AVA 2 - Estatística - obesidade

AVA 2 – OBESIDADE Q1. Encontre o intervalo de 95% confiança para o peso médio dos pacientes. Interprete o resultado. Deixe bem explicado todos os cálculos efetuados. 1) Para calcular um intervalo de confiança precisamos dos seguintes dados: n = tamanho da amostra X = média amostral = (soma de todos os pesos dividido pelo numero total de elementos 36) S = desvio padrão amostral (já que o desvio padrão populacional é desconhecido. Para calcularmos o desvio padrão, precisamos primeiro calcular a variância. Se queremos o Desvio Padrão Amostral (S) precisamos calcular a Variância Amostral (s 2 ) t = coeficiente de confiança (quando o desvio padrão é desconhecido de origem, utilizamos a tabela t – student, para achar o coeficiente de confiança . Quando a amostra é muito grande, >30, podemos aproximar o valor de t ao valor de Z -score, utilizando a tabela de Distribuição Normal Padrão; porém para esse exercício usaremos a tabela t-student) Nível de Confiança = 95% 2) Agora que sabemos todos os dados que precisamos, podemos fazer os cálculos manualmente, ou utilizarmos uma ferramenta eletrônica como o Excel. Primeiro vamos calcular a média amostral do peso. Coloque todos os dados em forma de tabela, somam-se todos e dividimos por 36 (tamanho da amostra). Isso nos dará um valor de 76,54. Em seguida, calculamos a variância que pode ser feita utilizando uma fórmula eletrônica = vars (C1...C36) ou podemos utilizar a fórmula manual s 2 = ∑(x i – X) 2 . n-1 Cálculo da variânci a amostral no Excel Cálculo d o desvio padrão amostral no Excel O valor encontrado para a variância amostral foi de 75,66 . Para se encontrar então o desvio padrão amostral, basta calcular a raiz quadrada de da variância = S = √75,66 = 8,70 . O último valor que precisa ser calculado é o coeficiente t , que precisa ser encontrado na tabela t -student. Para isso, precisamos utilizar 2 valores que são: o nível de confiança (fornecida no problema) e o grau de liberdade, que é o valor total da amostra menos 1, ou seja: g . l . = n – 1 = 36 – 1 = 35 nível de confiança de 95% = 1 – a/2 = 1 – 0,95/2 = 0,05/2 = 0,025 Entã o t (35 ; 0,025) Utilizando a tabela t-student, procuramos a área resultante do encontro do número de 35 no lado vertical esquerdo e olhamos o valor de 0,025 na horizontal superior. A área encontrada foi de 2,0301 . Agora reunindo todos os dados que calculamos, nós temos: X = 76,54 (média amostral) n = 36 (tamanho da amostra) t (35 ; 0,025) = 2,0301 S = 8,70 (desvio padrão amostral) Agora, para finalizar, basta colocarmos todos esses dados na fórmula de intervalo de confiança: IC (µ ; 95%) = ( 76,54 – 2,0301 • 8,70 ; 76,54 + 2,0301 • 8,70 ) = √36 √36 ( 76,54 – 2,0301 • 8,70 ; 76,54 + 2,0301 • 8,70 ) = 6 6 ( 76,54 – 2,0301 • 1,45 ; 76,54 + 2,0301 • 1,45 ) = Resposta: IC (µ ; 95%) = ( 73,59 ; 79,48 ) Podemos afirmar então que, com 95% de confiança, o peso mé di o populacional µ e ntre 73,59 e 79,48 Quilogramas. Ou seja, se selecionarmos algumas outras amostras independentes com o mesm o tamanho (n = 36), podemos dizer que em 95% delas, o valor estimado do peso médio populacional est aria dentro do intervalo encontrad o. Q2. Trace um gráfico de dispersão para as variáveis Altura (X) e P eso (Y). Para traçar o gráfico de disper são, eu montei uma tabela no Excel com os valores de X e Y. A Altura (X) é a va riável independente, então ela tem que ser se lecionada primeiro, e posteriormente a variável dependente Peso (Y). Acr escentei a linha de tendência para facilitar a analise e a visualização do gráfico, e já podemos concluir que as variáveis tem um boa correlação positiva. Q3. Calcule e interprete o resultado do coeficiente de correlação linear de Pearson das variáveis altura (X) e peso (Y) de duas maneiras: a) manualmente, justificando os cálculos efetuados b) com auxílio de uma planilha eletrônica. Para calcular o coeficiente de correlação linear (r) precisamos uti lizar a seguinte formula: 1 o ) Montar uma tabela para encon trar os seguintes valores: ∑ X ∑ Y ∑ x.y ∑ x 2 ∑ y 2 (∑ x ) 2 (∑ y ) 2 61,97 2755 , 5 4759 , 16 106 , 85 213558 , 65 3840 , 28 759278 , 03 2 o ) Aplicar os valores na fórmula: r = 36 • 4759,16 – 61,97 • 2755,5 √ 36 • 106,85 – 3840,28 • √ 36 • 7592780,3 - 213558,65 r = 571 , 28 = 571,28 ≈ 0,728 ≈ 0,73 2,54 • 308,76 785,16 Podemos dizer então que as variáveis t em uma forte correlação positiva b) Para encontrar o coeficiente de correlação (r) utilizando o Excel somente, é bem mais fácil e rápido já que pod emos utilizar a função CORREL. Basta selecionar os valores das variáveis X e Y e já visualizamos o resultado. Q4. Encontre a reta de regressão com a variável dependente sendo o peso (Y) e a altura como variável independente (X) de duas maneiras: a) manualmente, justificando os cál culos efetuados b) com auxílio de uma planilha eletrônica. Para calcular a equação da reta de regressão , usaremos a seguinte fórmu la: 1 o ) Encontrar as seguintes variáveis manua lmente : a = coeficiente angular b = coeficiente linear x = valor médio da variável independente y = valor médio da variável dependente n = tamanho da amo stra (n = 36) Para encontrar o valor de a, vamos montar uma tabel a com os seguintes valores: ∑X ∑Y ∑ x.y ∑ x 2 (∑ x ) 2 61,97 2755,5 4759 , 16 106 , 85 3840 , 28 * realizei os cálc ulos no Excel a) Resposta : Y = 88,34 x - 75,529 b) Para encontrar a reta de regressão ut ilizando o Excel, basta clicar no gráfico de dispersão criado (em qualquer lugar), e ir em: Chart Design > Add Chart Element > Trendline > More trendli ne optio ns > Selecionar as opções : Displ ay Equation o n chart & Displ ay R squared v alue on chart 2 o ) Aplicar os valores em suas respectivas fórm ulas: a = 36 • 4759,16 – 61,97 • 2755,5 36 • 106,85 – 3840,28 a = 571 , 28 = 88,34 6,47 Y = 2755,5 = 76,54 36 X = 61,97 = 1,72 36 b = 76,54 – 88,34 • 1,72 = - 75,529 3 o ) Aplicar os valores encontrados acima na fórmula da equação da reta de regressão li near: Y = 88,34 x - 75,529 b) Os valores cal culados pelo Exc el foram: Y = 88,32 x – 75,529 (mesmos valores encontrad os quando feito manualm ente) R 2 = 0,5295 (a raiz quadrada de 0,5295 é igual a 0,73; valor de r enco ntrado acima) Q5. Com base no modelo de regressão linear determinado no item 4, qual será o IMC de uma pessoa com altura de 1,90 metros? Para calcular o IMC temos que util izar a seguinte fórmula: O valor da alt ura foi dado no enunciado = 1,90, p orém, para calcula rmos o IMC, também precisamos encontrar o peso. E para isso, utilizaremos a equação da reta da regressão encontrada acima , e substituiremos o valor de x na equa ção pela altura dada 1,90 : Y = 88,32 x – 75,529 = 88,32 • 1,90 – 75,592 = 92,32 IMC = 92,32 = 92,32 ≈ 25,6 (1 , 90) 2 3,61 Resposta : IMC ≈ 25,6

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