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Aula 8 - Campos Magnéticos e Lei de Biot Savart
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Eletromagnetismo I Campos Magnéticos e Lei de Biot Savart Prof. Dr. Hugo Vasconcelos Campos Magnéticos Campos Magnéticos O fio é defletido na presença do campo magnético. Campos Magnéticos Oersted utilizou uma bússola para demonstrar que corrente produz campo magnético que enlaça o condutor. ⨀ é utilizado para representar a seção transversal de corrente saindo do papel. ⨂ é utilizado para representar a outra extremidade de uma seta e corresponde à corrente entrando no papel. Lei de Biot-Savart A lei de Biot-Savart descreve matemática a relação entre a corrente e o campo magnético, 𝑑𝐻2 = 𝐼1𝑑𝐿 × 𝑎12 4𝜋𝑅12 2 Campo magnético originado a partir de um segmento diferencial de corrente. Para obtermos o campo total resultante de uma corrente, podemos somar as contribuições de cada segmento 𝐻 = 𝐼𝑑𝐿 × 𝑎𝑅 4𝜋𝑅2 Considere uma linha infinita, ao longo do eixo 𝑧, conduzindo corrente 𝐼 na direção + 𝑎𝑧, como mostrado na figura. Queremos determinar o campo magnético em todo o espaço. Exemplo 𝐻 = 𝐼𝑑𝐿 × 𝑎𝑅 4𝜋𝑅2 𝐼𝑑𝐿 = 𝐼𝑑𝑧 𝑎𝑧 𝑅 𝑎𝑅 = −𝑧 𝑎𝑧 + 𝜌 𝑎𝜌 𝐻 = −∞ +∞ 𝐼𝑑𝑧 𝑎𝑧 × (−𝑧 𝑎𝑧 + 𝜌 𝑎𝜌) 4𝜋(𝑧2 + 𝜌2)3/2 𝑎𝑧 × 𝑎𝑧 = 0 𝑎𝑧 × 𝑎𝜌 = 𝑎𝜙 𝐻 = 𝐼𝜌 𝑎𝜙 4𝜋 −∞ +∞ 𝑑𝑧 (𝑧2 + 𝜌2)3/2 𝐻 = 𝐼 𝑎𝜙 2𝜋𝜌 Considere agora um anel de corrente de raio 𝑎, estendido no plano 𝑥𝑦, com uma corrente 𝐼 na direção +𝑎𝜙, como mostrado na figura. O objetivo é determinar uma expressão para o campo em ponto arbitrário a uma altura ℎ no eixo 𝑧. Exemplo 𝐻 = 𝐼𝑑𝐿 × 𝑎𝑅 4𝜋𝑅2 𝑑𝐿 = 𝑎𝑑𝜙 𝑎𝜙 𝑅 𝑎𝑅 = ℎ 𝑎𝑧 − 𝑎 𝑎𝜌 𝐻 = 0 2𝜋 𝐼𝑎𝑑𝜙 𝑎𝜙 × ℎ 𝑎𝑧 − 𝑎 𝑎𝜌 4𝜋(ℎ2 + 𝑎2)3/2 𝑎𝜙 × 𝑎𝑧 = 𝑎𝜌 𝑎𝜙 × 𝑎𝜌 = − 𝑎𝑧 Os campos radiais se cancelam! 𝐻 = 𝐼𝑎2 𝑎𝑧 4𝜋(ℎ2 + 𝑎2)3/2 0 2𝜋 𝑑𝜙 𝐻 = 𝐼𝑎2 𝑎𝑧 2(ℎ2 + 𝑎2)3/2 ℎ = 0 𝐻 = 𝐼 𝑎𝑧 2𝑎 Solenoide Podemos aplicar nossa solução para o campo no centro de uma espira para determinar o campo em qualquer ponto ao longo do eixo central do solenoide. 𝐻 = 𝐼𝑎2 2 𝑧′2 + 𝑎2 3/2 𝑎𝑧 A figura ilustra muitas voltas de um fio isolado, enrolado na forma de um cilindro. Considerando a espira um elemento diferencial do solenoide, 𝑑𝐻 = 𝑎2𝑑𝐼 2 𝑧′2 + 𝑎2 3/2 𝑎𝑧 A quantidade diferencial de corrente pode ser considerada uma função do número de espiras e do comprimento do solenoide. ℎ ≠ 0 Solenoide A quantidade diferencial de corrente pode ser considerada uma função do número de espiras e do comprimento do solenoide. 𝑑𝐼 = 𝑁 ℎ 𝐼𝑑𝑧′ O ponto 𝑃 é onde se deseja calcular o campo. 𝑧′ → −𝑧 − ℎ/2 𝑧′ → −𝑧 + ℎ/2 𝐻 = −𝑧−ℎ/2 −𝑧+ℎ/2 𝑁𝐼𝑎2𝑑𝑧′ 2ℎ 𝑧′2 + 𝑎2 3/2 𝑎𝑧 𝐻 = 𝑁𝐼𝑎2 2ℎ −𝑧−ℎ/2 −𝑧+ℎ/2 𝑑𝑧′ 𝑧′2 + 𝑎2 3/2 𝑎𝑧 Solenoide 𝐻 = 𝑁𝐼𝑎2 2ℎ 𝑧′ 𝑎2 𝑧′2 + 𝑎2 1 2 −𝑧−ℎ/2 −𝑧+ℎ/2 𝑎𝑧 Sendo 𝑧 = 0 e ℎ ≫ 𝑎. 𝐻 = 𝑁𝐼 ℎ 𝑎𝑧 Densidade de Corrente Superficial e Volumétrica Corrente linear𝐼 (𝐴) Densidade de corrente volumétrica 𝐽 (𝐴/𝑚2) Densidade de corrente superficial𝐾 (𝐴/𝑚) 𝑎 𝐿 𝐻 = 𝑰𝑑𝐿 × 𝑎𝑅 4𝜋𝑅2 𝐼 = 𝐽 ∙ 𝑑 𝑆 = 𝐾 ∙ 𝑑𝑁 𝐼 = 𝐽(𝑎𝑏) = 𝐾(𝑏) Densidade de Corrente Superficial e Volumétrica Em um solenoide, as espiras são consideradas tão firmemente enroladas que a corrente poderia ser assumida como uma corrente laminar. 𝐾 = 𝑁𝐼 ℎ 𝑎𝜙 A lei de Biot-Savart pode também ser escrita em termos das densidades de corrente superficiais e volumétrica, substituindo 𝐼𝑑𝐿 por 𝐾𝑑𝑆 e 𝐽𝑑𝑣: 𝐻 = 𝐾𝑑𝑆 × 𝑎𝑅 4𝜋𝑅2 𝐻 = 𝐽𝑑𝑣 × 𝑎𝑅 4𝜋𝑅2 Desejamos determinar 𝐻 em um ponto centrado adjacente a uma fita infinita de corrente laminar como mostrado na figura. Exemplo 𝐾𝑑𝑆 = 𝐾𝑧𝑑𝑥𝑑𝑧 𝑎𝑧 𝑑𝐻 = 𝐼 2𝜋𝜌 𝑎𝜙 𝑅 = −𝑥 𝑎𝑥 + 𝑎 𝑎𝑦 𝜌 = 𝑅 𝐻 = 𝐾𝑧 2𝜋 −𝑑 𝑑 −𝑥𝑑𝑥 𝑎𝑦 𝑥2 + 𝑎2 − −𝑑 𝑑 𝑎𝑑𝑥 𝑎𝑥 𝑥2 + 𝑎2 Tratando a fita como um conjunto de linha de corrente 𝐾𝑧𝑑𝑥 com comprimento infinito. Cada linha contribuirá com 𝐻 = −𝑑 𝑑 𝐾𝑧𝑑𝑥 𝑎𝑧 × (−𝑥 𝑎𝑥 + 𝑎 𝑎𝑦) 2𝜋 𝑥2 + 𝑎2 Desejamos determinar 𝐻 em um ponto centrado adjacente a uma fita infinita de corrente laminar como mostrado na figura. Exemplo Por simetria, 𝑎𝑦 é zero! 𝐻 = 𝐾𝑧 2𝜋 − −𝑑 𝑑 𝑎𝑑𝑥 𝑎𝑥 𝑥2 + 𝑎2 𝐻 = − 𝐾𝑧 2𝜋 𝑡𝑔−1 𝑑 𝑎 𝑎𝑥 Se 𝑑 → ∞ 𝐻 = − 𝐾𝑧 2 𝑎𝑥 Forças Magnéticas A força magnética 𝐹𝑚 sobre uma carga em movimento é dada por 𝐹𝑚 = 𝑞𝑢 × 𝐵 A intensidade de força elétrica 𝐹𝑒 que atua em uma carga é dada por 𝐹𝑒 = 𝑞𝐸 A força total sobre uma carga é dada pela superposição das forças magnética e elétrica, obtendo a equação da força de Lorentz 𝐹 = 𝑞 𝐸 + 𝑢 × 𝐵 A equação da força de Lorentz é bastante útil na determinação dos caminhos que as partículas carregadas irão percorrer enquanto se movem por entre os campos elétrico e magnético. Em uma dada região no entorno da origem, temos os campos 𝐵 = 5,0 × 10−4 𝑎𝑧 (𝑇) e 𝐸 = 5,0 𝑎𝑧 𝑉/𝑚 . Um próton (𝑞𝑝 = 1,602 × 10−19 𝐶, 𝑚𝑝 = 1,673 × 10 −27 𝑘𝑔) entra no campo a partir da origem, com uma velocidade inicial 𝑢𝑜 = 2,5 × 10 5 𝑎𝑥 𝑚/𝑠. Descreva o movimento do próton e dê sua posição após três revoluções completas. Exemplo 𝐹0 = 𝑞(𝐸 + 𝑢 × 𝐵) 𝑧 = 𝑧0 + 𝑢0𝑡 + 𝑎𝑡2 2 = 1 2 𝑎𝑡2 = 1 2 𝑞𝑝𝐸 𝑚𝑝 𝑡2 𝑇 = 2𝜋𝑟 𝑢 = 2𝜋 𝑚𝑝 𝑞𝑝𝐵 𝑧 = 1 2 𝑞𝑝𝐸 𝑚𝑝 𝑡2 = 1 2 𝑞𝑝𝐸 𝑚𝑝 3𝑇 3 = 18𝜋2𝑚𝑝𝐸 𝑞𝑝𝐵2 = 37 𝑚 Bibliografia HAYT JR, William H; BUCK, John A. Eletromagnetismo. 8.ed. Porto Alegre: AMGH, 2003.
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