ESTUDO DE ESTRADAS E SEUS EFEITOS VIBRATÓRIOS EM UM MODELO SIMPLES DE UM VEÍCULO AUTOMOTIVO.

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Grupo de Pesquisa em Integridade e Inspeção
Vibrações Mecânicas 2019.2
	
Anne Louise Barão 
STUDY OF ROADS AND THEIR VIBRATORY EFFECTS IN A SIMPLE MODEL OF AN AUTOMOTIVE VEHICLE.
ESTUDO DE ESTRADAS E SEUS EFEITOS VIBRATÓRIOS EM UM MODELO SIMPLES DE UM VEÍCULO AUTOMOTIVO.
Barão, Anne Louise. 
Universidade federal da Paraiba – UFPB , Building K, 2nd floor, Room 199, 58051-900, Paraiba, Brazil
annelouisebarao@yahoo.com
Resumo. A suspensão é o sistema responsável pela estabilidade do veículo. Seu objetivo é absorver, por meio dos seus componentes, todas as irregularidades do solo. Também é o encarregado de manter as quatro rodas no chão e auxiliar no desempenho do automóvel. O seguinte documento busca estudar a dinâmica vertical de um veiculo através de diferentes estradas, avaliando a influencia da vibração. Como é um modelo simplificado de um automóvel não haverá um estudo aprofundado sobre a inserção do modelo para protótipo, porém, pode-se ter uma noção de impacto da estrada para possíveis passageiros. Com isso a resposta do deslocamento no domínio do tempo e frequência será obtida, para analise de impactos entre as estradas, utilizando-se do software matlab para comparativos.
Palavras-chaves: Matlab, vibrações, amortecimento, veículos, estrada, modelos, Fourier transformada.
INTRODUÇÃO
No mundo tecnológico de hoje, o homem está frequentemente sujeito a efeitos dinâmicos não naturais. Isso pode ser visto em elevadores, automóveis e, mais recentemente, em veículos aeroespaciais, para citar alguns exemplos práticos em que o homem está sujeito a aceleração excessiva. Vibrações excessivas também são muito comuns, por exemplo, em máquinas-ferramentas e brocas pneumáticas.
Uma vibração mecânica é o movimento oscilatório de uma partícula ou corpo em torno de uma posição de equilíbrio. Esse movimento oscilatório geralmente é causado quando o sistema é movido de sua posição de equilíbrio estável devido, por exemplo, ao acionamento de forças externas, deslocamentos de sua base ou choques para outros corpos. As forças que atuam no corpo quando essa solicitação cessa tendem a restaurar a configuração inicial e são chamadas forças de restituição [4].
Vários sistemas mecânicos e estruturais podem ser idealizados como sistemas de um grau de liberdade. Em muitos sistemas práticos, a massa é distribuída de modo que possa ser aproximada por uma única massa ou pontual; da mesma forma, a elasticidade do sistema também pode ser representada por uma mola com a qual ele pode fazer uma análise de movimento simplificada. Sistemas de um grau de liberdade são sistemas ideais, capazes de representar uma reduzida parte dos sistemas reais presentes no mundo físico, assim mesmo com grande simplificação.
Um sistema vibratório é dinâmico e suas variáveis são dependentes do tempo. Sua resposta depende, geralmente, das condições iniciais e das ações externas. Isto faz com que seja necessário estabelecer um procedimento de análise que permita o entendimento das influências de cada um dos fatores. O procedimento geral é o que começa com o estabelecimento de um modelo físico, determinação das equações diferenciais que governam o movimento (modelo matemático), solução destas equações e interpretação dos resultados.
APROFUNDANDO O ESTUDO 
Os fenômenos vibratórios estão fortemente presentes em sistemas veiculares como ônibus, automóveis, motos e máquinas agrícolas, por esse motivo, devemos aprofundar-se sobre esse assunto através da análise teórica e numérica desses fenômenos. A suspensão é um conjunto de peças que realiza a transmissão de energia de excitação do solo ao veículo conferindo dirigibilidade e conforto. Esse sistema é composto por um conjunto de molas e amortecedores que pode ser considerado como um filtro mecânico, pois pode permitir ou rejeitar faixas de frequências do espectro de excitação do solo [5].
Utilizando um modelo dinâmico pode-se projetar um sistema de suspensão para isolar vibrações, mantendo o contato do pneu com o solo e garantindo conforto dos passageiros. Um modelo dinâmico simula o desempenho de um sistema antes dele ser construído, simplificado, podendo trazer resultados teóricos muito próximos da realidade, e permitindo a otimização dos componentes com precisão, além de minimizar os custos decorrentes da produção de protótipo.
As figuras abaixo demonstram um modelo simplificado de grau de liberdade único de um sistema de suspensão de automóvel. Supondo que o automóvel está viajando por uma estrada difícil a uma constante velocidade horizontal quando encontrar um solavanco na estrada da forma da figura (1a) tem um comportamento na estrada e considerando isso se pode encontrar a resposta para este sistema. 
 
Figura 1a - Modelo de solavanco da estrada [2]. Figura 1b - Modelo simplificado do veiculo 
 de um grau de liberdade [2]. 
METODOLOGIA
O modelo foi constituído de um bloco de massa suspensa, e os demais componentes anexados ao chassi que integra os amortecedores, pneus e componentes da suspensão. Cada subsistema apresenta massa, rigidez e amortecimento. O movimento se restringe apenas a vertical, veja o modelo do problema disposto na Fig. 2.
Figura 2 - Modelo da estrada 1. Adaptado de [1].
A forma da pista é dada por:
(1)
Em que:
Para s = 0 ;
Para s = 0;
Para s = 
A partir desta analogia podem-se substituir os valores de por valores de tempo obtendo assim uma equação de deslocamento do veículo. Considerando t0 o tempo de passagem pela lombada fica:
 (2)
Se um sistema massa-mola-amortecedor for sujeito a uma excitação arbitrária de base por seu deslocamento velocidade ou aceleração, a equação do movimento pode ser expressa em termos de deslocamento relativo da massa. 
z = x-y (3)
+c+kz = -m = (4)
Que traz a seguinte solução em regime permanente: 
(5)
Em que r = .
Figura 3 - Resposta de um instrumento medidor de vibrações [9].
Para melhor explicação sobre este problema sugere-se entender este exemplo que demonstra a qualidade do que será encontrado na solução deste artigo. Neste exemplo tem-se: Um veículo como demonstrado na figura 3 vibra no sentido vertical enquanto percorre uma estrada irregular. O veiculo tem 1200 Kg, k = 400KN/m, = 0,5, v = 20Km/h. Determine a amplitude do deslocamento do veiculo, a estrada apresenta uma variação senoidal com amplitude Y = 0,05 m, = 6m. 
 Figura 4 - Demonstração do exemplo. Adaptado de [1].
Equações utilizadas:
 w = 2(6)
(8)
(9)
Tabela 1- Resposta para o exemplo explicativo.
	W (rad)
	Wn (rad)
	X (m)
	5.8178
	18.2574
	0,055048
Isso indica que uma colisão de 5 cm na estrada é transmitida como uma colisão de 5,5 cm para o chassi e os passageiros do carro. Assim, no presente caso, os passageiros sentem um movimento amplificado. 
A equação (3) é semelhante à com a substituição de x pela variável z e da função forçante F pelo termo -m. Por consequência, todos os resultados derivados para o sistema excitado por uma força são aplicáveis ao sistema excitado pela base também para z quando o termo F for substituído por -m. Para um sistema sub amortecido sujeito a excitação de base pode-se determinar o deslocamento relativo pra equação: 
. (10)
Considerando a resposta do sistema uma forma externa arbitrária F(𝜏), mostrada no gráfico, pode-se admitir que esta força fosse composta por uma série de impulsos de magnitudes variadas supondo que no tempo 𝜏 a força haja sobre o sistema por um curto período , o impulso que age em t = 𝜏 seja dado por F(𝜏. A qualquer tempo t, o tempo transcorrido desde o impulso é t –𝜏, portando t é a resposta do sistema em t, resultanteapenas desse impulso. 
(11)
Figura 5 - Uma função força arbitrária (não periódica) [1].
A resposta total no tempo t pode ser determinada somando todas as respostas aos impulsos elementares que agem em todos os tempos 𝜏. Substituindo o somatório por integração, , chegando a:
x(t) = (12)
 = y(s) (13)
(14)
Assim encontra-se o deslocamento relativo do veículo através da equação:
Z(t) =(𝜏) (15)
Utilizando as propriedades trigonométricas 
= (
Chega-se a:
 (16)
A resposta no tempo para este pulso é dada por (12) chegando a:
x(t) = 
Um segundo modelo de estrada foi proposto e desta vez mudou-se o tipo da lombada como demonstrado na figura 5.
Figura 6 - Modelo da estrada 2. Adaptado de [1].
Desta vez se define a função da lombada como:
y() = (17)
(18)
Solução da Equação Diferencial do Movimento (método clássico)
A equação (18) é uma equação diferencial ordinária, de segunda ordem, não homogênea com coeficientes constantes. Portanto, sua solução é composta de duas partes:
⁕1ª. Parte - Solução geral da equação diferencial homogênea associada, ou seja: Solução geral da equação diferencial:
(19)
⁕2ª. Parte – Uma solução particular (qualquer uma) da equação diferencial não homogênea dada pela equação F(t). A solução geral é composta da resposta da equação homogênea associada mais a solução particular, ou seja:
 (20)
Introduzindo as condições iniciais e a equação (12) encontra-se seu deslocamento relativo:
A reposta no tempo encontra-se por:
x(t) = , 0.
x(t) = , .
A partir de (12) obtemos a solução da equação (18) o deslocamento relativo:
Uma ultima analise de lombada sonora, poder-se-ia supor que o veiculo passa por diversas trepidações sequencialmente como em um movimento supostamente periódico. Supondo-se que tenha alguns solavancos em formato senoidal como descrita a figura abaixo. 
Figura 7 - Modelo da estrada 3. Adaptado de [1].
Aqui se faz uma consideração em que y(t) é periódico no tempo com tamanho de lombadas iguais e constante em determinado tempo. Para solução desta estrada se utilizou series de Fourier. Com deslocamento periódico o período é dado por . A função do solavanco é:
A equação do movimento pode ser expressa por:
 (21)
Em que:
 (22)
 (23)
=0
.
.
.
A resposta em regime permanente:
Possuindo como solução geral:
x(t) = xh(t)+xp(t)
Através das condições iniciais encontram-se os valores de: 
A TRANSFORMADA RÁPIDA DE FOURIER (FFT)
Embora a DFT (Transformada discreta de Fourier) seja o melhor procedimento matemático para determinar o conteúdo espectral de uma sequência no domínio do tempo, ela é muito ineficiente. Em 1965, um artigo foi publicado por J.W.Cooley e J.W.Tukey descrevendo um algoritmo eficiente para implementação da DFT, este algoritmo ficou conhecido como Transformada rápida de Fourier (FFT). Antes do advento da FFT, a DFT com muitos pontos estava restrita a grandes centros de pesquisas. Graças a Cooley e Tukey, e a indústria dos semicondutores, DFTs com 1024 pontos podem ser calculadas em apenas alguns segundos em computadores pessoais. [13]
. A FFT foi criada com o objetivo de diminuir complexidade (temporal) necessária para calcular uma DFT, visando aplicações em tempo real. A FFT usa um número reduzido de operações aritméticas para calcular a DFT em relação ao seu cálculo direto. As primeiras aplicações práticas da FFT usando computação digital foram resultantes de manipulações da DFT. 
Figura 8 - Correlação entre sinal no domínio do tempo e da frequência [7].
RESULTADOS E DISCURSSÕES
Figura 9 - Resposta do deslocamento do veiculo para o solavanco 1.
Figura 10 - Resposta em domínio do tempo para o veiculo para solavanco 1.
Figura 11 - Resposta em frequência para o solavanco 1.
Figura 12 - Resposta do deslocamento do veiculo para o solavanco 2.
Figura 13 - Resposta domínio do tempo para o veiculo para solavanco 2.
Figura 14 - Resposta em frequência para o solavanco 2.
Figura 15 - Resposta do deslocamento do veiculo para o solavanco 3.
Figura 16 Resposta domínio do tempo para o veiculo para solavanco 3.
Figura 17 - Resposta em frequência para o solavanco 3.
A utilização de um modelo simples trouxe uma análise mais focada a estrada que o veiculo passaria, esta são as respostas no tempo e na frequência dos deslocamentos relativos de massa das estradas. Estas respostas estão representando um modelo com amortecimento e razão de frequências, r = 0.31. Demonstrando assim as característica principal do sistema sub amortecido, passando pelas duas soluções homogênea e particular para relação de deslocamento relativo. 
As formas como foram interpretadas cada estrada mesmo sendo o mesmo veiculo com mesmas variáveis inicias trouxe diferenças nos deslocamentos relativos e com isso um resultado satisfatório. Nos deslocamentos tem-se a representação da lombada na estrada. Na resposta de deslocamento de massa do domínio da frequência e do tempo tem as caraterísticas do sistema sub amortecido e o sinal passado por elas. As respostas obtidas estão dentro do esperado para uma excitação de uma estrada com um sistema sub amortecido os deslocamentos trazem um gráfico de representação do movimento as respostas em frequência e no tempo demonstram o impacto do movimento e corroboram com o que foi estudado. O software matlab contribuiu com esta análise e trouxe sofisticação e precisão estudo. 
BIBLIOGRAFIA
[1] RAO, S., 2009. Vibrações Mecânicas. Pearson Prentice Hall, São Paulo, 4° edição.
[2] DUKKIPATI. R. V., 2007. Solving vibration analysis problems using matlab. Fairfield University Connecticut, 1st edition.
[3] KELLY, S. G., 2012. Mechanical Vibrations: Theory and Applications. Cengage Learning, Stamford, 1st edition.
[4] CORREIA. A. A., 2007. Vibrações de sistemas com um grau de liberdade. Instituto superior técnico, apostila. 
[5] DREHMER, L. R. C., 2012. Otimização de Parâmetros Concentrados de Suspensão para Conforto e Segurança Veicular. 98 p. Dissertação (Mestrado em Engenharia Mecânica) – Departamento de Engenharia Mecânica, Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre.
[6] GONSALVES. L. A., 2004. Um estudo sobre a transformada rápida de Fourier e seu estudo em processamento de sinais. Programa de pós-graduação em matemática Dissertação de mestrado. Porto Alegre - RS. 
[7] AMUCHASTEGUI. J. G. Análise de Vibração – Tipos de Sinais, Transformada de Fourier e OSD. Acesso em 25 de novembro de 2019 as 16h04min. <http://ensus.com.br/analise-de-vibracao-tipos-de-sinais-transformada-de-fourier-e-psd/>.
[8] WEISSTEIN, Eric W. from MathWorld, A Wolfram Web Resource. Fourier Transformed. Acesso em 25 de novembro de 2019 as 18h54min. <v http://mathworld.wolfram.com/FourierTransform.html>.
[9] SILVA. V. M. C.. 2017. Vibrações forçadas harmonicamente de sistemas de 1 GL. Notas de aula.
[10] BALAKUMAR BALACHANDRAN, EDWARD B. MAGRAB., 2009. Vibrations Second Edition.
[11] PENTEADO. C M. E R. HMath – Plotting: Response to half-sine pulse. Acesso em 30 de novembro de 2019 as 03h13min.< https://altairuniversity.com/wp-content/uploads/2012/08/Tutorial_ResponseHalfSineFunction.pdf>.
[12] BLEVINS, ROBERT D., 2016. Formulas for dynamics, acoustics and vibration. Edition first published.
[13] MELLO. C. A., (2019). Processamento Digital de Sinais. Universidade Federal do Pernambuco - UFPE. Apostila. 
APÊNDICE 
Programas no matlab 
Exemplo explicativo para solução do solavanco 1.
y = 0.05;
zeta = 0.5;
k = 400000; %N/m
m = 1200; %Kg
lambida = 6; %m
wn = sqrt(k/m); %rad
v = 20; %m/s
f = (v/lambida)/3.6; %Hertz
w = 2*pi()*f; %rad
r = w/wn;
 
Solavanco 1. 
clc
close all
syms xc(t) t tal 
t0 = 1.02; y1 = 0.05;%w=5.8178;
m=1200;k=400000;c=21908.88;v = 0.005;
wn=sqrt(k./m);
cc=2.*m.*wn;
eta=c./cc;
wd = wn.*(sqrt(1-eta.^2));
n = 512; T=wn;
wa = 2.5.*max(wn);
w = linspace(0,wa,n);r = w./wn;
 
o = atan((2.*eta.*r)./1-(r.^2));
 
t = linspace(0,4,512);
z = ((1./(((1-(r.^2)).^2)+(2.*eta.*r).^2)).*((1-r.^2).*sin(w.*t)-2.*eta.*r.*cos(w.*t)+exp(-eta.*wn.*t).*(2.*eta.*r.*cos(wn.*sqrt(1-eta.^2)*t)-r.*((1-r.^2-2*(eta.^2))/sqrt(1-eta.^2)).*sin(wn.*sqrt(1-eta.^2)*t))));
z1 = ((1./(((1-(r.^2)).^2)+(2.*eta.*r).^2)).*((1-r.^2).*sin(w.*(t-t0))-2.*eta.*r.*cos(w.*(t-t0))+exp(-eta.*wn.*(t-t0)).*(2.*eta.*r.*cos(wn.*sqrt(1-eta.^2)*(t-t0))-r.*((1-r.^2-2*(eta.^2))/sqrt(1-eta.^2)).*sin(wn.*sqrt(1-eta.^2)*t))));
if t>=0 & t<=t0
gt = (y1./k).*z;
else t > t0
 gt =(y1./k).*(z+z1);
end 
fin = gt.*(y1.*(r.^2/sqrt(((1-(r.^2)).^2)+((2.*r.*eta).^2))).*sin(w.*t-o));
figure(1)
plot(t,gt)
xlabel('t(s)')
ylabel('x(m)')
figure(2)
plot(t,fin)
xlabel('t(s)')
ylabel('x(m)')
figure(3)
X = abs(fft(fin));
plot(w,X),title('FFT'),ylabel('x[m]')
Solavanco 2.
clc
close all
 
t0 = 1; y1 = 0.1;%w=5.8178;
m=1200;k=400000;c=21908.88;
wn=sqrt(k./m);
cc=2*m*wn;
eta=c./cc;
wd = wn*(sqrt(1-eta.^2));
n = 5096;
wa = 2.5.*max(wn);
w = linspace(0,wa,n);
r = w/wn;
o = atan((2.*eta.*r)/1-(r.^2));
t = linspace(0,5,5096);
if t>=0 & t<=t0
 xt = (2.*y1/(k.*wn.*t0)).*((wd-2.*eta).*sqrt(1-eta.^2)+exp(-wn.*eta.*t).*(2*eta.*sqrt(1-eta.^2).*cos(wd.*t)-1-2.*eta.^2.*sin(wd.*t)));
else t>t0
 xt = (2.*y1/(k.*wn.*t0)).*(exp(-wn.*eta.*t).*(2.*eta.*sqrt(1-eta.^2).*cos(wd.*t)-1-2.*eta.^2.*sin(wd.*t))+exp(-wn.*eta.*(t-
t0)).*((wn.*t0-2.*eta).*sqrt(1-eta^2).*cos(wd.*(t-t0))+(1+eta.*wn.*t0-2.*eta^2).*sin(wd.*(t-t0))));
end
fin = xt.*(y1.*(r.^2/sqrt(((1-(r.^2)).^2)+((2.*r.*eta).^2))).*sin(w.*t-o));
figure(1)
plot(t,xt)
title('Deslocamento')
xlabel('t(s)')
ylabel('x(m)')
figure(2)
plot(t,fin)
xlabel('t(s)')
ylabel('x(m)')
figure(3)
X = abs(fft(fin));
plot(w,X),title('FFT')
xlabel('t(s)')
ylabel('Frequência[Hz]')
Solavanco 3. 
clc
close all
 
t0 = 1; y1 = 0.05;%w=5.8178;
m=1200;k=4000000;c=21908.88;
wn=sqrt(k./m);
cc=2.*m.*wn;
eta=c./cc;
wd = wn.*(sqrt(1-eta.^2));
n = 512;
wa = 2.5.*max(wn);
w = linspace(0,wa,n);
r = w./wn;
o = atan((2.*eta.*r)/1-(r.^2));
t = linspace(1,4,512);
 
h = 0.0000000172.*exp(9.128.*t).*cos(wd.*t-0.5);
a0 = 4.*y1./(pi.*2.*k);
a1 = ((4.*y1./3.*pi.*k)./sqrt((1-(r).^2).^2+(2.*eta.*r).^2)).*cos(w.*t-o);
a2 = ((-4.*y1./15.*pi.*k)./sqrt((1-(r).^2).^2+(2.*eta.*r).^2)).*cos(w.*t-o);
a3 = ((4.*y1./35.*pi.*k)./sqrt((1-(r).^2).^2+(2.*eta.*r).^2)).*cos(w.*t-o);
xb = a0 + a1 + a2 + a3 + h ;
xt = xb.*(y1.*(r.^2/sqrt(((1-(r.^2)).^2)+((2.*r.*eta).^2))).*sin(w.*t-o));
Xo=2;
Xpo=2;
 
Xb=sqrt(((Xpo+eta.*wn*Xo)./(wn.*sqrt(1-eta.^2))).^2+(Xo).^2);
fi=atan((Xo.*wn.*sqrt(1-eta.^2))/(Xpo+eta.*wn.*Xo));
xh=Xb.*exp(-eta.*wn.*t).*sin(sqrt(1-eta.^2).*wn.*t+fi);
z = xt+xh;
figure(1)
plot(t,z)
xlabel('t(s)')
ylabel('x(m)')
figure(2)
plot(t,xh)
xlabel('t(s)')
ylabel('x(m)')
figure(3)
X = abs(fft(xh));
plot(w,X),title('FFT'),ylabel('x[m]'),xlabel('Frequência[Hz]')
012345
t(s)
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
x
(
m
)
10
-4
00.511.522.533.54
t(s)
-1
-0.5
0
0.5
1
x
(
m
)
10
-6
05101520
Frequência (Hz)
0
0.5
1
1.5
2
A
m
p
l
i
t
u
d
e
 
x
[
m
]
10
-5
FFT
00.511.522.533.544.55
t(s)
-4
-3
-2
-1
0
1
x
(
m
)
10
-3
Deslocamento
00.511.522.533.544.55
t(s)
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
x
(
m
)
10
-5
05101520
t(s)
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
F
r
e
q
u
ê
n
c
i
a
[
H
z
]
10
-3
FFT
11.522.533.54
t(s)
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
x
(
m
)
11.522.533.54
t(s)
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
x
(
m
)
10
-4
0510152025
Frequência[Hz]
0
10
20
30
40
50
60
70
80
x
[
m
]
FFT