Risco_e_retorno_2016

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Risco	
  e	
  Retorno	
  
Ariel	
  Levy	
  
2016	
  
	
  Introdução	
  
•  O	
  conceito	
  de	
  risco	
  	
  é	
  amplamente	
  conhecido	
  
em	
  sua	
  forma	
  coloquial,	
  representa	
  ter	
  um	
  
acidente,	
  de	
  natureza	
  conhecida,	
  frente	
  a	
  um	
  
resultado	
  esperado.	
  
•  O	
  risco	
  advém	
  da	
  exposição	
  o	
  a	
  uma	
  condição	
  
adversa	
  de	
  natureza	
  conhecida,	
  e	
  cuja	
  
ocorrência,	
  embora	
  provável,	
  não	
  pode	
  ser	
  
prevista	
  com	
  exaIdão.	
  	
  
Teoria	
  da	
  UIlidade	
  Esperada	
  
•  John	
  von	
  Neumann	
  e	
  Oskar	
  Morgenstein	
  
(1944)	
  	
  
•  Teoria	
  de	
  Jogos	
  –	
  decisões	
  sob	
  incerteza	
  
– probabilidades	
  subjeIvas	
  dos	
  prováveis	
  
resultados.	
  
–  	
  Na	
  práIca	
  os	
  gestores	
  quando	
  tomam	
  
probabilidades	
  subjeIvas	
  se	
  uIlizam	
  de	
  uma	
  
distribuição	
  triangular,	
  caracterizada	
  por	
  associar	
  
uma	
  probabilidade	
  a	
  cada	
  um	
  dos	
  três	
  cenários:	
  
um	
  oImista,	
  um	
  normal,	
  e	
  outro	
  pessimista.	
  	
  
Risco	
  e	
  Retorno	
  de	
  1	
  aIvo	
  
•  Presume-­‐se	
  que	
  um	
  gestor	
  balize	
  suas	
  
decisões	
  numa	
  busca	
  soluções	
  óImas	
  movido	
  
pela	
  criação	
  de	
  valor	
  para	
  o	
  acionista.	
  	
  
•  Estas	
  decisões	
  importam	
  sempre	
  em	
  trocas,	
  
ou	
  ”trade-­‐off”,	
  entre	
  oportunidades	
  de	
  menor	
  
risco	
  ou	
  maior	
  retorno.	
  
Comportamento	
  do	
  Agente	
  
4
Tabela 1.1: Classificação do investidor quanto as preferências frente ao risco
fonte: Elaboração do autor
Assim, os agentes variam em sua predisposição quanto a tomar riscos. A esta altura, você deverá
estar se perguntando como é o seu comportamento frente ao risco? Tenha calma, normalmente alteramos
nosso comportamento frente as oportunidades e cenários a que somos expostos ao longo do tempo.
Para$refle'r:$!
Os!par'cipantes!de!uma!apólice!de!seguros!têm!que!predisposição!frente!ao!risco?!!
E!a!companhia!de!seguros?!
Uma outra pergunta natural seria: Como medimos o risco de um ativo, projeto, ou processo?
Como o risco está associado a variação dos resultados obtidos pela repetição do processo utilizamos a
estat́ıstica do desvio padrão para sua mensuração e o coeficiente de variação para comparação. Como
vimos, o retorno esperado (valor médio) pode ser obtido pela equação 1.1, que em sua forma mais geral
será:
X̄ =
nX
i=1
⇡
i
X
i
(1.2)
Onde X
i
representa o resultado obtido na iésima observação, e X̄ o valor médio. O desvio padrão poderá
ser obtido através do cálculo da variância representada por �2:
�
2 =
1
n
nX
i=1
⇡
i
(X
i
� X̄)2 1 (1.3)
Então o desvio padrão será obtido a partir da variância.
� =
p
�
2 (1.4)
Estas fórmulas se aplicam tento a valores monetários como a taxas de retorno do agente, que doravante
denominaremos por K
a
. Apenas para que a notação seja clara, K̂
a
se trata do valor estimado, portanto
relacionado ao futuro enquanto que K̄
a
refere-se aos valores médios observados , portanto ao passado.
1Fórmula de cálculo para uma população. Quando for uma amostra 1/n deverá ser substituido por 1/(n� 1). Como em
finanças normalmente utilizamos amostras muito grande cujos valores se confundem como o da populacão esta aproximação
é aceitável.
HARA
As utilidades CRRA e CARA podem ser derivadas de outra classe
de utilidades denominada HARA cuja forma é:
uH,↵,�,!,⌘(W ) := ↵(⌘ + !W )
1��
Winter 2011/2012 MS&E348/Infanger 10
Utility Functions
Figura : Utilidades
Qual a idéia por trás disto tudo?
Winter 2011/2012 MS&E348/Infanger 12
Increasing and Decreasing Relative Risk Aversion
Represented as piecewise CARA approximation (Infanger, 2006)
CARA
CRRA
W
ART
Increasing RRA 
Decreasing RRA
Figura : Tolerância ao Risco
Qual	
  a	
  idéia?	
  
•  Depois	
  de	
  um	
  crash	
  do	
  mercado	
  (com	
  relevante	
  
perda	
  no	
  porIfolio	
  de	
  ações)	
  qual	
  o	
  
comportamento	
  de	
  um	
  invesIdor	
  que	
  apresente	
  
sua	
  aversão	
  ao	
  risco	
  conforme	
  uma	
  crescente	
  
RRA?	
  	
  
•  RRA	
  crescente	
  →	
  Provavelmente	
  não	
  tomará	
  
aItude	
  ou	
  vender	
  ́a	
  parte	
  de	
  suas	
  ações.	
  
Assumindo	
  uma	
  aItude	
  mais	
  conservadora.	
  	
  
•  RRA	
  decrescente	
  →	
  Rebalanceará	
  seu	
  pordolio	
  
com	
  maior	
  quanIdade	
  de	
  ações.	
  	
  
4
Tabela 1.1: Classificação do investidor quanto as preferências frente ao risco
fonte: Elaboração do autor
Assim, os agentes variam em sua predisposição quanto a tomar riscos. A esta altura, você deverá
estar se perguntando como é o seu comportamento frente ao risco? Tenha calma, normalmente alteramos
nosso comportamento frente as oportunidades e cenários a que somos expostos ao longo do tempo.
Para$refle'r:$!
Os!par'cipantes!de!uma!apólice!de!seguros!têm!que!predisposição!frente!ao!risco?!!
E!a!companhia!de!seguros?!
Uma outra pergunta natural seria: Como medimos o risco de um ativo, projeto, ou processo?
Como o risco está associado a variação dos resultados obtidos pela repetição do processo utilizamos a
estat́ıstica do desvio padrão para sua mensuração e o coeficiente de variação para comparação. Como
vimos, o retorno esperado (valor médio) pode ser obtido pela equação 1.1, que em sua forma mais geral
será:
X̄ =
nX
i=1
⇡
i
X
i
(1.2)
Onde X
i
representa o resultado obtido na iésima observação, e X̄ o valor médio. O desvio padrão poderá
ser obtido através do cálculo da variância representada por �2:
�
2 =
1
n
nX
i=1
⇡
i
(X
i
� X̄)2 1 (1.3)
Então o desvio padrão será obtido a partir da variância.
� =
p
�
2 (1.4)
Estas fórmulas se aplicam tento a valores monetários como a taxas de retorno do agente, que doravante
denominaremos por K
a
. Apenas para que a notação seja clara, K̂
a
se trata do valor estimado, portanto
relacionado ao futuro enquanto que K̄
a
refere-se aos valores médios observados , portanto ao passado.
1Fórmula de cálculo para uma população. Quando for uma amostra 1/n deverá ser substituido por 1/(n� 1). Como em
finanças normalmente utilizamos amostras muito grande cujos valores se confundem como o da populacão esta aproximação
é aceitável.
Como	
  medimos	
  o	
  risco	
  de	
  um	
  aIvo,	
  
projeto,	
  ou	
  processo?	
  	
  
•  O	
  resultado	
  esperado	
  pode	
  ser	
  obIdo	
  por	
  
(1)	
  
•  A	
  variância	
  pode	
  ser	
  obIda	
  por:	
  
(2)	
  
•  O	
  risco	
  está	
  associado	
  a	
  variação	
  dos	
  resultados	
  obIdos	
  pela	
  
repeIção	
  do	
  processo,	
  que	
  pode	
  ser	
  obIdo	
  por:	
  	
  
(3)	
  
4
Tabela 1.1: Classificação do investidor quanto as preferências frente ao risco
fonte: Elaboração do autor
Assim, os agentes variam em sua predisposição quanto a tomar riscos. A esta altura, você deverá
estar se perguntando como é o seu comportamento frente ao risco? Tenha calma, normalmente alteramos
nosso comportamento frente as oportunidades e cenários a que somos expostos ao longo do tempo.
Para$refle'r:$!
Os!par'cipantes!de!uma!apólice!de!seguros!têm!que!predisposição!frente!ao!risco?!!
E!a!companhia!de!seguros?!
Uma outra pergunta natural seria: Como medimos o risco de um ativo, projeto, ou processo?
Como o risco está associado a variação dos resultados obtidos pela repetição do processo utilizamos a
estat́ıstica do desvio padrão para sua mensuração e o coeficiente de variação para comparação. Como
vimos, o retorno esperado (valor médio) pode ser obtido pela equação 1.1, que em sua forma mais geral
será:
X̄ =
nX
i=1
⇡
i
X
i
(1.2)
Onde X
i
representa o resultado obtido na iésima observação, e X̄ o valor médio. O desvio padrão poderá
ser obtido através do cálculo da variância representada por �2:
�
2 =
1
n
nXi=1
⇡
i
(X
i
� X̄)2 1 (1.3)
Então o desvio padrão será obtido a partir da variância.
� =
p
�
2 (1.4)
Estas fórmulas se aplicam tento a valores monetários como a taxas de retorno do agente, que doravante
denominaremos por K
a
. Apenas para que a notação seja clara, K̂
a
se trata do valor estimado, portanto
relacionado ao futuro enquanto que K̄
a
refere-se aos valores médios observados , portanto ao passado.
1Fórmula de cálculo para uma população. Quando for uma amostra 1/n deverá ser substituido por 1/(n� 1). Como em
finanças normalmente utilizamos amostras muito grande cujos valores se confundem como o da populacão esta aproximação
é aceitável.
4
Tabela 1.1: Classificação do investidor quanto as preferências frente ao risco
fonte: Elaboração do autor
Assim, os agentes variam em sua predisposição quanto a tomar riscos. A esta altura, você deverá
estar se perguntando como é o seu comportamento frente ao risco? Tenha calma, normalmente alteramos
nosso comportamento frente as oportunidades e cenários a que somos expostos ao longo do tempo.
Para$refle'r:$!
Os!par'cipantes!de!uma!apólice!de!seguros!têm!que!predisposição!frente!ao!risco?!!
E!a!companhia!de!seguros?!
Uma outra pergunta natural seria: Como medimos o risco de um ativo, projeto, ou processo?
Como o risco está associado a variação dos resultados obtidos pela repetição do processo utilizamos a
estat́ıstica do desvio padrão para sua mensuração e o coeficiente de variação para comparação. Como
vimos, o retorno esperado (valor médio) pode ser obtido pela equação 1.1, que em sua forma mais geral
será:
X̄ =
nX
i=1
⇡
i
X
i
(1.2)
Onde X
i
representa o resultado obtido na iésima observação, e X̄ o valor médio. O desvio padrão poderá
ser obtido através do cálculo da variância representada por �2:
�
2 =
1
n
nX
i=1
⇡
i
(X
i
� X̄)2 1 (1.3)
Então o desvio padrão será obtido a partir da variância.
� =
p
�
2 (1.4)
Estas fórmulas se aplicam tento a valores monetários como a taxas de retorno do agente, que doravante
denominaremos por K
a
. Apenas para que a notação seja clara, K̂
a
se trata do valor estimado, portanto
relacionado ao futuro enquanto que K̄
a
refere-se aos valores médios observados , portanto ao passado.
1Fórmula de cálculo para uma população. Quando for uma amostra 1/n deverá ser substituido por 1/(n� 1). Como em
finanças normalmente utilizamos amostras muito grande cujos valores se confundem como o da populacão esta aproximação
é aceitável.
4
Tabela 1.1: Classificação do investidor quanto as preferências frente ao risco
fonte: Elaboração do autor
Assim, os agentes variam em sua predisposição quanto a tomar riscos. A esta altura, você deverá
estar se perguntando como é o seu comportamento frente ao risco? Tenha calma, normalmente alteramos
nosso comportamento frente as oportunidades e cenários a que somos expostos ao longo do tempo.
Para$refle'r:$!
Os!par'cipantes!de!uma!apólice!de!seguros!têm!que!predisposição!frente!ao!risco?!!
E!a!companhia!de!seguros?!
Uma outra pergunta natural seria: Como medimos o risco de um ativo, projeto, ou processo?
Como o risco está associado a variação dos resultados obtidos pela repetição do processo utilizamos a
estat́ıstica do desvio padrão para sua mensuração e o coeficiente de variação para comparação. Como
vimos, o retorno esperado (valor médio) pode ser obtido pela equação 1.1, que em sua forma mais geral
será:
X̄ =
nX
i=1
⇡
i
X
i
(1.2)
Onde X
i
representa o resultado obtido na iésima observação, e X̄ o valor médio. O desvio padrão poderá
ser obtido através do cálculo da variância representada por �2:
�
2 =
1
n
nX
i=1
⇡
i
(X
i
� X̄)2 1 (1.3)
Então o desvio padrão será obtido a partir da variância.
� =
p
�
2 (1.4)
Estas fórmulas se aplicam tento a valores monetários como a taxas de retorno do agente, que doravante
denominaremos por K
a
. Apenas para que a notação seja clara, K̂
a
se trata do valor estimado, portanto
relacionado ao futuro enquanto que K̄
a
refere-se aos valores médios observados , portanto ao passado.
1Fórmula de cálculo para uma população. Quando for uma amostra 1/n deverá ser substituido por 1/(n� 1). Como em
finanças normalmente utilizamos amostras muito grande cujos valores se confundem como o da populacão esta aproximação
é aceitável.
Exemplo	
  1	
  
Uma	
  empresa	
  possui	
  seu	
  resultado	
  diretamente	
  
relacionado	
  com	
  o	
  estado	
  da	
  economia	
  de	
  forma	
  
que:	
  Se	
  a	
  economia	
  esIver	
  em	
  amplo	
  crescimento	
  
seu	
  retorno	
  será	
  de	
  6%;	
  Se	
  a	
  economia	
  esIver	
  
crescendo	
  moderadamente	
  seu	
  retorno	
  seráde	
  4%;	
  
E	
  seu	
  retorno	
  será	
  de	
  apenas	
  2%	
  no	
  caso	
  de	
  uma	
  
recessão.	
  Sabendo	
  que	
  os	
  cenários	
  apresentados	
  
possuem	
  probabilidades	
  de	
  30%	
  ,	
  40%	
  e	
  30%	
  
respecIvamente,	
  pede-­‐se	
  determinar	
  o	
  retorno	
  
esperado	
  e	
  o	
  risco	
  da	
  empresa.	
  	
  
	
  
Exemplo	
  1	
  -­‐	
  	
  solução	
  
Assim utilizamos na tabela a equação (2) para determinar 
 a taxa de retorno esperada. E a equação (3) para o 
 cálculo da variância. Então ! = ! 0,008 =0,089442719 
Estabelecendo	
  os	
  limites	
  	
  e	
  
probabilidades	
  associadas	
  a	
  resultados.	
  
 76
3 – As Áreas Sob a Curva Normal 
Quanto maior for o expoente da fórmula da curva normal, qualquer delas 
(inclusive a padronizada – veja fórmulas 3.1 e 3.3), mais rapidamente a curva 
vai caindo para a abscissa; mas ele nunca chegará a zero. De sorte que as caudas 
da curva vão até o infinito; elas são assíntotas. Assim, a curva normal cobre 
uma área que vai do -� a +�. As áreas sob a curva são dividas pelo desvio-
padrão em torno da média. Quando você trabalha com a curva normal 
padronizada, a média é 0 e o desvio-padrão é 1. Quando não for a padronizada, 
então você tem que calcular a média e o DP da distribuição e trabalhar com os 
dois parâmetros. Você vê, então, que trabalhar com a curva normal padronizada 
facilita enormemente a vida da gente. De qualquer forma, o que define as áreas 
sob a curva são os DP, ou os z no caso da curva normal padronizada. E, para 
cada DP ou z em torno da média, corresponde uma proporção bem definida de 
casos da população que caem dentro deles. Veja, por exemplo, o caso com a 
curva normal padronizada na figura 3-4. 
 
-2
34,13 13,5913,59 2,14
0,130,13
2,14 34,13
-1 0 +1 +2 +3-3z
99,74%
68,26%
95,44%
Figura 3-4. Áreas da curva normal e percentagem de casos 
 
Embora a curva normal vá até o infinito (positivo e negativo), você vê 
que a quase totalidade dos casos cai entre -3 e +3 DP (ou z); de fato, 99,74% 
dos casos. 
 
4 – Utilizando as Tabelas da Curva 
Normal 
Qualquer livro de estatística traz a tabela da curva normal, muitas vezes 
apropriadamente intitulada como proporções da área sob a curva normal 
padronizada. As informações contidas nessa tabela não são sempre idênticas 
Exercício:	
  	
  
a)	
  Calcule	
  os	
  limites	
  a	
  95,44%	
  de	
  certeza	
  para	
  o	
  
resultado	
  da	
  empresa	
  do	
  exemplo	
  1.	
  	
  
b)	
  UIlizando	
  a	
  tabela	
  da	
  	
  normal	
  padronizada	
  
disponível	
  ao	
  final	
  do	
  capítulo,	
  refaça	
  para	
  o	
  
nível	
  de	
  90%	
  de	
  certeza.	
  
	
  
Exercício	
  
Pelo	
  exposto	
  fica	
  claro	
  que	
  o	
  agente	
  avesso	
  a	
  
risco	
  escolherá	
  dentre	
  dois	
  projetos	
  ou	
  aIvos	
  	
  
com	
  igual	
  valor	
  esperado	
  de	
  retorno	
  aquele	
  que	
  
apresentar	
  o	
  menor	
  desvio	
  padrão.	
  Assim,	
  seu	
  
resultado	
  terá	
  um	
  menor	
  intervalo	
  de	
  oscilação.	
  
(Você	
  é	
  capaz	
  de	
  mostrar	
  isto	
  graficamente?)	
  
	
  
Como	
  comparar	
  os	
  riscos?	
  
•  Coeficiente	
  de	
  variação	
  (CV).	
  	
  
(4)	
  
	
  
6
b)Utilizando a tabela da normal padronizada dispońıvel ao final do caṕıtulo, refaça para o ńıvel de 90%
de certeza.
Pelo exposto, fica claro que o agente avesso a risco escolherá dentre dois projetos ou ativos
com igual valor esperado de retorno aquele que apresentar o menor desvio padrão. Assim, seu resultado
terá um menor intervalo de oscilação. (Você é capaz de mostrar isto graficamente?) Mas, como se deve
comparar projetos ou ativos de diferentes retornos? Neste caso se utilizará uma medida relativa de risco,
que denomina-se por coeficiente de variação (CV). O coeficiente de variação pode ser interpretado como
uma medida de eficiência da exposição ao risco. Seu cálculo corresponde a razão entre o desvio padrão e o
retorno esperado. E representa quantas unidades adicionais de risco se está admitindo por cada unidade
de retorno. Portanto, quanto menor o CV melhor o projeto, ativo avaliado ou processo avaliado.
CV =
�
K
(1.5)
Exemplo 2 As decisões financeiras devem ser tomadas em função dos retornos e dos riscos esperados.
O risco de um ativo individual, uma ação, por exemplo, pode ser devidamente avaliado através da vari-
abilidade dos retornos esperados. Portanto, a comparação das distribuições probabilisticas dos retornos,
relativas a cada ativo individual, possibilita a quem toma decisões perceber os diferentes graus de risco.
Considerando a análise abaixo dos dados estat́ısticos relativos a 5 ativos responda as próximas questões:
a) Qual o ativo mais arriscado? Justifique.
b) Ordene os ativos isoladamente mais eficientes?
Solução:
O ativo de maior risco é o ativo A, porque apresenta o maior desvio padrão. Se calcularmos o CV de cada
ativo,
Então, por ordem decrescente de eficiência: A, D, C, E, B.
Até aqui examinou-se como obter o retorno esperado de um projeto ou ativo, a partir dos retornos
ponderados, observados ou estimados, entretanto os ativos são transacionados no mercado e portanto
apreçados em moeda corrente. A partir dos preços observados podemos obter o retorno de um ativo.
Exemplo	
  2	
  
As	
  decisões	
  financeiras	
  devem	
  ser	
  tomadas	
  em	
  função	
  dos	
  retornos	
  e	
  dos	
  
riscos	
  esperados.	
  O	
  risco	
  de	
  um	
  aIvo	
  individual,	
  uma	
  ação,	
  por	
  exemplo,	
  
pode	
  ser	
  devidamente	
  avaliado	
  através	
  da	
  variabilidade	
  dos	
  retornos	
  
esperados.	
  Portanto,	
  a	
  comparação	
  das	
  distribuições	
  probabilísIcas	
  dos	
  
retornos,	
  relaIvas	
  a	
  cada	
  aIvo	
  individual,	
  possibilita	
  a	
  quem	
  toma	
  decisões	
  
perceber	
  os	
  diferentes	
  graus	
  de	
  risco.	
  	
  Considerando	
  a	
  análise	
  abaixo	
  dos	
  
dados	
  estansIcos	
  relaIvos	
  a	
  5	
  aIvos	
  responda	
  as	
  próximas	
  questões:	
  
	
  
6
b) Utilizando a tabela da normal padronizada dispońıvel ao final do caṕıtulo, refaça para o ńıvel de 90%
de certeza.
Pelo exposto, fica claro que o agente avesso a risco escolherá dentre dois projetos ou ativos
com igual valor esperado de retorno aquele que apresentar o menor desvio padrão. Assim, seu resultado
terá um menor intervalo de oscilação. (Você é capaz de mostrar isto graficamente?) Mas, como se deve
comparar projetos ou ativos de diferentes retornos? Neste caso se utilizará uma medida relativa de risco,
que denomina-se por coeficiente de variação (CV). O coeficiente de variação pode ser interpretado como
uma medida de eficiência da exposição ao risco. Seu cálculo corresponde a razão entre o desvio padrão e o
retorno esperado. E representa quantas unidades adicionais de risco se está admitindo por cada unidade
de retorno. Portanto, quanto menor o CV melhor o projeto, ativo avaliado ou processo avaliado.
CV =
�
K
(1.5)
Exemplo 2 As decisões financeiras devem ser tomadas em função dos retornos e dos riscos esperados.
O risco de um ativo individual, uma ação, por exemplo, pode ser devidamente avaliado através da vari-
abilidade dos retornos esperados. Portanto, a comparação das distribuições probabilisticas dos retornos,
relativas a cada ativo individual, possibilita a quem toma decisões perceber os diferentes graus de risco.
Considerando a análise abaixo dos dados estat́ısticos relativos a 5 ativos responda as próximas questões:
a) Qual o ativo mais arriscado? Justifique.
b) Ordene os ativos isoladamente mais eficientes?
Solução:
O ativo de maior risco é o ativo A, porque apresenta o maior desvio padrão. Se calcularmos o CV de cada
ativo,
Então, por ordem decrescente de eficiência: A, D, C, E, B.
Até aqui examinou-se como obter o retorno esperado de um projeto ou ativo, a partir dos retornos
ponderados, observados ou estimados, entretanto os ativos são transacionados no mercado e portanto
apreçados em moeda corrente. A partir dos preços observados podemos obter o retorno de um ativo.
Qual	
  o	
  aIvo	
  mais	
  arriscado?	
  JusIfique.	
  
Quais	
  os	
  aIvos	
  isoladamente	
  mais	
  eficientes?	
  
Exemplo	
  2-­‐	
  solução	
  
O	
  aIvo	
  de	
  maior	
  risco	
  é	
  o	
  aIvo	
  A,	
  porque	
  apresenta	
  o	
  maior	
  
desvio	
  padrão.	
  
Se	
  calcularmos	
  o	
  CV	
  de	
  cada	
  aIvo,	
  	
  
	
  
6
b) Utilizando a tabela da normal padronizada dispońıvel ao final do caṕıtulo, refaça para o ńıvel de 90%
de certeza.
Pelo exposto, fica claro que o agente avesso a risco escolherá dentre dois projetos ou ativos
com igual valor esperado de retorno aquele que apresentar o menor desvio padrão. Assim, seu resultado
terá um menor intervalo de oscilação. (Você é capaz de mostrar isto graficamente?) Mas, como se deve
comparar projetos ou ativos de diferentes retornos? Neste caso se utilizará uma medida relativa de risco,
que denomina-se por coeficiente de variação (CV). O coeficiente de variação pode ser interpretado como
uma medida de eficiência da exposição ao risco. Seu cálculo corresponde a razão entre o desvio padrão e o
retorno esperado. E representa quantas unidades adicionais de risco se está admitindo por cada unidade
de retorno. Portanto, quanto menor o CV melhor o projeto, ativo avaliado ou processo avaliado.
CV =
�
K
(1.5)
Exemplo 2 As decisões financeiras devem ser tomadas em função dos retornos e dos riscos esperados.
O risco de um ativo individual, uma ação, por exemplo, pode ser devidamente avaliado através da vari-
abilidade dos retornos esperados. Portanto, a comparação das distribuições probabilisticas dos retornos,
relativas a cada ativo individual, possibilita a quem toma decisões perceber os diferentes graus de risco.
Considerando a análise abaixo dos dados estat́ısticos relativos a 5 ativos responda as próximas questões:
a) Qual o ativo mais arriscado? Justifique.
b) Ordene os ativos isoladamente mais eficientes?
Solução:
O ativo de maior risco é o ativo A, porque apresenta o maior desvio padrão. Se calcularmos o CV de cada
ativo,
Então, por ordem decrescente de eficiência: A, D, C, E, B.
Até aqui examinou-se como obter o retorno esperado de um projeto ou ativo, a partir dos retornos
ponderados, observados ou estimados, entretanto os ativos são transacionados no mercado e portanto
apreçados em moeda corrente. A partir dos preços observados podemos obter o retorno de um ativo.
Então,	
  por	
  ordem	
  decrescente	
  de	
  eficiência:	
  A,	
  D,	
  C,	
  E,	
  B.	
  	
  
Retornos	
  parIr	
  dos	
  preços	
  observados	
  	
  
•  Suponhamos	
  que	
  a	
  ação	
  da	
  empresa	
  Y	
  esteja	
  negociada	
  
diariamente	
  e	
  que	
  por	
  convenção	
  	
  seu	
  retorno	
  seja	
  calculado	
  
a	
  parIr	
  dos	
  preços	
  de	
  fechamento,	
  apresentados	
  na	
  tabela	
  
abaixo:	
  
7
Suponhamos que a ação da empresa Y esteja negociada diariamente e que por convenção seu retorno seja
calculado a partir dos preços de fechamento4 , apresentados na tabela abaixo: O retorno do dia 02 pode
sercalculado como se houvesse a compra o t́ıtulo no dia 01 e a venda ocorresse no dia 02, assim:
K =
p2
p1
� 1 = p2 � p1
p1
= 0, 01904762 ou 1,9047062%
o mesmo poderia ter sido calculado para os demais dias como indicado na coluna de retorno diário da
tabela 1.2 .
Tabela 1.2: Retornos Diários
Veja que embora os preços sejam sempre positivos os retornos (K
i
) podem ser negativos como
ocorre entre o dia 03 e 04. Você deve estar se perguntando com obter o retorno acumulado para um
determinado peŕıodo? Há duas formas de fazê-lo: A primeira acumulando as taxas de retorno diárias
exemplo para o peŕıodo de 01 a 04: Neste peŕıodo existem quatro preços observados e três retornos
diários. Assim,
K1!4 = (1 +K2)(1 +K3)(1 +K4) = �0, 02857143
Cuja fórmula geral será dada por:
K
t!T =
TY
i=t+1
(1 +K
i
) (1.6)
Entretanto, podem haver fluxos de caixa recebidos no peŕıodo, ações distribuem dividendos, e em outros
ativos podem haver outros tipos de recebimentos no peŕıodo, assim uma fórmula mais geral para o cálculo
do retorno acumulado no peŕıodo de um ativo será:
K =
p
T
� p
t
+
P
CF
p
t
(1.7)
onde p
t
e p
T
representam o preço na data inicial e final do ativo respectivamente, e
P
CF a soma de
todos os demais fluxos de caixa recebidos entre as datas t e T referentes ao ativo.
O retorno do peŕıodo é diferente do retorno médio. O retorno médio relativo ao peŕıodo observado
será a média aritmética dos (n) retornos diários isto porque cada um deles tem igual probabilidade de
ocorrer.
K̄ =
1
n
nX
i=1
K
i
(1.8)
4Poderia ter utilizado qualquer outro preço, de abertura, media do dia etc.
7
Suponhamos que a ação da empresa Y esteja negociada diariamente e que por convenção seu retorno seja
calculado a partir dos preços de fechamento4 , apresentados na tabela abaixo: O retorno do dia 02 pode
ser calculado como se houvesse a compra o t́ıtulo no dia 01 e a venda ocorresse no dia 02, assim:
K =
p2
p1
� 1 = p2 � p1
p1
= 0, 01904762 ou 1,9047062%
o mesmo poderia ter sido calculado para os demais dias como indicado na coluna de retorno diário da
tabela 1.2 .
Tabela 1.2: Retornos Diários
Veja que embora os preços sejam sempre positivos os retornos (K
i
) podem ser negativos como
ocorre entre o dia 03 e 04. Você deve estar se perguntando com obter o retorno acumulado para um
determinado peŕıodo? Há duas formas de fazê-lo: A primeira acumulando as taxas de retorno diárias
exemplo para o peŕıodo de 01 a 04: Neste peŕıodo existem quatro preços observados e três retornos
diários. Assim,
K1!4 = (1 +K2)(1 +K3)(1 +K4) = �0, 02857143
Cuja fórmula geral será dada por:
K
t!T =
TY
i=t+1
(1 +K
i
) (1.6)
Entretanto, podem haver fluxos de caixa recebidos no peŕıodo, ações distribuem dividendos, e em outros
ativos podem haver outros tipos de recebimentos no peŕıodo, assim uma fórmula mais geral para o cálculo
do retorno acumulado no peŕıodo de um ativo será:
K =
p
T
� p
t
+
P
CF
p
t
(1.7)
onde p
t
e p
T
representam o preço na data inicial e final do ativo respectivamente, e
P
CF a soma de
todos os demais fluxos de caixa recebidos entre as datas t e T referentes ao ativo.
O retorno do peŕıodo é diferente do retorno médio. O retorno médio relativo ao peŕıodo observado
será a média aritmética dos (n) retornos diários isto porque cada um deles tem igual probabilidade de
ocorrer.
K̄ =
1
n
nX
i=1
K
i
(1.8)
4Poderia ter utilizado qualquer outro preço, de abertura, media do dia etc.
7
Suponhamos que a ação da empresa Y esteja negociada diariamente e que por convenção seu retorno seja
calculado a partir dos preços de fechamento4 , apresentados na tabela abaixo: O retorno do dia 02 pode
ser calculado como se houvesse a compra o t́ıtulo no dia 01 e a venda ocorresse no dia 02, assim:
K =
p2
p1
� 1 = p2 � p1
p1
= 0, 01904762 ou 1,9047062%
o mesmo poderia ter sido calculado para os demais dias como indicado na coluna de retorno diário da
tabela 1.2 .
Tabela 1.2: Retornos Diários
Veja que embora os preços sejam sempre positivos os retornos (K
i
) podem ser negativos como
ocorre entre o dia 03 e 04. Você deve estar se perguntando com obter o retorno acumulado para um
determinado peŕıodo? Há duas formas de fazê-lo: A primeira acumulando as taxas de retorno diárias
exemplo para o peŕıodo de 01 a 04: Neste peŕıodo existem quatro preços observados e três retornos
diários. Assim,
K1!4 = (1 +K2)(1 +K3)(1 +K4) = �0, 02857143
Cuja fórmula geral será dada por:
K
t!T =
TY
i=t+1
(1 +K
i
) (1.6)
Entretanto, podem haver fluxos de caixa recebidos no peŕıodo, ações distribuem dividendos, e em outros
ativos podem haver outros tipos de recebimentos no peŕıodo, assim uma fórmula mais geral para o cálculo
do retorno acumulado no peŕıodo de um ativo será:
K =
p
T
� p
t
+
P
CF
p
t
(1.7)
onde p
t
e p
T
representam o preço na data inicial e final do ativo respectivamente, e
P
CF a soma de
todos os demais fluxos de caixa recebidos entre as datas t e T referentes ao ativo.
O retorno do peŕıodo é diferente do retorno médio. O retorno médio relativo ao peŕıodo observado
será a média aritmética dos (n) retornos diários isto porque cada um deles tem igual probabilidade de
ocorrer.
K̄ =
1
n
nX
i=1
K
i
(1.8)
4Poderia ter utilizado qualquer outro preço, de abertura, media do dia etc.
Retornos	
  
Entretanto	
  podem	
  haver	
  fluxos	
  de	
  caixa	
  recebidos	
  no	
  período,	
  
ações	
  distribuem	
  dividendos,	
  e	
  em	
  outros	
  aIvos	
  podem	
  haver	
  
outros	
  Ipos	
  de	
  recebimentos	
  no	
  período,	
  assim	
  uma	
  fórmula	
  
mais	
  geral	
  para	
  o	
  cálculo	
  do	
  retorno	
  acumulado	
  no	
  período	
  de	
  
um	
  aIvo	
  será:	
  
(6)	
  
	
  
7
Suponhamos que a ação da empresa Y esteja negociada diariamente e que por convenção seu retorno seja
calculado a partir dos preços de fechamento4 , apresentados na tabela abaixo: O retorno do dia 02 pode
ser calculado como se houvesse a compra o t́ıtulo no dia 01 e a venda ocorresse no dia 02, assim:
K =
p2
p1
� 1 = p2 � p1
p1
= 0, 01904762 ou 1,9047062%
o mesmo poderia ter sido calculado para os demais dias como indicado na coluna de retorno diário da
tabela 1.2 .
Tabela 1.2: Retornos Diários
Veja que embora os preços sejam sempre positivos os retornos (K
i
) podem ser negativos como
ocorre entre o dia 03 e 04. Você deve estar se perguntando com obter o retorno acumulado para um
determinado peŕıodo? Há duas formas de fazê-lo: A primeira acumulando as taxas de retorno diárias
exemplo para o peŕıodo de 01 a 04: Neste peŕıodo existem quatro preços observados e três retornos
diários. Assim,
K1!4 = (1 +K2)(1 +K3)(1 +K4) = �0, 02857143
Cuja fórmula geral será dada por:
K
t!T =
TY
i=t+1
(1 +K
i
) (1.6)
Entretanto, podem haver fluxos de caixa recebidos no peŕıodo, ações distribuem dividendos, e em outros
ativos podem haver outros tipos de recebimentos no peŕıodo, assim uma fórmula mais geral para o cálculo
do retorno acumulado no peŕıodo de um ativo será:
K =
p
T
� p
t
+
P
CF
p
t
(1.7)
onde p
t
e p
T
representam o preço na data inicial e final do ativo respectivamente, e
P
CF a soma de
todos os demais fluxos de caixa recebidos entre as datas t e T referentes ao ativo.
O retorno do peŕıodo é diferente do retorno médio. O retorno médio relativo ao peŕıodo observado
será a média aritmética dos (n) retornos diários isto porque cada um deles tem igual probabilidade de
ocorrer.
K̄ =
1
n
nX
i=1
K
i
(1.8)
4Poderia ter utilizado qualquer outro preço, de abertura, media do dia etc.
Retorno	
  médio	
  e	
  Retorno	
  equivalente	
  
•  Retorno	
  médio	
  
•  Retorno	
  equivalente	
  
7
Suponhamos que a ação da empresa Y esteja negociada diariamente e que por convenção seu retorno seja
calculado a partir dos preços de fechamento4 , apresentados na tabela abaixo: O retornodo dia 02 pode
ser calculado como se houvesse a compra o t́ıtulo no dia 01 e a venda ocorresse no dia 02, assim:
K =
p2
p1
� 1 = p2 � p1
p1
= 0, 01904762 ou 1,9047062%
o mesmo poderia ter sido calculado para os demais dias como indicado na coluna de retorno diário da
tabela 1.2 .
Tabela 1.2: Retornos Diários
Veja que embora os preços sejam sempre positivos os retornos (K
i
) podem ser negativos como
ocorre entre o dia 03 e 04. Você deve estar se perguntando com obter o retorno acumulado para um
determinado peŕıodo? Há duas formas de fazê-lo: A primeira acumulando as taxas de retorno diárias
exemplo para o peŕıodo de 01 a 04: Neste peŕıodo existem quatro preços observados e três retornos
diários. Assim,
K1!4 = (1 +K2)(1 +K3)(1 +K4) = �0, 02857143
Cuja fórmula geral será dada por:
K
t!T =
TY
i=t+1
(1 +K
i
) (1.6)
Entretanto, podem haver fluxos de caixa recebidos no peŕıodo, ações distribuem dividendos, e em outros
ativos podem haver outros tipos de recebimentos no peŕıodo, assim uma fórmula mais geral para o cálculo
do retorno acumulado no peŕıodo de um ativo será:
K =
p
T
� p
t
+
P
CF
p
t
(1.7)
onde p
t
e p
T
representam o preço na data inicial e final do ativo respectivamente, e
P
CF a soma de
todos os demais fluxos de caixa recebidos entre as datas t e T referentes ao ativo.
O retorno do peŕıodo é diferente do retorno médio. O retorno médio relativo ao peŕıodo observado
será a média aritmética dos (n) retornos diários isto porque cada um deles tem igual probabilidade de
ocorrer.
K̄ =
1
n
nX
i=1
K
i
(1.8)
4Poderia ter utilizado qualquer outro preço, de abertura, media do dia etc.
8
O retorno equivalente, é utilizado para comparar diferentes investimentos. O valor do retorno
equivalente diário no peŕıodo será dado por:
Ke(tT ) = [
nY
i=1
(1 +K
i
)]1/n(9) (1.9)
Exerćıcio 2 Obtenha a taxa equivalente anualizada do investimento na ação Y, considere que o mercado
utiliza o ano comercial.
Existem duas possibilidades de se tomar posição em um investimento. A primeira mais comum
é comprar um ativo que se espera irá se valorizar para vendê-lo futuramente. Neste caso no jargão de
mercado diz-se que se está comprado, longo ou long, no ativo. Indica que detemos uma posição comprada.
W = P
T
� p
t
(1.10)
A segunda forma menos usual é a de vender um ativo, que não se possui, que se imagina irá se desvalorizar
e então comprá-lo na entrega a um valor mais baixo, a esta postura é denominada venda a descoberto. A
venda a descoberto no jargão de mercado diz-se que se está vendido, curto ou short no ativo. Por ocasião
da liquidação se realizará o lucro da diferença entre o preço de venda anterior e o preço de compra do
ativo. Para se manter uma posição vendida normalmente é necessário se oferecer garantias, e em alguns
mercados isto não é permitido. A garantia pode ser oferecida por empréstimo do ativo de um cliente da
corretora que detenha o ativo, ou em t́ıtulos que equivalem em valor o risco do agente.
W = P
t
� p
T
(1.11)
Graficamente as diferentes estratégias podem ser representadas com na figura ?? abaixo:
Figura 1.2: Estratégias de Investimento - posição
1.2 Carteira de Investimentos
Denomina-se por carteira ou portfólio o conjunto de ativos mantidos por um agente. Este conjunto
representará a totalidade dos ativos mantidos em suas diversas posições. Assim determinados ativos
Estratégias	
  de	
  InvesImento	
  
8
O retorno equivalente, é utilizado para comparar diferentes investimentos. O valor do retorno
equivalente diário no peŕıodo será dado por:
Ke(tT ) = [
nY
i=1
(1 +K
i
)]1/n(9) (1.9)
Exerćıcio 2 Obtenha a taxa equivalente anualizada do investimento na ação Y, considere que o mercado
utiliza o ano comercial.
Existem duas possibilidades de se tomar posição em um investimento. A primeira mais comum
é comprar um ativo que se espera irá se valorizar para vendê-lo futuramente. Neste caso no jargão de
mercado diz-se que se está comprado, longo ou long, no ativo. Indica que detemos uma posição comprada.
W = P
T
� p
t
(1.10)
A segunda forma menos usual é a de vender um ativo, que não se possui, que se imagina irá se desvalorizar
e então comprá-lo na entrega a um valor mais baixo, a esta postura é denominada venda a descoberto. A
venda a descoberto no jargão de mercado diz-se que se está vendido, curto ou short no ativo. Por ocasião
da liquidação se realizará o lucro da diferença entre o preço de venda anterior e o preço de compra do
ativo. Para se manter uma posição vendida normalmente é necessário se oferecer garantias, e em alguns
mercados isto não é permitido. A garantia pode ser oferecida por empréstimo do ativo de um cliente da
corretora que detenha o ativo, ou em t́ıtulos que equivalem em valor o risco do agente.
W = P
t
� p
T
(1.11)
Graficamente as diferentes estratégias podem ser representadas com na figura ?? abaixo:
Figura 1.2: Estratégias de Investimento - posição
1.2 Carteira de Investimentos
Denomina-se por carteira ou portfólio o conjunto de ativos mantidos por um agente. Este conjunto
representará a totalidade dos ativos mantidos em suas diversas posições. Assim determinados ativos
Carteira	
  de	
  InvesImentos	
  
Denomina-­‐se	
  por	
  carteira	
  ou	
  pordólio	
  o	
  conjunto	
  de	
  aIvos	
  
manIdos	
  por	
  um	
  agente.	
  Este	
  conjunto	
  representará	
  a	
  
totalidade	
  dos	
  aIvos	
  manIdos	
  em	
  suas	
  diversas	
  posições.	
  
Assim	
  determinados	
  aIvos	
  apresentarão	
  posições	
  
compradas	
  e	
  outros	
  vendidas.	
  Como	
  estes	
  aIvos	
  
representam	
  a	
  totalidade	
  a	
  soma	
  dos	
  pesos	
  destes	
  na	
  
carteira	
  deverá	
  ser	
  100%.	
  :	
  
	
  	
  
9
apresentarão posições compradas e outros vendidas. Como estes ativos representam a totalidade a soma
dos pesos destes na carteira deverá ser 100%. Assim, o peso representado normalmente pelo anagrama
em inglês de weight (w) será:
w
i
=
valor aplicado no ativo i
valor total da carteira
=
V
iP
n
i=1 Vi
(1.12)
Exemplo 3 Determinado agente possui uma carteira formada pelas seguintes posições de R$25000,00
no ativo A e R$50000,00 no ativo B.
a) Quais os pesos de sua carteira?
b) Se para a manutenção destas posições o agente tivesse emprestado R$40000,00 ao Banco X, qual seria
a estrutura dos pesos de sua carteira?
Solução:
a) Como a carteira apresenta apenas posições compradas todos os pesos serão positivos.
Para obter os valores dos pesos utiliza-se uma regra de três simples , ou
w
A
=
valor aplicado no ativo A
valor total da carteira
=
25000
75000
=
1
3
ou 33,33%
w
B
=
valor aplicado no ativo B
valor total da carteira
=
50000
75000
=
2
3
ou 66,67%
b) b) A nova estrutura deverá incorporar a posição vendida na carteira, então:
w
A
=
valor aplicado em A
valor total da carteira
=
25000
35000
=
5
7
ou 71,43%
w
B
=
valor aplicado em B
valor total da carteira
=
50000
35000
=
10
7
ou 142,86%
w
X
=
valor aplicado em X
valor total da carteira
=
�40000
55000
=
�8
7
ou -114,29%
Note que o total continua resultando em 100% embora hajam pesos que sejam em módulo superiores a
este valor.
Exemplo	
  3	
  
Determinado	
  agente	
  possui	
  uma	
  carteira	
  formada	
  pelas	
  
seguintes	
  posições	
  de	
  R$25000,00	
  no	
  aIvo	
  A	
  e	
  R$50000,00	
  no	
  
aIvo	
  B.	
  
a)  Quais	
  os	
  pesos	
  de	
  sua	
  carteira?	
  	
  
b)  Se	
  para	
  a	
  manutenção	
  destas	
  posições	
  o	
  agente	
  Ivesse	
  
emprestado	
  R$40000,00	
  ao	
  Banco	
  X,	
  qual	
  seria	
  a	
  estrutura	
  
dos	
  pesos	
  de	
  sua	
  carteira?	
  
	
  
	
  
Exemplo	
  3	
  -­‐	
  Solução	
  
a)	
  Como	
  a	
  carteira	
  apresenta	
  apenas	
  posições	
  
compradas	
  todos	
  os	
  pesos	
  serão	
  posiIvos.	
  	
  
9
apresentarão posições compradas e outros vendidas.Como estes ativos representam a totalidade a soma
dos pesos destes na carteira deverá ser 100%. Assim, o peso representado normalmente pelo anagrama
em inglês de weight (w) será:
w
i
=
valor aplicado no ativo i
valor total da carteira
=
V
iP
n
i=1 Vi
(1.12)
Exemplo 3 Determinado agente possui uma carteira formada pelas seguintes posições de R$25000,00
no ativo A e R$50000,00 no ativo B.
a) Quais os pesos de sua carteira?
b) Se para a manutenção destas posições o agente tivesse emprestado R$40000,00 ao Banco X, qual seria
a estrutura dos pesos de sua carteira?
Solução:
a) Como a carteira apresenta apenas posições compradas todos os pesos serão positivos.
Para obter os valores dos pesos utiliza-se uma regra de três simples , ou
w
A
=
valor aplicado no ativo A
valor total da carteira
=
25000
75000
=
1
3
ou 33,33%
w
B
=
valor aplicado no ativo B
valor total da carteira
=
50000
75000
=
2
3
ou 66,67%
b) b) A nova estrutura deverá incorporar a posição vendida na carteira, então:
w
A
=
valor aplicado em A
valor total da carteira
=
25000
35000
=
5
7
ou 71,43%
w
B
=
valor aplicado em B
valor total da carteira
=
50000
35000
=
10
7
ou 142,86%
w
X
=
valor aplicado em X
valor total da carteira
=
�40000
55000
=
�8
7
ou -114,29%
Note que o total continua resultando em 100% embora hajam pesos que sejam em módulo superiores a
este valor.
9
apresentarão posições compradas e outros vendidas. Como estes ativos representam a totalidade a soma
dos pesos destes na carteira deverá ser 100%. Assim, o peso representado normalmente pelo anagrama
em inglês de weight (w) será:
w
i
=
valor aplicado no ativo i
valor total da carteira
=
V
iP
n
i=1 Vi
(1.12)
Exemplo 3 Determinado agente possui uma carteira formada pelas seguintes posições de R$25000,00
no ativo A e R$50000,00 no ativo B.
a) Quais os pesos de sua carteira?
b) Se para a manutenção destas posições o agente tivesse emprestado R$40000,00 ao Banco X, qual seria
a estrutura dos pesos de sua carteira?
Solução:
a) Como a carteira apresenta apenas posições compradas todos os pesos serão positivos.
Para obter os valores dos pesos utiliza-se uma regra de três simples , ou
w
A
=
valor aplicado no ativo A
valor total da carteira
=
25000
75000
=
1
3
ou 33,33%
w
B
=
valor aplicado no ativo B
valor total da carteira
=
50000
75000
=
2
3
ou 66,67%
b) b) A nova estrutura deverá incorporar a posição vendida na carteira, então:
w
A
=
valor aplicado em A
valor total da carteira
=
25000
35000
=
5
7
ou 71,43%
w
B
=
valor aplicado em B
valor total da carteira
=
50000
35000
=
10
7
ou 142,86%
w
X
=
valor aplicado em X
valor total da carteira
=
�40000
55000
=
�8
7
ou -114,29%
Note que o total continua resultando em 100% embora hajam pesos que sejam em módulo superiores a
este valor.
Exemplo	
  3	
  -­‐	
  Solução	
  
b)	
  A	
  nova	
  estrutura	
  deverá	
  incorporar	
  a	
  posição	
  
vendida	
  na	
  carteira,	
  então:	
  
	
  	
  
9
apresentarão posições compradas e outros vendidas. Como estes ativos representam a totalidade a soma
dos pesos destes na carteira deverá ser 100%. Assim, o peso representado normalmente pelo anagrama
em inglês de weight (w) será:
w
i
=
valor aplicado no ativo i
valor total da carteira
=
V
iP
n
i=1 Vi
(1.12)
Exemplo 3 Determinado agente possui uma carteira formada pelas seguintes posições de R$25000,00
no ativo A e R$50000,00 no ativo B.
a) Quais os pesos de sua carteira?
b) Se para a manutenção destas posições o agente tivesse emprestado R$40000,00 ao Banco X, qual seria
a estrutura dos pesos de sua carteira?
Solução:
a) Como a carteira apresenta apenas posições compradas todos os pesos serão positivos.
Para obter os valores dos pesos utiliza-se uma regra de três simples , ou
w
A
=
valor aplicado no ativo A
valor total da carteira
=
25000
75000
=
1
3
ou 33,33%
w
B
=
valor aplicado no ativo B
valor total da carteira
=
50000
75000
=
2
3
ou 66,67%
b) b) A nova estrutura deverá incorporar a posição vendida na carteira, então:
w
A
=
valor aplicado em A
valor total da carteira
=
25000
35000
=
5
7
ou 71,43%
w
B
=
valor aplicado em B
valor total da carteira
=
50000
35000
=
10
7
ou 142,86%
w
X
=
valor aplicado em X
valor total da carteira
=
�40000
55000
=
�8
7
ou -114,29%
Note que o total continua resultando em 100% embora hajam pesos que sejam em módulo superiores a
este valor.
9
apresentarão posições compradas e outros vendidas. Como estes ativos representam a totalidade a soma
dos pesos destes na carteira deverá ser 100%. Assim, o peso representado normalmente pelo anagrama
em inglês de weight (w) será:
w
i
=
valor aplicado no ativo i
valor total da carteira
=
V
iP
n
i=1 Vi
(1.12)
Exemplo 3 Determinado agente possui uma carteira formada pelas seguintes posições de R$25000,00
no ativo A e R$50000,00 no ativo B.
a) Quais os pesos de sua carteira?
b) Se para a manutenção destas posições o agente tivesse emprestado R$40000,00 ao Banco X, qual seria
a estrutura dos pesos de sua carteira?
Solução:
a) Como a carteira apresenta apenas posições compradas todos os pesos serão positivos.
Para obter os valores dos pesos utiliza-se uma regra de três simples , ou
w
A
=
valor aplicado no ativo A
valor total da carteira
=
25000
75000
=
1
3
ou 33,33%
w
B
=
valor aplicado no ativo B
valor total da carteira
=
50000
75000
=
2
3
ou 66,67%
b) b) A nova estrutura deverá incorporar a posição vendida na carteira, então:
w
A
=
valor aplicado em A
valor total da carteira
=
25000
35000
=
5
7
ou 71,43%
w
B
=
valor aplicado em B
valor total da carteira
=
50000
35000
=
10
7
ou 142,86%
w
X
=
valor aplicado em X
valor total da carteira
=
�40000
55000
=
�8
7
ou -114,29%
Note que o total continua resultando em 100% embora hajam pesos que sejam em módulo superiores a
este valor.
Retorno	
  de	
  uma	
  Carteira	
  
O	
  cálculo	
  do	
  retorno	
  de	
  uma	
  carteira	
  depende	
  do	
  retorno	
  de	
  
cada	
  aIvo	
  e	
  de	
  seu	
  peso	
  na	
  carteira	
  e	
  pode	
  ser	
  obIdo	
  pela	
  
média	
  ponderada.	
  
10
1.2.1 Risco e Retorno de uma Carteira
O cálculo do retorno de uma carteira depende do retorno de cada ativo e de seu peso na carteira
e pode ser obtido pela média ponderada.
K̄ =
nX
i=1
K
i
w
i
(1.13)
Exemplo 4 Suponhamos que no exemplo anterior os ativos A e B tivessem retornos esperados de 25%a.a.
e 15%a.a. respectivamente, e que o empréstimo ao banco X tivesse sido contratado a uma taxa de 12%
a.a.. Qual seria o retorno esperado da carteira, se mantidos os pesos calculados no item b do exemplo
anterior?
Solução:
Utilizando uma tabela organiza-se a informação, este procedimento torna mais claro e esta menos sujeito
a erros.
Ou pela simples aplicação de 1.13 vem:
K̂ = 25⇥ 0, 7143 + 15⇥ 1, 4286� 12x1, 1429 = 25, 5717%5
Antes de prosseguir ao cálculo do risco de uma carteira será necessário revisar o conceito de
covariância. Numa carteira coexistem mais de um ativo e a forma como o retorno de um se relaciona ao
retorno do outro se torna importante ao se buscar calcular o risco de uma carteira. A medida estat́ıstica
que mede esta relação ou interdependência é a covariância. A covariância ou variância conjunta é um
momento conjunto de primeira ordem das variáveis X e Y, centrados nas respectivas medias, é a média
do grau de interdependência ou inter-relação numérica entre elas6.
A covariância pode ser calculada de duas formas:
Cov(X,Y ) = �
XY
=
X
i = 1n(X
i
� X̄)(Y
i
� Ȳ )w
XiYi (1.14)
onde w
XiYi pode ser a frequência relativa (o peso), ou a probabilidade de ocorrer o par (Xi, Yi).
Cov(X,Y ) = �
XY
=
1
n
⇥ nX
i=1
X
i
Y
i
� 1
n
� nX
i=1
(X
i
)
�� nX
i=1
(Y
i
)
�⇤
(1.15)
Outras propriedades importantes relativas a covariância são:
• Cov(X,Y ) = Cov(Y,X)
5Sugerimosacostumar-se as formas tabulares de cálculo, elas são as formas naturais quando o número de ativos é grande
e também da aplicação em planilhas eletrônicas.
6MILONE, Giuseppe. Estat́ıstica geral e aplicada. São Paulo: Centage Learning, 2009. Página 74.
Exemplo	
  4	
  	
  
Suponhamos	
  que	
  no	
  exemplo	
  anterior	
  os	
  aIvos	
  A	
  e	
  B	
  Ivessem	
  
retornos	
  esperados	
  de	
  25%aa	
  e	
  15%aa	
  respecIvamente,	
  e	
  que	
  o	
  
emprésImo	
  ao	
  banco	
  X	
  Ivesse	
  sido	
  contratado	
  a	
  uma	
  taxa	
  de	
  
12%	
  aa.	
  Qual	
  seria	
  o	
  retorno	
  esperado	
  da	
  carteira,	
  se	
  manIdos	
  
os	
  pesos	
  calculados	
  no	
  item	
  b	
  do	
  exemplo	
  anterior?	
  
Exemplo	
  4	
  -­‐	
  solução	
  
UIlizando	
  uma	
  tabela	
  organiza-­‐se	
  a	
  informação,	
  este	
  
procedimento	
  torna	
  mais	
  claro	
  e	
  esta	
  menos	
  sujeito	
  a	
  erros.	
  	
  
10
1.2.1 Risco e Retorno de uma Carteira
O cálculo do retorno de uma carteira depende do retorno de cada ativo e de seu peso na carteira
e pode ser obtido pela média ponderada.
K̄ =
nX
i=1
K
i
w
i
(1.13)
Exemplo 4 Suponhamos que no exemplo anterior os ativos A e B tivessem retornos esperados de 25%a.a.
e 15%a.a. respectivamente, e que o empréstimo ao banco X tivesse sido contratado a uma taxa de 12%
a.a.. Qual seria o retorno esperado da carteira, se mantidos os pesos calculados no item b do exemplo
anterior?
Solução:
Utilizando uma tabela organiza-se a informação, este procedimento torna mais claro e esta menos sujeito
a erros.
Ou pela simples aplicação de 1.13 vem:
K̂ = 25⇥ 0, 7143 + 15⇥ 1, 4286� 12x1, 1429 = 25, 5717%5
Antes de prosseguir ao cálculo do risco de uma carteira será necessário revisar o conceito de
covariância. Numa carteira coexistem mais de um ativo e a forma como o retorno de um se relaciona ao
retorno do outro se torna importante ao se buscar calcular o risco de uma carteira. A medida estat́ıstica
que mede esta relação ou interdependência é a covariância. A covariância ou variância conjunta é um
momento conjunto de primeira ordem das variáveis X e Y, centrados nas respectivas medias, é a média
do grau de interdependência ou inter-relação numérica entre elas6.
A covariância pode ser calculada de duas formas:
Cov(X,Y ) = �
XY
=
X
i = 1n(X
i
� X̄)(Y
i
� Ȳ )w
XiYi (1.14)
onde w
XiYi pode ser a frequência relativa (o peso), ou a probabilidade de ocorrer o par (Xi, Yi).
Cov(X,Y ) = �
XY
=
1
n
⇥ nX
i=1
X
i
Y
i
� 1
n
� nX
i=1
(X
i
)
�� nX
i=1
(Y
i
)
�⇤
(1.15)
Outras propriedades importantes relativas a covariância são:
• Cov(X,Y ) = Cov(Y,X)
5Sugerimos acostumar-se as formas tabulares de cálculo, elas são as formas naturais quando o número de ativos é grande
e também da aplicação em planilhas eletrônicas.
6MILONE, Giuseppe. Estat́ıstica geral e aplicada. São Paulo: Centage Learning, 2009. Página 74.
10
1.2.1 Risco e Retorno de uma Carteira
O cálculo do retorno de uma carteira depende do retorno de cada ativo e de seu peso na carteira
e pode ser obtido pela média ponderada.
K̄ =
nX
i=1
K
i
w
i
(1.13)
Exemplo 4 Suponhamos que no exemplo anterior os ativos A e B tivessem retornos esperados de 25%a.a.
e 15%a.a. respectivamente, e que o empréstimo ao banco X tivesse sido contratado a uma taxa de 12%
a.a.. Qual seria o retorno esperado da carteira, se mantidos os pesos calculados no item b do exemplo
anterior?
Solução:
Utilizando uma tabela organiza-se a informação, este procedimento torna mais claro e esta menos sujeito
a erros.
Ou pela simples aplicação de 1.13 vem:
K̂ = 25⇥ 0, 7143 + 15⇥ 1, 4286� 12x1, 1429 = 25, 5717%5
Antes de prosseguir ao cálculo do risco de uma carteira será necessário revisar o conceito de
covariância. Numa carteira coexistem mais de um ativo e a forma como o retorno de um se relaciona ao
retorno do outro se torna importante ao se buscar calcular o risco de uma carteira. A medida estat́ıstica
que mede esta relação ou interdependência é a covariância. A covariância ou variância conjunta é um
momento conjunto de primeira ordem das variáveis X e Y, centrados nas respectivas medias, é a média
do grau de interdependência ou inter-relação numérica entre elas6.
A covariância pode ser calculada de duas formas:
Cov(X,Y ) = �
XY
=
X
i = 1n(X
i
� X̄)(Y
i
� Ȳ )w
XiYi (1.14)
onde w
XiYi pode ser a frequência relativa (o peso), ou a probabilidade de ocorrer o par (Xi, Yi).
Cov(X,Y ) = �
XY
=
1
n
⇥ nX
i=1
X
i
Y
i
� 1
n
� nX
i=1
(X
i
)
�� nX
i=1
(Y
i
)
�⇤
(1.15)
Outras propriedades importantes relativas a covariância são:
• Cov(X,Y ) = Cov(Y,X)
5Sugerimos acostumar-se as formas tabulares de cálculo, elas são as formas naturais quando o número de ativos é grande
e também da aplicação em planilhas eletrônicas.
6MILONE, Giuseppe. Estat́ıstica geral e aplicada. São Paulo: Centage Learning, 2009. Página 74.
A	
  covariância	
  
Numa	
  carteira	
  coexistem	
  mais	
  de	
  um	
  aIvo	
  e	
  a	
  forma	
  como	
  o	
  
retorno	
  de	
  um	
  se	
  relaciona	
  ao	
  retorno	
  do	
  outro	
  se	
  torna	
  
importante	
  ao	
  se	
  buscar	
  calcular	
  o	
  risco	
  de	
  uma	
  carteira.	
  A	
  
medida	
  estansIca	
  que	
  mede	
  esta	
  relação	
  ou	
  interdependência	
  é	
  
a	
  covariância.	
  	
  
A	
  covariância	
  pode	
  ser	
  calculada	
  de	
  duas	
  formas:	
  
	
  
	
  
onde	
  w	
  pode	
  ser	
  a	
  frequência	
  relaIva	
  (o	
  peso),	
  ou	
  a	
  
probabilidade	
  	
  de	
  ocorrer	
  o	
  par	
  (Xi,	
  Yi).	
  	
  
	
  
	
  
	
  
10
1.2.1 Risco e Retorno de uma Carteira
O cálculo do retorno de uma carteira depende do retorno de cada ativo e de seu peso na carteira
e pode ser obtido pela média ponderada.
K̄ =
nX
i=1
K
i
w
i
(1.13)
Exemplo 4 Suponhamos que no exemplo anterior os ativos A e B tivessem retornos esperados de 25%a.a.
e 15%a.a. respectivamente, e que o empréstimo ao banco X tivesse sido contratado a uma taxa de 12%
a.a.. Qual seria o retorno esperado da carteira, se mantidos os pesos calculados no item b do exemplo
anterior?
Solução:
Utilizando uma tabela organiza-se a informação, este procedimento torna mais claro e esta menos sujeito
a erros.
Ou pela simples aplicação de 1.13 vem:
K̂ = 25⇥ 0, 7143 + 15⇥ 1, 4286� 12x1, 1429 = 25, 5717%5
Antes de prosseguir ao cálculo do risco de uma carteira será necessário revisar o conceito de
covariância. Numa carteira coexistem mais de um ativo e a forma como o retorno de um se relaciona ao
retorno do outro se torna importante ao se buscar calcular o risco de uma carteira. A medida estat́ıstica
que mede esta relação ou interdependência é a covariância. A covariância ou variância conjunta é um
momento conjunto de primeira ordem das variáveis X e Y, centrados nas respectivas medias, é a média
do grau de interdependência ou inter-relação numérica entre elas6.
A covariância pode ser calculada de duas formas:
Cov(X,Y ) = �
XY
=
X
i = 1n(X
i
� X̄)(Y
i
� Ȳ )w
XiYi (1.14)
onde w
XiYi pode ser a frequência relativa (o peso), ou a probabilidade de ocorrer o par (Xi, Yi).
Cov(X,Y ) = �
XY
=
1
n
⇥ nX
i=1
X
i
Y
i
� 1
n
� nX
i=1
(X
i
)
�� nX
i=1
(Y
i
)
�⇤
(1.15)
Outras propriedades importantes relativas a covariância são:
• Cov(X,Y ) = Cov(Y,X)
5Sugerimos acostumar-se as formas tabulares de cálculo, elas são as formas naturais quando o número de ativos é grande
e também da aplicação em planilhas eletrônicas.
6MILONE, Giuseppe. Estat́ıstica geral e aplicada. São Paulo: Centage Learning, 2009. Página 74.
10
1.2.1 Risco e Retorno de uma Carteira
O cálculo do retorno de uma carteira depende do retorno de cada ativo e de seu peso na carteira
e pode ser obtido pela média ponderada.
K̄ =
nX
i=1
K
i
w
i
(1.13)
Exemplo 4 Suponhamos que no exemplo anterior os ativos A e B tivessem retornos esperadosde 25%a.a.
e 15%a.a. respectivamente, e que o empréstimo ao banco X tivesse sido contratado a uma taxa de 12%
a.a.. Qual seria o retorno esperado da carteira, se mantidos os pesos calculados no item b do exemplo
anterior?
Solução:
Utilizando uma tabela organiza-se a informação, este procedimento torna mais claro e esta menos sujeito
a erros.
Ou pela simples aplicação de 1.13 vem:
K̂ = 25⇥ 0, 7143 + 15⇥ 1, 4286� 12x1, 1429 = 25, 5717%5
Antes de prosseguir ao cálculo do risco de uma carteira será necessário revisar o conceito de
covariância. Numa carteira coexistem mais de um ativo e a forma como o retorno de um se relaciona ao
retorno do outro se torna importante ao se buscar calcular o risco de uma carteira. A medida estat́ıstica
que mede esta relação ou interdependência é a covariância. A covariância ou variância conjunta é um
momento conjunto de primeira ordem das variáveis X e Y, centrados nas respectivas medias, é a média
do grau de interdependência ou inter-relação numérica entre elas6.
A covariância pode ser calculada de duas formas:
Cov(X,Y ) = �
XY
=
X
i = 1n(X
i
� X̄)(Y
i
� Ȳ )w
XiYi (1.14)
onde w
XiYi pode ser a frequência relativa (o peso), ou a probabilidade de ocorrer o par (Xi, Yi).
Cov(X,Y ) = �
XY
=
1
n
⇥ nX
i=1
X
i
Y
i
� 1
n
� nX
i=1
(X
i
)
�� nX
i=1
(Y
i
)
�⇤
(1.15)
Outras propriedades importantes relativas a covariância são:
• Cov(X,Y ) = Cov(Y,X)
5Sugerimos acostumar-se as formas tabulares de cálculo, elas são as formas naturais quando o número de ativos é grande
e também da aplicação em planilhas eletrônicas.
6MILONE, Giuseppe. Estat́ıstica geral e aplicada. São Paulo: Centage Learning, 2009. Página 74.
Propriedades	
  da	
  covariância	
  
10
1.2.1 Risco e Retorno de uma Carteira
O cálculo do retorno de uma carteira depende do retorno de cada ativo e de seu peso na carteira
e pode ser obtido pela média ponderada.
K̄ =
nX
i=1
K
i
w
i
(1.13)
Exemplo 4 Suponhamos que no exemplo anterior os ativos A e B tivessem retornos esperados de 25%a.a.
e 15%a.a. respectivamente, e que o empréstimo ao banco X tivesse sido contratado a uma taxa de 12%
a.a.. Qual seria o retorno esperado da carteira, se mantidos os pesos calculados no item b do exemplo
anterior?
Solução:
Utilizando uma tabela organiza-se a informação, este procedimento torna mais claro e esta menos sujeito
a erros.
Ou pela simples aplicação de 1.13 vem:
K̂ = 25⇥ 0, 7143 + 15⇥ 1, 4286� 12x1, 1429 = 25, 5717%5
Antes de prosseguir ao cálculo do risco de uma carteira será necessário revisar o conceito de
covariância. Numa carteira coexistem mais de um ativo e a forma como o retorno de um se relaciona ao
retorno do outro se torna importante ao se buscar calcular o risco de uma carteira. A medida estat́ıstica
que mede esta relação ou interdependência é a covariância. A covariância ou variância conjunta é um
momento conjunto de primeira ordem das variáveis X e Y, centrados nas respectivas medias, é a média
do grau de interdependência ou inter-relação numérica entre elas6.
A covariância pode ser calculada de duas formas:
Cov(X,Y ) = �
XY
=
X
i = 1n(X
i
� X̄)(Y
i
� Ȳ )w
XiYi (1.14)
onde w
XiYi pode ser a frequência relativa (o peso), ou a probabilidade de ocorrer o par (Xi, Yi).
Cov(X,Y ) = �
XY
=
1
n
⇥ nX
i=1
X
i
Y
i
� 1
n
� nX
i=1
(X
i
)
�� nX
i=1
(Y
i
)
�⇤
(1.15)
Outras propriedades importantes relativas a covariância são:
• Cov(X,Y ) = Cov(Y,X)
5Sugerimos acostumar-se as formas tabulares de cálculo, elas são as formas naturais quando o número de ativos é grande
e também da aplicação em planilhas eletrônicas.
6MILONE, Giuseppe. Estat́ıstica geral e aplicada. São Paulo: Centage Learning, 2009. Página 74.
11
• Cov(X,X) = V arX = �2
• Cov(aX + b, cY + d) = ac Cov(X,Y )
• Cov(
P
i
X
i
P
j
Y
j
=
P
i
P
j
(Cov(X
i
, Y
j
)
• Se X e Y são independentes Cov(X,Y ) = 0
O coeficiente de correlação ⇢
X
Y , é uma medida de covariância padronizada pelos desvios padrões das
variáveis relacionadas X e Y, e nunca pode ser maior do que 1 ou menor do que -1.
⇢
XY
=
�
XY
�
X
�
Y
(1.16)
Uma correlação próxima a zero indica que as duas variáveis quase não estão relacionadas, ou seja, são
independentes. Uma correlação positiva indica que as duas variáveis movem juntas, e a relação é forte
quanto mais a correlação se aproxima de um. Uma correlação negativa indica que as duas variáveis movem-
se em direções opostas, e a relação também fica mais forte quanto mais próxima de -1 a correlação ficar.
Duas variáveis que estão perfeitamente correlacionadas positivamente (⇢ = 1) movem-se essencialmente
em perfeita proporção na mesma direção, enquanto dois conjuntos que estão perfeitamente correlacionados
negativamente (⇢ = �1) movem-se em perfeita proporção em direções opostas.
Para refletir: 
O resultado de uma carteira composta de dois ativos de risco poderá ser uma carteira 
sem risco? 
Os estudos sobre a seleção de carteira tiveram um grande impulse com Markowitz, ele tornou
clara a sabedoria popular de que não se deve por todos os ovos em uma mesma cesta. Ou em termos
financeiros que o risco da carteira apesar de também ser representado pelo desvio padrão da carteira, será
menor que o maior risco dentre os ativos nela presentes. Seu cálculo também será precedido do cálculo
da variância da carteira.
A variância de uma carteira C de dois ativos (X e Y) será:
�
2
C
= w2
X
�
2
X
+ w2
Y
�
2
Y
+ 2w
X
w
Y
�
XY
(1.17)
ou utilizando 1.16,
�
2
C
= w2
X
�
2
X
+ w2
Y
�
2
Y
+ 2w
X
w
Y
⇢
XY
�
X
�
Y
(1.18)
ou ainda de forma geral para n ativos:
�
2
C
=
nX
i=1
w
2
i
�
2
i
+
nX
i=1
nX
j=1
w
i
w
j
⇢
ij
�
i
�
j
(1.19)
e claro,
�
C
=
q
�
2
C
(1.20)
O	
  coeficiente	
  de	
  correlação	
  ρXY	
  	
  
11
• Cov(X,X) = V arX = �2
• Cov(aX + b, cY + d) = ac Cov(X,Y )
• Cov(
P
i
X
i
P
j
Y
j
=
P
i
P
j
(Cov(X
i
, Y
j
)
• Se X e Y são independentes Cov(X,Y ) = 0
O coeficiente de correlação ⇢
X
Y , é uma medida de covariância padronizada pelos desvios padrões das
variáveis relacionadas X e Y, e nunca pode ser maior do que 1 ou menor do que -1.
⇢
XY
=
�
XY
�
X
�
Y
(1.16)
Uma correlação próxima a zero indica que as duas variáveis quase não estão relacionadas, ou seja, são
independentes. Uma correlação positiva indica que as duas variáveis movem juntas, e a relação é forte
quanto mais a correlação se aproxima de um. Uma correlação negativa indica que as duas variáveis movem-
se em direções opostas, e a relação também fica mais forte quanto mais próxima de -1 a correlação ficar.
Duas variáveis que estão perfeitamente correlacionadas positivamente (⇢ = 1) movem-se essencialmente
em perfeita proporção na mesma direção, enquanto dois conjuntos que estão perfeitamente correlacionados
negativamente (⇢ = �1) movem-se em perfeita proporção em direções opostas.
Para refletir: 
O resultado de uma carteira composta de dois ativos de risco poderá ser uma carteira 
sem risco? 
Os estudos sobre a seleção de carteira tiveram um grande impulse com Markowitz, ele tornou
clara a sabedoria popular de que não se deve por todos os ovos em uma mesma cesta. Ou em termos
financeiros que o risco da carteira apesar de também ser representado pelo desvio padrão da carteira, será
menor que o maior risco dentre os ativos nela presentes. Seu cálculo também será precedido do cálculo
da variância da carteira.
A variância de uma carteira C de dois ativos (X e Y) será:
�
2
C
= w2
X
�
2
X
+ w2
Y
�
2
Y
+ 2w
X
w
Y
�
XY
(1.17)
ou utilizando 1.16,
�
2
C
= w2
X
�
2
X
+ w2
Y
�
2
Y
+ 2w
X
w
Y
⇢
XY
�
X
�
Y
(1.18)
ou ainda de forma geral para n ativos:
�
2
C
=
nX
i=1
w
2
i
�
2
i
+
nX
i=1
nX
j=1
w
i
w
j
⇢
ij
�
i
�
j
(1.19)
e claro,
�C
=
q
�
2
C
(1.20)
Para	
  refle'r:	
  	
  
O	
  resultado	
  de	
  uma	
  carteira	
  composta	
  de	
  dois	
  aIvos	
  
de	
  risco	
  poderá	
  ser	
  uma	
  carteira	
  sem	
  risco?	
  
	
  
Risco	
  da	
  carteira	
  
A	
  variância	
  de	
  uma	
  carteira	
  C	
  de	
  dois	
  aIvos	
  (X	
  e	
  Y)	
  será:	
  
11
• Cov(X,X) = V arX = �2
• Cov(aX + b, cY + d) = ac Cov(X,Y )
• Cov(
P
i
X
i
P
j
Y
j
=
P
i
P
j
(Cov(X
i
, Y
j
)
• Se X e Y são independentes Cov(X,Y ) = 0
O coeficiente de correlação ⇢
X
Y , é uma medida de covariância padronizada pelos desvios padrões das
variáveis relacionadas X e Y, e nunca pode ser maior do que 1 ou menor do que -1.
⇢
XY
=
�
XY
�
X
�
Y
(1.16)
Uma correlação próxima a zero indica que as duas variáveis quase não estão relacionadas, ou seja, são
independentes. Uma correlação positiva indica que as duas variáveis movem juntas, e a relação é forte
quanto mais a correlação se aproxima de um. Uma correlação negativa indica que as duas variáveis movem-
se em direções opostas, e a relação também fica mais forte quanto mais próxima de -1 a correlação ficar.
Duas variáveis que estão perfeitamente correlacionadas positivamente (⇢ = 1) movem-se essencialmente
em perfeita proporção na mesma direção, enquanto dois conjuntos que estão perfeitamente correlacionados
negativamente (⇢ = �1) movem-se em perfeita proporção em direções opostas.
Para refletir: 
O resultado de uma carteira composta de dois ativos de risco poderá ser uma carteira 
sem risco? 
Os estudos sobre a seleção de carteira tiveram um grande impulse com Markowitz, ele tornou
clara a sabedoria popular de que não se deve por todos os ovos em uma mesma cesta. Ou em termos
financeiros que o risco da carteira apesar de também ser representado pelo desvio padrão da carteira, será
menor que o maior risco dentre os ativos nela presentes. Seu cálculo também será precedido do cálculo
da variância da carteira.
A variância de uma carteira C de dois ativos (X e Y) será:
�
2
C
= w2
X
�
2
X
+ w2
Y
�
2
Y
+ 2w
X
w
Y
�
XY
(1.17)
ou utilizando 1.16,
�
2
C
= w2
X
�
2
X
+ w2
Y
�
2
Y
+ 2w
X
w
Y
⇢
XY
�
X
�
Y
(1.18)
ou ainda de forma geral para n ativos:
�
2
C
=
nX
i=1
w
2
i
�
2
i
+
nX
i=1
nX
j=1
w
i
w
j
⇢
ij
�
i
�
j
(1.19)
e claro,
�
C
=
q
�
2
C
(1.20)
Ou	
  	
  
11
• Cov(X,X) = V arX = �2
• Cov(aX + b, cY + d) = ac Cov(X,Y )
• Cov(
P
i
X
i
P
j
Y
j
=
P
i
P
j
(Cov(X
i
, Y
j
)
• Se X e Y são independentes Cov(X,Y ) = 0
O coeficiente de correlação ⇢
X
Y , é uma medida de covariância padronizada pelos desvios padrões das
variáveis relacionadas X e Y, e nunca pode ser maior do que 1 ou menor do que -1.
⇢
XY
=
�
XY
�
X
�
Y
(1.16)
Uma correlação próxima a zero indica que as duas variáveis quase não estão relacionadas, ou seja, são
independentes. Uma correlação positiva indica que as duas variáveis movem juntas, e a relação é forte
quanto mais a correlação se aproxima de um. Uma correlação negativa indica que as duas variáveis movem-
se em direções opostas, e a relação também fica mais forte quanto mais próxima de -1 a correlação ficar.
Duas variáveis que estão perfeitamente correlacionadas positivamente (⇢ = 1) movem-se essencialmente
em perfeita proporção na mesma direção, enquanto dois conjuntos que estão perfeitamente correlacionados
negativamente (⇢ = �1) movem-se em perfeita proporção em direções opostas.
Para refletir: 
O resultado de uma carteira composta de dois ativos de risco poderá ser uma carteira 
sem risco? 
Os estudos sobre a seleção de carteira tiveram um grande impulse com Markowitz, ele tornou
clara a sabedoria popular de que não se deve por todos os ovos em uma mesma cesta. Ou em termos
financeiros que o risco da carteira apesar de também ser representado pelo desvio padrão da carteira, será
menor que o maior risco dentre os ativos nela presentes. Seu cálculo também será precedido do cálculo
da variância da carteira.
A variância de uma carteira C de dois ativos (X e Y) será:
�
2
C
= w2
X
�
2
X
+ w2
Y
�
2
Y
+ 2w
X
w
Y
�
XY
(1.17)
ou utilizando 1.16,
�
2
C
= w2
X
�
2
X
+ w2
Y
�
2
Y
+ 2w
X
w
Y
⇢
XY
�
X
�
Y
(1.18)
ou ainda de forma geral para n ativos:
�
2
C
=
nX
i=1
w
2
i
�
2
i
+
nX
i=1
nX
j=1
w
i
w
j
⇢
ij
�
i
�
j
(1.19)
e claro,
�
C
=
q
�
2
C
(1.20)
Generalizando	
  de	
  forma	
  mneumônica	
  
11
• Cov(X,X) = V arX = �2
• Cov(aX + b, cY + d) = ac Cov(X,Y )
• Cov(
P
i
X
i
P
j
Y
j
=
P
i
P
j
(Cov(X
i
, Y
j
)
• Se X e Y são independentes Cov(X,Y ) = 0
O coeficiente de correlação ⇢
X
Y , é uma medida de covariância padronizada pelos desvios padrões das
variáveis relacionadas X e Y, e nunca pode ser maior do que 1 ou menor do que -1.
⇢
XY
=
�
XY
�
X
�
Y
(1.16)
Uma correlação próxima a zero indica que as duas variáveis quase não estão relacionadas, ou seja, são
independentes. Uma correlação positiva indica que as duas variáveis movem juntas, e a relação é forte
quanto mais a correlação se aproxima de um. Uma correlação negativa indica que as duas variáveis movem-
se em direções opostas, e a relação também fica mais forte quanto mais próxima de -1 a correlação ficar.
Duas variáveis que estão perfeitamente correlacionadas positivamente (⇢ = 1) movem-se essencialmente
em perfeita proporção na mesma direção, enquanto dois conjuntos que estão perfeitamente correlacionados
negativamente (⇢ = �1) movem-se em perfeita proporção em direções opostas.
Para refletir: 
O resultado de uma carteira composta de dois ativos de risco poderá ser uma carteira 
sem risco? 
Os estudos sobre a seleção de carteira tiveram um grande impulse com Markowitz, ele tornou
clara a sabedoria popular de que não se deve por todos os ovos em uma mesma cesta. Ou em termos
financeiros que o risco da carteira apesar de também ser representado pelo desvio padrão da carteira, será
menor que o maior risco dentre os ativos nela presentes. Seu cálculo também será precedido do cálculo
da variância da carteira.
A variância de uma carteira C de dois ativos (X e Y) será:
�
2
C
= w2
X
�
2
X
+ w2
Y
�
2
Y
+ 2w
X
w
Y
�
XY
(1.17)
ou utilizando 1.16,
�
2
C
= w2
X
�
2
X
+ w2
Y
�
2
Y
+ 2w
X
w
Y
⇢
XY
�
X
�
Y
(1.18)
ou ainda de forma geral para n ativos:
�
2
C
=
nX
i=1
w
2
i
�
2
i
+
nX
i=1
nX
j=1
w
i
w
j
⇢
ij
�
i
�
j
(1.19)
e claro,
�
C
=
q
�
2
C
(1.20)
11
• Cov(X,X) = V arX = �2
• Cov(aX + b, cY + d) = ac Cov(X,Y )
• Cov(
P
i
X
i
P
j
Y
j
=
P
i
P
j
(Cov(X
i
, Y
j
)
• Se X e Y são independentes Cov(X,Y ) = 0
O coeficiente de correlação ⇢
X
Y , é uma medida de covariância padronizada pelos desvios padrões das
variáveis relacionadas X e Y, e nunca pode ser maior do que 1 ou menor do que -1.
⇢
XY
=
�
XY
�
X
�
Y
(1.16)
Uma correlação próxima a zero indica que as duas variáveis quase não estão relacionadas, ou seja, são
independentes. Uma correlação positiva indica que as duas variáveis movem juntas, e a relação é forte
quanto mais a correlação se aproxima de um. Uma correlação negativa indica que as duas variáveis movem-
se em direções opostas, e a relação também fica mais forte quanto mais próxima de -1 a correlação ficar.
Duas variáveis que estão perfeitamente correlacionadas positivamente (⇢ = 1) movem-se essencialmente
em perfeita proporção na mesma direção, enquanto dois conjuntos que estão perfeitamente correlacionados
negativamente (⇢ = �1) movem-se em perfeita proporção em direções opostas.
Para refletir: 
O resultado de uma carteira composta de dois ativos de risco poderá ser uma carteira 
sem risco? 
Os estudos sobre a seleção de carteira tiveram um grande impulse com Markowitz, ele tornou
claraa sabedoria popular de que não se deve por todos os ovos em uma mesma cesta. Ou em termos
financeiros que o risco da carteira apesar de também ser representado pelo desvio padrão da carteira, será
menor que o maior risco dentre os ativos nela presentes. Seu cálculo também será precedido do cálculo
da variância da carteira.
A variância de uma carteira C de dois ativos (X e Y) será:
�
2
C
= w2
X
�
2
X
+ w2
Y
�
2
Y
+ 2w
X
w
Y
�
XY
(1.17)
ou utilizando 1.16,
�
2
C
= w2
X
�
2
X
+ w2
Y
�
2
Y
+ 2w
X
w
Y
⇢
XY
�
X
�
Y
(1.18)
ou ainda de forma geral para n ativos:
�
2
C
=
nX
i=1
w
2
i
�
2
i
+
nX
i=1
nX
j=1
w
i
w
j
⇢
ij
�
i
�
j
(1.19)
e claro,
�
C
=
q
�
2
C
(1.20)
Exemplo	
  5	
  
•  Com	
  os	
  dados	
  relacionados	
  na	
  tabela	
  abaixo	
  calcule	
  o	
  retorno	
  
e	
  o	
  risco	
  da	
  carteira	
  Gama	
  	
  composta	
  pelos	
  aIvos	
  de	
  risco	
  X	
  e	
  
Y,	
  sabendo	
  que	
  ρXY=1;	
  -­‐1;0,5;-­‐0,5.	
  
•  	
  	
  
12
Exemplo 5 Com os dados relacionados na tabela abaixo calcule o retorno e o risco da carteira Gama
composta pelos ativos de risco X e Y, sabendo que ⇢
X
Y = 1; -1;0.5;-0.5.
Solução:
O retorno só depende dos retornos individuais e dos pesos assim seu valor esperado é dado pela equação
1.13,
K̄ =
nX
i=1
K
i
w
i
= 0.40⇥ 23 + 0.60⇥ 15 = 18, 20%
O cálculo da variância e risco da carteira, utilizando as equações 1.19 e 1.20 com ⇢
X
Y = 1, ou seja
correlação perfeitamente positiva.
�
2
C
=
nX
i=1
w
2
i
�
2
i
+
nX
i=1
nX
j=1
w
i
w
j
⇢
ij
�
i
�
j
= w2
X
�
2
X
+ w2
Y
�
2
Y
+ 2w
X
w
Y
⇢
XY
�
X
�
Y
= 0.402 ⇥ 13.52 + 0.62 ⇥ 92 + 2⇥ 1.0⇥ 0.40⇥ 0.60⇥ 13.5⇥ 9 = 116.64
e
�
C
=
q
�
2
C
=
p
116.64 = 10.80
Atente para o fato de que o risco da carteira neste caso mais adverso, em que os ativos experi-
mentam uma correlação perfeitamente positiva se apresenta entre os dois valores dos riscos dos ativos.
Neste caso devida a correlação perfeita e positiva o valor corresponde a média ponderada dos riscos.
Fazendo para ⇢
XY
= �1,
�
2
C
= 0.402 ⇥ 13.52 + 0.62 ⇥ 92 + 2⇥ (�1)⇥ 0.40⇥ 0.60⇥ 13.5⇥ 9 = 0
logo �
C
= 0. Veja que neste exemplo, com a correlação perfeitamente negativa foi posśıvel obter uma
carteira virtualmente sem risco7.
Fazendo para ⇢
XY
= 0.5,
�
2
C
= 0.402 ⇥ 13.52 + 0.62 ⇥ 92 + 2⇥ 0.5⇥ 0.40⇥ 0.60⇥ 13.5⇥ 9 = 87, 48
logo �
C
=
p
87, 48 = 9, 35.
Fazendo para ⇢
XY
= �0.5,
�
2
C
= 0.402 ⇥ 13.52 + 0.62 ⇥ 92 + 2⇥ (�0.5)⇥ 0.40⇥ 0.60⇥ 13.5⇥ 9 = 29, 16
logo �
C
=
p
29, 16 = 5, 40.
7Este exemplo possui números estudados e cujo objetivo é didático, na prática é dif́ıcil embora não imposśıvel, encontrar
ativos que possuam correlação perfeitamente negativa. Mas sempre é posśıvel diversificar o risco.
Exemplo	
  5	
  -­‐	
  Solução	
  
•  retorno	
  só	
  depende	
  dos	
  retornos	
  individuais	
  e	
  dos	
  pesos,	
  
assim:	
  
•  O	
  cálculo	
  da	
  variância	
  e	
  risco	
  da	
  carteira	
  	
  
•  Correlação	
  perfeitamente	
  posiIva.	
  
12
Exemplo 5 Com os dados relacionados na tabela abaixo calcule o retorno e o risco da carteira Gama
composta pelos ativos de risco X e Y, sabendo que ⇢
X
Y = 1; -1;0.5;-0.5.
Solução:
O retorno só depende dos retornos individuais e dos pesos assim seu valor esperado é dado pela equação
1.13,
K̄ =
nX
i=1
K
i
w
i
= 0.40⇥ 23 + 0.60⇥ 15 = 18, 20%
O cálculo da variância e risco da carteira, utilizando as equações 1.19 e 1.20 com ⇢
X
Y = 1, ou seja
correlação perfeitamente positiva.
�
2
C
=
nX
i=1
w
2
i
�
2
i
+
nX
i=1
nX
j=1
w
i
w
j
⇢
ij
�
i
�
j
= w2
X
�
2
X
+ w2
Y
�
2
Y
+ 2w
X
w
Y
⇢
XY
�
X
�
Y
= 0.402 ⇥ 13.52 + 0.62 ⇥ 92 + 2⇥ 1.0⇥ 0.40⇥ 0.60⇥ 13.5⇥ 9 = 116.64
e
�
C
=
q
�
2
C
=
p
116.64 = 10.80
Atente para o fato de que o risco da carteira neste caso mais adverso, em que os ativos experi-
mentam uma correlação perfeitamente positiva se apresenta entre os dois valores dos riscos dos ativos.
Neste caso devida a correlação perfeita e positiva o valor corresponde a média ponderada dos riscos.
Fazendo para ⇢
XY
= �1,
�
2
C
= 0.402 ⇥ 13.52 + 0.62 ⇥ 92 + 2⇥ (�1)⇥ 0.40⇥ 0.60⇥ 13.5⇥ 9 = 0
logo �
C
= 0. Veja que neste exemplo, com a correlação perfeitamente negativa foi posśıvel obter uma
carteira virtualmente sem risco7.
Fazendo para ⇢
XY
= 0.5,
�
2
C
= 0.402 ⇥ 13.52 + 0.62 ⇥ 92 + 2⇥ 0.5⇥ 0.40⇥ 0.60⇥ 13.5⇥ 9 = 87, 48
logo �
C
=
p
87, 48 = 9, 35.
Fazendo para ⇢
XY
= �0.5,
�
2
C
= 0.402 ⇥ 13.52 + 0.62 ⇥ 92 + 2⇥ (�0.5)⇥ 0.40⇥ 0.60⇥ 13.5⇥ 9 = 29, 16
logo �
C
=
p
29, 16 = 5, 40.
7Este exemplo possui números estudados e cujo objetivo é didático, na prática é dif́ıcil embora não imposśıvel, encontrar
ativos que possuam correlação perfeitamente negativa. Mas sempre é posśıvel diversificar o risco.
12
Exemplo 5 Com os dados relacionados na tabela abaixo calcule o retorno e o risco da carteira Gama
composta pelos ativos de risco X e Y, sabendo que ⇢
X
Y = 1; -1;0.5;-0.5.
Solução:
O retorno só depende dos retornos individuais e dos pesos assim seu valor esperado é dado pela equação
1.13,
K̄ =
nX
i=1
K
i
w
i
= 0.40⇥ 23 + 0.60⇥ 15 = 18, 20%
O cálculo da variância e risco da carteira, utilizando as equações 1.19 e 1.20 com ⇢
X
Y = 1, ou seja
correlação perfeitamente positiva.
�
2
C
=
nX
i=1
w
2
i
�
2
i
+
nX
i=1
nX
j=1
w
i
w
j
⇢
ij
�
i
�
j
= w2
X
�
2
X
+ w2
Y
�
2
Y
+ 2w
X
w
Y
⇢
XY
�
X
�
Y
= 0.402 ⇥ 13.52 + 0.62 ⇥ 92 + 2⇥ 1.0⇥ 0.40⇥ 0.60⇥ 13.5⇥ 9 = 116.64
e
�
C
=
q
�
2
C
=
p
116.64 = 10.80
Atente para o fato de que o risco da carteira neste caso mais adverso, em que os ativos experi-
mentam uma correlação perfeitamente positiva se apresenta entre os dois valores dos riscos dos ativos.
Neste caso devida a correlação perfeita e positiva o valor corresponde a média ponderada dos riscos.
Fazendo para ⇢
XY
= �1,
�
2
C
= 0.402 ⇥ 13.52 + 0.62 ⇥ 92 + 2⇥ (�1)⇥ 0.40⇥ 0.60⇥ 13.5⇥ 9 = 0
logo �
C
= 0. Veja que neste exemplo, com a correlação perfeitamente negativa foi posśıvel obter uma
carteira virtualmente sem risco7.
Fazendo para ⇢
XY
= 0.5,
�
2
C
= 0.402 ⇥ 13.52 + 0.62 ⇥ 92 + 2⇥ 0.5⇥ 0.40⇥ 0.60⇥ 13.5⇥ 9 = 87, 48
logo �
C
=
p
87, 48 = 9, 35.
Fazendo para ⇢
XY
= �0.5,
�
2
C
= 0.402 ⇥ 13.52 + 0.62 ⇥ 92 + 2⇥ (�0.5)⇥ 0.40⇥ 0.60⇥ 13.5⇥ 9 = 29, 16
logo �
C
=
p
29, 16 = 5, 40.
7Este exemplo possui números estudados e cujo objetivo é didático, na prática é dif́ıcil embora não imposśıvel, encontrar
ativos que possuam correlação perfeitamente negativa. Mas sempre é posśıvel diversificar o risco.
Exemplo	
  5	
  -­‐	
  conInua	
  
Com	
  correlação	
  perfeitamente	
  negaIva	
  
12
Exemplo 5 Com os dados relacionados na tabela abaixo calcule o retorno e o risco da carteira Gama
composta pelos ativos de risco X e Y, sabendo que ⇢
X
Y = 1; -1;0.5;-0.5.
Solução:
O retorno só depende dos retornos individuais e dos pesos assim seu valor esperado é dado pela equação
1.13,
K̄ =
nX
i=1
K
i
w
i
= 0.40⇥ 23 + 0.60⇥ 15 = 18, 20%
O cálculo da variância e risco da carteira, utilizando as equações 1.19 e 1.20 com ⇢
X
Y = 1, ou seja
correlação perfeitamente positiva.
�
2
C
=
nX
i=1
w
2
i
�
2
i
+
nX
i=1
nX
j=1
w
i
w
j
⇢
ij
�
i
�
j
= w2
X
�
2
X
+ w2
Y
�
2
Y
+ 2w
X
w
Y
⇢
XY
�
X
�
Y
= 0.402 ⇥ 13.52 + 0.62 ⇥ 92 + 2⇥ 1.0⇥ 0.40⇥ 0.60⇥ 13.5⇥ 9 = 116.64
e
�
C
=
q
�
2
C
=
p
116.64 = 10.80
Atente para o fato de que o risco da carteira neste caso mais adverso, em que os ativos experi-
mentam uma correlação perfeitamente positiva se apresenta entre os dois valores dos riscos dos ativos.
Neste caso devida a correlação perfeita e positiva o valor corresponde a média ponderada dos riscos.
Fazendo para ⇢
XY
= �1,
�
2
C
= 0.402 ⇥ 13.52 + 0.62 ⇥ 92 + 2⇥ (�1)⇥ 0.40⇥ 0.60⇥ 13.5⇥ 9 = 0
logo �
C
= 0. Veja