Lista de Problemas, Rotação e Rolamento

Lista de Problemas Rota¸ c˜ ao e Rolamen to Cap ´ ıtulos 10 e 11 do Hallida y ed. 10 (Problema 14 - Cap ´ ıtulo 10 - Hallida y ed. 10)** Um disco gira em torno do eixo cen tral partindo do rep ouso com acelera¸ c˜ ao angular constante. Em certo instan te, est´ a girando a 10 rev / s; ap´ os 60 rev- olu¸ c˜ oes, a velocidade angular ´ e 15 rev / s. Calcule (a) a acelera¸ c˜ ao angular, (b) o temp o necess´ ario para o disco completar 60 rev olu¸ c˜ oes, (c) o temp o necess´ ario para o disco atingir a velocidade angular de 10 rev / s e (d) o n ´ umero de rev olu¸ c˜ oes do disco desde o rep ouso at ´ e o instan te em que atinge uma v elo cidade angular de 10 rev / s. Resp osta : a) 1 , 0 rev / s 2 ; b) 4 , 8 s; c) 9 , 6 s; d) 48 rev . (Problema 29 - Cap ´ ıtulo 10 - Hallida y ed. 10)** Um m ´ eto do tradicional para medir a v elo cidade da luz utiliza uma ro da den tada girat´ oria. Um feixe de luz passa p elo espa¸ co en tre dois dentes situados na b orda da ro da, como na ﬁgura a seguir, via ja at ´ e um esp elho distan te e c hega de volta ` a ro da ex- atamen te a temp o de passar p elo espa¸ co seguin te en tre dois den tes. Uma dessas rodas tem 5 , 0 cm de raio e 500 espa¸ cos en tre den tes. Medidas realizadas quando o esp elho est´ a a uma distˆ ancia L = 500 m da ro da fornecem o v alor de 3 , 0 × 10 5 km / s para a v elo cidade da luz. (a) Qual ´ e a v elo cidade angular (constan te) da ro da? (b) Qual ´ e a v elo cidade linear de um p on to da b orda da ro da? Resp osta : a) 3 , 8 × 10 3 rad / s; b) 1 , 9 × 10 2 m / s. (Problema 41 - Cap ´ ıtulo 10 - Hallida y ed. 10)** Na ﬁgura a seguir, duas part ´ ıculas, ambas de massa m = 0 , 85 kg , est˜ ao ligadas uma ` a outra, e a um eixo de rota¸ c˜ ao no p onto O , p or duas barras ﬁnas, am bas de comprimento d = 5 , 6 cm e massa M = 1 , 2 kg . O conjunto gira em torno do eixo de rota¸ c˜ ao com velocidade angular ω = 0 , 30 rad / s. De- termine (a) o momen to de in ´ ercia do conjun to em rela¸ c˜ ao ao p on to O e (b) a energia cin´ etica do con- jun to. Resp osta : a) 0 , 023 kg . m 2 ; b) 1 , 1 × 10 − 3 J. (Problema 52 - Cap ´ ıtulo 10 - Halliday ed. 10)** Na ﬁgura a seguir, um cilindro com massa de 2 , 0 kg p o de girar em torno do eixo cen tral, que passa p elo p on to O . As for¸ cas mostradas t ˆ em os seguin tes m´ odulos: F 1 = 6 , 0 N, F 2 = 4 , 0 N, F 3 = 2 , 0 N e F 4 = 5 , 0 N. As distˆ ancias radiais s˜ ao r = 5 , 0 cm e R = 12 cm. Determine (a) o m´ odulo e (b) a ori- en ta¸ c˜ ao da acelera¸ c˜ ao angular do cilindro. (Duran te a rota¸ c˜ ao, as for¸ cas mant ˆ em os mesmos ˆ angulos em rela¸ c˜ ao ao cilindro.) Resp osta : a) 9 , 7 rad / s 2 ; b) sen tido an ti-hor´ ario (para fora do pap el). (Problema 66 - Cap ´ ıtulo 10 - Halliday ed. 10)** Uma casca esf ´ erica homog ˆ enea, de massa M = 4 , 5 kg e raio R = 8 , 5 cm, p o de girar em torno de um eixo v ertical sem atrito (ﬁgura a seguir). Uma corda, de massa desprez ´ ıv el, est´ a enrolada no equador da casca, passa p or uma p olia de momento de in ´ ercia I = 3 , 0 × 10 − 3 kgm 2 e raio r = 5 , 0 cm e est´ a presa a um p equeno ob jeto de massa m = 0 , 60 kg . N˜ ao h´ a atrito no eixo da p olia, e a corda n˜ ao escorrega na casca nem na p olia. Qual ´ e a velocidade do ob jeto dep ois de cair 82 cm ap´ os ter sido lib erado a partir do rep ouso? Use considera¸ c˜ oes de energia. 1 Resp osta : 1 , 4 m / s. (Problema 101 - Cap ´ ıtulo 10 - Hallida y ed. 10) Na ﬁgura a seguir, quatro p olias est˜ ao ligadas p or duas correias. A polia A (com 15 cm de raio) ´ e a p olia motriz e gira a 10 rad / s. A p olia B (com 10 cm de raio) est´ a ligada ` a p olia A p ela correia 1. A p olia B 0 (com 5 cm de raio) ´ e conc ˆ en trica com a p olia B e est´ a rigidamente ligada a ela. A polia C (com 25 cm de raio) est´ a ligada ` a p olia B 0 p ela correia 2. Cal- cule (a) a v elo cidade linear de um p on to da correia 1, (b) a v elo cidade angular da p olia B , (c) a v elo ci- dade angular da p olia B 0 , (d) a v elo cidade linear de um p on to da correia 2 e (e) a v elo cidade angular da p olia C . (Sugest˜ ao: Se a correia en tre duas p olias n˜ ao desliza, as velocidades lineares das b ordas das duas p olias s˜ ao iguais.) Resp osta : a) 1 , 5 × 10 2 cm / s; b) 15 rad / s; c) 15 rad / s; d) 75 cm / s; e) 3 , 0 rad / s. (Problema 07 - Cap ´ ıtulo 11 - Hallida y ed. 10)** Na ﬁgura a seguir, um cilindro maci¸ co com 10 cm de raio e massa de 12 kg parte do rep ouso e rola para baixo uma distˆ ancia L = 6 , 0 m, sem deslizar, em um telhado com uma inclina¸ c˜ ao θ = 30 ◦ . (a) Qual ´ e a v elo cidade angular do cilindro em rela¸ c˜ ao ao eixo cen tral ao deixar o telhado? (b) A b orda do tel- hado est´ a a uma altura H = 5 , 0 m. A que distˆ ancia horizon tal da b orda do telhado o cilindro atinge o c h˜ ao? Resp osta : a) 63 rad / s; b) 4 , 0 m. (Problema 30 - Cap ´ ıtulo 11 - Halliday ed. 10)** No instan te em que o deslo camen to de um ob jeto de 2 , 00 kg em rela¸ c˜ ao ` a origem ´ e ~ d = (2 , 00 m) ˆ i + (4 , 00 m) ˆ j − (3 , 00 m) ˆ k a v elo cidade do ob jeto ´ e ~ v = − (6 , 00 m / s) ˆ i + (3 , 00 m / s ˆ j + (3 , 00 m / s) ˆ k e o ob jeto est´ a sujeito a uma for¸ ca ~ F = (6 , 00 N) ˆ i − (8 , 00 N) ˆ j + (4 , 00 N) ˆ k . Determine (a) a acelera¸ c˜ ao do ob jeto, (b) o momen to angular do ob jeto em rela¸ c˜ ao ` a origem, (c) o torque em rela¸ c˜ ao ` a origem a que est´ a sub- metido o ob jeto e (d) o ˆ angulo entre a v elo cidade do ob jeto e a for¸ ca que age sobre ele. Resp osta : a) (3 , 00 ˆ i − 4 , 0 ˆ j + 2 , 00 ˆ k ) m / s 2 ; b) (42 , 0 ˆ i + 24 , 0 ˆ j + 60 , 0 ˆ k ) kg . m 2 / s; c) ( − 8 , 00 ˆ i − 26 , 0 ˆ j − 40 , 0 ˆ k ) N . m; d) 127 ◦ . (Problema 31 - Cap ´ ıtulo 11 - Halliday ed. 10)** Na ﬁgura a seguir, uma b ola de 0 , 400 kg ´ e lan¸ cada v erticalmen te para cima com velocidade ini- cial de 40 , 0 m / s. Qual ´ e o momen to angular da b ola em rela¸ c˜ ao a P , um p on to a uma distˆ ancia horizontal de 2 , 00 m do p onto de lan¸ camento, quando a b ola est´ a (a) na altura m´ axima e (b) na metade do cam- inho de v olta ao c h˜ ao? Qual ´ e o torque em rela¸ c˜ ao a P a que a b ola ´ e submetida devido ` a for¸ ca grav- itacional quando est´ a (a) na altura m´ axima e (b) na metade do caminho de v olta ao c h˜ ao? Resp osta : a) zero; b) − 22 , 6 kg . m 2 / s; c) − 7 , 84 N . m; d) − 7 , 84 N . m. (Problema 36 - Cap ´ ıtulo 11 - Halliday ed. 10)* A ﬁgura a seguir mostra tr ˆ es discos homogˆ eneos acoplados p or duas correias. Uma correia passa p elas b ordas dos discos A e C; a outra passa p or um cub o do disco A e p ela b orda do disco B. As cor- reias se mo v em suav emente, sem deslizar nas bordas e no cub o. O disco A tem raio R e seu cub o tem 2 raio 0 , 5000 R ; o disco B tem raio 0 , 2500 R ; o disco C tem raio 2 , 000 R . Os discos B e C tˆ em a mesma massa esp ec ´ ıﬁca (massa por unidade de volume) e a mesma esp essura. Qual ´ e a raz˜ ao en tre o m´ odulo do momen to angular do disco C e o m´ odulo do momento angular do disco B? Resp osta : 1024. (Problema 41 - Cap ´ ıtulo 11 - Hallida y ed. 10)** A ﬁgura a seguir mostra uma estrutura r ´ ıgida formada p or um aro, de raio R e massa m , e um quadrado feito de quatro barras ﬁnas, de compri- men to R e massa m . A estrutura r ´ ıgida gira com v elo cidade constan te em torno de um eixo v ertical, com um p er ´ ıodo de rota¸ c˜ ao de 2 , 5 s. Sup ondo que R = 0 , 50 m e m = 2 , 0 kg , calcule (a) o momento de in ´ ercia da estrutura em rela¸ c˜ ao ao eixo de rota¸ c˜ ao e (b) o momen to angular da estrutura em rela¸ c˜ ao ao eixo. Resp osta : a) 1 , 6 kg . m 2 ; b) 4 , 0 kg . m 2 / s. (Problema 53 - Cap ´ ıtulo 11 - Hallida y ed. 10)** Uma barra ﬁna, homog ˆ enea, com 0 , 500 m de comprimen to e 4 , 00 kg de massa, p o de girar em um plano horizon tal em torno de um eixo vertical que passa p elo cen tro da barra. A barra est´ a em re- p ouso quando uma bala de 3 , 0 g ´ e disparada, no plano de rota¸ c˜ ao, em dire¸ c˜ ao a uma das extremi- dades. Vista de cima, a tra jet´ oria da bala faz um ˆ angulo θ = 60 , 0 ◦ com a barra ( ﬁgura a seguir). Se a bala se alo ja na barra e a v elo cidade angular da barra ´ e 10 rad / s imediatamen te ap´ os a colis˜ ao, qual era a v elo cidade da bala imediatamen te antes do impacto? Resp osta : 1 , 3 × 10 3 m / s. (Problema 62 - Cap ´ ıtulo 11 - Halliday ed. 10)*** Um trap ezista pretende dar quatro cam balhotas em um in terv alo de temp o ∆ t = 1 , 87 s antes de c hegar ao companheiro. No primeiro e no ´ ultimo quarto de v olta, ele man t´ em o corp o esticado, como na ﬁgura a seguir, com um momento de in ´ ercia I 1 = 19 , 9 kgm 2 em rela¸ c˜ ao ao centro de massa (o p on to da ﬁgura). No resto do salto, man t´ em o corp o na p osi¸ c˜ ao grupada, com um momen to de in ´ ercia I 2 = 3 , 93 kgm 2 . Qual deve ser a v elo cidade angular ω 2 do trap ezista quando est´ a na p osi¸ c˜ ao grupada? Resp osta : 3 , 23 rev / s. (Problema 65 - Cap ´ ıtulo 11 - Halliday ed. 10)*** Duas b olas, de 2 , 00 kg, est˜ ao presas ` as extrem- idades de uma barra ﬁna, de 50 , 0 cm de compri- men to e massa desprez ´ ıv el. A barra est´ a livre para girar sem atrito em um plano v ertical em torno de um eixo horizon tal que passa p elo cen tro. Com a barra inicialmen te na horizon tal (ﬁgura a seguir), um p eda¸ co de massa de mo delar de 50 , 0 g cai em uma das b olas, atingindo-a com uma velocidade de 3 , 00 m / s e aderindo a ela. (a) Qual ´ e a v elo cidade angular do sistema imediatamen te ap´ os o choque com a massa de mo delar? (b) Qual ´ e a raz˜ ao en- tre a energia cin ´ etica do sistema ap´ os o choque e a energia cin ´ etica do p eda¸ co de massa de mo delar imediatamen te an tes do choque? (c) De que ˆ angulo o sistema gira an tes de parar momen taneamente? 3 Resp osta : a) 0 , 148 rad / s; b) 0 , 0123; c) 181 ◦ . 4

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