praticando matemática 09

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9
COLEÇÃO PRATICANDO 
M A T E M Á T I C A
MATEMÁTICA
Edição Renovada
Praticando
M AT E M ÁT I C A
Á L V A R O
ANDRINI 
M A R I A J O S É
VASCONCELLOS
prm9_capa_pnld_2017.indd 1 18/05/2015 11:02
Praticando
4a edição 
São Paulo, 2015
Á L V A R O
ANDRINI 
Licenciado em Matemática. 
Pós-graduado em Álgebra Linear 
e Equações Diferenciais. Foi professor efetivo de 
Matemática da rede estadual durante trinta anos. 
Autor de diversos livros didáticos.
M A R i A J O s é
vAscoNcellos
Licenciada em Matemática. Coordenadora 
de Matemática em escola da rede particular. 
Coautora de coleção de Matemática 
para o Ensino Médio.
M at e M át i c a
9
COLeçãO PRAtiCAndO 
M A t e M á t I c A
MateMática
edição Renovada
prm9_001_006_impresso.indd 1 6/10/15 8:01 PM
© Editora do Brasil S.A., 2015
Todos os direitos reservados
Direção executiva: Maria Lúcia Kerr Cavalcante Queiroz
Direção editorial: Cibele Mendes Curto Santos
Gerência editorial: Felipe Ramos Poletti
Supervisão editorial: Erika Caldin
Supervisão de arte, editoração e produção digital: Adelaide Carolina Cerutti
Supervisão de direitos autorais: Marilisa Bertolone Mendes
Supervisão de controle de processos editoriais: Marta Dias Portero
Supervisão de revisão: Dora Helena Feres
Consultoria de iconografia: Tempo Composto Col. de Dados Ltda.
Coordenação editorial: Valéria Elvira Prete
Edição: Igor Marinho Guimarães da Nóbrega
Assistência editorial: Andriele de Carvalho Landim e Rafael Volner
Auxílio editorial: Paola Olegário da Costa
Coordenação de revisão: Otacilio Palareti
Copidesque: Gisélia Costa e Ricardo Liberal
Revisão: Alexandra Resende, Ana Carla Ximenes, Andréia Andrade, 
Elaine Fares e Maria Alice Gonçalves
Coordenação de iconografia: Léo Burgos 
Pesquisa iconográfica: Elena Ribeiro e Thais Falcão
Coordenação de arte: Maria Aparecida Alves
Assistência de arte: Letícia Santos
Design gráfico: Andrea Melo
Capa: Patrícia Lino
Imagem de capa: Michael Dechev / Shutterstock com pesquisa iconográfica de Léo Burgos
Ilustrações: DAE, Danillo Souza, Estúdio Ornitorrinco, Ilustra Cartoon, Jorge Zaiba, Leonardo 
Conceição, Luis Moura, Marcelo Azalim, Paulo José, Pedro Sotto, Reinaldo Rosa, Reinaldo Vignati, 
Ronaldo Barata e Zubartez
Produção cartográfica: DAE e Sônia Vaz 
Coordenação de editoração eletrônica: Abdonildo José de Lima Santos
Editoração eletrônica: Setup
Licenciamentos de textos: Cinthya Utiyama, Paula Harue Tozaki e Renata Garbellini
Coordenação de produção CPE: Leila P. Jungstedt
Controle de processos editoriais: Beatriz Villanueva, Bruna Alves, Carlos Nunes e Rafael Machado
4a edição, 2015 
Rua Conselheiro Nébias, 887 – São Paulo/SP – CEP 01203-001
Fone: (11) 3226-0211 – Fax: (11) 3222-5583
www.editoradobrasil.com.br
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)
(Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil)
Andrini, Álvaro
Praticando matemática 9 / Álvaro Andrini, Maria José Vasconcellos. 
– 4. ed. renovada. – São Paulo : Editora do Brasil, 2015. -- (Coleção 
praticando matemática ; v. 9)
Suplementado pelo manual do professor.
Bibliografia
ISBN 978-85-10-05898-8 (aluno)
ISBN 978-85-10-05899-5 (professor)
1. Matemática (Ensino fundamental) I. Vasconcellos, Maria José. 
II. Título. III. Série.
15-03708 CDD-372.7
Índices para catálogo sistemático:
1. Matemática : Ensino fundamental 372.7
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apresentação
Prezado aluno,
Você já deve ter perguntado a si mesmo, ou a seu professor:
“Para que eu devo estudar Matemática?”
Há três respostas possíveis:
1. A Matemática permite que você conheça melhor a realidade.
2. A Matemática pode ajudar você a organizar raciocínios.
3. A Matemática pode ajudar você a fazer descobertas.
Este livro e as orientações de seu professor constituem um ponto de partida.
O caminho para o conhecimento é você quem faz.
Os autores
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“Não há ramo da Matemática, por mais 
abstrato que seja, que não possa um 
dia vir a ser aplicado aos fenômenos do 
mundo real.”
Lobachevsky
Agradecemos ao professor 
Eduardo Wagner 
pelos comentários e sugestões 
que contribuíram para a melhoria 
deste trabalho.
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UniDaDe 1 – Potenciação e 
radiciação
1. Revendo a potenciação ........................................... 7
2. Propriedades das potências .............................. 11
3. Revendo a radiciação .............................................. 15
4. Expoentes racionais .................................................. 18
5. Propriedades dos radicais ................................... 19
6. Simplificação de radicais ...................................... 25
7. Adição e subtração de radicais ...................... 28
8. Cálculos com radicais ............................................. 31
9. Racionalização............................................................... 33
UniDaDe 2 – equações do 2o grau
1. Equações ......................................................................... 41
2. Resolvendo equações do 2o grau .............. 43
3. Forma geral de uma equação do 
2o grau ............................................................................... 48
4. Trinômios quadrados perfeitos e 
equações do 2o grau ............................................. 49
5. Fórmula geral de resolução da 
equação do 2o grau ............................................... 54
6. Resolvendo problemas ....................................... 58
7. Soma e produto das raízes de uma 
equação do 2o grau ............................................... 62
8. Equações fracionárias que recaem em 
equações do 2o grau ............................................. 68
9. Equações biquadradas ........................................ 71
10. Equações irracionais .............................................. 72
sUMário
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v 
UniDaDe 3 – sistema cartesiano
1. Localização ....................................................................... 81
2. Sistema cartesiano ..................................................... 84
3. Coordenadas geográficas .................................... 86
UniDaDe 4 – Funções
1. Conceito de função.................................................. 95
2. As funções e suas aplicações ........................102
3. Da tabela para a lei de formação da 
função ................................................................................108
4. Interpretando gráficos ........................................110
5. Construindo gráficos de funções ..............115
6. Função constante ...................................................123
7. Função linear e proporcionalidade 
direta ...................................................................................123
8. Funções do 1o grau e sistemas de 
equações do 1o grau .............................................125
UniDaDe 5 – Noções de 
probabilidade
1. Qual é a chance? ......................................................137
2. As probabilidades e a estatística ................145
3. População e amostra............................................148
UniDaDe 6 – teorema de tales 
e semelhança de triângulos
1. Razões, proporções e segmentos 
proporcionais ..............................................................159
2. Teorema de Tales .....................................................161
3. Teorema de Tales nos triângulos ...............166
4. Semelhança...................................................................168
5. Semelhança de triângulos................................173
6. Aplicando a semelhança de triângulos ....177
UniDaDe 7 – Relações métricas 
nos triângulos retângulos
1. O teorema de Pitágoras.....................................185
2. Teorema de Pitágoras, quadrados e 
triângulos ........................................................................192
3. Relações métricas nos triângulos
retângulos .......................................................................196
UniDaDe 8 – trigonometria 
no triângulo retângulo
1. As razões trigonométricas ...............................207
2. As razões trigonométricas e os ângulos 
de 30º, 45º e 60º........................................................216
UniDaDe 9 – círculo e cilindro
1. Área do círculo ..........................................................225
2. Área da superfície e volume de um 
cilindro ..............................................................................233
UniDaDe 10 – Porcentagem 
e juro
1. Revendo porcentagens, descontos e 
acréscimos .....................................................................245
2. Juro .......................................................................................251
sugestões de livros e sites ........263
Referências ................................266
Malha ..........................................267
Respostas dos exercícios ..........268
Manual do Professor ................273
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U N I D A D E
Essa brincadeira, adaptada de um verso do folclore inglês, pode 
ser solucionada calculando-se:
7 ? 7 ? 7 ? 7 5 2 401 gatinhos; ou, usando a poten-
ciação, 74 5 2 401 gatinhos.
Potenciação
e radiciação1
1. Revendo a potenciação
Numa estrada, encontrei sete mulheres.
Cada mulher tinha sete sacos,
cada saco tinha sete gatos,
cada gato tinha sete gatinhos.
Quantos gatinhos encontrei na estrada?
O papiro de Rhind
Entrelaçando e colando as hastes das folhas de 
uma planta chamada papiro, os egípcios fabrica-
vam artesanalmente um material para nele escre-
ver: um ancestral do nosso papel. Alguns docu-
mentos escritos nesse material sobreviveram ao 
tempo e são chamados de papiros.
Em 1858, um pesquisador escocês chamado 
Henri Rhind comprou, no Egito, um papiro que, es-
tima-se, foi escrito por volta de 1650 a.C. Ele contém 
informações sobre o sistema de numeração egípcio, 
conhecimentos de geometria e proporcionalidade, 
problemas e até brincadeiras com números.
Uma dessas brincadeiras cita:
7 casas, 49 gatos, 343 ratos e 2 401 espigas de 
milho.
Supõe-se que essa brincadeira tenha inspirado 
o versinho do folclore inglês que citamos.
G
ill
m
ar
/S
hu
tte
rs
to
ck
M
us
eu
 B
rit
ân
ic
o,
 L
on
dr
es
Trecho do papiro de Rhind, que mede 30 cm de largura e 
5 m de comprimento.
Nesta potenciação, 7 é a 
base e 4 é o expoente.
POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO 77
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Definições
Você já trabalhou nos anos anteriores com a potenciação e suas propriedades. Vamos recordar?
Considerando que a base é um número real a e o expoente é um número natural n, temos:
an 5 a ? a ? a ? a ? ... ? a para n  1
a1 5 a e para a  0
a0 5 1
a2n 5 
1
an
 5 




1
a
n
Os matemáticos tiveram várias razões para introduzir essas 
definições. Por exemplo, a manutenção de padrões:
34 33 32 31 30 321 322 323 324
81 27 9 3 1
1
3
1
9
1
27
1
81
 3  3  3  3  3  3  3  3
Os expoentes diminuem sempre uma unidade. 
O quociente entre os valores sucessivos das potências é constante 
e igual a 3.
Veja exemplos de cálculos de potências:
◆◆ 1,52 5 1,5 ? 1,5 5 2,25
◆◆ (22)5 5 (22) ? (22) ? (22) ? (22) ? (22) 5 232
◆◆




3
7
2
 5 
3
7
 ? 
3
7
 5 
9
49
◆◆




2
7
9
2
 5 




9
7
2
 5 
81
49
◆◆ 




2
2
1
5
3
 5 (25)3 5 2125
◆◆ 423 5 
1
43
 5 
1
64
◆◆ 80 5 1
◆◆ (22,6)0 5 1
Atenção!
Registre no caderno.
 1. Potências com expoente dois são chamadas “quadrados” 
e com expoente três “cubos”. Explique por que associamos 
essas potências às figuras do quadrado e do cubo.
 2. Escreva o produto 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 como potência de base:
 ◆ 2 26 ◆ 4 43 ◆ 8 82 ◆ 64 641
 3. A sentença abaixo é falsa. Explique por quê.
 “Potências com expoente negativo sempre têm resultado 
negativo.” O resultado só será negativo se a base for negativa e o expoente ímpar.
Veja:




1
7
9
2 5 
1
49
81
 5 1 ? 
81
49
 5 
81
49
a ? a ? a 5 a³
a
a
a
a
a
a ? a 5 a²1.
(22)4 5 16
base (22)
Sem parênteses,
o sinal de negativo será 
aplicado ao resultado da 
potenciação.
224 5 216
base 2
Ilu
st
ra
çõ
es
: E
st
úd
io
 O
rn
ito
rr
in
co
n fatores iguais a a
Quando a 
base é um número 
negativo, é necessário 
escrevê-la entre 
parênteses.
8
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ExErcícios
 1. Num depósito há 10 caixas; cada caixa contém 
10 pacotes, e cada pacote contém 10 parafusos. 
Quantos parafusos há no total? 1 000 parafusos
 2. Qual é o expoente?
 a) 2 5 8 3
 b) 7 5 49 2
 c) 10 5 10 000 4
 d) 0 5 0
 e) (12) 5 32 5
 f) (22) 5 64 6
 g) (22) 5 2128 7
 h) (23) 5 9 2
 i) (23) 5 227 3
 j) (210) 5 2100 000
 3. Qual é o número maior: 222 ou 222? 222
 4. Complete o quadro que traz a área e o períme-
tro de cinco quadrados diferentes.
Lado 3 7 1,5
1
2
x
Área 9
Perímetro
103 5 1 000
Pe
dr
o 
So
tto
Qualquer número 
natural  0.
5
 5. Calcule.
 a) (27)2 49 b) 272 249 
 Os resultados são iguais ou diferentes? Por 
quê?
 6. Calcule.
 a) (23)4 81 
 b) 234 281
 c) 253 2125
 d) (25)3 2125
 e) (21,4)2 1,96
 f) 21,42 21,96
 7. Um gato come 4 ratos por dia. Quantos ratos 
4 gatos comem em 4 dias? 64 ratos 43 5 64
 8. Qual é o valor de a?
 a) a5 5 1 1
 b) a6 5 0 0
 c) a3 5 8 2
 d) a2 5 25 5 ou (25)
 e) a4 5 16 2 ou (22)
 f) a2 5 29 (Cuidado!) Não há.
 9. Traduza para a linguagem matemática:
 a) o quadrado de 5; 52
 b) o dobro do quadrado de 5; 2 ? 52
 c) o cubo de 5; 53
 d) o triplo do cubo de 5. 3 ? 53
Diferentes. No item a, o (27) está elevado ao expoente 2; 
enquanto no item b, o 7 está elevado ao expoente 2 e o 
resultado tem sinal negativo.
D
an
ill
o 
So
uz
a
Em alguns itens pode 
haver duas respostas.
Atenção!
12 28 6 2 4x
49 2,25
1
4 x
2
Potenciação e radiciação 9
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 10. Seguindo o mesmo padrão de construção do 
prédio abaixo em relação à posição das janelas, 
foi construído outro com 7 blocos, também nu-
merados de cima para baixo como o da figura. 
Nesse novo prédio, qual é o número de janelas 
do 7o bloco (o mais próximo do chão)?
1o bloco
2o bloco
3o bloco
 11. Copie e complete cada uma das tabelas utili-
zando as potências de base 10.
kg g
1 103
10 104
100 105
1 000 106
m cm
1 102
10 103
100 104
1 000 105
 12. Calcule. 
 a) 


4
5
2
 16
25
 b) 
4
5
2
 16
5
 c) 2


3
10
2
 9
100
 d) 2


9
8
2
 81
64
 e) 2


1
2
5
 1
32
2
 f) 2


1
2
6
 1
64
 49 janelas 72 5 49
Ilu
st
ra
çõ
es
: J
or
ge
 Z
ai
ba
 13. Um restaurante oferece três tipos de salada, 
três tipos de carne e três tipos de sobremesa. 
Quantas refeições diferentes podem ser ofere-
cidas, se cada uma deve conter uma salada, um 
tipo de carne e uma sobremesa? 
 14. Copie e complete os quadros.
33 5 27 (23)3 5 227
32 5 9 (23)2 5 9
31 5 3 (23)1 5 23
30 5 1 (23)0 5 1
321 5 
1
3 (23)
21 5 2
1
3
322 5 
1
9 (23)
22 5 
1
9
 Responda.
 a) As potências 321 e (23)21 são iguais ou dife-
rentes? Diferentes.
 b) As potências 322 e (23)22 são iguais ou dife-
rentes? Iguais.
 15. Calcule.
 a) 722 1
49
 b) 
2




5
7
2
 49
25
 c) 
2




2
3
4
 81
16
 d) 523 
1
125 
 e) 
2




2
5
3
 125
8
 f) 
2




6
3
1
 53
6
1
2
27 refeições 33 5 27
10
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Acompanhe exemplos de aplicação dessas propriedades:
2. Propriedades das potências
Para evitar tantos cálculos, podemos aplicar as propriedades das potências.
Vamos lembrá-las e depois voltaremos a essa expressão.
Observe:
24 ? 23 5 24 1 3 5 27
24 ? 23 5 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 5 27
2324
56 � 54 5 
5 5 5 5 5 5
5 5 5 5
52
? ? ? ? ?
? ? ?
5
56 � 54 5 56 2 4 5 52
Para elevar uma potência 
a um expoente, podemos 
conservar a base e 
multiplicar os expoentes.
Dessas propriedades decorrem outras:
(74)2 5 74 ? 74 5 78, ou seja, (74)2 5 74 ? 2 5 78
Finalmente, acompanhe os exemplos:
◆◆ (5 ? 3)2 5 (5 ? 3) ? (5 ? 3) 5 5 ? 5 ? 3 ? 3 5 52 ? 32
◆◆ (x ? y2)3 5 (x ? y2) ? (x ? y2) ? (x ? y2) 5 x ? x ? x ? y2 ? y2 ? y2 5 x3 ? (y2)3 5 x3 ? y6
De forma semelhante, na divisão podemos elevar dividendo 
e divisor ao expoente indicado. Veja:
(8 � 5)3 5 83 � 53
◆◆ (23)24 ? (23)6 5 (23)24 1 6 5 (23)2 ◆◆
6
6
9
8
 5 69 2 8 5 61 5 6
◆◆ x2 ? x3 ? x29 5 x2 1 3 1 (29) 5 x24 (com x  0) ◆◆ a5 � a9 5 a5 2 9 5 a24 (com a  0)
◆◆ 1,79 � 1,72 5 1,79 2 2 5 1,77
Se a base é uma multiplicação, 
podemos elevar cada fator ao 
expoente indicado.
Podemos resolver essa
expressão usando calculadora para 
obter as potências. Depois, fazemos as 
operações indicadas.
É, mas sem a 
calculadora teríamos 
muito trabalho! Rein
al
do
 R
os
a
Quando multiplicamos potências 
de mesma base, podemos conservar 
a base e somar os expoentes.
Quando dividimos potências de 
mesma base, podemos conservar a 
base e subtrair os expoentes.
POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO 11
prm9_007_040_u1.indd 11 6/10/15 8:03 PM
Podemos usar letras para generalizar as propriedades que acabamos de rever.
As bases são números reais a e b diferentes de zero, e os expoentes, números inteiros m e n.
Agora, voltando à nossa expressão...
Vamos ver mais um exemplo.
Tomemos a expressão 
?243 3
27
8
4
.
Seria bastante trabalhoso calcular as potências indicadas. No entanto, podemos simplificar a 
expressão.
Primeiro fatoramos 243 e 27:
243 3 
81 3 
27 3 
9 3 
3 3 
1
27 3 
9 3 
3 3 
1
Voltando à expressão inicial:
243 3
27
3 3
(3 )
3
3
3
3
3 3 3
8
4
5 8
3 4
5 8
3 4
13
12
13 12 1? 5
?
5 5 5 5 5
1
?
2
Então, 
?
5
243 3
27
3.
8
4
Registre no caderno.
 1. Mostre que:
 a) 87 5 221 b) (7 1 3)2  72 1 32 c) (4 2 3)2  42 2 32 
 2. Escreva a expressão 27 ? 82 � 162 como uma única potência de base 2. 
 3. Copie e complete de modo a obter uma igualdade verdadeira: 25 ? ( )5 ? 62 5 67 3
87 5 (23)7 5 221 102  49 1 9 12  16 2 9
27 ? (23)2 � (24)2 5 213 � 28 5 25
Usando essa forma
de representação, uma pessoa
que não fale o nosso idioma, mas que
conheça Matemática, saberá que
listamos as propriedades
das potências!
que não fale o nosso idioma, mas que
Ilu
st
ra
çõ
es
: R
ei
na
ld
o 
R
os
a
Ficou mais 
fácil!
 am ? an  am  n
 am � an  am 2 n
 (am)n  am ? n
 (a ? b)m  am ? bm
 (a � b)m  am � bm
Aplicando as 
propriedades das 
potências, economizamos 
cálculos e tempo!
243 5 35
27 5 33
12
prm9_007_040_u1.indd 12 6/10/15 8:03 PM
ExErcícios
 16. O desenho abaixo representa o cruzamen-
to de linhas horizontais com linhas verticais. 
Quantos pontos haveria se tivéssemos 18 li-
nhas horizontais e 18 verticais? 324 pontos
 17. Transforme numa única potência.
 a) 57 ? 52 59
 b) a ? a4 ? a a6
 c) 7 ? 73 ? 49 76
 d) 710 � 74 76
 e) 32 � 325 37
 f) 106 � 103 � 10 102
 18. Certo ou errado? Anote as respostas.
a) (83)2 5 85
b) 67 : 625 5 62
c) (5 1 3)2 5 52 1 32
d) 
10
10
4
5
 5 1021
 19. No chaveiro representado na figura, são guar-
dadas as chaves de um estacionamento. Em 
cada gancho são colocadas 5 chaves. No total, 
quantas chaves podem ser guardadas?
E 
E 
E 
C 
Pa
ul
o 
Jo
sé
125 chaves 53 5 125
 20. Calcule mentalmente o valor de: 23 5 8
2400 : 2397
 21. Relacione as expressões que têm o mesmo 
valor.
 A 7 ? 7 ? 7 ? 7 
 B (72)4
 C (52)2
 D 52 ? 54
 I 73 ? 7
 II 5 ? 5 ? 5 ? 5
 III (52)3
 IV 494
 22. Simplifique.
 a) 
(7 )
(7 )
2 3
3 2
 1 b) 
?
?
(3 5 )
(3 5)
2 3
2 2
 321? 54
 23. Resolva mentalmente o problema. 37 � 35 5 32
Em uma caixa há 37 lápis. 
Quantos pacotes, com 
35 lápis em cada um, vou 
conseguir embalar? 9 pacotes
 24. Quanto é:
 a) o dobro de 210? 2 ? 210 5 211
 b) o quádruplo de 210? 4 ? 210 5 212
 c) o quadrado de 210? (210)2 5 220
 d) o cubo de 210? (210)3 5 230
A – I
B – IV
C – II
D – III
Pa
ul
o 
Jo
sé
D
A
E
M
ar
ce
lo
 A
za
lim
Jo
rg
e 
Za
ib
a
POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO 13
prm9_007_040_u1.indd 13 6/10/15 8:03 PM
 25. Escreva os números utilizando notação científica.
 a) 4 000 4 ? 103
 b) 8 200 000 8,2 ? 106
 c) 0,00756 7,56 ? 1023
 d) 0,00009 9 ? 1025
 26. Escreva, em notação científica, os 
números que aparecem nas frases.
 a) O coração humano bate cerca 
de 36 000 000 de vezes em um ano. 3,6 ? 107
 b) Há cerca de 60 milhões de células na retina do 
olho humano. 6 ? 107
 c) A espessura de uma folha de papel é de 
0,005 mm. 5 ? 1023
 d) A distância da Terra à Lua é de, aproximada-
mente, 384 400 000 metros. 3,844 ? 108
 27. Escreva, em notação científica, 
cada um dos números que apare-
cem nas frases.
 a) O estádio do Maracanã já acomodou um pú-
blico de 210 000 pessoas. 2,1 ? 105
 b) O Rio Nilo é um dos mais compridos do mun-
do, com 6 695 000 metros de extensão. 6,695 ? 106
 c) Em média, uma célula do corpo humano tem 
massa de 0,000000008 grama. 8 ? 1029
Uma aplicação da potenciação: 
a notação científica
Provavelmente você já aprendeu a notação científica no 8o ano.
As potências de base 10 são utilizadas para simplificar e padronizar o registro de números.
digital
Objeto
educacional
A distância entre o planeta Vênus e o Sol é de, aproximadamente, 
108 000 000 quilômetros.
A notação científica permite registrar esse número numa forma mais simples:
108 000 000 km 5 1,08 ? 108 km
A vírgula foi deslocada 8 casas para a esquerda: o expoente da potência de base 10 é 8.
Outro exemplo:
Certo vírus tem espessura aproximada de 0,0005 milímetro.
Na notação científica, 0,0005 mm 5 5 ? 1024 mm.
A vírgula foi deslocada 4 casas para a direita: o expoente da potência de base 10 é 24.
ExErcícios
Os registros de números na notação científica apresentam um 
número entre 1 e 10 multiplicado por uma potência de base 10.
Estádio do 
Maracanã, 
Rio de Janeiro, RJ.Br
un
o 
Ve
ig
a/
Pu
ls
ar
 Im
ag
en
s
14
prm9_007_040_u1.indd 14 6/10/15 8:03 PM
3. Revendo a radiciação
Conhecendo a medida do lado do quadrado, podemos determinar 
sua área.
A 5 l2 5 42 5 16 cm2
4 cm
4 cm
Conhecendo a área do quadrado, podemos determinar a medida 
de seu lado.
A 5 l2
l
2 5 25
l 5 25 5 5 cm, pois 52 5 25 25 cm2
Extrair a raiz quadrada é a operação 
inversa de elevar ao quadrado.
Já aprendemos que há dois números que, elevados ao quadrado, resultam em 25.
52 5 25 e (25)2 5 25
Considera-se que 25 é o número positivo que elevado ao quadrado resulta em 25: 
25 55
Indicaremos por 252 o oposto de 25 . Observe: 2 25 5 25
O volume de um cubo de aresta 2 cm é:
V 5 a3 5 23 5 8 cm3
Se um cubo tem volume de 27 cm3, podemos determinar a medida 
de sua aresta.
V 5 a3
27 5 a3
a 5 273 5 3, porque 33 5 27
Extrair a raiz cúbica é a operação 
inversa de elevar ao cubo.
2 cm
2 cm 2
 cm
Ilu
st
ra
çõ
es
: D
A
E
A potenciação e a radiciação são operações inversas.
Potenciação e radiciação 15
prm9_007_040_u1.indd 15 6/10/15 8:03 PM
Relembre o cálculo de raízes com estes exemplos:
◆◆ 144 5 12, porque 122 5 144
◆◆ 0,36 5 0,6, porque 0,62 5 0,36
◆◆ 10 0004 5 10, porque 104 5 10 000
Lembre-se:
Isso acontece porque todo número real elevado a um expoente par resulta em um número positivo. 
Por exemplo:
◆◆ 216 não é um número real
42 5 16
(24)2 5 16
◆◆ 216 não é um número real
16 5 1
(21)6 5 1
 1. Calcule mentalmente a medida:
 a) do lado de um quadrado de área 36 cm2; 6 cm
 b) da aresta de um cubo de volume 8 cm3. 2 cm
 2. Responda no caderno. 
 a) Se x2 5 49, quais são os possíveis valores de x? 7 ou 27
 b) 49 5 7 e 2 49 ? 27
 3. 234 é um número real? E 2( 3)4 ?
Não, pois 234 5 281. Sim, pois 2( 3)4 5 81 5 9.
No entanto...
Exemplos:
◆◆ 283 5 22, porque (22)3 5 28
◆◆ 2325 5 22, porque (22)5 5 232
Muitas raízes são números irracionais: têm infinitas casas decimais e não apresentam período.
2 , 5 , 8 e 243 , por exemplo, são números irracionais. Podemos 
trabalhar com esses números na forma de radical. Se necessário, pode-
mos aproximar essas
raízes por um número racional.
10 0004 (lê-se: raiz quarta de dez mil)
◆◆ 4 é o índice da raiz
◆◆ 10 000 é o radicando
◆◆ é o símbolo da raiz
Na prática podemos usar, 
por exemplo, 2 � 1,41.
Es
tú
di
o 
O
rn
ito
rr
in
co
Raízes de índice par de números negativos não são números reais.
Raízes de índice ímpar de números negativos são números reais.
Digite 2 e a tecla na calculadora.
Aparece, no visor, 1,414213562, que é uma 
aproximação para 2 com 9 casas decimais.
16
prm9_007_040_u1.indd 16 6/10/15 8:03 PM
ExErcícios
 28. Expresse cada número como uma raiz quadrada.
 a) 10 100
 b) 0 0
 c) 13 169
 d) 2,6 6,76
 e) 0,2 0,04
 f) 
3
7
 9
49
 29. Calcule mentalmente.
 a) 1 1 
 b) 121 11 
 c) 1,21 1,1
 d) 0,49 0,7
 e) 0,09 0,3
 f) 
4
25
 2
5
 30. Um terreno quadrado tem 900 m2 de área.
 a) Quantos metros mede o seu perímetro? 
 b) Qual será a área, em m2, de um terreno com o 
triplo da medida do lado desse quadrado?
 31. Complete de modo a obter igualdades verdadeiras.
 a) 13 5 1
 b) 3 5 2 8
 c) 3 5 20 8 000
 d) 0,0083 5 0,2
 e) 80000003 5 
 f) 643 5 4
 g) 3 5 40 64 000
 h) 0,0013 5 0,1
 32. Calcule a diferença entre a raiz quadrada de 49 
e a raiz cúbica de 125. 49 2 1253 5 2
Es
tú
di
o 
O
rn
ito
rr
in
co
120 metros
8 100 m2
200
 33. O volume de um cubo é 1 000 dm3. Qual é o com-
primento da aresta? 10 dm
 
 34. Responda.
 a) Se a4 5 3, qual é o valor de a? 81
 b) Se a5 5 2, qual é o valor de a? 32
 c) Se a7 5 1, qual é o valor de a? 1
 d) Se n 625 5 5, qual é o valor de n? 4
 e) Se n 64 5 2, qual é o valor de n? 6
 35. Responda: 20 e 220
400 é quadrado de quais números?
 36. Qual é o maior número: 2,81 ou 8 ? 8
 37. O senhor José tem um galinheiro quadrado, 
com uma área de 5 m2, que precisa ser cercado 
com tela. Que número inteiro de metros de tela 
ele precisa comprar? 9 metros
 38. Calcule, caso exista, no conjunto dos números 
reais:
 a) 64 8
 b) 2 64 28 
 c) 264 
 d) 814 3
 e) 2 814 23
 f) 2814 
 g) 273 3
 h) 2 273 23
 i) 2 2273 3
D
A
E
D
an
ill
o 
So
uz
a
5 m2
Não existe. Não existe.
5 5 25
Potenciação e radiciação 17
prm9_007_040_u1.indd 17 6/10/15 9:31 PM
4. Expoentes racionais
Até agora trabalhamos com potências cujos expoentes eram números inteiros.
E se o expoente for um número racional?
Por exemplo, qual é o significado de 7 ?
1
2 E de 2,8 ?
3
4 E 160,25?
Os expoentes racionais relacionam a potenciação e a radiciação da seguinte maneira:
Se a é um número positivo e m e n são números naturais diferentes de zero, então:
�a a
m
n mn �a a
mn
m
n
Exemplos:
 � � �7 7 7
1
2 12
 � �2,8 2,8
3
4 34
 � � � �16 16 16 160,25
1
4 14 4
 � �5 5
1
2
 � �4 423
2
3
 � �2 275
7
5
O fato de potências com expoentes racionais poderem 
ser escritas como raízes também tem suas razões, dentro da 
ideia de manter padrões...
41 4
1
2 40
4 x � ? 1
Os valores dos expoentes diminuem sempre 
1
2
. Do mesmo modo como ocorre para os expoentes na-
turais, os quocientes entre dois valores sucessivos de potências devem ser constantes:
x
x
x x→ →� � �4
1
4 42 Como x � 4
1
2 , temos 4
1
2 � 4 .
As propriedades das potências continuam valendo para os expoentes racionais.
Registrem no caderno.
 1. Mostrem que:
 a) 49
1
2 � 7 
 b) 27
1
3 � 3 
 c) 320,2 � 2 
 2. Se 3x � 2, quanto vale 272x? 
 3. Procurem números a e c tais que:
 a) ac � ca
 b) ac � ca
 c) ac � ca
 4. Sendo a � 0 e b � 0, então a2 � b é 
maior ou menor que zero?
 5. Sendo a � 0 e b � 0 então ab3 é 
maior ou menor que zero?
 6. Se �x 2
1
3 , qual é o valor de x? 8
��4949 7711
��2727 331133
� �� � ��3232 3232� �� �32� �� � 3232 22
22
1010
11
55� �� �5� �� � 1155
27 � (33)2x � (3x)6 � 26 � 64
Resposta possível: 23 � 32.
11 � 11
Resposta possível: 71 � 17.
Menor que zero.
Menor que zero.
Es
tú
di
o 
O
rn
ito
rr
in
co
Veja num exemplo por que tomamos base positiva:
� � �( 2) ( 2)
3
4 34 
Como (�2)3 é um número negativo, essa raiz não é um número real.
As potências 
de base positiva e expoente racional 
podem ser escritas na forma de radical, e os 
radicais podem ser escritos na forma 
de potência com expoente 
racional.
18
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5. Propriedades dos radicais
1a propriedade
Sem fazer cálculos, Márcio escreveu em seu caderno:
Elevar à quinta 
potência e extrair a raiz 
quinta: são operações 
inversas!
Acompanhe:
◆◆ 5 5 55 5 5 52
2
2 1
◆◆ 5 5 57 7 7 733
3
3 1
◆◆ 5 5 53 3 3 366
6
6 1
Veja como escrevemos a forma geral dessa propriedade:
Se a é um número positivo e n é um número natural diferente de zero, a ann .
Cuidado com a base negativa do radicando!
Veja um exemplo do que ocorre se a base for negativa e o 
índice for par:
2 5 5( 3) 9 32
Nesse caso, 2  2( 3) 32 .
Atenção!
Essa propriedade pode ser útil no cálculo de raízes. Veja:
Para calcular 6254 , Rogério fatorou 625:
625 5
125 5
25 5
5 5
1 625 5 54
Depois fez:
5 5625 5 54 44
Para descobrir a medida do lado do quadrado 
de área 576 cm2, Patrícia fez:
D
an
ill
o 
So
uz
a
D
an
ill
o 
So
uz
a
Potenciação e radiciação 19
prm9_007_040_u1.indd 19 6/10/15 8:03 PM
Registre no caderno.
 1. Como escrevemos 53 na forma de radical com índice 6? 
 2. Mostre de duas maneiras diferentes que (34)0,5 � 9. 
 3. Qual foi o erro de Rafael ao escrever a igualdade �7 734 98 ? 
552266
34 � 0,5 � 32 � 9 ou � �� �(3(3 ) 3) 3) 3) 3� �� �) 3� �� �� �� �) 3� �� � 3 93 9��3 9��44
11
Mostre de duas maneiras diferentes que (3
1
Mostre de duas maneiras diferentes que (3Mostre de duas maneiras diferentes que (3
) 3) 32) 3) 34 24 2� �� �4 2� �� � 3 93 94 23 93 9
Multiplicou o índice por 2 e o expoente do 7 por 3.
2a propriedade
 � Escrevemos a raiz quinta de dois 
elevado à terceira na forma de 
potência.
 � Achamos uma fração equivalente 
a 
3
5
 que tenha denominador dez.
 � Escrevemos a potência na forma de 
radical, outra vez, e está resolvida a 
questão!
Quando multiplicamos ou dividimos o índice da raiz e o expoente do radicando pelo 
mesmo número natural diferente de zero, obtemos um radical equivalente ao primeiro.
Na prática, faremos:
� ���2 2 235 3 25 2 610
Aproveitando as ideias da Ana...
� � �3 3 3 368
6
8
3
4 34
Usamos frações equivalentes para escrever o radical numa forma mais simples.
Podemos registrar o procedimento acima de uma forma mais curta, assim:
� ���3 3 368 6 28 2 34
Veja outro exemplo:
7 7 7 7510
5
10
1
2� � � ou � ���7 7 7510 5 510 5
� 2
�
3
5
6
10
� 2
Ana, você saberia
escrever a raiz quinta de
dois elevado à terceira
como um radical de
índice dez?
M
ar
ce
lo
 A
za
lim
Vamos
usar frações 
equivalentes!
Ilu
st
ra
 C
ar
to
on
20
prm9_007_040_u1.indd 20 6/10/15 9:33 PM
EXERCÍCIOS
7 = 753
5
3
expoente do radicando
índice da raiz
 39. Calcule.
 a) 64
1
2 8
 b) 400
1
2 20
 c) 8
2
3 4
 d) 


16
25
1
2
 
4
5
 e) 1000,5 10
 f) 6250,25 5
 g) 32
1
5 2
 h) 


8
27
1
3
 2
3
 40. Simplifique.
 a) 72 7 b) 255 2
 41. 
 a) 49 7
 b) 121 11
 c) 169 13
 d) 1253 5
 e) 6254 5
 f) 3433 7
 g) 814 3
 h) 7296 3
 i) 1287 2
 j) 102410 2
Ilu
st
ra
 C
ar
to
on
 42. A figura representa um escritório com duas sa-
las quadradas de 9 m2 de área cada uma. O cor-
redor tem 1 m de largura. Qual é a área total do 
conjunto? 24 m2 9 � 9 � 6 � 24
1 m
 43. Veja o que o professor escreveu na lousa:
5 = 536
 Justifique essa afirmação do professor.
 44. Simplifique os radicais e, em cada item, responda: 
 Que número você usou para dividir o índice e o 
expoente?
 a) 764 7 ; 23
 b) 569 5 ; 323
 c) 21510 2 ; 53
 d) 328 3 ; 24
 45. Certo ou errado?
 a) �7 726 3 C
 b) �6 645 810 C
 c) �5 536 3 E
 d) �2 23 412 C
 46. (Unicamp-SP) Determine o maior dentre os nú-
meros 33 e 44 . 33 � �
� �
3 3 81 e
4 4 64
3 412 12
4 312 12
 
D
an
ill
o 
So
uz
a
Pa
ul
o 
Jo
sé
� � �5 5 5 536
3
6
1
2
Pa
ul
o 
Jo
sé
Calcule as raízes
por fatoração do 
radicando.
POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO 21
prm9_007_040_u1.indd 21 6/10/15 9:35 PM
Descobrindo mais propriedades dos radicais
3a propriedade
Sabemos que ? 5 525 4 100 10.
Também sabemos que:
?25 4 5 5 ? 2 5 10
5
5
25 5
4 2
Então, ? 5 ?25 4 25 4 .
O que observamos nesse exemplo pode ser generalizado. Acompanhe.
Tomemos os números positivos a e b e o número natural n diferente de zero:
  ? ? ? ?a b a b a b a bn n n n n n( )
1 1 1
Ou seja, usando a notação de potência de expoente racional para os radicais e as propriedades da po-
tenciação, mostramos que:
(Saresp) Por qual dos números 
abaixo deve ser multiplicada a 
expressão ? ?5 8 9 para que 
seja obtido um número inteiro?
 a) 10 
 b) 30
 c) 45
 d) 50
Alternativa a.
Aplicando essa propriedade, chegaremos a um resultado importante:
5 ? 5 ? 5)( 7 7 7 7 7 73 2 3 3 3 23 , isto é: 5)( 7 73 2 23
De modo geral:
raiz de um 
produto
produto 
de raízes
  a b a bn n n
A raiz de um produto é igual ao produto das raízes 
dos fatores desse produto.
Acabamos de
estudar duas propriedades dos 
radicais. Vamos estudar
mais duas.
Ilu
st
ra
 C
ar
to
on
( )a an m mn
22
prm9_007_040_u1.indd 22 6/10/15 8:03 PM
4a propriedade
Agora observe: 
Então, 36 4 36 4 .�� �
 � � ��36 4 9 3 � � �� �36 4 6 2 3
Sendo a e b números positivos e n um número natural 
diferente de zero:
� � �� � � �( )
1 1 1
a b a b a b a bn n n n n n , ou seja:
�
a
b
a
b
n
n
n
raiz de um 
quociente
quociente 
de raízes
A raiz de um quociente é igual ao quociente 
das raízes do dividendo e do divisor.
Para determinar 6 5614 usando uma calculadora simples que tem a 
tecla , digitamos 6 561 e obtemos 9.
Confirme que 94 � 6 561 digitando:
9 � � � �
Agora compreenda por que calcular 6 5614 é o mesmo que calcular 
6 561 .
6 561 � ( )6 561
1
2 � ( )6 56112
1
2
 � 6 561
1
4 � 6 5614
Registrem no caderno.
 1. Mostrem que:
 a) � � �100 4 100 4 b) �� �100 4 100 4
 2. Para calcular 12 100 podemos fazer � � � �121 100 121 100 11 � 10 � 110. Usem esta ideia 
para efetuar:
 a) 62 500 250 b) 216 0003 60
 3. Mostrem que �(25%) 50%
1
2 . � �� �� �� �� �� � � �� �� �� �25%25% 2525
100100
55
1010
5050
100100
50%50%
 4. Sabendo que �x 43 , calculem x6 . 2
 5. A igualdade �� �a b a bn n n é sempre verdadeira? 
 6. Qual é o inverso de 10? Representem este número como potência de base 10. 11
1010
e 1e 100
11
22
� �� � ��
� �� �� �� � � �� �
100100 44� �� �4� �� � 400400 2020
100100 4 14 1� �� �4 1� �� � 0 20 2� �� �0 2� �� � 2020
� �� �
� �� �
��
� �� �� �� �� �� �� �� �� �
100100 4 24 24 24 2� �� �4 2� �� �� �� �4 2� �� �5 55 5� �� �5 5� �� �
100100 4 14 1� �� �4 1� �� �� �� �� �� �� �4 1� �� �� �� �� �0 20 2� �� �0 2� �� �� �� �0 2� �� �� �� �� �� �� �0 2� �� �� �� �� � 55
Não, deve-se ter a � 0, b � 0 e n natural diferente de zero.
Usando o procedimento do 
exemplo, mostre que �6 65 10 .
� � � �))))((()� �)� �(6 66 66 66 6� �6 6� �� �6 6� �6 6� �6 6� �(6 6(� �(� �6 6� �(� � 6 6� �6 6� �)6 6) 65 115� �5� � 1116 626 6
11
555 111
10� �10� � 10
M
au
ric
io
 M
or
ae
s
Você verá
como as propriedades
que estamos vendo
serão úteis!
Ilu
st
ra
 C
ar
to
on
POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO 23
prm9_007_040_u1.indd 23 6/10/15 9:36 PM
ExErcícios
 Responda você também. 81 53x
 49. Certo ou errado?
 a) 21 5 ?3 7 C
 b) 403 5 ?4 103 3 C
 c) ? 52 5 103 E
 d) ? ? 52 3 5 30 C
 50. Calcule, indicando o resultado sem radical.
 a) ?3 12 6
 b) ?2 43 3 2
 c) ?8 45 5 2
 d) ?11 11 11
 e) ?2 50 10
 f) ?8 0,5 2
 g) ?0,1 10 1
 h) ? ?0,5 5 10 5
 47. Escreva sob a forma de uma única raiz.
 a) 543 512
 b) 235 215
 c) 3243 3212
 d) 5 58
 48. Leia a questão que Renato deve responder:
 51. A figura é constituída por duas partes retangu-
lares (medidas em cm).
8
2 4,5
 a) Qual é a área do retângulo azul? 4 cm2
 b) Qual é a área do retângulo verde? 6 cm2
 52. Calcule, usando as propriedades dos radicais 
aritméticos.
 a) )( 10 2 10
 b) )( 83 2 4
 c) )( 73 6 49
 d) )( 32 4 81
 53. A figura mostra um retângulo e no seu interior 
um quadrado. 45
Qual é a área
da parte hachurada 
da figura?
3
3
6
8
 54. É verdade que 
64
16
64
16
 ? Sim.
Ilu
st
ra
 C
ar
to
on
D
A
E
Es
tú
di
o 
O
rn
ito
rr
in
co
Pa
ul
o 
Jo
sé
Es
tú
di
o 
O
rn
ito
rr
in
co
A raiz quadrada da raiz 
quadrada de um número 
é igual a 3. Qual é esse 
número?
24
prm9_007_040_u1.indd 24 6/10/15 8:04 PM
5 ? 5 ? 5 ? ? 5 ? ? 51 728 2 3 2 3 2 2 3 2 2 3 123 6 33 63 33 33 33 33
Logo, a aresta deve medir 12 metros.
As propriedades dos radicais permitiram simplificar e calcular a raiz que 
resolvia o problema. 
Confira calculando se 123 5 1 728.
6. Simplificação de radicais
Um reservatório em forma de cubo deve comportar 1 728 m3 de água.
Qual deve ser a medida de sua aresta?
Vamos descobrir?
O volume do cubo é: V 5 a3
Como V 5 1 728 m3, temos a3 5 1 728.
Então, a 5 1 7283 .
Podemos determinar essa raiz por tentativas. Também podemos 
usar as propriedades dos radicais para determiná-la.
◆◆ Fatoramos 1 728:
1 728 2
864 2
432 2
216 2
108 2
54 2
27 3
9 3
3 3
1
Para fazer a higiene pessoal, 
cozinhar, limpar a casa, lavar a roupa 
etc., cada pessoa consome em média 
200 litros de água por dia.
Um reservatório como esse seria 
capaz de abastecer um grupo de 
500 pessoas por aproximadamente 
quantos dias?
Lembre-se de que 1 m3 5 1 000 L e 
responda no caderno. 
Aproximadamente 17 dias.
1 728 5 26 ? 33
D
A
E
Yu
ri 
Sa
m
so
no
v/
Sh
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te
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to
ck
a
a
a
POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO 25
prm9_007_040_u1.indd 25 6/10/15 8:04 PM
Veja mais exemplos de simplificação de radicais:
1. � � � � � �8 2 2 2 2 2 2 23 2 2
2. Usaremos a fatoração para simplificar 2245 .
224 2
112 2
56 2
28 2
14 2
7 7
1
3. Sabendo que 5 � 2,24, vamos calcular o valor aproximado de 245 .
Para simplificar 700 Ricardo lembrou que 
700 � 100 � 7 e fez:
� � � � �700 100 7 100 7 10 7
Como a raiz era quadrada, ele decompôs 700 num 
produto, de forma que um dos fatores fosse um 
número quadrado perfeito.
Você também pode usar essa ideia!
245 5
49 7
7 7
1
Fatorando 245, obtemos 245 � 72 � 5.
245 7 5 7 5 7 52 2� � � � �
245 � 7 � 2,24 � 15,68
 1. Utilize a ideia de Ricardo para simplificar 
no caderno os seguintes radicais:
 a) 28 2 72 72 72 7
 b) 32 4 24 24 24 2
 c) 500 1010 55
 d) 163 2 22 22 22 2332 22 232 22 2
 2. É verdade que 32 é o dobro de 8 ? 
 3. Qual dos números é o maior? Alternativa d.
 a) 100
 b) 1000
 c) 
1
0,1
 d) 1
0,01
Sim. � �� �� �� � ��3232 4 84 8� �� �4 8� �� � 2 82 82 82 8
Registre no caderno.
 1. Veja como Marcela pensou: � � � � �5 3 25 3 25 3 75 
 Marcela introduziu o 5 no radical. Faça o mesmo para:
 a) 2 7 2828 b) 10 11 11001100 c) 2 53 404033
 2. Mostre que �
3 5
3
15 . ��
4545
33
1515
 3. Que número é maior: 3 2 ou 2 3 ? ��
��
1818 1212
3 23 23 23 2 2 32 32 32 3
 
2 2 é a forma simplificada de 8
R
on
al
do
 B
ar
at
a
224 � 25 � 7
� � � � �224 2 7 2 7 2 75 55 55 5 5
26
prm9_007_040_u1.indd 26 6/11/15 9:49 AM
ExErcícios
 55. Verifique...
 a) 5 ?5 7 25 7 C
 b) ? 53 4 2 3 C
 c) 52 10 20 E
 d) 52 5 20 C
 e) 52 2 163 3 C
 f) ? 59 8 6 2 C
 56. Simplifique os radicais.
 a) 98 7 2
 b) 27 3 3
 c) 72 6 2
 d) 243 2 33
 e) 804 2 54
 f) 7293 9
 g) 363 11 3
 h) 1083 3 43
 i) 2245 2 75
 j) 2404 2 154
 57. Considere a sequência abaixo, em que a área 
de cada quadrado é a quarta parte da área do 
quadrado anterior.
A � 256 cm2
 Sendo 256 cm2 a área do primeiro quadrado, 
responda:
 a) Qual é a medida do lado do segundo quadrado?
 b) Qual é a medida do lado do menor quadrado? 
8 cm
1 cm
 58. O sólido abaixo tem o volume de 4 374 cm3 e é 
formado por cubos de mesmo volume. Calcule 
a medida da aresta de cada cubo. 9 cm
 59. Mostre que as igualdades são verdadeiras.
 a) 5
12
25
2 3
5
 5 512
25
12
25
2 3
5
 
 b) 5
32
27
4 2
3 3
 5 5
32
27
32
27
4 2
3 3
 60. Rodrigo está escrevendo uma sequência de cin-
co números. Qual é o número que ele ainda de-
verá escrever? 72 ou 6 2
 61. Mostre que os números 4 3 , 7 e 5 2 estão co-
locados em ordem crescente.  48 49 50
 62. Use propriedades dos radicais e consulte o 
quadro para achar um valor aproximado de:
 a) 12 3,46
 b) 18 4,23
 c) 63 7,92 
2 � 1,41
3 � 1,73
5 � 2,23
6 � 2,44
7 � 2,64
 d) 80 8,92
 e) 54 7,32
4 374 � 6 5 729
7293 5 9
Ilu
st
ra
 C
ar
to
on
8 , 18 , 32 , 50
D
A
E
D
A
E
... cada item, se 
está certo ou 
errado.
Ilu
st
ra
 C
ar
to
on
POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO 27
prm9_007_040_u1.indd 27 6/10/15 8:04 PM
Não é difícil somar e 
subtrair radicais semelhantes!
A expressão não tem 
radical semelhante a 3 .
Radicais que inicialmente não eram semelhantes 
tornaram-se semelhantes depois de simplificados.
Veja a seguir outros exemplos.
◆◆ São semelhantes: ◆◆ Não são semelhantes:
2 5 e 3 5 6 e 63
34 e 10 345 5 5 3 e 5 8
7. Adição e subtração de radicais
Radicais semelhantes são radicais que têm mesmo índice e mesmo radicando.
7 23 5 23
radicais 
semelhantes
Os índices são diferentes.
Os radicandos são diferentes.
Na expressão algébrica 5x 1 9y 1 2x 1 4y, podemos somar os termos semelhantes:
5x 1 9y 1 2x 1 4y 5 7x 1 13y
5x e 2x são termos semelhantes
9y e 4y são termos semelhantes
Veja esta expressão com radicais:
◆◆ 1 1 25 2 7 2 6 3 2 3
Nela encontramos radicais semelhantes. Aproveitando as ideias da expressão algébrica, podemos fazer:
1 1 2 5 15 2 7 2 6 3 2 3 12 2 4 3
Veja outros exemplos de expressões envolvendo adição e subtração de radicais:
◆◆ 1 2 1 2 5 2 28 5 7 10 5 2 7 9 7 2 5 6 73 4 3 4 4 3 4
◆◆ 1 2 1 5 13 5 7 6 7 2 7 3 7
◆◆ 1 5 ? 1 ? 5 ? 1 ? 5 150 32 25 2 16 2 25 2 16 2 5 2 4 2
1 5 1 550 32 5 2 4 2 9 2
28
prm9_007_040_u1.indd 28 6/10/15 8:04 PM
Vamos resolver um problema de Geometria?
Um quadrado tem área de 32 cm2.
Qual é a medida de seu perímetro?
O perímetro do quadrado é igual à soma das 
medidas de seus lados.
Portanto, precisamos descobrir primeiro a 
medida do lado do quadrado.
A área do quadrado é A � 2.
Então 2 � 32, ou seja,  � 32 .
Podemos simplificar esse radical, lembrando que:
32 � 16 � 2
� � � � �32 16 2 16 2 4 2 , ou seja, o 
lado do quadrado mede 4 2 cm.
Agora podemos calcular o perímetro:
P � � � � �4 2 4 2 4 2 4 2 16 2 cm
Se quisermos um valor aproximado para esta medida, 
podemos usar 2 � 1,41 e fazer 16 � 1,41 � 22,56.
O perímetro do quadrado é de 22,56 cm, 
aproximadamente.
Registre no caderno.
 1. A igualdade é verdadeira ou falsa?
 a) � �2 2 4 F b) � �10 10 20 F c) � �5 5 2 5 V d) � �20 5 5 V
 2. Mostre que:
 a) �4 9 � �4 9 � �� �2 32 3� �� �2 3� �� � 1313 b) �25 9 � �25 9 5 � 3 � 4
 3. Podemos somar 7 com 73 ? Justifique. 
 4. Verdadeiro ou falso?
 a) 
�
�
12 3
3
1 Verdadeiro. b) � � �9 4 5 2 5 
 5. Descubra qual é maior: Alternativa b.
 a) � �18 32 72 b) � �162 98 200
Não, pois não são radicais semelhantes. 
Os índices são diferentes.
Verdadeiro.
Eleve ambos os 
membros ao quadrado.
Dica
Isso significa
que o perímetro estará 
entre 20 cm e
24 cm.
O resultado
confere com sua
previsão!
Ilu
st
ra
çõ
es
: R
ei
na
ld
o 
R
os
a
Se a área do
quadrado é de 32 cm2, a
medida de seu lado está entre
5 cm e 6 cm, pois 52 � 25
e 62 � 36.
POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO 29
prm9_007_040_u1.indd 29 6/10/15 9:38 PM
ExErcícios
 63. Responda. Falsa, porque 7  5.
A igualdade:
16 + 9 = 25 é
verdadeira ou falsa?
Por quê?
 64. Certo ou errado?
 a) 2 59 4 1 C
 b) 1 536 64 100 E
 c) 1 521 21 42 E
 d) 1 510 10 2 10 C
 65. Efetue.
 a) 15 7 3 7 8 7
 b) 24 5 2 5 2 5
 c) 12 9 3 93 3 953
 d) 2 25 5 5 2 5
 e) 2 15 2 3 2 2 2 4 2
 f) 2 2 18 3 2 3 8 3 3 2 3
 66. Efetue.
 a) 13 27 4 3
 b) 275 12 3 3
 c) 17 2 50 12 2
 d) 2 112 75 3 22 3
 e) 1 2 13 20 32 2 45 50 9 2
 f) 1 2 1125 2 27 20 3 12 13 5 12 3
 67. Nas figuras, as medidas indicadas são dadas 
em cm. Determine o perímetro de cada figura.
 a) 10 11 cm
44
99
 b) 12 5 cm
80
125
53
 68. Qual é o perímetro da figura? 18 2 cm
72 cm
18 cm
 69. É verdade que 5 45 80  ? Sim.
 70. Sabendo -se que os valores aproximados de 
2  � 1,41 e �3 1,73, calcule um valor apro-
ximado de:
 a) 12 3 3,14
 b) 19 3 4,73
 c) 23 2 0,32
 d) 225 2 3,59
 71. Situe 
12 5
3

 entre dois números inteiros 
consecutivos.  1 4 12 5
3
5
5 1 1 172 72 18 18P
5 18 2P
Ilu
st
ra
çõ
es
: D
A
E
M
ar
ce
lo
 A
za
lim
30
prm9_007_040_u1.indd 30 6/10/15 8:04 PM
8. Cálculos com radicais
◆◆ Vamos calcular a área do retângulo ao lado.
c: medida do comprimento
l: medida da largura
Lembrando que a área do retângulo é A 5 c · l,
temos para esse retângulo A 5 15 6? .
Aplicando a 3a propriedade, podemos escrever:
A 5 15 6?
A 5 5 ? 5 ? 590 9 10 9 10 3 10 cm2
◆◆ Aqui temos outro retângulo.
5(3 � ) cm
5 cm
Qual é sua área?
A 5 ? 2 )(5 3 5
Aplicamos a propriedade distributiva:
A 5 ? 2 ?5 3 5 5
A 5 23 5 52
A 5 2( )3 5 5 cm2
6 cml �
15 cmc �
23( ) cm�
232 � ( ) cm�
Para calcular a área desse retângulo, usaremos nossos 
conhecimentos sobre produtos notáveis:
A 5 1 ? 2 ?( ) ( )3 2 3 2 2
A 5 2 ? 5 2 ?( )( ) ( )

3 2 2 3 2 2
2 2
2 2
A 5 (3 2 2) ? 2
A 5 2 cm2
Acompanhe outros exemplos de cálculos que envolvem radicais:
◆◆
90
15
4 6
90
15
4 6 6 4 6 5 6
3
3
3 3 3 3 3 31 5 1 5 1 5
Escrevemos 3 5 . 
É mais usual.
◆◆
1
5
1 ?
5
1 ?
5
1
5
1
5 1
)(8 12
2
8 4 3
2
8 4 3
2
8 2 3
2
2 4 3
2
4 3
Ilu
st
ra
çõ
es
: D
A
E
Aplicamos a 3a propriedade.
Colocamos o fator comum 2 do numerador em evidência e simplificamos a expressão.
Potenciação e radiciação 31
prm9_007_040_u1.indd 31 6/10/15 8:04 PM
ExErcícios
 72. 
 a) ?17 17 17
 b) ?5 253 3 5
 c) ?2 40,5 9
 d) ? ?7 3 7 21
 e) ? ? ?5 3 52 30
 f) ? ? ?3 6 6 3 18
 73. Na figura, as medidas indicadas são dadas em 
cm. Determine a área desse retângulo. 30 cm2
25
23
 74. Efetue.
a) �14 2 7
b) �20 53 3 43
c) �108 2 8 5
d) �20 20 5 2 4 10
 75. A área do retângulo é igual a 195 cm2, e o com-
primento mede 15 cm. Quanto mede a largura 
deste retângulo? 13 cm 5�195 15 13
15 cm
195 cm2
 76. Calcule a área do trapézio, supondo as medidas 
em cm. 8 cm2
18
50
2
A 5 
1
5
( )50 18 2
2
8
 77. Calcule a área de cada um dos quadrados.
 a) 13 2 2 b) 15 2 6
2 � 1
2 � 3 
 78. Calcule, indicando o resultado sem radical.
 a) 
40
5
3
3 2
 b) 
490
10
 7
 c) 
?2 6
3
 2
 d) 
?
40
5 2
 2
 79. Simplifique.
 a) 
14 12
2
 12 3 b) 
24 32
4
 21 2
 80. Para saber a área de determinada figura, 
uma pessoa calculou a área de cada parte 
da figura, encontrando a seguinte expressão: 
4 2 10 . Outra pessoa calculou a área des-
sa mesma figura de outra maneira, chegando 
também ao resultado anterior. 
 a) ? 18 2 5
 b) ? 1( )2 8 5
 c) ? 1( )5 2 8 
 d) ? 1( )8 2 5
R
ei
na
ld
o 
R
os
a
Alternativa d.
Efetue as
multiplicações, indicando o 
resultado sem radical.
2
8
5
Ilu
st
ra
çõ
es
: D
A
E
R
ei
na
ld
o 
R
os
a
A 5 5) )( (5 2 3 2 30
De que forma 
essa pessoa pode ter 
representado a área 
dessa figura?
32
prm9_007_040_u1.indd 32 6/10/15 8:04 PM
9. Racionalização
Você já sabe:
Veja a divisão que Aninha precisava fazer:
� �
7
2
7
1,414213562
7 1,414213562�
Essa divisão é 
mesmo trabalhosa!
Observe que ela precisou usar uma 
aproximação para 2 , pois 2 é um 
número irracional.
Podemos evitar essas divisões encontrando uma divisão equiva-
lente à divisão original e que não tenha número irracional como divisor. 
Acompanhe o raciocínio da Aninha:
�
�
�
� �
7
2
7 2
2 2
7 2
2
7 2
22
Então:
�
7
2
7 2
2
Acompanhe mais dois exemplos de racionalização:
 � �
�
�
� �
�
�
3
5 6
3 6
5 6 6
3 6
5 6
3 6
5 6
6
102
2
 � �
�
�
� �
1
7
1 7
7 7
7
7
49
73
23
3 23
23
33
3
Agora é com você! Registre no caderno.
 1. É verdade que 
11
11
11� ? Sim.
 2. Racionalize.
a) 
8
3
 
8 38 38 38 3
33
 b) 
5 2
6
 
 c) 
8
345
 
8 38 38 38 3
33
558 38 358 38 3
��
5 15 15 15 122
66
5 35 35 35 3
33
Essa divisão tem divisor 
racional e vale o mesmo 
que a divisão original.
Tornamos o divisor 
racional. Fizemos sua 
racionalização.
R
ei
na
ld
o 
R
os
a
Os números irracionais têm infinitas casas decimais e não apresentam período.
Registre no caderno.
 1. Por qual número você multiplicaria dividendo e divisor de 
5
3
 
para racionalizar o divisor? 33 
 2. Mostre que �
6
2
3 2 . �� � �� �� �� �66
22
6 26 26 26 2
2 22 22 22 2��2 2��
6 26 26 26 2
22
3 23 23 23 2
 3. Veja o que Caio fez: 
2
5
2 5
5 5
2 5
53
3
3 3
3
23
�
�
�
� .
Ele racionalizou o divisor? Por qual número Caio deveria ter 
multiplicado dividendo e divisor? Não; 5 .5 .225 .5 .25 .5 .33
Quando multiplicamos o dividendo e o 
divisor por um mesmo número diferente 
de zero, o quociente não se altera.
POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO 33
prm9_007_040_u1.indd 33 6/10/15 9:40 PM
rEVisANDo
 81. 
 a) 272 1 (27)2 0
 b) 223 2 30 1 1 237
 c) 
2
3
3
2



 1 1 
19
27
 d) 252 1 (23)2 2 10 226
 e) 32 1 322 82
9
 f) 50 2 (21) 2 
1
2
2
2



 
7
4
 g) 1
1
2
4
2



 1 1
1
2
1
1
2



 
35
48
 82. Escreva os números dos cartões em ordem 
crescente. C, D, B, E, F, A
25 100
1
2
(22)3
422
52
33
AA cc
DD
BB
EE
FF
 83. Escreva o número 
1
9
 na forma de uma potência 
de base 3. 322 
 84. Sabendo-se que 292  841, calcule mentalmente.
 a) 8,41 b) 0,0841 c) 84 100
2,92 29020,292
Zu
ba
rt
ez
 85. Sabendo-se que a é um número inteiro positivo, 
indique as expressões equivalentes.
 A a 1 a 1 a 1 a 1 a
 B a ? a ? a ? a ? a
 C (a 1 a) ? (a 1 a 1 a)
 D (a 1 a 1 a) ? (a ? a)
 E (a ? a ? a) 2 (a 1 a)
 F (a ? a) 1 (a 1 a)
 1 a5
 2 3a ? a2
 3 5a
 4 a2 1 2a
 5 2a ? 3a
 6 a3 2 2a
 86. 
Já calculei 84.
Deu 4 096.
Calcule mentalmente 212.
4 096 
84 5 (23)4 5 4 096
 87. Qual dos números é o menor? Alternativa a.
 a) 
1
9
2



 b) 
1
27
1
3
 c) 2
1
9
 88. Uma fábrica produz garrafas de refrigerantes 
com capacidade de 
1
2
 litro, 1 litro e 2 litros, ca-
da uma delas disponível nos sabores guaraná, 
limão e laranja. Quantas possibilidades de es-
colha existem para o consumidor que levar ape-
nas uma garrafa? 9 possibilidades 3² 5 9
A e 3
B e 1
C e 5
D e 2
E e 6
F e 4
Pe
dr
o 
So
tto
Faça os 
cálculos.
R
on
al
do
 B
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a
M
ar
ce
lo
 A
za
lim
34
prm9_007_040_u1.indd 34 6/10/15 8:04 PM
 89. Determine os dois termos seguintes de cada 
uma das sequências indicadas.
 a) 1, 4, 9, 16, ... 25, 36
 b) 1, 8, 27, 64, ... 125, 216
 c) 1, 
1
2
,
1
4
,
1
8
, ... 1
16
,
1
32
 d) 
2
3
,
4
9
,
8
27
, ... 16
81
,
32
243
 90. Usando “cubinhos” iguais, Alice fez a construção 
a seguir:
 a) Determine o menor 
número de “cubinhos” 
que Alice teria de 
acrescentar à cons-
trução para obter um 
cubo.
 b) Determine o menor 
número de “cubinhos” 
que Alice teria de reti-
rar da construção para obter um cubo. 
 91. Simplifique.
 a) 
?
?
2 5
2 5
5 13
9 6
 224 ? 57
 b) 
? ? ?(2 3) (3 5)
3
7 4
9
 27 ? 32 ? 54
 92. Uma feira de livros foi instalada num prédio de 
3 andares, cada andar dividido em 3 setores. 
Compondo cada setor havia 3 estandes, e em 
cada um deles trabalhavam 3 pessoas, que fo-
ram identificadas com um crachá. Quantos cra-
chás, no mínimo, foram confeccionados?
52 “cubinhos” (restando um cubo 2  2  2)
81 crachás 34 5 81
 93. Calcule.
a) 10 49 072 
b) 1,1 0,292
c) 3 42 2
d) 
4 100
3
2 
e) 210 82 2
f) 2 2  ( 5) 4 1 62
g) 2  25 8 12 813 4
h) 
2 2 

( 7) 1
2 6
 94. Observe o quadrado representado na figura:
Área: 150 cm2
 Responda.
 a) Você pode indicar o lado do quadrado como 
150 cm? Sim.
 b) Qual é o número natural que elevado ao qua-
drado resulta 150? Não existe.
◆◆ Tente o 11. É muito ou pouco? 
◆◆ Tente o 12. É muito ou pouco? 
◆◆ Tente o 13. É muito ou pouco? 
 c) O lado desse quadrado é um número natural? 
Entre quais dois números naturais consecuti-
vos está 150 ? Não. Entre 12 e 13.
 d) Com o auxílio da calculadora, calcule apro-
ximadamente a medida do lado desse qua-
drado. 12,247 cm
Pa
ul
o 
Jo
sé
Ilu
st
ra
çõ
es
: D
A
E
É pouco, pois 112 5 121.
É pouco, pois 122 5 144.
É muito, pois 132 5 169.
Le
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ar
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 C
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ce
iç
ão
a) 3
b) 0,9
c) 5
d) 2
e) 6
f) 1
g) 21
h) 
2
3
65 “cubinhos” 
(formando um cubo 5  5  5)
POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO 35
prm9_007_040_u1.indd 35 6/10/15 8:04 PM
 95. Qual é maior:
 a) 40 ou 6? 40
 b) 5 ou 2,2? 5
 c) 50 ou 7,1? 7,1
 d) 5,29 ou 2,3? 
 96. Calcule a diferença entre a raiz quadrada de 64 
e a raiz cúbica de 8. 6 2 564 8 63
 97. Simplifique.
 a) 576 24
 b) 2435 3
 c) 4 0964 8
 d) 14 400 120
 e) 2 
 f) 7296 3
 g) 2 025 45
 h) 
121
144
 11
12
 98. Simplifique.
 a) 99 3 11
 b) 450 15 2
 c) 800 20 2
 d) 432 12 3
 99. (FMRP-SP) Um pai pretendia dividir uma pizza 
em 4 pedaços iguais, um para cada pessoa da 
família. Porém, a sua filha pediu-lhe o pedaço 
correspondente ao quadrado da fração que lhe 
caberia, e o filho, a raiz quadrada da fração que 
lhe caberia. A sua esposa ficou com a quarta 
parte e ele com o restante. Que fração corres-
pondeu ao pedaço do pai? 3
16
 2 1 1( )1 116 12 14
 100. Situe 
5 8
3 2
 entre dois números inteiros con-
secutivos.  3 5 8
3 2
4
São iguais.
 101. Calcule e simplifique.
 a) ? 52 10
 b) ?3 15 3 5
 c) ?2 98 14
 d) ?20
9
20
 3
 e) ?200 2 20
 f) ? ?50 3 6 30
 g) ?0,4 10 2
 h) 8
1
2
? 2
 102. No retângulo a seguir, as medidas estão indi-
cadas em centímetros. Determine a área da 
figura. 18 cm2 ? 5 512 27 324 18
27
12
 103. Em um triângulo equilátero, o perímetro é 
igual a 24 2 cm. Quanto mede o lado desse 
triângulo? 8 2 cm 
 104. Escreva na forma mais simples possível cada 
uma das expressões a seguir.
 a) 18 98 9 2
 b) 145 20 5 5
 c) 113 19 Não é possível.
 d) 228 10 7 28 7
 e) 1 23 75 12 4 3
 f) 1 2 111 44 2 99 176 11
 105. No quadrilátero da figura, as medidas dos la-
dos estão dadas em centímetros. Determine o 
perímetro desse quadrilátero. 14 3 cm
32
75
27
48
Ilu
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ão
36
prm9_007_040_u1.indd 36 6/10/15 8:04 PM
 106. Veja as medidas da figura:
2
2
7
7
 a) Qual é a área do quadrado verde? 2
 b) Qual é a área do quadrado azul? 7
 c) Qual é o perímetro do quadrado azul? 4 7
 d) Qual é o perímetro de um retângulo rosa? 
 e) Que expressão representa a área total des-
sa figura? 19 2 14
 107. Sim. 3 , 2 , 5212 412 312  9 16 12512 12 12
Os números 36 , 23 e 54 estão colocados 
em ordem crescente? Demonstre.
 108. Um engenheiro mandou construir um reserva-
tório que tem a forma de um cubo, com capaci-
dade de 64 m3.
 a) Qual é a medida do lado desse reservatório?
 b) Quanto teria de aumentar cada um dos la-
dos do reservatório para a capacidade ser 
de 125 m3? 1 m
 109. Racionalize.
 a) 
3
2
 3 2
2
 b) 
8
5
 540
5
2 10
5
 c) 
8 7
5 2
 4 14
5
 d) 
15
723
 15 7
7
3
 e) 
18
64
 3 2164
 f) 
1
4 23
 4
8
3
12 2 2 7
Pa
ul
o 
Jo
sé
4 m
 110. Observe a planta abaixo e responda.
Sala do 
Dr. Pedro: 
25 m2
Sala do 
Dr. João: 
???
Sala do 
Dr. Paulo: 
36 m2
 a) Qual é a área da sala do Dr. João, sabendo-se 
que as outras duas salas são quadradas?
 b) Qual das salas tem maior perímetro? 
 111. (Obmep) Qual dos números a seguir está mais 
próximo de (0,899² 2 0,101²) ? 0,5? Alternativa a.
 a) 0,4 b) 0,5 c) 0,8 d) 0,9
 112. (Cesgranrio) Pensando em reunir os amigos 
em torno de uma única mesa, João juntou du-
as mesas retangulares e iguais formando uma 
única mesa, quadrada, de área 1,44 m2, como 
mostra a figura 1. José analisou a arrumação 
de João e concluiu que, se ele juntasse as du-
as mesas pelo menor lado (figura 2), haveria 
espaçao para mais pessoas, pois o períme-
tro dessa nova mesa seria
maior. A diferença 
em metros, entre os perímetros da “mesa de 
José” e da “mesa de João”, é: Alternativa d.
 a) 0,36 
 b) 0,60
 c) 0,72 
 d) 1,20
e) 1,80
30 m2
A sala do Dr. Paulo; 24 m.
(0,9² 2 0,1²) ? 0,5 5 0,4
Q 5 4 ? 1,2 5 4,8
R 5 2(0,6 1 2,4) 5 6
R 2 Q 5 1,2
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A
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Figura 2Figura 1
D
A
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Potenciação e radiciação 37
prm9_007_040_u1.indd 37 6/10/15 8:05 PM
DEsAFios
 113. Consideremos a seguinte situação:
◆◆ Ao lançarmos uma moeda, temos dois resul-
tados possíveis: cara ou coroa.
◆◆ Se lançarmos duas moedas diferentes, por 
exemplo, uma de R$ 0,10 e outra de R$ 0,50, 
teremos quatro possibilidades:
(cara, cara) (cara, coroa)
(coroa, coroa) (coroa, cara)
 A relação entre o número de moedas e o núme-
ro de resultados é dada pela tabela. Copie-a e 
complete-a.
No de moedas No de resultados
1 2
2 4
3 8
4 16
5 32
6 64
 Se n é o número de moedas, qual é o número de 
resultados? 2n
 114. Uma sala quadrada de área 49 m2 tem um tape-
te também quadrado de área 6,25 m2 colocado 
no centro da sala. Qual é a distância do tapete 
às paredes? 2,25 m 7 2 2,5 5 4,5 � 2 5 2,25
Fo
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 115. (Fuvest-SP) Qual a metade de 222? 222 � 2 5 221
 116. Qual é maior: 5 2 ou 4 3 ?
 117. Observe com atenção o quadro:
1a) 1 soma 5 1
2a) 3 5 soma 5 8
3a) 7 9 11 soma 5 27
4a) 13 15 17 19 soma 5 64
5a) 21 23 25 27 29 soma 5 125
 a) Quais números formam a 6a linha? 
 b) Qual é a soma dos números da 6a linha? 
 c) Qual é a soma dos números da 10a linha? 
 118. Um torneio de pingue-pongue é disputa-
do por 32 jogadores, que são agrupados em 
pares. Os jogadores de cada par se enfren-
tam, e os perdedores são eliminados (não 
há empates). Os vencedores são agrupados 
em novos pares e assim por diante, até que 
fique apenas o campeão. Quantas partidas 
são disputadas? 31 partidas
5 2 , porque 50 484 4
31, 33, 35, 37, 39, 41
63 5 216
103 5 1 000
Ilu
st
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 C
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16 1 8 1 4 1 2 1 1 5 31
38
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sEÇÃo LiVrE
A lenda do jogo de xadrez
O xadrez é um jogo muito antigo e interessante. Desenvolve o raciocínio e a capacidade de con-
centração, além de proporcionar momentos agradáveis.
Existe uma lenda a respeito desse jogo, bastante conhecida, que envolve o conceito de potência:
Conta-se que um rei, entusiasmado com o jogo de xadrez, ordenou que dessem ao inventor 
do jogo o que ele pedisse. O inventor pediu: 1 grão de trigo pela primeira casa do tabuleiro de xa-
drez; 2 grãos de trigo pela segunda casa; 4 pela terceira casa; 8 pela quarta casa; 16 pela quinta 
casa; 32 pela sexta casa; e assim sucessivamente, sempre dobrando o número de grãos que foi 
colocado na casa anterior, até completar as 64 casas.
A vontade do rei não pôde ser satisfeita. Mesmo juntando-se todos os celeiros do mundo não 
se conseguiria a quantidade pedida pelo inventor: dezoito quintilhões, quatrocentos e quarenta 
e seis quatrilhões, setecentos e quarenta e quatro trilhões, setenta e três bilhões, setecentos e 
nove milhões, quinhentos e cinquenta e um mil e seiscentos e quinze grãos de trigo, ou seja: 264 2 1
18 446 744 073 709 551 615
 Agora é a sua vez!
 Imagine que você queira economizar dinheiro e adote o seguinte esquema: no 1o dia, você guarda 
1 centavo; no 2o dia, dois centavos; no 3o dia, quatro centavos, e assim sucessivamente. Ou seja, você 
guarda, a cada dia, o dobro do que guardou no dia anterior.
 Quanto você acha que economizaria, mais ou menos, em um mês? 
 Faça os cálculos utilizando uma calculadora. 
Aproximadamente 10 milhões e 
700 mil reais.
G
ar
sy
a/
Sh
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te
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ck
POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO 39
prm9_007_040_u1.indd 39 6/10/15 8:05 PM
AUToAVALiAÇÃo
Anote no caderno o número do exercício e 
a letra correspondente à resposta correta.
 119. Quais destas igualdades são verdadeiras?
I 0,16 5 0,4
II 0,2 � 0,1 5 0,2
III 0,1 5 0,1
 a) Apenas a primeira. Alternativa a.
 b) Apenas a segunda.
 c) Apenas a terceira.
 d) A primeira e a última.
 120. (UFRJ) A dose diária recomendada de um re-
médio líquido é de 40 gotas. Uma gota deste 
medicamento pesa, em média, 5 ? 1022 gramas. 
Então, num frasco contendo 80 gramas desse 
remédio, temos medicamento suficiente para 
um tratamento de no máximo: Alternativa d.
 a) 15 dias.
 b) 20 dias.
 c) 30 dias.
 d) 40 dias. 
 121. Um queijo tem forma cúbica, com 5 cm de 
aresta. Se o queijo for cortado para aperiti-
vo em “cubinhos” de 1 cm de aresta, quantos 
“cubinhos” serão obtidos? Alternativa c. 5³ 5 125
 a) 25
 b) 75
 c) 125 
 d) 150
R
on
al
do
 B
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a
40 ? 5 ? 0,01 5 2
80 � 2 5 40
Jo
rg
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Za
ib
a
5 cm
 122. O menor país do mundo em ex-
tensão é o Estado do Vaticano, 
com área de 400 000 m2. 
Basílica de São Pedro, Vaticano.
 Se o território do Vaticano tivesse a forma de 
um quadrado, então a medida de seus lados 
estaria entre: Alternativa d.
 a) 200 e 210 m
 b) 320 e 330 m
 c) 400 e 410 m
 d) 600 e 650 m 
 123. (OBM) O valor de 0,444... é: Alternativa d.
 a) 0,222...
 b) 0,333...
 c) 0,444...
 d) 0,666... 
 124. Com azulejos brancos e azuis, todos do mes-
mo tamanho, Carlinhos está construindo uma 
sequência de mosaicos. 
 Os números de azulejos azuis e de azulejos 
brancos que serão necessários para construir 
o 5o mosaico dessa sequência são, respectiva-
mente: Alternativa a.
 a) 24 e 25 
 b) 25 e 24
 c) 24 e 16
 d) 16 e 24
 125. (Vunesp) Uma cultura de certa bactéria, man-
tida sob condições ideais, triplica o seu volu-
me a cada dia. Se o volume no primeiro dia é 
de 9 cm3, o volume no quinto dia será:
 a) 405 cm3
 b) 729 cm3 
 c) 939 cm3
 d) 2 187 cm3
5 5
4
9
2
3
0,666...
Azuis: 8, 12, 16, 20, 24
Brancos: 1, 4, 9, 16, 25
9, 27, 81, 243, 729
Alternativa b.
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2 5 400 000 → l 5 200 10
40
prm9_007_040_u1.indd 40 6/10/15 8:05 PM
U N I D A D E
Subtraindo x de ambos os membros da equação:
2x 1 108 2 x 5 x 1 190 2 x
x 1 108 5 190
x 5 190 2 108
x 5 82
A bermuda custa R$ 82,00.
Equações do 2o grau2
1. Equações
Você já sabe como as equações são úteis na re-
presentação e resolução de problemas.
Então, acompanhe a situação a seguir.
Na loja ao lado, um kit-presente com duas ber-
mudas e três camisetas custa o mesmo que um kit-
-presente com uma bermuda e duas camisas.
Qual é o preço de uma bermuda?
Com um colega, tentem resolver o problema 
antes de prosseguir com a leitura. A seguir, leia a re-
solução que apresentamos. Observe que ela utiliza a 
álgebra.
Representaremos o preço da bermuda por x.
Duas bermudas e três camisetas custam 2x 1 108.
Uma bermuda e duas camisas custam x 1 190.
Como os preços dos kits são iguais, temos que:
2x 1 108 5 x 1 190
Para verificar se a solução está correta, substituímos x por 82 na equação 
 2x 1 108 5 x 1 190.
2 ? 82 1 108 5 82 1 190 164 1 108 5 82 1 190
272 5 272 (igualdade verdadeira)
Logo, 82 é a solução da equação.
Ilu
st
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es
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So
uz
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Escrevemos 
uma equação na incógnita x 
para representar a situação. 
Vamos resolver a equação 
para descobrir o valor 
de x, que é o preço 
da bermuda.
EQUAÇÕES DO 2O GRAU 4141
prm9_041_080_u2.indd 41 6/10/15 8:05 PM
ExErcícios
 1. Na lousa há oito equações com uma incógnita.
1) x 2 2 5x 1 6 5 0
2) 2x 2 7 5 0
3) x 3 2 x 2 5 10
4) 6x 2 2 x 5 0
5) 3x 1 4 5 20
6) 4x 2 2 2 5 34
7) 2x 4 2 8 5 0
8) 9x 1 6 5 7x 1 4
 Responda.
 a) Quais são equações do 1o grau? 2, 5 e 8
 b) Quais são equações do 2o grau? 1, 4 e 6
 c) Quais são equações do 3o grau? 3
 d) Quais são equações do 4o grau? 7
 2. Será a equação x2 1 3x 5 x 1 6 1 x2 do 2o grau? 
Não. A equação é do 1o grau.
 3. Considere a equação do 2o grau:
x2 1 3x – 10 5 0
 a) 3 é solução dessa equação? Não.
 b) 2 é solução dessa equação? Sim.
 c) 22 é solução dessa equação? Não.
 d) 25 é solução dessa equação? Sim.
 4. Para a expressão 
abaixo, existem dois 
números reais que 
podem
ser coloca-
dos no lugar de . 
Quais são eles? 
 ( 1 1)2 5 9
2 e 24
Grau de uma equação
A equação 2x 1 108 5 x 1 190 que acabamos de resolver, é uma equação do 1o grau, pois o maior 
expoente de x é 1.
As equações podem ser classificadas de acordo com o valor do maior expoente da incógnita.
Nas equações do 2o grau, o valor do maior expoente da incógnita é 2.
 São exemplos de equações do 2o grau.
◆◆ 5y2 1 7y 5 0
◆◆ 9x2 5 25
◆◆ x2 1 2x 1 4 5 3
◆◆ 8 2 10a 2 a2 5 4a2 2 3a
Há equações do 3o grau, 4o grau, 5o grau etc.
Por exemplo, o valor do maior expoente da incógnita x na equação 8x 1 x2 1 2x4 5 0 é 4. Então, 
essa equação é do 4o grau.
Até agora resolvemos somente equações do 1o grau.
Nesta unidade, resolveremos equações do 2o grau.
Pa
ul
o 
Jo
sé
Resolva 
“de cabeça”!
D
an
ill
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So
uz
a
42
prm9_041_080_u2.indd 42 6/10/15 8:06 PM
2. Resolvendo equações do 2o grau
Qual é o número
que elevado ao quadrado 
resulta em nove?
Para representar essa situação podemos chamar o número desconhecido de x e escrever uma equação:
x 2 � 9
Há dois números que elevados ao quadrado resultam em nove: 3 e �3. Indicamos assim:
x � � 9
x � �3
3 e �3 são as soluções da equação do 2o grau x 2 � 9
Usando outra nomenclatura bastante comum: 3 e �3 são as raízes dessa equação.
Registre no caderno.
 1. Resolver a equação x 2 � 49 é a mesma 
coisa que calcular 49 ?
 Não, porque x 2 � 49 → x � 7 ou x � �7; e 4949 � 7.
• Primeiro pense:
Quanto vale x 2?
• Em seguida:
Quanto vale x?
 2. Calcule, mentalmente, os valores de x.
 a) x 2 � 1 � 10
 b) x 2 � 3 � 19 
 c) x 2 � 1 � 48
 d) 3x 2 � 75 5; �5
 e) 
4
2x
 � 9 6; �6
3; �3
4; �4
7; �7
Explique sua 
resposta.
Essa equação tem
duas soluções! Isso não acontecia
nas equações do
1o grau!
Você já sabe resolver algumas equações do 2o grau. Acompanhe.
1. Leia a pergunta da professora:
Ilu
st
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çõ
es
: D
an
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So
uz
a
Pa
ul
o 
Jo
sé
EQUAÇÕES DO 2O GRAU 43
prm9_041_080_u2.indd 43 6/11/15 9:50 AM
3. Existe um número real que elevado ao quadrado e somado a 16 resulta em zero?
Não há número real nessas condições. Veja por que:
Número desconhecido: x.
Elevamos x ao quadrado, somamos 16 e igualamos a zero, obtendo uma equação:
x 2 1 16 5 0
Para que tenhamos x 2 1 16 5 0 é preciso ter x 2 5 216, mas não existe número real que elevado ao 
quadrado resulte em um número negativo.
A equação x 2 1 16 5 0 não tem solução, ou não tem raízes, no conjunto dos números reais, R.
2. Num terreno quadrado será construída uma casa que ocu-
pa a área de um retângulo de medidas 8 m por 10 m. Na 
planta, a medida do lado do terreno está ilegível, mas sabe-
se que a área livre (A
terreno
 2 A
casa
) é de 320 m2.
Quanto mede o lado do terreno?
A área da casa é Acasa 5 8 ? 10 5 80 m
2.
O terreno é quadrado. Representando por x a medida do 
seu lado: 
A
terreno
 5 x 2
Como A
terreno
 2 A
casa
 5 320 m2, temos:
x 2 2 80 5 320
x 2 5 320 1 80
x 2 5 400
x 5  400
x 5 20
A solução 220 não serve, pois a medida do lado de um terreno não pode ser negativa.
Então, o lado do terreno mede 20 m.
Existem leis municipais que regulamentam a ocupação 
dos terrenos, principalmente os reservados a loteamentos e 
condomínios. Por exemplo, a área construída deverá ocupar no 
máximo certa porcentagem da área total do terreno.
No problema, a casa construída ocupa que porcentagem da área total do 
terreno?
A área total do terreno é A 5 202 5 400 m2.
Para responder à pergunta, precisamos descobrir que porcentagem 80 
representa em 400. Comparando 80 e 400 por meio de uma razão:
5 5
80
400
20
100
20%
A casa ocupa 20% da área total do terreno.
D
an
ill
o 
So
uz
a
10 m
8 m
44
prm9_041_080_u2.indd 44 6/10/15 8:06 PM
4. Veja outra situação:
Então, vamos usar outro caminho!
Na equação x 2 1 x 5 3x, podemos subtrair 3x de ambos os membros:
x 2 1 x 2 3x 5 0
x 2 2 2x 5 0
Em seguida fatoramos x 2 2 2x, colocando x em evidência:
x(x 2 2) 5 0
Pensei em um número. 
Elevei-o ao quadrado e 
somei ao próprio número.
Obtive o triplo 
do número inicial. Em 
que número pensei?
A equação 
correspondente ao problema 
é x 2 + x = 3x. Vou resolver do modo 
como fizemos nas equações 
anteriores...
x 2 + x = 3x
x 2 = 3x 2 x
x 2 = 2x
x = x± 2
Opa! 
Assim não dá 
para achar x.
Ilu
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çõ
es
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on
al
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 B
ar
at
a
Quando é 
que um produto é 
igual a zero?
Quando pelo 
menos um dos fatores 
é igual a zero.
É a lei do 
anulamento do produto:
Se a ? b 5 0, então 
a 5 0 ou b 5 0.
EquaçõEs do 2o grau 45
prm9_041_080_u2.indd 45 6/10/15 8:06 PM
5. Os retângulos ilustrados abaixo têm a mesma área.
Com essa informação, podemos escrever e resolver uma equação e 
determinar as medidas dos lados de cada retângulo. Acompanhe.
◆◆ Área do retângulo I
A
I 
5 2x(x 1 2) 5 2x 2 1 4x
◆◆ Área do retângulo II
A
II
 5 x(x 1 8) 5 x 2 1 8x
Como A
I
 5 A
II
, temos:
2x2 1 4x 5 x2 1 8x 
2x2 1 4x 2 x2 5 x 2 1 8x 2 x2 
x2 1 4x 5 8x 
x2 1 4x 2 8x 5 8x 2 8x
x2 2 4x 5 0 
x(x 2 4) 5 0
Para que o produto x(x 2 4) seja igual a zero, devemos ter:
x 5 0 ou
x 2 4 5 0 → x 5 4
A solução x 5 0 não serve, pois os retângulos não existiriam.
Então x 5 4 cm.
Subtraímos x2 de ambos os membros da equação:
Subtraímos 8x de ambos os membros da equação:
Colocamos x em evidência no primeiro membro da equação:
Então, se x(x 2 2) 5 0, devemos ter:
O número pensado pode 
ser zero ou dois.
x 5 0 ou
x 2 2 5 0, isto é, x 5 2
Retângulo I: 8 cm e 6 cm. Retângulo II: 4 cm e 12 cm.
Agora é com você! 
Sabendo que x 5 4 cm, 
determine as medidas 
dos lados de cada 
retângulo.
As medidas estão em 
centímetros.
I x � 2
2x
II
x � 8
x
Ilu
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ra
çõ
es
: D
A
E
 Daí, pensei em 2,
porque o quadrado dele é 
igual ao seu dobro. Ih!... 
Esqueci do zero...
Eu pensei
numa solução e não usei 
uma equação: se um número 
somado com seu quadrado 
dá três vezes o número, é 
porque o quadrado vale o 
dobro do número.
R
on
al
do
 B
ar
at
a
Registre no caderno.
 1. A equação x2 1 3x 5 x2 1 1 é do 2o grau? Por quê?
 2. Explique por que as afirmações abaixo são verdadeiras.
 a) x2 1 1 5 0 não tem solução em R.
 b) 3x2 1 5x 5 0 tem zero como uma de suas soluções. 
Não, x 2 1 3x 5 x 2 1 1 equivale a 3x 5 1 que é equação do 1o grau.
x 2 5 21 → não há número real que ao quadrado dê negativo.
x(3x 1 5) 5 0 x 5 0 ou x 5 2
5
3
46
prm9_041_080_u2.indd 46 6/10/15 8:06 PM
ExErcícios
 5. Existem dois valores reais que podem ser colo-
cados no lugar de x. Quais são eles?
 a) x 2 5 9 x 5 ou x 5 
 b) x 2 5 36 x 5 ou x 5 
 c) x 2 5 0,36 x 5 ou x 5 
 d) x 2 5 
25
4
x 5 ou x 5 
 6. Qual é o lado do quadrado cuja área é:
 a) 169 m2? 13 m
 b) 1,69 m2? 1,3 m
 c) 100 m2? 10 m
 d) 1 m2? 1 m
 7. Resolva as equações.
 a) x2 2 25 5 0 5; 25
 b) 2x2 2 98 5 0 7; 27
 c) 24 5 6x2 2; 22
 d) 64x2 2 1 5 0 2
1
8
;
1
8
 e) 7x2 2 14 5 0
 f) 2x2 1 49 5 0 7; 27
 g) 225 1 100x2 5 0 
 h) x2 2 
81
4
 5 0 292 ;
9
2
 8. Indique quais das equações são impossíveis 
resolver com os números reais. Alternativas b e d.
 a) x2 2 9 5 0 
 b) x2 1 9 5 0 
 c) 2x2 1 9 5 0
 d) 2x2 2 9 5 0
 9. Resolva as equações.
a) x 2 2 90 5 31
b) 5x 2 1 4 5 49
c) 4x 2 2 27 5 x 2
d) 2x 2 1 11 5 x 2 1 12
e) 5(x 2 2 1) 5 4(x 2 1 1)
f) x(x 1 2) 5 2x 1 25
11; 211
3; 23
3; 23
1; 21
3; 23
5; 25
3; 23
6; 26
0,6; 20,6
2
5
2
;
5
2
22 ; 2
2
1
2
;
1
2
g.
 10. O dobro do quadrado de um número é 72. Qual 
é o número? 6 ou 26 2x 2 5 72
 11. A área da figura abaixo, formada por 5 qua-
drados, é 20. Quanto mede o lado de cada 
quadrado? 2
 12. O que é necessário para que um produto de fa-
tores desconhecidos seja nulo?
 13 Resolva estas equações com o auxílio do exer-
cício anterior (lei do anulamento do produto).
 a) x(x 1 1) 5 0 0; 21
 b) 2x(x 2 5) 5 0 0; 5
 c) (x 1 3)(x 2 1) 5 0 23; 1
 d) (x 2 6)(4x 2 8) 5 0 6; 2
 14. Resolva estas equações usando o recurso da 
fatoração e depois
copie e complete o pensa-
mento de Robertinho.
 a) x2 2 8x 5 0 0; 8 
 b) x2 1 3x 5 0 0; 23 
 c) 9x2 5 5x 0; 5
9
 d) 5x2 5 210x 0; 22
Estas equações
têm sempre duas raízes 
reais, das quais
uma é…
 15. Em um quadrado de lado x, o nú-
mero que expressa a área é igual 
ao número que expressa o dobro 
de seu perímetro. x 2 5 2(4x)
 a) Quanto mede o lado do quadrado? 8
 b) Qual é o perímetro do quadrado? 32
 c) Qual é a área do quadrado? 64
5x 2 5 20
x 2 5 4
x 5 2 ou x 5 22
Um dos fatores tem de ser zero.
R
ei
na
ld
o 
R
os
a
Exemplo:
(x – 3) (x + 7) = 0
Solução: 3 ou –7
zero
x
x
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A
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Jo
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EQUAÇÕES DO 2O GRAU 47
prm9_041_080_u2.indd 47 6/10/15 8:06 PM
3. Forma geral de uma equação do 2o grau
Já resolvemos várias equações do 2o grau. Antes de prosseguir estudando outros métodos de resolução, 
vamos caracterizar essas equações.
Equações do 2o grau na incógnita x têm a seguinte forma:
ax 2 � bx � c � 0, onde a, b e c são números reais com a � 0.
 � a é o coeficiente do termo em x 2.
 � b é o coeficiente do termo em x.
 � c é chamado de termo independente.
Na equação 4x 2 � 12x � 9 � 0, temos: a � 4, b � �12 e c � 9. A incógnita é x.
Na equação t 2 � 3t � 6, temos: a � 1, b � 3 e c � 6. A incógnita é t.
Consequentemente, se b � 0 e c � 0, a equação do 2o grau é chamada de completa.
2x 2 � 5x � 0
a � 2
b � 5
c � 0
x 2 � 16 � 0
a � 1
b � 0
c � �16
6x 2 � 0
a � 6
b � 0
c � 0
Ilu
st
ra
 C
ar
to
on
As equações do
2o grau que resolvemos
até agora eram equações
incompletas.
Responda oralmente: qual é o valor de a, de b e de c na equação:
�x 2 � x
2
3
 � 
1
2
 � 0? a � �1; b � 22
33
 e c � 
11
22
Se a � 0, o termo em x 2 
se anula e não temos mais 
uma equação do 2o grau. Por 
isso colocamos a condição 
a � 0.
A equação 5x � 3x 2 � 4 � 2x não está na forma ax 2 � bx � c � 0.
No entanto, é possível reorganizá-la, escrevendo-a na forma geral:
5x � 3x 2 � 2x � 4
�3x 2 � 7x � 4
�3x 2 � 7x � 4 � 0 
a � �3; b � 7 e c � �4
Vimos que devemos ter a � 0.
No entanto, podemos ter b � 0 ou c � 0, ou ainda b � 0 e c � 0.
Nesses casos teremos equações do 2o grau incompletas. Veja exemplos:
Por uma questão de 
organização, daremos 
preferência ao registro na 
forma geral.
48
prm9_041_080_u2.indd 48 6/10/15 9:41 PM
(a 2 b) (a 2 b) 5 a 2 2 ab 2 ba 1 b 2 5 a 2 2 2ab 1 b 2
Um francês, nascido em 1540, teve grande im-
portância no desenvolvimento da Álgebra.
François Viète era advogado, mas dedicava seu 
tempo livre à matemática. Em seu livro In Arten 
Analyticam Isagoge, publicado em 1591, mostrou a 
vantagem de representar um número desconhe-
cido (que chamamos hoje de incógnita) por uma 
letra.
Viète usou nessa obra uma vogal para represen-
tar uma quantidade desconhecida, no entanto, ele 
ainda utilizava palavras em várias situações. Por 
exemplo:
a2 ele escrevia como a quadratus.
Fontes: Universidade de Lisboa. 
<www.educ.fc.ul.pt/icm/icm98/icm21/equacoes.htm>;
Carl B. Boyer. História da Matemática.
São Paulo: Edgard Blücher, 1974. p. 223.François Viète (1540-1603). Anônimo (escola 
francesa). Gravura.
Polinômio com três 
termos: trinômio.
4. Trinômios quadrados perfeitos 
e equações do 2o grau
b 
a
b a
ab
ab
a2
b2
Essas igualdades também podem ser 
obtidas se lembrarmos que:
(a 1 b)2 5 (a 1 b)(a 1 b)
Aplicando a propriedade distributiva,
(a 1 b)(a 1 b) 5 a2 1 ab 1 ba 1 b2
(a 1 b)2 5 a2 1 2ab 1 b2
De forma semelhante, mostre em seu 
caderno que (a 2 b)2 5 a2 2 2ab 1 b2.
D
A
E
C
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ão
 P
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tic
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a.
 B
rid
ge
m
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ey
st
on
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B
ra
si
l
Lembrei!
Nós já aprendemos isso.
Também vimos que
(a 2 b)2 5 a2 2 2ab 1 b 2. 
R
ei
na
ld
o 
R
os
a
A área da figura ao lado pode ser escrita como:
A 5 (a 1 b)2, ou:
A 5 a2 1 2ab 1 b2 
a2: área do quadrado de lado a.
2ab: 2 vezes a área do retângulo de lados a e b.
b2: área do quadrado de lado b.
Ou seja, (a 1 b)2 5 a2 1 2ab 1 b2.
EQUAÇÕES DO 2O GRAU 49
prm9_041_080_u2.indd 49 6/10/15 8:06 PM
 � a2 � 2ab � b2 é um trinômio quadrado perfeito cuja forma fatorada é (a � b)2
 � a2 � 2ab � b2 é um trinômio quadrado perfeito cuja forma fatorada é (a � b)2
 � 4x2 � 12x � 9 é um trinômio quadrado perfeito. Sua forma fatorada é (2x � 3)2
4x2 é a área do quadrado de lado 2x
9 é a área do quadrado de lado 3
12x é igual a 2 vezes a área do retângulo de lados 2x e 3
2x
3
4x2
2x
6x
3 6x 9
y 
y 
5y 
5y 
5
5
20
y2 � y 2 � 10y � 20 não é um trinômio quadrado perfeito
 � y 2 área do quadrado de lado y
10y 2 vezes a área do retângulo de lados y e 5
10y � 2 � 5y Até aqui tudo certo.
No entanto, para formar o quadrado perfeito, o terceiro termo deveria ser 25, que é a área do quadra-
do de lado 5, mas não é.
Quer saber por que recordamos a fatoração do trinômio quadrado perfeito?
Vamos aplicá-la para resolver equações do 2o grau. Veja:
 � x 2 � 6x � 9 � 0 é uma equação completa do 2o grau
O primeiro membro dessa equação é um trinômio quadrado perfeito.
Escrevendo o trinômio na forma fatorada: 
x 2 � 6x � 9 � (x � 3)2
Então a equação pode ser escrita assim:
(x � 3)2 � 0
O número que elevado ao quadrado resulta em zero é o próprio zero. 
Devemos ter: x � 3 � 0, ou seja, x � �3
A solução da equação é �3.
Verifique a solução 
substituindo x por �3 na 
equação e fazendo no 
caderno as operações 
indicadas.
(�3)2 � 6 � (�3) � 9 � 9 � 18 � 9 � 0
Ilu
st
ra
çõ
es
: D
A
E
Registre no caderno.
 1. Qual a medida do lado do quadrado cuja área é representada por a2 � 10a � 25? (a � 5), com a � �5
 2. Verifique se x 2 � 2 2x � 2 é um trinômio quadrado perfeito e, se for, escreva sua forma 
fatorada.
 3. A equação x 2 � 14x � 49 � 0 pode ser resolvida fatorando o trinômio? Sim, (x � 7)2 � 0; x � 7
 4. Resolva mentalmente.
 a) (x � 3)2 � 0 x � 3 b) (x � 1)(x � 5) � 0 
É um trinômio quadrado perfeito. Forma fatorada: ��xx ))(( 22 22
x � �1 ou x � 5
12x � 2 � 6x
50
prm9_041_080_u2.indd 50 6/10/15 9:41 PM
Quer mais um exemplo?
◆◆ Tomemos a equação 9x2 2 6x 1 1 5 6.
Como 9x2 2 6x 1 1 é um trinômio quadrado perfeito, podemos fatorá-lo e reescrever a equação: 
(3x 2 1)2 5 6
Temos que: 3x 2 1 5  6
3x 2 1 5 6
3x 5 1 1 6
x 5 
11 6
3
 é uma das soluções.
E fazendo: 
3x 2 1 5 2 6
3x 5 1 2 6 , obtemos:
x 5 
21 6
3
, que é a outra solução.
Em geral não encontramos um trinômio quadrado perfeito numa equação completa do 2o grau.
◆◆ Veja a equação x 2 1 8x 1 7 5 0, por exemplo. 
Interpretando geometricamente x 2 1 8x, temos que: x 2 corresponde à área do quadrado de lado x.
8x corresponde a duas vezes a área do retângulo de lados x e 4 x 4
x x2 4x
4 4x 16
Um quadrado de lado 4 completaria o quadrado perfeito, ou seja, o 
terceiro termo do trinômio deve ser 16.
Voltemos à equação x 2 1 8x 1 7 5 0.
Como numa equação podemos somar o mesmo número a ambos os membros, basta fazer 
x 2 1 8x 1 7 1 9 5 0 1 9 para obter a equação x 2 1 8x 1 16 5 9, que apresenta um trinômio 
quadrado perfeito no primeiro membro.
Fatorando o trinômio chegamos a: (x 1 4)2 5 9.
Os números que elevados ao quadrado resultam em 9 são 3 e 23. Daí:
Entendeu o processo?
8x 5 2 ? 4x
x 1 4 5 3 
x 5 3 2 4 
x 5 21 é uma solução da equação. 
x 1 4 5 23
x 5 23 2 4
x 5 27 é a outra solução da equação.
D
A
E
É comum
aparecerem raízes não 
exatas quando resolvemos 
equações do 2o grau.
R
ei
na
ld
o 
R
os
a
Não estranhe
os números que encontramos 
na resolução desta
equação.
EQUAÇÕES DO 2O GRAU 51
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Vamos acompanhar mais um exemplo.
 � Na equação x 2 � 3x � 2 � 0, não temos um trinômio quadrado perfeito.
b � 3, e 3 é um número ímpar, ou seja, deixando a equação nessa forma, 
teríamos de trabalhar frações.
Por isso, inicialmente multiplicaremos o primeiro e o segundo membros da 
equação por 4.
4x 2 � 24x � 36 � 16
(2x � 6)2 � 16
2x � 6 � 4 ou 2x � 6 � �4
x � �1 x � �5
� � �3 2
3
2
x x
A equação tem duas raízes: �1 e �2.
2x
3