conjunto de dados a 
uma dada teoria ou a independência entre dois conjuntos de dados para alguma 
característica. 
Para a aplicação do teste de aderência 2 deve-se proceder na seguinte sequência de passos: 
1) estabelecer o nível de significância; 
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2) calcular o valor de qui-quadrado:  




r
i i
ii
E
EO
1
2
2 onde Oi representa as 
frequências observadas e Ei as frequências esperadas. 
3) comparar o valor calculado de 2 com o valor tabelado, no nível de significância () 
estabelecido e com (r – 1) graus de liberdade. Se 2 for maior ou igual ao valor tabelado 
rejeita-se a hipótese de que as frequências observadas estão de acordo com a teoria. 
Observe que o valor de 2 é o total acumulado de diferenças quadráticas entre as 
frequências observadas e as frequências esperadas. 
A seguir a tabela de 2 para consulta. 
Graus de liberdade  = 10%  = 5%  = 1% 
1 2,71 3,84 6,64 
2 4,60 5,99 9,21 
3 6,25 7,82 11,34 
4 7,78 9,49 13,28 
5 9,24 11,07 15,09 
6 10,64 12,59 16,81 
7 12,02 14,07 18,48 
8 13,36 15,51 20,09 
9 14,68 16,92 21,67 
10 15,99 18,31 23,21 
11 17,28 19,68 24,72 
12 18,55 21,03 26,22 
13 19,81 22,36 27,69 
14 21,06 23,68 29,14 
15 22,31 25,00 30,58 
16 23,54 26,30 32,00 
17 24,77 27,59 33,41 
18 25,99 28,87 34,80 
19 27,20 30,14 36,19 
20 28,41 31,41 37,57 
21 29,62 32,67 38,93 
22 30,81 33,92 40,29 
23 32,01 35,17 41,64 
24 33,20 36,42 42,98 
25 34,38 37,65 44,31 
26 35,56 38,88 45,64 
27 36,74 40,11 46,96 
28 37,92 41,34 48,28 
29 39,09 42,56 49,59 
30 40,26 43,77 50,89 
Vamos a um exemplo aplicado. 
Lança-se uma moeda 100 vezes e verifica-se que foram obtidas nestes lançamentos 60 caras 
e 40 coroas. Estatisticamente, esta moeda é honesta ou não? 
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As hipóteses são H0 = a moeda é honesta e H1 = a moeda é desonesta (viciada) 
Se a moeda é honesta a frequência esperada de caras é 50% e a de coroas 50%. Isto 
quer dizer que o número de caras esperadas, em 100 vezes, é 50%.100 = 50 e o número de 
coroas é de 50%.100 = 50. Calculando: 
 
4
50
200
50
100100
50
])5040()5060[( 222 



 
Como o número de categorias é 2, cara e coroa, o número de graus de liberdade é (2 
– 1) = 1. Admitindo  = 5% a tabela nos fornece 3,84. Como 2calc = 4 e 2tabelado = 3,84, ou 
seja, calculado é maior que o tabelado, a hipótese de nulidade deve ser rejeitada, ou seja, 
a moeda é viciada. 
O teste de independência é utilizado se se deseja verificar se duas populações têm a 
mesma proporção de indivíduos com determinada característica. Vamos supor que certo 
pesquisador tenha colhido uma amostra de 200 fumantes, homens e mulheres, e que os 
tenha classificado em função de três marcas de cigarro, A, B e C. A pesquisa tinha por 
objetivo verificar se as variáveis Marca do cigarro e Sexo do fumante eram dependentes, 
com nível de significância de 5%,  = 5%. Isto está resumido na tabela a seguir. 
Valores observados pela pesquisa 
 
Sexo 
Marca A Marca B Marca C  
Masculino 20 70 30 120 
Feminino 40 15 25 80 
 60 85 55 200 
 
Nesta tabela existem 2 linhas e 3 colunas, portanto o número de graus de liberdade 
será (2 – 1).(3 – 1) = 1.2 = 2. Na hipótese de nulidade que não exista dependência entre a 
marca e o sexo as frequências da tabela são as observadas. Veja que 120 dos 200 fumantes 
são masculinos, ou seja, 120/200 = 60%. E para as mulheres esta proporção é 80/200 = 
40%. Como a marca A tem 60 fumantes, nesta proporção, os números seriam, 60% de 60 = 
36 homens e 40% de 60 = 24 mulheres. Para a marca B, que tem 85 fumantes, teremos 60% 
de 85 = 51 homens e 40% de 85 = 34 mulheres. Logo se não existisse relação entre marca e 
sexo os números seriam: 
 
 
 
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Valores esperados pela estatística 
Sexo 
Marca A Marca B Marca C  
Masculino 36 51 33 120 
Feminino 24 34 22 80 
 60 85 55 200 
Os valores acima são os valores esperados estatisticamente. 
Seriam estas proporções significativamente diferentes para rejeitar H0?. Para tanto é 
necessário calcular o valor de 2, ou seja,  

 


r
i
s
j ij
ijij
E
EO
1 1
2
2 . Se o valor 
calculado para 2 for maior ou igual ao da tabela rejeita-se H0, no nível de significância () 
estabelecido. 
O E (O – E) (O – E)2 (O – E)2/E 
20 36 -16 256 7,1111 
70 51 19 361 7,0784 
30 33 -3 9 0,2727 
40 24 16 256 10,6667 
15 34 -19 361 10,6176 
25 22 3 9 0,4091 
  36,1556 
O valor de 2 pela tabela é 5,99. Como 2calculado é maior que o 2tabelado a hipótese de 
nulidade é rejeitada, ou seja, Marca e Sexo neste caso são DEPENDENTES. 
Exercícios 
1) Lança-se uma moeda 50 vezes e obtêm-se 29 caras. É real supô-lahonesta? Por 
honesta estamos supondo uma moeda que tenha igual probabilidade de apresentar cara ou 
coroa. 
Resolução 
Hipótese de nulidade: A moeda é honesta e portanto possui igual probabilidade de 
resultar cara ou coroa. 
A partir da hipótese de nulidade (H0) conclui-se que o esperado é que metade dos 
resultados sejam cara e metade sejam coroa, logo, em 50 vezes é esperado que tenhamos 
25 caras e 25 coroas. 
Contudo, se foram obtidas 29 caras, em 50 vezes, foram obtidas 21 coroas. 
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O que precisamos saber agora é se os dados obtidos e os dados esperados são 
SIGNIFICATIVAMENTE diferentes ou não. Vamos considerar que a significância seja 
de 5%. 
Vamos organizar as informações na tabela a seguir. 
 
 
Observado Esperado 
Cara 29 25 
Coroa 21 25 
 
A partir destas informações calcular-se-á qui-quadrado e se poderá comparar com o qui-
quadrado tabelado. 
 
Cálculo de 2. 
 
O E (O-E) (O-E)2 (O-E)2/E 
Cara 29 25 4 16 0,64 
Coroa 21 25 -4 16 0,64 
 
Totalizando a última coluna tem-se 0,64 + 0,64 = 1,28, que é 2calculado. 
 
Consulta na tabela de 2 
A tabela é de simples entrada, face da moeda, com duas possibilidades (2 linhas na 
tabela), cara e coroa. O número de graus de liberdade é 2 - 1 = 1. 
Como já estabelecemos que  = 5% a tabela nos dá 3,84, que é 2tabelado. 
 
Comparando 2calculado com 2tabelado 
Como o valor calculado é menor que o valor tabelado significa que as diferenças 
observadas são pequenas (menores que o máximo tolerado) e desta forma não são 
significativas. A hipótese de nulidade provavelmente é correta é a moeda é honesta. 
 
2) Uma moeda é lançada 200 vezes e verifica-se que 42% dos resultados foram coroa. 
Pode-se tê-la como honesta? 
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3) Em 190 lançamentos de uma moeda obtiveram-se 113 caras. Isso prova sua 
desonestidade? Argumente 
 
4) Com base nos dados apresentados na Tabela a seguir, proceda ao teste de 2, no 
nível de significância de 1%, para testar a hipótese de que o tipo sanguíneo independe da 
origem dos indivíduos. 
Origem 
Tipo O Tipo A Tipo B Tipo AB Total 
Árabe 130 149 29 8 316 
Não árabe 417 292 94 17 820 
Total 547 441 123 25 1136