Aula 24 - Variáveis angulares e lineares

CAPÍTULO 14 – Rotação de corpos rígi dos Exemplo 14.2 Um disco gira em torno de seu eixo central, de forma que a posição angular q (t) de uma linha no disco é dada por : 𝜽 𝒕 = 𝟏, 𝟎𝟎 − 𝟏, 𝟐𝟎𝒕 + 𝟎, 𝟐𝟓𝟎 𝒕 𝟐 onde os ângulos estão em radianos e o tempo em segund os. A posição angular zero coincide com o semi-eixo x positivo. a) Com base na equ ação, diga qual a posição inicial da linha e se o disco começa girando no sentido horár io ou anti-horário. b) Faça o gráfico q (t) vs t do disco para o intervalo de 0 a 5 s. Esboce também a pos ição da linha para ca da instante. c) Para qual instan te t a linha no disco está alinhada com a posição angular zero? d) Em que instante t a posição angular atinge seu valor mínimo? E qual é esse valor? e) Faça o gráfico w (t) vs t do disco para o intervalo de 0 a 5 s . Esboce também o sentido do vetor w . Aula 024 1 Aula 024 2 CAPÍTULO 14 – Rotação de corpos rígi dos a) q 0 = 1, 00 rad ( 57 ,3 ° ) e inicia g irando no sentido horário pois w 0 = -1, 20 rad/s Respostas: Eixo de rotação q = 0 (posição angular zero) Linha no disco cujo movimento é dado pela equação do enunciado Aula 024 3 b) t (s) q (rad ) 0 1 1 0,05 2 -0,40 3 -0,35 4 0,20 5 1,25 CAPÍTULO 14 – Rotação de corpos rígi dos 3 q (rad) 1,0 -1,0 0,5 0 t (s) 2 4 1 3 5 -0,5 Aula 024 4 c) CAPÍTULO 14 – Rotação de corpos rígi dos 𝟎 = 𝟏 − 𝟏, 𝟐𝒕 + 𝟎, 𝟐𝟓 𝒕 𝟐 𝒕 ′ = 𝟏 , 𝟎𝟕 s 𝒕 ′′ = 𝟑, 𝟕𝟑 s d) Pontos extremos de uma função → 1ª derivada = 0 Inversão do sentido de movimento → velocidade = 0 𝒅𝜽 𝒅𝒕 = 𝝎 = 𝟎 𝟎 = −𝟏, 𝟐 + 𝟎, 𝟓𝟎𝒕 𝒕 = 𝟐, 𝟒𝟎 s 𝛉 = 𝟏 − 𝟏, 𝟐 𝟐, 𝟒 + 𝟎, 𝟐𝟓 𝟐, 𝟒 𝟐 𝜽 = −𝟎, 𝟒𝟒𝟎 ra d Aula 024 5 t (s) w (rad/s) 0 -1,2 1 -0,7 2 -0,2 3 0,3 4 0,8 5 1,3 w (rad/s) t (s) CAPÍTULO 14 – Rotação de corpos rígi dos e) 1,0 -1,0 0,5 0 -0,5 2 4 1 3 5 𝝎 𝝎 Aula 024 6 CAPÍTULO 14 – Rotação de corpos rígi dos 14.3 – Relações entre variáveis lineares e angulares A B Em uma volta compl eta : - Os pontos A e B percorrem a mesma distância angular ( Dq = 2 p rad) no mesmo intervalo de tempo D t . r B - Mas o ponto A descreve um círculo de raio r A enquanto o ponto B descreve um círculo maior , de raio r B . Portanto, as distâncias lineares que A e B percorrem são diferentes . r A Aula 024 7 CAPÍTULO 14 – Rotação de corpos rígi dos 14 .3.1 – Posição angular e posição linear q = 0 A q A s A r A r A Enquanto q é definida por um ângulo, a posição linear é definid a por uma distância linear , dada pe lo arco de círculo formado entre a linha de referencial e a posição da partícula . 𝜽 𝑨 = 𝒔 𝑨 𝒓 𝑨 𝒔 = 𝜽𝒓 A posição linear de um ponto no corpo depende de sua distância r ao eixo de rotação! s e r devem estar sempre em metros e q em rad. Aula 024 8 CAPÍTULO 14 – Rotação de corpos rígi dos 14 .3.2 – V elocidade angular e velocidade linear Derivando a equação anterior em relação a t ... 𝒅𝒔 𝒅𝒕 = 𝒅𝜽 𝒅𝒕 𝒓 A velocidade linear de um ponto no corpo depende de sua distância r ao eixo de rotação! v e r devem estar em [m /s] e [m], respectivamente; w em [rad/s] (A distância r ao eixo de rotação não varia durante o giro) 𝒗 = 𝝎𝒓 Aula 024 9 A B Em uma volta compl eta : Justamente por isso os pontos mais afastados do eixo de rotação precisam ter maior velocida de linear . r B O ponto A descreve um círculo de raio r A enquanto o ponto B descreve um círculo de raio r B . Portanto, as distâncias lineares que A e B percorrem são diferentes . r A CAPÍTULO 14 – Rotação de corpos rígi dos v A v B 𝝎 𝑨 = 𝝎 𝑩 𝒗 𝑨 𝒓 𝑨 = 𝒗 𝑩 𝒓 𝑩 Aula 024 10 CAPÍTULO 14 – Rotação de corpos rígi dos 14 .3.3 – Aceleração angular e aceleração li near Derivando a equação anterior em relação a t ... 𝒅𝒗 𝒅𝒕 = 𝒅𝝎 𝒅𝒕 𝒓 Como a velocidade linear de um ponto em movimento circular é sempre tangencial à trajetória , a aceleração calculada pela equação acima também será sempre tangencial à trajetória: 𝒂 = 𝜶𝒓 𝒂 𝒕 = 𝜶𝒓 a T e r devem ser em [m /s 2 ] e [m], respectivamente; a em [rad /s 2 ]

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