7 - Círculos, Circunferências e Lugares Geométricos

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BLOCO 7 – 21/04/2018 a 27/04/2018
UNIDADE XIII– Círculo e circunferência
UNIDADE XIV – Lugares geométricos
UNIDADE XIII– Círculo e circunferência
Circunferência é um conjunto de pontos de um plano cuja distância a um ponto dado O desse plano é sempre igual a uma distância r (não nula) dada.
O ponto dado O é o centro da circunferência e a distância dada r é o raio da circunferência.
Assim, dado um plano , um ponto O de e uma distância r
C(O,r) = sendo C(O,r) a circunferência de centro O
 e raio r
Circulo ou disco é um conjunto dos pontos de um plano cuja distância a um ponto dado O desse plano é menor ou igual a uma distância r (não nula) dada.
C(O,r) = 
POSIÇÕES RELATIVAS DE UM PONTO E UMA CIRCUNFERÊNCIA
Considere um ponto P e uma circunferência C(O, r)
Só existem três posições para um ponto e uma circunferência:
P é interno a C, se a distância entre P e O é menor que o raio,
P pertence à C, se a distância entre P e O é igual ao raio,
P é externo a C, se a distância entre P e O é maior que o raio.
Na figura, M é interno, P pertence á circunferência C e T é ponto externo à circunferência.
CORDA E DIÂMETRO
Corda de uma circunferência é um segmento cujos extremos pertencem à circunferência.
Diâmetro de uma circunferência é uma corda que passa pelo centro.
Na figura, AB é uma corda enquanto BC é um diâmetro.
Propriedade da corda
Considere uma corda AB de uma circunferência C. Se M é o ponto médio da corda AB, então OM é perpendicular à corda.
Demonstração:
Pelo caso de congruência LLL os triângulos AOM e BOM
são congruentes, por isso, o ângulo é congruente com
o ângulo, medindo 90° cada.
POSIÇÕES RELATIVAS DE UMA RETA E UMA CIRCUNFERÊNCIA
I. Reta secante a uma circunferência é a reta que intercepta a circunferência em dois pontos distintos.
Na figura, a reta r é secante à circunferência C
r
II. Reta Tangente é uma reta que intercepta uma circunferência em apenas um ponto.
Na figura, a reta t é tangente à circunferência C e o ponto D é chamado ponto de tangência.
Propriedade da reta tangente.
Toda tangente a uma circunferência é perpendicular ao raio no ponto de tangência.
III. Reta Externa não tem ponto em comum com a circunferência.
Resumo:
ÂNGULOS NA CIRCUNFERÊNCIA
I. Ângulo central relativo a uma circunferência é o ângulo que tem o vértice no centro da circunferência e a medida do ângulo central é igual à medida do arco 
II. Angulo Inscrito relativo a uma circunferência é um ângulo que tem um vértice na circunferência e os lados são secantes a ela.
A medida de um ângulo inscrito é a metade do ângulo central correspondente ou a medida do ângulo inscrito mede a metade da medida do arco correspondente.
Demonstração 
Consequências imediatas:
a) Ângulo inscrito numa semicircunferência mede 90°. 
Daí, concluímos também, que todo triângulo inscrito num semicírculo é triângulo retângulo.
b) Quadrilátero Inscrito
Em todo quadrilátero inscrito numa circunferência, os ângulos. 
opostos somam 180° (são suplementares).
III. Ângulo Excêntrico Interior mede a semissoma dos arcos correspondentes.
IV. Ângulo Excêntrico Exterior mede a semi-diferença dos arcos correspondentes
V. Ângulo de segmento ou ângulo semi-inscrito relativo a uma circunferência é um ângulo que tem os vértices na circunferência, um lado secante e o outro tangente à circunferência. 
POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS E UMA CIRCUNFERÊNCIA
I. Duas retas tangentes
Se de um ponto P conduzirmos os segmentos e ambos tangentes a uma circunferência, com A e B na circunferência, então = .
Consequência imediata – QUADRILÁTERO CIRCUNSCRITO
II. Duas retas secantes a uma circunferência, podem se encontrar dentro ou fora da circunferência. Em ambos os casos, vale a relação . = . 
III. Uma secante e uma tangente 
O COMPRIMENTO DA CIRCUNFERÊNCIA
“ A razão entre o perímetro de uma circunferência e o seu diâmetro é um número constante representado por ”
O COMPRIMENTO DE UM ARCO DE CIRCUNFERÊNCIA
Exercícios propostos.
01) Se o raio de uma circunferência aumenta de 1 m, de quanto aumenta o comprimento?
02) Dado uma circunferência de diâmetro d, calcular o comprimento de um arco cujo ângulo central corresponde a:
a) 30° b) 45° c) 60°
03) As rodas de um automóvel têm 32 cm de raio. Que distância percorreu o automóvel depois que as rodas deram 8000 voltas?
04) De quanto aumenta o raio de uma circunferência quando o seu comprimento aumenta de 5 m?
05) Num círculo, uma corda de 3 cm dista 2 cm do centro. Calcule o comprimento da circunferência.
06) Determine x nas figuras abaixo:
a) b) 
 
07) Calcule x em cada caso: 
a) b) 
08) Na figura, o círculo de centro O é inscrito no triângulo ABC. = 4 cm, = 3 cm e = 5 cm. Qual é o perímetro do triângulo ABC ?
09) Na figura, = 10 cm. Calcular o perímetro do triângulo PRS.
010) Determinar o perímetro do quadrilátero ABCD, circunscrito, da figura:
011) Calcule a medida do raio r do circulo inscrito no trapézio retângulo abaixo.
012) Calcule x 
013) Calcule x
014) Calcule x nas figuras
RESPOSTAS DESTAS QUESTÕES
01) 2
02) a) b) c) 
03) 512000 cm
04) m
05) 5 cm
06) 3 b) 6
07) A) 35° b) 4
08) 24 cm
09) 20 cm
010) 20 
011) 6
012) 35°
013) 150°
014) A) 80° B) 90° C) 52°
UNIDADE XIV – Lugares geométricos
Lugar Geométrico é um conjunto de pontos caracterizado por uma propriedade.
Principais lugares geométricos:
a) A circunferência é o lugar geométrico dos pontos de um plano que distam r do ponto O.
b) A mediatriz é o lugar geométrico dos pontos equidistantes dos extremos do segmento, pois todos os pontos sobre a mediatriz estão a uma mesma distância dos pontos A e B, pois os triângulos XAM e XBM são congruentes pelo caso LAL.
c) Reunião de paralelas
É o lugar geométrico dos pontos que estão a uma distância dada d de uma reta dada r.
Na figura, s1 e s2 são os lugares geométricos dos pontos equidistantes de r.
d) Bissetrizes
É o lugar geométrico dos pontos equidistantes de duas retas concorrentes.
Veja que todos os pontos sobre as bissetrizes são equidistantes dos lados dos ângulos, caracterizados.
pelas retas r e s.