Fundamentos_da_geodesia_e_da_cartografia

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Fundamentos da 
geodésia e da cartografia
A geodésia é a ciência da medição da Terra, e a cartografia é a ciência da 
concepção, produção, difusão, utilização e análise dos mapas. Neste capítulo, 
apresentamos os fundamentos e as diferenciações dessas duas áreas que, 
em conjunto, possuem aplicações pertinentes em projetos de engenharia, na 
administração urbana, na demarcação de fronteiras, entre outros. Vamos, 
ainda, acompanhar os desdobramentos dessas duas áreas ao longo da 
história, com a evolução do pensamento humano e o aperfeiçoamento dos 
equipamentos, gerando conceitos fundamentais que até hoje embasam 
a alta tecnologia de mensuração (por exemplo, Eratóstenes calculou 
o raio da Terra com uma precisão incrível entre os anos 276 e 196 a.C.). 
Encerramos com a descrição das diversas superfícies de representação da 
Terra e suas orientações de cálculo.
capítulo 1
Objetivos de aprendizagem
 Reconhecer as principais definições, diferenciações e aplicações da 
geodésia e da cartografia.
 Pontuar os avanços mais significativos ao longo da história dessas 
duas áreas no mundo e no Brasil.
 Identificar as diversas superfícies de representação da Terra, com 
seus conceitos, perspectivas e orientações de cálculo específicas. 
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Definições e aplicações
“A geodésia é a ciência da medição e representação 
da superfície da Terra.”
O autor divide a geodésia em uma geodésia superior, composta pelas áreas física, 
astronômica e matemática, que serviriam para a definição da figura da Terra, e uma 
geodésia inferior, também chamada de geodésia prática.
Para cumprir esse objetivo, sugeria-se naquela época:
 y a medição exata de uma linha-base de alguns quilômetros;
 y a determinação da latitude, da longitude e do azimute de um dos extremos 
da base;
 y a ampliação dessa base, pela técnica de triangulação;
 y o cálculo da triangulação, de forma a obter as coordenadas geodésicas dos 
pontos da triangulação.
Bomford (1977) já relacionava a geodésia com a topografia, e o seu primeiro 
objetivo era fornecer um arcabouço preciso para controlar levantamentos topo-
gráficos.
No caso prático da definição de forma e dimensão, e diante das irregularidades da 
superfície terrestre, a geodésia parte para a determinação de pontos coordenados 
escolhidos sobre essa superfície, em número e distribuição compatível com a preci-
são desejada. Os demais pontos são obtidos por interpolação, formando assim o “ar-
cabouço” citado, que representa, por meio dessas coordenadas, a região em questão.
Com os avanços das técnicas de posicionamento por satélite, os conhecimentos 
do campo gravitacional ganharam tanta importância que já são citados na defini-
ção do Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (2015): “Geodésia é a ciência 
que estuda a forma, a dimensão e o campo da gravidade da Terra” (similarmente à 
obra de Gemael, de 1994). Com o uso dessas novas tecnologias, foi possível a medi-
ção da variação temporal das coordenadas, sendo incorporada mais essa função à 
geodésia.
Primeiro posicionar, depois representar! 
Logo, como posicionar?
Considerando a etimologia da palavra geodésia, sua origem é grega e significa 
“particionando a Terra”. Assim, podemos entendê-la como a ciência da medição da 
Terra. Pela definição clássica de Helmert (1880):
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Segundo Vanícek e Krakiwsky (1986), o estudo da geodésia conduz a uma subdivisão 
em três conhecimentos fundamentais, contidos na própria definição de geodésia:
 y do posicionamento;
 y do campo de gravidade;
 y das variações temporais de ambos.
Para cumprir essas operações, disciplinas e conteúdos programáticos dos cursos de 
Engenharia de Agrimensura e Engenharia Cartográfica de algumas universidades 
(UFV, UFPR, UNESP, IME, UNESC, etc.) adotam estas nomenclaturas:
 y geodésia geométrica;
 y geodésia física;
 y geodésia por satélites ou geodésia celeste.
Logo, entre os levantamentos geodésicos, é possível utilizar operações geomé-
tricas (medidas angulares e lineares), ou técnicas baseadas em fenômenos físicos 
(por exemplo, valer-se de medidas gravimétricas para conhecimento do campo da 
gravidade), e, mais modernamente, satélites artificiais (com o amparo de aspectos 
geométricos e físicos) para avaliar grandezas.
Neste livro, são enfatizados apenas os aspectos da geodésia geométrica, ficando 
a geodésia física e a geodésia por satélites a cargo de outras literaturas (ANDRADE, 
1988; ARANA, 2000; BLITZKOW; LEICK, 1992; GEMAEL, 1991, 1999; SEEBER, 1986). 
Alguns tópicos da geodésia por satélites, especificamente das coordenadas medi-
das pelos receptores, serão utilizados em exemplos, excluindo-se a descrição de 
como essas coordenadas foram obtidas.
Entre as aplicações da geodésia geométrica, a principal atividade é o apoio carto-
gráfico e topográfico, ou seja, a implantação do apoio básico por meio de pontos de 
controle horizontais e verticais para a produção de mapas nacionais e regionais ou 
municipais, ou, ainda, apenas para controlar poligonais topográficas. Na Figura 1.1, 
observa-se a rede planimétrica brasileira, que tem o IBGE como seu mantenedor.
Além dessa aplicação, são citadas também (ARANA, 2000; GEMAEL, 1999; SÁ, 2000, 
2006; TULER; SARAIVA, 2014):
 y Em projetos de engenharia – A construção de grandes obras, como estra-
das, barragens, túneis, grandes pontes, dutos (minerodutos, gasodutos, etc.) 
e linhas de transmissão, está vinculada a pontos de controle que possuem 
suas coordenadas geodésicas ou UTM, em geral obtidas pelo receptor GPS. 
Em grandes indústrias (siderúrgicas, mineradoras, petrolíferas, etc.) há o as-
sentamento de divisas ou de componentes estruturais em locais predetermi-
nados, também com suas coordenadas geodésicas. Muitas vezes são neces-
sários estudos do movimento do solo e do nível da água antes e durante os 
trabalhos, como na construção de barragens e túneis de água, que envolvem 
o conhecimento da forma das superfícies equipotenciais do campo de gravi-
dade (geopes). A monitoração de estruturas e a determinação de superfícies 
também são trabalhos geodésicos.
 PARA SABER MAIS 
Para mais informações 
sobre as estações e suas 
coordenadas, visite o site do 
IBGE, em www.ibge.gov.br.
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 y Na administração urbana – Nas áreas urbanas, os serviços de utilidade 
pública devem ser definidos e documentados por meio de pontos de con-
trole para futuras consultas, daí a importância do georreferenciamento dos 
equipamentos e serviços urbanos. Entre esses serviços estão o zoneamen-
to urbano, o apoio para o cadastro multifinalitário, o estudo para traçados 
das cidades, o planejamento de redes e traçados para os diversos modos 
de transporte, a gestão da segurança pública, a gestão de áreas de riscos, 
a adequação e o ordenamento para a equidade de políticas sociais urbanas 
(zonea mentos de escolas, de saúde, de segurança, de acesso ao trabalho e 
renda), a distribuição de água, a coleta de esgotos, a gestão da limpeza urba-
na e do armazenamento de resíduos sólidos, etc.
 y Na demarcação de fronteiras – A definição de fronteiras nacionais e regio-
nais é realizada por meio do posicionamento geodésico. Essas demarcações, 
bem como a dos limites privados, são importantes para legalizar áreas para 
Figura 1.1 Rede planimétrica do SGB.
Fonte: Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (2015).
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a exploração de lavra, a delimitação de áreas de proteção ambiental e reser-
vas florestais, bem como propriedades para efeitos de impostos e receitas, 
processos de indenizações, compra e venda deimóveis, loteamentos, divi-
são de áreas, etc. O posicionamento e a demarcação dessas fronteiras devem 
ser apoiados em redes geodésicas homologadas pelo IBGE. Por exemplo, a 
definição de fronteiras de propriedades rurais, obtidas por meio de técnicas 
geodésicas, já é uma realidade exigida pelo INCRA, por meio do Georreferen-
ciamento de Imóveis Rurais (Lei 10.267/01).
Desta forma, a geodésia define, por meio de modelos e formulações, a referência 
geométrica (rede geodésica) para apoiar as diversas aplicações da área de geociên-
cias, bem como fornece as técnicas de levantamento para incorporar os pontos a 
essa rede de referência.
Esses pontos coordenados a determinar são “insumos” de quaisquer atividades das 
tecnologias de geoprocessamento (análises em um Sistema de Informações Geo-
gráficas – SIG, de construção de uma modelagem digital de terrenos ou de uma 
carta temática da cartografia digital, de seleção e processamento de pontos de um 
sensoriamento remoto, etc.) para as mais variadas aplicações. O dado fundamental 
de entrada nesses sistemas é a posição do ponto, ou seja, as coordenadas geodé-
sicas do local (Figura 1.2).
 IMPORTANTE 
A definição de fronteiras 
de propriedades rurais, 
obtidas por meio de 
técnicas geodésicas, já 
é uma realidade exigida 
pelo INCRA, por meio do 
Georreferenciamento 
de Imóveis Rurais 
(Lei 10.267/01).
Obras Navegação Monitoramento de frota
Agricultura 
de precisão GeorrefenciamentoLogística
Segurança
Levantamentos Navegação
Figura 1.2 Aplicações da geodésia.
Fontes: (A) Sandrexim/iStock/Thinkstock (B) illcha/iStock/Thinkstock (C) Pacific Survey 
Supply (c2011) (D) anek_s/iStock/Thinkstock (E) New Holland Agriculture (c2015) (F) Henryk 
Sadura/iStock/Thinkstock (G) CandyBoxImages/iStock/Thinkstock (H) Bet_Noire/iStock/
Thinkstock (I) SEEWORLD (2013).
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Pronto, posicionamos! 
E agora, como representar?
Considerando o dicionário cartográfico do IBGE (OLIVEIRA, 1993; INSTITUTO BRA-
SILEIRO DE GEOGRAFIA E ESTATÍSTICA, 2015) e a ACI, define-se cartografia como:
Conjunto de estudos e operações científicas, artísticas e técnicas, baseado 
nos resultados de observações diretas ou de análises de documentação, 
visando à elaboração e preparação de cartas, projetos e outras formas de 
expressão, bem como a sua utilização (INTERNATIONAL CARTOGRAPHIC 
ASSOCIATION, 2014).
Em outras palavras, é a ciência que trata da concepção, da produção, da difusão, da utili-
zação e do estudo dos mapas. Na literatura (OLIVEIRA, 1993; INSTITUTO BRASILEIRO DE 
GEOGRAFIA E ESTATÍSTICA, 2014 e outros), há a distinção entre os termos mapa, carta e 
planta ao se referir a uma representação cartográfica. Essas denominações estão associa-
das à escala de levantamento e a sua representação, ou seja, para escalas menores utiliza-
-se o termo mapa; para escalas médias, carta; e para escalas locais, planta.
Atualmente, os mapas e as cartas estão cada vez mais populares, em função da 
acessibilidade permitida pelos computadores e softwares. Métodos de edição, gra-
vação e impressão possibilitam que os dados geográficos sejam rapidamente pro-
cessados, bem como representados (Figura 1.3).
Figura 1.3 Popularização do uso de produtos cartográficos.
Fonte: Google Maps (c2015).
 DEFINIÇÃO 
De acordo com a escala 
de levantamento e 
sua representação, a 
denominação associada é 
a seguinte: 
• Para escalas menores, 
utilizamos mapa. 
• Para escalas médias, 
utilizamos carta. 
• Para escalas locais, 
utilizamos planta.
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A cartografia, segundo Maling (1989), é classificada didaticamente em:
 y Cartografia matemática – trata dos aspectos matemáticos ligados à 
concepção e à construção dos mapas, isto é, das projeções cartográficas 
(ver Capítulo 3).
 y Cartometria – trata das medições efetuadas sobre mapas, designadas à me-
dição de ângulos e direções, distâncias, áreas, etc. (ver Capítulo 3).
Outra atividade importante, atribuída à cartografia temática, são as convenções e 
os símbolos cartográficos, isto é, os símbolos e as cores utilizados para representar 
os elementos desejados. De forma a facilitar a leitura e interpretação dos mapas, 
existe uma padronização internacional de símbolos e cores, que será apresentada 
no Capítulo 3. Tais simbologias já eram utilizadas desde a antiguidade (séculos XVI 
e XVII), mas com finalidade mais ilustrativa e artística do que técnica (Figura 1.4).
(A) (B)
(C) (D)
Figura 1.4 Representações cartográficas do passado e do contemporâneo.
Fonte: (A) antipathique/iStock/Thinkstock; (B) Ministério da Defesa. Manual Técnico T 34-700. Con-
venções Cartográficas. Exército Brasileiro, 2a ed.; (C) Bernard Allum/ iStock/Thinkstock e (D) Google 
Maps.
Qualquer atividade de planejamento regional ou local, ou qualquer acompanhamento 
e execução de obra de engenharia, deve basear-se em um produto cartográfico, seja 
em um mapa, uma carta ou uma planta, estando estes impressos ou em formato digital.
Os mapas e as cartas servem para:
 y lançar limites geográficos (mapas políticos); 
 y realçar acidentes do relevo do terreno (linha de cumeada, delimitação de ba-
cias hidrográficas, divisores de água, talvegues, etc.); 
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 y definir assuntos temáticos (transporte, vegetação, clima, solo, relevo, geo-
logia, ecologia, economia, litologia, pluviometria, geobotânica, educação, 
língua, entre outros) (Figura 1.5), sendo que estes ainda podem compor um 
SIG e conduzir, por exemplo, a uma gestão otimizada de riscos ambientais, 
da distribuição espacial de equipamentos e serviços urbanos, bem como do 
roteamento de cargas, do transporte público, e de diversas outras aplicações 
(Figura 1.6).
Geologia Grau de urbanização
Unidades de conservação Vegetação
Clima Transportes
Figura 1.5 Mapas temáticos na cartografia.
Fonte: Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (2015).
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Figura 1.6 Uso da cartografia no SIG.
Fonte: Os autores.
Já as plantas, geralmente topográficas, podem apenas representar os elementos 
naturais e artificiais de uma localidade (cadastro de benfeitorias, identificação de 
acidentes do relevo por meio do traçado de curvas de nível, inventário urbano, pro-
fundidade de cursos d’água e barragens, inventário industrial, etc.) (Figura 1.7) e/ou 
servir para projeto e execução (locação) de obras de engenharia, como terraple-
nagens, construção de vias (rodovias, ferrovias, dutovias, etc.), pontes, interseções 
viárias, barragens, túneis, edificações prediais, canalizações, torres de alta tensão, 
loteamentos, entre outros, de forma a viabilizar esses empreendimentos (Figura 1.8).
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Figura 1.7 Exemplo de planta topográfica de uma localidade.
Fonte: Os autores.
Figura 1.8 Exemplo de planta topográfica para a construção de um projeto 
de estradas.
Fonte: Os autores.
Enfim, as operações de obtenção de coordenadas, tomada de distâncias, cálculo 
de áreas, organização de informações temáticas, podem ser realizadas gráfica ou 
analiticamente com base nos produtos cartográficos citados.
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Um breve histórico: 
geodésia e cartografia
Um pouco sobre a evolução da ciência geodésica
A geodésia evoluiu em precisão, considerando seu objetivoprincipal fornecer o 
“arcabouço” de coordenadas geodésicas a fim de definir o melhor modelo para a 
Terra.
Uma vez que a busca do melhor modelo para a Terra é milenar, houve muitas con-
tribuições para essa ciência. Segundo Gemael (1995), Tuler e Saraiva (2014), sua 
evolução possui duas etapas principais:
1) Pré-história 2) História
De Erastóstenes (século II a.C.) 
às expedições francesas (1870).
1o período: das expedições francesas a 1900;
2o período: do século XX ao lançamento do 
primeiro Sputnik;
3o período: século atual.
Por volta do século VII a.C., florescem importantes escolas do pensamento, princi-
palmente na Grécia. Com os primeiros pensadores gregos, inicia-se a procura de 
explicações físicas para a Terra e o Universo. Nessa mesma época, surgem as primei-
ras especulações sobre o formato da Terra. Sabe-se, contudo, que há dois milênios 
e meio, Pitágoras se recusava a aceitar a concepção simplista de uma Terra plana; 
Sócrates tinha as mesmas ideias, mas não conseguia prová-las.
Em 350 a.C., Aristóteles argumentou e demonstrou a teoria da esfericidade, antes 
admitida por meio de considerações puramente filosóficas, tornando-se o funda-
dor da ciência geográfica. Veja seus argumentos:
[...] o contorno circular da sombra projetada pela Terra nos eclipses da Lua; 
a variação do aspecto do céu estrelado com a altitude e a diferença de ho-
rário na observação de um mesmo eclipse para observadores situados em 
meridianos afastados (BERRY, 1961).
Considerada uma das experiências mais importantes da humanidade, o astrô-
nomo e matemático Eratóstenes, entre os anos 276 e 196 a.C., determinou o raio 
da Terra com uma grande precisão para sua época (TULER; SARAIVA, 2014), com 
o valor para a circunferência da Terra como 50 x 500 = 25.000 milhas, ou seja, 
aproximadamente +0,40% do atualmente aceito pela UIGG (União Internacional 
de Geodésia e Geofísica).
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Outros filósofos, matemáticos e astrônomos também ofereceram suas contribui-
ções, como Ptolomeu, que já no século II afirmava a esfericidade (e a imobilidade) 
da Terra (sistema geocêntrico). Copérnico (1473–1543) contrariou as ideias de imo-
bilidade, conferindo à Terra os movimentos de rotação e translação (heliocentris-
mo). Newton (1643–1727) e Huygens (1629–1695) não aceitaram a harmonização 
entre o movimento de rotação e a forma perfeitamente esférica, abrindo a era elip-
soidal (Terra achatada).
Outro fato histórico (1735–1751) foi a realização de medições de arcos meridianos em 
duas diferentes latitudes do globo: uma no Norte do Peru (atualmente Equador) e ou-
tra na Finlândia. Essas medições tinham como único fim a confirmação das teses de 
Newton e Huygens da Terra achatada nos polos, ou seja, definindo o elipsoide como a 
figura matemática e como primeira aproximação na geometria da Terra.
Em 1743, Clairaut publicou os resultados dessa investigação na sua obra clássica 
sobre geodésia. O desenvolvimento do cálculo de probabilidades por Laplace, 
em 1818, e do método dos mínimos quadrados de Gauss, em 1809, aperfeiçoou a 
retificação de observações e melhorou os resultados das triangulações. Em 1873, 
Listings usou, pela primeira vez, o nome geoide para a figura física da Terra. O final 
do século XIX foi marcado pelos trabalhos de medições de arcos meridianos para 
determinar os parâmetros do elipsoide que melhor representasse a aproximação 
com a Terra física. Nessa época, os elipsoides mais importantes eram os de Bessel 
de 1841 e de Clarke de 1886 e 1880 (GEMAEL, 1995).
Também marcou este final de século o início dos estudos da geodinâmica, com 
base no geoide não homogêneo, e das especulações teóricas sobre a forma de 
equilíbrio de uma massa fluida isolada no espaço e submetida à ação da gravidade.
Mais adiante, entre o início do século passado até antes do lançamento do primeiro 
satélite artificial (Sputnik 1, 1957), merecem destaque os avanços na geodésia físi-
ca, a fabricação dos primeiros equipamentos eletrônicos (distanciômetro eletrôni-
co) e o início do uso dos computadores.
Segundo o Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (2015), os primeiros le-
vantamentos geodésicos no Brasil foram realizados em 1939, pelo então Conselho 
Nacional de Geografia (CNG), com o objetivo de determinar as coordenadas astro-
nômicas em cidades e vilas para a atualização da Carta do Brasil ao Milionésimo, de 
1922. Em 1944, foi medida a primeira base geodésica nas proximidades de Goiânia 
e iniciou-se o estabelecimento sistemático do Sistema Geodésico Brasileiro (SGB).
A primeira definição para a superfície de referência do SGB foi a do Elipsoide In-
ternacional de Hayford, de 1924, com semieixo maior igual a 6.378.388 metros, e 
achatamento igual a 1/297. Como ponto datum, tinha-se o vértice Córrego Alegre.
A segunda iniciativa de estabelecer os parâmetros mais confiáveis se deu com o 
SAD–69. A fim de se obter um único sistema de referência para a América do Sul 
e um conhecimento mais detalhado do geoide no continente, foi adotado como 
superfície de referência o Elipsoide Internacional de 1967 (UGGI 67).
 IMPORTANTE 
Os primeiros levantamentos 
geodésicos no Brasil 
foram realizados em 1939, 
a fim de determinar as 
coordenadas astronômicas 
em cidades e vilas para 
a atualização da Carta 
do Brasil ao Milionésimo, 
de 1922. Em 1944, foi 
medida a primeira base 
geodésica nas proximidades 
de Goiânia, iniciando o 
estabelecimento sistemático 
do Sistema Geodésico 
Brasileiro (SGB). 
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Como consequência do avanço das técnicas de posicionamento, na década de 
1970 as redes geodésicas passaram a ter um caráter tridimensional, dando origem 
à era da geodésia espacial (tridimensional), iniciada pelo sistema TRANSIT. Em fins 
da década de 1980, o IBGE, por meio do seu departamento de geodésia, criou o 
projeto GPS, com o intuito de estabelecer metodologias que possibilitassem o uso 
pleno da tecnologia do sistema NAVSTAR/GPS.
Para suporte dos trabalhos geodésicos, o IBGE apresenta as estações da RBMC 
(Rede Brasileira de Monitoramento Contínuo) (Figura 1.9), que desempenham jus-
tamente a função de fornecer um banco de dados de coordenadas conhecidas per-
tencentes ao Sistema Geodésico Brasileiro (SGB) para aplicação em levantamento 
relativo por GPS (Capítulo 2).
Figura 1.9 A RBMC construída pelo IBGE.
Fonte: Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (2015).
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Não menos importante neste contexto é o estabelecimento, em 2005, do novo siste-
ma de referência geodésico para o SGB e para o Sistema Cartográfico Nacional (SCN): 
o Sistema de Referência Geocêntrico para as Américas (SIRGAS), em sua realização 
do ano de 2000, 4 (SIRGAS-2000). Em 25 de fevereiro de 2015, encerrou-se o período 
de 10 anos de transição para a adoção desse novo sistema geodésico de referência. 
No atual momento, a geodésia experimenta um uso generalizado da tecnologia GPS, 
com base em um sistema geodésico mundial (geocêntrico), com facilidade de posi-
cionamento automático e de alta precisão.
A evolução da ciência cartográfica
A ciência cartográfica, com seus princípios matemáticos já sedimentados, evoluiu 
significativamente na construção e edição automatizada de mapas e cartas, por 
meio do uso de softwares e equipamentos computacionais.
A partir do momento em que o homem pré-histórico começou a representar seus 
caminhos percorridos e seus territórios de caça nas paredes das cavernas, ele já 
havia começado, mesmo que de forma empírica, a fazer cartografia, pois estava re-
presentando graficamente o terreno natural. Isso talvezexplique a razão de definir 
cartografia também como a arte de representar.
Os gregos foram os primeiros a se preocupar com o conjunto terrestre, já em 500 a.C., 
inaugurando a Era dos Discários, que representa a Terra como um disco rodeado 
por águas (CIVITA, 1973; GURGEL, 2012; MOURA, 1993).
A concepção da Terra esférica se deu por Pitágoras, no século IV a.C. Mais adiante, 
no século II, Ptolomeu dedicou-se à construção de globos, projeções e mapas (a 
Figura 1.10 mostra o que é considerado o primeiro atlas, feito por Ptolomeu).
Figura 1.10 Mapa-múndi de Ptolomeu, século II.
Fonte: marzolino/iStock/Thinkstock.
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Na Idade Média, a Europa utilizava o mapa-múndi circular, o Orbis Terrarum, dos 
romanos, apesar da pouca exatidão geográfica. Na Era Medieval, a cartografia teve 
um novo avanço com a descoberta da bússola, introduzida por viajantes da China, 
que começou a ser mais usada no século XIII. A partir disso, surgiram as cartas Por-
tulanas (CIVITA, 1973; GURGEL, 2012; MOURA, 1993).
Mais adiante, no século XIV, houve avanços expressivos na cartografia devido à 
busca por novas rotas marítimas comerciais de especiarias. Esse comércio seria um 
importante fator para o início da Era dos Descobrimentos. 
Somente a partir de 1700 é que a cartografia perdeu o caráter artístico em função 
da precisão científica. Com a ajuda de equipamentos, como bússolas, sextantes e 
cronômetros (Figura 1.11), as medições (triangulação, determinação de latitudes 
e longitudes) são aperfeiçoadas, corrigindo-se erros acumulados durante séculos, 
tidos como verdades geográficas (CIVITA, 1973; GURGEL, 2012; MOURA, 1993).
(A) (B) (C)
Figura 1.11 (A) Bússola, (B) sextante e (C) cronômetro.
Fonte: (A) Nastco/iStock/Thinkstock; (B) Hemera Technologies/PhotoObjects.net/Thinkstock 
e (C) yevgenromanenko/iStock/Thinkstock
Atualmente existem recursos de sensoriamento remoto e de posicionamento por 
satélites para obtenção de pontos coordenados e produção de cartas. Neste sen-ção de cartas. Neste sen- cartas. Neste sen-
tido, a cartografia está relacionada ao geoprocessamento, uma vez que o mapa é 
o principal meio de apresentação dos resultados, por ser a forma de visualização 
mais natural e de interpretação mais intuitiva para a informação espacial.
Superfícies de 
representação da Terra
As obras de engenharia (rodovias, ferrovias, barragens, canalizações e dutos, edifi-
cações em geral, loteamentos, etc.) são concebidas, muitas vezes, “até onde a vista 
 IMPORTANTE 
Somente no início do 
século XVIII a cartografia 
se tornou mais precisa 
cientificamente. Bússolas, 
sextantes e cronômetros 
aperfeiçoaram as 
medições, corrigindo 
erros acumulados durante 
séculos, tidos como 
verdades geográficas.
 IMPORTANTE 
A cartografia está 
relacionada ao 
geoprocessamento, 
uma vez que o mapa 
é o principal meio 
de apresentação dos 
resultados, por ser a forma 
de visualização mais 
natural e de interpretação 
mais intuitiva para a 
informação espacial.
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 G
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C
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16
alcança”, ou seja, na superfície física da Terra. Em outras palavras, não temos uma 
noção da curvatura do planeta, a não ser que consigamos ver uma ligeira tendência 
dessa curvatura no horizonte a partir do sobrevoo em uma aeronave ou da obser-
vação do pôr do sol na linha do horizonte em uma praia, por exemplo.
Desde que Eratóstenes provou a esfericidade terrestre, inclusive com o cálculo 
aproximado de seu raio (TULER; SARAIVA, 2014), busca-se uma forma de referen-
ciar os pontos medidos, a partir de uma melhor definição geométrica para a Terra.
Segundo Freitas (1980), do ponto de vista físico, um sistema de referência de co-
ordenadas é o conjunto de um ou mais eixos com orientação definida no espaço 
e com uma escala adequada, por meio do qual uma posição e uma orientação pos-por meio do qual uma posição e uma orientação pos-
sam ser definidas sem ambiguidade (Figura 1.12).
20º
30º
Eixo
 Y
60
50
40
30
20
10
Ei
xo
 Z
Coordenadas absolutas e relativas
Ponto A = 0,0,0 – Absolutas
Ponto B = 40,50,60 – Absolutas
Ponto C = @10,–10,–50 – Relativas cartesianas
Ponto D = @40,<30,<20 – Relativas esféricas
Ponto B
Ponto D
Ponto CPonto A
10 20 30 40 50 60 70 80 90
50
40
30
20
Figura 1.12 Exemplo de um sistema de referência para as coordenadas 
topográficas.
Fonte: Os autores.
Logo, a partir da definição de sistemas de referências, apoiam-se os sistemas de 
coordenadas.
Nos levantamentos geodésicos e topográficos, bem como nas representações car-
tográficas, para posicionamento (planimétrico e altimétrico), seis superfícies de-
vem ser consideradas, como detalhadas no Quadro 1.1.
 DEFINIÇÃO 
Segundo Freitas (1980), 
do ponto de vista físico, 
um sistema de referência 
de coordenadas é o 
conjunto de um ou mais 
eixos com orientação 
definida no espaço e com 
uma escala adequada, 
por meio do qual uma 
posição e uma orientação 
possam ser definidas sem 
ambiguidade.
17
 Quadro 1.1 As seis superfícies consideradas nos levantamentos 
 geodésicos e topográficos e nas representações cartográficas
Física É a superfície física da Terra, ou seja, é onde são efetuadas as 
operações geodésicas e topográficas. Em resumo, é onde são 
executados os levantamentos de campo e apoiadas as obras 
de engenharia.
Esférica É uma superfície idealizada como uma primeira aproximação 
da forma e dimensão para a Terra (ver Seção Terra esférica 
e as coordenadas geográficas).
Geoide É a superfície que melhor representa fisicamente a Terra, 
definida pelo prolongamento do nível médio dos oceanos 
(ver Seção Terra geoidal e as coordenadas astronômicas).
Elipsoide É a superfície com possibilidade de tratamento matemático 
originada pela rotação de uma elipse em torno de seu eixo 
menor, que melhor se adapte ao geoide (ver Seção Terra 
elipsoidal e as coordenadas geodésicas).
Plano 
topográfico
É uma superfície originada por um plano normal e tangente 
à vertical do lugar, no ponto de origem do levantamento 
(ver Seção Terra plana e as coordenadas topográficas).
Projeção 
cartográfica
São superfícies originadas a partir de superfícies auxiliares 
(ver Seção Terra projetada e as coordenadas de uma projeção 
cartográfica).
Terra esférica e as coordenadas geográficas
A superfície esférica é uma aproximação simplista e prática da forma da Terra. Em 
geodésia, quando se deseja efetuar algum cálculo aproximado ou quando as dis-
tâncias entre os pontos geodésicos são relativamente pequenas, a Terra é conside-ésicos são relativamente pequenas, a Terra é conside-s, a Terra é conside-
rada esférica. O modelo esférico facilita alguns cálculos geodésicos, e a sua utiliza-
ção está associada ao nível de precisão a ser alcançado.
No estudo da astronomia de campo, o objetivo principal é determinar as coorde-
nadas geográficas ou astronômicas de um ponto. Nessa operação, em primeira 
aproximação, a Terra é considerada esférica. Logo, o formulário para tal foi desen-erra é considerada esférica. Logo, o formulário para tal foi desen-é considerada esférica. Logo, o formulário para tal foi desen- considerada esférica. Logo, o formulário para tal foi desen-
volvido para essa superfície, especificamente com os elementos da trigonometria 
esférica.
Ainda no estudo de projeções cartográficas, um conceito importante é o de esfera-
-modelo, que é uma esfera imaginária “desenhada” na escala da projeção e que serve 
 IMPORTANTE 
Em geodésia, quando 
se deseja efetuar algum 
cálculo aproximado, ou 
quando as distâncias 
entre os pontos geodésicos 
são relativamente 
pequenas, a Terra é 
considerada esférica. 
Logo, o formulário para os 
cálculos foi desenvolvidocom elementos da 
trigonometria esférica. 
18
como modelo para auxiliar na construção e obtenção de algumas projeções carto-
gráficas. Logo, no estudo dessas projeções cartográficas, ao considerar a Terra como 
esférica, o erro obtido é quase insignificante devido às escalas de representação.
O raio da esfera que representa a Terra depende diretamente da escala de trabalho:
000.500
1
Epara
2
ba
R
000.500
1
EparaMNR
<
+
=
>⋅=
 
)sene1(
a
N
22 φ⋅−
=
2
3
22
2
)sene1(
)e1(a
M
φ⋅−
−⋅
=
em que:
N = Raio de curvatura do primeiro vertical (ou grande normal) que depende da 
latitude e da primeira excentricidade (o que será visto mais adiante);
M = Raio de curvatura da seção meridiana que depende da latitude do ponto e da 
primeira excentricidade (o que será visto mais adiante);
a = Semieixo maior do elipsoide;
b = Semieixo menor do elipsoide.
Por exemplo, considerando o sistema SAD–69 como o elipsoide de referência e, 
para a elipse desse sistema, o semieixo maior de 6.378.160,00 m (valor de “a”) e o 
semieixo menor de 6.356.774,72 m (valor de “b”), com escala < 1/500.000 (Tabela 
1.1), o raio médio será:
 
km367.6Rm36,467.367.6R
2
72,774356..600,160378..6
R médiomédiomédio ≅∴=∴
+
=
Em cartografia, comumente é considerado o raio de 6.367 km para a Terra. Esse raio 
representa a melhor definição da esfera em relação ao elipsoide e é justificado a 
partir de uma unidade de medida oficial da milha náutica (nmi) igual a 1.852 me-
tros. Uma milha náutica, por definição, é o arco de um círculo máximo na superfície 
terrestre (ortodrômica) correspondente a um ângulo central de um minuto (1nmi = 
arco de 1’), portanto, calcula-se o raio a partir de:
 
km367.6Rm01947,707.366.6R
'1
180852.1
Rm852.1'1dearcooporém,'1
180
R
a
o
o
≅∴=∴
⋅pi
×
=∴=⋅
⋅pi
=
No gráfico da Figura 1.13, têm-se valores de raios médios versus as latitudes dos 
pontos, considerando N e M.
 DEFINIÇÃO 
Esfera-modelo é uma 
esfera imaginária 
“desenhada” na escala 
da projeção e que serve 
como modelo para auxiliar 
na construção e obtenção 
de algumas projeções 
cartográficas. 
 IMPORTANTE 
Em cartografia, 
comumente é considerado 
o raio de 6.367 km para a 
Terra. Esse raio representa 
a melhor definição da 
esfera em relação ao 
elipsoide e é justificado a 
partir de uma unidade de 
medida oficial da milha 
náutica (nmi) igual a 
1.852 metros.
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19
6.355 km
6.360 km
6.365 km
6.370 km
6.375 km
6.380 km
6.385 km
0° 5° 10° 15° 20° 25° 30° 35° 40° 45° 50°
R
m
éd
io
Latitudes
Rmédio versus latitudes
Figura 1.13 Valores de raios médios em função das latitudes.
Fonte: Os autores.
Com a adoção da esfera (globo terrestre), são definidos os seguintes elementos 
geográficos para a Terra (Quadro 1.2 e Figuras 1.14 e 1.15).
Quadro 1.2 Elementos geográficos para a Terra 
Eixo 
terrestre
É o eixo ao redor do qual a Terra faz seu movimento de 
rotação.
Círculos 
máximos
São círculos que têm seus centros coincidentes com o centro 
do globo terrestre, que também possuem raios máximos. 
Um arco do círculo máximo é denominado ortodrômica.
Plano 
meridiano
É o plano que passa pelo eixo terrestre e corta a superfície 
da Terra. Esse plano define os meridianos, que são linhas de 
interseção entre o plano meridiano e a superfície esférica da 
Terra, sendo um círculo máximo. 
Plano 
paralelo
É o plano normal ao plano meridiano. Este define os paralelos, 
que são linhas de interseção entre o plano paralelo e a 
superfície da Terra, sendo o maior deles o equador terrestre, 
e também um círculo máximo. 
Paralelos 
especiais
São os paralelos definidos pelo plano paralelo e o eixo da 
eclíptica: círculos polares, trópicos e o próprio equador.
Plano da 
eclíptica
É um plano definido pelo movimento de translação da Terra. 
O plano da eclíptica define a origem dos trópicos.
Eixo da 
eclíptica
É um eixo perpendicular ao plano da eclíptica que passa pelo 
centro da Terra. O eixo da eclíptica forma um ângulo de 
23° 26' 21,418" (ano 2000) (≈ 23° 27') com o eixo de rotação 
da Terra. As interseções do eixo da eclíptica com a superfície 
terrestre originam os círculos polares.
20
φ
φ
φ
φ
φ
Figura 1.14 Elementos geográficos para a Terra – plano e eixo da eclíptica.
Fonte: Os autores.
Quadro 1.3 Coordenadas geográficas e sua definição
Latitude É o ângulo formado pelo raio que passa por esse lugar 
e o plano do equador. Para o ponto “P1” (Figura 1.16), 
a latitude de A (φA ), ou “fi de A”, é igual a 10º S. Uma 
vez que o raio de curvatura da esfera é constante, essa 
quantidade também é igual à medida angular do arco de 
meridiano entre o equador e o lugar. 
Longitude É o ângulo com vértice no centro da Terra, medido 
a partir do plano do meridiano de Greenwich até o 
meridiano de referência. Para o ponto “P1” na figura, a 
longitude de A (λA), ou “lambda de A”, é igual a 60º W 
(Figura 1.16). 
A partir desses elementos geográficos, são definidas as coordenadas geográficas 
(Quadro 1.3 e Figuras 1.15 e 1.16):
 IMPORTANTE 
As coordenadas 
geográficas são dadas 
por um par de ângulos 
para determinar um 
ponto na superfície 
esférica terrestre: um 
ângulo de latitude e um 
ângulo de longitude, 
conhecidos também como 
coordenadas LAT/LONG, ou 
φ, λ, sempre nessa ordem.
Logo, as coordenadas geográficas são dadas por um par de ângulos para determi-
nar um ponto na superfície esférica terrestre: um ângulo de latitude e um ângulo 
de longitude, conhecidos também como coordenadas LAT/LONG, ou φ, λ, sempre 
nessa ordem.
21
90º N
0º
Equador
Latitude φ = 0º
Meridiano de Greenwich
Longitude λ = 0º
Figura 1.15 Coordenadas geográficas.
Fonte: Os autores.
Na representação das latitudes, é necessário colocar o hemisfério Norte (N) ou Sul 
(S) para determinar o correto posicionamento do ponto. Da mesma forma, as longi-
tudes devem ser seguidas de Leste (E ou L) ou Oeste (W ou O).
Para cálculos esféricos, com o uso da trigonometria esférica, devem ser utilizados 
valores negativos (–) para coordenadas Sul e Oeste, e positivos (+) para Norte e Les-
te. As latitudes variam de 90º S a 0º e 0º a 90º N (ou – 90º a + 90º), e as longitudes 
variam de 180º W a 0º e 0º a 180º E (ou – 180º a + 180º). A Figura 1.16 mostra um 
exemplo de aplicação.
Equador
Latitude 0º
GREENWICH
Longitude 0º
Coordenadas
P1: (10º S; 60º W)
∆φ = 5º
∆λ = 5º
NORTE
LESTE
SUL
OESTE
Figura 1.16 Exemplo de pontos coordenados.
Fonte: Os autores.
 IMPORTANTE 
Na representação das 
latitudes, é necessário 
colocar o hemisfério 
Norte (N) ou Sul (S) para 
determinar o correto 
posicionamento do ponto. 
Da mesma forma, as 
longitudes devem ser 
seguidas de Leste (E ou L) 
ou Oeste (W ou O).
 IMPORTANTE 
Valores negativos (–) são 
usados para coordenadas 
Sul e Oeste, e positivos, 
(+) para Norte e Leste. As 
latitudes variam de 90º S a 
0º e de 0º a 90º N (ou – 90º 
a + 90º), e as longitudes 
variam de 180º W a 0º e 0º a 
180º E (ou – 180º a + 180º).
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 G
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e 
C
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22
Os fundamentos da trigonometria esférica são aplicados na astronomia de campo 
e em algumas fórmulas da geodésia, que considera como princípio a Terra esférica. 
Alguns conceitos importantes estão no Quadro 1.4 (FERRAZ, 1980).
 Quadro 1.4 Conceitos importantes relacionados à trigonometria 
 esférica
Superfície esférica 
(ou apenas, esfera)
É o lugar geométrico em que todos os pontos 
possuem a mesma distância (raio) a partir de um 
ponto central.
Círculomáximo Considere que três pontos sobre essa superfície 
esférica determinem um plano; se contiver o centro 
da esfera, esse plano será um círculo máximo. Um 
arco desse círculo será denominado ortodrômica, 
sendo considerada a menor distância entre esses 
dois pontos (Figura 1.17).
Polígono esférico É uma porção da superfície terrestre delimitada por 
arcos de circunferências máximas. Caso existam três 
arcos de círculos máximos, obtém-se um triângulo 
esférico, desde que os três pontos não estejam 
situados sobre a mesma circunferência máxima 
(Figura 1.18). 
Desta forma, um triângulo esférico fica constituído de três ângulos esféricos (A, B e 
C) e três lados esféricos que são arcos de circunferência máxima (a, b e c). Na Figura 
1.18, considerando a Terra esférica, o segmento “b” poderia ser um arco de meridia-
no geográfico; o segmento “c”, um arco do equador geográfico; e o segmento “a”, 
um arco de círculo máximo.
Figura 1.17 Círculos máximos.
Fonte: Os autores.
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 1
 
 
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ia
23
O
A
B
C
a
b
c
A
B
C
a
b
c
c
Raio
Figura 1.18 Representação dos ângulos de um triângulo esférico.
Fonte: Os autores.
Conforme exemplificado pela Figura 1.19, a menor distância entre dois pontos 
no mesmo paralelo é um arco de círculo máximo (ortodrômica). Com exceção do 
equador geográfico, que também é círculo máximo, as distâncias medidas pelo 
arco de um paralelo qualquer sempre serão maiores do que as ortodrômicas cor-
respondentes.
 
Figura 1.19 Ortodrômica.
Fonte: Os autores.
A trigonometria esférica serve para calcular a distância esférica entre dois pontos 
coordenados, ou seja, a partir de suas coordenadas geográficas (φ e λ), neste caso, 
considerando a Terra esférica.
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C
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24
Uma das propriedades dos triângulos esféricos estabelece que, conhecendo três 
elementos quaisquer de um triângulo esférico, é possível determinar os outros três. 
Logo, é aplicada a fórmula dos quatro elementos relativa aos lados (FERRAZ, 1980, 
p. 7): “Em todo triângulo esférico, o cosseno de um dos lados é igual ao produto do 
cosseno dos outros dois lados, mais o produto dos senos dos mesmos lados pelo 
cosseno do ângulo por eles formados.”
Logo, com base na Figura 1.18, temos as seguintes fórmulas:
cos a = cos b cos c + sen b sen c cos A
cos b = cos a cos c + sen a sen c cos B
cos c = cos a cos b + sen a sen b cos C
Como exemplo, calcula-se a distância esférica entre dois pontos coordenados (A e 
B) apresentados nas Figuras 1.20 e 1.21, em que se resume a solução de um triân-
gulo esférico, aplicando-se o formulário anterior:
M
eridia
no
 de
 G
r een
wich
Plano do
Equador
λ λA B – 
A
B
N
S
λA
λ B
φ A
φ 
B
9 0
°
 
–
 φ
B
M
eridiano
 que
 passa emA Me
rid
ian
o 
qu
e 
pa
ss
a
em
B
ortodrômica
λ λA B – 
90
°
–
φ A
Figura 1.20 Representação dos elementos para o cálculo da ortodrômica.
Fonte: Os autores.
cos (ortodrômica) = 
cos(90° – φA) cos(90° – φB) + sen(90° – φA) sen(90° – φB) cos(λB – λA)
Como
cos(90° – φi) = sen – φi
cos(90° – φi) = cos – φi
Tem-se
cos(α) = sen(φA) sen(φB) + cos(φA) cos(φB) cos(λB – λA)
α = arc cos(sen(φA) sen(φB) + cos(φA) cos(φB) cos(λB – λA))