ListaCD23NB-6

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Lista 6- Data: 28/10/2019
Prof. Adriano
CDI 3
Assunto: Sequências e Séries
• Parte 1.
1. Escreva os 4 primeiros elementos da sequência dada e determine se ela é convergente ou não. No
caso convergente, encontre o limite.
(a) an =
n+1
2n−1 .
(b) an =
2n2+1
3n2−n .
(c) an =
n2+1
n .
(d) an =
3n3+1
2n2+n .
(e) an =
3−2n2
n2−1 .
(f) an =
en
n .
(g) an =
1√
n2+1−n .
(h) an = (1 +
1
3n )
n
.
(i) an = cos(npi).
2. Determine se a série é convergente ou não. Caso for convergente, encontre o valor do limite.
(a)
∞∑
n=1
6(0, 9)n−1
(b)
∞∑
n=1
10n
(−9)n−1
(c)
∞∑
n=1
(−3)n−1
4n
(d)
∞∑
n=1
1
(
√
2)n
(e)
∞∑
n=1
pin
3n+1
(f)
∞∑
n=1
en
3n−1
(g)
∞∑
n=1
1
2n
(h)
∞∑
n=1
n+ 1
2n− 3
(i)
∞∑
n=1
3n + 2n
6n
(j)
∞∑
n=1
n
√
2
(k)
∞∑
n=1
[2(0, 1)n + (0, 2)n]
(l)
∞∑
n=1
ln(
n2 + 1
2n2 + 1
)
(m)
∞∑
n=1
(cos 1)n
(n)
∞∑
n=1
1
en
+
1
n(n+ 1)
(o)
∞∑
n=1
en
n2
3. Encontre a fração aplicando a idéia de série geométrica.
(a) 0, 2¯
(b) 0, 7¯3
(c) 3, ¯417
(d) 6, ¯254
(e) 0, 123 ¯456
(f) 7, ¯12345
• Parte 2.
1. Determine se a sequência é crescente, decrescente ou não-monótona.
(a) an =
3n−1
4n+5 .
(b) an =
2n−1
4n−1 .
(c) an =
1−2n2
n2 .
(d) an =
n3−1
n .
(e) an =
(2n)!
5n .
(f) an =
n
2n .
(g) an = sinnpi.
(h) an = (n
2 + (−1)nn).
(i) an = cos(npi).
2. Verifique se as séries abaixo são convergentes. Expresse a soma sn e verifique que é uma soma
telescópia.
(a)
∞∑
n=2
2
n2 − 1
(b)
∞∑
n=1
2
n2 + 4n+ 3
(c)
∞∑
n=1
2
n(n+ 3)
(d)
∞∑
n=1
ln(
n
n+ 1
)
(e)
∞∑
n=1
e
1
n − e 1n+1
(f)
∞∑
n=1
cos
1
n2
− cos 1
(n+ 1)2
3. Use o teste da integral para determinar se a série é convergente ou não. Caso seja convergente, não
há necessidade de calcular a soma nesse exercício.
(a)
∞∑
n=1
1
n4
(b)
∞∑
n=1
1
4
√
n
(c)
∞∑
n=1
1
(2n+ 1)3
(d)
∞∑
n=1
1√
n+ 4
(e)
∞∑
n=1
ne−n
(f)
∞∑
n=1
n+ 2
n+ 1
(g)
∞∑
n=1
2
n0,85
(h)
∞∑
n=1
n−1,4 + 3n−1,2
(i)
∞∑
n=1
5− 2√n
n3
1
(j)
∞∑
n=1
lnn
n3
(k)
∞∑
n=1
e
1
n
n2
(l)
∞∑
n=1
n
n4 + 1
4. Estime o valor da soma com precisão de três casas decimais.
(a)
∞∑
n=1
1
n5
(b)
∞∑
n=1
1
(2n+ 1)6
5. Use o teste da comparação para decidir se a série é convergente ou não.
(a)
∞∑
n=1
1
n2 + n+ 1
(b)
∞∑
n=2
n3
n4 − 1
(c)
∞∑
n=1
n− 1
n2
√
n
(d)
∞∑
n=1
9n
3 + 10n
(e)
∞∑
n=1
4 + 3n
2n
(f)
∞∑
n=1
cos2 n
n2 + 1
(g)
∞∑
n=1
sin2 n
n
√
n
(h)
∞∑
n=2
√
n
n− 1
(i)
∞∑
n=1
1√
n3 + 1
(j)
∞∑
n=1
1
2n+ 3
(k)
∞∑
n=3
n+ 2
(n+ 1)3
(l)
∞∑
n=1
1 + n+ n2√
1 + n2 + n6
(m)
∞∑
n=1
n+ 5
3
√
n7 + n2
(n)
∞∑
n=1
1
n!
(o)
∞∑
n=1
n!
nn
6. Use o teste das séries alternadas para decidir se a série é convergente ou divergente.
(a)
∞∑
n=1
(−1)n−1√
n
(b)
∞∑
n=1
(−1)n−1
ln(n+ 4)
(c)
∞∑
n=1
(−1)n 3n− 1
2n+ 1
(d)
∞∑
n=1
(−1)n n√
n3 + 2
(e)
∞∑
n=1
(−1)n
√
n
1 + 2
√
n
(f)
∞∑
n=1
(−1)n+1 n
2n
(g)
∞∑
n=1
sin(npi2 )
n!
(h)
∞∑
n=1
(−1)n cos(pi
n
)
(i)
∞∑
n=1
(−n
5
)n
7. Use o teste da razão ou teste da raiz para decidir se as séries são absolutamente convergente,
condicionalmente convergente ou divergente.
(a)
∞∑
n=1
n2
2n
(b)
∞∑
n=1
(−10)n
n!
(c)
∞∑
n=1
(−1)n−1 2
n
n4
(d)
∞∑
n=1
(−1)n−1
4
√
n
(e)
∞∑
n=1
(−1)n
n4
(f)
∞∑
n=1
sin(4n)
4n
(g)
∞∑
n=1
10n
(n+ 1)42n+1
(h)
∞∑
n=1
3− cosn
n
2
3 − 2
(i)
∞∑
n=2
(−1)n
lnn
(j)
∞∑
n=1
n!
nn
(k)
∞∑
n=1
cos(npi3 )
n!
(l)
∞∑
n=1
(
n2 + 1
2n2 + 1
)n
(m)
∞∑
n=2
(
−2n
n+ 1
)5n
(n)
∞∑
n=1
2 · 4 · 6 · · · (2n)
n!
(o)
∞∑
n=1
2nn!
5 · 8 · 11 · · · (3n+ 2)
8. Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potência.
(a)
∞∑
n=1
xn√
n
(b)
∞∑
n=0
(−1)nxn
n+ 1
(c)
∞∑
n=1
(−1)n−1xn
n3
(d)
∞∑
n=1
√
nxn
(e)
∞∑
n=0
xn
n!
(f)
∞∑
n=1
nnxn
(g)
∞∑
n=1
(−1)nn4nxn
(h)
∞∑
n=1
xn
n3n
(i)
∞∑
n=1
(−2)nxn
4
√
n
(j)
∞∑
n=1
xn
5nn5
(k)
∞∑
n=2
(−1)nxn
4n lnn
(l)
∞∑
n=0
(−1)nx2n
(2n)!
2
(m)
∞∑
n=0
(x− 2)n
n2 + 1
(n)
∞∑
n=0
(−1)n(x− 3)n
2n+ 1
(o)
∞∑
n=1
3n(x+ 4)n√
n
(p)
∞∑
n=1
n
4n
(x+ 1)n
(q)
∞∑
n=1
(x− 2)n
nn
(r)
∞∑
n=1
(3x− 2)n
n3n
(s)
∞∑
n=1
n(x− 4)n
n3 + 1
(t)
∞∑
n=1
n!(2x− 1)n
(u)
∞∑
n=2
x2n
n(lnn)2
9. Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o intervalo de con-
vergência.
(a) f(x) = 11+x
(b) f(x) = 31−x4
(c) f(x) = x9+x2
(d) f(x) = x2x2+1
(e) f(x) = 1+x1−x
(f) f(x) = x
2
a3−x3
(g) f(x) = ln(5− x)
(h) f(x) = x
2
(1−2x2)2
(i) f(x) = x
3
(x−2)2
(j) f(x) = arctan(x3 )
(k) f(x) = ln(x2 + 4)
(l) f(x) = ln( 1+x1−x )
10. Usando séries, calcule as integrais abaixo. Qual o raio de convergência?
(a)
∫
t
1− t8 dt
(b)
∫
ln(1− t)
t
dt
(c)
∫
t− arctan t
t3
dt
(d)
∫
1
1 + t5
dt
(e)
∫
t2 arctan(t4) dt
(f)
∫
e−t
2
dt
11. Encontre a série de Maclaurin de f(x) e o intervalo de convergência.
(a) f(x) = (1− x)−2
(b) f(x) = cosx
(c) f(x) = sinx
(d) f(x) = cos 2x
(e) f(x) = e5x
(f) f(x) = ln(1 + x)
• Parte 3.
1. Mostre que a série é convergente. Quantos termos é necessário para encontrar a soma com a precisão
desejada?
(a)
∞∑
n=1
(−1)n+1√
n6
com |Rn| ≤ 0, 00005 (b)
∞∑
n=1
(−1)n√
n5n
com |Rn| ≤ 0, 0001
2. Encontre a série de Maclaurin da função dada e seu raio de convergência.
(a) f(x) =
√
1 + x
(b) f(x) = (4 + x)−
1
2
(c) f(x) = 3
√
1− x3
(d) f(x) = (9 + x4)−
1
2
(e) f(x) = x
2√
1+x
(f) f(x) = (3− x)−2
(g) f(x) = 3
√
8 + x
(h) f(x) = (4 + x2)−1
(i) f(x) = x√
1−x
(j) f(x) = x3√1+x2
3. Calcule o valor da quantidade dada com três casas de precisão usando uma série binomial adequada.
(a)
√
24
(b)
√
51
(c)
4
√
630
(d)
3
√
66
(e)
1
3√128
(f)
1
5√31
3