Questões de Análise Matemática

Questão 1/5 - Tópicos de Análise L e ia o f rag me n to d e text o a s e g u ir : \u201cI nfo r ma lme n t e : lim x \u2192 a f ( x )= L li mx \u2192a f ( x )= L q u e r d ize r q ue s e po de torn a r f( x ) f (x) t ã o pró x imo de L L q u a n to s e q ue i ra d e s d e q ue s e tom e x \u2208 X x \u2208 X s u f ic ien t e me nte p róxi mo , po r é m difere n te, de a a \u201d. Apó s e sta av al ia çã o , caso q u e ir a l e r o t ext o int e g r a l m e nt e , e le e stá d ispo ní ve l e m : L IMA, E .L . A ná li s e rea l . 4 . e d. Rio d e Jan eiro: I M P A, 19 99 . p . 6 1 . De a c o r do c o m o f ragme n t o de text o d a d o e c om os c o n teú do s d o l iv r o - b a s e An álise ma temá t ica , r e s olv a o li mite a s eguir: lim x \u21921 x 2 \u22121 x \u22121 l imx \u21921 x 2 \u22121x \u22121 . A s s ina l e a a l tern a t iv a q u e me n c ion a c o rr e tame nte o r e s ultad o: N o t a: 2 0.0 A \u221e \u221e . B \u2212\u221e . \u2212 \u221e . C 0. D 1. E 2. Vo c ê a ce r t ou! Co m simp lif ic açõe s a lg é b rica s, é p o ssív e l rem o v e r a ind e term ina ç ã o e e n c o nt ra r lim x \u21921 (x+1)=2 limx\u21921(x+ 1)=2 (liv ro - ba se , p . 9 0 -9 9 ) . Questão 2/5 - Tópicos de Análise Ob s erv e o g ráfic o d a fu n ç ã o f (x) f (x ) d e fi n ida n o inte r v a lo [ \u22121 , 4 ] [ \u22121 , 4 ] : F o n te: G r á fi c o ela bo r ad o p e lo a u tor d a q ue s t ã o. De a c o r do c o m a f ig u r a e c o m o s c o n t e úd os e s tud ad os n o l iv r o - b a s e An álise ma temá t i c a s o bre li mite e c on t inu i d ad e, ass i n a le a altern a ti v a c orr e t a : N o t a: 2 0.0 A O l i m i t e l at er al d e f ( x )f ( x ) quand o x t end e a -1 pel a d i re i t a é - 2. -2 B O l i m i t e l ateral d e f( x )f ( x ) quand o x t end e a 2 2 pel a es quer d a é 1 1 . C O l i m i t e d e f (x)f (x) quand o x x t end e a 0 e xi st e e val e d oi s. Vo c ê a ce r t ou! F a ze n d o o s limites latera is p e la e sque rd a e p ela d ireita q u a n d o x te nde a z e ro e n c o n tra m o s o v a lo r 2 (livro - b a s e p . 9 0 - 1 0 4 ). D A f unção f (x)f (x) é cont í nua em x =2 x = 2 . E O l i m i t e l ateral d e f( x )f ( x ) quand o x x t end e a 1 1 pel a es quer d a é \u221e\u221e . Questão 3/5 - Tópicos de Análise Ob s erv e a s e g u inte a info r ma ç ã o : S e ja f: R \u2192 R f :R\u2192R uma fu n ç ã o da da po r : f( x ): \u23a7\u23a8\u23a9 12 x \u22126 , x \u22603 k , x =3 f ( x ): { 1 2 x \u22126 , x\u22603k , x =3 Fo nt e : Text o e l a b o r a do p e lo a u to r da q u e stã o. Co nsi d eran do o en un c iad o e os c o n teú do s d o l iv r o -ba s e An á li s e ma t e má t ica s o bre li mite e c o n ti n u ida de , ass i n ale a a lt e rna t iv a c o r r e ta: N o t a: 2 0.0 A Se k =2 k = 2 , e nt ão a f unção f (x)f (x) é cont i nua em x =3 x = 3 . B O l i m i t e l ateral d e f( x )f ( x ) , quand o x x t end e a 3 3 pel a d i r ei t a, é i gual a 2 2 . C lim x \u21923 f (x)=6 . limx \u21923 f (x)=6 . D Par a qual quer val or d e k , k, a f unção f ( x )f (x ) ser á d escontínua em x =3 x = 3 . Vo c ê a ce r t ou! Tem o s q u e lim x \u21923 + f(x )=+ \u221elimx\u21923+f(x)=+\u221e e lim x \u21923 \u2212 f(x )=\u2212\u221elimx\u21923\u2212f(x)=\u2212\u221e . Logo, n ã o exi ste lim x \u21923 f(x) limx\u21923f(x) . P o rtan to , se ja q ual fo r o v a lo r d e kk , f(x) f(x) n ã o se rá co nt ín u a e m x =3 x=3 (livro -base , p . 9 0 -1 04). E Se k =0 k = 0 , e nt ão, f( x )f (x) é cont ínua em x =3 x = 3 . Questão 4/5 - Tópicos de Análise A n a li s e a s e g u inte c it a ç ã o : \u201cO c on c eito d e r e lação d e equiv a lên c ia é rele v a nte pa r a t o d o s os ramo s da Ma t e má ti c a . Em li n h a s g e r a is , tal c on c eito s u r g e c o mo u ma forma de g e n e raliza r a rela ç ã o de ig ua l d a d e , n o s en t ido d e q ue , e lem e n t o s d e um da do c on jun t o , me s mo d is t in t o s , c um p r e m p a p e l e q u iv a len t e \u201d . Apó s e sta av al ia çã o , caso q u e ir a l e r o t ext o int e g r a l m e nt e , ele e stá d i sp o n íve l e m : V IE IRA , V. L . Álgebra a bs t ra t a para Lic enc ia t ura . Campin a Gran de : EDUEP B , 2 0 1 3. p . 18. De a c o r do c o m os c o n teú do s d o l iv r o- bas e An álise ma temá t ica s ob r e as rela ç õ e s e n tr e c on j u n tos, ass i n a le a a lt e r n ativ a q u e c o n tém um a rela ç ã o de e q u i v a lên c ia d o c o n jun t o A= {1, 2 ,3 , 4 } A ={ 1 ,2,3 , 4 } : N o t a: 2 0.0 A R ={(1, 1 ) ,(2 ,2 ),(3, 3 ),( 4 ,4 ),(1 ,3 ),(3, 1 ) } R = {( 1 ,1 ),(2, 2 ) ,(3 ,3 ),(4, 4 ),( 1 ,3 ),(3 ,1 )} . Vo c ê a ce r t o u! Essa re laç ão é refle x iv a , p o is (x, x) \u2208 R, \u2200 x \u2208 A(x,x) \u2208 R, \u2200 x \u2208 A . É s imé tri c a p o is, p a ra c a d a p a r (x, y)(x, y) q u e p e rte n c e a RR , o s eu simé trico (y, x)(y, x) ta mbém p erte n c e a RR . E e ssa re laç ã o é t ra n s itiva , p o is, s e o s p a re s (x, y)(x, y) e (y, z )(y, z) , e n tã o , o p a r (x, z)(x, z) ta mbém p erte n ce a RR (livro -bas e , p . 1 5-56). B R ={(1, 1 ) ,(1 ,2 ),(2, 2 ),( 3 ,3 ),(4 ,4 ),(1, 4 ) }. R= {(1, 1 ) ,(1 ,2 ),(2, 2 ) , ( 3 ,3 ),(4, 4 ),( 1 ,4 )}. C R ={(2, 2 ) ,(3 ,3 )}.R = {( 2 ,2 ),(3, 3 ) }. D R ={(1, 1 ) ,(2 ,2 ),(3, 3 ),( 4 ,4 ),(2 ,1 ),(2, 4 ) }. R= {(1, 1 ) ,(2 ,2 ),(3, 3 ) , ( 4 ,4 ),(2, 1 ),( 2 ,4 )}. E R ={(1, 1 ) ,(2 ,2 ),(3, 3 ),( 4 ,4 ),(1 ,2 ),(1, 3 ) ,(1 ,4 )}. R= {( 1 ,1 ),(2 ,2 ),(3, 3 ) ,(4 ,4 ),(1, 2 ),( 1 ,3 ),(1 ,4 )} . Questão 5/5 - Tópicos de Análise Co nsi d eran do o s c o n t e úd os tr a b a lha do s n o l iv r o -ba s e An á li s e Ma t e mática , a s s ina le a alterna t iv a q ue r e s po nd e c o rr eta me nte a q u e lim x \u21923 x 2 \u22129 x \u22123 limx \u21923 x 2 \u22129x \u22123 é i g u a l: N o t a: 2 0.0 A 12 . 12. B 0.0. C 6. Vo c ê a ce r t o u! P o d e mo s fa z e r lim x \u21923 ( x+3)(x \u2212 3)( x \u22123)=lim x \u21923 (x+3)= 6 limx\u21923(x+3)(x\u22123)(x\u22123)= lim x\u21923(x+3)=6 (livro -b a se , p . 9 0-1 0 7). D 3. E \u22121 .

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