APOSTILA RACIOCÍNIO LÓGICO

Prévia do material em texto

RACIOCÍNIO 
LÓGICO 
 
SUMÁRIO 
 
 
Conjuntos ....................................................................................................................................................................... 5 
 
Relação de pertinência ................................................................................................................................... 6 
 
Relação entre conjuntos ................................................................................................................................. 6 
 
Quantidade de Subconjuntos........................................................................................................................ 7 
 
Conjuntos numéricos fundamentais ........................................................................................................... 8 
 
Intervalos numéricos ................................................................................................................................................. 10 
 
Operações .................................................................................................................................................................... 10 
 
Diferença entre conjuntos (A - B ou A \ B) ......................................................................................................... 14 
 
Complementar de um conjunto .................................................................................................................. 15 
 
Número de elementos dos conjuntos ....................................................................................................... 16 
 
Conceitos Básicos de Lógica ................................................................................................................................. 30 
 
Princípios ...................................................................................................................................................................... 32 
 
Proposições ................................................................................................................................................................. 36 
 
Tabela-Verdade .......................................................................................................................................................... 39 
 
Questões de Fixação ................................................................................................................................................ 47 
 
RACIOCÍNIO LÓGICO 
 
 
 
CONJUNTOS 
 
Vamos começar esta aula relembrando alguns conceitos fundamentais para o nosso estudo. Relem-
braremos apenas alguns tópicos para nos familiarizarmos com os símbolos e a linguagem utilizados. 
 
A definição de conjuntos é bastante intuitiva, mas podemos dizer que os conjuntos são 
coleções de “coisas”. Exemplos: 
 
 Os carros de uma locadora de veículos Z formam o conjunto de carros da locadora de veículos Z.

 Os policiais do 1º Batalhão em Fortaleza formam o conjunto dos policiais do 1º 
Batalhão em Fortaleza.
 
Vemos que realmente é um conceito muito intuitivo. 
 
Os conjuntos, normalmente simbolizados com letras maiúsculas, são representados com a 
enumera-ção dos seus elementos entre chaves. Ex: V = {a, e, i, o, u} (conjunto das vogais). Esse 
mesmo conjunto pode ser representado por meio da propriedade de seus elementos, ou seja, uma 
característica que defina todos os elementos que pertencem àquele conjunto. No nosso exemplo V = {x 
| x é uma vogal} (lemos: V é igual ao conjunto dos elementos “x” tal que x seja uma vogal). Assim, 
 
V = {a, e, i, o, u} = {x | x é uma vogal} 
 
E se o conjunto tiver milhares de elementos? Ou então, infinitos elementos? Calma, pois nós pode-
mos utilizar a enumeração dos elementos, mesmo quando o conjunto é infinito. Para isso enumeramos 
alguns elementos que evidenciem a lei de formação do conjunto e finalizamos com reticências. 
 
I = {1, 3, 5, 7, 9, ...} (conjunto dos números ímpares positivos) 
 
Além disso, podemos utilizar esta mesma notação quando o conjunto é finito, mas possui 
uma enor-me quantidade de elementos. 
 
J = {0, 1, 2, 3, 4, ..., 5.000} (conjunto dos números inteiros de 0 a 5.000) 
 
Podemos, também, representar os conjuntos por meio de diagramas. O conjunto A = {0, 1, 
2} pode ser representado por: 
 
 
1 
A = 
0 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
– RACIOCÍNIO LÓGICO – 5 
RELAÇÃO DE PERTINÊNCIA 
 
Aqui estamos falando da relação dos elementos com os conjuntos. Não são relações entre 
conjun-tos, mas dos elementos com eles. O elemento pode fazer parte de um conjunto (dizemos que o 
elemento pertence ao conjunto) ou o elemento pode não fazer parte do conjunto (dizemos que o 
elemento não pertence ao conjunto). Os símbolos que utilizamos para representar essa relação são: 
 
x ∈ A (lemos: x pertence ao conjunto A, ou x é elemento de A) 
 
y ∉ K (lemos: y não pertence ao conjunto K, ou y não é elemento de K) 
 
Pode existir algum conjunto que não possua nenhum elemento? Pode sim, é o que chamamos 
de conjunto vazio. Ele não possui nenhum elemento e é representado pelo símbolo ∅ ou por { }. 
 
Do lado oposto ao conjunto vazio, temos o conjunto universo, que é aquele ao qual 
pertencem to-dos os elementos. Representamos o conjunto universo por meio do símbolo U. 
 
Cabe destacar que um conjunto pode ser elemento de outro conjunto, por exemplo, o 
conjunto dos times que disputam o Campeonato Brasileiro de Futebol. Cada time é um elemento 
desse conjunto e, ao mesmo tempo, cada time é um conjunto de jogadores de futebol. 
 
RELAÇÃO ENTRE CONJUNTOS 
 
A primeira relação entre os conjuntos é a relação de igualdade. Dizemos que dois conjuntos 
A e B são iguais quando todos os elementos de A pertencem ao conjunto B e, reciprocamente, 
todos os elemen-tos de B pertencem ao conjunto A. 
 
Outra relação importante é a relação de subconjunto. Podemos definir que o conjunto C 
possui como subconjunto o conjunto D, se todos os elementos do conjunto D também 
pertencerem ao conjunto C. Assim, dizemos que D é subconjunto de C e indicamos isto por D ⊂ 
C (D é subconjunto de C ou D está contido em C). 
 
Com essa definição, podemos destacar alguns pontos: 
 
 Conjuntos iguais são subconjuntos um do outro (para A = B; A ⊂ B e B ⊂ A)

 Todo conjunto é subconjunto de si próprio (A ⊂ A)
 
Como vimos na definição de subconjunto, todos os elementos do conjunto A pertencem ao conjunto A. 
 
 O conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto (∅ ⊂ Y)
 
Com vimos na definição de subconjunto, todos os elementos do conjunto ∅ (ou seja, nenhum 
ele-mento) pertencem ao conjunto Y. 
 
 Se A ⊂ B e B ⊂ C, então A ⊂ C
 
Ora, se todos os elementos de A pertencem ao conjunto B, e se todos os elementos de B 
pertencem ao conjunto C, podemos concluir que todos os elementos de A pertencem ao conjunto C. 
 
 
 
 
6 – RACIOCÍNIO LÓGICO – 
Vimos aqui relações entre conjuntos. Essa representação “X ⊂ Y” quer dizer que o conjunto 
X está contido no conjunto Y, que é mesmo que dizer que X é um subconjunto de Y. De forma 
inversa, quando o conjunto A possui todos os elementos do conjunto B, podemos dizer que A 
contém B, e representamos por A ⊃ B. Vamos ilustrar com um exemplo: 
 
K={1,2,3} 
 
J={1,2} 
 
Podemos afirmar que J é um subconjunto de K, ou seja, que J está contido em K (J ⊂ K), 
ou, podemos dizer que K contém J (K ⊃ J). 
 
Existem também os símbolos ⊄ (não está contido ou não é subconjunto de) e ⊃ (não contém). 
 
Usando diagramas, podemos representar essa relação da seguinte forma: 
 
 
J K 
 
 
 
Podemos dizer que J ⊂ K (J está contido em K) e que K ⊃ J (K contém J)QUANTIDADE DE SUBCONJUNTOS 
 
Podemos definir a quantidade de subconjuntos de um conjunto qualquer da seguinte forma: 
se um conjunto A possui n elementos então ele possui 2
n
 subconjuntos. 
 
Vamos ver alguns exemplos para demonstrar isso: 
 
Ex.1: Conjunto A = {1} 
 
Esse conjunto só possui um único elemento (chamamos de conjunto unitário), o número 1, 
então o número de subconjuntos é igual a 21 = 2. Quais seriam esses subconjuntos? 
 
Subconjunto 1 = ∅ 
 
Subconjunto 2 = {1} 
 
Lembrem que todo conjunto possuirá o conjunto vazio e ele mesmo como subconjuntos. 
 
Ex2: Conjunto B = {1, 2} 
 
Esse conjunto possui dois elementos, os números 1 e 2, então o número de subconjuntos é igual a 2
2 
 
= 4. Quais seriam esses 
subconjuntos? Subconjunto 1 
= {} Subconjunto 2 = {1} 
Subconjunto 3 = {2} 
 
Subconjunto 4 = {1, 2} Só mais um exemplo: 
 
 
 
 
– RACIOCÍNIO LÓGICO – 7 
Ex3: Conjunto C = {} 
 
Isso mesmo, quantos subconjuntos possui o conjunto vazio? Esse conjunto não possui nenhum 
ele-mento, então o número de subconjuntos é igual a 2
0
 = 1. Qual seria esse subconjunto? 
Subconjunto 1 = {} 
 
Exatamente, apenas ele mesmo, o conjunto vazio. 
 
Mais um conceito importante é o que define o conjunto formado por todos os subconjuntos de 
um conjunto A. Ele é denominado de “conjunto das partes de A” e é indicado por P(A). Assim, se A 
= {1, 2}, o conjunto das partes de A é dado por P(A) = { ∅ , {1} , {2} , {1, 2} }. Assim, todo subconjunto 
de A é também denominado parte de A, pois é um elemento do conjunto das partes de A. 
 
Exemplos: 
 
1. (SEGER/ES - 2008 / CESPE) Uma conferência internacional reunirá representantes dos 
se-guintes países: Alemanha, Argentina, Bolívia, Brasil, Canadá, Chile, Colômbia, Escócia, 
Estados Uni-dos da América, França, Inglaterra, Peru, Suíça, Uruguai e Venezuela. Se B é o 
conjunto formado pelos países que participarão da conferência e não pertencem à América do 
Sul, então o número de subconjuntos formados a partir dos elementos de B é igual a 128. 
 
Solução: 
 
Temos, nessa questão, como conjunto universo, todos os países que participarão da 
conferência internacional. Assim, 
 
U = {Alemanha, Argentina, Bolívia, Brasil, Canadá, Chile, Colômbia, Escócia, Estados 
Unidos da Amé-rica, França, Inglaterra, Peru, Suíça, Uruguai e Venezuela} 
 
Temos, também, que B é formado pelos países que participarão da conferência, mas não 
pertencem à América do Sul. Assim, 
 
B = {Alemanha, Canadá, Escócia, Estados Unidos da América, França, Inglaterra, Suíça} 
 
Vimos que para sabermos o número de subconjuntos de qualquer conjunto basta sabermos 
a quan-tidade de elementos deste conjunto, já que o número de subconjuntos é dado por 2
n
 onde 
n é o número de elementos do conjunto. 
 
Assim, como B possui 7 elementos, o número de subconjuntos de B é dado por 27 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 128. 
 
CONJUNTOS NUMÉRICOS FUNDAMENTAIS 
 
Definimos conjunto numérico, qualquer conjunto cujos elementos são apenas números. 
Teremos, então, infinitos conjuntos numéricos, entre os quais, os chamados conjuntos numéricos 
fundamentais. Isso você já viu há muuuuito tempo atrás, mas cabe relembrá-los agora! 
 
– Conjunto dos números naturais: Simbolizamos por um Ν (n maiúsculo). Ele é formado 
por todos os números inteiros não negativos. 
 
 
8 – RACIOCÍNIO LÓGICO – 
Ν = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,...} 
 
Um importante subconjunto de Ν é chamado de Ν* e é dado por todos os números naturais 
estrita-mente positivos, ou seja, o conjunto Ν excluindo-se o zero. 
 
Ν* = {1, 2, 3, 4, 5, 6,...} 
 
– Conjunto dos números inteiros: Simbolizamos por um Ζ (z maiúsculo). Como o próprio 
nome já diz, ele é formado por todos os números inteiros. 
 
Ζ = {..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4...} 
 
Três importantes subconjuntos de Ζ são: Ζ*, dado por todos os números inteiros diferentes 
de zero, ou seja, o conjunto Ζ excluindo-se o zero; Ζ+, dado por todos os números inteiros não 
negativos (Ζ+ = Ν) e Ζ-, dado por todos os números inteiros não positivos. 
 
Ζ* = {..., -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4...} 
 
Ζ+ = {0, 1, 2, 3, 4...} = N 
 
Ζ- = {..., -4, -3, -2, -1, 0} 
 
– Conjunto dos números racionais: Simbolizamos por um Q (q maiúsculo). Ele é formado 
por todos os números que podem ser escritos em forma de uma fração x/y onde x e y são 
números inteiros e y é dife-rente de zero (devemos lembrar que não existe divisão por zero). 
 
Exemplos: 2/5, -4/9; 0,385 (pois pode ser escrito como 385/1000); 3,3333... (pois pode 1000 
ser escrito como 10/9 (pois pode ser escrito como 9/1 ), etc.. 
 
Assim, toda fração, todo número decimal, toda dízima periódica e todo número inteiro 
pertencem ao conjunto Q. 
 
Da mesma forma que fizemos para os números inteiros, existem três subconjuntos de Q que 
são importantes: Q* (números racionais não nulos), Q+ (números racionais não negativos) e Q- 
(números racio-nais não positivos) 
 
– Conjunto dos números irracionais: Simbolizamos por um Ι (i maiúsculo). Ele é formado por todas 
as dízimas não periódicas, ou seja, números decimais com infinitas casas decimais que não se repetem. 
 
Exemplos: π (pi = 3,1416...); 5 (todo raiz não exata); 2,5694348667... (dízima não periódica); etc. 
 
– Conjunto dos números reais: Simbolizamos por um R (r maiúsculo). Ele é formado por 
todos os números racionais e todos os números irracionais. Assim, todo número Real, ou é 
Racional ou é Irracional, não existe outra possibilidade. 
 
Podemos fazer algumas observações a partir destes conjuntos: 
 
☐ Ν ⊂ Ζ ⊂ Q ⊂ R. Ou seja, Ν é um subconjunto de Ζ, que é um subconjunto 
de Q, que é um subconjunto de R. 
 
☐ Ι ⊂ R. Ou seja, Ι também é um subconjunto de R. 
 
 
 
 
– RACIOCÍNIO LÓGICO – 9 
INTERVALOS NUMÉRICOS 
 
Dados dois números quaisquer a e b, chamamos de intervalo o conjunto de todos os 
números com-preendidos entre a e b, podendo inclusive incluir a e b. Os números a e b são os 
limites do intervalo, sendo o módulo da diferença a – b, chamada amplitude do intervalo. 
 
Se o intervalo incluir a e b, o intervalo é fechado e caso contrário, o intervalo é dito aberto. 
Repre-sentamos o intervalo fechado por um colchete e o intervalo aberto por um parêntese ou um 
colchete ao contrário: 
 
[1 , 3]: Lemos “Intervalo fechado em 1 e fechado em 3” 
 
]1 , 3[ ou (1 , 3): Lemos “Intervalo aberto em 1 e aberto em 3” 
 
[1 , 3[ ou [1 , 3): Lemos “Intervalo fechado em 1 e aberto em 3” 
 
]1 , 3] ou (1 , 3]: Lemos “Intervalo aberto em 1 e fechado em 3” 
 
 
 
OPERAÇÕES 
 
Vamos, agora, à parte mais importante da aula de hoje, que são as operações. 
 
 
– União ( ∪ ) 
 
Dados os conjuntos A e B, definimos o conjunto união A ∪ B como { x ; x ∈ A ou x ∈ B}. 
Vamos ver um exemplo: 
 
A={0,1,2} 
 
B={2,3,4} 
 
 
A∪B={0,1,2}∪{2,3,4}={0,1,2,3,4} 
 
Podemos perceber que o conjunto união abrange todos os elementos que pertencem ao conjunto A 
ou ao conjunto B. Se o elemento pertencer aos dois conjuntos, ele também pertencerá ao conjunto união 
(no nosso exemplo “2” pertence ao conjunto A e ao conjunto B e também pertence ao conjunto união). 
 
Usando diagramas, podemos representar a união das formas a seguir: 
 
 J e K possuem alguns elementos em comum e cada um possui elementos que o outro 
não possui:
 
 
J ∪ K = J K 
 
 
 
 
 
 
 
 
10 – RACIOCÍNIO LÓGICO – 
 J e K não possuem nenhum elemento em comum: 
 
 
J ∪ K = J K 
 
 
 
 
 J ⊂ K (K possui todos os elementos de J e mais alguns que J não possui): 
 
 
J ∪ K = J K 
 
 
 
 J = K (J e K possuem os mesmo elementos): 
 
 
J ∪ K = J KJ ∪ K corresponde à área pintada de amarelo nos diagramas. 
 
Cabe destacar desde já algumas propriedades da união dos conjuntos. Vejamos: 
 
☐ A∪A=A 
 
☐ A∪∅=A 
 
☐ A ∪ B = B ∪ A (a união de conjuntos é uma operação comutativa) 
 
☐ (A∪B)∪C=A∪(B∪C) 
 
☐ A ∪ U = U, onde U é o conjunto universo 
 
☐ Se B ⊂ A, então A ∪ B = A 
 
 
Interseção ( ∩ ) 
 
Dados os conjuntos A e B, definimos o conjunto interseção A ∩ B como {x ; x ∈ A e x ∈ 
B}. Vamos ver um exemplo: 
 
A={0,1,2} 
 
B={2,3,4} 
 
A∩B={0,1,2}∩{2,3,4}={2} 
 
Podemos perceber que o conjunto interseção abrange apenas os elementos que pertencem 
tanto ao conjunto A quanto ao conjunto B. É preciso que o elemento pertença aos dois conjuntos 
para pertencer ao conjunto interseção (no nosso exemplo apenas o “2” pertence ao conjunto A e 
ao conjunto B e, assim, também pertence ao conjunto interseção). 
 
 
 
 
– RACIOCÍNIO LÓGICO – 11 
Usando diagramas, podemos representar a interseção das formas a seguir: 
 
 J e K possuem alguns elementos em comum e cada um possui elementos que o outro 
não possui:
 
 
 
J ∩ K 
= J 
K 
 
 
 
 
 
 J e K não possuem nenhum elemento em comum (a interseção destes conjuntos 
resulta no conjunto vazio):
 
 
 
J ∩ K = J K 
 
 
 
 
 J ⊂ K (K possui todos os elementos de J e mais alguns que J não possui): 
 
 
J ∩ K 
 
 
 
 
 J = K (J e K possuem os mesmo elementos): 
 
 
J ∩ K 
 
 
 
= J K 
 
 
 
 
 
= J 
K 
 
 
 
J ∩ K corresponde à área pintada de amarelo nos diagramas. 
 
Agora, vamos destacar algumas propriedades da interseção dos conjuntos. Vejamos: 
 
☐ A∩A=A 
 
☐ A∩∅=∅ 
 
☐ A ∩ B = B ∩ A (a interseção dos conjuntos é uma operação comutativa) 
 
☐ A ∩ U = A, onde U é o conjunto universo. 
 
☐ A∩(B∩C)=(A∩B)∩C 
 
☐ Se B ⊂ A, então A ∩ B = B 
 
 
 
 
 
 
 
12 – RACIOCÍNIO LÓGICO – 
Agora, vamos ver algumas propriedades que misturam a união com a interseção. Vejamos: 
 
☐ A ∩ ( B ∪ C ) = (A ∩ B) ∪ ( A ∩ C) (propriedade distributiva) 
 
☐ A ∪ ( B ∩ C ) = (A ∪ B ) ∩ ( A ∪ C) (propriedade distributiva) 
 
☐ A ∩ (A ∪ B) = A (lei da absorção) 
 
☐ A ∪ (A ∩ B) = A (lei da absorção) 
 
☐ Se A ∪ B = A ∩ B, então A = B 
 
Uma observação importante é que se A ∩ B = ∅, dizemos que os conjuntos A e B são 
disjuntos, ou seja, eles não possuem nenhum elemento em comum. 
 
Exemplo: 
 
1. (SEFAZ/ES - 2008 / CESPE) Sejam A = {n N*; n é par}, B = {n N*; n é ímpar} e C = {n 
N*; n é primo}, em que N* é o conjunto dos números naturais estritamente positivos, o 
conjunto C ∩ A é vazio. 
 
Solução: 
 
Vamos organizar as informações: 
 
A = {n ∈ N*; n é par}, ou seja, A = {2, 4, 6, 8,...} 
 
B = {n ∈ N*; n é ímpar}, ou seja, B = {1, 3, 5, 7, 9,...} 
 
C = {n ∈ N*; n é primo}, ou seja, C = {2, 3, 5, 7, 11, 13, ...} 
 
Só para lembrar, um número natural é dito primo quando ele tem exatamente dois divisores: o 
nú-mero um e ele mesmo. Por definição, nem o zero nem o número um são considerados primos. 
Uma obser-vação importante é que o único número primo que é par é o número dois, já que todos os 
outro números pares são, no mínimo, divisíveis por um, por ele mesmo e por dois. 
 
Assim, com o que acabamos de lembrar sobre números primos e olhando para os conjuntos 
A e C, podemos concluir que C ∩ A = {2}, pois 2 é o único elemento que é par e primo ao mesmo 
tempo. Portanto, o item está errado! 
 
 
2. (SEGER/ES - 2008 / CESPE) Uma conferência internacional reunirá representantes dos 
seguin-tes países: Alemanha, Argentina, Bolívia, Brasil, Canadá, Chile, Colômbia, Escócia, 
Estados Unidos da América, França, Inglaterra, Peru, Suíça, Uruguai e Venezuela. Se P 
representa o conjunto formado pelos países que participarão da conferência, e A, o conjunto 
formado pelos países da América do Sul, então o conjunto A ∩ P tem 5 elementos. 
 
Solução: 
 
Organizando as informações, temos: 
 
P = {Alemanha, Argentina, Bolívia, Brasil, Canadá, Chile, Colômbia, Escócia, Estados 
Unidos da Améri-ca, França, Inglaterra, Peru, Suíça, Uruguai e Venezuela} 
 
 
– RACIOCÍNIO LÓGICO – 13 
A = {x; x é um país da América do Sul} 
 
A ∩ P = {Argentina, Bolívia, Brasil, Chile, Colômbia, Peru, Uruguai, Venezuela} Bom, 
podemos ver que A ∩ P possui 8 elementos. Assim, o item está errado! 
 
DIFERENÇA ENTRE CONJUNTOS A B OU A \ B 
 
Podemos definir o conjunto resultante da diferença entre os conjuntos A e B como o conjunto dos 
elementos que pertencem ao conjunto A e não pertencem ao conjunto B, ou seja, A - B = {x | x ∈ A e x ∉ B}. 
 
Observe que os elementos do conjunto da diferença são aqueles que pertencem ao primeiro 
con-junto, mas não pertencem ao segundo. Vamos ver alguns exemplos: 
 
{1, 2, 3, 4} - {1, 2, 3} = {4} 
 
{0, 1, 2} - {2, 3, 4} = {0, 1} 
 
Usando os diagramas, podemos representar a diferença das formas a seguir: 
 
 J e K possuem alguns elementos em comum e cada um possui elementos que o outro 
não possui:
 
 
J - K = 
J K 
 
 
 
 
 J e K não possuem nenhum elemento em comum (a diferença J - K resulta no próprio conjunto J):
 
J - 
K
 = 
J
 
K 
 
 
 
 
 J ⊂ K (K possui todos os elementos de J e mais alguns que J não possui): 
 
 
J - 
K
 
=
 J K 
 
 
 
 
K - J = J 
K 
 
 
 
 
 J = K (J e K possuem os mesmos elementos, o resultado da diferença é o conjunto vazio): 
 
 
J - = J K 
 K 
 
 
14 – RACIOCÍNIO LÓGICO – 
A diferença corresponde à área pintada de amarelo nos diagramas. Podemos observar 
algumas pro-priedades interessantes: 
 
☐ A-∅=A 
 
☐ ∅-A=∅ 
 
☐ A-A=∅ 
 
☐ A - B ≠ B - A (a diferença de conjuntos não é uma operação comutativa). 
 
COMPLEMENTAR DE UM CONJUNTO 
 
O complementar de um conjunto é um caso particular da diferença entre dois conjuntos. 
Assim, da-dos dois conjuntos A e B, com B ⊂ A, a diferença A - B chamaremos de complementar 
de B em relação a A. Simbolizamos como CAB ou Ā (sempre para B ⊂ A). 
 
Existe um caso particular que cabe fazermos um destaque. É o complementar de um conjunto A 
em relação ao conjunto universo U, ou seja, CUA = U - A. Batizamos este conjunto de A’. O conjunto A’ 
é formado por todos os elementos que não pertencem ao conjunto A, ou seja, A’ = {x; x ∉ A}. 
 
Podemos observar mais algumas propriedades interessantes: 
 
☐ CAA=∅ 
 
☐ A∩A’=∅ 
 
☐ A∪A’=U 
 
☐ ∅’= U 
 
☐ U’= ∅ 
 
1. (SEFAZ/ES - 2008 / CESPE) Sejam A = {n N*; n é par}, B = {n N*; n é ímpar} e C = {n N*; n 
 
é primo}, em que N* é o conjunto dos números naturais estritamente positivos. Assim, o 
conjunto N* \ (A ∪ B) é vazio. 
 
Solução: 
 
Vamos organizar as informações: 
 
A = {n ∈ N*; n é par}, ou seja, A = {2, 4, 6, 8, 10, ...} 
 
B = {n ∈ N*; n é ímpar}, ou seja, B = {1, 3, 5, 7, 9, ...} 
 
N* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ....} 
 
Podemos perceber que A ∪ B = N*, pois a união de todos os números pares positivos com todos os 
números ímpares positivos resulta no conjunto de todos os números naturais positivos. Assim, 
 
N*\(A∪B)=N*\N*=N*-N*=∅ 
 
Portanto, o item está correto! 
 
 
– RACIOCÍNIO LÓGICO – 15 
NÚMERO DE ELEMENTOS DOS CONJUNTOS 
 
Consideremos dois conjuntos A e B, de modo que o número de elementos do conjunto A 
seja n(A) e o número de elementos do conjunto B seja n(B). Agora, consideremos o número de 
elementos da inter-seção A ∩ B por n(A ∩ B) e o número de elementos da união A ∪ B por n(A 
∪ B). Assim, podemos definir a seguinte equação: 
 
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B) 
 
 
 
Essa equação é a parte mais importante desta aula. Vocêverá como ela é útil na resolução 
de diversas questões. Essa vale a pena decorar! 
 
Vamos demonstrar essa equação com três exemplos: 
 
Ex1: 
 
A = {0, 1, 2}, assim, n(A) = 3 
 
B = {2, 3, 4}, assim, n(B) = 3 
 
A ∩ B = {2}, assim, n(A ∩ B) = 1 
 
A ∪ B = {0, 1, 2, 3, 4}, assim, n(A ∪ B) = 5 
 
Voltando para a equação, temos: 
 
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B) 
 
5=3+3–1 
 
5 = 5 
 
Ex2: 
 
A = {0, 1}, assim, n(A) = 2 
 
B = {2, 3}, assim, n(B) = 2 
 
A ∩ B = {}, assim, n(A ∩ B) = 0 
 
A ∪ B = {0, 1, 2, 3}, assim, n(A ∪ B) = 4 
 
Voltando para a equação, temos: 
 
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B) 
 
4=2+2–0 
 
4 = 4 
 
 
 
 
 
 
 
A 
3 
B 
0
 1 
2 
 
 
4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A B 
 
0 
2 
3 
1 
 
 
 
 
 
 
 
 
16 – RACIOCÍNIO LÓGICO – 
Ex3: 
 
A = {0, 1, 2}, assim, n(A) = 3 
 
B = {0, 1, 2}, assim, n(B) = 3 
 
A ∩ B = {0, 1, 2}, assim, n(A ∩ B) = 3 
A ∪ B = {0, 1, 2}, assim, n(A ∪ B) = 3 
 
Voltando para a equação, temos: 
 
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B) 
 
3=3+3–3 
 
3 = 3 
 
 
 
 
A B 
0 2 
1 
 
Viram? Mesmo quando A e B não possuem nenhum elemento em comum, ou quando 
possuem os mesmos elementos, essa equação sempre pode ser usada. 
 
Vale apresentar mais uma equação. Considerando como n(A \ B) o número de elementos do conjunto 
 
A \ B, temos: 
 
n(A \ B) = n(A) – n(A ∩ B) 
 
 
Só um exemplo para você visualizar: 
A = {0, 1, 2}, assim, n(A) = 3 
B={2,3,4} A 
3 
B 
A ∩ B = {2}, assim, n(A ∩ B) = 1 0 1 
2 
 
 
4 
A \ B = {0, 1}, assim, n(A \ B) = 2 
 
Voltando para a equação, temos: 
 
n(A \ B) = n(A) – n(A ∩ B) 
 
2=3–1 
 
2 = 2 
 
Exemplo: 
 
1. (STJ - 2008 / CESPE) Em um tribunal, todos os 64 técnicos administrativos falam 
inglês e(ou) espanhol; 42 deles falam inglês e 46 falam espanhol. Nessa situação, 24 
técnicos falam inglês e es-panhol. 
 
Solução: 
 
Bom, vamos começar organizando as informações: 
 
I = Conjunto dos técnicos que falam inglês (42 elementos) 
 
 
– RACIOCÍNIO LÓGICO – 17 
E = Conjunto dos técnicos que falam espanhol (46 elementos) 
 
I ∪ E = Conjunto dos técnicos que falam inglês e/ou espanhol (64 elementos) I ∩ E = 
Conjunto dos técnicos que falam inglês e espanhol (x elementos) 
 
Acabamos de ver que n(A ∪ B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B). Assim, nesse caso, temos: 
 
n(I ∪ E) = n(I) + n(E) - n(I ∩ E) 64 = 42 + 46 - x 
 
x = 42 + 46 - 64 
 
x = 24 
 
Portanto, podemos concluir que a quantidade de técnicos que falam inglês e espanhol é 
igual a 24. Item correto! 
 
 
2. (SEBRAE - 2010 / CESPE) Considerando que, em um concurso público no qual as 
provas para determinado cargo constituíam-se de conhecimentos básicos (CB) e de 
conhecimentos especí cos (CE), 430 inscritos zeram as provas e, deles, 210 foram aprovados 
em CB, 230 foram aprovados em CE e apenas 16 foram aprovados nas duas provas, então é 
correto a rmar que menos de 10 desses candidatos foram reprovados nas duas provas. 
 
Solução: 
 
Mais uma vez, vamos começar organizando as informações: T: Total de alunos que fizeram a prova = 430 
 
CB: Alunos aprovados em Conhecimento Básicos = 210 CE: Alunos aprovados em Conhecimento 
 
Específicos = 230 CB ∩ CE: Alunos aprovados nas duas provas = 16 
 
AR: Total de alunos reprovados nas duas provas = ??? 
 
Para a resolução desta questão, vamos construir um diagrama para facilitar o entendimento: 
 
T 
 
CB CE 
 
 
 
 
 
 
 
O que queremos calcular é quantidade de elementos da área pintada de amarelo. Para isso, basta 
diminuir o total de alunos que fizeram a prova do total de alunos que passaram em pelo menos uma prova 
(CB ∪ CE). Para saber a quantidade de alunos que passaram em pelo menos uma prova, devemos calcular 
a quantidade de elementos da união dos conjuntos CB e CE. Para isso, usamos aquela mesma equação: 
 
n(CB ∪ CE) = n(CB) + n(CE) – n(CB ∩ CE) 
 
n(CB ∪ CE) = 210 + 230 – 16 
 
n(CB ∪ CE) = 424 
 
 
18 – RACIOCÍNIO LÓGICO – 
Agora podemos calcular a quantidade de elementos da área pintada de amarelo: 
 
n(AR) = n(T) – n(CB ∪ CE) 
 
n(AR) = 430 – 424 
 
n(AR) = 6 
 
Portanto, apenas 6 alunos foram reprovados nas duas provas. Item correto! 
 
 
 
3. (SEBRAE - 2010 / CESPE) É possível que existam conjuntos A e B com a A ≠ B e que A ∪ B = A ∩ B. 
 
Solução: 
 
Vimos lá em cima que “se A ∪ B = A ∩ B, então, A = B”. Se você se lembrasse disso na 
hora da prova já acertaria esta questão sem perder tempo. Mas, e se você não se lembrasse? 
Bom, aí você teria que ir para os conceitos. Vamos lá: 
 
Dados os conjuntos A e B, definimos o conjunto união A ∪ B como {x ; x ∈ A ou x ∈ B}. Ou seja, o con-
junto união A ∪ B é formado por todos os elementos que pertençam a pelo menos um dos conjuntos A e B. 
 
Dados os conjuntos A e B, definimos o conjunto interseção A ∩ B como {x ; x ∈ A e x ∈ B}. 
Ou seja, o conjunto interseção A ∩ B é formado por todos os elementos que pertençam ao 
mesmo tempo aos dois conjuntos A e B. 
 
Dizemos que dois conjuntos A e B são iguais quando todos os elementos de A pertencem 
ao conjun-to B e, reciprocamente, todos os elementos de B pertencem ao conjunto A. 
 
Com isso, sabemos que dois conjuntos podem ter a seguinte relação entre eles (a área 
pintada de amarelo corresponde à área do conjunto interseção e a área pintada de verde 
corresponde a área do con-junto união): 
 
 A e B possuem alguns elementos em comum e cada um possui elementos que o outro 
não possui:
 
A ∩ B A ∪ B 
B A B 
 
 
 
 
 A e B não possuem nenhum elemento em comum:
 
A ∪ B 
A ∩ B (conjunto vazio) B 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
– RACIOCÍNIO LÓGICO – 19 
 A ⊂ B (B possui todos os elementos de A e mais alguns que A não possui):
 
 A ∩ B A ∪ B 
A 
B 
A 
B 
 
 
 
 
 
 
 
 A = B (A e B possuem os mesmo elementos):
 
 A ∩ B A ∪ B 
A 
B A 
B 
 
 
 
 
Assim, a única forma de A ∪ B ser igual a A ∩ B é A ser igual a B. Portanto, este item está errado. 
 
 
 
4. (MPS - 2010 / CESPE) Se A for um conjunto não vazio e se o número de elementos 
do conjun-to A ∪ B for igual ao número de elementos do conjunto A ∩ B, então o conjunto 
B terá pelo menos um elemento. 
 
Solução: 
 
Da mesma forma que a questão anterior, devemos perceber que se n(A ∪ B) = n(A ∩ B), podemos 
concluir que A e B possuem os mesmo elementos. Assim, se A é um conjunto não vazio, com certeza B tam-bém 
será um conjunto não vazio, pois A e B possuem os mesmos elementos. Portanto, o item está correto. 
 
 
 
5. (DETRAN/ES - 2010 / CESPE) Considere que, em uma amostra composta por 210 
pessoas atendidas em unidade de atendimento do DETRAN, 105 foram ao DETRAN para 
resolver pendências relacionadas à documentação de veículos; 70, para resolver problemas 
relacionados a multas; e 70, para resolver problemas não relacionados à documentação de 
veículos ou a multas. Em face dessa situação, é correto a rmar que, nessa amostra, menos de 
30 pessoas procuraram a unidade de aten-dimento do DETRAN para resolver problemas 
relacionados simultaneamente à documentação de veículos e a multas. 
 
Solução: 
 
Começamos organizando as informações: Total de pessoas (T): 210 
 
Pessoas com problemas relacionados a documentação (D): 105 Pessoas com problemas relaciona- 
 
dos a multas (M): 70 
 
Pessoas com problemas não relacionados à documentação ou a multas (N): 70 Pessoas com proble- 
 
mas relacionados à documentação e a multas (D ∩ M): ??? 
 
 
 
 
20 – RACIOCÍNIO LÓGICO – 
Podemosdesenhar o seguinte diagrama para esta situação: 
 
T 
D 
M 
 
D ∩ M 
 
 
 
 
 
 
Assim, podemos montar a seguinte equação: 
 
n(T) = n(N) + n(D ∪ M) 
 
210 = 70 + n(D ∪ M) 
 
n(D ∪ M) = 210 – 70 
 
n(D ∪ M) = 140 
 
Lembrando aquela equação do número de elementos da união de dois conjuntos, temos: 
 
n(D ∪ M) = n(D) + n(M) – n(D ∩ M) 
 
140 = 105 + 70 – n(D ∩ M) 
 
n(D ∩ M) = 175 – 140 
 
n(D ∩ M) = 35 
 
Portanto, o número de pessoas que foram resolver problemas relacionados 
simultaneamente a do-cumentação e a multas é igual a 35. Item errado! 
 
 
6. (PC/ES - 2010 / CESPE) Uma pesquisa de rua feita no centro de Vitória constatou que, das 
pessoas entrevistadas, 60 não sabiam que a polícia civil do Espírito Santo possui delegacia com sis-
tema online para registro ou denúncia de certos tipos de ocorrência e 85 não sabiam que uma de-
núncia caluniosa pode levar o denunciante à prisão por 2 a 8 anos, além do pagamento de multa. 
Considerando-se que também foi constatado que 10 dos entrevistados não sabiam do canal de co-
municação online nem das penalidades cabíveis a denúncias caluniosas, é correto concluir que 135 
pessoas não tinham conhecimento de pelo menos uma dessas questões. 
 
Solução: 
 
Organizando as informações, temos: 
 
Não sabiam do sistema online (S): 60 pessoas 
 
Não sabiam do crime de denúncia caluniosa (D): 85 pessoas 
 
Não sabiam do sist. online e do crime de denúncia caluniosa (S ∩ D) :10 pessoas Não 
sabiam de pelo menos uma das questões (S ∪ D): ??? 
 
 
 
– RACIOCÍNIO LÓGICO – 21 
Lembrando aquela equação do número de elementos da união de dois conjuntos, temos: 
 
n(S ∪ D) = n(S) + n(D) – n(S ∩ D) 
 
n(S ∪ D) = 60 + 85 – 10 
 
n(S ∪ D) = 135 
 
Portanto, o item está correto! 
 
 
 
7. (MPS - 2010 / CESPE) Considerando que A, B e C sejam três conjuntos não vazios 
com a, b e c elementos cada, respectivamente, que a união A ∪ B ∪ C tenha a + 2c/3 
elementos, que a interseção A ∩ C tenha b/2 elementos e que o conjunto A ∩ B seja vazio, 
então o conjunto B ∩ C terá mais ele-mentos do que o conjunto A ∩ C. Solução: 
 
Vamos começar organizando as informações: 
 
n(A) = a 
 
n(B) = b 
 
n(C) = c 
 
n(A ∪ B ∪ C) = a + 2c 
 
3 
 
n(A ∩ B) = ∅ 
n(A ∩ C) = 
b 
2 
 
 
Como A e B não possuem elementos em comum, vamos desenhar os conjuntos da seguinte forma: 
 
 
 C 
A 
c b/2 – n(B C) B 
a b/2 b/2 
 n(B C) 
 b – n(B C) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
22 – RACIOCÍNIO LÓGICO – 
Assim, temos: n(A ∪ B ∪ C) = a + 2c 
 
 3 
 b 
b
 + c b a 2c 
a 2 + 2 2 n(B C) + n(B C) + b – n(B C) = 3 
a + c b + b n(B C) = a 2c 
2 
 
 3 
 
a + c + 
 b n(B C) = a 2c 
 
 
2 3 
 
 
n(B C) = 
b
 + a a 
+ c 
2c 
2 3 3 
n(B C) = 
b
 + 2a c 
 2 3 + 3 
Ou seja, 
n(B C) = n(A C) + 2a + 
c 
 
3 
 
 3 
 
Assim, podemos concluir que B ∩ C possui mais elementos do que A ∩ C. Item correto! 
 
 
8. (IFB - 2010 / CESPE) O prefeito de certo município encomendou uma pesquisa para 
avaliar a adesão da população local às campanhas de vacinação. Uma das perguntas feitas aos 
pais ques-tionava quais doses entre as três doses da vacina tetravalente seus lhos tinham 
tomado, conside-rando que cada dose pode ser tomada independentemente da outra. O 
resultado da pesquisa, que obteve informações advindas de 480 crianças, apontou que: 
 
– 120 crianças tomaram as três doses; 
 
– 130 tomaram a primeira e a segunda dose; 
 
– 150 tomaram a segunda e a terceira dose; 
 
– 170 tomaram a primeira e a terceira dose; 
 
– 270 tomaram a primeira dose; 
 
– 220 tomaram a segunda dose; 
 
– 50 não tomaram nenhuma das três doses. 
 
Na situação considerada, mais de 80 crianças tomaram apenas a terceira dose da 
vacina tetra-valente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
– RACIOCÍNIO LÓGICO – 23 
Solução: 
 
Essa questão só é um pouco trabalhosa e não devemos nos assustar com isso. Mais uma 
vez, é bom desenhar o diagrama para facilitar o entendimento: 
 
 
 
1ª 
 
2ª 
 
 
 
 
Total de entrevistados 
 
 
3ª 
 
 
 
 
 
Agora, vamos preencher as regiões com os valores correspondentes, a partir das 
informações da questão: 
 
– 120 crianças tomaram as três doses; 
 
 
 
1ª 
 
 
2ª 
 
 
120 Total de entrevistados 
 
 
 
3ª 
 
 
 
– 130 tomaram a primeira e a segunda dose; 
 
Bom, como 120 crianças tomaram as três doses, podemos concluir que 130 – 120 = 10 
crianças to-maram apenas a 1ª e a 2
a
 doses. 
 
 
 
 
 
1ª 
 
 
 
2ª 
 
10 
 
120 
Total de entrevistados 
 
 
3ª 
 
 
 
 
 
24 – RACIOCÍNIO LÓGICO – 
– 150 tomaram a segunda e a terceira dose; 
 
Da mesma forma que o item anterior, como 120 crianças tomaram as três doses, podemos 
concluir que 150 – 120 = 30 crianças tomaram apenas a 2ª e a 3
a
 doses. 
 
 
 
1ª 
 2ª 
 
 10 
 120 
30 Total de entrevistados 
 
 
3ª 
 
 
 
– 170 tomaram a primeira e a terceira dose; 
 
Da mesma forma que o item anterior, como 120 crianças tomaram as três doses, podemos 
concluir que 170 – 120 = 50 crianças tomaram apenas a 1ª e a 3
a
 doses. 
 
 
1ª 
 2ª 
 
 10 
50 
120 
30 
Total de entrevistados 
 
 
 
 
3ª 
 
 
 
– 270 tomaram a primeira dose; 
 
Bom, como 120 crianças tomaram as três doses, 10 crianças tomaram apenas a 1ª e a 2
a
 
doses e 50 crianças tomaram apenas a 1ª e a 3
a
 doses, podemos concluir que 270 – 120 – 10 – 
50 = 90 crianças toma-ram apenas a 1ª dose. 
 
 
 
1ª 
 
 
2ª 
90 10 
 
50 
120 
30 
Total de entrevistados 
 
 
 
3ª 
 
 
 
 
 
 
– RACIOCÍNIO LÓGICO – 25 
– 220 tomaram a segunda dose; 
 
Da mesma forma que o item anterior, como 120 crianças tomaram as três doses, 10 crianças toma-
ram apenas a 1ª e a 2
a
 doses e 30 crianças tomaram apenas a 2ª e a 3
a
 doses, podemos concluir que 220 
 
– 120 – 10 – 30 = 60 crianças tomaram apenas a 2ª dose. 
 
 
1ª 
 
2ª 
90 
10
 60 
120 
50 30 Total de entrevistados 
 
 
3ª 
 
 
 
– 50 não tomaram nenhuma das três doses. 
 
 
1ª 
 2ª 
 
90 10 60 
 
50 120 
Total de entrevistados 
 30 
 
50
 3ª 
 
 
 
 
Pronto, agora é só calcular quantas crianças tomaram apenas a 3ª dose (x): 
 
x = Total de entrevistados - (120 + 10 + 30 + 50 + 90 + 60 + 50) 
 
x = 480 - 410 
 
x = 70 
 
Portanto, menos do que 80 crianças tomaram apenas a 3ª dose. Item errado! 
 
 
 
(Texto para as questões 13 e 14). Em uma universidade, setorizada por cursos, os alunos 
de cada curso podem cursar disciplinas de outros cursos para integralização de seus 
currículos. Por solicitação da diretoria, o secretário do curso de Matemática informou que, dos 
200 alunos desse curso, 80 cursam disciplinas do curso de Física; 90, do curso de Biologia; 55, 
do curso de Química; 32, dos cursos de Biologia e Física; 23, dos cursos de Química e Física; 16, dos 
cursos de Biologia e Química; e 8 cursam disciplinas desses três cursos. O secretário informou, ainda, 
que essa distri-buição inclui todos os alunos do curso de Matemática. 
 
 
 
26 – RACIOCÍNIO LÓGICO – 
Com relação a essa situação, julgue os itens seguintes. 
 
9. (TRT - 2008 / CESPE) Se as informações do secretário acerca das matrículas dos 
alunos em disciplinas estiverem corretas, então, dos alunos quecursam disciplinas de 
apenas um desses cur-sos, a maior concentração de alunos estará no curso de Física. 
 
Solução: 
 
Essa questão é bem parecida com a questão an terior. Vamos começar desenhando o diagrama: 
 
 
Física Química 
 
 
 
Total de alunos do curso de Matemática 
 
 
Biologia 
 
 
 
Agora, vamos preencher os espaços com as quantidades de elementos. Aqui vai uma dica, 
é bom co-meçar pelo espaço que já temos a informação clara da quantidade de elementos (nesse 
caso, a interseção dos três conjuntos). 
 
“8 cursam disciplinas desses três cursos” 
 
 
Física Química 
 
 
8 Total de alunos do curso de Matemática 
 
 
 
Biologia 
 
 
“32, dos cursos de Biologia e Física” (como 8 alunos cursam os três cursos, 32 – 8 = 24 
cursam ape-nas Biologia e Física) 
 
 
Física Química 
 
 
 
 8 
24 
Total de alunos do curso de Matemática 
 
 
 
Biologia 
 
 
 
 
 
– RACIOCÍNIO LÓGICO – 27 
“23, dos cursos de Química e Física” (como 8 alunos cursam os três cursos, 23 – 8 = 15 
cursam ape-nas Química e Física) 
 
 
Física Química 
 
15 
 
 
24 
 
8 
Total de alunos do curso de Matemática 
 
 
Biologia 
 
 
 
“16, dos cursos de Biologia e Química” (como 8 alunos cursam os três cursos, 16 – 8 = 8 
cursam apenas Biologia e Química) 
 
 
Física Química 
 15 
 8 
8 
Total de alunos do curso de Matemática 
24 
 
 
 
Biologia 
 
 
 
“80 cursam disciplinas do curso de Física” (como 8 alunos cursam os três cursos, 15 cursam apenas 
Física e Química e 24 cursam apenas Física e Biologia, 80 – 8 – 15 – 24 = 33 cursam apenas Física) 
 
 
Física Química 
33 15 
 
8 
24 8 Total de alunos do curso de Matemática 
 
Biologia 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
28 – RACIOCÍNIO LÓGICO – 
“90, do curso de Biologia” (como 8 alunos cursam os três cursos, 24 cursam apenas Física e 
Biologia e 8 cursam apenas Química e Biologia, 90 – 8 – 24 – 8 = 50 cursam apenas Biologia) 
 
 
Física Química 
33 15 
 
 8 
8 
Total de alunos do curso de Matemática 
24 
 
 
50
 Biologia 
 
 
 
“55, do curso de Química” (como 8 alunos cursam os três cursos, 15 cursam apenas Química 
e Física e 8 cursam apenas Química e Biologia, 55 – 8 – 15 – 8 = 24 cursam apenas Biologia) 
 
 
Física Química 
33 15 24 
 
8 
24 8 
Total de alunos do curso de Matemática 
 
50
 Biologia 
 
 
 
 
Portanto, podemos concluir que o item está errado, pois a maior concentração de alunos de 
um único curso é em Biologia. 
 
 
10. (TRT - 2008 / CESPE) De acordo com os dados da situação em apreço, as 
informações do secretário estão realmente corretas. 
 
Solução: 
 
Vamos voltar para o texto para verificar o que pode estar errado: 
 
“o secretário do curso de Matemática informou que, dos 200 alunos desse curso, 80 
cursam disciplinas do curso de Física; 90, do curso de Biologia; 55, do curso de Química; 
32, dos cursos de Biologia e Física; 23, dos cursos de Química e Física; 16, dos cursos de 
Biologia e Química; e 8 cursam disciplinas desses três cursos. O secretário informou, 
ainda, que essa distribuição inclui todos os alunos do curso de Matemática.” 
 
Para checar se essa informação está correta, devemos somar todos os alunos que estão matriculados nas 
outras disciplinas e verificar se algum dos 200 alunos ficou de fora da distribuição. Assim, temos: 
 
8+8+15+24+24+33+50=162 
 
 
– RACIOCÍNIO LÓGICO – 29 
Ou seja, com as informações que ele passou, 38 alunos (200 – 162) ficaram de fora da distribuição, 
 
o que contradiz a informação passada de que “essa distribuição inclui todos os alunos do curso de 
 
Matemática”. Portanto, o item está errado. 
 
 
 
CONCEITOS BÁSICOS DE LÓGICA 
 
No estudo da lógica matemática, estaremos em muitas ocasiões diante da linguagem 
corrente, como vemos no seguinte exemplo: “Arnaldo é alto ou Beto é baixo” 
 
Usar essa linguagem, porém, não é adequado para resolvermos questões de concurso. 
Para isso, deveremos transformar essa linguagem em outra que indique apenas símbolos, a qual 
denominamos linguagem simbólica. 
 
A linguagem simbólica possui dois elementos essenciais: as proposições e os operadores. 
 
Antes de definirmos as proposições, devemos saber que elas são constituídas de 
sentenças. As sen-tenças são um conjunto de palavras, ou símbolos, que exprimem um 
pensamento de sentido completo. São compostas por um sujeito e por um predicado (não, isso 
não é aula de português!). Vamos a alguns exemplos: 
 
Pedro ganhou na loteria. 
 
Carlos não comprou uma Ferrari. Que horas você chegou ao trabalho? Que dia lindo! 
 
Tome um café. 
 
Podemos perceber que elas podem ser: 
 
A rmativas: Pedro ganhou na loteria. 
 
Negativas: Carlos não comprou uma Ferrari. Interrogativas: Que horas você chegou ao 
 
trabalho? Exclamativas: Que dia lindo! 
 
Imperativas: Tome um café. 
 
Ai você me diz: “mas professor, isso tá parecendo aula de português!”. E eu lhe digo: 
“calma, que já já eu chego lá!”. 
 
Analisando estas frases, qual delas nós podemos julgar se é verdadeira ou falsa? 
 
O que realmente interessa nessas sentenças é identificar quais são proposições e quais não 
são pro-posições. 
 
O conceito de Preposição trata-se de uma sentença fechada, algo que será declarado por meio de 
palavras ou de símbolos (expressões matemáticas) e cujo conteúdo poderá ser considerado verdadeiro ou 
falso. Ou seja, poderemos atribuir um juízo de valor acerca do conteúdo dessa proposição. 
 
Ex: Pedro é pedreiro. 
 
 
 
 
 
30 – RACIOCÍNIO LÓGICO – 
Caso ele realmente seja pedreiro o valor lógico desta proposição será verdadeiro, caso ele 
não seja pedreiro, o valor lógico da proposição será falso (por exemplo, se ele for bombeiro). 
 
Nas cinco frases apresentadas, apenas as duas primeiras são proposições, pois podemos julgá-las 
com “V” ou “F”. Frases como: “Que horas você chegou ao trabalho?”, “Que dia lindo!” ou “Tome um café.”, 
não são proposições, pois, como vimos acima, não podemos atribuir um juízo de valor a respeito delas. 
 
Fica a dica, sentenças interrogativas, exclamativas ou no imperativo não são proposições. 
Apenas as sentenças afirmativas e negativas poderão ser proposições. 
 
Perceberam o “poderão ser”? É isso mesmo, não basta a frase ser afirmativa ou negativa para ser con-
siderada uma proposição. É preciso que ela possa ser julgada com “F” ou “V”. Vejamos mais alguns exemplos: 
 
2+3=4 
 
A metade de oito 
 
E então, esses dois exemplos são proposições? Bom, voltando ao conceito “algo declarado 
por meio de palavras ou de símbolos (expressões matemáticas) e cujo conteúdo poderá ser 
considerado verdadeiro ou falso”. Portanto, só o primeiro exemplo é considerado uma proposição, 
pois sabemos que 2 + 3 = 5 e não 4, o que torna essa proposição falsa. Já o segundo exemplo, 
ele não apresenta algo que poderá ser julgado com V ou F, pois a informação não possui sentido 
completo, falta o predicado. Chamamos esse segundo exemplo apenas de “expressão”. 
 
Devemos saber também que existem expressões matemáticas e sentenças afirmativas ou negativas 
às quais não podemos atribuir um valor lógico verdadeiro ou falso. Isso mesmo, pode acontecer de uma 
sentença não ser nem exclamativa, nem interrogativa e nem mesmo uma ordem, e, ainda assim, nós não 
conseguimos atribuir um valor lógico verdadeiro ou falso para ela. Vejamos dois exemplos: 
 
Ele é campeão mundial de futebol com a seleção brasileira x + 5 = 10 
 
No primeiro caso, apesar de termos uma frase afirmativa, não podemos avaliar sobre quem está seafirmando ser campeão mundial de futebol. O sujeito é uma variável que pode ser substituída por um ele-
mento qualquer que transformará a sentença em verdadeira ou falsa. Ou seja, se esse “Ele” se referir a Pelé 
(por exemplo) a sentença será verdadeira, caso se refira a Zico (por exemplo) a sentença será falsa. 
 
No segundo caso, a depender do valor atribuído para o “x”, a sentença será verdadeira ou 
será fal-sa. Essas sentenças são denominadas sentenças abertas. Existe a possibilidade de 
essas sentenças serem transformadas em proposições com a utilização de um quantificador 
(“todo”, “existe”, etc). Mas isso é assun-to para a próxima aula. 
 
Assim, podemos classificar as sentenças em abertas e fechadas. A sentença aberta é aquela em 
que existe uma variável que faz com que nós não consigamos avaliar se são verdadeiras ou falsas. Já a 
sentença fechada é aquela que não possui nenhuma variável, todas as informações são bem claras. 
 
Por enquanto basta saber que mesmo as sentenças afirmativas e negativas podem ser sentenças 
abertas e assim não serem consideradas proposições. Isso ocorrerá sempre que houver uma variável e nós 
não conseguirmos atribuir um valor lógico para elas (vimos isso nesses dois últimos exemplos). 
 
 
 
 
 
– RACIOCÍNIO LÓGICO – 31 
O último ponto que vale destacar é a sentença contraditória, o que chamamos de paradoxo. 
São frases que serão falsas se a considerarmos verdadeiras e serão verdadeiras se a 
considerarmos falsas. Con-fuso? Vejamos um exemplo: 
 
“eu sempre falo mentiras” 
 
Bom, se eu realmente sempre falo mentiras, essa frase é verdadeira, mas contradiz o que está 
escrito nela, já que eu estaria falando uma verdade, o que a torna falsa. Por outro lado, se eu não falo 
mentiras, essa frase é falsa, mas contradiz o que está escrito nela, o que a torna verdadeira. Portanto, 
uma frase como essa é chamada de paradoxo e não é considerada proposição lógica. 
 
Resumindo: 
 
Sentenças abertas: Possuem uma variável e por isso não podemos atribuir um valor lógico 
para elas. Não são proposições. 
 
Frases interrogativas, exclamativas ou imperativas: Não conseguimos atribuir um valor 
lógico para elas. Não são proposições. 
 
Paradoxos: Não são considerados proposições. 
 
Expressões sem sentido completo: Não são consideradas proposições. 
 
Proposições: São sentenças as quais podemos atribuir um valor lógico Verdadeiro ou Falso. 
 
 
 
PRINCÍPIOS 
 
Existem alguns princípios que regem o estudo da lógica que devem ser vistos aqui: 
 
 Uma proposição verdadeira é verdadeira; uma proposição falsa é falsa. (Princípio da identidade);

 Nenhuma proposição poderá ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo. (Princípio da 
Não-Con-tradição);

 Uma proposição ou será verdadeira, ou será falsa: não há outra possibilidade. 
(Princípio do Terceiro Excluído). Em função desse princípio, a lógica que estamos 
estudando também é cha-mada de Lógica Bivalente.
 
Exemplos: 
 
(TRT - 2009 / CESPE) Na sequência de frases abaixo, há três proposições. 
 
– Quantos tribunais regionais do trabalho há na região Sudeste do Brasil? 
 
– O TRT/ES lançou edital para preenchimento de 200 vagas. 
 
– Se o candidato estudar muito, então ele será aprovado no concurso do TRT/ES. 
 
– Indivíduo com 50 anos de idade ou mais não poderá se inscrever no concurso do TRT/ES. 
 
 
 
 
32 – RACIOCÍNIO LÓGICO – 
Solução: 
 
Vimos que para uma frase ser considerada uma proposição, devemos poder atribuir um valor 
lógico para ela, ou seja, devemos poder considerá-la verdadeira ou falsa. Vamos analisar cada uma: 
 
– Quantos tribunais regionais do trabalho há na região Sudeste do Brasil? 
 
Temos aqui uma frase interrogativa. Vimos acima que não conseguimos atribuir um valor 
lógico ver-dadeiro ou falso para as frases interrogativas. Assim, esta frase não é uma proposição. 
 
– O TRT/ES lançou edital para preenchimento de 200 vagas. Nesta frase, estamos diante 
de uma a rmação. Caso o TRT/ES tenha lançado edital para preenchimento de 200 vagas, esta 
frase será valorada como verdadeira. Caso contrário, a frase será valorada como falsa. Assim, 
estamos diante de uma proposição, pois poderemos atribuir um valor lógico para ela. 
 
– Se o candidato estudar muito, então ele será aprovado no concurso do TRT/ES. 
 
Mais uma vez, estamos diante de uma frase afirmativa. Assim, se o candidato estudar muito 
e não for aprovado no concurso do TRT/ES, essa frase será falsa. Caso o candidato estude muito 
e realmente passe no concurso do TRT/ES, essa frase será verdadeira. Assim, temos mais uma 
proposição. Veremos a seguir que se trata de uma proposição composta. 
 
– Indivíduo com 50 anos de idade ou mais não poderá se inscrever no concurso do TRT/ES. 
 
Mais uma frase afirmativa. Para saber se ela é verdadeira ou falsa, basta saber se existe 
essa limitação para inscrição no concurso do TRT/ES. Caso exista, a sentença será verdadeira, 
caso contrário, será falsa. Portanto, temos mais uma proposição. 
 
Voltando para o enunciado da questão: 
 
Na sequência de frases abaixo, há três proposições. 
 
 Quantos tribunais regionais do trabalho há na região Sudeste do Brasil? (não é proposição)

 O TRT/ES lançou edital para preenchimento de 200 vagas. (é proposição)

 Se o candidato estudar muito, então ele será aprovado no concurso do TRT/ES. (é proposição)

 Indivíduo com 50 anos de idade ou mais não poderá se inscrever no concurso do 
TRT/ES. (é proposição)
 
Portanto, temos três proposições. Item correto! 
 
 
 
(TRT - 2009 / CESPE) A sequência de frases a seguir contém exatamente duas proposições. 
 
– A sede do TRT/ES localiza-se no município de Cariacica. 
 
– Por que existem juízes substitutos? 
 
– Ele é um advogado talentoso. 
 
 
 
 
 
– RACIOCÍNIO LÓGICO – 33 
Solução: 
 
Mais uma questão direta. Vamos analisar cada frase e verificar se estamos diante de uma 
proposição ou não: 
 
– A sede do TRT/ES localiza-se no município de Cariacica. 
 
Para esta frase ser considerada verdadeira, a sede do TRT do Espírito Santo deve ser 
localizada em Ca-riacica. Caso esta sede seja localizada em qualquer outro município, esta frase 
será falsa. Portanto, trata-se efetivamente de uma proposição. 
 
– Por que existem juízes substitutos? 
 
Não conseguimos atribuir um valor lógico para esta frase, pois não se trata de uma 
afirmação nem de uma negação. Trata-se de uma interrogação, que como vimos, não podemos 
atribuir um juízo de valor. Portanto, esta frase não é uma proposição. 
 
– Ele é um advogado talentoso. 
 
Nesse caso, como não sabemos sobre quem está se afirmando ser um advogado talentoso, 
não te-mos como saber se a afirmação é verdadeira ou falsa. Assim, estamos diante de uma 
sentença aberta, que não pode ser considerada uma proposição. 
 
Voltando ao enunciado, 
 
A sequência de frases a seguir contém exatamente duas proposições. 
 
– A sede do TRT/ES localiza-se no município de Cariacica. (é proposição) 
 
– Por que existem juízes substitutos? (não é proposição) 
 
– Ele é um advogado talentoso. (não é proposição) 
 
Portanto, o item está errado! 
 
 
(SEPLAG/DF - 2009 / CESPE) Considere as seguintes sentenças. 
 
(i) Apresente ao diretor da escola, em tempo hábil, todos os documentos que 
ainda não foram assinados. 
 
(ii) Carlos, como secretário escolar, coordena e executa as tarefas 
decorrentes dos en-cargos da Secretaria. 
 
(iii) Organize e mantenha em dia as cópias de leis, regulamentos, diretrizes, 
portarias e todos os outros documentos. 
 
É correto afirmar que, entre as sentenças apresentadas, apenas uma delas é proposição. 
 
Solução: 
 
Vamos checar cadasentença: 
 
(i) Apresente ao diretor da escola, em tempo hábil, todos os documentos que ainda 
não foram assinados. 
 
 
34 – RACIOCÍNIO LÓGICO – 
Temos uma frase no imperativo, uma ordem. Assim, não podemos atribuir um valor lógico para ela. 
 
Logo, esta frase não é uma proposição. 
 
(ii) Carlos, como secretário escolar, coordena e executa as tarefas decorrentes dos 
encargos da Secretaria. 
 
Temos aqui uma afirmação. Caso Carlos seja o secretário escolar e coordene e execute as 
tarefas decorrentes dos encargos da Secretaria, esta frase será verdadeira, caso contrário, será 
falsa. Portanto, esta frase é uma proposição. 
 
(iii) Organize e mantenha em dia as cópias de leis, regulamentos, diretrizes, portarias e 
todos os outros documentos. 
 
Temos mais uma ordem, que não podemos atribuir um valor lógico. Logo, esta frase não é 
uma proposição. 
 
Como a questão afirma que “É correto afirmar que, entre as sentenças apresentadas, 
apenas uma delas é proposição.”, podemos concluir que este item está correto. 
 
 
 
(MRE - 2008 / CESPE) Considere a seguinte lista de sentenças: 
 
I – Qual é o nome pelo qual é conhecido o Ministério das Relações Exteriores? 
 
II – O Palácio Itamaraty em Brasília é uma bela construção do século XIX. 
 
III – As quantidades de embaixadas e consulados gerais que o Itamaraty 
possui são, respectivamente, x e y. 
 
IV – O barão do Rio Branco foi um diplomata notável. 
 
Nessa situação, é correto a rmar que entre as sentenças acima, apenas uma delas não 
é uma proposição. 
 
Solução: 
 
Mais uma vez, vamos analisar cada sentença: 
 
I – Qual é o nome pelo qual é conhecido o Ministério das Relações Exteriores? 
 
Temos nesse item uma sentença interrogativa, a qual já sabemos que não pode ser 
valorada com V ou com F. Logo, não é uma proposição. 
 
II – O Palácio Itamaraty em Brasília é uma bela construção do século XIX. 
 
Temos nesse item uma sentença afirmativa. Caso o Palácio do Itamaraty em Brasília seja 
uma bela construção do século XIX, a sentença será verdadeira, caso contrário, será falsa. 
Portanto, trata-se de uma proposição. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
– RACIOCÍNIO LÓGICO – 35 
III – As quantidades de embaixadas e consulados gerais que o Itamaraty possui são, 
respecti-vamente, x e y. 
 
Nesse item temos uma sentença afirmativa. Os mais afoitos iriam logo assinalar que se trata de 
uma proposição. Ocorre que não temos como julgá-la com V ou com F, pois não sabemos os valores 
de x e de y. Assim, temos uma sentença aberta, que vimos acima que não é uma proposição. 
 
IV – O barão do Rio Branco foi um diplomata notável. 
 
Por fim, mais uma sentença afirmativa. Caso o barão do Rio Branco tenha sido um 
diplomata notável, a sentença será verdadeira, caso não tenha sido um diplomata notável, será 
falsa. Logo, temos mais uma proposição. 
 
Resumindo, temos duas proposições e duas sentenças que não são proposições. Logo, o item está errado. 
 
 
 
(SEBRAE - 2008 / CESPE) A proposição “Ninguém ensina a ninguém” é um exemplo 
de sentença aberta. 
 
Solução: 
 
Essa questão pede que analisemos se a proposição “Ninguém ensina ninguém” é um exemplo 
de sentença aberta. Ora, se estamos tratando de uma proposição, sabemos que só teremos sentenças 
fecha-das. Se uma sentença é aberta, não se trata de proposição. Por isso, o item está errado! 
 
 
 
PROPOSIÇÕES 
 
A proposição simples é o elemento básico da lógica matemática. Ao dizer “Arnaldo é alto” 
estamos fazendo uma única afirmação (ser alto) a respeito de uma única pessoa (Arnaldo). Se 
disséssemos, por exemplo, “Arnaldo é alto e magro”, estaríamos diante de duas informações (ser 
alto e ser magro) a respeito de uma pessoa (Arnaldo). Esse segundo exemplo é o que chamamos 
proposição composta que é o con-junto de duas ou mais proposições simples. 
 
Podemos ver pela definição de proposição composta que ela pode possuir duas ou mais 
proposi-ções simples, que é o que normalmente encontramos em questões de concurso. 
 
Costumamos denominar as proposições simples por letras (A, B, C, P, Q ...). 
“Arnaldo é alto” A: Arnaldo é Alto 
 
Quando estamos diante de uma proposição composta, denominamos cada proposição 
simples con-tida nela por uma letra distinta. 
 
“Arnaldo é alto e magro” A: Arnaldo é Alto 
 
B: Arnaldo é magro 
 
Outro importante elemento da lógica matemática são os operadores lógicos. Eles são os 
elementos que unem as proposições. 
 
 
36 – RACIOCÍNIO LÓGICO – 
A seguir, apresentamos os operadores utilizados na lógica: 
 
~: negação 
 
∧: conjunção (chamado de “e” ou “mas”) v: disjunção (chamamos pela palavra “ou”) 
 
→: condicional (lemos “se... então...”) 
 
↔: bicondicional (lê-se “...se e somente se...”) v: disjunção exclusiva (sua leitura é “ou...ou...”) 
 
Os mais comuns em questões de concurso são: ~, ∧, v, →. Os outros dois (↔ e v) também 
aparecem, só que com menos frequência. 
 
Devemos saber, agora, que toda e qualquer proposição deve possuir um valor lógico Verdade ou 
Falsidade. Se uma proposição é verdadeira, seu valor lógico é verdade e se uma proposição é falsa seu 
valor lógico é falsidade. Nunca poderá existir uma proposição que seja falsa e verdadeira ao mesmo tempo. 
 
Assim, para dizer que uma proposição composta é verdadeira ou falsa, devemos analisar dois itens: 
 
o valor lógico de suas proposições simples e o tipo de operador lógico que as une. 
 
Vamos ver agora, como funciona cada operador. Para isso, utilizaremos umas tabelinhas 
chamadas de tabelas-verdade. Essas tabelas indicam qual o resultado da operação para cada 
possibilidade de valor lógico de suas proposições. 
 
~: negação 
 
Vamos ver sua tabela verdade: 
 
A ~A 
 
V F 
 
F V 
 
 
A negação transforma o valor lógico da proposição em seu valor oposto, ou seja, se p é verdadeiro, ~p é 
falso, ou se p é falso, ~p é verdadeiro. Assim, a negação de p é igual a ~p e a negação de ~p é igual a p. 
 
∧: conjunção (“e” ou “mas”) Fazendo sua tabela verdade: 
 
A B A ∧ B 
 
V V V 
 
V F F 
 
F V F 
 
F F F 
 
 
Vemos que na conjunção, o valor lógico resultante da operação só será verdadeiro quando 
todas as suas proposições forem verdadeiras. Caso contrário, se alguma proposição for falsa, o 
valor lógico resultan-te será falso, ou seja, basta uma proposição falsa para o resultado ser falso. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
– RACIOCÍNIO LÓGICO – 37 
v: disjunção (“ou”) Construindo sua tabela verdade: 
 
A B A v B 
 
V V V 
 
V F V 
 
F V V 
 
F F F 
 
 
Percebemos que na disjunção, o valor lógico resultante da operação só será falso quando todas 
as suas proposições forem falsas. Caso contrário, se alguma proposição for verdadeira, o valor lógico 
resultan-te será verdadeiro, ou seja, basta uma proposição verdadeira para o resultado ser verdadeiro. 
 
→: condicional (“se ... então ...”) Fazendo sua tabela verdade, temos: 
 
A B A → B 
V V V 
 
V F F 
 
F V V 
 
F F V 
 
 
Aqui, vemos que na condicional o valor lógico resultante só será falso se a primeira 
proposição for verdadeira e a segunda proposição for falsa. 
 
Existe uma denominação utilizada na condicional que é muito importante no estudo para 
concursos que é saber quem é a condição necessária e quem é a condição su ciente. Numa 
condicional A → B, dizemos que: 
 
A é condição suficiente para B B é condição necessária para A 
 
↔: bicondicional (“... se e somente se ...”) Fazendo sua tabela verdade: 
 
A B A ↔ B 
 
V V V 
 
V F F 
 
F V F 
 
F F V 
 
 
Agora, vemos que na bicondicional o valor lógico da operação será verdadeirose as duas proposi-ções 
tiverem o mesmo valor, ou seja, se as duas forem verdadeiras ou as duas forem falsas. Caso contrário, se as 
duas proposições tiverem valores lógicos diferentes, o valor lógico resultante da operação será falso. 
 
Aqui também existe uma denominação particular. Numa bicondicional A ↔ B, dizemos que: 
 
A é condição necessária e suficiente para B 
 
B é condição necessária e suficiente para A 
 
Podemos olhar para uma bicondicional como sendo a união de duas condicionais. Vejamos: 
 
A ↔ B é o mesmo que (A → B) ∧ (B → A). v: disjunção exclusiva (“ou ... ou ...”) 
 
 
 
 
38 – RACIOCÍNIO LÓGICO – 
Fazendo sua tabela verdade: 
 
A B A v B 
 
V V F 
 
V F V 
 
F V V 
 
F F F 
 
 
Para esse operador devemos observar que seu resultado será verdadeiro se os valores 
lógicos das duas proposições forem diferentes. Caso contrário, se os valores lógicos das duas 
proposições forem iguais, seu valor lógico será falso. 
 
Vale destacar que este operador “v” difere do operador “v”, pois se as duas proposições (“A” 
e “B”) forem verdadeiras, o resultado será verdadeiro para a disjunção simples (“ou”) e será falso 
para a disjunção exclusiva (“ou ... ou ...”). 
 
“Sabe-se que uma proposição na forma “Ou A ou B” tem valor lógico falso quando A e B são 
ambos falsos; nos demais casos, a proposição é verdadeira. Portanto, a proposição composta “Ou 
A ou B”, em que A e B são as proposições referidas acima, é verdadeira.” 
 
“Uma proposição é uma sentença declarativa que pode ser julgada como verdadeira (V) ou 
falsa (F), mas não como V e F simultaneamente. As proposições são representadas por letras 
maiúsculas A, B, C etc. A partir de proposições dadas, podem-se construir novas proposições 
usando símbolos lógicos, como nos exemplos seguintes. 
 
 Conjunção: A ∧ B (lê-se “A e B”), que terá valor lógico V se as proposições A e B 
forem ambas V, caso contrário, será F;

 Disjunção: A v B (lê-se “A ou B”), que terá valor lógico F se as proposições A e B 
forem ambas F, caso contrário, será V;

 Condicional: A → B (lê-se “se A, então B”), que terá valor lógico F se A for V e B for F, 
caso con-trário, será V;

 Disjunção exclusiva: A v B, que será V sempre que as proposições A e B tiverem 
valores lógicos distintos.
 
A negação da proposição A, simbolizada por ~A (lê-se “não A”), será V se A for F e, F se A for V” 
 
 
 
 
TABELA VERDADE 
 
Para construir a tabela-verdade, primeiro é importante saber quantas linhas e quantas colunas terá 
esta tabela. Para ilustrar melhor essa explicação, vamos constru ir a tabela-verdade da proposição (A v B) 
 
→ (C ∧ ~A). 
 
Para começar, o número de linhas vai depender da quantidade de variáveis distintas da proposição. 
Essa quantidade é dada por 2
n
, onde n é a quantidade de variáveis. Ou seja, quando temos 2 variáveis, te- 
 
 
– RACIOCÍNIO LÓGICO – 39 
remos 2
2
 = 4 linhas. Para 3 variáveis, teremos 2
3
 = 8 linhas, e assim por diante. No caso do 
nosso exemplo, temos 3 variáveis (A, B e C), portanto, teremos 2
3
 = 8 linhas. 
 
Agora, precisamos saber quantas colunas terá nossa tabela. Esse número de colunas pode variar, 
mas deve ter no mínimo uma coluna para cada variável e uma coluna para o resultado a ser calculado. No 
nosso exemplo teríamos 4 colunas (3 variáveis + 1 resultado). Essa é a quantidade mínima. De forma mais 
didá-tica, fazemos uma coluna para cada variável e uma coluna para cada operação. No nosso exemplo 
temos 3 variáveis (A, B e C) e 4 operações (“~A”, “v”, “∧” e “→”), um total de 3 + 4 = 7 colunas. Temos, 
também, que adicionar uma linha para o cabeçalho, que terá primeiro as variáveis e depois as operações, 
prevalecendo a ordem da matemática. Vamos partir para o desenho: 
 
} Cabeçalho A B C ~A A v B C∧~A (A v B) → (C ∧ ~A) 
V V V 
 
V V F 
 
V F V 
 
V F F 8 Linhas 
F V V 
 
F V F 
 
F F V 
 
 7 colunas 
 
 
Agora, é só preencher a tabela. Começamos pelas variáveis, listando todas as possíveis combinações. 
 
No nosso exemplo A, B e C podem ser: VVV, VVF, VFV, VFF, FVV, FVF, FFV e FFF. 
 
A B C ~A A v B C∧~A (A v B) → (C ∧ ~A) 
 
V V V 
 
V V F 
 
V F V 
 
V F F 
 
F V V 
 
F V F 
 
F F V 
 
F F F 
 
 
Por fim, fazemos as operações, sempre na ordem da matemática (primeiro o que está 
dentro dos parênteses, em seguida, o que está dentro dos colchetes e, por fim, o que está fora): 
 
A B C ~A A v B C∧~A (A v B) → (C ∧ ~A) 
 
V V V F V F F 
 
V V F F V F F 
 
V F V F V F F 
 
V F F F V F F 
 
F V V V V V V 
 
F V F V V F F 
 
 
 
 
40 – RACIOCÍNIO LÓGICO – 
 F F V V F V V 
 
 F F F V F F V 
 
Exemplos: 
 
(SERPRO - 2010 / CESPE) A proposição “Não precisa mais capturar nem digitar o código de 
barras” pode ser, simbolicamente, escrita como A ∧ B, em que A é a proposição “Não precisa mais 
capturar o código de barras” e B é a proposição “Não precisa mais digitar o código de barras”. 
 
Solução: 
 
Nessa questão devemos transformar a linguagem corrente em linguagem simbólica. 
Primeiro, é sempre válido reescrever a sentença colocando o sujeito e o complemento para cada 
afirmação, separando cada proposição simples. Nessa questão temos: 
 
“Não precisa mais capturar nem digitar o código de barras” 
 
Essa proposição pode ser reescrita da seguinte forma: 
 
“Não precisa mais capturar o código de barras e não precisa mais digitar o código de barras” 
 
Elas não dizem a mesma coisa? Sem dúvida! Agora, separamos as proposições simples e 
batizamos seus componentes: 
 
A ∧ B 
“Não precisa mais capturar o código de barras e não precisa mais digitar o código de barras” 
 
 
Percebemos que se trata de uma proposição composta do tipo A ∧ B, com A sendo “Não precisa mais 
capturar o código de barras” e B sendo “Não precisa mais digitar o código de barras”. Portanto, o item está 
 
correto! 
 
Aí você me pergunta: Professor, não seria ~A ∧ ~B?. 
 
E eu respondo: Até poderia ser, caso tivéssemos batizado A como “precisa capturar o 
código de bar-ras” e B como “precisa digitar o código de barras”. Como batizamos o A como “Não 
precisa mais capturar o código de barras” e B como “Não precisa mais digitar o código de barras”, 
então, nesse caso, não seria ~A ∧ ~B. 
 
 
 
(SERPRO - 2010 / CESPE) Considerando todas as possibilidades de julgamento V ou F das propo-
sições simples que formam a proposição “Se Pedro for aprovado no concurso, então ele comprará uma 
bicicleta”, é correto a rmar que há apenas uma possibilidade de essa proposição ser verdadeira. 
 
Solução: 
 
Nessa questão, para podermos saber o valor lógico da proposição composta devemos 
primeiro transformá-la em linguagem simbólica. Vamos lá: 
 
 A → B 
Se Pedro for aprovado no concurso, então ele comprará uma bicicleta. 
 
 
 
 
– RACIOCÍNIO LÓGICO – 41 
Podemos perceber que se trata de uma proposição do tipo A → B (se A então B). Agora, devemos 
saber quais os possíveis valores lógicos para uma proposição desse tipo. Relembrando sua tabela verdade: 
 
A B A → B 
 
V V V 
 
V F F 
 
F V V 
 
F F V 
 
 
Olhando a terceira coluna da tabela, vemos que para todas as possibilidades de julgamento 
V ou F das proposições simples “A” e “B”, o resultado será verdadeiro em três ocasiões e falso em 
apenas uma oca-sião. Portanto, o item está errado! 
 
 
 
(SERPRO - 2010 / CESPE) Considerandotodas as possibilidades de julgamento V ou F 
das pro-posições simples que formam a proposição “O SERPRO processará as folhas de 
pagamento se e so-mente se seus servidores estiverem treinados para isso” , é correto a 
rmar que há apenas uma pos-sibilidade de essa proposição ser julgada com V. 
 
Solução: 
 
Na mesma prova tivemos uma questão muito parecida, onde o que mudou foi a operação. 
Vamos resolvê-la: 
 
Transformando em linguagem simbólica, temos: 
 
A ↔ B 
O SERPRO processará as folhas de pagamento se e somente se seus servidores estiverem treinados para isso. 
 
 
Percebemos que se trata de uma proposição do tipo A ↔ B (A se e somente se B). Agora, devemos 
saber quais os possíveis valores lógicos para uma proposição desse tipo. Relembrando sua tabela verdade: 
 
A B A ↔ B 
 
V V V 
 
V F F 
 
F V F 
 
F F V 
 
 
Mais uma vez, olhamos para a terceira coluna e observamos que a proposição composta é 
verdadei-ra em duas ocasiões e falsa em outras duas. Portanto, este item também está errado! 
 
 
 
(TRT - 2008 / CESPE) Considere as proposições seguintes. 
 
Q: “Se o Estrela Futebol Clube vencer ou perder, cairá para a segunda divisão”; 
 
A: “O Estrela Futebol Clube vence”; B: “O Estrela Futebol Clube perde”; 
 
C: “O Estrela Futebol Clube cairá para a segunda divisão”. 
 
 
 
42 – RACIOCÍNIO LÓGICO – 
Nesse caso, a proposição Q pode ser expressa, simbolicamente, por A ∧ B → C. 
 
Solução: 
 
O que essa questão está pedindo é simplesmente transformar a linguagem corrente em 
linguagem simbólica. 
 
P → R 
Se o Estrela Futebol Clube vencer ou perder , cairá para a segunda divisão. 
A proposição Q é do tipo (P → R), onde: 
 
P:O Estrela Futebol Clube vencer ou perder 
 
R: Cairá para a segunda divisão 
Reescrevendo P e R temos: 
P:O Estrela Futebol Clube vencer ou o Estrela Futebol Clube perder 
 
R: O Estrela Futebol Clube cairá para a segunda divisão 
 
Podemos perceber que o “P” é uma proposição composta do tipo (S v T): 
 
S v T 
O Estrela Futebol Clube vencer ou co Estrela Futebol Clube perder. 
S: O Estrela Futebol Clube vencer 
T: O Estrela Futebol Clube perder 
 
Agora, analisando as proposições A, B e C, vemos que o “S” é o mesmo que o A, o “T” é o 
mesmo que o B e que o “R” é o mesmo que o C. Voltando para a linguagem simbólica, temos: 
 
Q:P→R, 
 
Q: (S v T) → R 
 
Vimos que S = A, T = B e R = C, então: Q: (A v B) → C Que 
é diferente de A ∧ B → C. Logo, o item está errado. 
 
 
 
(UNIPAMPA - 2008 / CESPE) O artigo 5.º, XL, da Constituição Federal de 1988 
estabelece que a lei penal não retroagirá, salvo para bene ciar o réu, isto é, “se a lei penal 
retroagiu, então a lei pe-nal bene ciou o réu”. À luz dessa regra constitucional, 
considerando as proposições P: “A lei penal bene ciou o réu” e Q: “A lei penal retroagiu”, 
ambas verdadeiras, e as de nições associadas à lógica sentencial, é correto a rmar que a 
proposição “Ou a lei penal retroagiu, ou a lei penal não bene ciou o réu” tem valor lógico F. 
 
 
 
 
 
 
 
 
– RACIOCÍNIO LÓGICO – 43 
Solução: 
 
O que essa questão quer saber é se o valor lógico da proposição “Ou a lei penal retroagiu, 
ou a lei penal não beneficiou o réu” é Falso. Vamos lá! 
 
 Q v ~P 
 
a lei penal não beneficiou o réu”. “Ou a lei penal retroagiu, ou 
 
 
Transformando em linguagem simbólica, temos: 
 
Q v ~P 
 
Substituindo Q e P pelos valores lógicos informados na questão (ambos verdadeiros), temos: 
 
V v ~(V), que é o mesmo que V v F, possui valor lógico verdadeiro. Logo, o item está errado! 
 
 
 
(TRT - 2009 / CESPE) Para todos os possíveis valores lógicos atribuídos às proposições 
simples A e B, a proposição composta [A ∧ (~B)] v B tem exatamente 3 valores lógicos V e um F. 
 
Solução: 
 
Aqui, a questão quer saber o resultado da tabela verdade para a proposição composta [A ∧ (~B)] v B. 
 
Vamos lá: 
 
Vimos que para desenhar a tabela verdade, primeiro é importante saber quantas linhas terá esta 
tabela. O número de linhas vai depender da quantidade de variáveis distintas da proposição. Essa 
quan-tidade é dada por 2
n
, onde n é a quantidade de variáveis. No caso da nossa questão, temos 2 
variáveis (A e B), portanto, teremos 2
2
 = 4 linhas. Agora, precisamos saber quantas colunas terá nossa 
tabela. A tabela deverá ter, no mínimo, uma coluna para cada variável e uma coluna para a proposição 
desejada. De forma mais didática, fazemos uma coluna para cada variável e uma coluna para cada 
operação. Na nossa questão temos 2 variáveis (A e B) e 3 operações (“∧”, “~B” e “v”), um total de 2 + 
3 = 5 colunas. Temos, também, que adicionar uma linha para o cabeçalho, que terá primeiro as 
variáveis e depois as operações, prevalecendo a ordem da matemática. Vamos partir para o desenho: 
 
} Cabeçalho A B ~B A ∧ (~B) [A ∧ (~B)] v B 
V V 
 
V F 4 Linhas 
 
F V 
 
 
 
5 colunas 
 
Agora, é só preencher a tabela. Começamos pelas variáveis, listando todas as possíveis combinações. 
 
No nosso exemplo A e B podem ser: VV, VF, FV e FF. 
 
A B ~B A ∧ (~B) [A ∧ (~B)] v B 
 
V V 
 
V F 
 
F V 
FF 
 
 
44 – RACIOCÍNIO LÓGICO – 
Por fim, fazemos as operações, sempre na ordem da matemática (primeiro o que está 
dentro dos parênteses, em seguida, o que está dentro dos colchetes e, por fim, o que está fora): 
 
A B ~B A ∧ (~B) [A ∧ (~B)] v B 
 
V V F F V 
 
V F V V V 
 
F V F F V 
 
F F V F F 
 
 
Para todos os possíveis valores lógicos atribuídos às proposições simples A e B, a 
proposição com-posta [A ∧ (~B)] v B tem exatamente 3 valores lógicos V e um F. 
 
Conforme vemos na última coluna da tabela, concluímos que a questão está correta! 
 
 
 
(SEPLAG/DF - 2009 / CESPE) A proposição simbolizada por (~A) → (~B) terá 3 valores 
lógicos V e 1 valor lógico F, para todos os possíveis valores lógicos V e F atribuídos a A e a B. 
 
Solução: 
 
Mais uma vez, basta montar a tabela verdade e “correr pro abraço”! Temos 2 variáveis (A e B) e 
3 ope-rações (~A, ~B e “→”). Assim, teremos 4 linhas (22 = 4) e 5 colunas (2 variáveis + 3 operações). 
A B ~A ~B (~A) → (~B) 
 
V V F F V 
 
V F F V V 
 
F V V F F 
 
F F V V V 
 
 
Mais uma vez, conforme vemos na última coluna, item correto! 
 
 
 
(SEFAZ/ES - 2010 / CESPE) Considerando os símbolos lógicos ~ (negação), ∧ 
(conjunção), v (dis-junção), → (condicional) e as proposições: 
 
S: (p ∧ ~ q) v (~ p ∧ r) → q v r 
 
T: ((p ∧ ~ q) v (~ p ∧ r)) ∧ (~ q ∧ ~ r) 
 
Podemos concluir que as tabelas-verdade de S e de T possuem, cada uma, 16 linhas. 
 
Solução: 
 
Essa é direta hein? Lembrando que o número de linhas da tabela-verdade é dado por 2
n
, 
onde n é igual ao número de variáveis distintas da proposição. 
 
S: 3 varáveis (p, q e r), logo, o número de linhas = 2
3
 = 8 T: 3 varáveis (p, q e r), logo, o número de linhas 
= 2
3
=8 
 
Portanto, o item está errado! 
 
 
 
– RACIOCÍNIO LÓGICO – 45 
(SEPLAG/DF - 2009 / CESPE) Considere como V as proposições “Carla é mais alta que Janice” 
e “Janice foi escolhida para o time de basquete”. Nesse caso, a proposição “Se Carla não é mais alta 
que Janice, então Janice não foi escolhida para o time de basquete” também será V. 
 
Solução: 
 
Para facilitar o entendimento da questão, vamos passar as sentenças para a linguagem simbólica: 
 
A: Carla é mais alta que Janice 
 
B: Janice foi escolhida para o time de basquete 
 
Temos a informação de que tanto “A” quanto “B” devem ser consideradas verdadeiras. 
Agora, vamos