Gabarito - Atividade Pratica 4 - Matemática Empresarial

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UNIVERSIDADE LUTERANA DO BRASIL 
 
Disciplina: Matemática Empresarial 
Professora: Magda Leyser 
Créditos: 4 Unidade/EAD:1000 
Horas/Aula totais:68 Ano/Sem:2019/1 
 
Esta Atividade Prática apresenta exercícios de aplicação dos conceitos trabalhados e 
desenvolvidos nos Capítulos 9 e 10 do Livro Texto. 
As questões abaixo relacionadas versam sobre integral e suas aplicações na economia e 
vale observar que: 
 
i. Você estudou também a função demanda e viu que ela relaciona o preço de um 
produto à quantidade comprada, demandada, pelo consumidor. Viu também que a 
função demanda é, geralmente, uma função decrescente, pois conforme o preço do 
produto aumenta a quantia demandada diminui. Observe abaixo o gráfico da função 
demanda de certo produto onde consideramos como ponto A(q0 ; p0) determinado por 
q0 (quantia demandada) quando o preço é o preço de mercado p0 (preço de equilíbrio 
de mercado). 
Lembre-se que os economistas denominam a área da região destacada no gráfico, 
que é limitada pelo gráfico da função demanda, pela reta horizontal p = po e pela 
reta vertical q=0, de excedente do consumidor. A área da região pode ser 
calculada pela integral definida 
 
 
 ou por 
 
 
 Podemos 
dizer que o excedente do consumidor é a diferença entre o que o consumidor está 
disposto a gastar e o que ele realmente gasta. 
 
 
 
 
 
 
ii. Conforme estudado no Capítulo 10 do Livro Texto, temos que os economistas 
denominam a área da região destacada no gráfico, que é limitada pelo gráfico da 
função oferta, pela reta horizontal p = po e pela reta vertical q=0, de excedente do 
produtor. A área da região pode ser calculada pela integral definida 
 
 
 ou 
 
 
 Podemos dizer que o excedente do produtor é a 
diferença entre o valor real obtido na venda do produto pelo produtor e o mínimo 
que o produtor está disposto a receber na venda do produto. Observe abaixo o 
gráfico da função oferta de certo produto onde consideramos como ponto 
determinado por (quantia ofertada) quando o preço é o preço de mercado (preço de 
equilíbrio de mercado). 
 
 
Questão 1 – As funções de oferta e demanda de um certo produto são modeladas 
por: 
 e demanda 
 , onde x representa 
quantidade e y1, y2 representam preços em unidades monetárias por 1000. Determine o 
excedente de consumo no(s) ponto(s) de equilíbrio(s). 
 
 
Iniciamos pela determinação dos pontos de equilíbrio, para isso função oferta= função 
demanda, isto é: 
Função oferta = Função demanda 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 e 
 
 
 
 
 
 
Assim, as quantidades de equilíbrio de mercado são x=20 e x=25 e os respectivos preços de 
equilíbrio de mercado são: 
Quando a quantidade x=20 temos que o preço de mercado 
 
Observe que se substituirmos esse valor na função demanda obtemos o mesmo valor para 
y, 
 
Quando a quantidade x=25 temos que o preço de mercado 
 
Observe que se substituirmos esse valor na função demanda obtemos o mesmo valor para 
y, 
 
 
Assim, o equilíbrio de mercado ocorre quando são respectivamente (25; 3375) e 
(20;3200). O que pode ser verificado quando construímos no mesmo sistema de eixos o 
gráfico das duas funções. 
 
 
 
Questão 2 – Seja a função oferta para certo produto. Faça o que se pede em 
cada item. 
a)Faça o gráfico da função oferta e assinale a área que representa o excedente do produtor 
quando o preço do produto é p=42. 
b) Determine o excedente do produtor para p= 42. 
 
Questão 3 – Um determinado produto possui a seguinte função de demanda: p + 0,25q – 
8 = 0 e sua função oferta dada pela seguinte expressão: p - 0,15q – 2 = 0. Com base 
nesses dados faça o que se pede em cada item. 
a) Construa o gráfico das duas funções no mesmo sistema de eixos. 
b) Determine o ponto de equilíbrio de mercado. 
c) Calcule o excedente do consumidor para o preço de equilíbrio. 
d) Calcule o excedente do produtor para o preço de equilíbrio. 
 
Sabe-se que o custo , em reais, para produzir q unidades de um produto é dado 
pela função . A função receita para este produto é dada por 
 
Com base nesses dados, determine o que se pede em cada item. 
a) Apresente a função lucro. 
 
 
 
 
 
b) Apresente a função custo médio. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) Apresente a função custo marginal. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) Apresente a função receita média. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
e) Apresente a função receita marginal. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
f) Apresente a função lucro marginal. 
 
 
 
 
 
Outra maneira de resolver é: 
 
 
 
 
 
 
 
g) Qual deve ser a quantidade de unidades produzidas para que o custo seja 
mínimo? 
Observando que a função custo tem como gráfico uma 
parábola de concavidade positiva então identificamos que o vértice da parábola é o 
valor do domínio onde a função tem menor imagem, e no caso então será o valor de 
q onde temos o custo menor, ou seja, comparado com os demais valores de q o 
custo será mínimo. 
A derivada da função custo informa o valor de q do vértice. Assim para determinar q 
de custo mínimo teremos que resolver a equação: 
 
 
 
 
Resolvendo a equação 
 
 
 
 
 
Portanto o custo mínimo ocorre quando e, portanto como a função custo é 
 
 
Assim essa produção de custo mínimo de R$2.475,00 quando a quantidade 
produzida é de 45 unidades. 
 
Questão 2 
Considerando que a receita de uma empresa, em função da quantidade vendida, 
pode ser modelada pela função , apresente a quantidade que 
deve ser vendida para que a receita seja máxima. 
 
O valor de receita máxima ocorre quando estudamos os valores de x onde a 
derivada da função receita se anula. Assim, sabendo que 
temos 
 
 
 
 
 
 
Portanto 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 e 
 
 
 
 
 
 
Avaliando a função para os valores críticos encontrados acima 
 e 
Temos duas opções estudar o sinal da derivada da função ou avaliar a função e esboçar o 
gráfico para interpretar a imagem da função nos valores críticos. Escolhendo alguns valores 
entorno dos valores críticos temos: 
 
Observando o sinal da função derivada para valores antes e depois dos valores críticos 
 e temos que a derivada antes de no caso, x=14 , sua derivada é 
positiva e para valores de pois de , no caso x=30, a derivada é negativa, comprovando 
que esse valor crítico é Maximo da função receita. 
Já para o verificamos quea derivada para é negativa e para é positiva, 
observando que se trata de um mínimo da função. 
Mas agora se construirmos o gráfico da função R(x) com os valores apresentados nesta 
tabela, temos a seguinte representação, onde observamos que é o valor do domínio 
onde temos o maior valor para imagem da função receita. Portanto , o Maximo da funcao receita 
ocorre para a quantidade de unidades e será de 2844,44 milhares de reais ou 2844,44 
vezes = 
 
 
 
 
Questão 3 
Um produto tem a seguinte função de custo: . Sua 
equação de demanda é dada por: . Determine: 
a) Apresente a função custo médio. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Apresente a função custo marginal. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) Apresente a função receita. 
Observe que a função receita é determinada pela quantidade produzida e 
vendida ao preço unitário de reais. Ou seja: 
O preço unitário é determinado pela função demanda, 
assim, nesta função teremos que isolar o preço para ser substituído na função 
receita e assim termos o comportamento da função receita em função da 
quantidade produzida e vendida. 
 
 
 
 
 
 
Daí: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) Apresente as funções receita média e receita marginal. 
 A função receita média é : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A função receita marginal é : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
e) Apresente a função lucro. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
f) Apresente as funções lucro médio e lucro marginal. 
A função lucro médio é : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A função receita marginal é : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
g) Qual deve ser a quantidade de unidades produzidas para que a receita seja 
máxima? 
A receita máxima ocorre quando a derivada da receita marginal é zero, isto é a 
receita marginal é igual a zero, no caso: 
 
 
 
 
 daí 
 
 
 
 
 
 
 
 
A receita máxima ocorre para a produção de 300 unidades. 
Para confirmar podemos esboçar o gráfico da função receita 
 
 
 
 . Seu gráfico é uma parábola de concavidade negativa, portanto o 
vértice é o valor do domínio onde ocorre o maior valor para imagem da função. O 
que podemos observar no gráfico abaixo: 
 
 
 
 
h) Encontre também o valor destas funções quando forem vendidas 450 unidades 
deste produto. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A receita para uma produção de 450 unidades é de 10125 milhares de reais, 
 
 . 
 
 
O custo para uma produção de 450 unidades é de 38550 milhares de reais, 
 
 
 
 
 
 
 
 
O lucro para uma produção de 450 unidades é de -28425 milhares de reais, 
 , ou seja, um prejuízo. Observe que 
obteremos o mesmo resultado de calcularmos 
 
 
O preço unitário para a produção de 450 unidades será de: