FT2_Unidade III_Parte 2

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Fenômenos de Transporte II 
Unidade 3 – Equações Gerais da Dinâmica dos Fluidos 
Profa. Maria das Graças Enrique da Silva 
1 
 
UNIDADE 3 
 
EQUAÇÕES GERAIS DA 
DINÂMICA DOS FLUIDOS 
(Parte II) 
Fenômenos de Transporte II 
Unidade 3 – Equações Gerais da Dinâmica dos Fluidos 
Profa. Maria das Graças Enrique da Silva 
2 
 
FORMA INTEGRAL DA EQUAÇÃO DA 
CONSERVAÇÃO DA MASSA 
(EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE) 
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3 
1 - Lei básica da conservação da massa para um sistema: 
0
dt
dm

Conservação da 
massa: 
onde:  


)sistema(m )sistema(
sistema ddmm
(massa constante em um sistema) 
2 – Como converter a lei básica da conservação da massa para um sistema em 
 
uma equação equivalente para um volume de controle 


 ddmm
m
Uma vez que: 
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4 
- Inicialmente, tomamos uma porção arbitrária de fluido em um 
escoamento (campo arbitrário de velocidades V(x,y,z,t) ), em um 
instante to. 
- O volume de controle é não deformável e está em repouso em relação 
ao eixo de referência x, y, z. 
- Essa forma inicial do sistema fluido é escolhida como o volume de 
controle a ser estudado. 
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5 
No instante to, 
o volume de controle 
coincide com o sistema. 
Após um tempo infinitesimal Δt, 
ou seja no tempo to+Δt, 
o sistema terá se movimentado 
para um novo local. 
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6 
Assim, no instante to + Δt, o sistema estará parcialmente fora do volume de 
controle, resultando em três regiões distintas: 
 
As REGIÕES I e II juntas definem o volume de controle. 
A REGIÃO I é definida de tal forma que sua massa entra no volume de controle 
no intervalo de tempo t. 
A REGIÃO III é definida de tal forma que sua massa deixa o volume de controle 
no tempo t. 
Logo, a REGIÃO II e REGIÃO III delimitam o sistema no instante to + Δt. 
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7 
Uma vez que a massa m, do fluido contido no sistema, não varia, 
pode-se realizar um balanço de massas no instante to e to+Δt : 
tt,IIItt,IIt,vc ooo
mmm  
tt,IIItt,Itt,vct,vc oooo
mmmm  
ou, rearranjando os termos: 
tt,IIItt,It,vctt,vc oooo
mmmm  
oo t,vct,s
mm 
tt,IIItt,IItt,s ooo
mmm  
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8 
(Equação 1) 
Dividindo-se toda a equação por Δt e aplicando-se o limite quando Δt → 0: 
t
mm
lim
t
mm
lim
tt,IIItt,I
0t
t,vctt,vc
0t
oooo




 



O lado esquerdo da Equação 1 torna-se: 
dt
dm
t
mm
lim vc
t,vctt,vc
0t
oo 



 
vc
vc d
dt
d
dt
dm
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9 
Assim, a Equação 1 pode ser escrita na forma: 
t
mm
limd
dt
d tt,IIItt,I
0t
vc
oo





 (Equação 2) 
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10 
Para avaliar o membro direito da Equação 2, 
 
 
será considerado primeiramente a sub-região 1 aumentada: 
t
mm
limd
dt
d tt,IIItt,I
0t
vc
oo






O vetor de área é o produto do vetor 
unitário normal a área (para fora da 
superfície de controle) pelo elemento de 
área dA. 
 
O vetor velocidade formará um ângulo  
qualquer com respeito a . 
 
Uma vez que o fluido está entrando no 
volume de controle, o ângulo  será maior 
que 90o (/2) sobre a superfície de 
controle comum a REGIÃO I. 
Ad

Ad

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11 
)tAdV(dm 

A massa contida na sub-região 1 será então: 
O vetor comprimento do cilindro é dado por: tVL 

 dAcosLd 
O volume do cilindro, cuja área está formando um ângulo  em relação 
ao seu comprimento é: 
Ad

)AdL(d


)tAdV(d 

 tAdVd 

ou, 
(onde cos é negativo 
porque >/2) 
na qual  é o valor médio da densidade 
ou, 
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12 
Assim, integrando sobre a superfície de controle comum a Região I, 
tem-se: 
 
SCI
tt,I )tAdV(m o

onde, mI,to+Δt é a massa total contida na REGIÃO I no tempo to+Δt. 
Lembrando, da Equação 2 já foram determinados: 
t
mm
limd
dt
d tt,IIItt,I
0t
vc
oo






(Equação 3) 
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13 
Seguindo um raciocínio lógico, a massa total contida na REGIÃO III é: 
 
SCIII
tt,III )tAdV(m o

(Equação 4) 
Na Equação 4, o cos é positivo (</2) para a massa que sai da 
superfície de controle. 
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14 
Substituindo as Equações 3 e 4 na Equação 2, tem-se: 
t
tAdVtAdV
limd
dt
d SCI SCIII
0t
VC









 



como a área da superfície de controle é independente do intervalo de 
tempo, Δt pode ser retirado do denominador e colocado sob o sinal de 
cada integral. Assim: 






  

SCI SCIII
0t
VC
AdVAdVlimd
dt
d 
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15 
  
SCI SCIIIVC
AdVAdVd
dt
d 
Ou ainda, uma vez que as expressões dentro da integral não dependem 
do tempo: 








  
SCI SCIIIVC
AdVAdVd
dt
d 
A superfície de controle total é composta pelas REGIÕES I e III, assim: 








 
SCVC
AdVd
dt
d 
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16 
FORMA INTEGRAL DA EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE 
 
SCVC
AdVd
dt
d 
taxa de decréscimo da 
massa dentro do VC 
= 
taxa de efluxo líquido 
da massa através da SC 
Como nenhuma limitação de tamanho foi imposta ao volume de 
controle, esta equação será válida para qualquer região, finita ou 
infinitesimal. 
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SIMPLIFICAÇÕES DA EQUAÇÃO INTEGRAL DA 
CONSERVAÇÃO DA MASSA 
 ESCOAMENTO PERMANENTE - se a massa total dentro do volume de 
controle for independente do tempo, a equação geral da continuidade 
pode ser simplificada da forma: 
0AdV
SC


 
SCVC
AdVd
dt
d 
0 
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18 
ESCOAMENTO INCOMPRESSÍVEL - se , tem-se a mesma 
simplificação dada para o caso de escoamento incompressível. 
0AdV
SC
 

ou, 
 
SCVC
AdVd
dt
d 
0 
0
t



0AdV
SC


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19 
ESCOAMENTO PERMANENTE, INCOMPRESSÍVEL E UNIFORME 
(SEÇÕES DE ENTRADA E SAÍDA) 
 
A Equação da Continuidade é dada pela expressão: 2211 AVAV 
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20 
ESCOAMENTO PERMANENTE, INCOMPRESSÍVELE NÃO-
UNIFORME (SEÇÕES DE ENTRADA OU SAÍDA) 
0AdV
SC


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21 
EXERCÍCIOS 
DE 
CONSERVAÇÃO DA MASSA 
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22 
EXEMPLO 1: Um fluido incompressível escoa de modo estacionário 
através de um duto com duas saídas, conforme mostra a figura abaixo. O 
escoamento é uniforme nas seções 1 e 2, porém o perfil de velocidades é 
parabólico na seção 3. Calcule a velocidade V1. 
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23 
Solução: Suponha que a superfície (parede) do duto seja designada por 4 
e tome um volume de controle tal que as superfícies de controle 1, 2 e 3 
sejam normais às direções de escoamento das respectivas seções. 
 
Escoamento permanente: 
 
Onde a integral representa a superfície de controle inteira, ou seja: 
0AdV
SC


0AdVAdVAdVAdVAdV
4321SC
 

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24 
Sendo a integral sobre a superfície de controle 4 igual a zero, uma vez 
que , fornecendo cosα = 0. 
 
A massa específica pode sair do símbolo da integral e ser cancelada, uma 
vez que o fluido é incompressível, assim, 
2


0AdVAdVAdVAdV
321SC









 

0AdVAdVAdV
321
 

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25 
Na seção 1, tem-se: 
 
 
Para a seção 2: 
 
 
Para a seção 3: 
 
 
Assim, 
1111
1
AVA180cosVAdV 

2222
2
AVA0cosVAdV 

rdr2
R
r
14rdr2VdA0cosVAdV
R
0
2
2
3
3
3
3
3

















 

0dr
R
r
r8AVAV
R
0
3
3
2211 







 








 0
R4
r
2
r
821V3
R
0
2
42
1  21 R12V3 
   11
3
2
A1
3
2
V 31 
s/ft
3
4
V1 
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26 
EXEMPLO 2: Fluxo de massa em uma junção de tubos. Escoamento 
permanente de água. Determinar a velocidade na seção 2. 
 
Dados: 
A1 = 0,2m
2 
V1 = 5m/s 
A2 = 0,2m
2 
V2 = ? 
A3 = 0,15m
2 
V3 = 12m/s 
ρ = 999kg/m3. 
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27 
Solução: 
 
A equação da continuidade para um volume de controle em, 
Regime permanente 
Escoamento incompressível 
Propriedades uniformes em cada seção 
 
 
É dada por: 
 
0AdV
SC


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28 
Na qual, a integral na superfície de controle é a soma das integrais em 
cada entrada e/ou saída do volume de controle, ou seja: 
0AdVAdVAdVAdV
321SC
 

0AdVAdVAdVAdV
321SC









 

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29 
Na seção 1, tem-se: 
 
 
Para a seção 2: 
 
 
Para a seção 3: 
 
 
Assim, 
1111
1
AVA180cosVAdV 

2222
2
AVA0cosVAdV 

3333
3
AVA0cosVAdV 

0AVAVAV 332211 
331122 AVAVAV 
2
3311
2
A
AVAV
V

 s/m4V2,0
15,0x122,0x5
V 22 

ou, 
O sinal negativo significa que 
na seção 2 existe um 
escoamento para dentro do 
volume de controle. 
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30 
EXEMPLO 3: Um fluido incompressível escoa de forma estacionária através de 
um duto. Ele incide sobre uma placa larga inclinada a 45o em relação à direção do 
escoamento na entrada. Supondo escoamento unidimensional, determine a 
velocidade na entrada, V1. 
Dados: 
A1 = 3ft
2; 
V1 =?; 
A2 = 2ft
2; 
V2 = 0,5ft/s; 
A3 = 1ft
2; 
V3 = 2ft/s. 
ρ = 1,94 slug/ft3. 
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31 
Solução: 
 
A equação da continuidade para um volume de controle em, 
Regime permanente 
Escoamento incompressível 
Propriedades uniformes em cada seção 
 
 
É dada por: 
 
0AdV
SC


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32 
Na qual, a integral na superfície de controle é a soma das integrais em 
cada entrada e/ou saída do volume de controle, ou seja: 
0AdVAdVAdVAdV
321SC
 

0AdVAdVAdVAdV
321SC









 

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33 
Na seção 1, tem-se: 
 
 
Para a seção 2: 
 
 
Para a seção 3: 
 
 
Assim, 
1111
1
AVA180cosVAdV 

2222
2
AVA0cosVAdV 

3333
3
AVA0cosVAdV 

0AVAVAV 332211 
ou, 
332211 AVAVAV 
1
3322
1
A
AVAV
V

 s/ft1V
3
2x1
2
1
x2
V 11 


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34 
EXEMPLO 4: Água a 20oC escoa através do cotovelo da 
figura abaixo, e descarrega para a atmosfera. O diâmetro 
do tubo é D1 = 10cm, enquanto que D2 = 3cm. Para uma 
vazão Q = 0,015m3/s. Calcule a velocidade nas seções de 
entrada e saída do tubo. Dados:  = 998 kg/m3 
R.: V1 = 1,9 m/s e V2 = 21,2 m/s 
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35 
EXEMPLO 5: A figura abaixo mostra um redutor em uma 
tubulação por onde flui gasolina ( = 720kg/m3). Avalie a 
velocidade uniforme da seção 2, V2. 
R.: V2 = 12 m/s 
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36 
EXEMPLO 6: Uma tubulação transporta 200kg/s de água (vazão 
mássica). Essa tubulação entra em um “T” com tubos de 5cm e 7cm 
de diâmetro. Calcular a velocidade e a vazão volumétrica no tubo de 
diâmetro maior. 
Dados:  = 998 kg/m3 
 
 
 
 
 
 
R.: V3 = 38,98m/s e Q3 = 0,15 m
3/s 
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37 
LISTA DE EXERCÍCIOS 2 
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38 
1- Considere o escoamento incompressível e permanente através do 
dispositivo mostrado na figura abaixo. Determine a vazão volumétrica 
através da abertura 3 e verifique se o fluxo é para fora ou para dentro 
do dispositivo. R.: Q3 = -5 ft
3/s (fluxo é para dentro do volume de 
controle) 
Fenômenos de Transporte II 
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39 
2- Água escoa através de um tanque grande, como mostra a figura 
abaixo, cujo diâmetro é 5ft. A velocidade da água em relação ao tanque 
é dada por: 
 
 
 
 
 
 
Qual a velocidade média da água que sai pelo pequeno tubo de 
diâmetro interno de 1ft? R.: V2 = 77,67ft/s 
s
ft
r25,6V 2
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40 
3- Água escoa em regime permanente através de um tubo de 
comprimento L e raio R = 3in. Calcule a velocidade uniforme, U, na 
entrada, se a distribuição de velocidades na saída é dada por: 
 
 
 
 
 
 
 
R.: U = 5 ft/s 
s
ft
10u
R
r
1uu
max
2
max















Fenômenos de Transporte II 
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41 
4- Um fluido, com massa específica de 1050kg/m3, flui em regime 
permanente através da caixa retangular mostrada na figura abaixo. Dados: 
A1 = 0,05m
2 
A2 = 0,01m
2 
A3 = 0,06m
2 
V1 = 4m/s 
V2 = 8m/s 
Determine a velocidade na seção 3, V3, sabendo que, o fluxo nas seções 1 
e 2 são para dentro do volume de controle. R.: V3 = 4,67m/s 
O escoamento através da área A3 é para fora ou para dentro do 
dispositivo? 
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42 
5- Um cotovelo redutor de 30o é mostrado na figura abaixo. O fluido é 
água ( = 998 kg/m3). Sabendo que a vazão volumétrica na seção 1 é 
dada por Q = V1A1, avalie a velocidade na seção 2, V2. 
R.: V2 = 13,6m/s