Teoremas do Isomorfismo

Prévia do material em texto

Encontro de Ensino, Pesquisa e Extensão, Presidente Prudente, 22 a 25 de outubro, 2012  56
SOBRE A AÇÃO DE AUTOMORFISMOS DE GRUPOS 
 
Natália Caroline Lopes da Silva1; Marco Antonio Travassos2; Antonio Carlos Tamarozzi3 
 
1Aluna do curso de Lic. em Matemática da UFMS e bolsista do Programa de Educação Tutorial/SESU – Matemática – 
UFMS ‐ Campus de Três Lagoas. 2Aluno do curso de Lic. em Matemática da UFMS e bolsista do Programa de Educação 
Tutorial/SESU – Matemática – UFMS ‐ Campus de Três Lagoas. 3Professor associado do curso de Matemática da UFMS 
e  tutor  do  Programa  de  Educação  Tutorial/SESU  –  Matemática  –  UFMS  ‐  Campus  de  Três  Lagoas.  E‐MAIL: 
(nataliacaroline2006@yahoo.com.br) 
 
 
RESUMO 
Para  o  desenvolvimento  da  Matemática,  a  comparação  entre  estruturas  algébricas  é  de 
fundamental interesse para a obtenção de informações e extensão de propriedades. Este processo 
de comparação é em geral feito através de aplicações bijetoras que preservam as operações das 
estruturas, os  chamados  isomorfismos.   Em particular, para a Teoria dos Grupos, o estudo dos 
automorfismos  pode  revelar  propriedades  de  impacto  para  a  análise    de  um  Grupo.  O 
desenvolvimento  do  trabalho  requereu  o  estabelecimento  de  técnicas  e  ferramentas  de 
abordagem  costumeiramente  utilizadas  nesta  área  de  pesquisa,  dentre  as  quais  subgrupos 
normais, grupos quocientes e subgrupos característicos. A definição de subgrupos característicos 
ocupa uma posição  crucial no  contexto de automorfismos, haja vista que, a partir dos mesmos 
podemos  restringir  propriedades  a  subgrupos  de  interesse.  Os  principais  resultados  obtidos 
versam  sobre os  teoremas do homomorfismo,  a definição de  automorfismos  internos  e  alguns 
grupos quocientes que derivam desta análise. 
Palavras‐chave:  Isomorfismo de grupos; Subgrupos normais; Subgrupos Característicos; Teorema 
de Lagrange;  
 
 
INTRODUÇÃO E OBJETIVOS 
Ao  longo dos anos constatou‐se que a  idéia de Grupo era muito  importante em várias áreas da 
matemática, tanto que o estudo de grupos  foi considerado o  início da Álgebra Abstrata, quando 
passou‐se a utilizar variáveis para representar números. As três principais áreas onde os estudos 
realizados motivaram a definição de grupo foram: a geometria do início do século XIX, a teoria dos 
números do fim do século XVIII, e a teoria das equações algébricas do fim do século XVIII. 
A  Teoria  dos  grupos  surge  naturalmente  em  muitas  áreas  da  matemática  com  implicações 
estendidas a outras ciências. O objetivo principal deste  trabalho é  introduzir alguns conceitos e 
explorar  resultados  da  Teoria  dos Grupos. Neste  desenvolvimento,  apresentamos  as  principais 
propriedades de isomorfismos de grupos e as consequências obtidas para as estruturas avaliadas. 
 
METODOLOGIA 
O desenvolvimento deste trabalho requer o estudo das principais técnicas da Teoria dos Grupos, 
dentre as quais subgrupos normais, grupos quocientes e subgrupos característicos. A definição de 
Colloquium Exactarum, vol. 4, n. Especial, jul-dez, 2012 
Encontro de Ensino, Pesquisa e Extensão, Presidente Prudente, 22 a 25 de outubro, 2012  57
subgrupos  característicos  ocupa  uma  posição  crucial  no  contexto  de  automorfismos,  haja  vista 
que,  a  partir  dos mesmos  podemos  restringir  propriedades  a  Subgrupos  de  interesse,  sendo 
possível, em alguns casos, derivar propriedades para o Grupo original. Observação similar pode ser 
feita  a  partir  da  utilização  dos  automorfismos  internos,  haja  vista  a  intrínseca  relação  dos 
automorfismos internos com o Subgrupo Z(G), o centro de um grupo G. 
Sem  perda  de  generalidade,  utilizaremos  a  notação multiplicativa  para  todos  os  grupos 
aqui  abordados,  em  particular  eG  e    x‐1  representam,  respectivamente,  o  elemento  neutro  e  o 
inverso de um elemento genérico xG. 
 
RESULTADOS 
Definiremos  inicialmente  alguns  conceitos  que,  embora  introdutórios,  são  importantes  para 
acompanhamento dos resultados posteriores. 
Definição:  Uma  função  φ:  G  →  L  ,  entre  os  grupos  G  e  J,  diz‐se  um  homomorfismo  se 
 φ(xy) = φ(x) φ(y), para todos os elementos x,y de G. Um isomorfismo é um homomorfismo bijetor. 
 
Proposição: Se φ: G → L é homomorfismo, então: 
i. φ(eG) = eL 
ii. φ(g‐1) = [φ(g)]‐1 para todo g  G. 
iii. Im (φ) = {y  L | y = φ(g) para algum g  G} é um subgrupo de L chamado imagem de φ. 
 
Proposição: Se φ: G → L é um homomorfismo, H é subgrupo de G e K é subgrupo de L, então φ(H) 
é subgrupo de L e φ‐1(K) é subgrupo de G. 
 
Os teoremas do Isomorfismo 
Seja φ: G → L um homomorfismo, o conjunto N(φ):= {g  G| φ(g) = eL} é um subgrupo normal de 
G chamado núcleo do homomorfismo φ. O núcleo é também conhecido por ker (φ), o kernel de φ. 
A proposição  seguinte, mostra  a  importância de N(φ) para os propositos deste  trabalho. A  sua 
demonstração é clássica e pode ser encontrado em [1]. 
Teorema: (Primeiro teorema de isomorfismo) Seja f: G → H um homomorfismo de grupos. Então, 
a função induzida φ: G/N → f(G) 
            aN   f(a) 
onde N = ker(f), é um isomorfismo. 
Colloquium Exactarum, vol. 4, n. Especial, jul-dez, 2012 
Encontro de Ensino, Pesquisa e Extensão, Presidente Prudente, 22 a 25 de outubro, 2012  58
Demonstração: Primeiramente, devemos verificar que φ é uma função bem definida, isto é, se aN 
= bN então temos f(a) = f(b). Suponhamos aN = bN. Isso implica que b‐1a  N e, portanto, f(b‐1a) = 
eH. Mas f(b‐1a) = f(b‐1)f(a) = f[(b)]‐1f(a). Logo, f[(b)]‐1f(a) = eH e f(a) = f(b). De onde φ é de fato, uma 
aplicação. 
Agora φ é claramente uma função sobrejetora e, para a, b  G, obtemos 
φ[(aN)(bN)] = φ(abN) = f(ab) = f(a)f(b); 
assim φ é um homomorfismo. Agora, 
ker(φ) = {aN | f(a) = eH} = {aN | a  N} = N; assim ker(φ) = {eG/N} ou seja, a função é injetiva. 
 
Corolário: Se f: G → H é um homomorfismo sobrejetor de núcleo N, então G/N  H. 
 
Teorema:  (Segundo  teorema  de  isomorfismo)  Sejam  H  e  K  subgrupos  de  G.  Se  H  é  subgrupo 
normal, então HK é subgrupo de G. 
Demonstração:  Vamos  mostrar  que  HK  =  KH.  Seja    =  hk    HK.  Temos  
 = hk = kk‐1hk = k com := k‐1hk  H, pois H   G; portanto  = k  KH. Provamos então que HK 
  KH.  Para  provarmos  a  inclusão  contrária,  seja    =  kh  =  khk‐1k  =  k  com  
:= khk‐1  H, pois H   G; portanto  = k  HK. De onde, HK = KH. 
 
Motivados  pelos  resultados  apresentados  por  [2],  inserimos  dois  corolários  provenientes  do 
Segundo Teorema de isomorfismos. 
Corolário: No caso em que H e K são subgrupos normais de G, H∩K é subgrupos normal 
Demonstração: Façamos H∩K = M. Provemos que xM = Mx, ׊ x  G: 
y  xM  y = xm; m  H∩K 
 y = h’x = k’x 
E, então, h’ = k’ = m’, isto é, y = m’x  Mx. 
Analogamente, y  Mx  y  xM. 
Corolário: Sejam H   G e K  G. Então, K/H∩K  KH/H. 
Demonstração: Já que H G, sabemos que KH é um subgrupo de G e que HK = KH. Claramente, H 
  G   H    KH  e,  portanto,  faz  sentido  considerar  o  grupo  quociente  KH/H.  Considere  o 
Colloquium Exactarum, vol. 4, n. Especial, jul-dez, 2012 
Encontro de Ensino, Pesquisa e Extensão, Presidente Prudente, 22 a 25 de outubro, 2012  59
homomorfismo  canônico  KH    KH/H  e  seja  |K  a  sua  restrição  ao  subgrupo  
K < KH, isto é: 
|K: K → KH/H 
                 k   kH. 
Claramente,  ker  (|K)  =  {k    K  |  kH  =  H}  =  H∩K.  Seja  agora      KH/H;  temos  
  =  (kh)H  para  algum  k   K  e  algum  h   H;  logo    =  (kh)H  =  kH  =  |K(k)  e  portanto  |K  é 
sobrejetor. Aplicando agora o primeiro teorema de isomorfismo ao homomorfismo |K, obtemos 
KH/H  K/H∩K. 
 
Teorema: (Terceiro teorema do isomorfismo) Sejam K  H  G com K   G e H  G. Então (G/K) / 
(H/K)  G/H. 
Demonstração: Considere o homomorfismo: G/K → G/H, tal que      gKgH. 
A função  é bem definida; de fato aK = bK implica que a = bk para algum k  K, e portanto vemos 
que  aK  =  bkH  =  bH  pois  temos  k    K    H.  Claramente,    é  sobrejetor  e  
ker () = H/K. Aplicando o primeiro teorema de isomorfismos ao homomorfismo , obtemos (G/K) 
/ (H/K)  G/H. 
 
Automorfismo de grupos 
Proposição: Sejam G e H grupos e f: G → H , um homomorfismo. Então f é injetora se, e somente 
se, ker(f) = {e}, onde  e é o elemento neutro de G. 
 
Denotamos  o  conjunto  de  todos  os  automorfismos  de  um  grupo  G  por  Aut(G).  Note  que  um 
automorfismo preserva qualquer propriedade teórica do grupo. A saber, se φ  Aut(G) então para 
quaisquer dois subgrupos H e K de G tais que K  H, temos: 
φ(H)  H e |φ(H) : φ(K)| = |H:K|. 
 
Proposição: Aut(G) é um grupo sob a operação de composição de funções. 
 
As discussões que apresentamos a partir de agora, são baseadas nos trabalhos de [4] e [1]. 
Construiremos um caso particular de automorfismo: Dados um grupo G e g  G podemos definir 
uma função 
: G → G 
Colloquium Exactarum, vol. 4, n. Especial, jul-dez, 2012 
Encontro de Ensino, Pesquisa e Extensão, Presidente Prudente, 22 a 25 de outubro, 2012  60
    x   gxg‐1 
Observe que  é: 
i. Um homomorfismo, pois para todo x, y  G, temos que  
(xy) = g(xy)g‐1 = (gxg‐1) (gyg‐1) = (x) (y); 
ii. Injetora, pois se x  ker() temos que  
gxg‐1 = e  gx = g   x = e; 
iii. Sobrejetora, pois escolhendo a  G, existe um elemento b  G tal que (b) = a. Tome b = g‐
1ag  G. Logo, (b) =  (g‐1ag) = g(g‐1ag)g‐1 = a. 
Portanto,  é um automorfismo de G. Isto sugere a definição: 
 
Definição: Se g é um elemento de um grupo G, então o automorfismo 
x  gxg‐1 é chamado automorfismo interno induzido por g, que denotamos por g. 
 
O teorema a seguir nos dá importantes resultados, discutidos em [3] e [4]. 
Teorema: O conjunto dos automorfismos internos de G, Inn(G) = {g | g  G}, é: 
i. Um subgrupo normal de Aut(G); 
Demonstração:  
Que Inn(G) é um subgrupo de Aut(G) segue do seguinte: 
1. Id  Inn(G): 
Id: 1: G → G 
           x   x1 = x 
2. Se g, h  Inn(G) então gh = gh  Inn (G). 
3. Se g  Inn(G) então (g)‐1 =  , pois g  = Id =  g. 
Com  isso  já  temos  que  Inn(G)    Aut(G). Mostraremos  que  Inn(G)  é  normal  em  Aut(G). 
Sejam   Aut(G) e g  Inn(G). Para todo x  G temos: 
( ○ g ○ ‐1) (x) =  ○ g(‐1(x)) =  (g‐1(x)g‐1) = (g) x (g)‐1 = (g) (x) 
o que implica que  ○ g ○ ‐1 = (g)  Inn(G), como queríamos. 
ii. Isomorfo ao grupo quociente G/Z(G), onde Z(G) = {x  G | xg = gx,  g  G} é o centro de 
G. Ou seja, Inn(G)  G/Z(G). 
Demonstração:  
Basta observar que a aplicação, 
: G → Aut(G) 
Colloquium Exactarum, vol. 4, n. Especial, jul-dez, 2012 
Encontro de Ensino, Pesquisa e Extensão, Presidente Prudente, 22 a 25 de outubro, 2012  61
    g   g: G → G 
         g   xg = gxg‐1 
é  um  homomorfismo  tal  que:  Im()  =  Inn(G)  e  ker()  =  Z(G). De  fato,  já  sabemos  que    é  um 
homomorfismo,  porém  g    G  está  em  ker  ()  se,  e  somente  se,  g  =  Id,  ou  seja,  
g(x) = x, para todo x  G. Logo, gx = xg. Sendo assim ker () = Z(G). Portanto, pelo teorema do 
homomorfismo temos que Inn(G)  G/Z(G). 
 
Corolário: Se Z(G) = {e} então Inn(G)  G. 
 
Definição:  O  grupo  quociente  Aut(G)/Inn(G)  é  dito  o  grupo  das  classes  dos  automorfismos 
externos e denotados por Out(G). 
 
Subgrupos Característicos   
Definição: Um  subgrupo H de G,   é um  subgrupo  característico  (denotado por H G)  se ele é 
estável por todos os automorfismos de G, isto é, se (H) = H, �   Aut(G). 
car

 
Proposições: 
i. Se (H)  H, para �   Aut(G), então H G.  
car

Demonstração: Basta mostrarmos que H  (H), para �   Aut(G).  
Temos que (H)  H, para �   Aut(G) em particular para ‐1(H) = H. Aplicando  temos: 
‐1((H))  (H)  H  (H). Logo H G.  
car

ii. Se H G, então H   G. 
car

Demonstração: Queremos provar que � g � G e � h � H, gHg‐1 = H. 
Temos que (H)  H para �   Aut(G) em particular para g.  
Logo g (H) = H  � gHg‐1 = H, para � g � G. Logo H   G. 
iii. Se H K e K G, então HG. 
car
 
Demonstração: Precisamos mostrar que g(H) = H  g  G. 
Temos que g = gKg‐ 1 = K, pois K G. Logo g  Aut (K).  
Colloquium Exactarum, vol. 4, n. Especial, jul-dez, 2012 
Encontro de Ensino, Pesquisa e Extensão, Presidente Prudente, 22 a 25 de outubro, 2012  62
Assim g(H) = H, pois H K. Portanto HG.                            
car

iv. Se H K e K G, então H G. 
car

car

car

Demonstração: Mostraremos que (H)  H, para �   Aut(G). 
Temos  da  hipótese,  que  (K)  =  K,  �      Aut(G).  Assim  podemos  afirmar  que  
  Aut(K). Logo (H) = H, pois H K. Portanto H G. 
car

car

 
Proposição: Seja G um grupo. Então {e}, G, Z(G) e G’ são subgrupos característicos de G. 
 Seja H = {e}. Verifiquemos que H G. 
car

De fato! Para �   Aut(G) temos; : G → G 
                                                           g   (g) 
Mas, H = {e} e  (e) = e, �   Aut(G) e, portanto (H) = H  �   Aut(G). 
Verifiquemos que G  G. De fato, para �   Aut(G) e todo N  G segue que, |N| = |(N)|. Como 
G  G, então |G| = |(G)|. Logo G = (G), �  Aut(G). 
car

Verifiquemos agora que Z(G)  G, ou seja  (Z(G))  Z(G) �   Aut(G). Para  isso consideremos 
um elemento genérico x   (Z(G)). Daí x = (z); para algum z  Z(G). Para g  G arbitráro temos g 
= (y); y  G. e  
car

xg = (z) (y) =  (zy) =  (yz) = (y) (z) = gx 
Portando x  Z(G). Logo, Z(G)  G.  
car

Verificamos que G’ G, ou seja,  (G’)  G’,   Aut(G). Lembremos que G’ = < C > onde  
car

C = {[x, y] = x‐1y‐1xy: x, y  G}. Seja x   (G’). Daí x =  (g’); g’  G’. Assim; 
x =  ( ) onde gi  C e i  {1, 2,..., n}. Segue que: 
x  =    ( )  =    ( )...  ( )  =    = 
 
Basta provarmos que  ( )  C.  
Colloquium Exactarum, vol. 4, n. Especial, jul-dez, 2012 
Encontro de Ensino, Pesquisa e Extensão, Presidente Prudente, 22 a 25 de outubro, 2012 
Colloquium Exactarum, vol. 4, n. Especial, jul-dez, 2012 
63
Mas,    ( )  =      (x1)    (y1)    C.  Logo  x    G’  e,  portanto  
G’ G. 
car

Proposição: Se H é o único subgrupo de ordem n de um grupo G, então H G. 
car

Demonstração:  Seja  |H|  =  n.  Para  �      Aut(G)  e  K  ≤  G  temos  que  |K|  =  |(K)|.  Logo,  
|H| =  |(H)|. Mas, pela hipótese, N  ≤ G  com N  ≠ H  tal que,  |N| = n. Portanto (H) = H, para  
�   Aut(G), ou seja, H G. 
car

DISCUSSÃO 
Os três “Teoremas do Homomorfismo” aqui apresentados, constituem recurso importante 
na descrição de diversas propriedades da Teoria dos Grupos. Essencialmente possibilitam a análise 
de subgrupos e quocientes que apontam repercussões para o próprio grupo. Na mesma direção, o 
estudo dos automorfismos de um grupo, combinado com o conceito de subgrupos característicos, 
simplifica a abordagem de diversos problemas da área. 
 
CONCLUSÃO 
O desenvolvimento da matemática e da Álgebra em especial, requer a comparação entre 
estruturas algébricas. Neste sentido o estudo dos  isomorfismos permite obter  informações entre 
as estruturas isomorfas analisadas, com implicações importantes para a descrição de propriedades 
dentro e fora da matemática. 
 
REFERÊNCIAS  
[1].DOMINGUES, HYGINO H.; IEZZI, G. Álgebra Moderna. 4.ed. reform. São Paulo: Atual, 2003. 
[2].GARCIA, A.; LEQUAIN, Y. Elementos de Álgebra. 6.ed. Rio de Janeiro:IMPA, 2012.  
[3].GONÇALVES, A. Introdução à Álgebra. 5.ed. Rio de Janeiro: IMPA, 2012. 
[4].FONSECA,  Daila  S.  S.  M.  Grupos  e  seus  automorfismos.  Disponível  em: 
<http://tiny.cc/z52skw>. Acesso em 6 set. 2012.