Introdução aos Polinômios

Prévia do material em texto

Disciplina: Matemática Elementar 
 
Polinômios 
 
O que são polinômios ? 
Matemática Elementar – Prof.: Dallan Marcelo Gregório 
Já operaram com polinômios? 
Qual a forma de um polinômio? 
 
Disciplina: Matemática Elementar Prof. Dallan Marcelo Gregório 
Conceituação: 
Dada a sequência de números complexos 
Consideremos a função: 
A função f é chamada de Função Polinomial 
ou Polinômio associado à sequência dada. 
),...,,( 21 naaa CCf :
01
2
2
2
2
1
1 ...)( axaxaxaxaxaxf
n
n
n
n
n
n 



Nnnn  )0,1,...,2,1,(
em que 
 
Disciplina: Matemática Elementar Prof. Dallan Marcelo Gregório 
Observações: 
Os números 
),...,,( 21 naaa
são denominados coeficientes 
As parcelas são denominados termos 
n
nxaxaa  ...10
é denominado termo independente da variável x 
0
0
0 axa 
Se todos os coeficientes do polinômio forem iguais a zero, 
chamamos o polinômio de: polinômio nulo ou 
identicamente nulo. 
 
Disciplina: Matemática Elementar Prof. Dallan Marcelo Gregório 
Observações: 
O grau de um polinômio não identicamente nulo é o valor 
do maior expoente da variável dentre os coeficientes não 
nulos. Indica-se o grau de um polinômio P(x) por 
Atribuindo-se um valor qualquer (b) para à variável x, o 
resultado da expressão obtida é chamado de valor 
numérico do polinômio para x = b. e indica-se esse valor 
por P(b). 
P
 
Disciplina: Matemática Elementar Prof. Dallan Marcelo Gregório 
Exemplos: 74235 234  xxxxGrau: 
Coeficientes 
Termo independente 632 35  ttitVariável Grau: 
Coeficientes 
Termo independente 
Variável 2425 12   xxx
Grau: 
Coeficientes 
Termo independente 
Variável 
2
1
4 23 xx 
 
Disciplina: Matemática Elementar Prof. Dallan Marcelo Gregório 
Identidade de Polinômios 
Dizemos que dois polinômios são iguais (ou idênticos) 
quando assumem valores iguais para todo x complexo. Em 
símbolos indicamos: Cxxgxfgf  ),()(
 
Disciplina: Matemática Elementar Prof. Dallan Marcelo Gregório 
Teorema: 
Dois polinômios f e g são iguais se, e somente se, os 
coeficientes de f e g forem ordenadamente iguais. Em 
símbolos: 
n
nxaxaxaaxf  ...)(
2
210



n
i
i
ixaxf
0
)(
n
nxbxbxbbxg  ...)(
2
210



n
i
i
ixbxg
0
)(
},...,1,0{, nibagf ii 
temos 
 
Disciplina: Matemática Elementar Prof. Dallan Marcelo Gregório 
Demonstração: 
Para todo , temos: 
Cx 0 iiii baba   0 iii xba
  0
0


n
i
i
ii xba 0
00
 

n
i
i
i
n
i
i
i xbxa
0)()(  xgxf )()( xgxf 
 
Disciplina: Matemática Elementar Prof. Dallan Marcelo Gregório 
Operações com polinômios: Adição 
Seja P (conjunto dos polinômios de coeficientes complexos), 
a sua adição em P define uma estrutura de grupo 
comutativo, ou seja, é possível verificar as seguintes 
propriedades: 
f(x) + g(x) = (f + g)(x) 
i) Associativa: f(x) + (g(x) + h(x)) = (f(x) + g(x)) + h(x) 
ii) Comutativa: f(x) + g(x) = g(x) + f(x) 
iii) Existência Elemento neutro: f(x) + 0(x) = f(x) 
iv) Existência do Inverso Aditivo: f(x) + ( - f(x)) = 0(x) 
Demonstrações a cargo de vocês! 
 
Disciplina: Matemática Elementar Prof. Dallan Marcelo Gregório 
Operações com polinômios: Subtração: 
Decorre do teorema anterior, e chamamos de diferença f – g 
o polinômio f + (- g), isto é: 
f(x) - g(x) = (f - g)(x) n
nn xbaxbaxbaxgfxgxf )(...)()())(()()( 11
0
00 
 
Disciplina: Matemática Elementar Prof. Dallan Marcelo Gregório 
Exercícios 
Dados os polinômios: 
154)( 2  xxxB xxxxA 326)(
23 
29)(  xxC
1. Calcule: 
)()() xBxAa  )()() xBxAb )(4) xAc  )(3)(2) xBxAd  )()() xBxCe 
2. Para que valores de a, b e c, devem assumir para que os 
polinômios abaixo P(x) e Q(x) sejam idênticos? 
152)()( 35  xxxcbaxP 1)()()( 3  xcbxbaxQ
 
Disciplina: Matemática Elementar Prof. Dallan Marcelo Gregório 
Operações com polinômios multiplicação exemplo: 
Dados os polinômios: 
154)( 2  xxxB xxxxA 326)(
23 
29)(  xxC
1. Calcule: 
)()() xBxCe    15429 2  xxx 210894536 223  xxxxx 210984536 223  xxxxx 2193736 23  xxx
Propriedade 
distributiva da 
multiplicação 
 
Disciplina: Matemática Elementar Prof. Dallan Marcelo Gregório 
Operações com polinômios multiplicação Definição: 
Dados os polinômios: 
 
Disciplina: Matemática Elementar Prof. Dallan Marcelo Gregório 
Operações com polinômios multiplicação exemplos: 
 
Disciplina: Matemática Elementar Prof. Dallan Marcelo Gregório 
Operações com polinômios multiplicação exemplos: 
 
Disciplina: Matemática Elementar Prof. Dallan Marcelo Gregório 
Operações com polinômios multiplicação exemplos: 
 
Disciplina: Matemática Elementar Prof. Dallan Marcelo Gregório 
Teorema propriedades da multiplicação 
 
Disciplina: Matemática Elementar Prof. Dallan Marcelo Gregório 
 
Disciplina: Matemática Elementar Prof. Dallan Marcelo Gregório 
 
Disciplina: Matemática Elementar Prof. Dallan Marcelo Gregório 
 
Disciplina: Matemática Elementar Prof. Dallan Marcelo Gregório 
 
Disciplina: Matemática Elementar Prof. Dallan Marcelo Gregório 
 
Disciplina: Matemática Elementar Prof. Dallan Marcelo Gregório 
Exercícios: 
1) Se f e g são dois polinômios de grau n, então qual é o 
grau de (f+g) e (fg)? Se f tivesse grau m e g grau n, qual 
seria o grau de (f+g) e (fg) 
2) Determine uma função polinomial f(x) de grau 2 tal 
que f(x) = f(-x) para todo x complexo 
3) Determine o polinômio do segundo grau tal que 
f(0)=1, f(1) =4 e f(-1)=0 
4) Determine o polinômio do segundo grau tal que 
f(0)=1, f(1) =4 e f(-1)=0