Aula - Cap 3 Fitz-v5

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04/10/2019
Universidade Federal de Uberlândia
Faculdade de Engenharia Elétrica
Disciplina – Conversão Eletromecânica de Energia
Cap. 3 – PRINCÍPIOS DA CONVERSÃO ELETROMECÂNICA DE ENERGIA
Tópicos: 
3.1. Aspectos Gerais
3.2. Forças e Conjugados em Sistemas de Campo Magnético
3.3. Balanço Energético
3.4. Sistemas de Campo Magnético de Excitação Única 
3.5. Determinação da Força e do Conjugado Magnéticos a Partir da Energia 
3.6. Sistemas de Campo Magnético Multi-Excitado
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3.1. Aspectos Gerais
 Princípio Básico:
A energia não pode ser criada, mas sim convertida de uma forma para outra.
Exemplos de conversão de energia:
a) Energia elétrica em energia radiante (visível ou não);
b) Energia hidráulica em energia mecânica (represas);
c) Energia elétrica em energia mecânica (máquinas rotativas – motores);
d) Etc.
Energia na forma elétrica pode ser transmitida e controlada com relativa tranquilidade
simplicidade, segurança e eficiência.
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3.1. Aspectos Gerais
Exemplo de componentes elétricos de um sistema de geração de energia.
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3.1. Aspectos Gerais
 Componentes elétricos mais importantes são aqueles que convertem energia 
elétrica em energia mecânica ou vice-versa.
Contatores Motores Elétricos
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3.1. Aspectos Gerais
 Aplicação de técnicas elétricas para controlar grandezas não elétricas.
Exemplos:
a) Medida de vazão;
b) Medida de pressão;
c) Válvulas;
d) Etc.
 A energia na sua forma ELÉTRICA é raramente utilizada como MEIO 
INTERMEDIÁRIO no PROCESSO DE CONVERSÃO DE ENERGIA.
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3.1. Aspectos Gerais
 Transdutores – são dispositivos que utilizam campos elétricos ou campos 
magnéticos como o meio de conversão de energia elétrica. Eles geralmente 
operam sob condições lineares de entrada-saída e com sinais relativamente 
pequenos. Os dispositivos de medida e controle são frequentemente chamados 
de transdutores.
 Transdutores eletromecânicos – convertem energia elétrica em mecânica ou 
vice-versa.
Exemplos de transdutores:
a) Equipamentos de pequenos sinais: alto-falantes, microfones, sensores, 
telefones, etc.
b) Instrumentos de medida analógico de ferro móvel e de bobina móvel.
c) Equipamentos de produção de força: solenoides, relés, eletroímãs, etc.
d) Equipamentos de conversão contínua de energia: motores e geradores.
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3.1. Aspectos Gerais
 Princípios básicos dos Transdutores Eletromecânicos
1. Conservação da energia;
2. Reversibilidade;
3. Trabalhos virtuais.
Se para cada deslocamento virtual de um sistema ideal, o trabalho produzido 
pelas forças ativas for nulo, o sistema estará em equilíbrio.
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3.1. Aspectos Gerais
 O fato de a energia no campo de acoplamento ter uma tendência de liberar-se, 
realizando trabalho, é a razão da existência do acoplamento entre sistema elétrico e o 
sistema mecânico.
Sistema Elétrico
V x I
Sistema 
Mecânico
F x V
Campos e cargas 
elétricas
TRANSDUTOR
(elo de ligação)
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3.1. Aspectos Gerais
 Análise qualitativa de alguns fenômenos físicos
1. Uma força é exercida num condutor percorrido por corrente na presença de um 
campo magnético. 
Assim, surgem forças entre dois condutores percorridos por correntes devido ao 
campo magnético produzido por um condutor sobre o outro. 
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Regra da mão direita (saca-rolhas) 
para obter o sentido do 
campo magnético B
As forças são de atração quando 
os dois condutores tem correntes 
no mesmo sentido
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3.1. Aspectos Gerais
 Análise qualitativa de alguns fenômenos físicos
1. Na verdade uma força é produzida em qualquer condutor com corrente sob a açao
de um campo magnético. Este é o princípio do MOTOR elétrico.
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Atenção: Pode-se usar a regra 
do produto vetorial (mão direita) 
para determinar o sentido da 
força (F) resultante.
� – vetor força resultante [N]
� – corrente elétrica [A]
�⃗ – vetor comprimento do fio [m]
� – vetor campo magnético [T]
� – ângulo entre �⃗ e �
� – vetor unitário que define o 
sentido da força resultante
� = ��⃗ × � = ���
��� �
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3.1. Aspectos Gerais
 Análise qualitativa de alguns fenômenos físicos
1. O processo é reversível porque o movimento de um condutor, na presença de um 
campo magnético, implica no aparecimento de uma tensão em seus terminais.
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Este é o princípio do GERADOR elétrico.
Atenção: Pode-se usar a regra 
do produto vetorial (mão direita) 
para determinar o sentido da 
força eletromotriz (e) induzida:
� – força eletromotriz [V]
� – vetor velocidade [m/s]
� – vetor campo magnético [T]
�⃗ – vetor comprimento do fio [m]
� – ângulo entre � e �
Nota: A fem terá sua polaridade 
definida pelo produto vetorial
� = � × � · �⃗ = ���
��� �
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3.1. Aspectos Gerais
 Análise qualitativa de alguns fenômenos físicos
2. Uma força é exercida em um material magnético, na presença de um campo 
magnético que tende a colocá-lo na parte mais densa do campo. 
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A figura mostra um eletroímã cujo fluxo magnético induz
polos magnéticos no êmbolo de polaridades opostas às
indicadas nas faces do núcleo magnético. Isto resulta em
uma força no êmbolo para a esquerda no sentido de
alinhar os polos magnéticos da parte móvel (êmbolo) com
aqueles da parte fixa (núcleo).
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3.1. Aspectos Gerais
 Análise qualitativa de alguns fenômenos físicos
2. Quando o campo magnético é criado por uma bobina percorrida por corrente, o 
processo é reversível, pois o movimento do material magnético causa uma 
variação do fluxo magnético e induz uma tensão na bobina.
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A figura ainda mostra o mesmo eletroímã, mas agora com o
êmbolo sendo movimentado para a esquerda (por uma força
externa). Isto causa uma redução da relutância do entreferro
e aumento do fluxo magnético. Esta variação de fluxo induz
uma tensão (e) na bobina (lei de Faraday) que tende a
opor a causa que a criou (lei de Lenz).
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3.1. Aspectos Gerais
 Análise qualitativa de alguns fenômenos físicos
3. Uma força aparece entre duas placas carregadas que tende a separá-las ou 
aproximá-las, conforme a polaridade das cargas (Efeito capacitor). 
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Seja o seguinte capacitor de placas planas paralelas:Sejao seguinte capacitor de placas planas paralelas:Seja o seguinte capacitor de placas planas paralelas:Seja o seguinte capacitor de placas planas paralelas:
Áreas das placas = Áreas das placas = Áreas das placas = Áreas das placas = AAAA, distância entre as placas = , distância entre as placas = , distância entre as placas = , distância entre as placas = d , d , d , d , 
ddddielétrico entre as placas de permissividade elétrica ielétrico entre as placas de permissividade elétrica ielétrico entre as placas de permissividade elétrica ielétrico entre as placas de permissividade elétrica εεεε
Suponha que este foi carregado por uma fonte Suponha que este foi carregado por uma fonte Suponha que este foi carregado por uma fonte Suponha que este foi carregado por uma fonte VVVV::::
Nesta condição Nesta condição Nesta condição Nesta condição –––– Condição 1Condição 1Condição 1Condição 1 –––– temtemtemtem----se:se:se:se:
Carga = Carga = Carga = Carga = qqqq, diferença de potencial entre as placas = , diferença de potencial entre as placas = , diferença de potencial entre as placas = , diferença de potencial entre as placas = V.V.V.V.
Capacitância (Capacitância (Capacitância (Capacitância (CCCC1111 ) e Energia () e Energia () e Energia () e Energia (WWWW1111):):):):
9: = 12 <=><: =
?@
A =
B
=
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3.1. Aspectos Gerais
 Análise qualitativa de alguns fenômenos físicos
3. O processo é reversível, pois o afastamento ou aproximação mecânica das 
placas e do dielétrico resulta na redistribuição das cargas ou na variação da 
tensão entre elas, ou ambos.
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RetiraRetiraRetiraRetira----se a fonte de tensão se a fonte de tensão se a fonte de tensão se a fonte de tensão e simultaneamente e simultaneamente e simultaneamente e simultaneamente 
aumentaaumentaaumentaaumenta----se a distância se a distância se a distância se a distância entre as placas para 2entre as placas para 2entre as placas para 2entre as placas para 2dddd
pela aplicação de uma força externa.pela aplicação de uma força externa.pela aplicação de uma força externa.pela aplicação de uma força externa.
Nesta condição Nesta condição Nesta condição Nesta condição –––– Condição 2Condição 2Condição 2Condição 2 –––– observaobservaobservaobserva----se que a se que a se que a se que a 
quantidade de cargas não altera: quantidade de cargas não altera: quantidade de cargas não altera: quantidade de cargas não altera: qqqq2222 ====qqqq, e que a , e que a , e que a , e que a diferença de potencial dobra: diferença de potencial dobra: diferença de potencial dobra: diferença de potencial dobra: V.V.V.V.2222 = 2V= 2V= 2V= 2V1111 ====2V.2V.2V.2V.
Capacitância (Capacitância (Capacitância (Capacitância (CCCC2222 ) e Energia () e Energia () e Energia () e Energia (WWWW2222):):):):
9> = 12 <>=>> = 29:<> =
?@
2A =
<:
2
Da condição 1 para 2 
houve variação de 
tensão com carga 
constante
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3.1. Aspectos Gerais
 Análise qualitativa de alguns fenômenos físicos
3. O processo é reversível, pois o afastamento ou aproximação mecânica das 
placas e do dielétrico resulta na redistribuição das cargas ou na variação da 
tensão entre elas, ou ambos.
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Partindo da Partindo da Partindo da Partindo da Condição 1Condição 1Condição 1Condição 1 sem retirar a fonte de sem retirar a fonte de sem retirar a fonte de sem retirar a fonte de 
tensãotensãotensãotensão, , , , aumentaaumentaaumentaaumenta----se a distância se a distância se a distância se a distância entre as placas entre as placas entre as placas entre as placas 
para 2para 2para 2para 2dddd pela aplicação de uma força externa.pela aplicação de uma força externa.pela aplicação de uma força externa.pela aplicação de uma força externa.
Nesta condição Nesta condição Nesta condição Nesta condição –––– Condição 3Condição 3Condição 3Condição 3 –––– observaobservaobservaobserva----se que a se que a se que a se que a 
quantidade de cargas se altera: quantidade de cargas se altera: quantidade de cargas se altera: quantidade de cargas se altera: qqqq3333 ====q/2q/2q/2q/2, e que a , e que a , e que a , e que a diferença de potencial se mantém: diferença de potencial se mantém: diferença de potencial se mantém: diferença de potencial se mantém: V.V.V.V.3333 = V= V= V= V1111 ====V.V.V.V.
Capacitância (Capacitância (Capacitância (Capacitância (CCCC3333 ) e Energia () e Energia () e Energia () e Energia (WWWW3333):):):):
9I = 12 <I=I> =
9:
2<I =
?@
2A =
<:
2
Da condição 1 para 3 
houve redistribuição de 
cargas com tensão 
constante
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3.1. Aspectos Gerais
 Análise qualitativa de alguns fenômenos físicos
4. Certos cristais, como o sal de rochelle ou quartzo, tem a sua espessura alterada, 
na dimensão, quando gradientes de tensão são aplicados numa direção particular.
Este fenômeno é reversível pois, quando são deformados, observa-se o 
aparecimento de cargas elétricas. Este fenômeno é conhecido como efeito 
piezoelétrico.
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Princípio do Autofalante Princípio do Microfone
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3.1. Aspectos Gerais
 Análise qualitativa de alguns fenômenos físicos
5. Vários materiais magnéticos, o ferro, níquel e cobalto, como exemplos, sofrem 
ligeira deformações quando magnetizados (variação na dimensão é em torno de 
0,01%), mas a força que pode ser produzida é relativamente grande.
O fenômeno é reversível, pois, quando são estirados mecanicamente suas 
propriedades magnéticas são afetadas. Este fenômeno é chamado de 
magnetostricção.
Esta característica é utilizada para a implementação de sensores de pressão e na 
detecção de ultra-som, por exemplo.
Este fenômeno é o causador do ruído peculiar dos transformadores em operação. 
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3.1. Aspectos Gerais
 Os fenômenos mais importantes, do ponto de vista da quantidade de energia 
envolvida, que se aplica nas máquinas rotativas, são o primeiro e o segundo. 
 Dispositivos baseados na piezoeletricidade ou magnetostricção são limitados 
aos níveis de potência de poucos watts.
 Outros importantes transdutores eletromecânicos são aqueles que produzem 
movimentos de translação e de vibração. Dispositivos de movimento 
translacional, em geral, podem ser baseado na aplicação de qualquer dos 
cinco fenômenos.
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3.2. Forças e Conjugados em Sistemas de Campo Magnético
� – força; � – corrente; � – comprimento do fio; � – campo magnético; � - ângulo entre �⃗ e �
� = ��⃗ × � = ���
��� �
O par de forças cria uma 
influência rotacional, ou 
torque, que gira a bobina.
Se o condutor for dobrado em forma 
de aro, então os dois lados do aro, 
que estão em ângulo reto em relação 
ao campo magnético, experimentarão 
forças em sentidos opostos.
Um condutor com corrente 
elétrica em um campo magnético 
experimentará uma força.
Os motores reais possuem diversos aros 
formando o enrolamento da armadura para 
fornecer um torque mais uniforme. O campo 
magnético é geralmente produzido por 
bobinas no chamado enrolamento de campo.
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3.2. Forças e Conjugadosem Sistemas de Campo Magnético
ExemploExemploExemploExemplo 3333....1111 –––– CálculoCálculoCálculoCálculo dodododo conjugadoconjugadoconjugadoconjugado emememem funçãofunçãofunçãofunção dadadada posiçãoposiçãoposiçãoposição dodododo rotorrotorrotorrotor (pag(pag(pag(pag.... 121121121121 –––– Fitzgerald)Fitzgerald)Fitzgerald)Fitzgerald)
UmUmUmUm rotorrotorrotorrotor nãonãonãonão magnéticomagnéticomagnéticomagnético contendocontendocontendocontendo umaumaumauma bobinabobinabobinabobina dededede espiraespiraespiraespira únicaúnicaúnicaúnica estáestáestáestá colocadocolocadocolocadocolocado emememem umumumum campocampocampocampo
magnéticomagnéticomagnéticomagnético uniformeuniformeuniformeuniforme dededede módulomódulomódulomódulo BBBB0000,,,, comocomocomocomo mostradomostradomostradomostrado nananana figurafigurafigurafigura abaixoabaixoabaixoabaixo.... OsOsOsOs ladosladosladoslados dadadada bobinabobinabobinabobina estãoestãoestãoestão aaaaumaumaumauma distânciadistânciadistânciadistância dodododo eixoeixoeixoeixo igualigualigualigual aaaa RRRR eeee oooo fiofiofiofio conduzconduzconduzconduz umaumaumauma correntecorrentecorrentecorrente IIII comocomocomocomo indicadoindicadoindicadoindicado.... EncontreEncontreEncontreEncontre oooo
conjugadoconjugadoconjugadoconjugado emememem funçãofunçãofunçãofunção dadadada posiçãoposiçãoposiçãoposição dodododo rotorrotorrotorrotor αααα quandoquandoquandoquando IIII ==== 10101010 A,A,A,A, BBBB0000 ==== 0000,,,,02020202 T,T,T,T, eeee RRRR ==== 0000,,,,05050505mmmm.... SuponhaSuponhaSuponhaSuponhaquequequeque oooo comprimentocomprimentocomprimentocomprimento dodododo rotorrotorrotorrotor sejasejasejaseja � ==== 0000,,,,3333mmmm....
Cálculo das forças nos 2 condutores:
W = X, XXY
��Z −�\ N.mN.mN.mN.m 21
�] = �]�⃗ × � = �X��
��^X_ (�`) = �X��(�`)
�a = �a�⃗ × � = �X��
��^X_ (−�`) = �X��(−�`)
Cálculo do torque desenvolvido por cada força:
W] = b] × �] = c(�X��)
��Z (−�\)
Wa = ba × �a = c(�X��)
��Z (−�\)
Cálculo do torque resultante (tende a girar o rotor no sentido horário ou - �d):
W = W] + Wa = ac �X�� 
��Z −�\ = �X�f
��Z −�\
Substituindo os valores acima, obtém-se:
onde a área do plano da espira é dada por: f = ac�
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3.2. Forças e Conjugados em Sistemas de Campo Magnético
 Objetivo: estudo dos conversores ou transdutores eletromecânicos, com 
acoplamento magnético.
Elementos reativos: campos magnéticos e elétricos (armazenamento de 
energia)
Elementos elétricos: ex. indutores e capacitores
Elementos mecânicos: ex. massa de um corpo em movimento, mola.
Princípio da conservação da energia juntamente com as leis dos 
campos elétrico e magnético, circuitos elétricos e a mecânica 
newtoniana, são os meios convenientes para encontrar as características 
do acoplamento eletromecânico
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3.2. Forças e Conjugados em Sistemas de Campo Magnético
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gh���i = �jgi = ghkl_ + ghm�k
ghkl_ = �jgi − nkl_g`
� = gogi ghkl_ = jgo − nkl_g`
gh���i = jgo = diferencialdiferencialdiferencialdiferencial dadadada entradaentradaentradaentrada dededede energiaenergiaenergiaenergia elétricaelétricaelétricaelétrica
ghkl_ = diferencialdiferencialdiferencialdiferencial dadadada variaçãovariaçãovariaçãovariação dadadada energiaenergiaenergiaenergia magnéticamagnéticamagnéticamagnética armazenadaarmazenadaarmazenadaarmazenada
ghm�k = nkl_g` = diferencialdiferencialdiferencialdiferencial dadadada saídasaídasaídasaída dededede energiaenergiaenergiaenergia mecânicamecânicamecânicamecânica
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3.3. Balanço Energético
 A conversão eletromecânica de energia então envolve energia em quatro
formas e a conservação de energia, nos conduz a seguinte relação entre 
essas formas:
Energia 
Disponível na 
forma 
Elétrica
Energia 
convertida 
em calor
Energia 
fornecida 
pela fonte 
mecânica
Variação de 
energia no 
campo de 
acoplamento
Essa equação aplicável a todo dispositivo de conversão eletromecânica de 
energia, com valores positivos para a disponibilidade da energia na forma 
elétrica.
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3.3. Balanço Energético
 A conversão irreversível para a forma de calor acontece devido a três 
causas: :
Perdas Jóulicas (no cobre, RI2 )
Perdas por atrito e ventilação (mecânicas)
Perdas por Histerese e Foucault (no ferro) 
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3.3. Balanço Energético
Agrupando-se as perdas, tem-se que:
Energia 
Disponível na 
forma Elétrica
Variação de 
energia no 
campo de 
acoplamento 
mais histerese e 
foucault
Energia 
fornecida pela 
fonte mecânica 
mais atrito e 
ventilação
gh���i = ghk�ml_ + ghm�k
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gh���i = jgo = diferencialdiferencialdiferencialdiferencial dadadada entradaentradaentradaentrada dededede energiaenergiaenergiaenergia elétricaelétricaelétricaelétrica
ghkl_ � diferencialdiferencialdiferencialdiferencial dadadada variaçãovariaçãovariaçãovariação dadadada energiaenergiaenergiaenergia magnéticamagnéticamagnéticamagnética armazenadaarmazenadaarmazenadaarmazenada
ghm�k � nkl_g` � diferencialdiferencialdiferencialdiferencial dadadada saídasaídasaídasaída dededede energiaenergiaenergiaenergia mecânicamecânicamecânicamecânica
onde:
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2
2i
2
2i
2
2i
2
2i
2
2i
2
2i
3.4. Energia em Sistemas de Campo Magnético de Excitação Única
 Suponha que o núcleo magnético e a armadura do relé mostrado na figura possam ser considerados 
um sistema de armazenamento de energia sem perdas. Na verdade, as perdas elétricas e as perdas 
mecânicas podem ser incluídas como elementos externos na entrada e na saída, respectivamente.
 O circuito magnético formado abaixo pode ser descrito por uma indutância L que é função da 
geometria da estrutura magnética (posição x) e da permeabilidade do material magnético; 
 Os dispositivos de conversão eletromecânica de energia têm entreferro em seus circuitos magnéticos 
para separar as partes móveis das partes fixas;
 A relutância do núcleo é muito menor que a relutância do entreferro, portanto, o armazenamento 
predominante de energia ocorre no entreferro.
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3.4. Energia em Sistemas de Campo Magnético de Excitação Única
 A equação do transdutor estabelece que 
Portanto, se o deslocamento é igual a zero (dxdxdxdx = 0= 0= 0= 0), então dWdWdWdWmecmecmecmec = 0= 0= 0= 0. Logo, temos:
Para uma configuração determinada, a energia elétrica disponível i di di di dλλλλ = F d= F d= F d= F dϕϕϕϕ, associada 
com a variação do fluxo, é absorvida pelo campo, ou
0= = +elet cpodW e i dt dW 
= =cpodW i d Fdλ ϕ
= = +elet cpo mecdW eidt dW dW
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NotaNotaNotaNota:::: Provar que i di di di dλλλλ = = = = FFFF ddddϕϕϕϕ usando as seguintes relações:
s = tuv = wt
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3.4. Energia em Sistemas de Campo Magnético de Excitação Única
 A energia absorvida pelo campona mudança do enlace de fluxo de λ1 para λ2 ou de ϕϕϕϕ1
para ϕϕϕϕ 2 é
se o fluxo inicial é zero, então:
( )= = 2 2
1 1
λ
cpo
λ
W i dλ F( )dϕ
ϕ
λ ϕ ϕ
0 0
= = cpoW i( )d F( )d
λ ϕλ λ ϕ ϕ
29
s = tu x = u@
y = wzv =
w
t
NotaNotaNotaNota:::: Pode-se fazer os seguintes gráficos:
ϕϕϕϕ ×××× FFFF ou λλλλ ×××× iiii ou BBBB ×××× HHHH
u = st
w = tv
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3.4. Energia em Sistemas de Campo Magnético de Excitação Única
 A f.m.m. (força magnetomotriz) ou abreviadamente F F F F é uma função do fluxo ϕϕϕϕ e a 
relação entre eles depende da geometria da bobina e do circuito magnético e das 
propriedades magnéticas do material do núcleo. 
 Para um material ferromagnético, a relação será mais ou menos não-linear.
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hkl_ = | � } g}
}
X
hkl_ = | j o go
o
X
ouououou
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3.4. Energia em Sistemas de Campo Magnético de Excitação Única
 Energia armazenada no campo é, portanto, igual a área (oabo) da figura.
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hkl_ = | � } g}
}
X
hkl_ = | j o go
o
X
ouououou
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3.4. Energia em Sistemas de Campo Magnético de Excitação Única
 Quando a f.m.m. é reduzida a zero, somente parte dessa energia é devolvida, 
que corresponde à área (cabc), sendo isso associado ao fluxo residual (ponto c). 
 A área oaco corresponde à energia dissipada e retida no núcleo devido às 
perdas por histerese.
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3.4. Energia em Sistemas de Campo Magnético de Excitação Única
 Sob condições cíclicas, as perdas do ciclo histerese pode ser representada pela figura.
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Um material magnético duro é aquele que apresenta altas
perdas por histerese e retém o magnetismo (fluxo residual)
mesmo na ausência de um campo magnético externo, sendo ideal
para formação de imãs permanentes.
Um material magnético
macio ou mole é aquele que
apresenta pequenas perdas
por histerese, sendo ideal
para as aplicações que
utilizam a corrente alternada
como em transformadores e
máquinas elétricas rotativas.
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3.4. Energia em Sistemas de Campo Magnético de Excitação Única
 Co-energia - área (oaco) da figura.
~cpocpocpocpo = | o(j)gj
j
X
= | €(�)g�
�
X
~cpocpocpocpo = | j(o)go
o
X
= | �(€)g€
€
X
Nota: A equação de co-energia é obtida
da equação de energia abaixo permutando
λ com i e ϕ com F.
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33
34
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3.4. Energia em Sistemas de Campo Magnético de Excitação Única
 Energia e Co-energia
WWWWcpocpocpocpo + + + + W'W'W'W'cpocpocpocpo = = = = Área (Área (Área (Área (oabooabooabooabo) + área () + área () + área () + área (oaeooaeooaeooaeo) = ) = ) = ) = i i i i λλλλ = F= F= F= Fϕϕϕϕ
e
Área da Energia Área da Co-energia
35
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3.4. Energia em Sistemas de Campo Magnético de Excitação Única
 Simplificando as relações resultantes, a não-linearidade magnética e as perdas 
no núcleo, às vezes são desprezadas na análise de dispositivos práticos. 
 Quando o fluxo e a força magnetomotriz são diretamente proporcionais, 
como no ar, a energia armazenada e a co-energia são iguais.
36
9‚ƒ„ = 9‚ƒ„ = 12 vs =
1
2 wu
Observe que no caso de linearidade, 
a energia e a co-energia são iguais 
à metade da área do retângulo (ou 
da energia total)
35
36
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3.4. Energia em Sistemas de Campo Magnético de Excitação Única
 Para uma Para uma Para uma Para uma relação linearrelação linearrelação linearrelação linear entre o fluxo (entre o fluxo (entre o fluxo (entre o fluxo (ϕϕϕϕ) e a força ) e a força ) e a força ) e a força magnetomotrizmagnetomotrizmagnetomotrizmagnetomotriz (F) tem(F) tem(F) tem(F) tem----se que a se que a se que a se que a 
relutância magnética (relutância magnética (relutância magnética (relutância magnética (R R R R ) é constante (ou a permeância ) é constante (ou a permeância ) é constante (ou a permeância ) é constante (ou a permeância P = 1/R = P = 1/R = P = 1/R = P = 1/R = constante)constante)constante)constante).
Como 
Então,
Se e 
… = w† e P =
†
F
9cpo = 9cpo = 12 R †> =
1
2 PF >
‡ = sv =
t†
v = t>ˆ
hcpocpocpocpo = hcpocpocpocpo = ]a LLLL iiii a
37
w = tv
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3.4. Energia em Sistemas de Campo Magnético de Excitação Única
 A energia associada com o campo é distribuída no espaço ocupado pelo campo. 
 Para um meio magnético com permeabilidade constante e sem perdas, a densidade de 
energia (= energia por volume) é explicada da seguinte forma:
9‚ƒ„ = 9‚ƒ„ = 12 w †
Škl_ = Škl_ = hkl_�_�‹m� =
]
a 
�
� .
€
f =
]
a Œ� =
]
a Œa =
]
a 
�a

NotaNotaNotaNota:::: Deve-se usar WWWW para energia (dada em J) e wwww (letra minúscula) 
para densidade de energia (dada em J/m3).
Obtenção da densidade de energia em J/m3:
(Nota: volume = comprimento ×××× área = l ×××× A (Unidade: m3 = m ×××× m2 )):
Seja a energia em J:
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38
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3.5. Determinação da Força e do Conjugado Magnéticos a partir da Energia
9‚‘ƒ„ s’, “’ � | v s, “’ As
”•
’
Para um sistema de armazenamento de energia magnética sem perdas:
A9–—–˜ � A9‘–‚ e A9‚‘ƒ„
A9–—–˜ � ™vAš � As Aš⁄ vAš � vAs
A9‘–‚ � œ‚‘ƒ„dx
onde:
A9‚‘ƒ„ � vAs [ œ‚‘ƒ„d“Assim
Como o sistema magnético sem perdas 
é conservativo, o valor final da energia 
é o mesmo, independente de como o e 
` são trazidos ao seu valor final (ver as 
trajetórias 1 e 2 da figura). Assim, ao 
integrar a equação acima pela trajetória 
2 obtém-se a energia do campo como:
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Cálculo da força pela ENERGIA
Para o sistema de armazenamento de energia magnética sem perdas 
(sistema conservativo), temos as seguintes expressões de energia:
A9‚‘ƒ„5s, “6 � vAs [ œ‚‘ƒ„dx
A9‚‘ƒ„5s, “6 � žŸ ¡¢£” dλ+
žŸ ¡¢£
¤ dx
Comparando as duas equações, chega-se aos valores de j e nk�ml_:
v � ¥9‚‘ƒ„5s, “6¥s
œ‚‘ƒ„ � [ ¥9‚‘ƒ„5s, “6¥“
A equação acima mostra que a força mecânica é obtida pela derivada 
parcial da função de energia (expressa em termos de ¦ e `) em relação 
a `, mantendo o enlace de fluxo ¦ constante. 
3.5. Determinação da Força e do Conjugado Magnéticos a partir da Energia
40
39
40
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A co-energia é definida em função de j e ` tal que:
Cálculo da força pela CO-ENERGIA
A vs = v ds+s dv
Diferenciando a expressão da co-energia
9‚‘ƒ„ v, “ = vλ − 9‚‘ƒ„ s, “
Tomando o diferencial de jo :
A9‚‘ƒ„ v, “ = A vλ − A9‚‘ƒ„ s,“
A9‚‘ƒ„ v, “ = (v ds+s dv) − (vAs − œ‚‘ƒ„dx)
Usando o diferencial de jo e a expressão da diferencial da energia
A9‚‘ƒ„ v, “ = sAv + œ‚‘ƒ„dx
3.5. Determinação da Força e do Conjugado Magnéticos a partir da Energia
41
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Comparando as seguintes duas expressões de diferencial de co-energia:
A9‚‘ƒ„ v, “ = §žŸ ¡¢£
¨
© dv+
§žŸ ¡¢£¨
¤ dx
chega-se aos valores de o e nk�ml_:
s = A9‚‘ƒ„
 (v, “)
¥v
œ‚‘ƒ„ = + A9‚‘ƒ„
 (v, “)
¥“
A9‚‘ƒ„ v, “ = sAv + œ‚‘ƒ„dx
A equação acima mostra que a força mecânica é obtida pela derivada 
parcial da função de co-energia (expressa em termos de j e `) em relação 
a `, mantendo a corrente j constante. 
Cálculo da força pela CO-ENERGIA
3.5. Determinação da Força e do Conjugado Magnéticos a partir da Energia
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41
42
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Para um sistema de armazenamento de energia magnética sem perdas 
(sistema conservativo) temos a seguinte expressão para obtenção da 
co-energia do campo (análoga a expressão da energia):
Para um sistema linear no qual o e j são proporcionais (o = ª ` j):
9‚‘ƒ„ v’, “’ = | s v, “’ Av
©•
’
9‚‘ƒ„ v, “ = | ‡ “ vAv = 12 ‡ “ v>
©
’
9‚‘ƒ„ s, “ = | s

‡ “ As =
1
2
s>
‡ “ =
1
2 ‡ “ v>
”
’
Usando a expressão de energia para o sistema linear (o = ª ` j):
Logo, para o sistema linear (o = ª ` j), temos:
9‚‘ƒ„ s, “ = 9‚‘ƒ„ v, “ = 12 ‡ “ v>
3.5. Determinação da Força e do Conjugado Magnéticos a partir da Energia
43
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Exemplo 3.2 – Cálculo da Energia de Campo (pag. 127 – Fitzgerald)
A relé mostrado na figura abaixo é construído de material magnético de
permeabilidade infinita com um êmbolo móvel, também de permeabilidade infinita.
A altura do êmbolo é muito maior que o comprimento do entreferro ( h >> g).
Calcule a energia magnética armazenada Wcpo em função da posição do êmbolo
(0 < x < d) para N = 1000 espiras, g = 2,0 mm, d = 0,15 m, l = 0,1 m e i = 10 A.
3.5. Determinação da Força e do Conjugado Magnéticos a partir da Energia
44
43
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9‚‘ƒ„ s, “ = 12 ‡ “ v>
onde:
‡ “ = t
>
2ℛ¬ =
t>
2 ­®’@¬
@¬ = z A − “ = zA 1 − “A
Logo:
‡ “ = t
>®’
2­ zA 1 −
“
A
9‚‘ƒ„ s, “ = 12
t>®’
2­ zA 1 −
“
A v> 9‚‘ƒ„ s, “ = 236 1 −
“
A J
Exemplo 3.2 – Cálculo da Energia de Campo
3.5. Determinação da Força e do Conjugado Magnéticos a partir da Energia
45
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Energia expressa em função de o e `:
Exemplo 3.3 – Cálculo da Força pela Energia e Co-Energia de Campo
Para o relé do Exemplo 3.2, determinar a força no êmbolo em função de x quando a 
corrente na bobina é mantida constante em 10 A. Usar ambas as expressões de 
Energia e Co-energia.
9‚‘ƒ„ s, “ = 12
s>
‡ “ =
­s>
t>®’zA(1 − “ A⁄ )
‡ “ = t
>®’
2­ zA 1 −
“
A
œ‚‘ƒ„ = − ¥9‚‘ƒ„ s, “¥“ = −
­s>
t>®’zA> 1 − “ A⁄ >
Expressando em termos de j utilizando o = ª ` j , obtemos:
œ‚‘ƒ„ = − ­‡
> “ v>
t>®’zA> 1 − “ A⁄ > = −
t>®’z
4­ v> = −1570 N
3.5. Determinação da Força e do Conjugado Magnéticos a partir da Energia
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45
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Co-energia em função de j e `:
Exemplo 3.3 – Cálculo da Força pela Energia e Co-Energia de Campo
Para o relé do Exemplo 3.2, determinar a força no êmbolo em função de x quando a 
corrente na bobina é mantida constante em 10 A. Usar ambas as expressões de 
Energia e Co-energia.
9‚‘ƒ„ v, “ = 12 ‡ “ v> =
t>®’
4­ zA 1 [
“
A v>
‡ “ � t
>®’
2­ zA 1 [
“
A
œ‚‘ƒ„ � e žŸ ¡¢£
¨ ©,¤
¤ = −
²³´•—
µ¬ v> = −1570 N
3.5. Determinação da Força e do Conjugado Magnéticos a partir da Energia
47
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Os resultados mostram que a indutância da bobina e a energia do campo 
nos dois entreferros do êmbolo são máximas em x = 0 e nulas em x = d. 
Também pode-se observar que a força do campo é constante e negativa, 
isto é, tem um sentido oposto ao deslocamento x do êmbolo.
Análise dos resultados dos Exemplos 3.2 e 3.3
‡ “ = t
>®’
2­ zA 1 −
“
A
9‚‘ƒ„ s, “ = 236 1 − “A J
œ‚‘ƒ„ = −1570 N
3.5. Determinação da Força e do Conjugado Magnéticos a partir da Energia
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Efeito de ∆∆∆∆x sobre a energia e a co-energia de um dispositivo de excitação 
única, como o da figura. 
x = posição inicial
x + ∆∆∆∆x = posição final
3.5. Determinação da Força e do Conjugado Magnéticos a partir da Energia
49
Nota: Ao mover a armadura da posição x para a posição mais aberta x + ∆x, 
haverá uma redução tanto na indutância L(x) da bobina como 
também na energia armazenada no campo do entreferro Wcpo(λ,x). 
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Figura 3.11 Efeito de ∆∆∆∆x sobre a energia e a co-energia de um dispositivo de excitação única: 
(a) variação de energia mantendo λλλλ constante; (b) variação de co-energia mantendo i constante.
3.5. Determinação da Força e do Conjugado Magnéticos a partir da Energia
50
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(a) Energia:
(b) Co-energia:
Para o deslocamento ∆∆∆∆x da armadura no sentido positivo temos:
- A área da energia mostra um decremento para λλλλ constante,
enquanto que a área da co-energia mostra um incremento para j
constante.
- Estas duas áreas diferem apenas pelo pequeno triângulo abc, de
lados ∆∆∆∆i e ∆λ∆λ∆λ∆λ, que desaparece no limite quando ∆∆∆∆x→ 0.
- Assim, a magnitude da força do campo não é alterada quando
esta é determinada, seja utilizando a expressão da energia, seja
empregando a equação da co-energia.
nk�ml_ = + ¶hk�ml_
 (j, `)
¶` = ·¸¹º`→X
ºhk�ml_ j, `
º` j k_�
i��i�
nk�ml_ = − ¶hk�ml_(o, `)¶` = ·¸¹º`→X
−ºhk�ml_ o, `
º` o k_�
i��i�
3.5. Determinação da Força e do Conjugado Magnéticos a partir da Energia
51
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As equações para um sistema com terminal mecânico rotativo são obtidas trocando as 
variáveis x e Fcampo, pelas variáveis deslocamento angular (θθθθ ) e conjugado (Tcampo).
Em sistemas magnéticos lineares, para os quais o = ª � j, tem-se que:
Portanto, o conjugado pode ser expresso por: 
Obs: 1) No caso de sistemas lineares:
2) Verificar que as expressões de torque são iguais (faça o = ª � j).
3.5. Determinação da Força e do Conjugado Magnéticos a partir da Energia
Wk�ml_ = + ¶hk�ml_
 j, �
¶�Wk�ml_ = −
¶hk�ml_ o, �
¶�
hk�ml_ j, � = ]a ª � jahk�ml_ o, � =
]
a
oa
ª �
Wk�ml_ = + ]a
]
ªa(�)
gª �
g� oa Wk�ml_ = +
]
a
gª �
g� ja
hk�ml_ j, � = hk�ml_ o, � 
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Exemplo 3.4 – Cálculo da Energia de Campo (pag. 133 – Fitzgerald)O circuito magnético mostrado na figura consiste em um estator de bobina única e um rotor
oval. Como o entreferro não é uniforme, a indutância da bobina varia com a posição angular do
rotor, medida entre o eixo magnético da bobina do estator e o eixo principal do rotor, de
acordo com L(θθθθ) = L0 + L2 cos(2θθθθ) , onde L0 = 10,6 mH e L2 = 2,7 mH.
Observe a variação de indutância de segunda harmônica em função do ângulo θθθθ do Rotor. Isso
é consistente com o fato de que a indutância não se altera caso o rotor seja girado de 180°.
Encontre o conjugado em função de θθθθ para uma corrente de bobina igual a 2 A.
(((( ))))
2 2
2
2
( )( ) 2 (2 )
2 2
 ( ) 1,08 10 (2 ) [N.m]
campo
campo
i dL iT L sen
d
T sen−−−−
θθθθθ = = − θθ = = − θθ = = − θθ = = − θ
θθθθ
θ = − ⋅ θθ = − ⋅ θθ = − ⋅ θθ = − ⋅ θ
3.5. Determinação da Força e do Conjugado Magnéticos a partir da Energia
Wk�ml_ = j
a
a
gª ¼
g¼
ª ¼ = ªX + ªak_
a¼
Nota: Este é o chamado Torque de Relutância e o sinal negativo mostra que ele tende 
a mover o eixo do rotor no sentido horário para alinhar com o eixo do estator. 53
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3.6. Sistemas de Campo Magnético Multi-Excitado
 A energia no acoplamento magnético é influenciada pela posição relativa do 
rotor em relação ao estator. 
 Os campos magnéticos do estator e do rotor tendem a se alinhar.
 Aqui será suposto um sistema magnético linear onde a relação entre λλλλ e i é 
especificada em termos das indutâncias envolvidas.
54
A figura mostra duas fontes
de excitação para formação
do campo magnético, sendo
um enrolamento instalado
na parte fixa, chamada de
ESTATOR, e o outro na parte
móvel, chamada de ROTOR.
53
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O incremento de energia elétrica de entrada é dado por:
onde, supondo um sistema magnético linear, tem-se:
Substituindo acima, observando que ªa]= ª]a, obtém-se:
3.6. Sistemas de Campo Magnético Multi-Excitado
ddddWWWWeleteleteletelet = �]j]gi + �ajagi = j]go] + jagoa
o] = ª]](�)j] + ª]a(�)ja e oa = ªaa(�)ja + ªa](�)j]
55
Wg�==== ddddWWWWeleteleteletelet − ghkl_
ddddWWWWeleteleteletelet = ghkl_ + Wg�
Cálculo do torque resultante:
ddddWWWWeleteleteletelet = j]agª]](�) + jaagªaa(�) + aj]jagª]a(�)
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Para um sistema magnético linear, a energia e a co-energia de campo são 
iguais e expressas por:
Fazendo a diferencial em relação a θ :
3.6. Sistemas de Campo Magnético Multi-Excitado
56
Wg�==== ddddWWWWeleteleteletelet − ghkl_
ddddWWWWeleteleteletelet = ghkl_ + Wg�
Cálculo do torque resultante:
hkl_ = ]a ª]](�)j]a+
]
a ªaa(�)jaa+ ª]a(�)j]ja
ghkl_ = ]a j]agª]](�) +
]
a jaagªaa(�) + j]jagª]a(�)
55
56
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Substituindo dWelet e dWcpo na equação acima, temos:
3.6. Sistemas de Campo Magnético Multi-Excitado
W = ]a j]a
gª]](�)
g� +
]
a jaa
gªaa(�)
g� + j]ja
gª]a(�)
g�
57
Wg�==== ddddWWWWeleteleteletelet − ghkl_
ddddWWWWeleteleteletelet = ghkl_ + Wg�
Cálculo do torque resultante:
Wg�==== j]agª]] � + jaagªaa � + aj]jagª]a � − ]a j]agª]] � − ]a jaagªaa � − j]jagª]a(�)
Nota: Esta expressão de torque poderia ser obtida diretamente pela derivada 
parcial da energia (ou co-energia) do campo em relação a θ . 
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n = + ¶hcpocpocpocpo
 j] ,,,,iiiia ,x,x,x,x
¶`
Generalizando, para um
sistema magnético linear
com duas excitações e
com movimento de
rotação, o conjugado
pode ser obtido por:
3.6. Sistemas de Campo Magnético Multi-Excitado
W = + ¶hcpocpocpocpo
 j],,,,iiiia, �
¶�
58
A expressão análoga equivalente para obtenção da força, em um sistema 
magnético linear com duas excitações e movimento de translação, será:
57
58
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3.6. Sistemas de Campo Magnético Multi-Excitado
 O esquema mostra um
exemplo de uma máquina
elétrica duplamente excitada.
 Os campos do rotor e do
estator (devido às duas
excitações) determinam dois
eixos magnéticos.
A tendência dos dois eixos
magnéticos se alinharem
produz um torque elétrico.
59
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Nota 1: Produção do Conjugado de Excitação (TE)  2 excitações de campo
60
 ½¾= ½¾,¿ÀÁsenδ
3.6. Sistemas de Campo Magnético Multi-Excitado
59
60
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Nota 2: Produção do Conjugado de Relutância (TR)  1 excitação + ferro
61
 ½Ã= ½Ã,¿ÀÁsen2δ
3.6. Sistemas de Campo Magnético Multi-Excitado
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Nota 3: Produção dos 2 Conjugados  2 excitações + material ferromanético
62
 ½˜„˜—= ½¾ + ½Ã = ½¾,¿ÀÁsenδ + ½Ã,¿ÀÁsen2δ
3.6. Sistemas de Campo Magnético Multi-Excitado
61
62
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A expressão da energia ou co-energia do sistema (sistema linear) é:
3.6. Sistemas de Campo Magnético Multi-Excitado
63
No sistema mostrado na figura,
as indutâncias são dadas por:
L11 = (3 + cos2θ)×10-3 [H];
L12 = 0,1cosθ [H];
L22 = 30 + 10cos2θ [H].
Determinar o conjugado para:
i1 = 1 A e i2 = 0,01 A.
Exemplo 3.5 – Cálculo do Conjugado
9cpo = 9cpo = 12 ‡11(Ä)v:> +
1
2 ‡22(Ä)v>> + ‡12(Ä)v:v>
Como explicado, o conjugado (sistema linear) é obtido da energia por:
½ = ¥9cpo v:,i>, Ä¥Ä =
1
2 v:>
A‡::(Ä)
AÄ +
1
2 v>>
A‡>>(Ä)
AÄ + v:v>
A‡:>(Ä)
AÄ
½ = −1 × 10ÅIv:>ƙÇ2Ä − 10v>>ƙÇ2Ä − 0,1v:v>ƙÇÄ
Substituindo as indutâncias:
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Tomando novamente a expressão do torque
3.6. Sistemas de Campo Magnético Multi-Excitado
64
No sistema mostrado na figura,
as indutâncias são dadas por:
L11 = (3 + cos2θ)×10-3 [H];
L12 = 0,1cosθ [H];
L22 = 30 + 10cos2θ [H].
Determinar o conjugado para:
i1 = 1 A e i2 = 0,01 A.
Exemplo 3.5 – Cálculo do Conjugado
e substituindo os valores das correntes:
W = −a × ]XÅÈ
��a� − ]XÅÈ
���  [N.mN.mN.mN.m]
Nota: Os dois termos do segundo membro do torque são identificados como: 
1o) torque de relutância; 2o) torque de excitação. 
Por que ambos termos de torque possuem sinais negativos?
½ = −1 × 10ÅIv:>ƙÇ2Ä − 10v>>ƙÇ2Ä − 0,1v:v>ƙÇÄ
63
64