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A Primer of ANALÍTICO Teoria dos Números
Esta introdução de graduação a teoria analítica dos números desenvolve habilidades analíticas no curso de um estudo de questões antigas sobre números poligonais, números perfeitos e pares amigáveis. A questão de como os números primos são distribuídos entre todos os inteiros é central na teoria analítica dos números. Esta distribuição é determinado pela função zeta de Riemann, e o trabalho de Riemann mostra como ele está ligado aos zeros de sua função e o significado da hipótese de Riemann.
A partir de um curso de cálculo tradicional e assumindo que não há análise complexa, o autor desenvolve as ideias básicas da teoria dos números elementar. O texto é complementado por uma série de exercícios para desenvolver ainda mais os conceitos e inclui breves esboços de ideias mais avançadas, para apresentar problemas de pesquisa contemporânea em um nível adequado para alunos de graduação. Além de provas, tanto rigorosa e heurística, o livro inclui gráficos extensos e mesas para fazer conceitos analíticos tão concreto quanto possível.
Jeffrey Stopple é Professor de Matemática da Universidade da Califórnia, Santa Barbara.
A Primer of ANALÍTICO
TEORIA DOS NÚMEROS
De Pitágoras de Riemann
JEFFREY Stopple
Universidade da Califórnia, Santa Barbara
  
Cambridge, Nova York, Melbourne, Madrid, Cidade do Cabo, Cingapura, São Paulo
Cambridge University Press
O Edifício Edimburgo, Cambridge  , Reino Unido
Publicado nos Estados Unidos da América pela Cambridge University Press, New York www.cambridge.org
As informações sobre este título: www.cambridge.org/ 9780521813099
© Jeffrey Stopple 2003
Este livro está em copyright. Sujeito a exceção legal e à prestação de acordos de licenciamento coletivos relevantes, nenhuma reprodução de qualquer parte pode ter lugar sem a permissão por escrito da Cambridge University Press.
Publicado pela primeira vez em formato de impressão 2003
-isbn-13 978-0-511-07316-8-book (EBL) 
-isbn-10 0-511-07316-X-book (EBL) 
-isbn-13 978-0-521-81309-9 hardback
-isbn-10 0-521-81309-3 hardback
-isbn-13 978-0-521-01253-9  brochura
-isbn-10 0-521-01253-8  brochura
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Este livro é dedicado a todos os ex-alunos que deixam me praticar sobre eles.
vii
Prefácio
Boa noite. Agora, eu não sou matemático, mas eu gostaria de falar sobre 
apenas um par de números que foram realmente incomodando
Laurie Anderson
teoria dos números é um assunto que é tão velho, ninguém pode dizer quando começou. Isso também faz com que seja difícil de descrever o que é. Mais ou menos, é o estudo das propriedades interessantes de inteiros. Claro, o que é interessante depende do seu gosto. Este é um livro sobre como análise se aplica ao estudo de números primos. Alguns outros objetivos são apresentar a rica história do sujeito e para enfatizar a pesquisa ativa que continua a ir em frente.
História. No estudo de triângulos rectângulos em geometria, um encontra triplos de números inteiros x, y, z, tais que x2 + y2 = z2. Por exemplo, 32 + 42 = 52. Estes são chamados de Pitágoras triplica, mas o seu estudo antecede mesmo Pitágoras. Na verdade, há uma tábua cuneiforme babilônico (designado Plimpton 322 nos arquivos da Universidade de Columbia) do bc século XIX que lista quinze muito grandes triplos de Pitágoras; por exemplo,
127092 135002 + = 185,412.
Os babilônios parecem ter conhecido o teorema que tais triplos podem ser gerados como
	X = 2st,	y = S2 - t2,	z = S2 + t2
Para inteiros s, t. Este, então, é o mais antigo teorema da matemática. 
e seus seguidores ficaram fascinados pelas propriedades místicas dos números, acreditando esses números constituem a natureza de todas as coisas. A escola pitagórica de a matemática também notou este exemplo interessante com somas de cubos:
43 + 33 + 53 = 216 = 63.
X
Este número, 216, é o Número geométrica em Republic.1 de Platão
A outra importante tradição na teoria dos números é baseado na Aritmética de Diofanto. Mais ou menos, seu tema foi o estudo de soluções inteiras de equações. A história de como o trabalho Diofanto foi perdido para o mundo ocidental por mais de mil anos é esboçado na Seção 12.2. O grande matemático francês Pierre de Fermat estava lendo comentários Diofante sobre o teorema de Pitágoras, mencionado acima, quando ele conjecturou que, para um expoente n> 2, a equação
xn+ Y = Zn
não tem soluções inteiros x, y, z (excepto a solução trivial quando um dos números inteiros é zero). Este foi chamado de “último teorema de Fermat”, embora ele não deu nenhuma prova; Fermat alegou que a margem do livro era pequeno demais para que caiba. Por mais de 350 anos, o Último Teorema de Fermat foi considerada a questão mais difícil aberto em matemática, até que foi resolvido por Andrew Wiles em 1994. Esta, então, é o mais recente grande avanço na matemática.
Eu incluí alguns temas históricos na teoria dos números que eu acho que são interessantes, e que se encaixam bem com o material que eu quero cobrir. Mas não é dentro de minhas habilidades para dar uma história completa do assunto. Tanto quanto possível, eu escolhi para deixar os jogadores falam por si, através de suas próprias palavras. Meu ponto em incluir este material é tentar transmitir a grande escala de tempo em que as pessoas têm considerado estas perguntas.
A tradição pitagórica da teoria dos números também foi a origem da numerologia e muito número misticismo que soa estranho hoje. É minha intenção nem a apoiar este ponto de vista místico, nem ridicularizá-lo, mas apenas para indicar como as pessoas pensavam sobre o assunto. O verdadeiro valor do assunto está na própria matemática, não o misticismo. Este é talvez o que Françoise Vi`ete significava em dedicar sua Introdução à arte analítica para seu patrono a princesa Catarina de Parthenay em 1591. Ele escreveu muito colorida:
O metal I produzida parece ser essa classe de outros ouro têm desejado por tanto tempo. Pode ser de ouro do alquimista e falso, ou cavada e verdadeiro. Se for de ouro do alquimista, então ele vai evaporar em uma nuvem de fumaça. Mas certamente é verdade, ... com muito trabalho alardeada tirado das minas, lugares inacessíveis, guardado por cuspidores de fogo dragões e serpentes nocivos ....
1 Se você assistir ao filme Pi perto, você vai ver que, além de = 3,14159 ..., o número 216 desempenha um papel importante, como um tributo aos pitagóricos. Aqui está outra pergunta trivia: O queteorema deste livro está no quadro-negro durante palestra Harvard de John Nash no filme Uma Mente Brilhante?
XI
Análise. Há muito poucos teoria número já livros. No entanto, todos eles cobrem mais ou menos os mesmos tópicos: as partes algébricas do assunto. Os livros que cobrem os aspectos analíticos fazê-lo a um nível demasiado elevado para a graduação típico. Isto é uma vergonha. Os estudantes têm a teoria dos números depois de alguns semestres de cálculo. Eles têm as ferramentas básicas para entender alguns conceitos da teoria analítica dos números, se eles são apresentados no nível certo. Os pré-requisitos para este livro são dois semestres de cálculo: diferenciação e integração. análise complexa, especificamente, não é necessária. Vamos com cuidado rever as idéias de cálculo; ao mesmo tempo, podemos introduzir uma análise mais sofisticada no contexto de aplicações específicas. Joseph-Louis Lagrange escreveu,
Eu considero completamente inútil a leitura de grandes tratados de análise pura: um número muito grande de métodos de passar de uma só vez diante dos olhos. É nas obras de aplicações que é preciso estudá-los; um julga sua capacidadelá e um apprises a maneira de fazer uso deles.
(Entre as áreas Lagrange contribuiu para são o estudo da equação de Pell, capítulo 11, bem como o estudo das formas quadráticas binárias, Capítulo 13.)
Este é um bom lugar para discutir o que constitui uma prova. Enquanto alguns podem chamá-lo de heresia, uma prova é um argumento que é convincente. É, portanto, depende do contexto, de quem está fazendo a prova e que está sendo convencido. Porque os livros avançados sobre este assunto já existem, tenho escolhido para enfatizar a legibilidade e simplicidade sobre rigor absoluto. Por exemplo, muitas provas requerem comparar uma soma de uma integral. Uma imagem sozinha muitas vezes é bastante convincente. Neste, parece Lagrange discordou, escrevendo no prefácio Mecanique Analytique'	,
[T] ele leitor encontrará há números neste trabalho. Os métodos que eu estabelecidos não necessitam ... raciocínios geométricas: mas apenas operações algébricas, sujeitos a uma regra regular e uniforme do procedimento.
Em alguns lugares, eu salientar que o argumento dado é sugestivo da verdade, mas tem detalhes importantes omitidos. Este é um trade-off que deve ser feita a fim de discutir, por exemplo, fórmula explícita de Riemann, a este nível.
Pesquisa. Além de ter as mais profundas raízes históricas de toda a matemática, teoria dos números é uma área ativa de pesquisa. O Clay Mathematics Institute anunciou recentemente sete milhões de dólares “Millennium Prize Problems”, ver http://www.claymath.org/prizeproblems/ dois da teoria número sete problemas preocupação, nomeadamente a hipótese de Riemann e a conjectura de Birch Swinnerton-Dyer. Infelizmente, sem
xii
introdução da análise, não se pode entender o que esses problemas são. Um par de anos atrás, a Academia Nacional de Ciências publicou um relatório sobre áreas thecurrentstateofmathematicalresearch.Twoofthethreeimportantresearch na teoria dos números que chamaram foram, mais uma vez, a hipótese de Riemann e as conjecturas Beilinson (a conjectura de Birch Swinnerton-Dyer é uma pequena parcela dos mesmos) .
Muito grosso modo, a hipótese de Riemann é uma conseqüência da tradição pitagórica na teoria dos números. Ele determina como os números primos são distribuídos entre todos os inteiros, levantando a possibilidade de que existe uma regularidade escondido em meio a aleatoriedade aparente. A questão fundamental passa a ser a localização dos zeros de uma determinada função, a função zeta de Riemann. Será que todos eles se encontram em uma linha reta? O terceiro meio do livro é dedicada ao significado deste. Na verdade, os matemáticos já identificaram a próxima pergunta interessante após a Hipótese de Riemann é resolvido. Qual é a distribuição do espaçamento dos zeros ao longo da linha, e qual é a conexão (aparente) com a mecânica quântica? Estas perguntas estão fora do escopo deste livro, mas consulte os artigos expositivos CIPRA, 1988; CIPRA, 1996; CIPRA, 1999;
A conjectura de Birch Swinnerton-Dyer é uma extensão natural de identidades séries infinitas belas e misteriosas, como
	1	1	1	1	1	1	21
+
4
+
9
+
16
+
25
+
36
+ = ···
6
,
1
1
-
1
3
+
1
5
-
1
7
+
1
9
-
1
11
+
1
13
- ··· =
4
.
Surpreendentemente, estes são ligados à tradição Diophantine da teoria dos números. A segunda identidade acima, a série de Gregory para / 4, está ligado a observações de Fermat que não nobre que é menos um do que um múltiplo de quatro (por exemplo, 3, 7 e 11) é uma hipotenusa de um triângulo rectângulo. E cada nobre que é um mais do que um múltiplo de quatro é uma hipotenusa, por exemplo 5 na (3,4,5) triângulo, 13 na (5,12,13), e 17 no (8,15, 17). O último terço do livro é dedicada ao significado aritmética de tais identidades séries infinitas.
Conselhos. ThePythagoreansdividedtheirfollowersintotwogroups.Onegroup, o, aprendeu completamente o assunto e entendeu toda a details.Fromthemcomes, ourword “matemático”, asyoucanseeforyourself se você sabe o alfabeto grego (mu, alfa, teta, eta, ...). O segundo grupo, o O	 o, Ou “acusmatics”, se manteve em silêncio e apenas memorizou as palavras do Mestre sem entendimento. O ponto que eu estou fazendo aqui é que se você quer ser um matemático, você tem que participar, e isso significa
xiii
fazer os exercícios. A maioria tem soluções na parte de trás, mas você deve pelo menos fazer uma tentativa séria antes de ler a solução. Muitas seções mais tarde no livro remeter para exercícios anteriores. Você vai, portanto, quer mantê-los em um caderno permanente. Os exercícios oferecem muitas oportunidades para fazer cálculos, que pode se tornar tedioso quando feito à mão. Calculadoras costuma fazer aritmética com números de ponto flutuante, e não inteiros. Você vai ter muito mais fora dos exercícios, se você tem um pacote de computador, como de bordo, Mathematica, ou PARI.
Maple é simples de usar e menos caro. No bordo, carregar o pacote teoria número utilizando o comando com (numtheory); comandos de bordo termina com um ponto e vírgula.
Mathematica tem mais recursos. Preste atenção à capitalização no Mathematica, e se nada parece estar a acontecer, é porque você pressionou a tecla “voltar” em vez de “Enter”.
Outro pacote de software possível você pode usar é chamado PARI. Unlikethe outros dois, que é especializado para fazer cálculos teoria dos números. É gratuito, mas não o mais fácil de usar. Você pode baixá-lo a partir http://www.parigp-home.de/
Para ver os filmes e ouvir os arquivos de som que eu criei no Mathematica no curso de escrever o livro, ou links para mais informações, ver a minha home page: http://www.math.ucsb.edu/~stopple/
Notação. A exp símbolo (x) significa o mesmo que ex. Neste livro, log (x) sempre significa logaritmo natural de x; você pode ser mais acostumados a ver ln (x). Se qualquer outra base dos logaritmos é utilizado, ele é especificado como log2 (x) ou log 10 (x). Para outras notações, consulte o índice.
Agradecimentos. Eu gostaria de agradecer a Jim Tattersall para obter informações sobre Gerbert, Zack Leibhaber para a tradução Vie`te, Lily Cockerill e David fazendeiro para a leitura do manuscrito, Kim Spears para o Capítulo 13, e Lynne Walling por seu apoio entusiástico.
Eu ainda não disse exatamente o número teoria-o objecto é. Após um Ph.D. e quinze mais anos de estudo, eu acho que estou apenas começando a descobrir sozinho.
Prefácio
Prefácio
Capítulo 1 somas e diferenças
Eu conheci um viajante de uma terra antiga
Quem disse: Duas pernas sem corpo e imensas de pedra pé no deserto. Perto deles, na areia, Meio afundada, um rosto quebrado reside. . .
Percy Bysshe Shelley
1.1. Números poligonais
A palavra gnomon grego significa o ponteiro sobre um relógio de sol, e também quadrado de um carpinteiro ou bar em forma de L. Os pitagóricos, que inventaram o assunto de números poligonais, também usou a palavra para se referir a números inteiros consecutivos ímpares: 1, 3, 5, 7, .... definição de gnomon do O Dicionário de Inglês Oxford oferece a seguinte citação, a partir do Histórico de Thomas Stanley a filosofia de em 1687 (Stanley, 1978):
Os números ímpares chamaram gnômons, porque sendo adicionado para quadrados, eles mantêm as mesmas Figuras; assim gnômons fazer em Geometria.
Em termos mais matemáticos, eles observaram que n2 é a soma dos primeiros n consecutivos estranho inteiros:
1 = 12,
1 + 3 = 22,
1 + 3 + 5 = 32,
1 + 3 + 5 + 7 = 42,
...
A Figura 1.1 mostra uma prova geométrica deste fato; observar que cada quadrado é constructedbyaddinganoddnumber (theblackdots) totheprecedingsquare.
Estes são os gnômons a cotação se refere.
1
Figura 1.1. A prova geométrica do teorema gnomon.
Mas antes de chegarmos a praças, precisamos considerar triângulos. Os números triangulares, TN, são o número de círculos (ou pontos, ou qualquer outro) em uma matriz triangular com n linhas (ver figura 1.2).
Uma vez que cada linha tem um a mais que a linha acima dele, vemos que
tn= 1 + 2 + ··· + n - 1 + n.
Amorecompactwayofwritingthis, withouttheellipsis, istousethenotação “Sigma”,
n tn k.
k= 1
TheGreekletterdenotesasum; thetermsinthesumareindexedbyintegers entre 1 e n, genericamente indicadas k. E a coisa que está sendo resumido é o inteiro k em si (em oposição a alguma função mais complicada do k.)
Claro, temos o mesmo número de círculos (ou pontos) não importa como nós organizá-los. Em particular, podemos fazer triângulos retângulos. Isto leva a uma prova inteligente de uma “forma fechada” expressão para tn, isto é, aquele que não necessita fazer a soma. Tome duas cópias do triângulo para tn, um com círculos e um com pontos. Eles se encaixam para formar um rectângulo, como na Figura 1.3. Observe-se que o rectângulo de duas cópias de TN na Figura 1.3 tem n + 1 linhas e n colunas, de modo 2TN = n (n + 1), ou
n(N + 1)
	1 + 2 + ··· + n = tn =.	(1,1)
2
Thisissuchanicefactthat, wewillproveittwomoretimes.Thenextproof é mais algébrica e tem uma história. A história é que Gauss, como um jovem estudante, foi definida a tarefa de adicionar em conjunto os primeiros cem inteiros por seu professor, com a esperança de mantê-lo ocupado e quieto por um tempo. Gauss imediatamente camebackwiththeanswer5050 = 100 · 101/2, becausehesawthefollowing
Figura 1.2. Os números são triangulares t1 = 1, t 2 = 3, t3 = 6, T4 = 10, ....
Figura 1.3. 2T1 = 2 · 1, 2T2 = 3 · 2, 2T3 = 4 · 3, 2t4 = 5 · 4, ....
truque, o que funciona para qualquer n. Escrever a soma definir TN duas vezes, uma para a frente e depois para trás:
1+ 2+ ··· + n - 1 + n, n + n - 1+ ··· + 2 1.
Agora, adicione verticalmente; cada par de termos somas para n + 1, e existem n termos, de modo 2TN = n (n + 1) ou tn = n (n + 1) / 2.
A terceira prova usa indução matemática. Este é um método de prova de que funciona quando há uma infinidade de teoremas para provar, por exemplo, um teorema para cada inteiro n. O primeiro caso de n = 1 deve ser comprovada e, em seguida, que tem que ser mostrado que cada um dos casos se segue a partir do anterior. Pense em uma fila de dominós em pé na borda. O n = 1 caso é análogo ao bater sobre a primeira dominó. O passo indutivo, mostrando que caso n - 1 implica caso n, é análogo a cada dominó bater sobre a seguinte na linha. Vamos dar uma prova da fórmula tn = n (n + 1) / 2 por indução. O n = 1 caso é fácil. A Figura 1.2 mostra que T1 = 1, o que é igual a (1 · 2) / 2. Agora vamos supor que o teorema já é feito no caso do n - 1; ou seja, podemos supor que
	=	(N - 1) n
	tn-1	1 + 2 + ··· + n - 1 =	2	.
assim
TNN
(N + 1) n
.
2
Já mencionamos os números quadrados, sn. Estes são apenas o número de pontos em uma matriz quadrada com n linhas e n colunas. Isso é facil; A fórmula é sn = n2. No entanto, os números quadrados, sn, são mais interessantes do que se poderia pensar. Por exemplo, é fácil ver que a soma de dois números triangulares consecutivos é um número quadrado:
	tn-1 + tn = sn.	(1,2)
A Figura 1.4 mostra uma prova geométrica.
Figura 1.4. prova geométrica da Eq. (1,2).
Também é fácil dar uma prova algébrica deste mesmo fato:
tn n2 = sn.
Figura 1.1 parece indicar que podemos dar uma prova indutiva da identidade
	1 + 3 + 5 + ··· + (2n - 1) = n2.	(1,3)
Para a n = 1 caso só temos de observar que 1 = 12. E nós temos que mostrar que o n - caso 1ª implica o caso enésimo. Mas
.
Então, pela hipótese de indução, ele simplifica a
(N - 1) 2 + 2n - 1
= N2 - 2n + 1 + 2n - 1 = n2.
Exercício 1.1.1. Como sabemos que tn-1 + tn = sn e que 1 + 3 + ··· +
(2n - 1) = sn, é certamente verdade que
1 + 3 + ··· + (2n - 1) = tn-tn + 1.
Dar uma prova geométrica dessa identidade. Ou seja, encontrar uma maneira de organizar os dois triângulos para tn-1 e tn para que você ver uma série de pontos em que as linhas todos têm um número ímpar de pontos.
Exercício 1.1.2. Dê uma prova algébrica da identidade de Plutarco
8TN + 1 = + 1 s2n
usando as fórmulas para números triangulares e quadrados. Agora dar uma prova geométrica desta mesma identidade, organizando oito cópias do triângulo para tn, mais um ponto extra, em um quadrado.
2	1. somas e diferenças
	1.1 número poligonal	3
Exercício 1.1.3. Quais os números triangular também são quadrados? Ou seja, que condições de m e n vai garantir que tn = sm? Mostrar que, se isso acontecer, então temos
(2n + 1) 2 - 8m2 = 1,
uma solução para a equação de Pell, que vamos estudar com mais detalhes no Capítulo 11.
A filosofia dos pitagóricos teve uma enorme influência sobre o desenvolvimento da teoria dos números, por isso, um breve desvio histórico está em ordem.
Pitágoras de Samos (560-480 aC). Pitágoras viajou muito no Egito e na Babilônia, tornando-se familiarizado com suas matemática. Jâmblico de Chalcis, em seu Sobre a Vida de Pitágoras (Iamblichus, 1989), escreveu sobre jornada de Pitágoras para o Egito:
De lá, ele visitou todos os santuários, fazendo investigações detalhadas com o máximo zelo. Os sacerdotes e profetas que ele conheceu reagiram com admiração e carinho, e ele aprendeu com eles mais diligentemente tudo o que tinham para ensinar. Ele negligenciou nenhuma doutrina valorizado no seu tempo, nenhum homem conhecido pela compreensão, nenhum rito honrado em qualquer região, nenhum lugar onde esperava encontrar alguma maravilha .... Ele passou vinte e dois anos nos lugares sagrados do Egito, estudando astronomia e geometria e sendo iniciada ... em todos os ritos dos deuses, até que ele foi capturado pela expedição de Cambises e levado para a Babilônia. Lá, ele passou um tempo com os Magos, a sua alegria mútua, aprendendo o que era santo entre eles, a aquisição de conhecimento aperfeiçoado da adoração dos deuses e alcançar as alturas de sua matemática e música e outras disciplinas.
(Cambises, aliás, foi um imperador persa que invadiu e conquistou o Egito em 525 aC, terminando a vigésima quinta dinastia. De acordo com Heródoto em As Histórias, Cambises fez muitas coisas repreensíveis contra a religião e os costumes do Egito e, eventualmente, ficou louco.)
A filosofia de Pitágoras era que a essência de todas as coisas são números. Aristóteles escreveu em Metafísica que
[T] hey pensei que eles encontrados em números, mais do que em fogo, terra ou água, muitas semelhanças com as coisas que são e tornar-se .... Desde então, todas as outras coisas pareciam em toda a sua natureza de ser assimilada a números, enquanto os números pareciam ser as primeiras coisas em toda a natureza, pensaram os elementos de números a ser os elementos de todas as coisas, e todo o céu para ser uma escala musical e um número.
harmonias musicais, os lados de triângulos retângulos, e as órbitas de planetas diferentes poderiam ser descritas por proporções. Isso levou a especulações místicas sobre as propriedades dos números especiais. Em astronomia os pitagóricos tinham o conceito de “grande ano.” Se as razões dos períodos dos planetas
Figura 1.5. O número tetraédrico T1 = 1, T2 = 4, T3 = 10, T4 = 20, ....
são inteiros, em seguida, depois de um certo número de anos (na verdade, o mínimo múltiplo comum dos rácios), os planetas vai voltar a exatamente as mesmas posições novamente. E desde que a astrologia diz que as posições dos planetas determinar eventos, de acordo com Eudemus,
... então eu ficarei aqui novamente com este ponteiro na minha mão e dizer-lhe coisas tão estranhas.
Os números tetraédricos, TN, são análogos tridimensionais das triangularnumbers, tn.Theygivethenumberofobjectsinatetrahedralpyramid, isto é, uma pirâmide com uma base triangular, como na Figura 1.5.
A camada de ordem k da pirâmide é um triângulo com objectos tk em que; assim, por definição,
n
	Tn.	(1,4)
k= 1
Aqui, usamos a notação Sigma para indicar que o termo k na soma é o enésimo triangular número, tk.
Qual é o padrão na seqüência dos primeiros números tetraédricos: 1,4,10,20, ...? Qual é a fórmula para Tn para n geral? É possível dar uma prova geométrica tridimensional que Tn = n (n + 1) (n + 2) / 6. Ela ajuda a usar cubos em vez de esferas. Primeiro mudar os cubos para que eles alinhar um acima do outro, como fizemos em duas dimensões. Então tenta visualizar seiscópias dos cubos, que compõem Tn encher-se uma caixa com dimensões n por n + 1 n + por 2. Isto seria um análogo tridimensional da Figura 1.3.
Ifthismakesyourheadhurt, wewillgiveanotherproofthatislongerbutnot de modo tridimensional. Na verdade que possa ver a explicação a seguir como um análogo bidimensional de uma prova dimensional Gauss que tn = n (n + 1) / 2.
Faremos isso no caso de n = 5 para concretude. De Eq. (1.4) que deseja somar todos os números em um triângulo:
A linha k é o número triangular tk. Tomamos três cópias do triângulo, cada uma girada por 120◦:
Os triângulos rearranjadas ainda tem a mesma soma. Este é o análogo de Gauss tomar uma segunda cópia da soma de tn escritos para trás. Observe que, se somarmos os triângulos de esquerda e centro juntos, em cada linha das somas são constantes:
Na linha k, todas as entradas são k + 1, assim como Gauss encontrados. No terceiro triângulo, todas as entradas na linha k são as mesmas; eles são iguais a n - k + 1 e k + 1 + n - k + 1 n + 2.
+	5	=	7
+ 3	+	4 + 4	=	7 + 7
+ 4 + 4	+	3 + 3 + 3	=	7 + 7 + 7
+ 5 + 5 + 5	+	2 + 2 + 2 + 2	=	7 + 7 + 7 + 7
+ 6 + 6 + 6 + 6	+	1 + 1 + 1 + 1 + 1	=	7 + 7 + 7 + 7 + 7
Ficamos com um triângulo com números tn em que, cada um dos quais é igual a n + 2. Então,
3TN = tn (n + 2) = n (n + 1) (n + 2) / 2,
Figura 1.6. Os números piramidais P1 = 1, P2 = 5, P3 = 14, P4 30, = ....
e, por conseguinte,
	Tn= N (n + 1) (n + 2) / 6.	(1,5)
Exercício 1.1.4. Use indução matemática para dar mais uma prova da Eq. (1,5), com Tn definido pela Eq. (1,4).
Os números piramidais, Pn, dar o número de objectos de uma pirâmide com uma base quadrada, como na Figura 1.6. A camada de ordem k da pirâmide é um quadrado com objectos sk = K2 em que; assim, por definição,
n
Pnk2.
Sinceweknowarelationshipbetweensquarenumbersandtriangularnumbers, podemos obter uma fórmula para Pn em termos da fórmula para Tn, como segue. De Eq. (1.2) que tem tk + 1 = tk-K2 para todo k. Isso funciona mesmo para k = 1 se definirmos T0 = 0, o que faz sentido. Assim,
	n	n
Pn
	k= 1	k= 1
	n	n
	-	- .
	k= 1	k= 1
De acordo com a Eq. (1,5) este é apenas
Pn
as fórmulas
	1 + 2 + ··· + n = n (n + 1) / 2,	(1,6)
+ 22 + ··· + n2 = n (n + 1) (2m + 1) / 6	(1,7)
são bonitos. podemos generalizar-los? Existe uma fórmula para somas de cubos? De fato, há, devido a Nicômaco de Gerasa. Nicômaco observado o padrão interessante em somas de números ímpares:
	1	= 13,
	3 + 5	= 23,
	7 + 9 + 11	= 33,
15 17 + 19	= 43,
	21 + 23 25 + 27 + 29	= 53,
	...	...
	.	.
Isto parece indicar que a soma cubos consecutivos será o mesmo que soma números ímpares consecutivos.
1 + 3 + 5 + 13 = 23, + 3 + 1 5 + 7 + 9 + 11 = 13 + 23 + 33,
...
.
Mas quantos números ímpares que precisamos tomar? Note-se que 5 é o terceiro número ímpar, e t2 = 3. De modo semelhante, 11 é o sexto número ímpar, e t3 = 6. Nós supomos que o padrão é que a soma dos primeiros n cubos é a soma do primeiro tn estranho números. Agora Eq. (1.3) se aplica e esta soma é apenas (tn) 2. De Eq. (1,1) isto é (n (n + 1) / 2) 2. Assim, parece como se
	13 + 23 + ··· + n3 n2 = (n + 1) 2/4.	(1,8)
Mas o argumento anterior foi principalmente inspirada adivinhar, então uma prova cuidadosa por indução é uma boa idéia. O caso de base n = 1 é fácil, porque 13 = 12 · 22/4. Agora, podemos assumir que o n - 1 caso
13 + 23 + ··· + (n - 1) 3 = (N - 1) 2n2 / 4
Tabela 1.1. Outra prova de identidade Nicômaco
	1
	2
	3
	4
	5
	...
	2
	4
	6
	8
	10
	...
	3
	6
	9
	12
	15
	...
	4
	8
	12
	16
	20
	...
	5
	10
	15
	20
	25
	...
	...
	...
	...
	...
	...
	
é verdade e usá-lo para provar o próximo caso. Mas
13 + 23 + ··· + (n - 1) 3 + n3
= {13 + 23 + ··· + (n - 1) 3} + n3
(N - 1) 2n2 + 3
n =
4
pela hipótese de indução. Agora, coloque os dois termos sobre o denominador comum e simplificar para obter n2 (n + 1) 2/4.
Exercício 1.1.5. Aqui está mais uma prova de que
	13 + 23 + 33 + ··· + n3 n2 = (n + 1) 2/4,	(1,9)
withthedetailstobefilledin.Theentriesofthemultiplicationtableareshown na Tabela 1.1. Cada um dos lados da equação pode ser interpretada como uma soma de todas as entradas na tabela. Para o lado esquerdo da Eq. (1.9), de forma “gnômons”, a partir do canto superior esquerdo. Por exemplo, o segundo é um 2,4,2. O terceiro é 3,6,9,6,3, e assim por diante.
Whatseemstobethepatternwhenyouaddupthetermsinthekthgnomon? Para provar sua conjectura, considere as seguintes perguntas:
Qual é o fator comum de todos os termos do gnomon k?
Se você fator isso, você pode escrever o que resta em termos de números triangulares?
você pode escrever o que resta em termos de praças?
Combinar essas idéias para provar a conjectura de que você fez.
O lado direito da Eq. (1.9) é TN2. Por que é a soma das entradas n2 nas primeiras n linhas e n colunas igual ao tn · tn?
	1.1 número poligonal	5
6	1. somas e diferenças
	1.1 número poligonal	5
1.2. O cálculo Finite
Os resultados nas seções anteriores são bonitas, mas algumas das provas são quase demasiado inteligente. Nesta seção vamos ver alguma estrutura que simplifica as coisas. Isto irá construir sobre as habilidades que você já tem de estudar cálculo.
Por exemplo, se queremos ir além dos números triangulares e praças, o próximo passo é números pentagonais. Mas as imagens são difíceis de desenhar por causa da simetria quíntupla do pentágono. Em vez disso, considere o que temos feito até agora:
	n:
	1
	2
	3
	4
	5
	...,
	tn:
	1
	3
	6
	10
	15
	...,
	sn:
	1
	4
	9
	16
	25
	....
Em cada linha, considerar as diferenças entre períodos consecutivos:
	(N + 1) - n:
	1
	1
	1
	1
	1
	...,
	tn+1 - tn:
	2
	3
	4
	5
	6
	...,
	sn+1 - sn:
	3
	5
	7
	9
	11
	....
Não há nada novo aqui; na terceira fila, estamos apenas vendo que cada quadrado é formado pela adição de um número ímpar (gnomon) ao quadrado anterior. Se agora calcular as diferenças novamente, vemos
0	0	0	0	...,
1	1	1	1	..., 2	2	2	2	2	....
Em cada caso, as segundas diferenças são constantes, e as constantes aumenta por um em cada linha.
Por razões de conveniência iremos apresentar o operador diferença, em funções f (n), o que dá uma nova função, f (n), definida como f (n + 1) - f (n). Este é um análogo do derivado. Podemos fazer isso de novo,
,
em analogia com o segundo derivado. Pense nos números triangulares e números quadrados como funções e não sequências. Assim,
s(N) = n2,
s(N) = (n + 1) 2 - n2
= N2 + 2n + 1 - n2 = 2n + 1,
2
 s (n) = (2 (n + 1) + 1) - (2n + 1) = 2.
Com base no padrão de segundas diferenças, espera-se que os números pentagonais, p (n), devem satisfazer dois p (n) = 3 para todos os n. Isto significa que p (n) = 3n + C durante alguns constante C, desde
(3n + C) = (3 (n + 1) + C) - (3n + C) = 3.
E quanto p (n) em si? Para corresponder ao termo + C, é necessário um termo, Cn + D por alguma outra D constante, desde
(Cn + D) = (C (n + 1) + D) - (Cn + D) = C.
Nós também precisamos de um termo cuja diferença é 3N. Nós já observado que, para os números triangulares, t (n) = n + 1. Assim, t (n - 1) = N e (3t (n - 1)) =
3N. Assim,
p(N) = 3t (n - 1) + Cn + D = 3 (n - 1) n / 2 + Cn + D
para algumas constantes C e D. Esperamos p (1) = 1 e p (2) = 5, porque eles são números pentagonais; assim, ligar, obtemos
0 + C + D = 1, 3 + 2C + D = 5.
Resolvendo, temos que C = 1 e D = 0, portanto,
p(N) = 3 (n - 1) n / 2 + N = N (3n - 1) / 2.
	Este parece ser correto, uma vez que dá
	
	
	
		p(N):	1	5	12
	22
	35
	...,
		p(N):	4	7	10
	13
	16
	...,
		2 p(N):	3	3	3
	3
	3
	....
Exercício 1.2.1. Imitar este argumento para obter uma fórmula para os números hexagonais, h (n).
O operador de diferença,, tem muitas semelhanças com o derivado de d / dx em cálculo. Nós já usamos o fato de que
	(F + g) (n) = f )	e	
em analogia com as regras correspondentes para derivados. Mas as regras não são exatamente o mesmo, uma vez
d	2	2 X = 2x	mas	n = 2n + 1, 2n não.
dx
Que funções desempenha o papel dos poderes xm?Ele acaba por ser os poderes fatoriais
n.m
=
n
(
n
-
1) (
n
-
2)
···
(
n
-
(
m
-
1))
m inteiros consecutivos
Um produto vazio é 1, por convenção, assim
n0 = 1,	n1 = N,	n2 = N (n - 1),	n3 = N (n - 1) (n - 2), ....	(1,10)
Observe aquilo
.
A última m - 1 fatores no primeiro termo e o primeiro m - 1 fatores no segundo termo são ambos iguais a nm-1. Então nós temos
 nm-1
O que sobre os poderes negativos? De Eq. (1.10), vemos que
2 n3 1 n2 0 n1 n = -, n =-, n =-. N 2 N 1 N 0
Faz sentido para definir os poderes negativos de modo que o padrão continua:
n0	1 n, N - -1	n + 1
1
n, N - -2	(n + 1) (n + 2)
2
n, N - -3 (n + 1) (n + 2) (n + 3)
....
Pode-se mostrar que para qualquer m, positivo ou negativo,
	.	(1,11)
Exercício 1.2.2. Verificar este, no caso de m = -2. Ou seja, mostram que
.
Os poderes fatoriais combinam de uma forma que é um pouco mais complicado do que poderes ordinários. Em vez de xm + k = xm · xk, temos que
	nm+k = Nm (nm) k	para todos m, k.	(1,12)
Exercício 1.2.3. Verificar este para m = 2 e k = -3. Ou seja, mostrar que n
n.
O operador de diferença, como é o derivado de d / dx, e assim pode-se perguntar sobre a operação que desfaz a forma de uma primitiva desfaz um derivado. Esta operação é indicado:
	f (N) = f (n),	Se f (n) é uma função com F (n) = f (n).
Não pode ser confundido com o símbolo; não estamos computando quaisquer quantias. f (n) indica a uma função, não é um número. Como no cálculo, não é mais do que uma escolha possível para f (n). Podemos acrescentar uma constante C para F (n), porque (C) = C - C = 0. Assim como no cálculo, a regra (1.11) implica que
nm+1
nC	Formato.	(1.13) M + 1
Exercício 1.2.4. Nós já estavam desfazendo o operador de diferença em encontrar números pentagonais e hexagonais. Generalizar isso para números poligonais com lados, para qualquer um. Ou seja, encontrar uma fórmula para uma função f (n) com
	2 f (N) = a - 2,	com F (1) = 1 e f (2) = a.
No cálculo, o ponto de antiderivatives é calcular integrais definidas. Geometricamente, esta é a área sob as curvas. O teorema fundamental do Cálculo diz que se
b
	FDX,	thenf (x) dx = F (b) - F (a).
uma
Vamos pensar sobre isso com mais cuidado em Interlude 1, mas por agora o ponto importante é o análogo finito. Nós podemos usar o operador em funções para calcular somas reais.
Teorema (teorema fundamental do Cálculo Finite, Parte I). E se
	f (N) = f (n),	então	.
uma≤n <b
Prova. A hipótese f (n) = F (n) é apenas outra maneira de dizer que f (n) =
F(N). A soma da esquerda é
 (B - 2) + f (b - 1)
uma≤n <b
Note-se que não importa qual a escolha da constante C nós escolhemos, porque (F (b) + C) - (f (A) + C) = F (b) - F (a).
Como uma aplicação, podemos usar o fato de que n para dizer aquilo
.
Esta é a fórmula (1.6) para os números triangulares.
Aqui está outro exemplo. Porque
n1 + N2 = n + n (n - 1) = n2,
Nós podemos dizer que
	n2	n3
n.
Assim,
0≤k
.
6 Este é apenas Eq. (1,7) de novo.=
n
(
n
+
1) (2
n
+
1)
Exercício 1.2.5. Primeiro, verifique se
n1 + 3N2 + n3 = n3.
Agora usar este fato para encontrar fórmulas para
.
Sua resposta deve concordar com a fórmula (1.8).
Na verdade, pode-se fazer isso para qualquer expoente m. Veremos que existem inteiros números chamados Stirling, , Que permitem que você escreva poderes ordinários em termos de poderes fatoriais:
m
	nm.	(1,14)
k= 0
No exemplo anterior, vimos que
.
Na primeira parte do exercício 1.2.5, você verificou que
.
Exercício 1.2.6. Use os números Stirling
para mostrar que
	14 + 24 + ··· + 4 = n (n + 1) (2m + 1) (3N2 + 3n - 1) / 30.	(1,15)
Os números Stirling são mais ou menos como os coeficientes binomial . coeficiente binomial são encontrados no triângulo de Pascal, que você provavelmente já viu:
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1 Thefirstandlastentryineachrowisalways1; therestarecomputedbyadding os dois coeficiente binomial em ambos os lados na linha anterior. Suponha que fazer um triângulo semelhante para os números Stirling. O número Stirling é a entrada k na linha m aqui:
1
	1	1
	1	3	1
	1	7	6	1
1 15 25 10 1
Exercício 1.2.7. Tente encontrar o padrão nesse triângulo, semelhante ao Pascal. Aqui vai uma dica, mas não lê-lo a menos que você está realmente preso. A 3 é calculado a partir do 1 e a segunda entrada, também um 1, acima dela. O 7 é calculado a partir do 1 e a segunda entrada, um 3, acima dela. O 6 é calculado a partir da 3 e a terceira entrada, um 1, acima dela. Qual é o padrão? Preencher a próxima linha do triângulo de Stirling.
Na verdade, se fizermos isso um pouco mais preciso, podemos provar o teorema de agora. Primeiro, porém, precisamos definir
	,	se m = 0,
	e,	se k> m ou k <0.
	,	Se m> 0,
Teorema. Se agora definir os números Stirling pela recursão você descobriu, isto é,
,
em seguida, Eq. (1,14) é verdadeiro.
Note que mudaram nosso ponto de vista; a recursividade é agora a definição e a propriedade (1.14) que está interessado é um teorema. Isto é perfeitamente legal, desde que deixar claro que é o que está acontecendo. Você pode ter indexado coisas um pouco diferente; certificar-se de sua recursividade é equivalente a esta.
Prova. Podemos provar Eq. (1.14) por indução. O caso de m = 1 já está feito. A partir das condições de contorno (k> m ou k <0) definida anteriormente, podemos escrever (1,14) mais facilmente como uma soma sobre todos os k:
nm.
k
Os termos extras são 0. Para o passo indutivo, podemos assumir que
nmnk
k
a fim de provar (1,14). Mas
nk
	k	k
pelo recursão para números de Stirling. Portanto,
.
	k	k	k
Precisamos perceber que a Eq. (1.12) implica NK + 1 = n · nk - k · NK,
de modo a
k.
Ligue este para ver que
.
	k	k	k	k
As duas últimas somas cancelar; eles são secretamente igual desde que o poder factorial é sempre um a mais que o parâmetro mais baixo no número Stirling. Assim,
nm
	k	k
pela hipótese de indução.	
Exercício 1.2.8. Você já sabe o suficiente para calcular somas de qualquer poder mth em forma fechada. Mostre que
	15 + 25 + ··· + n5 = (2n2 + 2n - 1) (n + 1) 2n2 / 12.	(1,16)
Você pode descobrir mais sobre os números Stirling em Graham, Knuth, e Patashnik de 1994.
Tal como acontece com os números poligonais, uma vez que temos uma expressão de forma fechada, parece haver nada a dizer. Mas note que a regra (1,13) falha um caso. Não há poder factorial cuja diferença é n-1. Em outras palavras, n-1 não é um poder factorial. (Este é o análogo finito do fato de cálculo que não tem poder de x tem derivado de 1 / x.) Assim, fazemos uma definição em vez disso, que define o número de harmónicas de ordem n para ser
	Hn.	(1,17)
1≤k≤n
Observe que depois de mudar a variável ligeiramente, também podemos escrever
1
k
+
1
Hn=.
0≤k <N
O que é Hn? calculamos
Hn
1=
1
n
+
1
=
n
-
.
Assim, os números harmônicas são o analógico finito de logaritmos em que
Hn
é verdade. números harmônicos são interessantes, como mostrado na Eq. (1.17), que fornece uma generalização das fórmulas (1.6), (1.7), (1.8), (1.15), e (1,16). Em certo sentido, eles são ainda mais interessante, porque não existe uma expressão de forma fechada para eles como para as fórmulas mencionadas anteriormente.
Na verdade, podemos fazer esse mesmo procedimento para qualquer f (n), e não apenas n.
Teorema (Teorema Fundamental de Cálculo finitos, Parte II). Se uma nova função F(N) é definida pela
	F	para alguns	f (N),
0≤k <N
então
	F(N) = f (n),	assim	F.
Prova. Esta prova é exatamente o mesmo que a prova para os números harmônica.	
Exercício 1.2.9. Suponhamos que f (n) = 2n (expoente comum, não factorial). Mostre que f (n) = f (n) e F (0) = 1. Qual a função no cálculo estamos imitando? Use o Teorema Fundamental, Parte I, para mostrar que
.
Exercício 1.2.10. Mais geralmente, suponhamos que f (n) = x. Aqui x = 1 é uma constante, e n ainda é a variável. Mostram que f (n) = (x - 1) f (n), e, por conseguinte, f (n) = f (n) / (x - 1). Use isso para mostrar que
1
0
≤
k
<
n
+
1
X
k
=
X
n
+
1
-
X
-
1+
	2	n
1x + x + x + ··· =.
Essa soma é chamada de série geométrica.
Exercício 1.2.11. O papiro de Rhind é o mais antigo documento matemático conhecido: 14 folhas de papiro da dinastia XV, ou cerca de 1700 aC Problema 79 diz: “Há sete casas. Cada casa tem sete gatos. Cada gato pega sete ratinhos. Cada rato come sete espigas de espelta [um grão relacionadas com trigo]. Cada orelha de espelta produz sete hekats [uma medida granel]. Qual é o total de todos estes?”Use a série geométrica para responder a esta, a mais antiga conhecida quebra-cabeça matemático.
Archimedes, também, sabia da série geométrica.
Arquimedes (287-212 aC). Arquimedes é mais conhecida por seus belos teoremas na área e volume da geometria do que por seu trabalho em teoria dos números. No entanto, a série geométrica e outras séries, como veremos, são vitais na teoria dos números. Archimedes usou a série geométrica em seu trabalho Quadratura da parábola. Ele aproximou a área abaixo uma parábola usando um conjunto de triângulos congruentes. A soma das áreas foi uma série geométrica. obras de Arquimedes não foram amplamente estudados até que os bizantinos escreveu comentários no século VI dC Thabit ibn Qurra escreveu comentários no século IX. A partir desses textos, o trabalho de Arquimedes ficou conhecido no oeste. Nicole Oresme cotado a duração de Arquimedes, assim como Leonardo de Pisa.
Contas de sua morte por Tito Lívio, Plutarco, e outros, todos mais ou menos concordam que ele foi morto por um soldado romano no saque de Siracusa (na Sicília), em 212 aC, enquanto ele estava fazendo um pouco de matemática. Sua sepultura foi marcado por um cilindro circunscrevendo uma esfera, para comemorar seu teorema em geometria sólido: que a proporção dos volumes é de 3: 2. Cicero, como Questor da Sicília, em 75 aC, descreveu sua busca para o site (Cícero, 1928):
Ishallcallupfromthedustonwhichhedrewhisfiguresanobscure, insignificantperson, Arquimedes. Eu segui a sua sepultura. . . e achei fechado todo e coberto com sarças e matas .... eu notei uma pequena coluna subindo um pouco acima dos arbustos, sobre a qual havia uma figura de uma esfera e um cilindro .... Os escravos foram enviados com foices e quando uma passagem para o local foi inaugurado nos aproximávamos do pedestal; o epigrama foi rastreado com cerca de metade das linhas legíveis, como a última porção foi desgastada.
Cicero passa a acrescentar,
Que em todo o mundo, que gosta apenas algum grau de comunhão com as Musas, ... é lá que não iria escolher para ser o matemático, em vez do tirano?
O truque mais útil no cálculo para encontrar antiderivatives é “substituição u”. Isto não se traduz muito bem para cálculo finito, exceto para mudanças muito simples de variáveis ​​que envolvem a tradução. Isto é, se f (k) = g (k) e a é uma constante qualquer, em seguida, (f (k + a)) = g (K + A).
Exercício 1.2.12. Utilize este eo fato de que 2 (k/ Tk para encontrar a soma dos recíprocos dos primeiros n triangulares números
.
	t1	t2	tn
você pode calcular
,
	T1	T2	Tn
a soma dos recíprocos dos primeiros n tetraédricos números?
Para o fim deste livro, vamos precisar de mais uma ferramenta com base nesta analógico finito de cálculo. Se você está apenas casualmente desnatação, você pode pular o resto deste capítulo. No cálculo, um outro método útil de antiderivatives achado é a integração por partes. Esta é exatamente a mesma coisa que a regra do produto para os derivados, apenas escrito em notação primitiva. Ou seja, se você tem funções u (x) e V (x), então
;
assim,
você.
Se tomarmos antiderivatives de ambos os lados da equação e usar o fato de que
), Nós temos
.
Se suprimirmos menção da variável x e usar as abreviaturas u du e v dv, então esta é a fórmula para a integração por partes que você conhece e amor (ou pelo menos saber):
.
Para um análogo finitos, parece que deve começar por aplicar o operador de diferença, a um produto de duas funções, por um análogo da regra do produto. Isto dá
(U (n) v (n)) = u (n + 1) y (n + 1) - u (n) v (n).
Podemos somar e subtrair um termo u (n) v (n + 1) para obter
Isso não é exatamente o que você poderia esperar. A função v é deslocado por um modo que v (n + 1) aparece. Iremos designar este operador de deslocamento sobre as funções por E, portanto E f (n) = f (n + 1). Em seguida, a regra do produto neste cenário diz
 v
quando a variável n é suprimida. Como na derivação da fórmula de integração-byparts, nós reorganizar os termos de dizer
você Ev.
Aplicando o operador, que desfaz, temos que
.
Essa identidade é chamado somatório por partes. Lembre-se que até agora é apenas uma identidade entre funções.
Suponha que nós queremos usar Somatório por Peças para computar
.
0≤k <N
Primeiro, precisamos encontrar a função (k1Hk). Seja u (k) = Hk, de modo u. então k), De modo que pode escolher v (k) = k2 / 2. Somatório de Peças diz que
(K1Hk) .
Agora K2 / 2 = k (k - 1) / 2, portanto E (K2 / 2) = (k + 1) K / 2, e, em seguida, Eé igual a k / 2 = k 1/2. Portanto,
	1	k2	k1
k Hk
=
H
k
·
k
2
2
-
k
2
4
=
k
2
2
H
k
-
1
2
	
.
Lembre-se, este é apenas dizer que
 k1hk.
Agora, o Teorema Fundamental, Parte I, diz que
.
2=
n
2
H
n
-
1
2
	
Exercício 1.2.13. Use Somatório por partes e do Teorema Fundamental para computarn hk. (Dica: Você pode escrever Hk = Hk · 1 = Hk · k0.) A sua resposta terá números harmônicas nele, é claro.
Exercício 1.2.14. Use Somatório por partes e do Teorema Fundamental para computar	. (Dica: Você precisa a primeira parte do exercício 1.2.9.)
	1.2 O cálculo Finitos	11
6	1. somas e diferenças
	1.2 O cálculo Finitos	11
Capítulo 2 Produtos e divisibilidade
Eu sou um que se torna dois
Estou dois que se torna quatro
Estou quatro que se torna oito
Eu sou o único depois disso
inscrição hieroglífica egípcia do dinastia 22 (Hopper, 2000)
2.1. conjecturas
Dúvidas sobre os divisores, d, de um número inteiro n são dos mais antigos em matemática. A função de divisor (n) conta quantas divisores n tem. Por exemplo, os divisores de 8 são 1,2,4, e 8, de forma (8) = 4. Os divisores de 12 são 1,2,3,4,6 e 12, de modo (12) = 6. O função sigma (N) é definido como a soma dos divisores de n. Assim,
 (8) = 1 + 2 + 4 + 8 = 15,
 (12) = 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 12 = 28.
Na notação Sigma do capítulo 1,
 .
d| n
A diferença aqui é que estamos somando não mais de um conjunto de inteiros consecutivos, mas apenas aqueles que dividem d n, como o subscrito d | n indica.
Similarmente,
.
d| n
Aqui, nós adicionamos à nossa contagem a 1, não d, para cada divisor d do n.
Exercício 2.1.1. Isaac Newton calculado quantos divisores 60 tem em seu 1732 trabalho Arithmetica Universalis. O que é (60)?
24
Esta seção consiste principalmente de exercícios em que você vai tentar fazer conjecturesaboutthefunctions (N) e (n) .GirolamoCardanowasthefirst pessoa para fazer isso, em seu livro 1537 Practica Arithmetica. Cardano é mais famoso agora por seu trabalho em soluções para o x3 cúbicos equação + px + q = 0. Ele era famoso em seu próprio tempo também, como médico e astrólogo, e na verdade foi preso durante a Inquisição para lançar o horóscopo de Cristo.
Exercício 2.1.2. calcular valores de (n) e (n) para inteiros n que são potências de um único número primo; por exemplo,
n = 2,4,8,16, ...,
n = 3,9,27,81, ..., n = 5,25,125,625, ....
Tente frase uma conjectura precisa para inteiros n que são da pk formulário para primo p. Em algum momento você vai precisar do fato geral que, para qualquer x e k,
	(1 - x) (1 + x + x2 + x3 + ··· + xk) = 1 - x k + 1.	(2,1)
Um pouco de álgebra mostra que no produto, muitos termos cancelar; na verdade, todos, mas o primeiro e último afazeres. Assim,
	1 + x + x + X + x + ···	-	.
	1	X
Você já derivado dessa identidade no Exercício 1.2.10; ela vai aparecer muitas mais vezes neste livro.
Diremos que dois inteiros, m e n, são relativamente primos se eles não têm fator primordial em comum. Por exemplo, 10 e 12 não são primos entre si; ambos são divisíveis por 2. Mas 9 e 10 são relativamenteprimos.
Exercício 2.1.3. Escolha vários pares de números inteiros m e n e calcular (n), (m), e (MN). Que relacionamento existe, se houver? Tente fazer uma conjectura preciso. Certifique-se de olhar para exemplos suficientes; a sua primeira tentativa de uma conjectura pode ser falsa. Tabela 2.1 contém fatorações para inteiros a menos de 300.
Exercício 2.1.4. Repetir este processo com a função de (n).
Exercício 2.1.5. Você deve combinar as conjecturas dos exercícios anteriores para obter uma conjectura para a fórmula geral: Se um inteiro N fatores como
Tabela 2.1. Tabela fator
	30 = 21 31 · · 51
35 = 51 71 ·
40 = 23 51 ·
45 = 32 51 ·
50 = 21 52 ·
55 = 51 111 ·
60 = 22 31 · · 51
65 = 51 131 ·
70 = 21 51 · · 71
75 = 31 52 ·
80 = 24 51 ·
85 = 51 · 171
90 = 21 32 · · 51
95 = 51 191 ·
100 = 22 · 52
105 = 31 · · 51 71
110 = 21, 51 · · 111
115 = 51 231 ·
120 = 23 · · 31 51
125 = 53
130 = 21, 51 · · 131
135 = 33 · 51
140 = 22 · · 51 71
145 = 51 291 ·
150 = 21 · · 31 52
155 = 51 311 ·
160 = 25 · 51
165 = 31 51 · · 111
170 = 21, 51 · · 171
175 = 52 · 71
180 = 22 · · 32 51
185 = 51 371 ·
190 = 21, 51 · · 191
195 = 31 51 · · 131
200 = 23, 52 ·
205 = 51 411 ·
210 = 21, 31 · · · 51 71
215 = 51 431 ·
220 = 22 · · 51 111 225 = 32 · 52
230 = 21, 51 · · 231
235 = 51 471 ·
240 = 24 · · 31 51
245 = 51 · 72
250 = 21 · 53
255 = 31 51 · · 171
260 = 22, 51 · · 131
265 = 51 531 ·
270 = 21 · · 33 51
275 = 52 111 ·
280 = 23 · · 51 71
285 = 31 · 51 · 191
290 = 21, 51 · · 291
295 = 51 591 ·
	31 = 311
36 = 22 32 ·
41 = 411
46 = 21 231 ·
51 = 31 171 ·
56 = 23 71 ·
61 = 611
66 = 21 31 · · 111
71 = 711
76 = 22 = · 191 81 34
86 = 21 431 ·
91 = 71 131 ·
96 = 25 31 ·
101 = 1011
106 = 21 531 ·
111 = 31 371 ·
116 = 22 291 ·
121 = 112
126 = 21 · · 32 71
131 = 1311
136 = 23 171 ·
141 = 31 471 ·
146 = 21 731 ·
151 = 1511
156 = 22, 31 · · 131
161 = 71 231 ·
166 = 21 831 ·
171 = 32 · 191
176 = 24 111 ·
181 = 1811
186 = 21, 31 · · 311
191 = 1911
196 = 22 · 72
201 = 31 671 ·
206 = 21 · 1031
211 = 2111
216 = 23, 33 ·
221 = 131 171 ·
226 = 21 · 1131
231 = 31 71 · · 111
236 = 22 591 ·
241 = 2411
246 = 21, 31 · · 411
251 = 2511
256 = 28
261 = 32 291 ·
266 = 21, 71 · · 191
271 = 2711
276 = 22, 31 · · 231
281 = 2811
286 = 21 · · 111 131
291 = 31 971 ·
296 = 23 371 ·
	32 = 25
37 = 371
42 = 21 31 · · 71
47 = 471
52 = 22 131 ·
57 = 31 191 ·
62 = 21 311 ·
67 = 671
72 = 23 32 ·
77 = 71 111 ·
82 = 21 411 ·
87 = 31 291 ·
92 = 22 231 ·
97 = 971
102 = 21, 31 · · 171
107 = 1071
112 = 24 · 71
117 = 32 131 ·
122 = 21 611 ·
127 = 1271
132 = 22, 31 · · 111
137 = 1371
142 = 21 711 147 · · = 31 72
152 = 23 · 191
157 = 1571
162 = 21 · 34
167 = 1671
172 = 22 431 ·
177 = 31 591 ·
182 = 21, 71 · · 131
187 = 111 · 171
192 = 26 · 31
197 = 1971
202 = 21 · 1011
207 = 32 231 ·
212 = 22 531 ·
217 = 71 311 ·
222 = 21, 31 · · 371
227 = 2271
232 = 23 291 ·
237 = 31 791 ·
242 = 21 112 ·
	1	1
247 = 13 · 19
252 = 22 · · 32 71
257 = 2571
262 = 21 · 1311
267 = 31 891 ·
272 = 24 · 171
277 = 2771
282 = 21, 31 · · 471
287 = 71 411 ·
292 = 22 · 731
297 = 33 111 ·
	33 = 31 111 ·
38 = 21 191 ·
43 = 431
48 = 24 31 ·
53 = 531
58 = 21 = 63 291 · · 32 71
68 = 22 171 ·
73 = 731
78 = 21 31 · · 131
83 = 831
88 = 23 111 ·
93 = 31 311 ·
98 = 21 72 ·
103 = 1031
108 = 22 · 33
113 = 1131
118 = 21 591 ·
123 = 31 · 411 128 = 27
133 = 71 191 ·
138 = 21, 31 · · 231
143 = 111 131 ·
148 = 22 371 ·
153 = 32 171 ·
158 = 21 791 ·
163 = 1631
168 = 23 · · 31 71
173 = 1731
178 = 21 · 891
183 = 31 611 ·
188 = 22 471 ·
193 = 1931
198 = 21, 32 · · 111
203 = 71 291 ·
208 = 24 131 ·
213 = 31 711 ·
218 = 21 · 1091
223 = 2231
228 = 22, 31 · · 191
233 = 2331
238 = 21, 71 · · 171
243 = 35
248 = 23 311 ·
253 = 111 · 231
258 = 21, 31 · · 431
263 = 2631
268 = 22 671 ·
273 = 31 71 · · 131
278 = 21 · 1391
283 = 2831
288 = 25 · 32
293 = 2931
298 = 21 · 1491
	34 = 21 171 ·
39 = 31 131 ·
44 = 22 111 ·
49 = 72
54 = 21 33 ·
59 = 591
64 = 26
69 = 31 231 ·
74 = 21 371 ·
79 = 791
84 = 22 31 · · 71
89 = 891
94 = 21 471 ·
99 = 32 111 ·
104 = 23 131 ·
109 = 1091
114 = 21, 31 · · 191
119 = 71 171 ·
124 = 22 311 ·
129 = 31 431 ·
134 = 21 671 ·
139 = 1391
144 = 24 · 32
149 = 1491
154 = 21, 71 · · 111
159 = 31 531 ·
164 = 22 411 ·
169 = 132
174 = 21, 31 · · 291
179 = 1791
184 = 23 231 189 · · = 33 71
194 = 21 971 ·
199 = 1991
204 = 22, 31 · · 171
209 = 111 191 ·
214 = 21 · 1071
219 = 31 731 ·
224 = 25 · 71
229 = 2291
234 = 21, 32 · · 131
239 = 2391
244 = 22 611 ·
249 = 31 831 ·
254 = 21 · 1271
259 = 71 371 ·
264 = 23, 31 · · 111
269 ​​= 2691
274 = 21 · 1371
279 = 32 311 ·
284 = 22 711 ·
289 = 172
294 = 21 · · 31 72
299 = 131 · 231
p1kum p2k2 ... pmkm , então
(N) = ...
e
 (N) = ....
Vamos precisar de uma outra função relacionada com (n):
s.
d| N d <n
Thisaddsupthedivisorsofn otherthann itself.Wesayintegern isdeficient se s (n) <n, abundante, se s (n)> n, e perfeito se s (n) = n. Porque s (8) = 7 e s (12) = 16, 8 e 12 é deficiente é abundante. Seis é um número perfeito, e assim é 28. A função s (n) é chamado às vezes a soma das alíquotas das n, depois de uma palavra arcaica que significa um divisor adequada.
Exercício 2.1.6. Baseado em exercício 2.1.3, você pode ser tentado a supor que existe uma boa relação entre s (n), s (m), e s (mn). Existe uma relação?
O conceito de números perfeitos remonta pelo menos a Archytas de Tarento. número abundante e deficientes foram primeiramente definidos por Nicômaco de Gerasa em sua Introdução trabalho para Aritmética. Este foi o crepúsculo da matemática grega e a primeira escrita na teoria dos números desde a época de Euclides; por isso, um outro desvio histórico está em ordem.
Nicomachus de Gérasa (100 DC). Além de números perfeitos, abundantes e deficientes, Nicômaco também escreveu sobre números poligonais. O estilo é muito diferente da matemática grega anteriores, no entanto. Nicômaco não incluía provas, apenas exemplos, e muitas vezes extrapolada incorretamente a partir deles. Ele estava realmente interessado nas propriedades místicas ele atribuídas a estes números especiais. Outro livro que ele escreveu foi intitulado Teologia do Numbers. Nicômaco também escreveu sobre a teoria da música no Manual de Harmonia, sobre a filosofia de Pitágoras de música baseado em número e proporção. Este trabalho, como de Vie`te cerca de 1.500 anos mais tarde, foi dedicada a um patrono nobre. Especula-se em Nicômaco de Gerasa, 1938, que ela deve ter sido entendido em matemática e música para lê-lo. Tudo o que resta de Gerasa, na Jordânia, são espectaculares ruínas romanas. No mesmo estilo que Nicômaco,
Iamblichus de Calcis (250 AD-330 AD).Iamblichus viveu em um período em que o Império Romano estava em sério declínio. Quase nada de sua vida é conhecido, apesar do que você pode encontrar na Internet sobre ele ser descendente de uma antiga linha de sacerdotes-reis da Síria. Ele escreveu sobre a filosofia “neo-pitagórica”, incluindo aritmética, geometria e astronomia. Sua biografia de Pitágoras foi citado no Capítulo 1, e ele também escreveu um comentário sobre Nicômaco. Mas ele era mais de um filósofo e um místico do que um matemático. Para ele, os números individuais eram símbolos de deuses individuais do panteão grego. Por exemplo, sete é o único número entre os dez primeiros que não é nem divisível por nem um divisor de qualquer um dos outros. Por este motivo, ele representa Atena, a deusa virgem. Um e dois não foram sequer considerados números. Um deles é o “mônada, ”Representando a unidade ou a ausência de multidão. Dois é o “díade”, representando a dualidade. Por mais estranho que isso possa parecer, considere que as convenções de linguagem comuns ainda apoiar esta. Se você fala de “uma série de” objetos, você não quer dizer um ou dois. Mesmo o pacote teoria dos números PARI trata de um e dois de uma maneira especial. Ele inclui “objetosuniversais” arma e gdeaux, que não pertencem na pilha; outros números inteiros são tratados numa base ad hoc.
Não muito tempo depois Iamblichus, Santo Agostinho escreveu em DeGenesi ad litteram,
[A] bom cristão deve tomar cuidado com os matemáticos, e todos aqueles que fazem profecias vazias. O perigo já existe que os matemáticos fizeram um pacto com o diabo para escurecer o espírito e para confinar o homem nos laços de
Inferno.
Esta é uma citação que você vai ver na porta do escritório muitos um professor de matemática ou site. Mas, de fato, Santo Agostinho usa a palavra matemático aqui para dizer astrólogo. Foi o próprio Santo Agostinho, que introduziu muito misticismo número teoria para a teologia cristã. Na Cidade de Deus, Livro XI, ele escreveu o seguinte:
Não devemos desprezar a ciência dos números, que, em muitas passagens da Sagrada Escritura, é encontrado para ser de serviço eminente para o cuidado.
Ambos Nicômaco e Iamblichus teve uma grande influência sobre Boécio.
Boethius (480 AD-524 AD). BoethiuscamefromaprominentRomanfamily relacionadas com imperadores e papas. Ele foi executado por Teodorico, o rei gótica de Roma, por suspeita de deslealdade. Ele foi o último romano que estudou as obras da Grécia antiga, e ele é influente, principalmente por causa das obras que ele traduzidos e adaptados, e que assim se tornou amplamente conhecido no medievalworld. Idade BooksweredifficulttoobtaininRomeatthestartoftheDark; Boécio fez obter aqueles de Nicômaco e Iamblichus em que se basearam os seus escritos matemáticos.
Sua Aritmética inclui a quatro disciplinas pitagóricos matemáticos, aritmética, astronomia, música e geometria, que ele chama de quadrivium. trata geometria quantidades em repouso, enquanto quantidades astronomia trata em movimento. estudos números aritméticos abstrata, Considerando que as relações estudos de música entre números como harmonias. O termo trivium passou a se referir, por analogia, aos três assuntos que envolvem idioma: gramática, lógica e retórica. O conceito de universidade foi com base nessa divisão de todo o conhecimento para o trivium eo quadrivium. A universidade é um lugar que ensina todos os sete temas, e assim tudo.
Em número abundante, deficientes, e perfeitas, Boécio escreveu o seguinte (Masi, 1983):
Então, esses números, aqueles cujas partes juntas adicionado exceder total, são vistos para ser semelhante a alguém que nasce com muitas mãos mais do que a natureza geralmente dá, como no caso de um gigante que tem cem mãos, ou três corpos unidos em conjunto , tal como o formado Gerión tripla. O outro número, cujas partes quando totalizou são menos do que o tamanho de toda a série, é como um nascido com algum ausente dos membros, ou com um olho faltando, como a feiúra do rosto do Cyclops'. Entre estes dois tipos de número, como se entre dois elementos desigual e destemperado, é colocado um número que ocupa o lugar do meio entre os extremos como aquele que procura virtude. Esse número é chamado de perfeito e não se estende em uma progressão supérfluo nem é reduzido em uma redução contratado, mas mantém o lugar do meio ....
(O Cyclops é o monstro de um olho só na Odisséia de Homero, enquanto Gerião é um de três cabeças gigante morto por Hércules como um dos seus doze trabalhos.) “A teoria Neo-Pitagórica de número como a própria essência divina do mundo é a vista em torno do qual as quatro ciências do quadrivium são desenvolvidos “, de acordo com o Dicionário da Scientific Biography, 1970-1980.
Perto de quinhentos anos mais tarde, a Idade das Trevas começou a desenhar a um fim. Matemática foi reintroduzido na Europa através de fontes islâmicas na Catalunha Espanha. Gerbert d'Aurillac, que havia estudado no mosteiro de Santa Maria de Ripoll, perto de Barcelona, ​​reorganizou a escola da catedral de Reims em todo o trivium eo quadrivium. Os estudantes tiveram que dominar estes assuntos antes de iniciar o estudo da teologia. Ele era tutor do Sacro Imperador Romano Otto III e deu-lhe uma cópia inscrito da Aritmética de Boécio. Gerbert foi eleito Papa Silvestre II em 2 de abril de 999. Gregorovius, em sua História da Cidade de Roma na Idade Média (Gregorovius, 1971), escreve:
Gerbert em Roma é como uma tocha solitária na escuridão da noite. O século da ignorância grosseira fechado estranhamente com o aparecimento de um gênio renomado .... IftheRomansnoticedtheiragedPopewatchingthestarsfromhisobservatory em uma torre de Latrão, ou cercada em seu estudo por pergaminhos e desenhos de figuras geométricas, desenhando um relógio de sol com sua própria mão, ou estudar astronomia em um globo coberto com pele de cavalo, eles provavelmente acreditou na liga com o diabo. Um segundo Ptolomeu parecia usar a tiara, ea figura de Sylvester II marca um novo período na Idade Média, que dos escolásticos.
Exercício 2.1.7. Sabemos que 6 = 21 · 3 e 28 = 22 · 7 são números perfeitos. Os próximos são 496 = 24 · 31 e 8128 = 26 · 127 (verificar isso!). Qual é o padrão em 3,7,31,127, ...? Qual é o padrão nos expoentes 1,2,4,6, ...? Tente fazer uma conjectura sobre números perfeitos. Euclides, em seus elementos, provou um teorema geral sobre números perfeitos em torno do ano 300 aC
Exercício 2.1.8. Esta é uma continuação do exercício 2.1.7.
O número inteiro 130816 = 28 (29 - 1) factores em primos como 28 · · 7 73. Calcula 130816.Youwillwanttousetheformula você conjecturou para (n) no Exercício 2.1.5. É 130816 perfeito?
Os inteiro 2096128 = 210 (211 - 1) factores como 210 · · 23 89. Calcular s (2.096.128). É 2096128 perfeito?
Os inteiro 33550336 = 212 (213 - 1) factores como 212 · 8191; isto é, 213-1 = 8191 já é primo. s de computação (33550336). É 33550336 perfeito?
Refinar a conjectura de que você fez no exercício 2.1.7, se necessário.
Se 2p - 1 é um primo, então o número p é automaticamente prime; não temos de assumir isso. Isso decorre da identidade polinomial (2,1). Se p eram como ao factor p = AB, então
2ab - 1 = (2a - 1) (1 + 2a + 22a + 23a + ··· + 2 (b-1) a)
factorsnontriviallyaswell.Makesureyoubelieveitisthesameidentity.What é o x aqui em relação a Eq. (2,1)? Qual é o k? Por esta razão, sabemos que 23-1 = 7 é um fator de 29 - 1 = 511 sem fazer qualquer trabalho. Este teorema foi observada independentemente por Cataldi e Fermat no século XVI. Antes disso, acreditava-se que 2n - 1 foi prime para cada n estranho, com 511 = 29 - 1 frequentemente dado como exemplo (Dickson, 1999, Cap. 1).
Exercício 2.1.9. Encontrar um fator de
151115727451828646838271 = 277-1.
(Na verdade, você pode encontrar mais do que um.)
Os primos 3, 7, 31, e 127 em Exercício 2.1.7 são exemplos de números Mersenne, após Marin Mersenne. Mersenne, um frade franciscano, tinha uma correspondência ativa com Fermat e Galileo. Mersenne escreveu sobre suas números em Cogitata físico-Mathematica em 1644. Em geral, um número Mersenne, Mp, isanyintegeroftheform2p - 1, onde p isaprimenumber.So, 3 = M2,
7 = M3, 31 = M5, e 127 = M7 são números primos Mersenne, enquanto M11 = 211-1 = 23 · 89 é um número de Mersenne compósito. E 29-1 não é um número Mersenne em todos, porque 9 não é primo. Ainda não se sabe se existem infinitos números de Mersenne que são primos, embora este é geralmente esperado para ser verdade. Notavelmente, ele também não se sabe se existem infinitos números de Mersenne compósitos. Pelo menos um conjunto deve ser infinito; Provavelmente ambos os conjuntos são.
Exercício 2.1.10. Com base na sua conjectura refinado, você pode encontrar outro número perfeito?
Exercício 2.1.11. você pode provar sua conjectura sobre números perfeitos?
Exercício 2.1.12. Há um teorema interessante sobre números perfeitos e somas de cubos. Por exemplo,
28 = 13 + 33.
Tente fazer uma conjectura sobre o que é verdadeiro. Ignorar o primeiro número perfeito, 6; ele não se encaixa no padrão.
Exercício 2.1.13. Acima você fez uma conjectura sobre números perfeitos e soma de cubos de números ímpares. Na verdade, você sabe o suficiente para provar isso. Primeiro de tudo, o que faz Eq. (1.8) dizem sobre uma expressãode forma fechada para
13 + 23 + 33 + ··· + N3 + ··· + (2N) 3?
Sobre o quê
23 + 43 + 63 + ··· + (2N) 3?
(Dica:. Factor) Agora subtrair para obter uma expressão de forma fechada para
13 + 33 + 53 + ··· + (2 N - 1) 3.
O valor de N vai lhe dar um número perfeito?
Exercício 2.1.14. Calcular s (n) para o maior número possível n. Determinar se N é deficiente, perfeita, ou abundante. Procure padrões quando n é par ou ímpar. É s (n) par ou ímpar? (A verdade é complicada, por isso não tenha medo de modificar a sua conjectura.) Você pode calcular s (n) facilmente em Mathematica pela primeira definindo-a como uma função
s [n]: = DivisorSigma [1, n] - N
A entrada s [8] retorna a resposta 7. No bordo, após o carregamento da embalagem numtheory (ver p. Xiii), pode-se definir a função de utilização
s: = n-> sigma (n) -n;
A entrada s (12); retorna a resposta 16.
Exercício 2.1.15. O número 284 = 22 · 71 não é perfeito; s (284) = 220 = 22 5 · · 11. O que é interessante sobre 220 = s (284)? Sei que isso é muito mais uma questão em aberto. Seja paciente; experimentar e fazer cálculos.
Pares de números, tais como 220 e 284, que têm a propriedade que você descobriu anteriormente são chamados pares amigável. Iamblichus de Calcis atribuída a descoberta destes números para Pitágoras. No século IX, Thabit ibn Qurra escreveu sobre pares amigáveis.
Thabit ibn Qurra (836-901). Thabit ibn Qurra pertencia à seita Sabian, descendente de adoradores estrela da Babilônia, segundo o Dicionário da Scientific Biography, 1.970-1.980. O Sabians falava árabe e levou nomes árabes, mas segurou sua religião por um longo tempo após a conquista árabe da região que hoje faz parte da Turquia. Por esta razão, eles produziram muitos excelentes astrônomos e matemáticos. grande conhecimento de Thabit levou ao seu convite para o corte do califa de Bagdá. Ele traduziu muitos textos gregos antigos para o árabe. Todas as obras de Arquimedes que não sobreviveram no original veio até nós através de suas versões. Seu livro sobre o Determinação de números amigáveis ​​por um método fácil contém dez proposições em teoria número, incluindo um método para a geração de mais de tais pares, descrito abaixo.
pares amigáveis ​​têm sido muito utilizados na astrologia, a feitiçaria, e a mistura de poções do amor. Al Magriti escreveu em seu grimoire Objectivo do sábio em 945 que tinha posto à prova o efeito erótico
dar qualquer um menor número 220 para comer, e se comer o maior número 284.
Ibn Khaldun escreveu em Muqaddimah que
personswhohaveconcernedthemselveswithtalismansaffirmthattheamicablenumbers 220 e 284 têm uma influência para estabelecer uma união ou amizade íntima entre dois indivíduos.
No século XIII e XIV, manuscritos em hebraico por Samuel ben Yehuda e outros carregavam o estudo de pares amigáveis ​​do mundo islâmico para a corte de Robert de Anjou, em Nápoles. O interesse nos mesmos foi de novo motivados por suas propriedades ocultas (Le'vy, 1996). Abraham Azulai comentou no século XVI que, no “Livro do Gênesis,” Jacob dá Esaú 220 cabras:
Nosso ancestral Jacob preparou o seu presente de forma sábia. Este número 220 é um secreto escondido, sendo uma de um par de números de modo a que as partes que são iguais para o outro 284, e inversamente. E Jacob tinha isso em mente; este tem sido experimentado pelos antigos para garantir o amor de reis e dignitários.
Exercício 2.1.16. Se você encontrou algo interessante no Exercício 2.1.15, de modo que você sabe o que pares amigáveis ​​são, mostram que, se m e n formam um par amigável, em seguida,
 .
IfyoudidnotdiscoveranythinginExercise2.1.15, youshouldworkbackward agora. Suponhamos que m e n são números inteiros tais que. O que você pode dizer que é verdade sobre s (m) e s (n)?
De acordo com Mersenne, Fermat disse-lhe uma regra para gerar pares amigáveis, que é equivalente ao descoberto por Thabit ibn Qurra. Escrever numa coluna as potências de dois: 2, 4, 8, 16, 32, .... Em uma coluna à direita, escrever-se três vezes as potências de dois: 6, 12, 24, 48, 96 ,. ... na próxima coluna à direita, digite o número do um menos esquerda se este é um nobre, e se é composto apenas deixar um espaço em branco: 6 - 1 = 5, 12-1 = 11, 24-1 = 23, 48-1 = 47, 96-1 = 95 = 5 · 19, .... Finalmente, a coluna mais à direita segue o padrão 6 · 12-1 = 71, 12 · 24-1 = 287 = 7 · 41, 24 · 48-1 = 1,151, 48 · 96-1 = 4607 = 17 · 271 ... se este número é primordial, e a entrada em branco é de outra forma. Observe a tabela 2.2, e ler este parágrafo novamente.
Qualquer tempo que têm um padrão em forma de L de três números primos nos direita duas colunas, wecanbuildanamicablepair.From5,11, and71wegetthepairm = 5 · · 11 4 = 220, n = 71 · 4 = 284. A partir de 23, 47, e 1151 nós obter o par de m = 23 · · 47 16 = 17296, n = 1151 · 16 = 18416, e assim por diante. Observe a
Tabela 2.2. Algoritmo de Thabit ibn Qurra
	2
	6
	5
	-
	4
	12
	11
	71
	8
	24
	23
	
	16
	48
	47
	1151
	32
	96
	
	
	64
	192
	191
	
	128
	384
	383
	73.727
	...
	...
	...
	...
powerof2comesfromthefirstcolumn.Inwords, thealgorithmsaysthatifk é anexponentsuchthat p1, andr = 9 · 22k-1-1 são todos números primos, então m = p · · q 2 e n = r · 2k formar um par amigável. Na tabela, p e q formam a parte vertical do L, com p e q acima abaixo. A parte horizontal é r.
Exercício 2.1.17. Mostram que isso é verdade. Ou seja, para p, q, andr como acima, mostram que a propriedade do Exercício 2.1.16 contém:
 .
Use a fórmula que você conjecturado no exercício 2.1.5, o que também é comprovado na Eq. (2,3).
Exercício 2.1.18. Mostram que para p, q, e r como acima, q = 2p + 1 e r = + 2p2 + 4p 1. Em particular, isto significa que p é um exemplo de uma plica Sophie Germain, um número primo tal que p + 2p 1 também é primo. Vamos ver estes novamente na Seção 7.3.
Mersennewasalsoapparentlythefirsttoconjecturethatthereareinfinitely muitos pares amigável. Mas, depois de toda essa atenção, apenas três de tais pares de números eram conhecidos até 1750, quando o matemático suíço Euler (pronunciado “oil-er,” não “você-Ler”) foundfifty-ninenewamicablepairs, incluindo o par
35 · · 72 13 19 · · · 53 6959 = 1084730902983,
	5	2
3 · 7 · · 13 19 · · 179 2087 = 1098689026617.
A par amigável no segundo mais baixo,
	1184 = 25 37 ·	e	1210 = 2 · · 5 112,
26	2. Os produtos e divisibilidade
	2.1 Conjectures	25
2.2 Teoremas
foi esquecido até 1866, quando foi descoberto por um 16 anos de idade, Nicolo Paganini. Como este livro está sendo escrito, 2,683,135 pares amigáveis ​​são conhecidos.
Exercício 2.1.19. Este é outro exercício onde você precisa Mathematica ou de bordo. Escolher um valor aleatório n ≤ 300 e computação s (n), S (S (n)), s (s (S (n))), e assim por diante. Faça uma conjectura sobre o que acontece. Escolha outro n e fazê-lo novamente. Mas não escolher n = 276; se o fizer, não diga que eu não avisei.
Exercício 2.1.20. Qual inteiros m que você acha que pode ser escrita como m = s (n) para algum n? (Em linguagem matemática, quando é m na gama da função de s?) IFM isintherangeofs, howmanydifferentn havem = s (n)? Isthenumber finito ou infinito?
Exercício 2.1.21. Seja D (k) denotam o menor número inteiro tal que a D (k) tem exactamente divisores k, isto é, a menos inteiro tal que (D (k)) = k. Por exemplo, uma vez que 6 é o menor número inteiro com quatro divisores, D (4) = 6. Pesquisa D (8), D (12), D (16), D (24). Em 1644, Mersenne perguntou aos seus correspondentes para encontrar um número com 60 divisores. pode encontrar D (60)? Note-se que este não é de computação (60); você fez isso no Exercício 2.1.1.
Exercício 2.1.22. Com os valores de 11, depois 12, depois 13, depois 14 de n, de computação
	e compará-lo com	.
k| n
Fazer uma conjectura. É a sua conjectura verdade para outros valores de n? você pode provar isso?
2.2. teoremas
Nesta seção, vamos provar alguns dos conjecturas feitas anteriormente. Primeiro precisamos de um lema.
Lema. Suponha que dois inteiros, m e n, são relativamente primos. Então, todo inteirod que divide o mn produto pode ser escrito em exatamente um caminho, d= Bc, com b dividindo m e c dividindo n.
Lembre-se que nós definimos relativamente primos na última seção para significar que m e n têm nenhum fator em comum. Para ajudar a entender o que o lema diz antes de realmente provar isso, vamos ver um exemplo de como ele deixa de ser verdade, sem essa hipótese. Por exemplo, m = 12 e n = 10 tem o principal factor 2 em comum. d = 4 divide o produto 120, mas podemos escrever esta duas formas: como 4 · 1, com b = 4 dividindo 12 e c = 1 dividindo 10; ou como 2 · 2, com b = 2 dividindo 12 e c = 2 dividindo 10.
Prova. Vamos mostrar o contrapositiva. Ou seja, “P implica Q” é logicamente o mesmo que “não Q implica não P.” Suponha que d divide mn. Podemos escrever d = bc e também d, Com ambos m dividindo b e b e c ambos e c dividindo n. Precisamos mostrar que m e n não são primos entre si. Podemos escrever o número inteiro (mn) / d de duas maneiras: mn mn mnbc = d = bc
.
Assim, multiplicando cruz,
.
	bc	mnb
c
=
mn
=
1
desde b, Alguns primo p divisória b não dividir b (ou vice-versa); ele deve dividir c ou não vai cancelar para dar 1 no lado direito. Assim, p divide b, que divide a m, e p c divide, o qual divide a n; assim, m e n são ambos divisível por p.	
Para completar, vamos incluir o seguinte, que você descobriu no Exercício 2.1.2.
Lema. Se n = Pk é uma potência de um primo, em seguida, (n) = k + 1 e (n) = (pk + 1 - 1) / (p - 1).
Prova. Isso é facil; o divisores d de pk são 1, p, p2, ..., pk. Há k + 1 deles. Sua soma é
	1 + p + p2 + ··· + PK	-	-	,
	1	p	p	1
de acordo com o Exercício 1.2.10.	
Lema. Se m e n são relativamente primos, então .
Prova. Imagine uma folha de papel com os divisores de m listadas na parte superior, começando com 1 e terminando com m. Imagine os divisores de n listados abaixo da
2.2 Teoremas
do lado esquerdo, começando com 1 e terminando com o n. Nós preencher uma mesa rectangular através da formação de produtos: Na coluna que tem um divisor b de m, e na linha que tem um divisor c de n, que colocou o número bc. Assim, por exemplo, a entrada superior esquerdo da tabela é 1 · 1. Cada bc divide mn, e cada divisor de mn ocorre exatamente uma vez de acordo com o lema acima. A tabela tem (m) e colunas
(N) fileiras, de forma que há) entradas em todos.	Lema. Se m e n são relativamente primos, então.
Exercício 2.2.1. A prova é uma modificação da prova para. O número (Mn) é a soma de todas as entradas na tabela. Suponha que olhamos para uma única linha na tabela, indexada por alguns divisor c de n. As entradas na fila são 1 · c, ..., m · c. Qual é a soma de todas as entradas nesta linha particular? Agora, usar essa expressão para somar todas as somas de linha. (Se você está preso, escrever a tabela inteira para m = 10 e n = 21.)
Teorema. Se n factores como p1K1p2k2... ptkt, em seguida,
	(N) = (k1 + 1) (K2 + 1) ... (KT + 1),	(2.2)
 .	(2.3) p1 - 1	p2 - 1	pt- 1
Prova. Esta é apenas uma combinação dos lemas anterior. Porque p1k1,
p2k2, ..., ptkt são relativamente primos,
,
e de modo semelhante para (n).	
Teorema (Euclid). Se p é um número primo tal que Mp= 2p - 1 é também um primo, então n = 2p-1 · Mp é um número perfeito.
Prova. Para mostrar s (n) = n, mostramos que (n) = s (n) + n é apenas 2N. Pelo teorema anterior,
 
Mp+ 1),
mas 2p - 1 é apenas Mp e, portanto, Mp + 1 é apenas 2p. Assim,
.
O filósofo e matemático Rene' Descartes ( “Penso, logo existo”) disse Mersenne em 1638 que ele poderia provar que todo número par perfeito é do Euclides forma descrita. Esta é uma recíproca parcial ao Teorema de Euclides. Descartes nunca escreveu uma prova. Euler fez; que foi publicado após sua morte e cerca de 2.000 anos depois de Euclides.
Teorema (Euler). Se n é um número perfeito que é ainda, então n = 2p-1Mp, com Mp = 2p - 1 sendo um primo.
Conjectura-se que não existem números perfeitos ímpares, e há vários teoremas que mostram que eles devem ser muito escassos. Há um teorema, por exemplo, que diz que qualquer número perfeito ímpar deve ser maior do que 10300.
Prova. Desde n é par, podemos escrevê-lo como uma potência de 2 vezes um número ímpar: n = 2p-1m com m estranho e p> 1. Eventualmente, ele irá revelar-se que p é um número primo, mas por enquanto é apenas algum número inteiro positivo. Porque 2p-1 e m são relativamente primos,
 .
Por outro lado, porque n é perfeito por hipótese,
 (N) = 2n = 14:00.
A definição destas expressões iguais, temos
.
Porque 2p - 1 é impar, (m) deve ser divisível por 2p; ou seja, (m) = 2pq para alguns q, assim
	(2p - 1) = 14:00 2pq	ou	(2p - 1) q = m.
Isto implica que q divide m, mas não é igual a m, o que vamos precisar em um momento. Além disso, multiplicando e reorganizando, temos
	2pq = m + q	ou	 (M) = m + q.
Mas (m) é a soma de todos os divisores de m. Certamente m e 1 são divisores, e nós apenas mostrou que q é um divisor de m. A única solução é que q = 1, e porque estas são as únicas divisores de m, concluímos que m deve ser
2.3 Estrutura
um primo. Mas, alguns passos para trás, nós mostramos que m = (2p - 1) q = 2p - 1.
Porque m é um número primo, Exercício 2.1.9 diz que p é um número primo e m = Mp é primo de Mersenne. Assim, o nosso n é da forma n = 2p-1Mp, com Mp ser um prime.	
Deve salientar-se que não há análogo deste teorema para amigável pairs.Thatis, pares ThabitibnQurra'salgorithmisnottheonlywaytofindamicable; theycantakemanydifferentforms.Forexample, Paganini'spair25 · 37, 2 5 · · 112, mentionedearlier, doesnotarisefromThabitibnQurra'salgorithm.
Exercício 2.2.2. Use teorema e Eq de Euler. (1,1) para mostrar que todo número par perfeito é um número triangular.
2.3. Estrutura
As funções (n) e (n) são exemplos de funções definidas sobre o conjunto de números naturais
N = {1,2,3,4 ...}.
De um ponto de vista mais moderno, muitas vezes é útil considerar tais objetos mais geral, e as relações entre eles. Assim definiremos uma função f aritmética (n) como qualquer função cujo domínio é os números naturais. Às vezes é mais conveniente não especificar a variável e escrever apenas, por exemplo, f. Algumas funções aritméticas muito simples são
	você(N) = 1,
	para todo n,
	N(N) = N,
	para todo n,
	1,	se n = 1,
e
	0,	se n> 1.
Assim, u é uma função que dá sempre 1, enquanto que N é uma função que sempre devolve o valor de entrada inalterado.
Podemos combinar duas funções aritméticas, F e G, com uma operação chamada convolução. A nova função é denotado f * g (pronunciado “splat f g”):
f .
d| n
Assim, por exemplo,
N,
	d| n	d| n
ou, omitindo menção das variáveis, N.
Exercício 2.3.1. O bem-amado função é u * u?
Os divisores de um número inteiro n vir em pares: Para cada n D dividindo, o número inteiro = c n / d é um outro divisor. Por essa razão, podemos escrever a definição de convolução de uma forma mais simétrica,
f ,
c, DC · d = n
e a partir deste é evidente que convolução é conmutativo, isto é, que f * g = g * f. Pode-se também mostrar que convolução é associativa. Ou seja, se você tem três funções, f, g, e h, em seguida,
.
b, C, c db · · d = n
Exercício 2.3.2. Convolução de funções não é a multiplicação ordinária, onde multiplicação pelo número 1 deixa as coisas inalteradas. Convença-se que esse papel é desempenhado aqui pela função e, isto é, que f * e = f para cada função f.
A função MOBIUS (a letra grega mu, pronunciado “mew”) tem um morecomplicateddefinition.Wedefine (1) = 1, andiftheinputvaluen> 1 em factores primos quanto
n = p pkak ,
então
	0,	se algum expoente ai> 1,
	(-1) k,	se cada expoente ai = 1.
Assim, 	1, ao passo (4) = 0 e (6) = 1.
Exercício 2.3.3. Calcule * u (n) para n = 4,6,10,15,30,60 e 210. Você pode começar a ver um padrão. Em seus cálculos para n = 30 e 210, single
2.3 Estrutura
fora um dos primos de divisão n, dizem que o maior, e chamá-lo q. Grupo a divisores d de n de acordo com a se ou não o d é divisível por q, e comparar os valores da função MOBIUS. você pode provar sua conjectura agora?
A função de Möbius é importante