Gestão Financeira Quantitativa Básica

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Pedro Chaim
Gestão financeira 
quantitativa básica
© 2018 por Editora e Distribuidora Educacional S.A.
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Editorial
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Daniella Fernandes Haruze Manta
Flávia Mello Magrini
Leonardo Ramos de Oliveira Campanini
Mariana de Campos Barroso
Paola Andressa Machado Leal
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)
 Chaim, Pedro Luiz Paulino 
C434g Gestão financeira quantitativa básica / Pedro Luiz
 Paulino Chaim, – Londrina : Editora e Distribuidora
 Educacional S.A., 2018.
 121 p.
 
 ISBN 978-85-522-0653-8
 
 1. Investimentos. 2. Gestão financeira. I. Chaim, Pedro
 Luiz Paulino. II. Título.
 
CDD 330
2018
Editora e Distribuidora Educacional S.A.
Avenida Paris, 675 – Parque Residencial João Piza
CEP: 86041-100 — Londrina — PR
e-mail: editora.educacional@kroton.com.br
Homepage: http://www.kroton.com.br/
Responsável pela ficha catalográfica: Thamiris Mantovani CRB: 8/9491
SUMÁRIO
Tema 1: A base do cálculo ............................................................. 5
Tema 2: Capitalização simples e composta ................................ 18
Tema 3: Desconto simples e composto ...................................... 36
Tema 4: Séries de pagamento ...................................................... 53
Tema 5: Sistemas de amortização: pagamento único, 
americano e Price ........................................................................... 72
Tema 6: Sistemas de amortização SAC e SAM ........................... 92
Tema 7: Analisando o retorno de investimentos: VPL e TIR .... 111
Tema 8: Analisando o prazo de investimentos: Payback ......... 131
Nesta disciplina, caro(a) aluno(a), você irá se familiarizar com os conceitos 
e as ferramentas fundamentais para a prática da gestão financeira. Como 
o nome sugere, o principal objetivo da gestão financeira é a valoração de 
fluxos financeiros no tempo, ou seja, calcular quanto valerá uma quantia 
monetária no futuro, comparada com uma quantia monetária no presente.
Nesse sentido, você poderá compreender a essência e os determinantes 
da taxa de juros, o preço do dinheiro no tempo, o que torna fluxos de caixa 
futuros mais ou menos valiosos. Isso porque, quando a taxa de juros é 
cobrada múltiplas vezes durante uma operação, a forma com que esses 
juros são cobrados é importante. Nessa perspectiva, consideramos impor-
tante explicar o funcionamento e a lógica dos regimes de capitalização 
simples (linear) e composto (exponencial).
Ademais, apresentaremos as características dos principais sistemas de 
amortização de empréstimos e financiamentos empregados no sistema 
financeiro brasileiro, citando alguns esquemas de quitação de financiamento 
usualmente utilizados no mercado financeiro brasileiro, como: sistemas de 
amortização de pagamento único, parcela constante, sistema americano, 
amortizações constantes e sistema misto.
Depois que você compreender os conteúdos fundamentais da mate-
mática financeira, aprofundaremos as principais ferramentas relacio-
nadas à avaliação da rentabilidade de projetos de investimentos (valor
-presente líquido, taxa interna de retorno, índice de rentabilidade e 
tempo de Payback).
APRESENTAÇÃO DA DISCIPLINA
1
A base do 
cálculo
6
Objetivos Específicos
• compreender o domínio da gestão financeira;
• familiarizar-se com o conceito de taxa de juros e seus principais determinantes;
• entender a relação entre a taxa de inflação, o risco de crédito e a taxa de juros;
• aprender a valorar um título de desconto simples.
Introdução
Nesta disciplina caro(a) aluno(a), você irá aprender conceitos básicos da matemática financeira e 
da avaliação de investimentos. No fim desta leitura, você será dominará as ferramentas necessárias 
para responder a perguntas como:
• Na venda de um eletrodoméstico, um vendedor oferece 5% de desconto, em pagamentos à 
vista, nenhum juro para o pagamento em duas parcelas mensais e 2% de juros ao mês para 
o pagamento em cinco meses. Se, no banco, o dinheiro rende 1% ao mês, qual é a forma de 
pagamento mais vantajosa para o consumidor?
• Um empresário precisa escolher entre duas máquinas que exercem funções iguais. A máquina 
“A” tem custo de aquisição de R$ 850,00, custo operacional anual de R$ 250,00 e vida útil 
esperada de cinco anos. A máquina “B” custa R$ 1.200,00, tem custo operacional anual de R$ 
200,00 e vida útil esperada de sete anos. Qual é a máquina mais vantajosa para o empresário?
• Considere que um título de dívida paga juros semestrais de R$ 50,00 por ano, durante dez 
anos. Se o custo de oportunidade do dinheiro é 15% ao ano, quanto vale esse título hoje?
Perceba que essas três perguntas estão relacionadas ao valor de fluxos monetários (fluxos de caixa) 
no tempo. Os valores desses fluxos monetários futuros são maiores ou menores, quando comparados 
com o valor atual, dependendo da taxa de juros utilizada na avaliação. Essa taxa, por sua vez, é o preço 
do dinheiro no tempo, ou seja, é uma “tarifa” paga pelo tomador de um empréstimo, que remunera o 
credor pela possibilidade de usufruir de um montante monetário por um período predeterminado. 
7
Pode não ser aparente no início, mas essas perguntas motivadoras podem ser interpretadas da 
seguinte forma: o dinheiro é emprestado, ou investido, tendo em mente o retorno futuro. Por exem-
plo, quando um varejista vende uma geladeira a prazo, o comprador usa a geladeira para conservar 
sua comida sem ter pago todo o preço do eletrodoméstico, ou seja, o varejista empresta ao consumi-
dor o valor monetário equivalente ao da geladeira. Quando um empresário investe em uma máquina 
para sua fábrica, podemos considerar que ele está “emprestando o dinheiro para a máquina”, pois 
espera que o investimento inicial seja coberto pelo lucro que ela vai gerar.
1. Diagrama de fluxo de caixa
Uma maneira bastante adequada de se visualizar problemas de fluxo de caixa é por meio de um 
diagrama, conforme mostra a Figura 1.
FIGURA 1 – EXEMPLO DE DIAGRAMA DE FLUXO DE CAIXA
FONTE: o autor.
8
Observe que o tempo é representado pelo eixo horizontal (t = 0; t = 1; t = 2; etc.) e que os fluxos 
de caixa (CF (t)) são representados pelas setas verticais. As setas para cima representam fluxos posi-
tivos, enquanto as setas para baixo representam fluxos negativos. Ademais, a magnitude dos fluxos 
pode ser representada pelo tamanho das setas. 
Nesta disciplina, diagramas desse tipo serão utilizados diversas vezes. Como os primeiros pro-
blemas apresentados são bastante simples, desenhar o diagrama pode parecer desnecessário, mas, 
quando houver problemas que envolvem múltiplos fluxos de caixa, em vários períodos diferentes, o 
diagrama é uma ótima forma de organizar o pensamento.
2. Títulos de desconto
Um exemplo clássico e bastante relevante, caro(a) aluno(a) são os títulos de desconto.Os prin-
cipais instrumentos de dívida emitidos pelo tesouro americano são as T-Bills (Treasury Bills), a qual 
é um título de desconto zero-cupom, ou seja, todo o pagamento é feito de uma só vez. Em outras 
palavras, fixa-se um valor, que será pago ao detentor do título em uma data futura combinada (a 
maturidade), e negocia-se um preço para esse título, para essa promessa, hoje. A taxa de juros (que 
no contexto das T-Bills é, às vezes, chamada de yield ou “rendimento”) é determinada pela razão 
entre o valor pago no vencimento e o preço do título hoje. 
Considere uma T-Bill que promete um pagamento de R$ 1.000,00 daqui a um ano (ou seja, a 
maturidade do título é um ano). Hoje, esse título é negociado por R$ 850,00. Qual é a taxa de juros 
anual implícita no título? Antes de responder a essa pergunta, atente-se ao conceito de notação. 
Vamos chamar o valor pago no vencimento de valor futuro (FV, future value) ou de valor de face (o 
valor prometido no contrato do título). O preço do título hoje denomina-se valor presente (PV, present 
value) ou preço unitário, a maturidade do título é T e a taxa de juros é r (valor de face e preço unitário 
são termos usados no contexto de títulos de renda fixa). Assim, o valor futuro é o valor presente mul-
tiplicado pelo fator de capitalização (um mais a taxa de juros, r) e por uma quantidade de períodos, T.
Na Figura 2, esquematizamos a T-Bill, usando o diagrama de fluxo de caixa apresentado anterior-
mente. Hoje, quando um título é comprado por seu preço unitário, ocorre um fluxo de caixa negativo 
9
de magnitude PV, indicado pela seta para baixo, no período t = 0. Nesse caso, o título paga um valor 
fixo, FV, na maturidade, e apenas um fluxo de caixa positivo no vencimento, como demonstra a seta 
para cima em t = 1.
FIGURA 2 – DIAGRAMA DE FLUXO DE CAIXA DE UM TÍTULO DE DESCONTO
FONTE: o autor.
Nesse caso, qual é a taxa de juros implícita no título? Quanto o emissor do título paga por usu-
fruir do preço unitário até o vencimento? Uma maneira de entender a taxa de juros é com a res-
posta para a seguinte pergunta: quanto do valor presente precisamos adicionar ao próprio valor 
10
presente, a fim de obter o valor futuro? Utilizando os números do exemplo anterior, fazemos a 
seguinte demonstração: 
Portanto, a taxa de juros implícita é de, aproximadamente, 17,64% ao ano. É interessante notar 
que, quando dividimos duas grandezas monetárias, há o cancelamento de suas dimensões e o resul-
tado é uma taxa. Ademais, se tivermos o valor presente de um título atual e a taxa de juros a ser 
capitalizada durante uma dada maturidade, é possível calcular o valor futuro do título no venci-
mento. Por exemplo, se o preço unitário, PV, é R$ 900,00, a taxa de juros é de 10% ao ano e a matu-
ridade do título é um ano, então, o valor futuro, FV, do título, em um ano, será: 
Por exemplo, considere que alguém toma um empréstimo de R$ 5.000,00 com duração de um 
ano e com uma taxa de juros de 15% ao ano. Quanto o tomador do empréstimo deve devolver no 
fim do ano?
Desse modo, o tomador deve devolver R$ 5.750,00 no fim do ano. Analogamente, tendo o valor 
de face e a taxa de juros, podemos recuperar o preço unitário. Por exemplo, se o valor de face, FV, 
é R$ 4.500,00 e a taxa de juros é de 20% ao ano, então, o preço unitário hoje é: 
11
Iniciar este material, calculando o preço e 
os juros de títulos da dívida americana pode 
parecer estranho e desconexo em relação ao dia a dia da gestão financeira, mas essa desconexão é 
apenas aparente. Isso porque várias modalidades de crédito, usadas cotidianamente por indivíduos 
e empresas, são análogas a títulos de desconto.
3. Determinantes da taxa de juros
O equivalente brasileiro às T-Bills são as LTNs (Letras do Tesouro Nacional), que funcionam exa-
tamente como as T-Bills. Por exemplo, o tesouro brasileiro se compromete a pagar R$ 1.000,00 em 
uma data futura e vende essa promessa hoje a um valor menor. A taxa de juros é determinada, uni-
camente, pela diferença entre o valor futuro e o valor presente.
No dia 23/01/2018, a taxa de juros implícita na T-Bill com maturidade de um ano, 52 semanas, era 
de 1,73% ao ano (FEDERAL RESERVE BANK OF ST. LOUIS, 2018). No mesmo dia, a LTN com vencimento 
em 2020 era negociada com taxa de juros implícita de 8,01% ao ano (TESOURO DIRETO, 2018). Por que 
os títulos brasileiros pagam taxas de juros tão mais altas do que os títulos equivalentes americanos?
A resposta para essa pergunta é relacionada com a natureza da taxa de juros, que é, essencial-
mente, o preço do dinheiro no tempo. Salientamos que os títulos aos quais nos referimos são pro-
messas de um único pagamento, em uma data futura. Quando você compra uma LTN, está, basica-
mente, emprestando dinheiro ao governo brasileiro e, quando compra uma T-Bill, está emprestando 
ao governo americano.
 
Para saber mais
Uma das modalidades de crédito mais populares 
entre pequenas e médias empresas é o desconto 
de duplicatas, que funciona da seguinte maneira: 
a empresa tem alguma receita a receber no futuro 
(talvez, devido a uma venda a prazo), mas precisa 
de capital de giro hoje. Então, promete ao banco 
que vai entregar aquela receita quando receber, en-
quanto o banco adianta uma quantia menor hoje. 
Exatamente como uma T-Bill, concorda?
 
12
A primeira razão para o diferencial de juros é o fato de que as T-Bills são definidas em dólares, 
enquanto as LTNs, em reais. Ademais, o dinheiro perde poder de compra, quando aumenta o preço 
dos bens e dos serviços transacionados na economia. A variação positiva dos preços é chamada de 
inflação e a negativa é denominada deflação. 
Agora, considere a seguinte situação: esperamos que o preço dos bens e dos serviços nos EUA 
suba cerca de 1,5%, em 2018, contra uma expectativa de inflação de, aproximadamente, 4% no 
Brasil, também nesse ano, segundo o boletim Focus (BANCO CENTRAL DO BRASIL, 2018). Para com-
parar uma promessa de mil dólares, daqui a um ano, com uma promessa de mil reais, também daqui 
a um ano, precisamos considerar o quanto esperamos que o dinheiro pode perder de poder de com-
pra em cada país.
Como exposto, esperamos que a inflação brasileira seja de cerca de 4% em 2018. Como você já 
sabe, a inflação é o aumento dos preços de bens e serviços, mas isso não significa que todos os pre-
ços, na economia brasileira, vão subir 4% nesse ano. Provavelmente, mensalidades escolares vão subir 
mais de 4%, enquanto planos de telefonia e internet podem ficar mais baratos.
Ademais, 4% é decorrente da variação de uma cesta de bens, a qual 
representa o consumo de algum agente econômico de interesse. O IPCA 
(Índice de Preços ao Consumidor Amplo), por exemplo, mede o custo de 
vida de brasileiros residentes em regiões 
metropolitanas, que ganham entre um e 40 
salários mínimos. 
Portanto, caro(a) aluno(a), quando escu-
tamos a expressão taxa de inflação, geral-
mente, a mídia está se referindo à variação de 
uma cesta de bens, a qual mede a composi-
ção média do consumo de algum agente eco-
nômico de interesse. A variação do preço de 
bens e serviços individuais pode ser muito diferente do índice agregado.
 
Para saber mais
Como costumamos gastar maior parte da ren-
da com alimentação, do que com tratamentos de 
saúde, o peso da alimentação no IPCA é maior 
do que o desses tratamentos. Isso quer dizer que 
a variação dos preços dos alimentos afeta mais o 
índice do que a variação dos preços de planos de 
saúde. Pesquise a composição do IPCA, para saber 
mais acerca desse assunto (IBGE, 2018).
 
13
As taxas esperadas de inflação, no entanto, não explicam todo o diferencial de juros entre Brasil e EUA. 
Se, simplesmente, subtrairmos a taxa esperada de inflação da taxa de juros (por 
“capitalizaçãosimples”, assunto da próxima leitura fundamentada), a taxa de 
juros real, ou seja, geralmente, já descontada a inflação esperada, dos EUA é de 
0,30% a.a. (ao ano), enquanto a taxa de juros 
real brasileira é de cerca de 4,0% a.a.
Taxa de juros Real - Taxa de Juros - 
Taxa de Inflação Esperada
O restante do diferencial de juros se dá 
pelo risco de crédito (risco de calote) asso-
ciado a cada um dos títulos. Os participantes 
do mercado acreditam que existe uma pro-
babilidade maior de que o Brasil não honre 
suas obrigações, se comparado aos EUA, por isso, cobram uma taxa de juros maior para emprestar 
dinheiro ao Brasil. 
Mudando ligeiramente o contexto, considere o problema de um banco brasileiro que cogita 
emprestar uma quantia monetária igual para duas pessoas diferentes. Essas pessoas são rigorosa-
mente idênticas em ocupação, renda, patrimônio e histórico de crédito, mas uma delas é empregada 
do setor público e a outra trabalha no setor privado. 
Tendo em vista que, no Brasil, um emprego público oferece maior estabilidade (no sentido de 
“não ser demitido”) do que um emprego no setor privado, há maior probabilidade de o trabalhador 
do setor privado não conseguir honrar as obrigações contraídas no empréstimo. Então, faz sentido 
que o banco cobre uma taxa de juros menor do funcionário público para emprestar a mesma quan-
tia, pelo mesmo tempo.
 
Link
O boletim Focus, mencionado no texto, é uma 
pesquisa realizada mensalmente pelo Banco Cen-
tral do Brasil, na qual participantes do mercado fi-
nanceiro apresentam suas previsões para variáveis 
macroeconômicas. A mediana das previsões do 
Focus é um indicador de previsão importante para 
diferentes taxas de inflação e costuma ser uma boa 
previsão para períodos de até um ano. Você pode 
consultar os destaques do boletim Focus, que es-
tão disponíveis em: <https://www.bcb.gov.br/pec/
GCI/PORT/readout/readout.asp>. Acesso em: 23 
mar. 2018.
 
14
Questão para reflexão
Até agora, apresentamos o cálculo da taxa de juros total de uma operação financeira, como se os 
juros fossem cobrados de uma vez só, no vencimento. O que aconteceria se a taxa de juros fosse a 
metade, mas cobrada duas vezes no período de empréstimo? O montante total de juros seria o dobro?
Considerações finais
O objeto de estudo da gestão financeira é o valor de fluxos de caixa, em diferentes períodos, no tempo.
• A taxa de juros é o preço do dinheiro no tempo. É uma “tarifa” paga pelo tomador de um 
empréstimo pelo privilégio de utilizar uma quantidade monetária por um período de tempo 
predeterminado.
• A taxa de inflação (deflação) é a variação positiva (negativa) do preço dos bens e serviços, 
transacionado em uma economia em um determinado espaço de tempo.
• Os principais determinantes da taxa de juros são a taxa de inflação e o risco de crédito asso-
ciado à operação.
Reconhecimento de um título de desconto zero-cupom. A equação FV - PV . (1+r) relaciona o valor 
presente, o valor futuro e a taxa de juros da operação.
Glossário
Taxa de Juros, r: preço do dinheiro no tempo.
Valor presente, PV: valor de um fluxo monetário hoje corresponde ao valor futuro, descontado 
pela taxa de juros. No contexto de títulos de renda fixa, às vezes, o valor presente é chamado de 
preço unitário.
Valor futuro, FV: valor de um fluxo monetário no futuro corresponde ao valor presente, 
capitalizado pela taxa de juros. No contexto de títulos de renda fixa, às vezes, o valor futuro é 
chamado de valor de face.
15
Título de desconto: instrumento financeiro que promete um pagamento no futuro, o valor de 
face, e é negociado hoje por um valor menor (o preço unitário).
Taxa de inflação: variação positiva do preço de uma cesta de bens e serviços.
Maturidade: duração total da operação financeira, medida em anos, meses ou dias.
Verificação de leitura
QUESTÃO 1- Se um título de desconto zero-cupom, com maturidade de um ano, tem preço 
unitário de R$ 550,00 e taxa de juros anual de 20%, então o valor de face do título é de: 
a) R$ 750,00.
b) R$ 770,00.
c) R$ 1.000,00.
d) R$ 600,00.
e) R$ 660,00.
QUESTÃO 2- O valor de face de um título de desconto é R$ 4.000,00 e o preço unitário é 
R$ 3.750,00. Portanto, a taxa de juros implícita é de, aproximadamente, 
a) 66%.
b) 6%.
c) 33%.
d) 3%.
e) 12%.
QUESTÃO 3- A ______________ é a remuneração paga pelo tomador de um empréstimo 
ao credor, por utilizar o valor monetário do empréstimo até o vencimento. A remuneração 
requerida pelo credor de um empréstimo é tão maior quanto for a __________ até a ma-
turidade e o _______________ associado ao tomador.
16
a) taxa de inflação; taxa de juros; risco de crédito.
b) taxa de juros; taxa de inflação esperada; risco comercial.
c) taxa de deflação; taxa de juros esperada; patrimônio líquido.
d) taxa de juros; taxa de inflação esperada; risco de crédito.
e) taxa de juros; taxa de deflação; risco comercial.
Referências Bibliográficas
IBGE – Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística. Composição do IPCA. 
Disponível em: <https://seriesestatisticas.ibge.gov.br/series.aspx?t=ip-
ca-indice-geral-grupos-produtos-servicos&vcodigo=IA60>. Acesso em: 23 jan. 2018.
IBGE – Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística. Índice de Preços ao Consumidor 
Amplo. Disponível em: <https://ww2.ibge.gov.br/home/estatistica/indicadores/precos/
inpc_ipca/defaultinpc.shtm>. Acesso em: 23 jan. 2018.
FOCUS relatório de mercado. Banco Central do Brasil. 19 jan. 2018. Disponível em: 
<https://www.bcb.gov.br/pec/GCI/PORT/readout/R20180119.pdf>. Acesso em: 23 jan. 
2018.
TESOURO DIRETO. Rentabilidade dos títulos públicos. 2018. Disponível em: <http://
www.tesouro.fazenda.gov.br/tesouro-direto-precos-e-taxas-dos-titulos>. Acesso em: 
23 jan. 2018.
1-YEAR Treasury Bill: Secondary Market Rate. Federal Reserve Bank of St. Louis. 2018. 
Disponível em: <https://fred.stlouisfed.org/series/DTB1YR>. Acesso em: 23 jan. 2018.
17
Gabarito
QUESTÃO 1-Alternativa e. Lembrando que PV - $ 550e r - 20%. Então, 
FV=PV.(1+r)
FV=$550(1+20%)
FV=$660
QUESTÃO 2- Alternativa b. Lembrando que PV - $ 3750 e FV - $ 1000. Então,
FV=PV.(1+r)
r FV
PV
� �1
r � �$
$
4000
3750
1
r=6.66%
QUESTÃO 3- Alternativa d. A taxa de juros é a remuneração paga pelo tomador de um 
empréstimo ao credor, por utilizar o valor monetário do empréstimo até o vencimento. A 
remuneração requerida pelo credor de um empréstimo é tão grande quanto a taxa de in-
flação esperada até a maturidade e o risco de crédito associado ao tomador.
2
Capitalização 
simples e 
composta
19
Objetivos específicos
• dominar a lógica e o cálculo do regime de capitalização de juros simples e compostos;
• entender o conceito da taxa de juros efetiva;
• conhecer algumas taxas de juros importantes na economia brasileira.
Introdução
Na Unidade I, você compreendeu que juro é o nome dado à quantia paga pelo tomador de um 
empréstimo, como compensação pelo privilégio de utilizar a quantia emprestada por um período de 
tempo preestabelecido. Você também aprendeu a calcular a taxa de juros implícita em um título de 
desconto, mas sempre em relação ao juro equivalente a toda a duração da operação.
Quando a taxa de juros é capitalizada ou incide, várias vezes, sobre o principal do empréstimo 
PV ou o capital inicial PV do investimento, o valor futuro, FV, depende do regime de capitalização 
acordado. Nesse sentido, os dois regimes de capitalização mais usados são o simples e o composto. 
No regime de capitalização simples, a taxa de juros sempre incide apenas sobre o capital inicial. 
Devido a essa característica, o valor futuro de um principal capitalizado pelo regime de capitalização 
simples cresce de maneira linear. Noregime de capitalização composta, os juros do período anterior 
são adicionados ao capital a ser valorizado no próximo período. Por isso, o valor futuro, no regime 
composto, cresce exponencialmente. Assunto que será mais bem desenvolvido neste material. 
1. Capitalização simples
O regime de capitalização simples refere-se ao fato de os juros, a cada período, serem cobrados apenas 
sobre o capital inicial. Considere que alguém faça um empréstimo hoje de R$ 5.000,00 (às vezes, a quantia 
emprestada é chamada de principal ou capital inicial), por um período de quatro anos, a uma taxa de juros 
de 10% ao ano. Qual é o montante (principal mais juros) a ser pago no final dos quatro anos? Considere que 
20
os juros são pagos ano a ano, ou seja, que o tomador tem um fluxo de caixa negativo a cada ano igual ao 
valor dos juros. Assim, no primeiro ano, há: 
O tomador paga os juros associados ao primeiro período, equivalente a R$ 500,00. Então:
E assim sucessivamente: o tomador do empréstimo devolve o montante total, formado por R$ 
2.000,00 de juros, mais o principal, R$ 5.000,00, exemplo de capitalização simples. 
Agora, de maneira geral, qual é o valor futuro, FV, de um capital inicial, PV, remunerado por uma 
taxa de juros simples, i, a cada período, T períodos no futuro? Lembre-se de que o valor futuro FV, 
ou montante, é o valor presente PV, ou principal, mais os juros, J:
FV=PV+j
Como exposto, no regime simples, a taxa de juros, i, é capitalizada a cada período sobre o prin-
cipal, PV. Em outras palavras, a quantia total de juros a ser paga, até o período T, é J = T . i. PV. 
Portanto, no período T, o valor futuro é
Essa é a fórmula de capitalização por regime simples. Nessa perspectiva, quanto o valor futuro FV 
cresce a cada período? Sabemos que o valor futuro de um principal aplicado por T períodos, a uma 
taxa simples, r, é FV(T,i)=PV(1+Ti). Trata-se da equação de uma reta. A Figura 1 demonstra que o 
valor futuro sob capitalização simples cresce, de maneira linear, com o passar do tempo.
21
FIGURA 1 – CAPITALIZAÇÃO SIMPLES
FONTE: o autor.
2. Capitalização composta
No regime de capitalização composta, os juros do período anterior são adicionados ao capital a 
ser valorizado no próximo período. Para entender melhor esse conceito, considere, novamente, um 
empréstimo de R$ 5.000,00, com taxa de juros de 10% ao ano e duração de quatro anos. Definimos 
a taxa de juros por ano, mas o período total do empréstimo são quatro anos. A taxa de juros de 10% 
é capitalizada quatro vezes do início até o fim da operação. Assim, podemos entender o problema 
como quatro operações financeiras distintas.
22
Temos os dados: i = 10%, no primeiro ano, PV1=$5000. Então,
• Agora considere que os juros sejam pagos somente no vencimento, de modo que o valor futuro 
(o montante) do primeiro período torna-se o valor presente (principal) do segundo período. 
Assim, 
Nos terceiro e quarto períodos, há:
O montante final é $7320,50. O juro total pago é J = FV - PV = $7320,20 - $5000 = $2320,20. 
Esse foi um exemplo de capitalização composta. O ponto importante é que os juros são incorporados 
ao valor capitalizado em cada período.
Agora, apresentaremos uma fórmula geral para o valor futuro na capitalização composta, como 
fizemos para o regime simples. Considere um capital inicial PV, aplicado a uma taxa de juros i, por T 
períodos, sob capitalização composta. Qual é o valor futuro FV ao final dos T períodos? Para respon-
der a essa pergunta, é necessário dividir a operação de T períodos em T operações. Os subscritos 
denotam o período 1, 2, … T, ao qual a variável se refere.
• No período 1:
23
• No período 2:
• No período 3:
Conseguiu entender o padrão? 
• No período T: 
O valor futuro FVT de um principal PV1, aplicado de maneira composta por T períodos, é deter-
minado pelo capital inicial PV1, multiplicado pelo fator de capitalização (1 + l ), elevado à T-ésima 
potência. Veja, na Figura 2, que o valor futuro, no regime composto, cresce exponencialmente com 
o passar do tempo. O eixo horizontal representa o tempo decorrido desde o início da operação e o 
eixo vertical representa o valor futuro do investimento em cada período. Note como o valor futuro 
cresce cada vez mais rápido.
24
FIGURA 2 – CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
FONTE: o autor.
Na capitalização simples, os juros incidem apenas sobre o capital inicial PV. A fórmula que retorna 
o valor futuro FV, capitalizado sob regime simples, por T períodos, com taxa de juros r, é:
Sob capitalização composta, os juros do período anterior são incorporados ao capital a ser valo-
rizado no próximo período. A fórmula que retorna o valor futuro FV, capitalizado sob regime com-
posto, por T períodos, com taxa de juros r, é:
25
3. Comparação entre capitalização 
simples e composta
No regime composto, os juros do período anterior são incorporados ao principal do empréstimo 
no próximo período, de modo que o montante (principal mais juros, o valor futuro) cresce exponen-
cialmente. No regime simples, a taxa de juros incide apenas sobre o capital inicial, talvez porque os 
juros são pagos período a período, e o montante cresce linearmente.
Nesse sentido, considere um capital inicial de R$ 1.000,00, que rende uma taxa de juros de 8% 
por período. A Figura 3 apresenta o efeito da capitalização de juros sobre juros. Nesse caso, a linha 
pontilhada azul representa o valor do investimento inicial sob capitalização composta e a linha pon-
tilhada preta representa o valor do investimento inicial sob capitalização simples. 
Como na capitalização composta os juros são incorporados ao capital no período seguinte, o valor 
futuro cresce cada vez mais rápido. Na capitalização simples, como os juros incidem apenas sobre o 
capital do primeiro período, o valor futuro cresce sempre na mesma proporção. 
A Figura 3 demonstra a evolução do capital inicial de R$ 1.000,00, capitalizado por uma taxa de 
juros de 8% ao período, no regime simples e no regime composto. A linha preta pontilhada representa 
a capitalização simples e cresce linearmente, sempre na mesma velocidade. A linha azul pontilhada, 
por sua vez, representa a capitalização composta e cresce exponencialmente, cada vez mais rápido. 
As barras azuis mostram a diferença entre o valor futuro composto e o valor futuro simples a cada 
período, que crescem cada vez mais.
26
FIGURA 3 – COMPARAÇÃO ENTRE OS REGIMES SIMPLES E COMPOSTO DE CAPITALIZAÇÃO
FONTE: o autor.
4. Taxa de juros efetiva e nominal
Considere que a taxa de juros nominal seja de 15% ao ano. Utilizamos o adjetivo nominal para 
enfatizar que essa é a taxa apresentada como referência. Agora, pense: quanto é a taxa de juros 
acumulada, ou efetiva, equivalente, após dois anos e quatro meses? Note, caro(a) aluno(a), que não 
importa o capital inicial. A taxa acumulada deve ser calculada no regime simples e no composto.
No regime simples, 
27
A taxa de juros é medida por ano, ou seja, a cada 12 meses. Portanto, 
Isso significa que, cada período é representado por , “meses por ano”. Assim, o período de dois 
anos e quatro meses é “meses por ano”. O fator de capitalização, um mais a taxa de juros, 
acumulado em dois anos e quatro meses é: 
A taxa de juros acumulada, após dois anos e quatro meses, é de 35%. Uma taxa de juros simples, 
de 15% por ano, é equivalente a uma taxa simples de 35%, a cada dois anos e quatro meses. 
No regime composto,
 
Reiteramos que, como a taxa de juros é medida em anos e o período de interesse é de dois anos 
e quatro meses, . Então: 
 
O fator de capitalização composto, acumulado em dois anos e quatro meses, é:
Portanto, a taxa de juros composta efetiva ou equivalente, em dois anos e quatro meses, é de 
38,55%. Usando essalógica, é fácil calcular a taxa de juros efetiva durante qualquer período de 
tempo. Os pontos importantes são: 
• reconhecer a frequência da taxa de juros de referência, 15% ao ano, no exemplo anterior; 
• aprender a escrever o período de interesse, em termos dessa frequência. No exemplo, dois anos 
28
e quatro meses foi representado por anos. 
Para reforçar seu entendimento acerca desse conceito, caro(a) aluno(a), 
considere que a taxa de juros base é de 10% 
ao mês. Estamos interessados, todavia, na 
taxa efetiva, após três meses e oito dias. 
Para simplificar, considere que um mês tem 
30 dias. Então, três meses e oito dias podem 
ser definidos como dias. Nesse sentido, 
calcular a taxa efetiva é só uma aplicação 
da fórmula:
 Por exemplo, se for feito um empréstimo de R$ 5.000,00, com taxa de juros composta de 10% ao 
ano, qual será o valor desse empréstimo após um ano e meio? Para responder a essa pergunta, primeiro, 
é preciso calcular a taxa de juros efetiva. A taxa de referência, taxa nominal, é descrita ao ano, então, 
para transformá-la na taxa acumulada em um ano e meio, escrevemos o expoente da fórmula de capi-
talização composta como “doze mais seis meses sobre doze meses” (um ano e meio expresso em meses).
Agora, fica mais fácil calcular o valor futuro, após um ano e meio: 
5. Principais taxas de juros brasileiras
 
Para saber mais
Com o passar do tempo, o valor futuro de um cap-
ital aplicado sobre juros compostos cresce mais 
rápido do que se fosse aplicado sobre juros simples. 
No entanto, quando o período percorrido é menor 
do que a frequência de incidência da taxa de juros 
nominal, essa relação se inverte.
 
29
Neste momento, caro(a) aluno(a), você vai conhecer algumas das taxas de juros mais impor-
tantes da economia brasileira. São elas: Selic (Sistema especial de liquidação e de custódia), CDI 
(Certificado de depósito interbancário) e TR (taxa referencial).
A Selic é uma taxa de juros calculada para títulos federais. Trata-se da “meta” estabelecida pelo 
Banco Central (BC), que baliza as demais taxas de juros da economia. Ela é uma meta, porque o BC 
não pode simplesmente decretar que uma certa taxa de juros é praticada. 
O BC deve vender ou comprar títulos da dívida pública, para que as forças 
de oferta e demanda se equilibrem na taxa 
desejada. Nesse sentido, o BC vende títulos 
públicos, que mantém em sua carteira, ou 
novos títulos públicos emitidos pelo Tesouro 
Nacional.
CDI é a taxa de juros que os bancos 
comerciais cobram para emprestar dinheiro, 
no curtíssimo prazo de um dia, uns aos 
outros. Em geral, a taxa CDI fica, ligeira-
mente, abaixo da taxa Selic. Apesar de o 
cidadão comum não negociar, de modo 
direto, com operações desse tipo, a taxa CDI 
é importante, porque muitos investimentos de renda física são cotados com 
base na CDI, em especial o CDB (Certificado de depósito bancário) e as LCI e 
LCA (Letras de crédito imobiliário/agrícola).
Por fim, a TR é uma taxa de juros de res-
ponsabilidade do Banco Central, introduzida 
no início da década de 1990, como ferra-
menta de controle da inflação. O valor da 
taxa referencial é positivo ou zero e costuma 
 
Link
Você pode encontrar mais informações acerca da 
transição de TJLP para TLP em: <http://www.fa-
zenda.gov.br/noticias/2017/julho/sancionada-lei-
que-cria-taxa-de-longo-prazo-tlp-em-substitui-
cao-a-tjlp>. Acesso em: 23 fev. 2018.
 
 
Para saber mais
O mercado financeiro tem algumas convenções 
relacionadas à definição dos diversos períodos 
de tempo em que são definidas as taxas de juros. 
Geralmente, são considerados dias corridos (dc), 
definidos em um ano, ou seja, 12 meses de 30 dias, 
aproximadamente, 360 dias. Assim, 
( ( .( ) )PV i FV
dc
1 360� � )
Ou são considerados dias úteis (du), definidos em 
um ano de 252 dias, com 12 meses de 30 dias cor-
ridos, com 21 dias úteis. Desse modo, 
( ( .( ) )PV i FV
du
1 252� � )
 
30
ser inversamente relacionado ao nível da taxa Selic. A TR é importante, porque influencia os rendi-
mentos da caderneta de poupança, o FGTS e alguns títulos públicos. 
5.1 A taxa de juros de longo prazo
Uma taxa de juros bastante relevante, e polêmica, presente na economia brasileira é a TJLP (Taxa 
de juros de longo prazo). Criada em 1994, a TJLP é definida trimestralmente pelo Conselho Monetário 
Nacional (CMN), com base na meta de inflação e em um prêmio de risco. Na prática, a definição da 
TJLP está sujeita às decisões políticas, de modo que a remuneração de TJLP é inferior ao custo de 
captação de recursos do tesouro, como medido pela Selic, por exemplo. 
A TJLP, até o início de 2018, era a taxa de juros que incidia sobre operações de empréstimo do 
BNDES (Banco Nacional de Desenvolvimento Econômico e Social), fazendo o governo “pagar” para 
fazer esses empréstimos. A partir de 1º de janeiro de 2018, a TJLP foi substituída pela TLP (Taxa de 
Longo Prazo) e, gradualmente, deixará de existir, conforme os empréstimos ativos maturarem. 
Desse modo, a TLP não terá o componente de “prêmio de risco”, definido de maneira discricioná-
ria, como na TJLP, pois a remuneração será igual a taxa de juros real nas NTN-B de cinco anos (Notas 
do Tesouro Nacional série B), mais o IPCA do período (Índice de preços ao consumidor amplo). Muitos 
consideram essa mudança um avanço institucional. 
Questão para reflexão
Considere que R$ 100,00 são aplicados a uma taxa de juros de 100% ao ano. O valor do inves-
timento, no fim do ano, é de R$ 200,00. Agora, considere que a taxa de juros seja a metade, 50%, 
mas capitalizada duas vezes no ano. No primeiro semestre, 50% é adicionado aos R$ 100,00, resul-
tando em R$ 150,00. No segundo semestre, 50% incide sobre R$ 150,00, de modo que o valor do 
investimento, no fim do ano, é de R$ 225,00. Se 25% de juros fossem cobrados trimestralmente, o 
valor futuro do investimento seria de cerca de R$ 244,00. Observe: 
31
Desse modo, caro(a) aluno(a), quanto maior for a “frequência de cobrança” dos juros, maior será 
o capital inicial no vencimento. Esse é o efeito dos “juros sobre juros” da capitalização composta. 
O que aconteceria se 1% de juros fossem cobrados 100 vezes no ano? Se 0,1% fosse cobrado 1000 
vezes? Se os juros fossem cobrados a todo momento, continuamente? O valor futuro cresceria de 
maneira indefinida? Tente usar uma calculadora ou um programa como o Excel para descobrir, para 
testar valores grandes, 0.1% de juros capitalizado 1000 vezes, por exemplo.
Considerações finais
Apresentamos como calcular o valor futuro de uma quantidade monetária capitalizada pelo regime 
simples, dada pela fórmula 
Explicamos como calcular o valor futuro de uma quantidade monetária capitalizada pelo regime 
composto, dada pela fórmula .
A taxa de juros efetiva é a taxa de juros acumulada até um período de interesse, que pode ser 
menor ou maior que a frequência de capitalização da taxa de juros nominal. 
Apresentamos algumas taxas de juros relevantes para a economia brasileira: Selic, CDI, TR e 
TJLP/TLP.
Glossário
32
Principal/capital inicial: esses termos se referem à quantia inicialmente emprestada/investida, 
PV, o valor presente da operação. 
Capital: capital de segundo período, por exemplo, não capital inicial, é a quantia sobre a qual 
incide a taxa de juros no segundo período, ou seja, é o capital a ser valorizado no segundo período. 
No regime composto de capitalização, a cada período, os juros são adicionados ao capital. No regime 
simples, o capital a ser valorizado é sempre o capital inicial ou o principal. 
Fator de capitalização: o termo “fator”, em matemática financeira, refere-se a uma quantidade 
igual a um mais a taxa de juros, ou seja, ( 1+ l ).
Taxa de juros nominal:é a taxa de juros de referência, isto é, a que consta no contrato da ope-
ração financeira.
Taxa efetiva: é a taxa de juros acumulada, ou equivalente, durante um período, potencialmente 
diferente da frequência em que a taxa de juros de referência é definida.
 
Verificação de leitura
33
QUESTÃO 1- Considere um empréstimo de R$ 1.500,00, com duração de cinco anos. A taxa 
de juros anual é de 8%, e o tomador paga juros anuais. Portanto, o tomador paga remessas 
anuais de ________ e, no fim do período de empréstimo, deve pagar __________ ao credor. 
a) R$ 120,00; R$ 2.204,00.
b) R$ 120,00; R$ 1.500,00.
c) R$ 240,00; R$ 2.204,00.
d) R$ 60,00; R$ 1.500,00.
e) R$ 60,00; R$ 2.204,00.
QUESTÃO 2- Qual é o valor futuro de um capital inicial de R$ 2.500,00, capitalizado sob 
regime composto, a uma taxa de juros de 6% ao ano, após oito anos?
a) R$ 3.250,00.
b) R$ 3.100,00.
c) R$ 3.156,19.
d) R$ 3.984,62.
e) R$ 3.457,57.
QUESTÃO 3- Considere uma taxa de juros de referência de 15% ao mês. Qual é a taxa de ju-
ros efetiva para o período de dois meses e nove dias, considerando que o mês tem 30 dias?
a) 37,91%.
b) 40,00%.
c) 32,25%.
d) 34,50%.
e) 35,00%.
Referências Bibliográficas
BRASIL. Ministério da Fazenda. Sancionada lei que cria Taxa de Longo Prazo (TLP) 
34
em substituição à TJLP. 22 set. 2017. Disponível em: <http://www.fazenda.gov.br/noti-
cias/2017/julho/sancionada-lei-que-cria-taxa-de-longo-prazo-tlp-em-substituicao-a-
tjlp>. Acesso em: 23 fev. 2018.
Leitura complementar
ASSAF NETO, A. Matemática financeira e suas aplicações. 13. ed. São Paulo: Atlas, 
2016.
PUCCINI, A. L. Matemática financeira: objetiva e aplicada. 10. ed. São Paulo: Saraiva, 
2017.
VIEIRA SOBRINHO, J. D. Matemática financeira: edição universitária. São Paulo: Atlas, 
2017.
Gabarito
QUESTÃO 1- Alternativa b. Como o tomador paga remessas de juros anuais, essa quanti-
dade não é incorporada ao capital valorizado a cada período. Então, a lógica é de capitali-
zação simples. O tomador paga, anualmente, remessas de juros de r.PV=8%.$1500=$120. 
No fim do empréstimo, retorna o principal de $1500.
QUESTÃO 2- Alternativa d. Aplicação direta da fórmula da capitalização composta.
PV(1+r)T=FV→$2500(1+6%)=$3984,62
QUESTÃO 3- Alternativa a. A taxa básica é definida ao mês. Podemos escrever um mês 
como “mês”, assim, dois meses e nove dias são “meses”. Desse modo, a taxa 
efetiva deve ser calculada como:
( ) %) , , %1 1 91 15 1 1 3791 1 37 91
69
30� � � � � � � �r T
3
Desconto 
simples e 
composto
36
Objetivos Específicos
• dominar a lógica e o funcionamento das operações de desconto simples e composto;
• entender como a inflação diminui o poder de compra do dinheiro e como ela se relaciona com 
a taxa nominal de juros; 
• aprender como realizar operações de capitalização e desconto, quando a taxa de juros varia 
período a período; 
• iniciar a familiarização com a calculadora financeira HP12c.
Introdução
O principal objetivo desta unidade é olhar o problema da acumulação dos juros no tempo, pela 
ótica inversa. Ao invés de calcular o quanto um capital inicial se valoriza até uma data futura, você 
pode se perguntar, caro(a) aluno(a), qual é o valor hoje de uma quantidade monetária no futuro? 
Trata-se da operação de desconto, inversa à capitalização.
Nesse sentido, você entenderá como a inflação diminui o poder de compra do dinheiro e como 
calcular a rentabilidade de uma operação financeira em termos reais, de bens e serviços, não de 
dólares ou reais. Você também compreenderá como é possível realizar operações de capitalização 
e desconto, quando a taxa de juros varia período a período. Para resolver esse tipo de problema é 
preciso “quebrar” a operação em várias operações diferentes ou calcular a taxa de juros efetiva para 
todos os períodos.
Finalmente, você começará a se familiarizar com a calculadora financeira HP12c, visto que essa 
ferramenta auxilia muito o trabalho no dia a dia. As funções pré-programadas da HP12c possibilitam 
a realização de cálculos financeiros muito complexos para serem realizados em calculadoras comuns. 
Isso vai ficar bem claro, caro(a) aluno(a), quando apresentamos os conceitos relacionados às séries 
de pagamento e às amortizações em lições futuras.
37
1. A operação de desconto
Na Unidade 2, caro(a) aluno(a), você aprendeu a capitalizar uma quantia monetária nos regimes 
simples e composto. O valor futuro FV de um capital inicial PV, aplicado a uma taxa de juros i por 
período, depois de T períodos, é: 
• no regime simples: PV(1+Ti)=FV; 
• no regime composto: PV(1+i)T =FV.
O que chamamos de desconto é a operação inversa da capitalização. Você conhece o valor futuro 
FV, a taxa de juros i, o número de períodos T, então, pergunta: qual é o valor hoje, o valor presente 
PV, da quantia monetária FV, que só será recebida (ou paga) no futuro T? Lembre-se de que essa 
operação não é desconhecida, caro(a) aluno(a), pois apresentamos exercícios parecidos, com T = 1, 
na Unidade 1.
É fácil manipular as fórmulas de capitalização simples e composta para isolar o valor presente PV. 
De acordo com Assaf Neto (2016), só precisamos dividir os dois lados da fórmula do regime simples 
por (1+T.i), e da fórmula do regime composto por (1+i)T, para que sejam obtidas fórmulas de:
• desconto simples: PV=FV/(1+T.i);
• desconto composto: PV=FV/(1+i)T.
Salientamos que as operações de desconto não são elementos separados das operações de capi-
talização. Afinal, trata-se de problema igual, quando olhado de forma contrária. Nesse sentido, o que 
denominamos “fórmulas de desconto” é uma manipulação das fórmulas de capitalização. Portanto, 
os conceitos de frequência de incidência da taxa de juros e das taxas efetivas ou equivalentes se 
aplicam da mesma forma no contexto de desconto.
Por exemplo, considere um título de desconto zero-cupom, com valor de face R$ 1.000,00, 
maturidade de sete anos e taxa de juros de 9% ao ano. Qual é o preço unitário do título hoje? 
38
Quando nada mais é informado, costumamos assumir o regime composto. Então, com base na 
aplicação direta da fórmula de desconto composto há:
PV FV
i T
�
�
�
�
�
( )
$
( %)
$ ,
1
1000
1 9
547 03
7
Caso seja preciso descontar o título pelo regime simples, é preciso aplicar a fórmula de des-
conto simples:
PV FV
Ti
�
�
�
�
�
1
1000
1 7 9
613 50
$
. %
$ ,
2. Comparação entre desconto 
simples e composto
Para facilitar a sua compreensão, caro(a) aluno(a), esta explicação inicia-se com a resolução de 
um exemplo. Desse modo, considere um título de desconto que paga R$ 1.000,00 no vencimento, 
tem taxa de juros 8% ao ano e maturidade de 12 anos. Qual o preço unitário do título hoje?
No regime simples: PV
FV
iT x
�
�
���
�
�
1
1000
1 12 8
510 20
$
%
$ , .
No regime composto: PV
FV
i T
�
�
���
�
�
( )
$
( %)
$ ,
1
1000
1 8
397 11
12 .
A Figura 1 mostra o valor presente do título em cada um dos anos, sendo que o intercepto é o 
resultado dos cálculos do exemplo. A linha pontilhada preta representa o valor presente por desconto 
simples, enquanto a linha pontilhada azul representa o valor presente por desconto composto. O 
eixo horizontal representa o tempo transcorrido desde o início do investimento. Nesse exemplo, com 
maturidade de 12 anos, FV/(1+1 x i) é o valor presente (simples), faltando um ano para o vencimento 
(em t - 11, na Figura 1), FV/(1+2 x i) é o valor presente (simples), faltando dois anos para o venci-
mento (em t - 10, na Figura 1).
39
FIGURA 1 – COMPARAÇÃO ENTRE REGIMES DE DESCONTO SIMPLES E COMPOSTO
FONTE: o autor.
Com base na Figura 1, podemos afirmar que, em umamesma taxa de juros, o valor presente por 
desconto composto é menor do que o valor presente com desconto simples, conforme o número 
de períodos descontados aumenta. Trata-se do fenômeno dos juros compostos “ao contrário”. Da 
mesma forma que na capitalização, se o período de interesse é inferior a um, o contrário também é 
verdade, isto é, se T< 1, então, (1+Ti) > (1+i)T e o valor presente por desconto simples é menor do 
que o valor presente por desconto composto. 
Você pode visualizar esse efeito na Figura 2. Para que a diferença seja visualmente perceptí-
vel, usamos uma taxa de juros bastante alta, 90% ao período. O painel (a) mostra a operação de 
40
capitalização, sendo que a linha sólida azul representa o valor futuro composto e a linha sólida 
laranja representa o valor futuro simples. As linhas se interceptam em t -1. O painel (b), por sua vez, 
mostra a operação de desconto, sendo que a linha sólida azul representa o valor presente composto 
e a linha sólida laranja representa o valor presente simples. Também em t -1 as linhas se cruzam.
FIGURA 2 –EQUIVALÊNCIA ENTRE OS REGIMES SIMPLES E COMPOSTO DE CAPITALIZAÇÃO/DESCONTO
FONTE : o autor.
41
3. Inflação, poder de compra e a taxa 
de juros
Como você já sabe, caro(a) aluno(a), a taxa de juros (nominal) é composta, fundamentalmente, 
pela taxa esperada de inflação, isto é, o quanto se espera que os bens e serviços na economia 
fiquem mais caros, somada à taxa de juros real (compensação pelo risco da operação). Desse modo, 
Taxa de juros Nominal = Taxa Esperada de Inflação / Taxa de juros Real
Essa equação ilustra bem o conceito, mas, depois de estudar os regimes simples e composto de 
capitalização/desconto, você consegue entender a equação subentende a soma das taxas conforme 
o regime simples. A maneira correta de somar (subtrair) a taxa de inflação é utilizando o regime com-
posto de capitalização (desconto). Talvez, caro(a) aluno(a), a melhor forma de entender a razão seja 
por meio de um exemplo simples.
Considere que você gerencia uma plantação e precisa comprar fertilizantes, a fim de se preparar 
para a colheita do próximo ano. Hoje, você tem R$ 1.000,00 separados para comprar fertilizantes, 
que custam R$ 10,00 por litro. Como o dinheiro só será gasto no ano seguinte, faz sentido investi-lo, 
por exemplo, em um fundo de renda fixa, que remunera 10% ao ano, mas considere que, passado 
 
Para saber mais
Para saber mais: Há equivalência entre os regimes simples e composto, porque, quando o período 
de interesse, de capitalização ou desconto, é igual a um, temos:
no regime simples:
FVsimples=PV.(1+T.i)=PV(1+1.i)=PV.(1+i)
no regime composto:
FVcomposto=PV.(1+i)T=PV(1+i)1=PV.(1+i) Assim, FVsimples= FVcomposto
 
42
um ano, o preço do fertilizante teve um aumento de 5%, ou seja, agora custa R$ 10,50 por litro. 
Quantos litros de fertilizantes você poderá comprar com o dinheiro que separou?
O valor futuro dos R$ 1.000,00 de capital inicial, aplicados a uma taxa de 10% ao ano, é de R$ 
1.100,00. Cada litro de fertilizante custa R$ 10,50. Portanto, você poderá comprar $ 1100/$10.5 - 
104,76 litros de fertilizante. Em outras palavras, os R$ 1.000,00 que compravam 100 litros de ferti-
lizante no ano passado, agora compram 104,76 litros. 
A rentabilidade da operação financeira em termos reais, em termos do produto que será 
comprado, é (1+10%) / (1+5%) - 1=4,76%.
A taxa de juros nominal é i, a taxa de inflação é t e a taxa de juros real é π. Podemos reescrever 
a relação entre juros e inflação no regime composto como:
Como você já sabe, é preciso subtrair 1 do fator, para obter a taxa: 
4. Taxas de juros irregulares
Nos exercícios expostos até agora, a taxa de juros era constante durante toda a operação, mas 
o que acontece se a taxa de juros variar? Se, por exemplo, um capital inicial de R$ 1.000,00 fosse 
capitalizado, em regime composto, por dois períodos, a uma taxa de 12%, no primeiro período, e de 
15%, no segundo período, qual seria o valor futuro? 
43
Para resolver esse problema, há duas possíveis opções. É possível separar a operação em duas 
operações diferentes, uma que rende 12% ao ano, por um ano, e mais uma que rende 15% ao ano, 
por outro ano. Assim, 
FV1=PV1.(1+i1)
FV1=$1000.(1+12%)=$1120
PV2=FV1
FV2 = PV2.(1+i2)
FV2=$1120.(1+15%)=$1288
Observe, caro(a) aluno(a), que houve uma pequena modificação em relação ao esquema que 
utilizamos para calcular a fórmula geral de capitalização composta, com taxa de juros constante. O 
inconveniente é que, nessa forma, fica complicado expressar o valor futuro FV2 final em função do 
capital inicial PV1.
Talvez, seja mais simples calcular a taxa efetiva para o período de dois anos, considerando a irre-
gularidade da taxa de juros, e capitalizar o capital inicial apenas uma vez. Assim, i* é a taxa efetiva 
no período de interesse de dois anos. Logo, 
(1+i*) = (1+i1) . (1+i2)
(1+i*) = (1+12%) . (1+15%)
(1+i*) =(1+28,8%)
Ao calcular a taxa efetiva, sempre é importante confirmar se a frequência de incidência das taxas 
são iguais, nesse caso, ambas são uma vez ao ano. Então, fica fácil calcular o valor futuro como
FV = PV (1+i*)
FV = $1000 . (1+28,8%)
FV = $1288
Para descontar um valor futuro com taxas de juros irregulares, você só precisa inverter essa 
relação.
44
5. Conhecendo a calculadora 
financeira HP12c
Uma ferramenta bastante útil no cálculo financeiro é a calculadora HP12c, a qual é, basicamente, 
um computador muito simples, com funções pré-programadas, que realizam operações matemáti-
cas. Apesar de comuns no dia a dia, essas operações são complicadas demais para serem realizadas 
“à mão” ou com calculadoras comuns, o que vai ficar bem evidente, quando apresentarmos as séries 
de pagamento e a amortização de financiamentos, nas próximas lições. 
No passado, muito do trabalho da gestão financeira era dominar completamente a HP12c, apre-
sentada na Figura 3, para fazer cálculos rápidos e precisos. Hoje, com a evolução dos computadores, 
ferramentas como o Microsoft Excel e diversas linguagens de programação diminuíram a hegemonia 
da HP12c. Mesmo assim, ainda é importante ter alguma familiaridade com essa calculadora, mesmo 
que seja para conseguir consultar manuais no futuro.
45
FIGURA 3 – ILUSTRAÇÃO DA CALCULADORA HP12C
FONTE: Eugenio, 123RF.
5.1. Calculando com a HP12c
Para realizar a operação “12 x 4” (doze vezes quatro) em uma calculadora comum, você pressio-
naria as teclas [1],[2],[x],[4],[=] (estamos utilizando os colchetes, para representar a tecla da cal-
culadora), como aprendemos álgebra na escola. A HP12c é diferente, e talvez um pouco confusa no 
início, mas é mais cômoda para operações financeiras complexas. Para calcular “12 x 4” você pres-
sionaria as teclas [1],[2],[enter],[4],[x] . A calculadora não tem a tecla [-]. A lógica é que, primeiro, 
você informa o número, depois, a operação.
46
Muitas teclas na HP12c têm sobrescri-
tos em dourado e subscritos em azul, que 
se relacionam com a tecla dourada [ƒ] e a 
tecla azul [g]. Para acessar as funções em 
azul, primeiro, você deve apertar [g], o que 
muda a função da tecla do padrão, ou seja, 
o que está em branco no meio da tecla, para 
a função em azul, descrita embaixo. Assim, 
a tecla dourada [ƒ] funciona analogamente. 
Neste momento, vamos utilizar as funções [PV],[FV],[I] e [n], localizadas no canto superior 
esquerdo, para realizar operações de capitalização e desconto com apenas um pagamento, cuja 
formulação matemática você já domina. Nesse sentido, pense: qual é o valor futuro ([FV]) de um 
capital inicial ([PV]) de R$ 500,00, aplicado a uma taxa composta de 5% por período, durante oito 
períodos? 
Antes de realizar qualquer novo cálculo, você precisalimpar a memória da calculadora. Para isso, 
aperte a tecla dourada [ƒ], depois, a tecla [CLX], a qual limpa somente a última entrada. Quando a tecla 
[ƒ] é acionada primeiro, aciona-se também a função [REG], que limpa tudo na memória da calculadora. 
Na segunda etapa, você deve colocar o valor do capital inicial:[5],[0],[0],[CHS],[PV]. Quando 
você digita o número 500 e aperta [PV], está informando para a calculadora que o capital inicial, ou 
valor presente, é 500. Em seguida, deve ser apertada a tecla [CHS], que muda o sinal do número 
que está na memória (500 torna-se – 500), porque, de acordo com o padrão, a calculadora espera 
um fluxo de caixa positivo e outro fluxo de caixa negativo. Se a tecla [CHS] não for acionada nesse 
caso, o valor futuro [FV] vai aparecer com sinal negativo. 
O terceiro passo é informar a taxa de juros, que é de 5% ao período. Então, aperte [5],[i]. Devemos 
salientar, caro(a) aluno(a), que a HP12c já divide por 100 o valor da taxa de juros, ou seja, não é 
necessário digitar “0.05”, mas o número inteiro “5”. Em seguida, é preciso digitar os oito períodos: 
[8],[n]. 
 
Para saber mais
Calculadoras científicas comuns aplicam a notação 
tradicional que conhecemos, chamada de “infixa”. 
A notação ao contrário, que usamos na HP12c, é 
denominada “pós-fixa” ou “polonesa inversa”. A 
notação polonesa tem várias vantagens computa-
cionais, quando comparada com a infixa. 
 
47
Pronto, agora é só apertar [FV] e o resultado “738.73” deve aparecer no visor. Observe que essa 
calculadora tem como padrão dividir os dígitos decimais com um ponto, não com uma vírgula, como 
é usual no Brasil. Para reforçar, pense: qual é o valor futuro (FV) de um capital inicial (PV) de R$ 
500,00, aplicado a uma taxa composta de 5% por período, durante oito períodos? FV=PV(1+i)n.
• Preliminares: [ƒ], [CLX] limpa a memória.
• Valor presente: [500],[CSH],[PV], que introduz R$ 500 como PV. 
• Taxa de juros: [5],[i], que introduz 5% como taxa de juros i ao período. 
• Número de períodos: [8],[n], que introduz o número 8 como a quantidade de períodos de 
capitalização. 
• Valor futuro: [FV]. Obtém-se o valor futuro, pois deve aparecer no visor o número 738.73 ou 
– 738.73, se você não apertou [CSH] na etapa de valor presente.
A ordem das etapas não importa totalmente, desde que você limpe a memória no início e intro-
duza todas as “peças”, PV,n,i, a calculadora vai resolver corretamente o problema e apresentar o 
FV correto.
Agora, vamos fazer a operação contrária: qual é o valor presente PVde um montante FV de R$ 
738,73, capitalizado a uma taxa composta de 5% ao período, daqui a oito períodos? PV=FV/(1+I)n.
• Preliminares: [ƒ], [CLX]. 
• Valor futuro: [7],[3],[8],[.],[7],[3],[Fv];. 
• Taxa de juros: [5],[i].
• Número de períodos: [8],[n].
• Valor presente: [PV]. Deve aparecer no visor o número – 500.00, porque não mudamos o sinal 
do valor futuro.
Nas próximas lições, aprofundaremos as funcionalidades da HP12c, visto que se trata de uma 
ferramenta útil no desconto de múltiplos fluxos de caixa futuros, na amortização de empréstimos e 
no cálculo de índices de rentabilidade de investimentos.
48
Questão para reflexão
Até agora, caro(a) aluno(a), apresenta-
mos, principalmente, operações financeiras 
com um fluxo de caixa positivo e um fluxo de 
caixa negativo. Como seria possível adaptar 
as fórmulas de capitalização/desconto sim-
ples e composto, a fim de valorar múltiplos 
fluxos de caixa no tempo?
Considerações finais
• Explicamos a operação de desconto, que transforma um valor monetário no futuro em seu 
equivalente no presente, descontado por alguma taxa de juros.
• Evidenciamos como a inflação afeta o poder de compra de um valor monetário no futuro. A 
maneira conceitualmente correta de descontar a taxa de inflação da taxa de juros nominal é 
pelo regime composto.
• Ensinamos como capitalizar um capital inicial ou descontar um valor futuro com taxas de juros 
irregulares. Uma forma simples de realizar esse tipo de cálculo é obtendo a taxa efetiva para 
o período total.
• Apresentamos o funcionamento básico da calculadora financeira HP12c e a realização de cál-
culos de valor presente e de valor futuro, com apenas um pagamento pela calculadora.
Glossário
Desconto: Operação inversa da capitalização, quando transformamos um valor futuro em valor 
presente.
 
Link
Há um manual oficial da calculadora HP12c em 
português, no qual são explicadas todas as fun-
cionalidades, com exemplos bastante ilustrativos. 
Esse guia do usuário está disponível em: <http://
h10032.www1.hp.com/ctg/Manual/bpia5239.pdf>. 
Acesso em: 02 fev. 2018.
 
49
Verificação de leitura
QUESTÃO 1- Qual é o valor presente de um montante de R$ 3.500,00, dois anos e quatro 
meses no futuro, descontado por uma taxa de juros simples de 15% ao ano?
a) R$ 2.545,39.
b) R$ 2.592,59.
c) R$ 2.526,04.
d) R$ 2.646,50.
e) R$ 2.692.31.
QUESTÃO 2- Qual é o valor presente de um montante de R$ 5.000,00, remunerado a uma 
taxa composta de 15% ao ano, descontado por sete anos?
a) R$ 4.608,53.
b) R$ 4.597,70.
c) R$ 2.439,02.
d) R$ 1.879,68.
e) R$ 2.934,53.
QUESTÃO 3- Se a taxa de juros nominal de um certo título é de 8% ao ano e a taxa de in-
flação acumulada no ano foi de 5%, qual é a rentabilidade do título em termos reais?
a) 2,85%.
b) 3,50%.
c) 3,00%.
d) 2,69%.
e) 4,50%.
50
Referências Bibliograficas
ASSAF NETO, A. Matemática financeira e suas aplicações. 13. ed. São Paulo: Atlas, 
2016.
EUGENIO, M. Financial tools. 123RF. Disponível em: <https://br.123rf.com/stock-photo/
calculadora_hp.html?imgtype=0&sti=m9dxwfprtmmkqalnsx|&mediapopup=1517762>. 
Acesso em: 09 maio 2018. 
HEWLETT–PACKARD COMPANY.  Hp 12c calculadora financeira.  2005. Disponível em: 
<http://h10032.www1.hp.com/ctg/Manual/bpia5239.pdf>. Acesso em: 02 fev. 2018.
Leitura complementar
PUCCINI, A. L. Matemática financeira: objetiva e aplicada. 10. ed. São Paulo: Saraiva, 
2017.
VIEIRA SOBRINHO, J. D. Matemática financeira: edição universitária. São Paulo: Atlas, 
2017.
51
Gabarito
QUESTÃO 1- Alternativa b. Aplicação da fórmula de desconto simples, com a taxa de juros 
transformada para o prazo de interesse: PV=FV/(1+Ti). Como a taxa base é expressa em 
anos, transformamos o prazo para dois anos e quatro meses. Assim: 
T � � �2 12 4
12
28
12
.
Portanto, 
PV �
�
�
$
%
$ ,
3500
1
28
12
15
2592 59
Questão 2 – Alternativa d. Aplicação direta da fórmula de desconto composto: 
PV FV
i T
�
�
�
�
�
( )
$
( %)
$ ,
1
5000
1 15
1879 68
7
Questão 3 – Alternativa a. A taxa de juros nominal é i, a taxa de inflação é π e a taxa de juros 
real, rentabilidade real, é r. As três se relacionam na capitalização composta, pois (1+i) = (1=π).(1+r). 
Assim, o fator de rentabilidade real do título é: 
( )
%
%
,1
1
1
1 8
1 5
1 0285� �
�
�
�
�
�
�r i
�
E a taxa de juros real é de 2,85%. 
4
Séries de 
pagamento
53
Objetivos Específicos
• categorizar séries de pagamento, ou fluxos de caixa, de acordo com o valor das parcelas, a 
periodicidade dos pagamentos, a duração da operação e o período de ocorrência do pagamento; 
• entender as fórmulas de valor presente e valor futuro de séries de pagamento com diferentes 
características; 
• introduzir o conceito de equivalência entre fluxos de caixa.
Introdução
Nesta lição, caro(a) aluno(a), você irá aprender a valorar sequências de vários pagamentos espa-
çados no tempo, séries de pagamento ou de fluxos de caixa. Como cada pagamento é definido por 
um instante de tempo diferente, a taxa de juros (aqui, considerada constante) incide mais vezes 
sobrepagamentos mais distantes no futuro.
Para calcular o valor presente, ou o valor futuro, de uma série de pagamentos, somamos os fluxos 
de caixa, cada um descontado, ou capitalizado, pela taxa de juros apropriada. Nesse sentido, uma 
série de pagamentos é definida segundo as seguintes características: 
valor das parcelas, que pode ser sempre igual ou variar período a período; 
espaçamento das parcelas, que pode seguir uma regra bem definida ou não;
duração da série, limitada ou ilimitada; 
período de ocorrência do pagamento. 
Dependendo das características dos fluxos de caixa, pode ser possível expressar o valor futuro ou 
o valor presente da série como uma fórmula concisa.
Ademais, iremos introduzir o importante conceito de equivalência entre fluxos de caixa. Desse 
modo, afirmamos que duas séries de pagamento são equivalentes se ambas tiverem valor presente 
iguais. A ideia é que, se as taxas de juros usada para descontar os fluxos de caixa forem diferentes, 
então, séries com pagamentos de magnitude diferentes podem ter valor presente igual.
54
1. Características das séries de 
pagamento
As séries de pagamento, ou séries de fluxo de caixa ou apenas fluxos de caixa, são sequências de 
pagamentos monetários localizados no tempo. De acordo com Assaf Neto (2016), há quatro carac-
terísticas que definem uma série de pagamento:
• valor das parcelas, que se refere ao valor de cada um dos pagamentos da série e pode regular 
(constante) ou irregular (variável); 
• periodicidade das parcelas, referente ao espaçamento no tempo entre pagamentos. Se o 
intervalo entre pagamentos é constante ou segue uma regra bem definida, os fluxos de caixa 
são periódicos. Caso contrário, são aperiódicos. 
• duração da operação, a qual pode ser limitada, se sabemos o número de pagamentos a priori, 
ou indeterminada, se não conhecemos, previamente, a quantidade de pagamentos; 
• período de ocorrência do pagamento, que diz respeito ao período de referência no qual é 
realizado o pagamento. Se os fluxos de caixa ocorrem no fim do período, os pagamentos são 
postecipados. Se ocorrem no início do período, são antecipados. Se existe algum período de 
carência, a série é diferida. Essa característica é relevante, porque, se os pagamentos ocor-
rem no fim do período de referência (postecipado), os juros do período incidem sobre o fluxo 
de caixa. Caso ocorram no início do período de referência (antecipados), não é necessário des-
contar/capitalizar os juros daquele período. Se nada for informado, deve ser tratada como uma 
série postecipada. 
Nesse sentido, caro(a) aluno(a), você entenderá como calcular o valor presente (PV) e o valor 
futuro (FV) de séries de pagamento com diferentes características. Assim, focalizaremos as séries 
com taxa de juros constantes.
55
1.1 Método geral de cálculo
O valor presente (PV) de uma série de fluxos de caixa limitada, postecipada e com taxa de juros 
constante i pode ser escrito da seguinte forma: 
PV PMT
i
PMT
i
PMT
i
PMT
i
PMTn
n
n�
�
�
�
�
�
� �
�
���
1 2
2
3
3
1
1
1 1 1 1 1( ) ( )
...
( ) ( �� i n)
PV PMTj
ij
n
j� � �� 1 1( ) *
Nesse caso, PMTj denota o pagamento na data j, que pode ser positivo, negativo, ou zero, e n 
representa a quantidade de períodos. Por sua vez, o valor futuro (FV) de uma série limitada, poste-
cipada e com taxa de juros constante pode ser escrito assim: 
FV=PMT1.(1+i)0+PMT2.(1+i)1+...+PMTn-1.(PMTn)n-2+PMTn(1+i)n-1
FV PMT ij
j
j
n
� � �
�
�
� .( )1 1
0
1
2. Séries de pagamentos regulares, 
periódicas e limitadas
Inicialmente, caro(a) aluno(a), considere o caso mais simples: uma série de pagamentos regular, 
periódica e limitada, como ilustra a Figura 1.
 FIGURA 1 – EXEMPLO DE SÉRIE DE PAGAMENTO REGULAR, PERIÓDICA E LIMITADA
56
FONTE: o autor.
Em outras palavras, o valor dos fluxos de caixa é sempre igual (regu-
lar), os pagamentos são espaçados no tempo por um intervalo constante 
(periódico) e o número de períodos é pre-
viamente estabelecido (limitado). A seguir, 
vamos explorar essas propriedades de regu-
laridade desse tipo de série de pagamentos, 
para obter uma fórmula conveniente para o 
valor presente.
Caso você considere uma taxa de juros 
 
Link
Veja que um importante título da dívida brasileira o 
NTN-B (Notas do Tesouro Nacional série B) segue a es-
trutura de uma série de pagamentos regular, periódica 
e limitada. Para obter mais informações acerca desse 
assunto, acesse o link disponível em: <http://www.
tesouro.gov.br/tesouro-direto-entenda-cada-titu-
lo-no-detalhe>. Acesso em: 23 fev. 2018.
 
57
constante, o valor presente de uma série de pagamentos regular, periódica e limitada pode ser 
escrito da seguinte forma: 
Devido ao fato de os pagamentos serem regulares, podemos colocar PMT em evidência e escre-
ver PV como:
Assaf Neto (2016) denomina a expressão entre colchetes como fator de valor presente: 
Observe que FPV(i,n) é a soma de uma progressão geométrica com razão q.(1+i)-1, número de 
parcelas n, cujo primeiro termo a1 é (1+i)-1 e o n-ésimo termo an é (1+i)-n. A soma de uma progressão 
geométrica finita é determinada pela fórmula
Fazendo a substituição na fórmula da soma de uma progressão geométrica finita, há: 
58
Multiplicando ambos, numerador e denominador, por (1+i), podemos escrever o fator de valor 
presente como: 
Portanto, o valor presente de uma série de pagamentos regular, periódica e limitada pode ser 
escrito da seguinte forma: 
No exemplo da Figura 1,PMT - $50,00, n-12. Considere uma taxa de juros de 8% ao período. 
Portanto, o valor presente dessa série de pagamentos é determinado por
Esse é o cálculo do valor presente, ou seja, o valor descontado, hoje, de uma série de pagamen-
tos regular, periódica e limitada. A faceta contrária do valor presente é o valor futuro (montante), a 
soma dos pagamentos e dos juros acumulados. Assim, apresentaremos a fórmula conveniente para 
o valor futuro de uma série de pagamentos regular, periódica e limitada. Como os pagamentos e a 
taxa de juros são constantes, escrevemos o valor futuro como:
Colocando PMT em evidência, temos:
A expressão entre colchetes é, analogamente, chamada de fator de valor futuro:
59
Observe que FFV (i,n) é uma soma de progressão geométrica, com primeira parcela a1=1, n-é-
sima parcela an = (1+i)n-1 , razão (1+i). Da fórmula de Sn, há: 
Assim, o valor futuro FV é determinado por: 
Ainda com base na Figura 1, PMT = $50,00, n=12, i=8%. Portanto,
Assaf Neto (2016) chama as séries de pagamento regulares, periódicas e limitadas, para as quais 
podemos escrever o valor futuro ou valor presente, como função dos pagamentos periódicos (da 
taxa de juros e do número de períodos) de fluxos de caixa padrões ou convencionais.
60
3. Séries de 
pagamento 
regulares, 
periódicas, mas 
ilimitadas
Quando o fluxo de caixa é regular, perió-
dico, mas ilimitado, também é possível determinar o valor presente (não o valor futuro) como fun-
ção dos pagamentos e da taxa de juros. Nesse sentido, esse tipo de fluxo de caixa também é padrão 
ou convencional.
Como você já sabe, caro(a) aluno(a), a fórmula geral do valor presente de uma série de 
pagamentos pode ser escrita da seguinte forma: 
Usaremos o símbolo do infinito subscrito para denotar que a soma é infinita. Ademais, você 
pode observar que, nesse caso, o fator de valor presente é a soma de uma progressão geométrica 
infinita, com primeiro termo (1+i)-1 e razão igual a (1+i)-1. A fórmula de uma progressão geométrica 
infinita, com primeiro termo a1 e razão q<1, é determinada por:
Fazendo a substituição na fórmula da soma de uma progressão geométrica infinita, há: 
 
Para saber maisUm ativo financeiro que gera fluxos de caixa “para 
sempre”, ou por uma quantidade ilimitada de 
períodos, pode parecer algo fora da realidade, mas 
qualquer ação negociada em bolsa de valores, que 
paga dividendos periódicos, enquadra-se nessa 
categoria de ativo.
 
61
Multiplicando o numerador e o denominador por (1+i), é possível obter a simples fórmula para o 
fator de valor presente de uma série de pagamentos regular, periódica e ilimitada:
Portanto o valor presente de uma série de pagamentos regular, periódica e ilimitada é
O argumento que utilizado para calcular o valor presente de uma série ilimitada de fluxos de caixa 
não vale para o valor futuro. Vamos explicar a razão disso. Se escrevermos esse valor futuro, de 
maneira análoga, como: 
Pode parecer conveniente aplicar a fórmula S∞ =a1/(1-q) para escrever:
FFV
i�
�
� �
1
1 1( )
FFV� � �
1
1
*
Observe, porém, que é um número negativo. Claro que a soma dos números que estão dentro 
dos colchetes, na expressão FV∞(PMT,i), é um número positivo. Desse modo, a fórmula S∞ é definida 
apenas para razões menores do que um, apenas para séries que diminuem com cada novo valor. 
Portanto, podemos afirmar que FV∞(PMT,i) é indefinido.
62
4. Séries de pagamento não 
convencionais
A partir de agora, trataremos das séries irregulares e/ou aperiódicas, nas quais a frequência dos 
fluxos de caixa não segue uma regra preestabelecida ou a magnitude dos fluxos de caixa é variável 
no tempo. Nesse sentido, a Figura 2 mostra um fluxo de caixa regular, limitado, mas aperiódico. Os 
pagamentos são sempre de R$ 50,00, mas ocorrem em intervalos de tempo irregulares.
FIGURA 2 – SÉRIE DE PAGAMENTO REGULAR, APERIÓDICA, LIMITADA
FONTE: o autor.
63
Diferentemente do caso em que a série é regular e periódica, não é possível simplificar as fórmu-
las de valor presente e de valor futuro de uma série de pagamentos aperiódica e/ou irregular para 
expressões concisas. Desse modo, para calcular esses valores de séries aperiódicas, é preciso des-
contar/capitalizar os fluxos de caixa não nulos, pela taxa de juros associada ao período que ocorre o 
pagamento. Depois, a soma é feita da maneira usual: é necessário aplicar a fórmula geral do valor 
presente e do valor futuro de uma série de pagamentos.
Por exemplo, a fórmula geral do valor presente de uma série de pagamentos é a soma de cada 
parcela PMT, descontadas pelo fator de juros composto por j períodos: 
PV
PMT
i
j
j
j
n
�
��
�
( )11
A fórmula geral do valor futuro de uma série de pagamentos e a soma de cada parcela PMT, capi-
talizadas pelo fator de juros composto por j-1 períodos é: 
FV PMT ij
j
j
n
� �
�
�
� .( )1
0
1
 
Vamos tentar calcular o valor presente do fluxo de caixa, descrito na Figura 2, supondo uma taxa 
de juros de 15% ao período. Como exposto, os pagamentos são regulares, sempre de R$ 50,00, mas 
não ocorrem com uma frequência bem estabelecida. Para aplicar a fórmula geral do valor presente, 
precisamos transformar esse fluxo de caixa regular em um fluxo de caixa irregular que, às vezes, é 
R$ 50,00, às vezes, é R$ 0. Assim: 
64
PV �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
$
( %)
$
( %)
$
( %)
$
( %)
$
( %)
50
1 15
0
1 15
0
1 15
0
1 15
0
1 15
1 2 3 4 5
��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
$
( %)
$
( %)
$
( %)
$
( %)
$
( %)
0
1 15
0
1 15
0
1 15
0
1 15
0
1 15
6 7 8 9 10
$$
( %)
$
( %)
$ ,
0
1 15
0
1 15
151 63
11 12�
�
�
�
A Figura 3 representa uma série de pagamentos, cujas parcelas variam de período a período, e 
não ocorrem em intervalos regulares. O procedimento de valoração para uma série de pagamentos 
irregular é igual ao das séries aperiódicas.
FIGURA 3 – SÉRIE DE PAGAMENTOS IRREGULAR, APERIÓDICA E LIMITADA
FONTE: o autor.
65
Por exemplo, considere a série de pagamentos irregular e os fluxos de caixa espaçados, aperio-
dicamente, em 12 períodos: 
CF=$25,$0,$0,-$30,$25,$0,-$25,$0,$15,$40,$0-$40.
Qual é o valor futuro desse fluxo de caixa, considerando uma taxa de juros de 5% ao período? Para 
responder a essa pergunta, só é preciso aplicar a fórmula geral do valor futuro de um fluxo de caixa:
FV=$25.(1+5%)0+$0.(1+5%)1+$0.(1.5%)2-$30.(1+5%)3+$25.(1+5%)4
+$0.(1+5%)5-$25.(1+5%)6+$0.(1+5%)7
+$15.(1+5%)8+$40.(1+5%)9+$0.(1+5%)10-$40.(1+5%)11,
FV=$3,10
5. Equivalência financeira
Um conceito muito importante em matemática financeira é o de equivalência financeira. 
Lembre-se de que um fluxo de caixa é definido pela série de pagamentos e pela taxa de juros usada 
para descontar/capitalizar as parcelas. Assim, podemos afirmar que dois fluxos de caixa, CFA(PMTjA) 
e CFB(PMTjB,iB), são equivalentes, se eles têm o mesmo valor presente. 
Se a soma dos pagamentos PMTjA, descontados pela taxa de juros iA, tem valor monetário igual 
à soma dos pagamentos PMTjB, descontado pela taxa de juros iB, seríamos indiferentes entre um ou 
outro, se fosse necessária a escolha entre CFA e CFB mentos regulares, periódicas e limitadas:
CFA:$50;$50;$50;$50;$50.
CFB:$100;$100;$100;$100;$100.
Se for considerada uma taxa de juros de 15%, os valores presentes dos fluxos de caixa A e B serão 
definidos por:
PV PMT PMT FPVA A A( , %, ) . ( %, ) $ . ( %)
%
$ ,15 5 15 5 50
1 1 15
15
167 60
5
� �
� �
�
�
PV PMT PMT FPVB B B( , %, ) . ( %, ) $ . ( %)
%
$ ,15 5 15 5 100
1 1 15
15
335 2
5
� �
� �
�
�
11
É claro que o valor presente do fluxo A é maior do que o valor presente do fluxo B, quando des-
contado pela mesma taxa de juros, 15%, cada PMTB é o dobro de PMTA. Caso seja utilizada uma 
66
taxa de juros maior, para descontar a série de pagamentos B, seu valor presente vai diminuir, pos-
sivelmente para um valor igual, ou até menor, do que PVA, descontado com taxa de juros de 15%. 
Quando utilizamos uma taxa de juros de 52,41% ao período, o valor presente do fluxo de caixa B é: 
PV PMT PMT FPVB B B( , , %, ) . ( , %, ) $ . ( , %)52 41 5 52 41 5 100 1 1 52 41
5
5
� �
� � �
22 41
100 1 6760 167 60
, %
$ . , $ ,� �
Observe o mesmo valor monetário do valor presente do fluxo de caixa 
15%, descontado com 15% de juros ao período. Assim, CFB(i=52,41%) é 
equivalente ao CFA(i=15%) porque os dois 
têm o mesmo valor presente. 
Questão para reflexão
O conceito de equivalência de fluxos de 
caixa é central na análise financeira de pro-
jetos. Como essa ferramenta pode ser utili-
zada para se escolher o investimento mais 
lucrativo?
Considerações finais
• O valor presente de uma série de pagamentos é determinado pela soma das parcelas, cada 
uma descontada pela taxa de juros apropriada:
Pv PMT
it
n t
t
�
��� 1 1( )
• O valor futuro de uma série de pagamentos é definido pela soma das parcelas, cada uma capi-
talizada pela taxa de juros apropriada. 
 
Para saber mais
Como é possível encontrar a taxa de juros de 
52,41% que equivale ao CFA e ao CFB? Calcule essa 
taxa na HP12c. Você já sabe que PV(CFA) = $167,60 
e precisa encontrar a taxa de juros para PV(CFA) = 
PV(CFB). Pressione [167.60],[g][CF0], para lançar o 
valor presente, [100],[g][CFj],[5],[n], para lançar 
as cinco parcelas de 100, e, então,[ƒ][IRR]. A taxa 
de juros 54,41% deve aparecer no visor. Ademais, 
devemos salientar que IRR é a sigla em inglês 
para Internal return rate, Taxa interna de retorno 
(TIR), assunto de outras lições.
 
67
FV PMT it
n
t
t� ��
�� 11 1.( )
• O valor presente de uma série de pagamentos regular, periódica e limitada é
PV PMT i
i
n
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.
( )1 1
• O valor futuro de uma série de pagamentos regular, periódica e limitada