Álgebra_Sup-cap4

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4. Ane´is e Corpos
Neste capı´tulo apresentaremos os aspectos elementares da teoria
de ane´is e corpos.
4.1 Definic¸a˜o e exemplos
Definic¸a˜o 4.1.1. Seja A um conjunto na˜o vazio onde esta´ definida
duas operac¸a˜o entre pares de A, denotadas por,
⊕ : A×A −→ A
(x, y) 7−→ x⊕ y.
e
⊖ : A× A −→ A
(x, y) 7−→ x⊖ y.
Dizemos que a terna (A,⊕ ,⊖) e´ um anel se as seguintes propriedades
sa˜o va´lidas. Para todo x, y, z ∈ A temos que:
A1) x⊕ (y ⊕ z) = (x⊕ y)⊕ z (associativa em relac¸a˜o a operac¸a˜o ⊕).
A2) x⊕ y = y ⊕ x (comutativa em relac¸a˜o a operac¸a˜o ⊕)
A3) ∃ 0A ∈ A tal que x ⊕ 0A = x (existeˆncia do elemento neutro da
operac¸a˜o ⊕).
A4) ∀ x ∈ A existe x′ ∈ A tal que x⊕ x′ = 0A (existeˆncia do elemento
sime´trico da operac¸a˜o ⊕).
A5) x⊖ (y ⊖ z) = (x⊖ y)⊖ z (associativa em relac¸a˜o a operac¸a˜o ⊖).
A6) x ⊖ (y ⊕ z) = (x ⊖ y) ⊕ (x ⊖ z) e (x ⊕ y) ⊖ z = (x ⊖ z) ⊕ (y ⊖ z)
(distributividade a` esquerda e a` direita).
Se o anel (A,⊕ ,⊖) satisfaz a propriedade:
103
104
A7) ∃ 1A ∈ A com 1A 6= 0A tal que x ⊖ 1A = 1A ⊖ x = x (existeˆncia
do elemento neutro da operac¸a˜o ⊖) dizemos que (A,⊕ ,⊖) e´ um
anel com unidade.
Se o anel (A,⊕ ,⊖) satisfaz a propriedade:
A8) x⊖ y = y ⊖ x, dizemos que (A,⊕,⊖) e´ um anel comutativo.
Se o anel (A,⊕ ,⊖) satisfaz propriedade:
A9) x ⊖ y = 0A =⇒ x = 0A ou y = 0A , dizemos que (A,⊕,⊖) e´ um
anel sem divisores de zero.
Se (A,⊕ ,⊖) e´ um anel comutativo, com unidade e sem divisores
de zero , dizemos que (A,⊕,⊖) e´ um anel de integridade ou
domı´nio de integridade ou simplismente domı´nio.
Finalmente, se um domı´nio de integridade (A,⊕ ,⊖) satisfaz a
propriedade:
A10) ∀ x ∈ A com x 6= 0A existe y ∈ A tal que x ⊖ y = 1A , dizemos
que (A,⊕,⊖) e´ um corpo.
Saiba Mais: Para
mias detalhes da
teoria de ane´is
ver refereˆncia [1].
Com o objetivo de simplificar as notac¸o˜es, em alguns casos usare-
mos A em vez de (A,⊕,⊖) para denotar o anel. Usaremos tambe´m,
em alguns casos, a notac¸a˜o x + y em vez de x ⊕ y e xy em vez de
x ⊖ y para representar o resultado de x operado com y no sentido de
cada operac¸a˜o.
Exemplo 4.1.1. Se a operac¸a˜o e´ dada por x⊕ y = x+ y e x⊖ y = x · y
enta˜o os seguintes conjuntos
(Z,+, ·), (Q,+, ·), (R,+, ·) e (C,+, ·)
sa˜o ane´is de integridade. E com excec¸a˜o de Z, todos sa˜o corpos.
Exemplo 4.1.2. O conjunto mZ = {km | k ∈ Z} com m > 1, munido
das operac¸o˜es usuais + (soma) e · (multiplicac¸a˜o), e´ anel comutativo,
sem unidade e sem divisores de zero.
105
Exemplo 4.1.3. O conjunto (Zm,+, ·) com m > 1 e´ anel comutativo
com unidade. Ale´m disso, se m e´ primo enta˜o Zm e´ corpo.
Exemplo 4.1.4. Considere em Z as operac¸o˜es ⊕ e ⊖ dadas por:
x⊕ y = a+ b− 1 e x⊖ y = 1.
Mostre que (Z,⊕) e´ anel comutativo. De fato:
A1) Associativa em relac¸a˜o a operac¸a˜o ⊕ : Temos que
x⊕ (y ⊕ z) = x⊕ (y + z − 1) = x+ y + z − 1− 1 = x+ y + z − 2.
Por outro lado
(x⊕ y)⊕ z = (x+ y − 1)⊕ z = (x+ y − 1 + z − 1 = x+ y + z − 2.
Portanto e´ associativa.
A2) Comutativa: x ⊕ y = x + y − 1 = y + x − 1 = y ⊕ x, portanto e´
comutativa.
A3) Existeˆncia do elemento neutro da operac¸a˜o ⊕:
x⊕ 0A = x =⇒ x+ 0A − 1 = x =⇒ 0A = 1.
Portanto 0A = 1 e´ o elemento neutro.
A4) Existeˆncia do elemento sime´trico:
x⊕ a′ = 0A =⇒ x + a′ − 1 = 1 =⇒ a′ = 2− x.
Portanto, dado x seu sime´trico e´ a′ = 2− x.
A5) Associativa em relac¸a˜o a operac¸a˜o ⊖ : Temos que
x⊖ (y ⊖ z) = x⊖ 1 = 1.
Por outro lado,
(x⊖ y)⊖ z = 1⊖ z = 1.
Portanto e´ associativa.
106
A5) Distribuitiva a` esquerda e a` direita : Temos que
1 = x⊖ (y ⊕ z) = (x⊖ y)⊕ (x⊖ z) = 1⊕ 1 = 1 + 1− 1 = 1.
e
1 = (x⊕ y)⊖ z = (x⊖ z)⊕ (y ⊖ z) = 1⊕ 1 = 1 + 1− 1 = 1.
Portanto e´ associativa.
Portanto (Z,⊕,⊖) e´ um anel. Ale´m disso, e´ fa´cil verificar que (Z,⊕,⊖)
e´ comutativo, mas sem unidade e com divisores de zero.
Exemplo 4.1.5. Considere o conjunto das matrizes com n linhas e n
colunas com entradas reais, denotada por
Mn×n(R) = {a = (aij) |aij ∈ R e i, j = 1, 2, · · · , n}.
Defina as operac¸o˜es em Mn×n(R) dadas por:
a⊕b = a+b = (aij+bij) e a⊖b = a·b = (cij) onde cij =
n∑
k=1
aikbkj, (i, j = 1, 2, · · · , n).
Mostre que (Mn×n(R),⊕,⊖) e´ anel. Com efeito:
A1) Associativa: Temos que
a⊕ (b⊕ c) = a⊕ (bij + cij) = (aij + bij + cij)
Por outro lado
(a⊕ b)⊕ c = (aij + bij)⊕ c = (aij + bij + cij).
Portanto e´ associativa.
A2) Comutativa: a ⊕ b = (aij + bij) = (bij + aij) = y ⊕ x, portanto e´
comutativa.
A3) Existeˆncia do elemento neutro:
a⊕0A = a =⇒ (aij+0ij) = (aij) =⇒ aij+0ij = aij =⇒ 0ij = 0 ∀ i, j.
107
Portanto,
0A = (0) =


0 · · · 0
0
.
.
. 0
.
.
. · · · ...
0 · · · 0


(matriz nula) e´ o elemento neutro.
A4) Existeˆncia do elemento sime´trico da operac¸a˜o soma: Temos que
a⊕a′ = 0A =⇒ (aij+a′ij) = (0) =⇒ aij+a′ij = 0 =⇒ a′ij = −aij ∀ i, j.
Portanto, dado a seu sime´trico e´
(a′ij) =


−a11 · · · −a1n
−a21 . . . −a2n
.
.
. · · · ...
−an1 · · · −ann


.
A5) Associativa: a⊖ (b⊖ c) = a(bc) = (ab)(c) = (a⊖ b)⊖ c. Portanto e´
associativa (caro leitor fac¸a os detalhes da afirmac¸a˜o).
A6) Distributiva a` esquerda e a` direita: Temos que
a⊖ (b⊕ c) = a(b + c) = (ab) + (ac) = (a⊖ b)⊕ (a⊖ c)
e
(a⊕ b)⊖ c = (a+ b)c = (ac) + (bc) = (a⊖ c)⊕ (b⊖ c).
Portanto e´ distributiva (caro leitor fac¸a os detalhes da afirmac¸a˜o).
A7) Existeˆncia do elemento neutro da operac¸a˜o multiplicac¸a˜o: Defina
1A = In onde In e´ matriz identidade dada por
1A = In =


1 0 · · · 0
0 1 · · · 0
.
.
. 0
.
.
.
.
.
.
0 · · · 0 1


donde a⊖ 1A = aIn = Ina = 1A ⊖ a = a
108
Portanto (Mn×n,+, ·) e´ um anel com unidade.
Observac¸a˜o 4.1.1. Como vimos no capı´tulo 3 o anel (M2×2,+, ·) na˜o
e´ comutativo. ´E fa´cil ver, tambe´m que (M2×2,+, ·) possui divisores de
zero.
Exemplo 4.1.6. Seja A := F(R) = {f : R −→ R }. Defina as
operac¸o˜es em A dadas por: para todas f, g ∈ F e para todo x ∈ R
(f⊕g)(x) = (f+g)(x) = f(x)+g(x) e (f⊖g)(x) = (f ·g)(x) = f(x)·g(x).
Mostre que (A,⊕,⊖) e´ anel comutativo com unidade. Com efeito:
A1) Associativa em relac¸a˜o a operac¸a˜o ⊕:
(f ⊕ (g ⊕ h)) (x) = (f + (g + h)) (x) = ((f + g) + h) (x) = ((f ⊕ g)⊕ h) (x).
Portanto e´ associativa.
A2) comutativa em relac¸a˜o a operac¸a˜o ⊕:
(f ⊕ g)(x) = (f + g)(x) = (g + f)(x) = (g ⊕ f)(x).
Portanto e´ comutativa.
A3) Existeˆncia do elemento neutro da operac¸a˜o ⊕:
(f ⊕ 0A)(x) = (f + 0A)(x) = f(x) + 0A(x) = f(x) =⇒ 0A = 0.
Portanto, o elemento neutro da operac¸a˜o ⊕ e´ func¸a˜o nula.
A4) Existeˆncia do elemento sime´trico da operac¸a˜o ⊕:
(f ⊕ g)(x) = 0A(x) =⇒ f(x) + g(x) = 0 =⇒ g(x) = −f(x).
Portanto, dada f seu sime´trico e´ a func¸a˜o g = −f .
A5) Associativa com relac¸a˜o a operac¸a˜o ⊖:
(f ⊖ (g ⊖ h))(x) = (f(gh)(x) = ((fg)h)(x) = ((f ⊖ g)⊖ h)(x).
Portanto e´ associativa.
109
A6) Distributiva a` esquerda e a` direita: Temos que
(f⊖(g⊕h))(x) = (f(g+h))(x) = ((fg)+(gh))(x) = ((f⊖g)⊕(f⊖g))(x)
e
((f⊕g)⊖h)(x) = ((f+g)h)(x) = ((fh)+(gh))(x) = ((f⊖h)⊕(g⊖h))(x).
Portanto e´ distributiva.
A7) Existeˆncia do elemento neutro da operac¸a˜o ⊖: Para todo x ∈ R
(f ⊖ 1A)(x) = f(x) =⇒ f(x) · 1A(x) = f(x) =⇒ 1A = 1.
Logo a func¸a˜o constante 1 e´ a unidade de A.
A8) Comutativa com relac¸a˜o a operac¸a˜o ⊖:
(f ⊖ g)(x) = (fg)(x) = (gf)(x) = (g ⊖ f)(x).
Portanto e´ comutativa.
Portanto (F ,⊕,⊖) e´ anel comutativo com unidade.
Observac¸a˜o 4.1.2. O anel (F ,⊕,⊖) possui divisores de zero. Com
efeito: considere as func¸o˜es f e g na˜o nulas definidas abaixo
f(x) =


0 se x ≥ 0
x2 se x < 0
e g(x) =


x se x ≥ 0
0 se x < 0
Temos que f(x)g(x) = 0 para todo x, com f 6= 0 e g 6= 0.
Exemplo 4.1.7. Sejam (A1,⊕1,⊖1) e (A2,⊕2,⊖2) ane´is. Sobre o pro-
duto cartesiano
A =A1 × A2 = {(a, b) | a ∈ A1, b ∈ A2 }
considere as operac¸o˜es ⋆ e ∗, definidas por: ∀(a, b), (x, y) ∈ A1 ×A2
(a, b) ⋆ (x, y) = (a⊕1 x, b⊕2 y) e (a, b) ∗ (x, y) = (a⊖1 x, b⊖2 y).
´E facil ver que A = (A1×A2, ⋆, ∗) e´ anel, o qual e´ chamado de produto
direto (externo) dos ane´is A1 e A2.
110
Proposic¸a˜o 4.1.2. Se A e´ um corpo enta˜o A e´ um anel de integridade.
Prova. Sejam a, b ∈ A tal que a ⊖ b = 0A. Se a 6= 0A pelo fato de
que A e´ corpo existe c ∈ A tal que c⊖ a = 1A, assim
c⊖ (a⊖ b) = c⊖ 0A =⇒ (c⊖ a)⊖ b = 0A =⇒ 1A ⊖ b = 0A =⇒ b = 0A.
Logo A e´ um anel de integridade.
Observac¸a˜o 4.1.3. A recı´proca do resultado acima e´ falsa, pois Z e´
um anel de integridade mas na˜o e´ corpo.
Proposic¸a˜o 4.1.3. Se A e´ um anel de integridade finito enta˜o A e´
corpo.
Prova. Seja A = {a1, a2, · · · , an}. Para todo a ∈ A com a 6= 0A,
defina a func¸a˜o f : A −→ A definida por f(ai) = a⊖ ai.
1. f e´ injetiva. De fato: se
f(ai) = f(aj) =⇒ a⊖ ai = a⊖ aj =⇒ ai = aj.
Portanto injetiva.
2. f e´ sobrejetiva. De fato: como f e´ injetiva e A e´ finito, portanto
f e´ sobrejetiva.
Sendo f uma bijec¸a˜o e como 1A ∈ A enta˜o existe ar ∈ A tal que
f(ar) = 1A =⇒ a⊖ ar = 1A,
ou seja, ar e´ inverso em relac¸a˜o a operac¸a˜o ⊖ de a. Portanto A e´ um
corpo.
Observac¸a˜o 4.1.4. Vimos no capı´tulo 2, que Zm para m primo e´ um
anel de integridade, portanto e´ corpo.
Definic¸a˜o 4.1.4. Seja (A,⊕,⊖) um anel. Um subconjunto na˜o vazio
L ⊂ A e´ um subanel de A se, e somente se,
111
a) ∀ a, b ∈ L =⇒ a⊕ b ∈ L e a⊖ b ∈ L (isto e´, L e´ fechado em relac¸a˜o
as operac¸o˜es ⊕ e ⊖).
b) (L,⊕,⊖) e´ anel.
Proposic¸a˜o 4.1.5. Seja (A,⊕,⊖) um anel. Um subconjunto na˜o vazio
L ⊂ A e´ um subanel de L se, e somente se,
∀ a, b ∈ L =⇒ a⊕ b′ ∈ L e a⊖ b ∈ L
onde b′ e´ o sime´trico de b em relac¸a˜o a operac¸a˜o ⊕.
Prova.(=⇒) Sejam 0A e 0L os elementos neutros em relac¸a˜o a
operac¸a˜o ⊕ de (A,⊕,⊖) e (L,⊕,⊖), respectivamente. Assim, temos
0A ⊕ 0L = 0L = 0L ⊕ 0A =⇒ 0L = 0A
Considere um elemento b ∈ L e sejam b′ e b′L os elementos sime´tricos
de b, em relac¸a˜o a operac¸a˜o ⊕, respectivamente, nos ane´is (A,⊕,⊖)
e (L,⊕,⊖). Assim, temos
b′L ⊕ b = 0L = 0A = b′ ⊕ b =⇒ b′L = b′.
Daı´, dados a, b ∈ L, temos que:
a⊕ b′L ∈ L =⇒ a⊕ b′ ∈ L.
E e´ claro que a⊖ b ∈ L, pois vem diretamente da hipo´tese.
(⇐=) Sendo L 6= ∅, existe a ∈ L =⇒ a ⊕ a′ = 0A ∈ L. Dado b ∈ L,
por hipo´tese e pela conclusa˜o anterior segue-se que 0A ⊕ b′ = b′ ∈ L.
Agora, dados a, b ∈ L, temos que a, b′ ∈ L, daı´
a⊕ b = a⊕ (b′)′ ∈ L.
Acabamos de provar que L e´ fechado em relac¸a˜o a operac¸a˜o ⊕,
e por hipo´tese, L tambe´m e´ fechado em relac¸a˜o a operac¸a˜o ⊖. Da
hipo´tese ∀ a, b ∈ L =⇒ a ⊕ b′ ∈ L, decorre que L e´ um subgrupo de
(A,⊕). Logo (L,⊕) e´ grupo abeliano.
Por outro lado L ⊂ A e´ fechado em relac¸a˜o a operac¸a˜o ⊖, assim
∀ a, b, c ∈ L =⇒ a, b, c ∈ A =⇒ a⊖ (b⊖ c) = (a⊖ b)⊖ c ∈ L
112
Logo L possui a propriedade associativa em relc¸a˜o a operac¸a˜o ⊖.
Ale´m disso, ∀ a, b, c ∈ L =⇒ a, b, c ∈ A, daı´
a⊖ (b⊕ c) = (a⊖ b)⊕ (a⊖ c) ∈ L e (a⊕ b)⊖ c = (a⊖ c)⊕ (b⊖ c) ∈ L.
Portanto (L,⊕,⊖) e´ um anel.
Exemplo 4.1.8. Mostremos que (Z,+, ·) e´ um subanel de (R,+, ·). De
fato:
∀ a, b ∈ Z =⇒ a + (−b) = a− b ∈ Z e a · b ∈ Z.
Exemplo 4.1.9. O conjunto dos nu´meros pares (2Z,+, ·) e´ um sub-
anel de (Z,+, ·), pois o conjunto dos pares e´ fechado em relac¸a˜o a
subtrac¸a˜o e a multiplicac¸a˜o.
Exemplo 4.1.10. Mostremos que (L,+, ·) e´ um subanel de (Z8,+, ·)
onde L = {0, 4}. Devemos mostrar que para todos a, b ∈ L =⇒
a− b = a− b ∈ L e a · b = a · b ∈ L .
Vamos analisar todas as possibilidades:
a b a− b a− b
0 0 0− 0 0− 0 = 0 ∈ L
4 4 4− 4 4− 4 = 0 ∈ L
4 0 4− 0 4− 0 = 4 ∈ L
0 4 0− 4 0− 4 = 4 ∈ L
Ale´m disso, para todo
a, b ∈ L =⇒ a · b = a · b = 0 ∈ L.
Portanto (L,+, ·) e´ subanel de (Z8,+, ·).
Definic¸a˜o 4.1.6. Seja (A,⊕,⊖) um anel com unidade 1A. Um subanel
L de A com unidade 1B e´ dito unita´rio se 1A = 1B.
Exemplo 4.1.11. (Z,+, ·) e´ um subanel unita´rio de (R,+, ·), pois eles
possuem a mesma unidade.
113
Exemplo 4.1.12. Mostre que L =



 a 0
0 0

 ; a ∈ R

 , e´ subanel
com unidade e na˜o unita´rio de (A = M2×2(R),+, ·). Com efeito: Sejam
x, y ∈ L, assim existem a, b ∈ R tais que:
x =

 a 0
0 0

 e y =

 b 0
0 0

 .
Assim,
x− y =

 a− b 0
0 0

 e xy =

 ab 0
0 0


Portanto L e´ subanel de A.
Ale´m disso, a unidade de L e´ dada por:
1L =

 1 0
0 0

 6= 1A =

 1 0
0 1

 .
Logo L na˜o e´ unita´rio.
4.1.1 Exercı´cios
1. Considere as operac¸o˜es em ⊕ e ⊖ em Q, definidas por:
x⊕ y = x+ y − 3 e x⊖ y = x + y − xy
3
∀ x, y ∈ Q
Mostre que (Q,⊕,⊖) e´ um anel comutativo com unidade.
2. Considere as operac¸o˜es em ⊕ e ⊖ em Z× Z, definidas por:
(a, b)⊕(c, d) = (a+c, b+d) e (a, b)⊖(c, d) = (ac, ad+bc) ∀ a, b, c, d ∈ Z
Verifique se (Z × Z,⊕,⊖) e´ um anel? se e´ comutativo? e se
possui unidade?
3. Considere as operac¸o˜es em ⊕ e ⊖ em R× R, definidas por:
(a, b)⊕(c, d) = (a+c, b+d) e (a, b)⊖(c, d) = (ac−bd, ad+bc) ∀ a, b, c, d ∈ R
Mostre (R× R,⊕,⊖) e´ um corpo.
114
4. Considere (R,⊕,⊖) onde x ⊕ y = 3√x3 + y3 e x ⊖ y = |xy| para
todo x, y ∈ R. Verifique se (R,⊕,⊖) e´ um anel? se e´ comutativo?
e se possui unidade?
5. Seja A um anel tal que x2 = x para todo x ∈ A. Mostre que A e´
um anel comutivo.
6. Seja A um anel de integridade. Se ab = ac com a 6= 0 enta˜o
b = c.
7. Seja A um anel de integridade. Se x2 = x para todo x ∈ A enta˜o
A = {0, 1}.
8. Verifique se sa˜o subane´is? e se sa˜o subcorpos?:
(a) L1 = {m
n
∈ Q | m ∈ Z, n ∈ 2Z∗} de (Q,+, ·);
(b) L2 = {m
n
| m,n ∈ Z e (m, p) = 1 com p primo positivo} de
(Q,+, ·);
(c) L3 = {cosα + i senα | α ∈ Z } de (C,+, ·);
(d) L4 = {a+ b
√
2 | a, b ∈ Q } de (R,+, ·).
9. Calcule todos os subane´is de Z12.
10. Se S1 e S2 sa˜o subane´is de A. Mostre que S1 ∩ S2 e´ subanel de
A.
11. Seja (A,+, ·) e a ∈ A. Mostre que Z(a) = {x ∈ G | xa = ax } e´
um subanel de A.
4.1.2 Algumas respostas, sugesto˜es e soluc¸o˜es
1.
2. (Z× Z,⊕,⊖) e´ anel, comutativo e se possui unidade (1, 0).
3.
4. (R,⊕,⊖) na˜o e´ anel pois na vale A6
115
5. Sugesta˜o: Prove que x = −x ∀ x ∈ A e depois calcule (x+ y)2.
6.
7.
8. (a) L1 e´ subanel e subcorpo;
(b) L2 na˜o e´ subanel;
(c) L3 na˜o e´ subanel;
(d) L4 e´ subanel e subcorpo.
9. {0}, {0, 6}, {0, 4, 8}, {0, 3, 6, 9}, {0, 2, 4, 6, 8} e Z12.
10.
11.
4.2 Homomorfismo e isomorfismo
Definic¸a˜o 4.2.1. Dados dois ane´is (A,+, ·) e (B,⊕,⊖). Dizemos que
a func¸a˜o f : G −→ H e´ homomorfismo do anel A no anel B se, e
somente se,
∀ x, y ∈ G =⇒ f(x+ y) = f(x)⊕ f(y) e f(x · y) = f(x)⊖ f(y).
Exemplo 4.2.1. Sejam os ane´is (A,+, ·) = (Z,+, ·) e (B,⊕,⊖) =
(Zm,+, ·). Enta˜o a func¸a˜o f : Z −→ Zm definida por f(z) = z e´ um
homomorfismo entre os ane´is Z e Zm.
Com efeito: ∀ m,n ∈ Z temos que,
f(m+n) = m+ n = m+n = f(m)+f(n) e f(m·n) = m · n = m·n = f(m)·f(n).
Portanto f e´ um homomorfismo entre os ane´is Z e Zm.
Exemplo 4.2.2. A func¸a˜o f : C −→M2×2(R) definida por
f(a+ ib) =

 a b
−b a


e´ um homomorfismo do anel C no anel M2×2(R).
Com efeito: Dados (a+ ib), (c + id) ∈ C, temos que,
116
1.
f((a+ ib)+(c+ id)) = f((a+c)+ i(b+d)) =

 a+ c b+ d
−(b + d) a + c


Por outro lado,
f(a+ib)+f(c+id) =

 a b
−b a

+

 c d
−d c

 =

 a+ c b + d
−(b + d) a+ c


2.
f((a+ib)·(c+id)) = f((ac−bd)+i(ad+bc)) =

 ac− bd ad+ bc
−(ad+ bc) ac− bd


Por outro lado,
f(a+ib)·f(c+id) =

 a b
−b a

·

 c d
−d c

 =

 ac− bd ad+ bc
−(ad + bc) ac− bd


Portanto, f e´ um homomorfismo entre os ane´is Z e M2×2(R).
Mostraremos a seguir, algumas propriedadesque sa˜o satisfeitas
por um homomorfismo entre ane´is.
Dados dois ane´is (A,+, ·) e (B,⊕,⊖). Sejam 0A e 0B os respec-
tivos elementos neutros de A e B da primeira operac¸a˜o.
Proposic¸a˜o 4.2.2. Seja f : A −→ B um homomorfismo de A em B,
enta˜o temos que:
a) f(0A) = 0B
b) f(a′) = f(a)′ onde a′ e´ sime´trico de a em relac¸a˜o a primeira
operac¸a˜o.
c) f(a+ b′) = f(a)⊕ f(b)′
d) Se A e B sa˜o ane´is de integridade. Enta˜o f e´ a func¸a˜o constante
zero ou f(1A) = 1B.
e) Sejam A e B ane´is de integridade. Se existem os inversos (em
relac¸a˜o a segunda operac¸a˜o) de a e f(a) , os quais denotaremos
por a−1 e f(a)−1, respectivamente. Enta˜o f(a−1) = f(a)−1.
117
Prova. Sendo f um homomorfismo, e como (A,+) e (B,⊕) sa˜o
grupos, enta˜o os itens a),b) e c) seguem de imediato.
Prova do item d). Temos que
f(1A) = f(1A · 1A) = f(1A)⊖ f(1A) = f(1A)2.
Sendo B anel de integridade, segue-se que f(1A) = 0B ou f(1A) = 1B.
De f(1A) = 0B, temos que
f(x) = f(x · 1A) = f(x)⊖ 0B = 0B.
Portanto, f e´ a func¸a˜o constante zero ou f(1A) = 1B.
Prova do item e). Como existe f(a)−1, segue-se que f(1A) = 1B.
Assim:
f(1A) = f(a·a−1) = f(a)⊖f(a−1) e 1B = f(a)⊖f(a)−1 =⇒ f(a−1) = f(a)−1.
Proposic¸a˜o 4.2.3. Se L e´ um subanel de A enta˜o f(L) e´ um subanel
de B.
Prova. Sendo L e´ um subanel de A, temos que 0L = 0A ∈ L, assim
f(0L) = 0B ∈ f(L), daı´ f(L) e´ na˜o vazio. Sejam a, b,∈ L =⇒ a+b′ ∈ L,
assim:
f(a)⊕[f(b)]′ = f(a)⊕f(b′) = f(a+b′) ∈ f(L) e f(a)⊖f(b) = f(a·b) ∈ f(L).
Portanto, f(L) e´ um subanel de B.
Proposic¸a˜o 4.2.4. Sejam os ane´is (A,+, ·), (B,⊕,⊖) e (C,⊗,⊙). Se-
jam os homomorfismos f : A −→ B e g : B −→ C. Enta˜o g ◦ f : A −→
C e´ um homomorfismo de A em C.
Prova. A cargo do prezado leitor.
Definic¸a˜o 4.2.5. Sejam (A,+, ·), (B,⊕,⊖) ane´is , e f : A −→ B um
homomorfismo de A em B. Chama-se nu´cleo de f e denota-se por
N(f) ou Ker(f) o seguinte subconjunto de A dado por:
N(f) = {x ∈ A | f(x) = 0B}.
118
Exemplo 4.2.3. Calcule o nu´cleo de f : Z −→ Zm definida por f(z) =
z, o qual e´ um homomorfismo do anel (Z,+, ·) no anel (Zm,+, ·).
N(f) = {x ∈ R | f(x) = 0 } =⇒ z = 0 ⇔ z ≡ 0 (mod m).
Portanto, N(f) = {km | k ∈ Z}.
Exemplo 4.2.4. Seja o homomorfismo f : C −→M2×2(R) definida por:
f(a+ ib) =

 a b
−b a


do corpo (C∗, ·) no anel B = M2×2(R). Calcule o N(f). Temos que
N(f) = {a+ ib ∈ C | f(a+ ib) = 0B }. Assim:
 a b
−b a

 =

 0 0
0 0

 =⇒ a = b = 0.
Portanto N(f) = {0 + i0}.
Proposic¸a˜o 4.2.6. Seja f : A −→ B um homomorfismo de (A,+, ·)
em (H,⊕,⊖). Enta˜o:
a) N(f) e´ um subanel de A.
b) f e´ injetiva se, e somente se, N(f) = {0A}.
Prova. a) Como f(0A) = 0B, enta˜o 0A ∈ N(f), logo N(f) 6= ∅.
Sejam a, b ∈ N(f), donde
f(a+ b′) = f(a)⊕ f(b)′ = 0B ⊕ 0B ′ = 0B =⇒ a + b′ ∈ N(f).
e
f(a · b) = f(a)⊖ f(b) = 0B ⊖ 0B = 0B =⇒ a · b ∈ N(f).
Portanto, N(f) e´ subanel de A.
b) (=⇒) Seja a ∈ N(f) enta˜o f(a) = f(0A) = 0B. Como f e´ injetora,
temos que a = 0A.
(⇐=) Sejam a, b ∈ G. Se
f(a) = f(b) =⇒ f(a)⊕ f(b)′ = 0B =⇒ f(a+ b′) = 0B =⇒ a+ b′ ∈ N(f)
Sendo N(f) = {0A}, temos que a + b′ = 0A =⇒ a = b. Portanto, f e´
injetiva.
119
Definic¸a˜o 4.2.7. Sejam (A,+, ·) e (H,⊕,⊖) ane´is. Uma func¸a˜o f :
A −→ B chama-se isomorfimo de A em B se, e somente se,
a) f e´ um homomorfismo de A em B.
b) f e´ bijetiva.
Se A e B sa˜o isomorfos, denota-se por A ≈ B.
Se A = B o isomorfismo chama-se automorfimo de A. O conjunto
de todos automorfimo de A em A sera´ denotado por Aut(A).
Exemplo 4.2.5. Vimos anteriormente que, o homomorfismo
f : C −→M2×2(R) definido por
f(a+ ib) =

 a b
−b a


do corpo (C∗, ·) no anel B = M2×2(R) e´ injetivo. Mais, o mesmo na˜o e´
sobrejetivo, pois o elemento
x =

 1 1
1 1

 ∈M2×2(R),
e na˜o existe a + ib ∈ C tal que f(a + ib) = x. Portanto, f na˜o e´ um
isomorfismo de (C) em M2×2(R).
Proposic¸a˜o 4.2.8. Sejam (A,+, ·), (B,⊕,⊖) ane´is. Se f : A −→ B e´
um isomorfimo de (A,+, ·) em (B,⊕,⊖). Enta˜o, f−1 : B −→ A e´ um
isomorfismo de (B,⊕,⊖) em (A,+, ·).
Prova. Sendo f bijetiva enta˜o f−1 tambe´m o e´. Agora, dados
y, z ∈ B existem a, b ∈ A tais que y = f(a) e z = f(b). Assim:
f−1(y⊕z) = f−1(f(a)⊕f(b)) = f−1(f(a+ b)) = a+ b = f−1(y)+f−1(z)
e
f−1(y ⊖ z) = f−1(f(a)⊖ f(b)) = f−1(f(a · b)) = a · b = f−1(y) · f−1(z).
Daı´ f−1 e´ um homomorfismo, e portanto, um isomorfismo de (B,⊕,⊖)
em (A,+, ·).
120
4.2.1 Exercı´cios
1. Verificar em cada caso abaixo, se f e´ um homomorfismo entre
ane´is:
(a) f : Z −→ Z dada por f(z) = 0.
(b) f : R −→ R dada por f(x) = |x|.
(c) f : C −→ R dada por f(x + iy) = x + y.
(d) f : Z −→ Z× Z dada por f(z) = (z, 0)
(e) f : C −→ C dada por f(z) = z.
2. Quais homomorfismo acima sa˜o injetores? Quais sa˜o sobreje-
tores?
3. Verifique se f : Z −→ 2Z = {0,±2,±4, · · · } dada por f(m) = 2m
para todo m ∈ Z e´ um homomorfismo de (Z,+, ·) em (2Z,+, ·).
4. Sejam os ane´is A = {m + in√2| m,n ∈ Z} e B = M2×2(Z)
(a) Verifique se f : A −→ B dada por
f(m+ in
√
2) =

 m −2n
n m


e´ homomorfismo de A em B.
(b) Caso f seja homomorfismo, calcule N(f).
5. Se f : Z −→ Z e´ um homomorfismo de (Z,+, ·) em (Z,+, ·) enta˜o
f(n) = n ou f(n) = 0 para todo n ∈ Z. E ale´m disso, se f e´ um
isomorfismo, enta˜o f(n) = n para todo n ∈ Z.
6. Se f : Q −→ Q e´ um homomorfismo de (Q,+, ·) em (Q,+, ·)
enta˜o f(n) = n ou f(n) = 0 para todo n ∈ Q. E ale´m disso, se
f e´ um isomorfismo enta˜o f(n) = n para todo n ∈ Q
7. Se f : R −→ R e´ um homomorfismo de (R,+, ·) em (R,+, ·) e
continuo enta˜o f(x) = x ou f(x) = 0 para todo x ∈ R. E ale´m
disso, se f e´ um isomorfismo enta˜o f(x) = x para todo x ∈ R
121
8. Mostre que 2Z e 3Z na˜o sa˜o isomorfos.
9. Mostre que os ane´is A = {m + n√2| m,n ∈ Q} e
B = {x+ y√3| x, y ∈ Q} na˜o sa˜o isomorfos.
10. Encontre todos os homomorfismo de Z em Z4.
4.2.2 Algumas respostas, sugesto˜es e soluc¸o˜es
1. (a) Sim;
(b) Na˜o;
(c) Na˜o;
(d) Sim;
(e) Sim.
2. Injetores: d) e e). Sobrejetor: e).
3. f(m) = 2m na˜o e´ homomorfismo de (Z,+) em (2Z,+).
4. (a) Sim;
(b) N(f) = {0 + i0}.
5. Sugesta˜o: Prove por induc¸a˜o que f(n) = 0 ou f(n) = n para
n ∈ Z
6. Sugesta˜o: Use o resulta anterior, e prove que f( n
m
) = 0 ou
f(
n
m
) =
n
m
para n,m ∈ Z com m 6= 0.
7. Sugesta˜o: Use o resulta anterior, e fato de que todo nu´mero real
e´ limite de sequeˆncia de nu´meros racionais.
8.
9.
10. f(z) = 0 e f(z) = z.
122
4.3 Ideais e ane´is quocientes
Nesta sec¸a˜o trabalharemos apenas com ane´is que sejam comuta-
tivos. Para facilitar a notac¸a˜o trabalheremos com sı´mbolos + e · para
indicar as duas operac¸o˜es que esta˜o munidas (definidas) no anel A.
Definic¸a˜o 4.3.1. Seja I um subconjunto do anel (A,+, ·). Dizemos
que I e´ um ideal de A se as seguintes condic¸o˜es sa˜o satisfeitas:
(i) I 6= ∅ .
(ii) ∀ x, y ∈ I =⇒ x + y ∈ I.
(iii) ∀ a ∈ A e ∀ x ∈ I =⇒ ax ∈ I.
Das propriedades (i) e (iii), conclui-se que 0 ∈ I. ´E fa´cil verificar
que I = {0} e I = A sa˜o ideias de A, denominados de ideias triviais.
De (ii) e (iii), conclui que:
1. Se x, y ∈ I =⇒ x− y ∈ I.
2. Se x1, x2, · · · , xn ∈ I e a1, a2, · · · , an ∈ A enta˜o
a1x1 + a2x2 + · · ·+ anxn ∈ I.
Exemplo 4.3.1. No capı´tulo 2 mostramos que I = aZ = {ak | k ∈ Z}
com a ∈ Z e´ um ideal de Z.
Exemplo 4.3.2. Seja A := F(R) = {f : R −→ R }. Mostre que
I = {f ∈ A | f(1) = 0} e´ um ideal de A. Com efeito:
(i) I 6= ∅, pois a func¸a˜o nula pertence a I, isto e´, 0(1) = 0.
(ii) ∀ f, g ∈ I =⇒ f(1) + g(1) = 0 + 0 = 0, logo f + g ∈ I
(iii) ∀ h ∈ A e ∀ f ∈ I =⇒ (h · f)(1) = h(1) · f(1) = h(1) · 0 = 0, logo
h · f ∈ I.
Portanto I e´ um ideal de A.
Exemplo 4.3.3. Seja f : A −→ B um homomorfismo de A em B.
Mostre que N(f) = {x ∈ A | f(x) = 0B} e´ um ideal de A. Com efeito:
123
(i) N(f) 6= ∅, pois0A, isto e´, f(0A) = 0B. .
(ii) ∀ x, y ∈ N(f) =⇒ f(x + y) = f(x) + f(y) = 0B+B = 0B, logo
x + y ∈ N(f).
(iii) ∀ a ∈ A e ∀ x ∈ N(f) =⇒ f(a · x) = f(a) · f(x) = f(a) · 0B = 0B,
logo a · x ∈ N(f).
Portanto, N(f) e´ um ideal de A.
Exemplo 4.3.4. Dado a ∈ A, o conjunto dado por 〈a〉 = {ax | x ∈ A}
e´ um ideal de A.
O exemplo acima, e´ um caso particular do exemplo a seguir.
Exemplo 4.3.5. Sejam a1, a2, · · · , ak ∈ A. Considere o conjunto
I = 〈a1, a2, · · · , ak〉 = {x1a1 +x2a2 + · · ·+xkak | xi ∈ A, i = 1, 2 · · · , k }
enta˜o I e´ um ideal de A. De fato:
(i) I 6= ∅ pois 0 = 0a1 + 0a2 + · · ·+ 0ak ∈ I.
(ii) Dados x, y ∈ I existem ni, mi ∈ A com i = 1, 2, · · · , k tais que
x = n1a1 + n2a2 + · · ·+ nkak e y = m1a1 +m2a2 + · · ·+mkak,
daı´
x + y = (n1a1 + n2a2 + · · ·+ nkak) + (m1a1 +m2a2 + · · ·+mkak)
= (n1 +m1)a1 + (n2 +m2)a2 + · · ·+ (nk +mk)ak ∈ I.
(iii) Seja z ∈ A. Dado x ∈ I, existe ni ∈ A com i = 1, 2, · · · , k tal que
x = n1a1 + n2a2 + · · ·+ nkak enta˜o
zx = z(n1a1+n2a2+· · ·+nkak) = (zn1)a1+(zn2)a2+· · ·+(znk)ak ∈ I.
Definic¸a˜o 4.3.2. O ideal 〈a〉 = {ax x ∈ A } e´ chamado ideal gerado
por a. E o ideal
〈a1, a2, · · · , ak〉 = {a1x1 + a2x2 + · · ·+ akxk | xi ∈ A , i = 1, 2, · · · , n }
e´ chamado ideal gerado por a1, a2, · · · , ak.
124
Definic¸a˜o 4.3.3. Se um ideal I e´ gerado por um u´nico elemento de A,
dizemos que I e´ um ideal principal.
Exemplo 4.3.6. Vimos no capı´tulo 2 que todo ideal de Z e´ principal,
isto e´, I = aZ = 〈a〉 com a ∈ Z.
Saiba Mais: Para
mais detalhes
sobre a teoria
de ideias, ver
refereˆncia [6]
Proposic¸a˜o 4.3.4. Seja A um anel com unidade e I um ideal de A.
Se u ∈ I e´ inversı´vel enta˜o I = A.
Prova. Devemos mostrar apenas que A ⊂ I, pois I ⊂ A.
Seja a ∈ A =⇒ 1.a = a ∈ A, como u ∈ I e´ inversı´vel existe v ∈ A
tal que uv = 1. Assim
a = 1.a = (uv)a = u(va) ∈ I.
Portanto, segue-se o afirmado.
Proposic¸a˜o 4.3.5. Seja A um anel comutativo. Enta˜o, A e´ corpo se,
e somente se, os u´nicos ideais de A sa˜o os triviais, isto e´, {0A} e A.
Prova. (=⇒) Seja I ⊂ A um ideal de A tal que I 6= {0A}. Assim
existe x 6= 0 com x ∈ I ⊂ A. Logo existe y ∈ A tal que 1 = xy ∈ I,
portanto pela proposic¸a˜o 4.3.4, segue-se que I = A.
(⇐=) Suponha por absurdo que A na˜o seja corpo, isto e´, existe
x 6= 0 e na˜o inversı´vel (invertı´vel). Considere o ideal I = 〈x〉, assim
como x e´ na˜o inversı´vel, implica que I e´ um ideal na˜o trivial, o qual
gera um contradic¸a˜o. Portanto, segue-se o afirmado.
Definic¸a˜o 4.3.6. Seja I um ideal de A. Dizemos que I e´ um ideal
primo, se I 6= A e
∀ x, y ∈ A tal que xy ∈ I =⇒ x ∈ I ou y ∈ I.
Exemplo 4.3.7. O ideal 2Z em Z e´ primo, pois 2Z 6= Z e
ab ∈ 2Z =⇒ ab = 2k =⇒ 2|a ou 2|b =⇒ a ∈ 2Z ou b ∈ 2Z.
Exemplo 4.3.8. Seja o anel A := F(R) = {f : R −→ R } e o ideal
I = {f ∈ A | f(1) = 0}, enta˜o I e´ primo. Com efeito:
125
(i) I 6= A, pois a func¸a˜o f(x) = 2 pertence a A, e f(x) = 2 na˜o
pertence I.
(ii) ∀ f, g ∈ A tal que fg ∈ I, tem-se:
(fg)(1) = 0 =⇒ f(1) = 0 ou g(1) = 0 =⇒ f ∈ I ou g ∈ I.
Portanto, I e´ um ideal primo de A.
Definic¸a˜o 4.3.7. Seja I um ideal de A. Dizemos que I e´ um ideal
maximal, se I 6= A e para todo ideal J de A tal que
I ⊂ J ⊂ A =⇒ J = I ou J = A.
Exemplo 4.3.9. O ideal 2Z em Z e´ maximal, pois 2 e´ primo.
Exemplo 4.3.10. Seja o anel A := F(R) = {f : R −→ R } e o ideal
I = {f ∈ A | f(1) = 0}, enta˜o I e´ maximal. Com efeito:
(i) I 6= A, pois a func¸a˜o f(x) = 2 pertence a A, e f(x) = 2 na˜o
pertence I.
(ii) Seja J um ideal de A com J 6= I e I ⊂ J ⊂ A. Seja g ∈ J e
g /∈ I, desse modo g(1) = a 6= 0. Defina h(x) = g(x) − a, assim
h(1) = g(1)− a = a− a = 0, logo h ∈ I ⊂ J . Logo:
a = g(x)− h(x) ∈ J =⇒ 1 = a−1a ∈ J =⇒ J = A.
Portanto, I e´ um ideal maximal de A.
Proposic¸a˜o 4.3.8. Seja A um anel comutativo com unidade. Se I e´
um ideal maximal de A enta˜o I e´ primo.
Prova. Sejam a, b ∈ A tal que ab ∈ I. Suponha que a /∈ I. Con-
sidere o ideal
J := 〈a〉+ I = {ak + x |k ∈ A e x ∈ I }.
Como a /∈ I, temos que J 6= I. Ale´m disso, I ⊂ J ⊂ A, enta˜o pela
maximalidade de I, segue-se que J = A. Como 1 ∈ A, existem k0 ∈ A
e x0 ∈ I tal que
1 = ak0 + x0 =⇒ b = (ab)k0 + bx0.
126
Como ab ∈ I =⇒ (ab)k0 e x0 ∈ I =⇒ bx0, logo (ab)k0 + bx0 = b ∈ I.
Portanto, I e´ primo.
Vimos no para´grafo 4 do capı´tulo 2 que sobre I = mZ podemos
definir uma relac¸a˜o de equivaleˆncia dada por:
∀ x, y ∈ Z, x ≡ y (mod m) ⇐⇒ x− y ∈ I.
E depois construir o anel quociente
A/I = Zm = {0, 1, · · · , m− 1}.
Agora vamos generalizar essa ideia para um anel qualquer.
Definic¸a˜o 4.3.9. Seja I um ideal do anel A. Vamos definir a seguinte
relac¸a˜o em A, dada por:
∀ x, y ∈ A, x ≡ y (mod I) ⇐⇒ x− y ∈ I.
Proposic¸a˜o 4.3.10. A relac¸a˜o definida acima, x ≡ y (mod I) e´ uma
relac¸a˜o de equivaleˆncia.
Prova. De fato:
I) ∀ x ∈ A =⇒ x ≡ x(mod I) ⇐⇒ x− x = 0 ∈ I;
II) ∀ x, y ∈ A tal que x ≡ y(mod I) ⇐⇒ x − y ∈ I =⇒ −(x − y) =
y − x ∈ I. Portanto y ≡ x(mod I).
III) ∀ x, y, z ∈ A tal que x ≡ y(mod I) ⇐⇒ x−y ∈ I e y ≡ z(mod I) ⇐⇒
y−z ∈ I. Assim x−z = (x−y)+(y−z) ∈ I, portanto x ≡ z(mod I).
Definic¸a˜o 4.3.11. Dado x ∈ A, chama-se classe de equivaleˆncia de-
terminada por x, mo´dulo I, o subconjunto x de A constituı´do pelos
elementos y ∈ A tais que y ≡ x (mod I), o qual denotaremos por:
x = {y ∈ A| y ≡ x (mod I)} = x + I = {x+ z | z ∈ I}.
127
Definic¸a˜o 4.3.12. O conjunto das classes de equivaleˆncia mo´dulo I
sera´ denotado por A/I e chamado conjunto quociente de A por I,
donde
A/I = {x = x+ I | x ∈ A}.
Proposic¸a˜o 4.3.13. Seja I um ideal de A e a relac¸a˜o de equivalencia
≡ (mod I) em A. Se x ≡ a (mod I) e y ≡ b (mod I) enta˜o:
(a) x+ y ≡ a + b (mod I).
(b) x · y ≡ a · b (mod I).
Prova. Por hipo´tese, temos que x− a ∈ I e y − b ∈ I. Assim:
(a) (x−a)+(y−b) ∈ I =⇒ (x+y)−(a+b) ∈ I =⇒ x+y ≡ a+b (mod I).
(b) Agora seja, x = a+ z e y = b+ w com z, w ∈ I. Assim:
xy − ab = (a+ z)(b + w)− ab = aw + bz + zw ∈ I
Corola´rio 4.3.1. Seja I um ideal de A e a relac¸a˜o de equivalencia
≡ (mod I) em A. Se x = a e y = b enta˜o:
(a) x+ y = a+ b.
(b) x · y = a · b.
Prova. Segue de imediato da proposic¸a˜o acima.
O u´ltimo resultado nos garante que as operac¸o˜es + (adic¸a˜o) e ·
(multiplicac¸a˜o) esta˜o bem definidas no conjunto A/I, e sa˜o da seguinte
maneira:
+ : A/I × A/I −→ A/I
(x, y) 7−→ x + y = x + y
e
· : A/I × A/I −→ A/I
(x, y) 7−→ x · y = x · y
Teorema 4.3.14. Considere o conjunto A/I munido das operac¸o˜es +
e · definidas acima. Enta˜o vale o seguinte:
128
(a) (A/I,+, ·) e´ um anel.
(b) Se 1 e´ unidade de A enta˜o 1 e´ a unidade de A/I.
(c) Se A comutativo enta˜o A/I e´ tambe´m comutativo.
Prova.
(a) Demonstrac¸a˜o similar do Teorema 2.5.3 para´grafo 4 do capı´tulo 2.
(b) Se 1 e´ unidade de A, temos que para todo x ∈ A:
1 · x = x · 1 = x =⇒ 1 · x = x · 1 = x =⇒ 1 · x = x · 1 = x.
Portanto, 1 e´ a unidade de A/I.
(c) Se A e´ comutativo, temos que para todo x, y ∈ A:
x · y = y · x =⇒ x · y = y · x =⇒ x · y = y · x.
Portanto, A/I e´ comutativo.
Teorema 4.3.15. Seja A um anel comutativo com unidade 1 ∈ A e I
um ideal de A. Enta˜o, I e´ um ideal maximal de A se, e somente se,
A/I e´ um corpo.
Prova. (=⇒) Seja a ∈ A/I com a 6= 0. Considere o ideal
J := 〈a〉+ I = {ak + x |k ∈ A e x ∈ I }.
Sendo que a 6= 0 ⇐⇒ a /∈ I, temos que J 6= I. Ale´m disso, I ⊂ J ⊂ A,
enta˜o pela maximalidade de I, segue-se que J = A. Como 1 ∈ A,
existem k e x tal que
1 = ak + x =⇒ 1 = a.k + x = ak.
Portanto, A/I e´ corpo.
(⇐=) Sendo A/I corpo, logo 0, 1 ∈ A/I, assim I 6= A. Seja J um
ideal tal que I ⊂ J ⊂ A.
129
Se J 6= I existe a ∈ J ⊂ A tal que a /∈ I =⇒ a 6= 0. Assim, existe
b ∈ A/I tal que
1 = ab = ab⇐⇒ 1 ≡ ab (mod I) ⇐⇒ 1− ba = u ∈ I.
Assim, como u ∈ J e ab ∈ J , segue-se que
1 = ab + u ∈ J =⇒ J = A.
Portanto, I e´ maximal.4.3.1 Exercı´cios
1. Verifique se sa˜o ideais:
(a) L1 = {0, 2, 4} no anel Z6.
(b) L2 = {z ∈ Z | 3 divide z} no anel Z.
2. Sejam I e J ideais de A. Prove que:
(a) I ∩ J e´ ideal de A.
(b) I + J = {x + y | x ∈ I, y ∈ J } e´ ideal de A.
(c) I + J = I se, somente se, J ⊂ I.
3. Seja a famı´lia de ideais {In}n∈N de A. Se
I1 ⊆ I2 ⊆ · · · ⊆ In ⊆ · · · ⊆ A, mostre que
I = ∪n∈N In
e´ um ideal de A.
4. I e´ um ideal primo de A se, e somente se, A/I e´ anel de integri-
dade.
5. Seja A um anel comutativo e seja I = {x ∈ A | xn = 0 para algum n ∈
N∗}. Prove que I e´ um ideal de A.
6. Seja f : A −→ B um homomorfismo tal que f(1A) = 1B. Se A e´
corpo enta˜o f e´ injetora.
130
7. Seja f : A −→ B um homomorfismo e J um ideal de B. Mostre
que f−1(J) e´ um ideal de A. Ale´m disso, se J e´ primo e f e´
sobrejetor, enta˜o f−1(J) e´ primo.
8. Seja f : A −→ B um homomorfismo sobrejetor e I um ideal de A
tal que N(f) ⊂ I. Mostre que f(I) e´ um ideal de B. Ale´m disso,
se I e´ primo, enta˜o f(I) e´ primo.
4.3.2 Algumas respostas, sugesto˜es e soluc¸o˜es
1. (a) Sim;
(b) Sim;
2. (a)
(b)
(c)
3. I 6= ∅ pois 0 ∈ In∀ n ∈ N. Sejam x, y ∈ I enta˜o existe p ∈ N tal
que x, y ∈ Ip, daı´ x + y ∈ Ip e ax ∈ Ip para todo a ∈ A. Assim,
x + y ∈ I e ax ∈ I para todo a ∈ A. Portanto, I e´ um ideal de A.
4.
5.
6. Temos N(f) e´ um ideal de A. Como A e´ corpo os u´nicos ideias
de A sa˜o {0} e A. Sendo f(1A) = 1B, assim N(f) = {0}, e
portanto f e´ injetiva.
7.
8.
131
4.4 Corpo de frac¸o˜es de um anel de integri-
dade
Atrave´s do anel de integridade Z constroi-se o corpo dos racionais
Q = {m
n
| m,n ∈ Z com n 6= 0}.
Assim, nesta sec¸a˜o vamos construir um corpo K a partir de um
anel de integridade D.
Seja D um anel de integridade. Considere o conjunto
A = D ×D∗ = {(a, b) |a ∈ D, b ∈ D∗} onde D∗ = D − {0}.
Proposic¸a˜o 4.4.1. Sobre A considere a relac¸a˜o ∼ definida por:
∀ (a, b), (c, d) ∈ A (a, b) ∼ (c, d) ⇐⇒ ad = bc.
Mostre que ∼ e´ relac¸a˜o de equivaleˆncia sobre A.
Prova. Exercı´cio a cargo do prezado leitor.
Vamos denotar a
b
(em vez de (a, b)) a classe de equivaleˆncia
a
b
= {(x, y) ∈ A | ay = bx}.
Assim,
a
b
=
x
y
em A/ ∼⇐⇒ ax = by em D.
Agora vamos definir as operac¸o˜es + (adic¸a˜o) e · (multiplicac¸a˜o) no
conjunto quociente
A/ ∼= {a
b
| a ∈ D, b ∈ D∗ } = K
da seguinte maneira:
+ : K ×K −→ K
(
a
b
,
c
d
) 7−→ a
b
+
c
d
=
ad+ bc
bd
e
· : K ×K −→ K
(
a
b
,
c
d
) 7−→ a
b
· c
d
=
a · c
b · d
132
Proposic¸a˜o 4.4.2. As operac¸o˜es + e · dadas acima, esta˜o “bem definidas” em
K, isto e´, se
a
b
=
x
y
e
c
d
=
z
w
Enta˜o,
1. a
b
+
c
d
=
x
y
+
z
w
2. a
b
· c
d
=
x
y
· z
w
.
Prova. Exercı´cio a cargo do prezado leitor.
Vamos denotar a⋆ = a
1
onde a ∈ D e 1 e´ a unidade de D. Deno-
taremos
D⋆ = {a
1
| a ∈ D } ⊂ K = {a
b
| a ∈ D, b ∈ D∗ }.
Proposic¸a˜o 4.4.3. O conjunto D⋆ munido das operac¸o˜es + e · e´ um
anel de integridade com unidade 1⋆.
Prova. Com efeito:
A1) Associativa em relac¸a˜o a operac¸a˜o +. Temos que:
x⋆ + (y⋆ + z⋆) =
x
1
+ (
y
1
+
z
1
) =
x
1
+
y + z
1
=
x+ y + z
1
.
Por outro lado
(x⋆ + y⋆) + z⋆ = (
x
1
+
y
1
) +
z
1
=
x+ y
1
+
z
1
=
x+ y + z
1
.
Portanto e´ associativa.
A2) Comutativa em relac¸a˜o a operac¸a˜o +. Temos que:
x⋆ + y⋆ =
x
1
+
y
1
=
x + y
1
=
y + x
1
=
y
1
+
x
1
= y⋆ + x⋆.
Portanto e´ comutativa.
A3) Existeˆncia do elemento neutro da operac¸a˜o +. Temos que:
x⋆ + e⋆ = x⋆ ⇐⇒ x
1
+
e
1
=
x + e
1
=
x
1
=⇒ e = 0.
Portanto e∗ = 0
1
e´ o elemento neutro.
133
A4) Existeˆncia do elemento sime´trico da operac¸a˜o +. Temos que:
x⋆ + a⋆ = 0⋆ ⇐⇒ x + a
1
=
0
1
=⇒ a = −x
Portanto dado x seu sime´trico e´ a⋆ = −x
1
.
A5) Associativa em relac¸a˜o a operac¸a˜o · . Temos que:
x⋆ · (y⋆ · z⋆) = x
1
· (y
1
· z
1
) =
x
1
· y · z
1
=
x · y · z
1
.
Por outro lado,
(x⋆ · y⋆) · z⋆ = (x
1
· y
1
) · z
1
=
x · y
1
· z
1
=
x · y · z
1
.
Portanto e´ associativa.
A5) Distribuitiva a` esquerda e a` direita. Temos que:
x⋆ · (y⋆ + z⋆) = x
1
· (y
1
+
z
1
) =
x
1
· (y + z
1
) =
x · y + x · z
1
Por outro lado,
(x⋆ · y⋆) + (x⋆ · z⋆) = (x
1
· y
1
) + (
x
1
· z
1
) =
x · y
1
+
x · z
1
=
x · y + x · z
1
Portanto e´ distributiva a` esquerda. Como tambe´m,
(x⋆ + y⋆) · z⋆ = (x
1
+
y
1
) · z
1
=
(x+ y)
1
· z
1
=
x · z + y · z
1
Por outro lado,
(x⋆ · z⋆) + (y⋆ · z⋆) = (x
1
· z
1
) + (
y
1
· z
1
) =
x · z
1
+
y · z
1
=
x · z + y · z
1
Portanto e´ distributiva a` direita.
A7) Existeˆncia do elemento neutro da operac¸a˜o · . Temos que:
1⋆ · x⋆ = 1
1
· x
1
=
x
1
=
x
1
· 1
1
= x⋆ · 1⋆.
Portanto, 1⋆ = 1
1
e´ a unidade de D⋆.
A8) Comutativa em relac¸a˜o a operac¸a˜o · . Temos que:
x⋆ · y⋆ = x
1
· y
1
=
xy
1
=
yx
1
=
y
1
· x
1
= y⋆ · x⋆.
Portanto, e´ comutativa.
134
A9) sem divisores de zero. Temos que:
x⋆·y⋆ = 0⋆ = 0
1
=⇒ xy
1
=
0
1
=⇒ x = 0 ou y = 0 =⇒ x⋆ = 0⋆ou y⋆ = 0⋆.
Portanto D⋆ na˜o possui divisores de zero.
Portanto D⋆ e´ um anel de integridade.
Proposic¸a˜o 4.4.4. A func¸a˜o f : D −→ D⋆ definida por f(x) = x⋆ para
todo x ∈ D, e´ um isomorfismo do anel D no anel D⋆.
Prova. Devemos mostrar que:
a) f e´ um homomorfismo de D em D⋆. Com efeito:
f(x+ y) = (x + y)⋆ = x⋆ + y⋆ = f(x) + f(y)
e
f(x · y) = (x · y)⋆ = x⋆ · y⋆ = f(x) · f(y).
b) f e´ bijetiva. Com efeito:
f(x) = x⋆ = 0⋆ =⇒ x = 0 =⇒ N(f) = {0},
logo, f e´ injetiva.
Agora, dado x⋆ ∈ D⋆ =⇒ x⋆ = x0
1
onde x0 ∈ D, logo f(x0) = x⋆,
assim f e´ sobrejetiva. Portanto f e´ bijetiva.
Sendo assim D ≃ D⋆ ⊂ K. Desta forma, dizemos que D esta´
imerso em K.
Proposic¸a˜o 4.4.5. O conjunto K munido das operac¸o˜es + e · e´ um
corpo.
Prova. Exercı´cio a cargo do prezado leitor.
Observe que se b ∈ D com b 6= 0, temos que b⋆ · 1
b
= 1⋆. Assim,
denotaremos por (b⋆)−1 = 1
b
. Desta forma, e´ fa´cil provar que:
D⋆ = {a⋆ | a ∈ D } ⊂ K = {a⋆ · (b⋆)−1 | a ∈ D, b ∈ D∗ }.
O corpo K construido neste para´grafo e´ chamado de corpo das
frac¸o˜es do anel D.