Preferências e Funções de Utilidade

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Aula 5: Preferências e função de utilidade
Carolina Parra Martínez
IEM 2019 – IMPA
18 de janeiro de 2019
Conteúdos
Preferências
Funções de utilidade
Preferências
Dado X ⊂ RL+, a relação �⊂ X ×X é dita
(i) Monótona, se x, y ∈ X, x >> y ⇒ x � y.
(ii) Fortemente monótona, se x, y ∈ X, x > y ⇒ x � y.
(iii) Localmente não saciável em X, quando ∀ x ∈ X, ∀ε > 0,
∃ y ∈ X tal que ‖ y − x ‖< ε e y � x.
Exercício: Mostre que � fortemente monótona ⇒ � monótona.
Exercício: Mostre que � monótona ⇒ � localmente não saciável
Preferências
Dado X ⊂ RL+, a relação �⊂ X ×X é dita
(i) Monótona, se x, y ∈ X, x >> y ⇒ x � y.
(ii) Fortemente monótona, se x, y ∈ X, x > y ⇒ x � y.
(iii) Localmente não saciável em X, quando ∀ x ∈ X, ∀ε > 0,
∃ y ∈ X tal que ‖ y − x ‖< ε e y � x.
Exercício: Mostre que � fortemente monótona ⇒ � monótona.
Exercício: Mostre que � monótona ⇒ � localmente não saciável
Preferências
Dado X ⊂ RL+, a relação �⊂ X ×X é dita
(i) Monótona, se x, y ∈ X, x >> y ⇒ x � y.
(ii) Fortemente monótona, se x, y ∈ X, x > y ⇒ x � y.
(iii) Localmente não saciável em X, quando ∀ x ∈ X, ∀ε > 0,
∃ y ∈ X tal que ‖ y − x ‖< ε e y � x.
Exercício: Mostre que � fortemente monótona ⇒ � monótona.
Exercício: Mostre que � monótona ⇒ � localmente não saciável
Preferências
Dado X ⊂ RL+, a relação �⊂ X ×X é dita
(i) Monótona, se x, y ∈ X, x >> y ⇒ x � y.
(ii) Fortemente monótona, se x, y ∈ X, x > y ⇒ x � y.
(iii) Localmente não saciável em X, quando ∀ x ∈ X, ∀ε > 0,
∃ y ∈ X tal que ‖ y − x ‖< ε e y � x.
Exercício: Mostre que � fortemente monótona ⇒ � monótona.
Exercício: Mostre que � monótona ⇒ � localmente não saciável
Preferências
Definimos alguns conjuntos úteis:
I Ix = {y ∈ X ; y ∼ x}. Conjunto de indiferença à cesta x.
I Ux = {y ∈ X ; y � x}. Conjunto de contorno superior.
I Lx = {y ∈ X ; x � y}. Conjunto de contorno inferior..
Definição
(i) � é convexa se ∀x ∈ X, o conjunto Ux é convexo.
(ii) � é estritamente convexa se ∀x ∈ X vale y � x, z � x,
y 6= z ⇒ αy + (1− α)z � x, ∀α ∈ (0, 1).
Preferências
Definimos alguns conjuntos úteis:
I Ix = {y ∈ X ; y ∼ x}. Conjunto de indiferença à cesta x.
I Ux = {y ∈ X ; y � x}. Conjunto de contorno superior.
I Lx = {y ∈ X ; x � y}. Conjunto de contorno inferior..
Definição
(i) � é convexa se ∀x ∈ X, o conjunto Ux é convexo.
(ii) � é estritamente convexa se ∀x ∈ X vale y � x, z � x,
y 6= z ⇒ αy + (1− α)z � x, ∀α ∈ (0, 1).
Preferências
Definimos alguns conjuntos úteis:
I Ix = {y ∈ X ; y ∼ x}. Conjunto de indiferença à cesta x.
I Ux = {y ∈ X ; y � x}. Conjunto de contorno superior.
I Lx = {y ∈ X ; x � y}. Conjunto de contorno inferior..
Definição
(i) � é convexa se ∀x ∈ X, o conjunto Ux é convexo.
(ii) � é estritamente convexa se ∀x ∈ X vale y � x, z � x,
y 6= z ⇒ αy + (1− α)z � x, ∀α ∈ (0, 1).
Funções de utilidade
Em alguns casos é possível representar as preferências de u,
consumidor a través de funções reais.
Definição
Dizemos que a função u : X → R representa a relação
�⊂ X ×X quando
x � y ⇔ u(x) ≥ u(y).
Dizemos que que u é função de utilidade associada às preferências
� .
OBS: Se u é função de utilidade associada à � e f : R→ R
função crescente, então (f ◦u) também representa a preferência �.
Funções de utilidade
Em alguns casos é possível representar as preferências de u,
consumidor a través de funções reais.
Definição
Dizemos que a função u : X → R representa a relação
�⊂ X ×X quando
x � y ⇔ u(x) ≥ u(y).
Dizemos que que u é função de utilidade associada às preferências
� .
OBS: Se u é função de utilidade associada à � e f : R→ R
função crescente, então (f ◦u) também representa a preferência �.
Representação
Proposição
Se existe função de utilidade representando �, então a preferência
� é racional.
Assim, racionalidade de � é uma condição necessária para haver
representação.
É também suficiente? Em geral não é.
Representação
Proposição
Se existe função de utilidade representando �, então a preferência
� é racional.
Assim, racionalidade de � é uma condição necessária para haver
representação.
É também suficiente? Em geral não é.
Representação
Proposição
Se existe função de utilidade representando �, então a preferência
� é racional.
Assim, racionalidade de � é uma condição necessária para haver
representação.
É também suficiente? Em geral não é.
Representação
Exemplo: Preferências Lexicográficas.
Seja X = R2, a PL é definida como
(x1, x2) �L (y1, y2) ⇔ x1 > y1 ou [x1 = y1 e x2 ≥ y2].
I �L é racional (prove!)
I Não existe função de utilidade que represente �L
Representação
Exemplo: Preferências Lexicográficas.
Seja X = R2, a PL é definida como
(x1, x2) �L (y1, y2) ⇔ x1 > y1 ou [x1 = y1 e x2 ≥ y2].
I �L é racional (prove!)
I Não existe função de utilidade que represente �L
Caso finito
Teorema
Seja X é um conjunto finito.
�⊂ X ×X racional ⇔ ∃ função de utilidade associada a � .
Demonstração.
Defina u(x) = ]{z ∈ X; x � z} o número (finito) de elementos
piores ou indiferentes. Devemos provar que representa a
preferência.
...
Caso finito
Teorema
Seja X é um conjunto finito.
�⊂ X ×X racional ⇔ ∃ função de utilidade associada a � .
Demonstração.
Defina u(x) = ]{z ∈ X; x � z} o número (finito) de elementos
piores ou indiferentes. Devemos provar que representa a
preferência.
...
É possível generalizar o teorema anterior para um X enumerável.
Proposição
Seja X é um conjunto enumerável.
�⊂ X ×X racional ⇔ ∃ função de utilidade associada a � .
Exercício:
Dica: Defina u(x) =
∑
{j;x�xj}
1
2j para uma enumeração de X,
X = {x1, . . . , xk, . . .} .
É possível generalizar o teorema anterior para um X enumerável.
Proposição
Seja X é um conjunto enumerável.
�⊂ X ×X racional ⇔ ∃ função de utilidade associada a � .
Exercício:
Dica: Defina u(x) =
∑
{j;x�xj}
1
2j para uma enumeração de X,
X = {x1, . . . , xk, . . .} .
É possível generalizar o teorema anterior para um X enumerável.
Proposição
Seja X é um conjunto enumerável.
�⊂ X ×X racional ⇔ ∃ função de utilidade associada a � .
Exercício:
Dica: Defina u(x) =
∑
{j;x�xj}
1
2j para uma enumeração de X,
X = {x1, . . . , xk, . . .} .
Continuidade das preferências
Definição
Dizemos que � é contínua quando Ux e Lx são fechados para todo
x ∈ X.
Exercício A preferência �⊂ RL+ × RL+ é contínua ⇔ {(xn, yn)}n
tal que xn � yn, ∀n com xn → x e yn → y ⇒ x � y.
Exercício Mostre que na preferência lexicográfica Ux não é
fechado para algum x ∈ X
Continuidade das preferências
Definição
Dizemos que � é contínua quando Ux e Lx são fechados para todo
x ∈ X.
Exercício A preferência �⊂ RL+ × RL+ é contínua ⇔ {(xn, yn)}n
tal que xn � yn, ∀n com xn → x e yn → y ⇒ x � y.
Exercício Mostre que na preferência lexicográfica Ux não é
fechado para algum x ∈ X
Continuidade das preferências
Definição
Dizemos que � é contínua quando Ux e Lx são fechados para todo
x ∈ X.
Exercício A preferência �⊂ RL+ × RL+ é contínua ⇔ {(xn, yn)}n
tal que xn � yn, ∀n com xn → x e yn → y ⇒ x � y.
Exercício Mostre que na preferência lexicográfica Ux não é
fechado para algum x ∈ X
Caso não enumerável
Proposição
Se X contém um subconjunto denso enumerável Y e se � é
racional, contínua e localmente não saciável. Então, existe função
de utilidade u : X → R que representa � .
Demonstração.
Ver no livro de Castro e Faro.
Vamos estudar um caso particular em que X = RL+ e as
preferências são fortemente monótonas.
Caso não enumerável
Proposição
Se X contém um subconjunto denso enumerável Y e se � é
racional, contínua e localmente não saciável. Então, existe função
de utilidade u : X → R que representa � .
Demonstração.
Ver no livro de Castro e Faro.
Vamos estudar um caso particular em que X = RL+ e as
preferênciassão fortemente monótonas.
Teorema de representação
Teorema
Seja X = RL+ e � uma preferência racional, contínua e fortemente
monótona sobre X. Então, existe função de utilidade (contínua)
u : X → R que representa � .
Representação de Debreu
Teorema
Se X é um espaço topológico com base de abertos enumerável e
�⊂ X ×X racional e continua (na topologia de X) ⇒ ∃ função
de utilidade contínua associada a � .
Demonstração.
Ver no livro de Castro e Faro.
Representação de Debreu
Teorema
Se X é um espaço topológico com base de abertos enumerável e
�⊂ X ×X racional e continua (na topologia de X) ⇒ ∃ função
de utilidade contínua associada a � .
Demonstração.
Ver no livro de Castro e Faro.
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