Eletromagnetismo

Prévia do material em texto

Instituto Federal de Edu
ação, Ciên
ia e Te
nologia do Ceará
Departamento da Indústria
Curso Eletroté
ni
a
ELETROMAGNETISMO
Área de Conhe
imento: Pro
essamento de Energia
Prof.:
CLAYTON RICARTE DA SILVA
Fortaleza
©, Maio de 2018
CRÉDITOS
Presidente
Dilma Vana Rousse�
Ministro da Edu
ação
Aloizio Mer
adante Oliva
Se
retaria de Edu
ação Pro�ssional e Te
nológi
a
Mar
o Antonio de Oliveira
Reitor do IFCE
Cláudio Ri
ardo Gomes de Lima
Pró-Reitor de Extensão
Gilmar Lopes Ribeiro
Pró-Reitor de Ensino
Gilmar Lopes Ribeiro
Pró-Reitor de Administração
Gilmar Lopes Ribeiro
Coordenador Geral
Jose Wally Mendonça Menezes
Elaboração do 
onteúdo
Clayton Ri
arte da Silva
ii
O QUE É O PRONATEC?
Criado no dia 26 de Outubro de 2011 
om a sanção da Lei n
o
12.513/2011 pela Presidenta
Dilma Rousse�, o Programa Na
ional de A
esso ao Ensino Té
ni
o e Emprego (Pronate
) tem
omo objetivo prin
ipal expandir, interiorizar e demo
ratizar a oferta de 
ursos de Edu
ação
Pro�ssional e Te
nológi
a (EPT) para a população brasileira. Para tanto, prevê uma série de
subprogramas, projetos e ações de assistên
ia té
ni
a e �nan
eira que juntos ofere
erão oito
milhões de vagas a brasileiros de diferentes per�s nos próximos quatro anos. Os destaques do
Pronate
 são:
• Criação da Bolsa-Formação;
• Criação do FIES Té
ni
o;
• Consolidação da Rede e-Te
 Brasil;
• Fomento às redes estaduais de EPT por intermédio do Brasil Pro�ssionalizado;
• Expansão da Rede Federal de Edu
ação Pro�ssional Te
nológi
a (EPT).
A prin
ipal novidade do Pronate
 é a 
riação da Bolsa-Formação, que permitirá a oferta de
vagas em 
ursos té
ni
os e de Formação Ini
ial e Continuada (FIC), também 
onhe
idos 
omo
ursos de quali�
ação. Ofere
idos gratuitamente a trabalhadores, estudantes e pessoas em
vulnerabilidade so
ial, esses 
ursos presen
iais serão realizados pela Rede Federal de Edu
ação
Pro�ssional, Cientí�
a e Te
nológi
a, por es
olas estaduais de EPT e por unidades de serviços
na
ionais de aprendizagem 
omo o SENAC e o SENAI.
Objetivos
• Expandir, interiorizar e demo
ratizar a oferta de 
ursos de Edu
ação Pro�ssional Té
ni
a
de nível médio e de 
ursos e programas de formação ini
ial e 
ontinuada de trabalhadores;
• Fomentar e apoiar a expansão da rede físi
a de atendimento da Edu
ação Pro�ssional e
Te
nológi
a;
• Contribuir para a melhoria da qualidade do Ensino Médio Públi
o, por meio da Edu
ação
Pro�ssional;
• Ampliar as oportunidades edu
a
ionais dos trabalhadores por meio do in
remento da
formação pro�ssional.
Ações
iii
iv
• Ampliação de vagas e expansão da Rede Federal de Edu
ação Pro�ssional e Te
nológi
a;
• Fomento à ampliação de vagas e à expansão das redes estaduais de Edu
ação Pro�ssional;
• In
entivo à ampliação de vagas e à expansão da rede físi
a de atendimento dos Serviços
Na
ionais de Aprendizagem;
• Oferta de Bolsa-Formação, nas modalidades:
• Bolsa-Formação Estudante;
• Bolsa-Formação Trabalhador.
• Atendimento a bene�
iários do Seguro-Desemprego;
SUMÁRIO
Capítulo 1� Magnetismo 1
1.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Magnetismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.1 Pólos Magnéti
os . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2.2 Atração e Repulsão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.3 Inseparabilidade dos Pólos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.4 Campo Magnéti
o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.5 Magnetismo Terrestre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.6 Álgebra Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.6.1 De�nição de Vetor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.6.2 Produto Es
alar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.6.3 Produto Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Capítulo 2� Eletromagnetismo 16
2.1 Força Magnéti
a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2 Força em Condutores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.3 Gerador Elementar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.4 Motor CC Elementar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.4.1 Balanço de Potên
ia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.4.2 Análise de Regime Permanente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.5 Efeito Hall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.6 Campo Magnéti
o Criado por Corrente Elétri
a . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
v
SUMÁRIO vi
2.6.1 Força Eletromagnéti
a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.6.2 Lei de Biot-Savart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.6.3 Lei de Ampère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.6.4 Exemplos de Cál
ulo de Campos Magnéti
os . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.6.4.1 Campo Magnéti
o em um Condutor Retilineo In�nito . . . . . 32
2.6.4.2 Campo Magnéti
o no Interior de um Condutor . . . . . . . . . 33
2.6.4.3 Campo Magnéti
o em Condutor Finito . . . . . . . . . . . . . . 33
2.6.4.4 Campo Magnéti
o no Interior de uma Bobina Cilíndri
a (Sole-
nóide) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.6.4.5 Campo Magnéti
o numa Espira Cir
ular . . . . . . . . . . . . . 37
2.6.4.6 Campo Magnéti
o de uma Bobina em Nú
leo Toroidal . . . . . 37
2.6.4.7 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.7 Apli
ação em Instrumentos de Medidas e Motores . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.7.1 Galvan�metro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.7.2 Motor série . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
Capítulo 3� Fluxo Magnéti
o e Indutân
ia 44
3.1 Fluxo Magnéti
o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.1.1 Trabalho ao Deslo
ar o Condutor 
om Corrente em um Campo Magnéti
o 46
3.1.2 Fluxo Magnéti
o Total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.2 Indutân
ia e Indutân
ia Mútua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.2.1 Indutân
ia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.2.2 Indutân
ia Mútua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.2.3 Coe�
iente de A
oplamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.2.4 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.3 Propriedades Magnéti
as dos Materiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.3.1 Imantação ou Magnétização da Substân
ia . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.3.2 Intensidade de um Campo Magnéti
o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
SUMÁRIO vii
3.3.3 Permeabilidade Magnéti
a da Substân
ia . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.3.4 Materiais Magneti
amente Duros e Suaves . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.3.5 Perdas no Ferro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.3.5.1 Perdas por Histerese (PH) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.3.5.2 Perdas por Correntes Parasistas ou de Fou
ault (pF ) . . . . . . 65
3.4 Cir
uitos Magnéti
os . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.4.1 Problema Direto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.4.2 ProblemaRe
ípro
o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.4.3 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
Capítulo 4� Indução Eletromagnéti
a 79
4.1 Lei da Indução Eletromagnéti
a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.1.1 Lei da Indução Eletromagnéti
a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.1.2 Lei de Lenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.2 F.E.M. de Autoindução e de Mútua Indução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.2.1 F.E.M. de Autoindução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.2.2 F.E.M. de Indução Mútua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.2.3 Prin
ípio de Fun
ionamento de um Transformador . . . . . . . . . . . . . 84
CAPÍTULO 1
MAGNETISMO
1.1 INTRODU�O
O eletromagnetismo é a parte da Físi
a que estuda as inter-relações entre eletri
idade e
magnetismo, baseando-se em três prin
ípios fundamentais:
1. Condutores per
orridos por 
orrente elétri
a 
riam em seu entorno 
ampos magnéti
os;
2. Condutores elétri
os per
orridos por 
orrente elétri
a podem �
ar submetidos à ação de
forças magnéti
as;
3. A variação de �uxo magnéti
o através de um 
i
uito elétri
o pode induzir uma tensão
elétri
a e provo
ar a 
ir
ulação de 
orrente nesse 
ir
uito.
A maior parte do avanço te
nológi
o disponível no mundo atual está em grande parte
rela
ionado e ali
erçado no eletromagnetismo. Por exemplo, as máquinas elétri
as rotativas
omo motores e geradores de energia elétri
a, máquinas estáti
as 
omo os transformadores de
tensão que a
ionam desde os pequenos aparelhos eletrodomésti
os até as grandes indústrias
tem seu prin
ípio de fun
ionamento baseados nos fen�menos eletromagnéti
os.
No 
urso de eletrodinâm
ia, estudam-se as 
argas elétri
as em movimento ordenado ou
orrente elétri
a e os efeitos produzidos por ela em aparelhos 
uja função prin
ipal é produzir
aque
imento, ou seja, transfomar energia elétri
a em térmi
a. Esses aparelhos fazem parte do
grupo dos resistivos 
omo fusíveis, aque
edores, 
huveiros, resistores e lâmpadas in
andes
ente.
O estudo do eletromagnetismo, que se veri�
a ser bem abrangente, possibilita entender o
fun
ionamento de motores elétri
os (
uja função prin
ipal é transformar energia elétri
a em
1
MAGNETISMO 2
me
âni
a - grupo dos motores elétri
os), geradores de energia elétri
a (
uja função prin
ipal é
transformar energia me
âni
a em elétri
a - grupo das fontes de energia elétri
a), transformador
de tensão (
uja a função é adequar o nível de tensão à demanda do 
onsumidor), galvan�me-
tro, mi
rofone dinâmi
o, 
artão magnéti
o, �tas magnéti
as de áudio e vídeo, a
eleradores de
partí
ulas (destinados ao bombardeamento de nú
leos at�mi
os, que provo
am o surgimento de
novas parti
ulas que ajudam a desvendar os mistérios da estrutura da matéria), os aparelhos
de diagnósti
o de imagen da medi
ina moderna, 
omo a ressonân
ia magnéti
a nu
lear (grupo
de 
omuni
ação e informação) e imãs.
1.2 MAGNETISMO
O óxido de ferro (Fe3O4), 
hamado de magnetite, é um material que existe na natureza e
possui a propriedade de atrair outros 
orpos. Esses materiais são também 
hamados de imãs
naturais.
A mesma propriedade pode ser adquirida de modo notável, pelo tratamento espe
ial do
ferro, aço, 
obalto e em pequena proporção pelo níquel, 
romo, et
 em ligas metáli
as espe
iais.
Esse tratamento espe
ial é denominado pro
esso de imantação e tranforma todos estes materiais
em imãs ditos arti�
iais. Esta propriedade parti
ular e todas as outras derivadas 
onstituem o
omplexo dos fen�menos eletromagnéti
os.
Assim, 
hamam-se imãs ou 
orpos magnéti
os os materiais que possuem naturalmente ou
podem adquirir propriedades magnéti
as permanentes.
Os imãs temporários, por exemplo, de ferro do
e ou suave são aqueles que guardam o mag-
netismo temporariamente até a
abar a ação que o produz. Os de aço temperado 
onstitem
ótimos imãs permanentes (materiais duros), espe
ialemte se o aço está em liga 
om determi-
nados elementos, 
omo tungstênio, 
romo, níquel, et
. O ferro e essas ligas são 
hamados pelo
nome genéri
o de materiais ferromagnéti
os.
MAGNETISMO 3
1.2.1 Pólos Magnéti
os
Na Fig. 1.1(a), é mostrado um imã de formato espe
ial, losango 
omprido, 
om um ponto de
suspensão no 
entro de gravidade, apto a torná-lo livre de assumir qualquer posição no espaço;
esse imã espe
ial é 
onhe
ido pelo nome de agulha magnéti
a. O fato desse imã orientar-
se aproximadamente na direção norte-sul geográ�
a do lugar levou os 
hineses à invenção da
bússola - ver Fig. 1.1(b). Conven
ionou-se, então, que a região do imã voltada para o norte
geográ�
o é o pólo norte (N), e a outra o pólo sul (S).
Os pólos magnéti
os são, na realidade, as duas regiões ou zonas do imã onde se observa
uma ação magnéti
a mais intensa. Essa propriedade pode ser veri�
ada fa
ilmente através
do seguinte experimento: dispondo-se um imã em forma de barra prismáti
a sob uma folha
de papel e dispersando sobre o papel limalhas de ferro, pode-se observar fa
ilmente que nas
extremidades �
a ligada uma notável quantidade de limalha, a qual vai diminuindo nas zonas
entrais do imã, até deixar a zona 
ompletamente livre, que é 
hamada de zona neutra - Ver
Fig. 1.1(
).
aaaaaaaaaaaaaaa
aaaaaaaaaaaaaaa
Figura 1.1. (a) Agulha magnéti
a suspensa por �o, (b) bússola e (
) padrão de distribuição das
limalhas de ferro em torno de um imã.
MAGNETISMO 4
1.2.2 Atração e Repulsão
Manuseando dois imãs de pólos magnéti
os 
onhe
idos - ver Fig. 1.2(a), fa
ilmente se
des
obrirá que:
Pólos magnéti
os de mesmo nome se repelem e
pólos magnéti
os de nomes diferentes se atraem
A força de atração ou repulsão entre as fa
es de dois pólos depende da razão inversa da
distân
ia entre os pólos. Por outro lado, através de uma agulha magnéti
a de pólos 
onhe
idos,
pode-se determinar os pólos de um imã des
onhe
ido. Se se aproxima o pólo des
onhe
ido
do pólo norte da agulha magnéti
a e esse é repelido indi
a que se aproximou um pólo de
mesmo nome. Esses fatos leva-nos a 
on
luir que, se o pólo norte magnéti
o da agulha da
bússola aponta para o pólo norte geográ�
o, é porque no pólo norte geográ�
o existe um pólo
sul magnéti
o. Da mesma forma, no pólo sul geográ�
o existe um pólo norte magnéti
o. A
distan
ia em graus entre os pólos geográ�
os e magnéti
os é em torno de 11
o
, daí o motivo do
termo aproximadamente no parágrafo anterior.
Figura 1.2. Em (a) e (b) os imãs se repelem, pois os pólos de mesmo nome estão próximos: N −N e
S − S respe
tivamente. Em (
) os im ãs se atraem, já que pólos diferentes estão próximos.
1.2.3 Inseparabilidade dos Pólos
A experiên
ia demonstra que é impossível separar os pólos de um imã e que as ações mag-
néti
as são exer
idas entre as extremidades magnéti
as Norte e Sul, as quais são separadas
MAGNETISMO 5
por uma zona neutra. Isso signi�
a que é impossível 
onseguir um pedaço de imã que tenha só
o pólo norte ou só o pólo sul magnéti
o. De fato, quando se divide um imã ou 
orpo magne-
tizado ao meio, obtem-se dois novos imãs, 
ada um 
om seus próprios pólos norte e sul - ver
Fig. 1.2(b). Se se subdivide novamente o 
orpo magnetizado, obtem-se sempre elementos que
apresentam as propriedades de um imã 
ompleto.
Partindo a barra ou 
orpo magnetizado em pedaços in�nitamente pequenos, per
ebe-se que
ada um desses pequenos pedaços possui as 
ara
terísti
as de um imã 
ompleto. Deve-se,
portanto, pensar que todas as in�nitas partes que a materia se 
ompõe, em qualquerorpo
magnetizado, sejam tantos imãs 
ompletos, os quais são 
hamdos de imãs elementares.
Isto leva a representar a 
onstituição de um 
orpo magnetizado 
omo um 
onjunto de imãs
elementares, in�nitamente pequenos, semelhantes, por exemplo aos átomos ou molé
ulas da
matéria, todos orientados da mesma maneira 
onforme ilustrado na Fig. 1.3(a). Desenvolvendo
este 
on
eito, 
hegou-se a pensar que os imãs elementares existem em todos os 
orpos que podem
ser magnetizados, 
omo uma propriedade 
onexa à estrutura mole
ular e at�mi
a da matéria
que os 
onstitui. Assim, o fen�meno da magnetização teria de ser interpretado 
omo uma
simples orientação destes imãs elementares dispostos sem nenhuma ordem - ver Fig. 1.3(b).
Mais adiante será dado um tratamento mais elaborado para o imã elementar.
Figura 1.3. (a) Barra de ferro magnetizada ou imantada e (b) 
orpo não magnetizado.
MAGNETISMO 6
1.2.4 Campo Magnéti
o
A teoria vista nos parágrafos anteriores expli
a muitos dos fen�menos magnéti
os mas tam-
bém possibilita in
orrer em alguns erros 
omo foi a 
riação do 
on
eito ou hipótese de massa
magnéti
a. Este 
on
eito foi 
riado para quanti�
ar as forças de interação entre os pólos mag-
néti
os.
O 
on
eito de 
ampo magnéti
o expli
a tudo que foi visto anteriormente e permite ainda
quanti�
ar e quali�
ar melhor as forças magnéti
as, eviden
iando suas apli
ações na te
nologia.
O 
ampo magnéti
o, de�nido mais adiante, tem símbolo
~B e também é 
hamado de vetor
indução magnéti
a ou simplesmente indução magnéti
a. Esse 
ampo possui uma analogia 
om
os 
ampos gravita
ional (~g) e elétri
o ou eletrostáti
o ( ~E). Para 
onstatar a existên
ia do
ampo da gravidade ~g basta pegar um objeto de massa m e deixar 
air, atraído para a Terra
pela força
~F
~F = m~g (1.1)
Para 
onstatar a existên
ia de um 
ampo elétri
o
~E basta 
olo
ar uma 
arga de prova q,
na região de in�uên
ia desse 
ampo, e nela atuará uma força dada por
~F = q ~E
Nos dois exemplos há sempre um agente que 
ria a região de in�uên
ia. No 
ampo gravita-
ional é a Terra e no 
ampo elétri
o é uma outra 
arga elétri
a Q.
Um imã, por sua vez, também 
ria uma zona de in�uên
ia no espaço que são signi�
ativas
tanto em outros imãs ou em quaisquer outras substân
ias ferromagnéti
as e prin
ipalmente em
argas elétri
as em movimento (essa última a�rmação será melhor detalhada mais adiante).
Essa zona de in�uên
ia é denominada 
ampo magnéti
o e pode também ser des
rita por um
vetor (
~B).
Observa-se na Fig. 1.4(a), a ilustração de alguns 
orpos submetidos ao 
ampo magnéti
o do
imã e as forças de atração resultantes. Nota-se ainda que, o sentido do vetor indução magnéti
a
MAGNETISMO 7
(
~B) é 
onven
ionado saindo do pólo norte e de maneira diferente apontando para o pólo sul. Já
na Fig. 1.4(b), oberva-se que a disposição de várias bússolas em torno do imã permite represen-
tar, geralmente 
om muita aproximação, a disposição da linha de força ou de indução existente
num ponto qualquer do 
ampo magnéti
o. O eixo magnéti
o da agulha, representado pela reta
que une as duas pontas extremas, orienta-se na direção da tangente à linha de força que passa
pelo ponto de suspensão e �
a então 
onhe
ida a direção de intensidade de 
ampo neste ponto.
Desse modo, o 
ampo magnéti
o pode ser representado por linhas de força que por 
onvenção
saem divergentes das extremidades norte e vão 
onvergir nas extremidades sul, tornando-se
parti
ularmente adensadas onde o 
aminho por elas per
orrido é de menor 
omprimento, por-
que nessas zonas o 
ampo magnéti
o adquire sua maior intensidade - ver Fig. 1.5(a). Na Fig.
1.5(b), é representado um imã em forma de ferradura onde se 
onsidera o 
ampo magnéti
o no
seu interior uniforme, ou seja, as linhas de força estão igualmente espaçadas. Este tipo de imã
é bastante utilizado em pequenos motores de 
orrente 
ontínua e instrumentos de medidas.
Figura 1.4. (a) Ação de um imã sobre diversos 
orpos e (b) as bússolas indi
am o 
omportamento do
ampo magnéti
o em torno de um imã.
Figura 1.5. (a) Linhas de força ou indução entorno de um imã em forma de barra e (b) 
ampo
magnéti
o uniforme de um imã em forma de ferradura.
MAGNETISMO 8
1.2.5 Magnetismo Terrestre
O fato de a bússola tentar se alinhar paralelamente revela que existe um 
ampo magnéti
o
produzido pela Terra: é o 
hamado 
ampo magnéti
o terrestre. A 
ada ponto do 
ampo
magnéti
o terrestre asso
ia-se um vetor indução magnéti
a
~BT . A bússola se orienta na direção
do 
ampo magnéti
o terrestre
~BT do lugar.
O norte magnéti
o da bússola indi
a o pólo geográ�
o, então nesse pólo as linhas de força
estão entrando e a Terra pode ser imaginada 
omo um grande imã 
ilíndri
o, 
ujo o eixo fosse
quase 
oin
idente 
om o eixo N-S geográ�
o 
om as linhas de força saindo do sul geográ�
o.
Além disso, a linha neutra estaria quase paralela ao equador - ver Fig. 1.6(a).
A intensidade do 
ampo magnéti
o terrestre varia de ponto para ponto na superfí
ie da
Terra entre 0,1 a 0,01 Gauss. E para 
ada
~BT , o vetor de indução magnéti
a terrestre, num
ponto da superfí
ie terrestre haverá uma 
omponente BH horizontal. Para uma bússola de eixo
horizontal, isto é, a agulha pode girar livremente num plano verti
al, o ângulo θ entre BH e ~BT
representa a in
linação magnéti
a do lugar - ver Fig. 1.6(b).
Ao longo de um meridiano a in
linação magnéti
a varia desde o pólo sul magnéti
o de 90oN
a 90oS no pólo norte magnéti
o. Os pontos da superfí
ie terrestre que possuem in
linação
magnéti
a nula perten
em a uma lina 
hamada de equador magnéti
o.
Considerando, agora uma bússola de eixo verti
al, isto é, a agulha pode se mover livremente
num plano horizontal. Num dado lo
al a agulha se orienta na direção da 
omponente horizontal
BH do 
ampo magnéti
o terrestre. O ângulo δ da agulha 
om a direção N-S geográ�
a é a
hamada de
linação magnéti
a do lugar - ver Fig. 1.7(a). Conforme o lo
al, a de
linação pode
ser leste (
oE), oeste (oW ) ou nula - ver Fig. 1.7(b)-(
).
Em 1820, o físi
o dinamarquês Hans Christian Oersted observou que uma agulha magnéti
a
modi�
ava sua orientação quando próxima de uma 
orrente elétri
a. Portanto, se a 
orrente
elétri
a é 
apaz de desviar uma agulha magnéti
a, signi�
a que ela origina no espaço que a
envolve um 
ampo magnéti
o. Então espe
ulou-se que o 
ampo magnéti
o terrestre pudesse
MAGNETISMO 9
Figura 1.6. (a) O sul magnéti
o (S −m) está próximo do norte geogr á�
o (N − g) e vi
e-versa e (b)
in
linação magnéti
a do lugar.
Figura 1.7. (a) De
linção magnéti
a do lugar, (b), (
) e (d) de
lina ção leste, oeste e nula respe
tiva-
mente.
MAGNETISMO 10
ser originado por uma espira de 
orrente que deveria estar quase paralela ao equador.
A origem desse 
ampo ainda não está bem estabele
ida, mas é mais provável que esteja
rela
ionada prin
ipalmente 
om o movimento de materia do magma terrestre. Atualmente, a
direção N-S magnéti
a não 
oin
ide 
om a N-S geográ�
a e a posição dos pólos magnéti
os
está se deslo
ando em torno dos pólos geográ�
os, num movimento muito lento, da ordem de
2000 anos para dar uma volta 
ompleta.
Estudos sobre o magnetismo de ro
has indi
am que a intensidade do 
ampo magnéti
o
terrestre vem diminuindo nos últimos 1200 anos e quando a intensidade 
hegar a um mínimo,
pode o
orrer a inversão de polaridade.
1.2.6 Álgebra Vetorial
A 
lara 
ompreensão e interpretação dos fen�menos eletromagnéti
os depende diretamente
do sentimento que o aluno tenha 
onseguido adquirir sobre a operação entre vetores.
Embora seja apresentado uma de�niçãomatemáti
a mais pre
isa de vetor e suas operações
é dado preferên
ia à interpretação físi
a dos fen�menos.
1.2.6.1 De�nição de Vetor Vetor é uma grandeza que tem módulo ou valor absoluto,
direção e sentido, tais 
omo deslo
amento, velo
idade, força e a
eleração.
Gra�
amente, representa-se um vetor por uma seta OP (Fig. 1.8) de�nindo a direção e o
sentido, sendo o módulo ou valor absoluto indi
ado pelo seu 
omprimento. O ponto ini
ial O
da seta é 
hamado de origem do vetor e o terminal P , de extremidade.
Ini
ialmente, na Fig. 1.8(a), uma representação do vetor deslo
amento no plano é apresen-
tada. Um vetor para sua 
ompleta representação ne
essita de módulo, direção e sentido seguido
da unidade.
Analiti
amente, representa-se um vetor por uma letra 
om uma seta em 
ima, 
omo
~d (vetor
MAGNETISMO 11
deslo
amento) e de�nido a partir dos vetores unitários
~i e ~j asso
iados às direções x e y do
plano 
artesiano respe
tivamente. Assim, tem-se
~d = dx~i+ dy~j
onde dx e dy são as 
omponentes nos eixos x e y, respe
tivamente, de ~d 
ujo o módulo é
d =
∣∣∣~d∣∣∣ =√d2x + d2y
e sua direção por
θ = arctan(
dy
dx
)
Os vetores
~i e ~j são ditos unitários porque
∣∣∣~i∣∣∣ = ∣∣∣~j∣∣∣ = 1
Figura 1.8. (a) Representação geométri
a de um vetor e (b) da soma de dois vetores.
Na Fig. 1.8(b), é mostrado geometri
amente a interpretação da operação de soma entre
dois vetores
~A (ou
−→
OP ) e ~B (ou
−→
OQ) no plano
−→
OR =
−→
OP +
−→
OQ
ou seja
~C = ~A+ ~B = (Ax~i+ Ay~j) + (Bx~i+ By~j) = (Ax +Bx)~i+ (Ay +By)~j = Cx~i+ Cy~j
onde Cx = Ax +Bx e Cy = Ay +By.
No espaço tridimensional é a
res
entado, ao ter
eiro eixo z, o vetor de módulo unitário ~k.
Além disso, os vetores
~i, ~j e ~k são ortogonais entre si e x, y e z são valores es
alares. Na Fig.
MAGNETISMO 12
1.9(a), é representado geometri
amete o vetor ~r no espaço, 
uja forma analíti
a é dada por
~r = x~i+ y~j + z~k
onde o módulo é dado por
r = |~r| =
√
x2 + y2 + z2
Figura 1.9. (a) Representação geométri
a de um vetor no espaço e (b) de�nição de trabaho de uma
força.
1.2.6.2 Produto Es
alar O produto es
alar de dois vetores
~A e ~B, representado por ~A · ~B
(Leia-se
~A es
alar de ~B), é o produto dos módulos de ~A e ~B pelo 
osseno do (menor) ângulo
α que eles formam. Em símbolos
~A · ~B = AB cosα, 0 ≤ α ≤ π
Uma apli
ação na físi
a é, por exemplo, o 
ál
ulo do trabalho de um vetor força
~F agindo 
om
in
linação α sobre uma partí
ula de massa m, ao longo de seu deslo
amento ~d (ver Fig. 1.9(b)).
O produto se de�ne pela grandeza es
alar no Sistema Interna
ional (SI) por :
τ = ~F · ~d = Fd cosα = (F. cosα)d joules ou [j]
Outra apli
ação a
onte
e no 
aso de aparar água de uma 
huva in
linada 
om uma ba
ia e
determinar o volume de água re
olhido.
MAGNETISMO 13
O volume de água que �
ou no re
ipiente, por segundo, será obtido através do produto
es
alar do vetor velo
idade, vezes o vetor superfí
ie que re
ebe a 
huva, já que a 
omponente
útil é a 
omponente verti
al. Na Fig. 1.10(a), observa-se que originalmente a superfí
ie ou área
é uma grandeza es
alar (S), mas asso
iando-se a ela, um vetor, de módulo unitário e normal à
mesma, 
hega-se ao vetor superfí
ie (
~S)
Figura 1.10. (a) Ba
ia 
om superfí
ie de 
aptação S e (b) vetor elemento de 
omprimento.
~S = S~i
A velo
idade da 
huva, pela orientação dada, é
~v = vx~i+ vy~j
Por 
onseguinte
~v · ~S = (vx~i+ vy~j) · S~i = vx~iS~i+ vy~jS~i = vxS(~i ·~i) + vyS(~j ·~i) = vxS = (v cosα)S
vxS =
∆x
∆t
S =
∆(V OLUME)
∆t
É 
laro que a 
aptação de água será máxima para α = 0o e nula para α = 90o. O produto
es
alar de um vetor por ele mesmo é um 
aso importante
~A · ~A = AA cosα = A2
MAGNETISMO 14
para os unitários dos eixos 
artesianos resulta:
~i ·~i = ~j ·~j = ~k · ~k = 1
~i ·~j = ~j · ~k = ~k ·~i = 0
A expressão 
artesianda do produto es
alar é agora fa
ilmente obtida
~A · ~B = (Ax~i+ Ay~j + Az~k) · (Bx~i+By~j +Bz~k) = AxBx + AyBy + AzBz
Exemplo: Cal
ule o trabalho realizado pela força
~F =~i+ 2~j + 3~k [N ] ao longo do deslo
a-
mento
~d = 4~i+ 5~j + 6~k [m]
Solução: basta fazer
τ = ~F · ~d = 1× 4 + 2× 5 + 3× 6 = 32 joules
Da mesma forma um elemento de 
omprimento ou longitudinal do 
ondutor ∆l (es
alar)
pode se transformar num elemento vetorial. Basta asso
iar ao mesmo um vetor de módulo
unitário ~u, tangente ao ponto médio do elemento (ver 1.10(b)). Isto é,
∆~l = ∆l × ~u
1.2.6.3 Produto Vetorial O produto vetorial de
~A e ~B é um vetor ~C = ~A× ~B (leia-se ~A
vetorial de
~B). O módulo de ~A × ~B é o produto dos módulos de ~A e ~B pelo sino do ângulo
α que eles formam. A direção do vetor ~C é perpendi
ular ao plano formado por ~A e ~B e o
sentido é tal que
~A, ~B e ~C formam um triedro positivo (ver Fig. 1.11(a) e (b)). O sentido pode
ser determinado também pela regra da mão-direita, isto é, 
om a mão direita aberta, pondo os
dedos na direção do primeiro vetor (
~A), fe
ha-se a mão no sentido do segundo vetor ( ~B sentido
menor ângulo), então o polegar indi
ará o sentido do vetor resultante. Em símbolos:
~A× ~B = (AB sinα)~u, 0 ≤ α ≤ π
onde ~u é um vetor unitário indi
ando a direção de ~A× ~B. Se ~A = ~B, ou se ~A é paralelo a ~B,
então
~A× ~B = 0.
MAGNETISMO 15
Figura 1.11. (a) Triedro 
om os vetores unitários e (b) regra da mão-direita para determinar a direção
e o sentido do vetor resultante.
São válidas as seguintes Leis:
1.
~A× ~B = − ~B × ~A
2.
~A× ( ~B + ~C) = ~A× ~B + ~A× ~C
3.
~i×~i = ~j ×~j = ~k × ~k = 0
4.
~i ·~j = ~k; ~j · ~k =~i e ~k ·~i = ~j
5. Se
~A = Ax~i+ Ay~j + Az~k e ~B = Bx~i+By~j +Bz~k, então
~A× ~B =
∣∣∣∣∣∣
~i ~j ~k
Ax Ay Az
Bx By Bz
∣∣∣∣∣∣
= (AyBz − AzBy)~i+ (BxAz − AxBz)~j + (AxBy −BxAy)~k
6. O módulo de
~A× ~B é igual a área do paralelograma 
ujos lados são ~A e ~B.
Após esta breve revisão, iní
ia-se a parte da eletri
idade que estuda os fen�menos magnéti
os
o
asionados pela 
orrente elétri
a é o Eletromagnetismo.
CAPÍTULO 2
ELETROMAGNETISMO
Os fen�menos eletromagnéti
os são derivados das mútuas relações entre 
ampos magnéti
os e
ampos elétri
os sobrepostos na mesma zona do espaço e, em parti
ular, entre 
ampos magné-
ti
os no espaço e 
orrentes elétri
as que per
orrem 
ondutores neles imersos.
2.1 FORÇA MAGNÉTICA
A existên
ia de um 
ampo magnéti
o é veri�
ada por uma 
arga em movimento. Diz-se que
em um ponto (P ) do espaço existe um 
ampo magnéti
o ~B se uma 
arga q 
om velo
idade ~v
re
eber uma força dada pelo produto vetorial:
~F = q~v × ~B (2.1)
Assim, uma 
arga parada junto a um imã não re
ebe força. Também é nula a força se a 
arga
for lançada paralelamente às linhas de 
ampo, já que aí será nulo o produto vetorial de ~v por
~B.
Nas Figs. 2.1(a) e (b), veri�
am-se duas situações onde a força magnéti
a ou de Lorentz é
diferente de zero. Em (a), a partí
ula eletrizada q 
orta um 
ampo magnéti
o uniforme ( ~B),
representado pelas linhas de força da direita para a esquerda, formando o ângulo α entre eles.
Obviamente, o módulo da força magnéti
a é dado por
F = qvB sinα (2.2)
na direção perpendi
ular ao plano formado pelos vetores ~v e ~B, e 
om sentido determinado pela
regra da mão-direita. Com a mão direita aberta e os dedos apontando para o vetor ~v, fe
ha-se
16
ELETROMAGNETISMO 17
a mão no sentido do vetor
~B (sentido do menor ângulo). Assim, o dedo polegar aponta para o
sentido da força. Nessa situação a força magnéti
a sai do plano do papel (e é representada pelo
símbolo - ⊚), puxando a 
arga q (positiva: símbolo - ⊕) para fora da folha. Para uma 
arga q
negativa (símbolo- ⊖), a força naturalmente apresenta um sentido 
ontrário à anterior.
No 
apítulo 1, falou-se rapidamente sobre o 
ampo do imã em forma de ferradura onde as
linhas de força são uniformemente espaçadas. Na verdade, o
Campo magnéti
o uniforme é aquele em que o vetor indução magnéti
a
~B tem o mesmo
módulo, a mesma direção e o sentido em todos os pontos
Na maioria das apli
ações, Fig. 2.1(b), a partí
ula 
arregada (
arga q) é lançada ortogonal-
mente ao 
ampo magnéti
o uniforme (
~B perpendi
ular e entrando no plano do papel: símbolo
- ⊗) de modo que a força seja máxima. Por exemplo, no 
ines
ópio de um re
eptor de te-
levisão os elétrons são emitidos pelo 
atodo aque
ido e são atraídos por forte 
ampo elétri
o
para a tela. Para atingir o ponto desejado há dois 
ampos magnéti
os (bobinas de�etoras): um
para a de�exão horizontal e outro para a de�exão verti
al. O desvio dos elétrons é análogo ao
movimento da 
arga positiva da Fig. 2.1(b).
Figura 2.1. (a) Carga em movimento 
ortando um 
ampo magnéti
o e (b) 
arga 
ortando ortogonal-
mente o 
ampo magnéti
o.
O produto vetorial indi
a uma força sempre perpendi
ular à trajetória, isto é, uma força que
não realiza trabalho, mantendo-se 
onstante a enegia 
inéti
a e o módulo do vetor velo
idade.
Este vetor varia apenas em direção, já que a força e a a
eleração são normais à trajetória. Da
ELETROMAGNETISMO 18
expressão da a
eleração 
entrípeta, é possível 
al
ular o raio a trajetória (r)
F = mac = m
v2
r
= qvB sin 90o
r =
mv
qB
(2.3)
onde m é a massa da partí
ula 
arregada.
Se todas as grandezas do segundo membro da equação (2.3), são 
onstantes a partí
ula
arregada se move por uma 
ir
unferên
ia de raio r sobre um plano perpendi
ular à direção
das linhas de indução magnéti
a.
A velo
idade angular é
ω0 =
v
r
=
qB
m
(2.4)
A unidade de medida do 
ampo
~B no Sistema Interna
ional é o tesla. Um tesla (símbolo -
T ) é a intensidade de um 
ampo magnéti
o uniforme em que uma partí
ula, hipoteti
amente
eletrizada 
om 
arga igual a 1C, movendo-se 
om a velo
idade de 1m/s, perpendi
ularmente
ao 
ampo, submete-se a uma força magnéti
a de 1N de intensidade.
B =
F
|q| v =⇒ [B] =
[1N ]
[1C] · [1m/s] =
[volts] · [segundo]
[metro2]
=
[weber]
[metro2]
= tesla (T )
É também muito usado o weber/m2 (ou Wb/m2) onde o weber é a unidade de �uxo magnéti
o
e em projetos de máquinas elétri
as, no sistema CGS, o gauss (G) onde 1G = 10−4T .
Exemplo: Uma 
arga é lançada numa região onde há simultaneamente um 
ampo
~E e um
ampo magnéti
o
~B 
onforme a Fig. 2.2. Determinar a velo
idade para que a 
arga não seja
desviada.
Solução: O sentido das forças são determinados pelo sentido dos 
ampos (
~E e ~B), logo o
fen�meno poderá ser des
rito �si
amente em termos da ação resultante de duas par
elas: a
força elétri
a (
~Fe = q ~E) e a magnéti
a (~Fm = q~v × ~B). Estas par
elas 
ompõem o que se
denominou força de Lorentz
~F = q( ~E + ~v × ~B) (2.5)
ELETROMAGNETISMO 19
e na situação espe
i�
ada devem ser opostas e se anular
qvB = qE
v =
E
B
Figura 2.2. Exemplo sobre força de Lorentz.
2.2 FORÇA EM CONDUTORES
A maioria das apli
ações industriais, 
omo por exemplo em um motor elétri
o, as 
argas
estão em movimento ao longo de um �o 
ondutor. Daí então a ne
essidade da expressão da
força em função da 
orrente elétri
a. Seja i a intensidade da 
orrente elétri
a em um elemento
longitudinal ∆l de �o e seja ∆q a 
arga livre que se movimenta num intervalo de tempo ∆t. A
força elementar, 
onhe
ida 
omo expressão de Lapla
e, vale:
∆~F = ∆q(~v × ~B) = ∆q(∆
~l
∆t
× ~B) = i∆~l × ~B (2.6)
A força em qualquer 
ondutor per
orrido por 
orrente, ao longo de toda extensão de �o
imersa em B, é obtida através da somatória das par
elas de força (∆~F ) devido a 
ada tre
ho
do �o. No 
aso de �o reto, de 
omprimento l 
omo mostrado na Fig. 2.3(a), a somatória é fá
il
e a força resultante vale
F =
∑
∆F =
∑
(i∆~l × ~B) =
∑
(Bi∆l sin 90o) = Bi
l∑
0
∆l = Bil
ELETROMAGNETISMO 20
Essa é a força que movimenta um motor elétri
o tal 
omo o de um ventilador ou liquidi�-
ador.
Figura 2.3. (a) Motor elementar e (b) regra de Fleming ou da mão-esquerda.
Na Fig. 2.3(b), é mostrada a apli
ação da regra de F leming ou da mão-esquerda na
determinação do sentido da força: o indi
ador e o dedo médio indi
am respe
tivamente o
ampo magnéti
o e a 
orrente (ou velo
idade da 
arga); o polegar indi
a o sentido da força
sobre o 
ondutor.
2.3 GERADOR ELEMENTAR
Desenvolve-se agora, o prin
ípio de fun
ionamento do gerador de tensão que é amplamente
utilizado em todo mundo para transformar qualquer tipo de energia em energia elétri
a. Trata-
se de um �o 
ondutor que se move 
ortando ortogonalmente as linhas de um 
ampo magnéti
o.
A fonte primária de energia que mantem o 
ondutor em movimento pode ser o peso de uma
massa em queda, ou uma represa de água, 
aldeira de vapor aque
ido, um 
atavento, et
.
Na Fig. 2.4(a), é mostrado um �o 
ondutor onde as 
argas livres são 
onsideradas positivas,
por simpli
idade e por 
onsiderar o sentido 
onven
ional da 
orrente. O movimento para a
direita faz surgir sobre essas 
argas uma força magnéti
a para 
ima.
Haverá então uma separação de 
argas, positivas em 
ima e negativas embaixo. Este a
úmulo
de 
argas faz 
riar um 
ampo 
oulombiano
~E, 
ujo o somatório ao longo de um 
aminho qualquer
será a diferença de poten
ial entre os extremos da haste - vir Fig. 2.4(b). A força elétri
a impede
ELETROMAGNETISMO 21
Figura 2.4. (a) Gerador elementar, (b) surgimento do 
ampo elétri
o e (
) gerador 
om 
arga.
que a diferença de poten
ial 
resça inde�nidamente.
A separação de 
argas se estabiliza quando a força elétri
a repulsiva deste 
ampo se iguala
a força magnéti
a (F = qvB) 
riada pelo movimento. Assim, a tensão gerada (Ug) resultante
do trabalho da força por unidade de 
arga é dada por
Ug = U12 =
τ
q
=
1∑
2
qvB∆l
q
=
2∑
1
qE∆l
q
= Blv (2.7)
E 
ria-se, portanto, uma diferença de poten
ial (U12 = U1−U2) nos extremos do �o do gerador
tal 
omo existe em uma tomada de energia de uma residên
ia. Agora, supondo ausên
ia de
atrito, fe
ha-se a 
have do 
ir
uito através da resistên
ia de 
arga RL. Imediatamente o 
ampo
oulombiano externo vai obrigar as 
argas livres do resistor a se movimentarem 
riando a
orrente elétri
a
i =
Blv
RL
(2.8)
A velo
idade das 
argas livres no �o (haste) do gerador tem agora duas 
omponentes: v do
movimento da haste e v′ da 
orrente elétri
a. Sobre estas 
argas atuam então duas forças, F que
ria a 
orrente e F ′ que tenta frear o gerador. Para manter 
onstante a tensão gerada, pre
isa-se
ELETROMAGNETISMO 22
manter uniforme a velo
idade do gerador, o que é feito apli
ando à haste um in
remento de
força (P = (m+∆m)g), para a direita de valor igual a F ′ = Bil. A energia para manter esta
força provém da fonte primária.
O balanço de energia pode ser 
onferido lembrando que a potên
ia me
âni
a (Pmec.) é o
trabalho por unidade de tempo:
Pmec. =
F ′∆x
∆t
= F ′v = (Bil)v = RLi
2 = Pele. (2.9)
2.4 MOTOR CC ELEMENTAR
Viu-se que no gerador é ne
essário a absorver potên
ia me
âni
a, obrigado a se movimentar,
para forne
er potên
ia elétri
a (Pele.) 
riando uma tensão gerada. No motor, ao 
ontrário, re
ebe
energia elétri
a que o obrigará a se movimentar gerando força motriz ou potên
ia me
âni
a. Na
Fig. 2.5(a), é mostrado uma haste deslizante 
ondutora onde passa uma 
orrente proveniente
de uma fonte de tensão Ua em série 
om Ra (resistênia interna mais resistên
ia da �ação).
O índi
e �a� é relativo à parte móvel que é 
hamada de armadura nos motores de Corrente
Contínua (CC).
A 
orrente para baixo está asso
iada à velo
idade v′ que gera uma força F ′ para a direita,
dando partida no motor. Com o movimento do motor, as 
argas livres estarão também sub-
metidas à velo
idade v que 
ria um força F para 
ima tentando anular a 
orrente ini
ial. O
trabalho desta força por unidade de 
arga se 
hama força 
ontra-eletromotriz (ec) e vale Blv.
Num instante genéri
o, tem-se então o 
ir
uito eletrome
âni
o equivalente ilustrado na Fig.
2.5(b).
A 
orrente elétri
a nesse 
ir
uito, pela Lei das malhas de Kir
ho�, vale
ia(t) =
Ua − Blv(t)
Ra
(2.10)
A parte me
âni
a é regida pelas Leis de Newton
Bial −Dv − Fc = M∆v
∆t
ELETROMAGNETISMO 23
Figura 2.5. (a) Motor CC linear, (b) 
ir
uito eletrome
âni
o equivalente e (
) vista lateral do motor
CC.
onde D representa o 
oe�
iente de atrito vis
oso, M a inér
ia total e Fc a força resistente da
arga - ver Fig. 2.5(b) e (
).
É importante desta
ar a reversibilidade do dispositivo fun
ionando 
omo motor ou gerador
de a
ordo 
om o �uxo de potên
ia desejado. O modelo elétri
o e me
âni
o apresentado para a
máquina elementar vale para os grandes motores ou geradores industriais.
2.4.1 Balanço de Potên
ia
O objetivo do modelo matemáti
o é tentar representar os prin
ipais e mais signi�
ativos
fen�menos físi
os que o
orrem num determinado dispositivo ou pro
esso. No 
aso do motor
CC, este modelo deve ser 
apaz de representar 
om 
erta pre
isão os fen�menos reais envolvidos
no seu fun
ionamento. Por exemplo, reses
revendo a equação (2.10)
Ua = Raia +Blv (2.11)
Multipli
ando tudo por ia, tem-se
Uaia = Rai
2
a +Blvia =⇒ Pent = Rai2a︸︷︷︸
Pj−a
+ Fv︸︷︷︸
Pmec
(2.12)
A expressão do �uxo de potên
ia, expli
ita que parte da potên
ia elétri
a de entrada Pent = Uaia
é dissipada na forma de 
alor (Pj−a perda jouli
a no 
obre da armadura), e parte é transformada
ELETROMAGNETISMO 24
em trabalho na haste Pmec (potên
ia me
âni
a de saída).
2.4.2 Análise de Regime Permanente
Em regime esta
ionário ou permanente, pode-se observar as seguintes 
ara
terísti
as de
fun
ionamento:
• Na partida, normalmente, observa-se que o motor exige uma 
orrente elevada para ar-
ran
ar e ven
er a iner
ia e adquirir energia 
inéti
a. Pela equação (2.10), veri�
a-se que
no instante t = 0, v = 0, e Pmec = 0, logo a 
orrente de partida (Iap ou 
orrente de
urto-
ir
uito) é dada por
ia(t = 0) =
Ua
Ra
= Iap ( ≃ 10 a 20IaN )
Essa 
orrente assume valores elevados da ordem de 10 a 20 vezes a intensidade de 
orrente
nominal (IaN ), resultando em perdas jouli
as, que dependem do quadrado de ia, portanto
elevadas.
• Em vazio (sem 
arga me
âni
a) e ideal, ou seja, sem atrito. Esta situação sugere que só
haverá 
onsumo de energia da fonte enquanto a velo
idade (v) estiver 
res
endo. Assim,
quando v estabilizar F ′ = Bial = 0 =⇒ ia = 0 e 
onsequentemente
0 =
Ua − Blv(t)
Ra
=⇒ v = v∞ = Ua
Bl
= cte
Essa velo
idade limite (v∞) é a maior velo
idade atingida pelo dispositivo e só é al
ançada
teori
amente.
• No 
aso de um motor real (
om atrito vis
oso intrínse
o) e em vazio. Tem-se realmente
o 
onsumo de uma pequena 
orrente (Ia0) e 
onsequentemente, uma pequena potên
ia
de entrada ativa (Pent = UaIa0) para ven
er o atrito vis
oso (D−
oe�
iente de atrito
vis
oso), dado por
Fatrito = Dv = −F ′0 = −BIa0l (2.13)
ELETROMAGNETISMO 25
logo
Ia0 =
F ′0
Bl
=
Ua − Blv0
Ra
=⇒ v0 = Ua
Bl
− F
′
0Ra
(Bl)2
(2.14)
Veri�
a-se assim, que a velo
idade no motor real em vazio (v0) é um pou
o menor que
a velo
idade limite e depende das 
ara
terísti
as da fonte e detalhes 
onstrutivos do
dispositivo.
• A apli
ação de 
arga nominal, em relação ao estado anterior, vai impli
ar num aumento
da força resistente (Fc = µdN ↑ onde µd representa o 
oe�
iente de atrito dinâmi
o),
uma queda mais a
entuada de velo
idade e 
onsequentemente o aumento da 
orrente de
armadura. O regime nominal signi�
a que a 
orrente que passa nos 
ondutores (IaN )
vai gerar perdas �hmi
as e elevar a temperatura até o valor máximo suportado pelos
materiais isolantes. Nesta situação a velo
idade desenvolvida é 
hamada de velo
idade
nominal (vN).
2.5 EFEITO HALL
O efeito Hall é bastante utilizado no desenvolvimento de sensores apli
ados em medição,
automação e 
ontrole. Também, permite des
obrir qual o tipo de portador se deslo
a no dispo-
sitivo. O dispositivo se baseia no deslo
amento de portadores de 
arga positivos ou negativos
através da força de Lorentz.
A experiên
ia é feita apli
ando-se um forte 
ampo
~B ortogonalmente ao 
ondutor ou pla
a
de alumínio per
orrido por 
orrente. Na Fig. 2.6(a), é mostrado o esboço do dispositivo e o
deslo
amento de 
argas positivas pela força de Lorentz para a direita. A polaridade da tensão
observada no voltímetro 
on�rma o fen�meno e identi�
a o tipo de portador deslo
ado.
Na Fig. 2.6(b), os portadores são negativos e a força de Lorentz indi
a seu deslo
amento
também para a direita, já que tanto a velo
idade quanto a 
arga tro
aram de sinal. A polaridade
do voltímetro será então invertida.
ELETROMAGNETISMO 26
Figura 2.6. Efeito Hall.
Além do sinal dos portadores de 
arga, a experiên
ia também permite 
al
ular sua velo
idade
já que a tensão gerada vale
U =
F l
q
=
(Bqv)l
q
= Blv
Então a velo
idade v a partir dos valores 
onhe
idos de B, l e do valor U medido da tensão,
tem-se
v =
U
Bl
A experiên
ia também permite 
al
ular o número n de 
argas móveis por metro 
úbi
o.
Sendo v∆t o 
omprimento do 
ondutor, a 
orrente resulta:
i =
∆q
∆t
=
nq(V OLUME)
∆t
=
nqldv∆t
∆t
= nqld(
U
Bl
)
donde
n =
Bi
qdU
O efeito Hall é também usado para medir velo
idade de es
oamento de �uídos; basta
substituir a 
orrente i, na Fig. 2.6(a), pela velo
idade dos íons transportados pelo �uido. Os
íons positivos vão-se a
umular à direita. Os íons negativos vão se a
umular à esquerda, e ambos
omp�em a tensão Hall.
ELETROMAGNETISMO 27
2.6 CAMPO MAGNÉTICO CRIADO POR CORRENTE ELÉTRICA
A existên
ia de analogias e ações re
ípro
as entre forças e fen�menos elétri
os foi posta em
evidên
ia, no ano de 1820, pelo físi
o dinamarquês Oersted, por meio do seguinte experimento:
Uma bússola ini
ialmente 
olo
ada paralelamente a um 
ondutor retilíneo, deixa essa sua po-
sição ini
ial para deslo
ar-se normalmente ao plano que 
ontém a agulha e o 
ondutor, quando
este é atravessado por uma 
orrente 
ontínua. Na Fig. 2.7(a), a agulha en
ontra-se estabilizada
na direção N-S e a 
orrente no 
ir
uito é nula (
have aberta). Em (b), fe
ha-se o 
ir
uito e
se veri�
a o desvio da agulha. Na Fig. 2.8(a), inverte-se a fonte, invertendo-se o sentido da
orrente que atravessa o 
ondutor, o desvio da agulha se inverte também, por meio de uma
rotação de 180
o
.
Figura 2.7. Experiên
ia de Oersted: (a) bússola estabilizada na dire ção N − S e �o 
ondutor sem
orrente (i = 0) e (b) 
have fe
hada, o 
ondutor per
orrido por uma 
orrente i e dete
tado o desvio da
aguha magnéti
a.
Deste experimento de Oersted, dedui-se que no espaço que 
ir
unda um 
ondutor per
or-
rido por 
orrente, existe um 
ampo magnéti
o ou indução magnéti
a revelado pela orientação
da bússola na proximidade do 
ondutor - ver Fig. 2.8(b). O 
ampo magnéti
o gera-se no mo-
mento em que se estabele
e a 
orrente e a
aba quando interrompida; o sentido da orientação
desse 
ampo, 
onforme observado pelo desvioda agulha, depende do sentido da 
orrente e é
determinado pela regra da mão-direita envolvente (ou de Ampère).
Para apli
ar a regra, �segure� o �o 
om a mão direita de modo que seu dedo polegar aponte
no sentido da 
orrente i, 
omo mostrado na Fig. 2.8(b). Os outros dedos indi
arão, automati-
ELETROMAGNETISMO 28
Figura 2.8. Experiên
ia de Oersted: (a) invertendo o sentido da 
orrente observou-se o desvio da
agulha no sentido oposto e (b) disposição do vetor
~B em 
ada ponto tangente.a uma linha de indução
e regra da mão-direita envolvente 
om o polegar apontando para o sentido da 
orrente.
amente, o sentido das linhas de indução.
O estudo desses fen�menos e os 
ál
ulos, rela
ionados 
om sua apli
ação práti
a, não são
possíveis sem a valoração quantitativa do 
ampo magnéti
o.
2.6.1 Força Eletromagnéti
a
Partindo da interação de força de dois 
ondutores per
orridos por 
orrentes elétri
as, tam-
bém a experiên
ia demonstra que sobre 
ada um dos dois 
ondutores atuam forças que atraem
um ao outro os 
ondutores 
om 
orrente de igual sentido e se repelem os 
ondutores 
om
orrentes de sentido 
ontrário (ver Fig. 2.9(a)).
Figura 2.9. (a) Força eletromagnéti
a.que atua sobre os elementos de duas 
orrentes de linha e (b)
para a Lei de Biot-Savart.
ELETROMAGNETISMO 29
Os 
ampos magnéti
os devido a 
ada uma das 
orrentes, estão distribuidos numa mesma
região do espaço. Por isso de a
ordo 
om o prin
ípio da superposição se pode supor que ambos
ondutores estão rodeados por um 
ampo magnéti
o 
omum, que se obtém por superposição dos
ampos, 
ada um dos quais em separado está vin
ulado 
om sua 
orrente, quando o 
ondutor
orrespondente está isolado.
A magnitude da força de interação entre os elementos de 
orrente lineares no vá
uo é
propor
ional ao produto dos elementos de 
orrente lineares e inversamente propor
ional ao
quadrado da distân
ia entre eles.
Se 
hama elemento de 
orrente linear ao produto i∆l, onde o 
omprimento ∆l é muito
pequeno (da ordem do diâmetro do 
ondutor) em 
omparação da distân
ia do mesmo aos
pontos, nos quais se 
onsidera o 
ampo magnéti
o da 
orrente i.
Se os elementos de 
orrente lineares estão dispostos paralelamente, a par
ela da força entre
eles se determina pela expressão
∆F = (
µ0
4π
)
i1∆l1i2∆l2 sinα
r2
(2.15)
onde i1∆l1; i2∆l2 são os elementos de 
orrentes lineares; r a distân
ia entre os elementos; α é o
ângulo entre a direção de um dos elementos de 
orrente e o segmento de reta r, traçado deste
esse elemento até o outro;
µ0
4pi
é um 
oe�
iente de propor
ionalidade, que depende do sistema
de unidades, onde o numerador µ0 representa a permeabilidade magnéti
a do meio. Nesse 
aso
é o vá
uo que muito se aproxima da permeabilidade magnéti
a do ar (µ0 = 4π · 10−7 TmA ).
2.6.2 Lei de Biot-Savart
Para valorar a intensidade do 
ampo magnéti
o se introduz uma nova versão do 
on
eito
de indução magnéti
a B.
A indução magnéti
a de um 
ampo em um dado ponto é um vetor, 
ujo o valor numéri
o é
igual a força que atua sobre o elemento de 
orrente linear, igual a unidade e disposto no 
ampo
ELETROMAGNETISMO 30
de modo que a força resulta máxima.
Da equação (2.15), dedui-se a expressão matemáti
a da Lei de Biot-Savart
∆B =
∆F
i2∆l2
= (
µ0
4π
)
i1∆l1 sinα
r2
(2.16)
Essa expressão pode ser generalizada e es
rita na forma de produto vetorial
∆ ~B = (
µ0
4π
)i
∆~l × ~ur
r2
(2.17)
O vetor ∆ ~B é perpendi
ular ao plano no qual se en
ontra o elemento longitudinal ∆~l e o vetor
segmento ~r (~ur é um vetor unitário na direção de r então ~r = r~ur). Este está dirigido de a
ordo
om a regra da mão-direita envolvente ou de Ampère.
O 
ampo magnéti
o no espaço que rodeia o 
ondutor se origina não só pelo elemento de
orrente linear espe
ifí�
o, mas por outros elementos, os que podem 
onstruir o 
ondutor real
(ver Fig. 2.9(b)). Portanto, para determinar o módulo do 
ampo magnéti
o no ponto P ,
utilizando a Lei de Biot-Savart, deve-se somar as 
ontribuições ∆B de todos os elementos ∆l
do �o.
B =
n∑
k=1
∆Bk =
n∑
k=1
(
µ0
4π
)
ik∆lk sinα
r2k
(2.18)
Dependendo da geometria dos 
ondutores, esta somatória é bastante trabalhosa, 
omplexa e o
valor obtido será bastante aproximado, porque 
ada ponto 
ontido em 
ada elemento ∆l estará
a uma distân
ia diferente de P . A somatória de 
ontribuições de ∆l in�nitesimais é obtida
através da operação denominada �integração� e resulta num resultado idênti
o ao obtido pela
Lei de Ampère.
Além disso, a Lei de Biot-Savart é válida estritamente para 
orrentes que não variam 
om
o tempo, denominadas esta
ionárias. Do ponto de vista 
on
eitual é importante ressaltar que
a Lei de Biot-Savart não vale para 
orrentes alternadas. Apesar disso, em 
asos que a 
orrente
varia lentamente, tal 
omo nas 
orrentes residen
iais, valores de 
ampo podem ser obtidos por
meio dessa lei 
om boa aproximação.
Por outro lado, a Lei de Ampère tem validade geral e 
orresponde a uma das quatro leis
bási
as do Eletromagnetismo.
ELETROMAGNETISMO 31
2.6.3 Lei de Ampère
A Lei de Ampère rela
iona, do ponto vista quantitativo, 
orrentes e 
ampos magnéti
os
numa região do espaço. A formulação envolve a es
olha de uma linha matemáti
a fe
hada
(
hamada de linha amperiana), de modo que a superfí
ie por ela delimitada seja atravessada
por um sistema de 
orrentes que 
ria esse 
ampo. Com a ajuda da regra da mão-direita pode-
se representar o vetor indução magnéti
o (
~Bj que pode assumir qualquer direção) em 
ada
elemento longitudinal (∆l) dessa linha (ver Fig. 2.10).
Figura 2.10. Problema de 
ir
ulação do vetor indução magnéti
a.
Tomando-se 
omo referên
ia a linha fe
hada e a superfí
ie por ela delimitada, a Lei Ampére
pode ser enun
iada da seguinte maneira: a somatória dos produtos da projeção do 
ampo
magnéti
o sobre 
ada pequeno elemento do tre
ho da linha fe
hada pelo 
omprimento desse
tre
ho, até que seja 
ompletada toda a linha, é propor
ional à quantidade de 
orrente elétri
a
que atravessa essa superfí
ie.
Matemati
amente, esta lei pode ser es
rita 
omo
B1∆l1 cosα1+B2∆l2 cosα2+ · · ·Bj∆lj cosαj + · · ·Bn∆ln cosαn = µ(i1− i2− i3+ i4+ · · ·+ iq)
n∑
j=1
~Bj ·∆~lj = µ
q∑
k=1
ik (2.19)
ELETROMAGNETISMO 32
onde µ é a permeabilidade magnéti
a, que é uma 
onstante que 
ara
teriza os meios materiais
e
∑q
k=1 ik a quantidade líquida de 
orrente ou soma aritiméti
a. Do ponto de vista formal, o
lado esquerdo da equação (2.19), denominado 
ir
uitação ou 
ir
ulação do vetor de indução
magnéti
a por um 
ontorno fe
hado, é análogo ao 
ál
ulo do trabalho de uma força expresso
omo produto es
alar.
Um aspe
to importante dessa formulação refer-se a própria es
olha da linha fe
hada, que é
arbitrária, sendo também arbitrárias a sua forma geométri
a e a superfí
ie delimitada por ela.
Isso signi�
a que, para 
ada 
aso, há uma forma geométri
a 
onveniente na es
olha da linha e
também da super�
ie.
2.6.4 Exemplos de Cál
ulo de Campos Magnéti
os
Mediante as Leis de Ampère e Biot-Savart é possível determinar a indução magnéti
a e a
intensidade do 
ampo magnéti
o em uma série de 
asos práti
os.
2.6.4.1 Campo Magnéti
o em um Condutor Retilineo In�nito Na Fig. 2.11(a), é
ilustrado a mar
ação a uma distân
ia arbitrária r do eixo do 
ondutor in�nito um ponto A.
Traça-se por ele um 
ontorno fe
hado que 
oin
ide 
om a linha de indução magnéti
a. Como
se sabe, esta linha é uma 
ir
unferên
ia 
om 
entro no eixo do 
ondutor.
Figura 2.11. (a) Condutor retilíneo in�nito 
om 
orrente, (b) vista superior doondutor 
om 
orrente
entrando e (
) 
omportamento da indução magnéti
a do 
ampo em função de r.
ELETROMAGNETISMO 33
A indução magnéti
a do 
ampo em todos os pontos do 
ontorno tem igual valor numéri
o
(Bj = B = cte e αj = 0
o
) graças à simetria.
De a
ordo 
om a equação (2.19),
n∑
j=1
~Bj ·∆~lj =
n∑
j=1
Bj∆lj cosαj = B
n∑
j=1
∆lj = µ0i
A soma de todos os tre
hos (∆lj) resulta no 
omprimento da 
ir
unferên
ia e 
omo só há a
orrente i que atravessa a superfí
ie
B2πr = µ0i =⇒ B = µ0i
2πr
(2.20)
2.6.4.2 Campo Magnéti
o no Interior de um Condutor Para determinar a indução
magnéti
a do 
ampo no interior do 
ondutor (Bi), toma-se um 
ontorno arbitrário de raio r e
se supõe que a densidade de 
orrente (J em [A/mm2]) em todos os pontos da seção do 
ondutor
é idênti
a e igual a
J =
i
πr20
(2.21)
onde r0 é o raio do 
ondutor (ver Fig. 2.11(b)).
A 
orrente total, que passa na seção, limitada pelo 
ontorno es
olhido, tem a amplitude:
∑
I = J · πr2 = r
2
r20
i
Consequentemente
Bi2πr = µ0
r2
r20
i =⇒ Bi = µ0i
2πr20
r (2.22)
Na Fig. 2.11(
), é mostrado o 
omportameto do 
ampo magnéti
o deste a região interior
(linear) até a região exterior do 
ondutor.
2.6.4.3 Campo Magnéti
o em Condutor Finito O 
ál
ulo do 
ampo magnéti
o em
um ponto A (Fig. 2.12(a)), 
riado pela 
orrente I que 
ir
ula por um 
ondutor retilíneo
ELETROMAGNETISMO 34
de 
omprimento �nito envolve a Lei de Biot-Savart e operações matemáti
as fora de nosso
ontexto. Mas intuitivamente, a partir da equação (2.20) e da suposição de que a indução
magnéti
a em torno do 
ondutor �nito é um 
aso parti
ular do 
ondutor in�nito, é possível
estimar que
B =
µ0I
2πa
(
cosα1 + cosα2
2
) (2.23)
De fato, supondo que as extremidades do 
ondutor �nito tendem para o in�nito, nota-se que
os ângulos α1 e α2 tendem para zero e a equação (2.23) torna-se (2.20).
Figura 2.12. Para estimar a indução magnéti
a em 
ondutor retilíneo �nito.
2.6.4.4 Campo Magnéti
o no Interior de uma Bobina Cilíndri
a (Solenóide) Se
as espiras da bobina são enroladas de maneira 
ompa
ta entre si, sendo sua extensão in�nita
todos os pontos de qualquer linha, paralela ao eixo, se en
ontram nas mesmas 
ondições (ver
Fig. 2.13).
Figura 2.13. (a) Para estimar a indução magnéti
a em um solenóide e (b) vista em 
orte do solenóide.
ELETROMAGNETISMO 35
A indução magnéti
a do 
ampo dentro da bobina em todos os pontos dessa linha é a mesma
e está dirigida ao longo do eixo da bobina. Fora da bobina não há 
ampo magnéti
o até porque
nenhuma linha de indução vai 
onseguir sair de dentro de uma bobina in�nita (ver ampliação
na Fig. 2.13(b)).
Tomando o 
ontorno fe
hado a− b− c− d de forma retangular e se apli
a a Lei 
ir
uital de
Ampère. Ao per
orrer o 
ontorno tem que levar em 
onta que no tre
ho b − c não há 
ampo
(B = 0); nos tre
hos a− b e c− d fora da bobina não há 
ampo enquanto no interior da bobina
a indução magnéti
a está dirigida perpendi
ularmente à direção do tre
ho per
orrido, por isso
a projeção do vetor
~B sobre a direção do tre
ho é nula. No setor d − a a projeção é o próprio
B.
Por 
onseguinte, a 
ir
ulação do vetor indução magnéti
a tem a magnitude
n∑
j=1
Bj∆lj cosαj = Bl
A 
orrente total do 
ir
uito a− b− c− b
q∑
k=1
ik = NI
onde N é o número de espiras enroladas no setor de 
omprimento l.
De a
ordo 
om a expressão (2.19),
Bl = µ0NI (2.24)
B = µ0
NI
l
(2.25)
Desta equação, 
on
lui-se que dentro de uma bobina de 
omprimento in�nito o 
ampo magné-
ti
o é uniforme.
A expressão (2.25) pode ser utilizada, 
om 
erto erro, para determinar a indução magnéti
a
de um solenóide de 
omprimento �nito lb, se ele é bem maior que o diâmetro da espira (lb ≫ d)
B = µ0
NbI
lb
= µ0
NI
l
(2.26)
ELETROMAGNETISMO 36
A apli
ação da Lei de Biot-Savart ao solenóide de 
omprimento �nito da para determinar
B em qualquer ponto M sobre o eixo da bobina
B = µ0
NbI
lb
(
cosα1 + cosα2
2
) = µ0
NI
l
(
cosα1 + cosα2
2
) (2.27)
Em parti
ular, se M está no 
entro da bobina (α1 = α2 = α)
B = µ0
NI
l
cosα (2.28)
No 
aso de uma bobina �alongada�, isto é, volta à 
ondição ini
ial, 
onsidera-se que o
omprimento lb seja bem maior que o diâmetro d. A expressão do 
ampo no seu 
entro,
supondo que cosα ≃ 1 (α se aproxima de 0o), é dada por
B = µ0
NI
l
Bobina �chata� (ver Fig. 2.14(a)). Supondo o 
ontrário que o diâmetro d é bem maior que o
omprimento l. Pode-se ainda en
ontrar uma expressão, aproximada, do 
ampo no seu 
entro,
supondo agora que: cosα ≃ cot gα ≃ l/2
d
(α se aproxima de 90o)
B = µ0
NI
d
(2.29)
Figura 2.14. (a) Para estimar a indução magnéti
a em uma bobina chata, (b) 
ampo de uma espira
ir
ular e (
) bobina 
om nú
leo toroidal.
As expressões que determinam o 
ampo magnéti
o das bobinas, tem no numerador o produto
da 
orrente pelo número de espiras NI. O 
ampo magnéti
o de 
erta intensidade pode e obter
ELETROMAGNETISMO 37
om um número relativamente pequeno de espiras, porém uma grande 
orrente ou 
om uma
pequena 
orrente e um número relativamente grande de espiras.
Para 
al
ular os 
ampos magnéti
os esta 
ondição permite utilizar o produto NI 
omo uma
grandeza úni
a, 
hamada força magnetizante ou magnetomotriz.
2.6.4.5 Campo Magnéti
o numa Espira Cir
ular O 
ampo magnéti
o no 
entro de
uma espira 
ir
ular ou anel de 
orrente, de raio a, mostrado na Fig. 2.14(b) pode ser determi-
nada pela Lei de Biot-Savart (eq. (2.17)).
O módulo do produto vetorial será
∣∣∣∆~l × ~ur∣∣∣ = ∆l · ur · sin 90o = ∆l
O 
ampo resulta então em
B =
µ0i
4πa2
2pia∑
0
∆l =
µ0i
2a
(2.30)
Nota-se, que o 
ampo magnéti
o no 
entro da bobina 
hata (2.29) é o 
ampo da espira vezes o
número de espiras N .
2.6.4.6 Campo Magnéti
o de uma Bobina em Nú
leo Toroidal No 
ál
ulo do 
ampo
magnéti
o, toma-se um 
ontorno ou 
aminho fe
hado, 
oin
idente 
om a linha de indução
magnéti
a do 
entro da seção do nú
leo toroidal (ver Fig. 2.14(
)). Supondo um bobinado de
espiras uniforme, por razões de simetria é mais 
onveniente utilizar a Lei de Ampère.
A superfí
ie limitada pelo 
ontorno es
olhido é atravessada pela 
orrente I tantas vezes,
omo espiras N tem a bobina, por isso
B2πr = µNI
e a indução magnéti
a
B = µ
NI
2πr
(2.31)
ELETROMAGNETISMO 38
onde o raio médio é r = (r1 + r2)/2 e o raio da seção reta do toróide r0 = (r1 − r2)/2.
O 
ampo na região externa ao toróide é nulo já que a soma aritméti
a das 
orrentes que
atravessam a superfé
ie 
ontornada pela 
urva C1 é nulo. O 
ampo na região 
ontornada por
C2 também é nulo.
2.6.4.7 Problemas
1. Em uma espira de forma retangular de lados b = 10cm, c = 20cm e 
orrente I = 10A.
Determinar a indução magnéti
a no ponto de interseção das diagonais do retângulo (ponto
A na Fig. 2.15(a)).
Solução: A indução magnéti
a de um 
ondutor de 
omprimento �nito se determina pela
equação (2.23). Essa equação apli
ada aos lados da espira retangular mostrada na Fig.
2.15(a), obtém-se a expressão para as 
omponentes da indução magnéti
a. Para o lado b,
B =
µ0I
4π c
2
(cosα1 + cosα2)
Nesse 
aso α1 = α2 = α, por isso
B1 =
µ0I cosα
πc
Analogamente, para o lado c, quando θ1 = θ2 = θ
B2 =
µ0I cos θ
πb
A indução magnéti
a no ponto A (BA) resulta das 
omponentes B1 (dos dois lados) e B2
(dos dois lados):
BA = 2(B1 +B2)
BA = 2
µ0I
π
(
cosα
c
+
cos θ
b
)
Da �gura se deduz que
cosα =
b√
b2 + c2
; cos θ =
c√
b2 + c2
ELETROMAGNETISMO 39
Tomando em 
onsiderção estas expressões,tem-se
BA =
2µ0I
√
b2 + c2
πbc
BA =
2 · 4π · 10−7 · 10 · 10−2√102 + 202
π · 10 · 20 · 10−4 = 8, 95× 10
−5T
2. Determinar a indução magnéti
a nos pontos R, P e Q dispostos 
omo mostrado na Fig.
2.15(b). A 
orrente nos 
ondutores I = 1000A, a distân
ia entre os 
ondutores é b = 40cm.
3. As partes de um 
ondutor formam entre si um ângulo de 90
o
, 
omo mostrado na Fig.
2.15(
). Determinar a indução magnéti
a nos pontos equidistantes de ambos setores do
ondutor, quando a 
orrente neles é igual a I.
Figura 2.15. (a) Problema 1, (b) prolbema 2 e (
) problema 3.
4. O enrolamento de um solenóide, 
ujo o 
omprimento l = 20cm, o diâmetro d = 4cm,
o número de espiras N = 500, a 
orrente I = 20A, determinar a indução do 
ampo
magnéti
o no eixo da bobina pelas equações (2.25) e (2.27) em dois pontos:
(a) no ponto equidistante dos extremos da bobina;
(b) no extremo da bobina.
5. Sobre um nú
leo toroidal de material não ferromagnéti
o, 
ujo o diâmetro pela linha
média d = 20cm, estão enrolados dois enrolamentos de N1 = 800 e N2 = 300 espiras
respe
tivamente. Determinar a indução magnéti
a no 
entro da seção do nú
leo 
om
onexão aditiva e em oposição dos enrolamentos se as 
orrentes neles é I = 5A.
ELETROMAGNETISMO 40
2.7 APLICA�O EM INSTRUMENTOS DE MEDIDAS E MOTORES
2.7.1 Galvan�metro
Instrumentos 
om ponteiro são utilizados para várias �nalidades diferentes, 
omo indi
ar o
volume de som em gravadores, o nível de gasolina e a temperatura em automóveis, ou medir
tensão, 
orrente ou resistên
ia elétri
a em laboratórios e o�
inas. Em geral, esses aparelhos são
onstituídos por um imã permanente �xo e uma bobina, ou seja, um �o a
oplado ao ponteiro,
enrolado em várias voltas superpostas e que pode se mover. Um exemplo desse tipo de aparelho
é o galvan�metro utilizado para medição de 
orrentes, mostrado na Fig. 2.16(a).
Figura 2.16. (a) e (b) Instrumento de ponteiro tipo galvan�metro.
O movimento do ponteiro, a
oplado me
ani
amente à bobina móvel, o
orre da seguinte
maneira: o imã permanente 
ria um 
ampo na região da bobina e a 
orrente elétri
a nela, a
medir, �
a sujeita a uma força magnéti
a (
~F ). O giro da bobina resulta de um binário de
forças que surge nesta, e tenderá orientá-la na direção do 
ampo magnéti
o produzido pelo imã
permanente.
Como as forças que 
onstituem este binário são propor
ionais à 
orrente elétri
a na bobina,
a posição do ponteiro varia de a
ordo 
om a intensidade da 
orrente. Na situação de equilíbrio
do ponteiro, o 
onjugado (motor Cm) produzido pelas forças magnéti
as é 
ompensado pelo
ELETROMAGNETISMO 41
onjugado (antagonista - Ca) exer
ido pela força elásti
a de uma mola espiral.
Geométri
a e magneti
amente, tem-se: as linhas de 
ampo radiais no entreferro do imã,
elas são sempre perpendi
ulares à direção da 
orrente I que 
ir
ula através dos 
ondutores da
bobina, qualquer que seja a posição instantânea desta (Fig. 2.16(b)). Em 
onsequên
ia, as
forças
~F são sempre tangen
iais ao 
ilindro de ferro do
e, para qualquer posição da bobina.
Logo
F = NBIl
e o 
onjugado motor, independente do ângulo de desvio da bobina θ,
Cm = 2Fr = 2NBIlr (2.32)
onde N é o número de espiras, r o raio da bobina e l seu 
ompriemento útil ou longitudinal.
O 
onjugado antagonista exer
ido pela mola espiral (
onstante eláti
a ke) vale
Ca = keθ (2.33)
No equilíbrio
Cm = Ca
2NBIlr = keθ
Consequentemente
I = kmθ (2.34)
onde km é a 
onstante do medidor.
Vale ressaltar que, se a 
orrente I muda muito rapidamente de sentido, as forças F a
ompa-
nharão esta mudança, mas o 
onjunto móvel não se deslo
ará em virtude de sua inér
ia própria.
Na frequên
ia industrial esses instrumentos não saem de sua posição de repouso.
ELETROMAGNETISMO 42
2.7.2 Motor série
Neste tipo de motor, também baseado na força magnéti
a, os enrolamentos do estator
(F1 − F2) e do rotor (A1 − A2) estão ligados em série, fazendo 
om que a 
orrente nos dois
enrolamentos seja a mesma (I), 
onforme mostrado na Fig. 2.17(a).
Figura 2.17. Motor Série: disposição dos enrolamentos do estator e rotor e (b), (
), (d) e (e) posições
do rotor em vários instantes.
De a
ordo 
om a Lei de Ampère, a 
orrente elétri
a no enrolamento do estator 
ria um
ampo magnéti
o (Bf = µ
Nf I
lf
) na região onde estão vários enrolamentos do rotor. A 
orrente
elétri
a 
hega ao enrolamento do rotor através de duas es
ovas (A e B) que fazem um 
ontato
elétri
o rotativo. Os 
ondutores rotóri
os �
am sujeitos a forças responsáveis pelo 
onjugado,
que ini
ia o giro do eixo do motor. Com o iní
io do giro, este enrolamento é desligado devido
às lâminas do anel 
oletor, e um outro enrolamento passa a o
upar a sua posição, repetindo-se
o pro
esso e assegurando o giro 
ontínuo do eixo.
Nas Figs. 2.17(b) a (e), é representado, em vários instantes, de forma simpli�
ada o apare-
imento das forças nos 
ondutores do rotor (a1 e a2). Em (a), o 
ondutor a1 está ligado 
om a
es
ova A e a2 
om a es
ova B. Em (b) o rotor passa pela posição de 
onjugado máximo porque
ELETROMAGNETISMO 43
o 
ondutor 
orta perpendi
ularmente a direção do 
ampo magnéti
o indutor (Bf). Em (d), os
ondutores a1 e a2 passam pela linha neutra magnéti
a, a 
orrente é nula e o 
onjugado motor
também. Os 
ondutores ultrapassam esta posição devido à inér
ia. Já em (e), o 
ondutor a2
se liga à es
ova A, o 
ondutor a1 à es
ova B e a 
orrente nos mesmos se invertem mantendo o
onjugado no mesmo sentido do ini
ial.
É importante ressaltar que 
omo a 
orrente que gera o 
ampo magnéti
o é a mesma que
passa no 
ondutor do rotor, se houver uma inversão de 
orrente no 
ampo o mesmo o
orre nos
enrolamentos rotóri
os e o 
onjugado mantém a mesma direção. Devido a esse fato, o motor
série trabalha tanto alimentado 
om 
orrente 
ontínua 
omo alternada, daí ser 
hamado de
motor universal.
CAPÍTULO 3
FLUXO MAGNÉTICO E INDUTÂNCIA
O 
on
eito de �uxo magnéti
o 
omo 
ara
terísti
a de um 
ampo magnéti
o é de suma impor-
tân
ia em eletroté
ni
a. Empregado para examinar os prin
ípios de trabalho e nos 
ál
ulos de
dispositivos eletromagnéti
os (máquinas elétri
as, transformadores, eletroimãs de diferente uso,
et
)
3.1 FLUXO MAGNÉTICO
Examinando uma espira ou 
ondutor retangular, no qual um dos lados se en
ontra imerso
em um 
ampo magnéti
o homogêneo ou uniforme. Para uma 
orrente I no 
ondutor, no 
ampo
magnéti
o atua uma força eletromagnéti
a
~F (Fig. 3.1(a)).
Figura 3.1. (a) Espira fe
hada 
om 
orrente em um 
ampo magnéti
o - vista superior, (b) vista lateral
e (
) para determinar o �uxo magnéti
o de modo geral.
A espira ou bobina 
ondutora se deslo
a em direção à ação da força, e neste 
aso em seu
44
FLUXO MAGNÉTICO E INDUTÂNCIA 45
urso o lado d des
reve a superfí
ie plana S, perpendi
ular às linhas de 
ampo magnéti
o:
S = d · l (3.1)
O produto da indução magnéti
a pela superfí
ie S expressa o �uxo magnéti
o Φ do 
ampo
uniforme através dessa superfí
ie S:
Φ = BS (3.2)
Se a superfí
ie atravessada pelas linhas de indução magnéti
a se dispõe formando um ângulo
om a direção destas linhas (Fig. 3.1(
)), o �uxo magnéti
o se determina pelo produto es
alar
do vetor indução magnéti
a (
~B) 
om o vetor superfí
ie (~S = S~n)
Φ = ~B · ~S = BS cosα (3.3)
onde ~n é um vetor unitário normal ao plano da superfí
ie.
Se o 
ampo magnéti
o não é uniforme, a supefí
ie, para qual se determina o �uxo magnéti
o
tem que ser dividida em superfí
ies muito pequenas ∆~S (∆~S = ∆S~n). Nos limites de 
ada
uma destas superfí
ies pode-se 
onsiderar o 
ampo uniforme,e em tal 
aso o �uxo elementar
será
∆Φ = ~B ·∆~S
O �uxo total através da superfí
ie S pode ser determinado por
Φ =
∑
~B ·∆~S (3.4)
De a
ordo 
om a expressão (3.2), a indução magnéti
a B é a densidade de �uxo magnéti
o
num dado ponto do 
ampo.
A unidade de medida do �uxo magnéti
o no sistema SI é o weber:
[Φ] = [BS] = tesla ·metro2 = volts · segundo = weber (Wb)
FLUXO MAGNÉTICO E INDUTÂNCIA 46
3.1.1 Trabalho ao Deslo
ar o Condutor 
om Corrente em um Campo Magnéti
o
Ao mover a espira 
om 
orrente em um 
ampo magnéti
o (ver Fig. 3.1(a) e (b)) a força
magnéti
a
~F realiza um trabalho no deslo
amento d dado por
τ = ~F · ~d = BIld
Neste 
aso o trabalho se 
onsidera positivo.
Quando o movimento do 
ondutor é oposto à força F (existindo força me
âni
a externa) o
trabalho é negativo.
Es
revendo o trabalho em função das equações (3.1) e (3.2), tem-se
τ = ΦI
O �uxo magnéti
o através da superfí
ie, traçado pelo 
ondutor, é a diferença de �uxo que
penetram a espira 
ondutora nas posições ini
ial e �nal, isto é, o in
remento positivo do �uxo
on
atenado 
om a espira:
∆Φ = Φ2 − Φ1 = Bd2l − Bd1l = Bl(d2 − d1) = Bld
O trabalho gasto no deslo
amento da espira é então
τ = ∆ΦI (3.5)
3.1.2 Fluxo Magnéti
o Total
Para 
al
ular o trabalho realizado pelas forças eletromagnéti
as se tomou uma armação 
om
uma espira. Porém numa armação (bobina) se podem enrolar várias espiras, então o trabalho
das forças magnéti
as para deslo
ar esta bobina se in
rementa.
Supondo que as N espiras estão 
on
atenadas 
om o mesmo �uxo, o trabalho aumenta N
vezes:
τ = N∆ΦI
FLUXO MAGNÉTICO E INDUTÂNCIA 47
O produto do número de espiras pelo �uxo magnéti
o 
on
atenado 
om as mesmas se 
hama
fuxo total:
Ψ = NΦ (3.6)
Pode-se expressar ainda
τ = ∆ΨI (3.7)
Como se vê na Fig. 3.2(a), no 
aso mais geral as espiras de uma bobina podem estar
on
atenadas 
om distintos �uxos, nesse 
aso o �uxo total se determina pela soma algébri
a
dos �uxos, 
on
atenados 
om 
ada espira:
Ψ = Φ1 + Φ2 + · · ·+ Φn
ou ainda
Ψ = N1Φ1 +N2Φ2 + · · ·+NnΦn
Figura 3.2. (a) Fluxo total de um Solenóidel e (b) Exemplo 1: enlaçes de �uxo.
Se numa espira isolada de qualquer forma 
ir
ula 
orrente, o 
ampo magnéti
o desta 
orrente
está 
on
atenado 
om ela mesma. O �uxo total desta espira se 
hama próprio (�uxo magnéti
o
total de autoindução).
O �uxo total tem a mesma dimensão que o �uxo magnéti
o.
FLUXO MAGNÉTICO E INDUTÂNCIA 48
3.2 INDUTÂNCIA E INDUTÂNCIA MÚTUA
Ao variar a 
orrente na espira ou bobina se altera o �uxo total intrínse
o, assim 
omo o
�uxo total mútuo (
on
atenado) 
om outra espira ou bobina.
A experiên
ia demonstra que, no 
aso geral a igual variação de 
orrente em duas espiras
ou bobinas, o �uxo total destas tem diferentes variações. As parti
ularidades da espira ou
bobina dada 
om respeito à formação do �uxo total se 
ara
terizam pela indutân
ia e a mútua
indutân
ia.
3.2.1 Indutân
ia
A forma, as dimensões da espira e o meio no qual se origina seu 
ampo magnéti
o, isto é,
os fatores devido à 
onstrução da espira ou bobina in�uem sobre a dependên
ia entre o �uxo
total (
on
atenado) e a 
orrente da espira isolada.
Para expressar esta in�uên
ia se introduz o 
on
eito de indutân
ia L de uma espira ou
bobina.
A indutân
ia de uma espira isolada (ou bobina) é uma grandeza que 
ara
teriza o vín
ulo
do �uxo total e a 
orrente, numeri
amente igual à relação entre o �uxo total (
on
atenado) e
a 
orrente:
L =
Ψ
I
(3.8)
No vá
uo e substân
ias não magnéti
as esta relação é 
onstante para a espira ou bobina
dada independentemente das amplitudes da 
orrente e do �uxo total.
A unidade de indutân
ia é
[L] =
weber
ampe`re
=
volt · segundo
ampe`re
= henri (H)
Exemplo 1: Uma 
orrente de 2A em uma bobina produz um 
ampo magnéti
o, des
rito
pela forma de �uxo mostrada na Fig. 3.2(b), onde 
ada linha de força representa 1mWb de
FLUXO MAGNÉTICO E INDUTÂNCIA 49
�uxo. Determinar o �uxo total ou 
on
atenado ou enla
e de �uxo e a indutân
ia da bobina.
Solução: Como duas espiras da bobina enlaçam 4mWb e as outras duas espiras enlaçam
apenas 2mWb, o enla
e de �uxo total é
Ψ = 2× 4× 10−3 + 2× 2× 10−3 = 12mWb
Pela equação (3.8), a indutân
ia é
L =
Ψ
I
=
12× 10−3
2
= 6× 10−3H = 6mH
3.2.2 Indutân
ia Mútua
Examinando o a
oplamento magnéti
o de duas bobinas 
om 
orrentes, dispostas mutua-
mente perto de maneira que o �uxo magnéti
o, 
riado pela 
orrente da primeira bobina I1, está
on
atenado 
om as espiras de ambas bobinas.
Supondo que não há �uxo de dispersão magnéti
a, isto é, todas as linhas magnéti
as de
uma bobina estão 
on
atenadas 
om a outra bobina (Fig. 3.3(a)).
Figura 3.3. A
oplamento magnéti
o entre duas bobinas: (a) sem �uxo de dispersão e (b) 
om �uxo
de dispersão.
O �uxo total intrínse
o da primeira bobina
Ψ1 = N1Φ1 = L1I1 (3.9)
onde N1 é o número de espiras da primeira bobina.
FLUXO MAGNÉTICO E INDUTÂNCIA 50
O �uxo magnéti
o 
riado pela 
orrente da primeira bobina está 
on
atenado 
om as espiras
da segunda bobina.
O �uxo total mútuo, igual ao intrínse
o, é propor
ional à 
orrente que origina o �uxo:
Ψ12 = N2Φ1 = M12I1 (3.10)
O 
oe�
iente de propor
ionalidade M12 é uma grandeza 
onstante (em meios não magnéti-
os), dependente das parti
ularidades 
onstrutivas do sistema de bobina examinado e se 
hama
oe�
iente de indução mútua ou indutân
ia mútua.
Das equações (3.9) e (3.10), deduz-se que
L1
M12
=
N1
N2
O a
oplamento magnéti
o pode realizar-se pelo �uxo da bobina de 
orrente I2.
Por analogia 
om a primeira bobina o �uxo total intrínse
o da segunda bobina é
Ψ2 = N2Φ2 = L2I2 (3.11)
o �uxo total mútuo
Ψ21 = N1Φ2 = M21I2 (3.12)
Logo
L2
M21
=
N2
N1
Igualando as relações das indutân
ias das bobinas às indutân
ia mútuas, 
hega-se
M12M21 = L1L2
Demonstra-se fa
ilmente que os 
e�
ientes M12 e M21 são idênti
os.
Supondo a segunda bobina 
om, 
orrente I2, removida para o in�nito. O �uxo total desta
bobina varia na intensidade do �uxo total mútuo. O trabalho realizado nessa situação, de a
ordo
FLUXO MAGNÉTICO E INDUTÂNCIA 51
om a expressão (3.7), se determina pelo produto Ψ12I2. Levando em 
onta a relatividade do
movimento, o mesmo trabalho pode ser determinado pelo produto Ψ21I1, isto é,
Ψ12I2 = Ψ21I1
onde
Ψ12
I1
=
Ψ21
I2
=⇒M12 = M21 = M
A indutân
ia mútua expressa em função das auto-indutân
ias das bobinas, vale
M =
√
L1L2 (3.13)
3.2.3 Coe�
iente de A
oplamento
A expressão (3.13) é válida quando não há �uxos de dispersão magnéti
os, quando existe
um a
oplamento magnéti
o máximo entre as bobinas. Na realidade 
erta parte das linhas
de indução magnéti
a do 
ampo da bobina dada está 
on
atenado 
om as espiras próprias
(na Fig. (b), isto 
orresponde à primeira bobina). Com estas linhas se determina o �uxo
magnéti
o de dispersão Φd, que não parti
ipa do a
oplamento magnéti
o das bobinas; por isso
nos dispositivos reais, onde se utiliza o a
oplamento magnéti
o, o �uxo de dispersão deve ser
reduzido ao máximo possível.
Devido ao �uxo de dispersão o a
oplamento magnéti
o das bobinas resulta par
ial (Φ12 <
Φ1). Neste 
aso a indutân
ia mútua será menor que o valor
√
L1L2, o que se 
onsidera o
oe�
iente de a
oplamento k:
M = k
√
L1L2
O 
oe�
iente de a
oplamento
k =
M√
L1L2
teori
amente pode variar desde 0 até 1.
FLUXO MAGNÉTICO E INDUTÂNCIA 52
3.2.4 Exemplos
1. Determinando a indutân
ia de uma bobina 
ilíndri
a de 
omprimento in�nito que possui
N espiras de diâmetro D.
O 
ampo magnéti
o desta