Radiciação e Racionalização

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Radiciação
Definição:
A radiciação é a operação inversa da potenciação. Enquanto a potenciação é uma multiplicação na qual todos os fatores são iguais, a radiciação procura descobrir que fatores são esses, dando o resultado dessa multiplicação. É muito utilizada na obtenção de solução de equações e na simplificação de expressões aritméticas e algébricas.
Propriedades:
1ª Propriedade:
A raiz enésima de um número elevado a enésima potência é o próprio número. Em outras palavras, essa propriedade trata das raízes em que o índice do radical é igual ao expoente do radicando. Observe:
2ª Propriedade:
O índice de uma raiz pode ser multiplicado (ou dividido) por um número real qualquer, desde que o expoente do radicando também seja multiplicado (ou dividido) pelo mesmo número. Matematicamente:
 
3ª Propriedade:
Essa propriedade trata das raízes em que o radicando é o produto entre dois números. Ela pode ser interpretada da seguinte maneira: A raiz enésima do produto é igual ao produto das raízes enésimas. Isso significa que:
4ª Propriedade:
Essa propriedade é idêntica à anterior, mas se aplica à divisão de dois números quaisquer. Nesse caso, a raiz enésima da razão é igual à razão entre as raízes enésimas. Observe:
5ª Propriedade:
Uma potência de uma raiz pode ser reescrita trazendo o expoente para o radicando. Matematicamente esta propriedade é dada da seguinte maneira:
6ª Propriedade:
Essa propriedade diz respeito às raízes de raízes. Considerando a raiz enésima da raiz enésima de um número, é possível obter o seu resultado utilizando o seguinte:
7ª Propriedade:
Todo radical pode ser escrito na forma de potência com expoente fracionário. Observe:
Racionalização de denominadores
A racionalização de denominadores consiste na obtenção de uma fração com denominador racional, equivalente a uma anterior, que possuía um ou mais radicais em seu denominador.
Para racionalizar o denominador de uma fração, devemos multiplicar os termos desta fração por uma expressão com radical, denominado fator racionalizante, de modo a obter uma nova fração equivalente com denominador sem radical.
Racionalização de Denominadores com uma Raiz Quadrada
Racionalizar uma fração com raiz quadrada no denominador é o caso mais simples.
Exemplo:
Considere a seguinte fração:
Racionalizar frações com denominadores que são raízes quadradas é só multiplicar toda a fração pela mesma raiz quadrada do denominador da fração. Assim:
Nesse caso, dizemos que √2 é o fator racionalizante da fração.
De acordo com a propriedade de radiciação, eliminamos a raiz quadrada multiplicando a raiz por ela mesma, pois √2 . √2 = 2.
Racionalização de Denominadores com uma Raiz não Quadrada
Para as frações cujo denominadores não são raízes quadradas, isto é, quando o índice não é 2, temos que seguir a seguinte regra:
Quando multiplicarmos uma fração com denominador:
Devemos multiplicar o numerador e denominador da fração por:
pois,
Exemplo:
Considere a seguinte fração:
Onde:
n = 5;
p = 2.
Nesse passo é importante saber as propriedades de radiciação.
Quando temos uma fração com denominador com uma soma ou subtração, o fator racionalizante é o seguinte:
√a – √b o fator racionalizante é √a + √b;
√a + √b o fator racionalizante é √a – √b;
√a + b o fator racionalizante é √a – b;
√a – b o fator racionalizante é √a + b;
a + √b o fator racionalizante é a – √b;
a – √b o fator racionalizante é a + √b;
Ou seja, quando temos uma soma ou subtração no denominador, o fator racionalizante é o mesmo denominador com a operação inversa. Se for uma soma trocamos o sinal para a subtração e vice-versa.
Exemplo:
Considere a seguinte fração:
Racionalizar o denominador dessa fração é multiplicar o numerador e denominador por √3 – 2, assim:
Exemplos de radiciação e racionalização
Exemplo 1: Calcule as raizes abaixo.
Exemplo 2: Simplifique a expressão
Exemplo 3: Racionalize as seguintes frações
Exemplo 4: Obtenha a forma mais reduzida possível da expressão:
Solução: Podemos reescrever cada uma das raízes utilizando as propriedades da radiciação.
Exemplo 5: Resolva a expressão
Solução:
Assim como em uma expressão numérica, vamos começar a resolver essa expressão pelas raízes quadradas que estão dentro dos parênteses:
3
Como a raiz cúbica de 27 é 3, podemos concluir que o resultado da expressão  é 3.