Séries de Fourier e a Biografia de Joseph Fourier

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Fourier
Apesar de já ter sido tratado em outras disciplinas, examinaremos aqui Séries de
Fourier, como uma revisão para alguns, mas sempre como um novo ponto de vista
de engenharia.
2.1 Jean Baptiste Joseph Fourier - Breve Biografia
O pai de Joseph Fourier era um alfaiate em Auxerre. Após a morte de sua primeira
esposa, com quem teve três filhos, ele casou-se novamente e Joseph foi o nono dos
doze filhos deste segundo casamento.
Figura 2.1: Jean Baptiste Joseph
Fourier
A mãe de Joseph morreu quando ele tinha nove
anos de idade e seu pai morreu no ano seguinte.
Sua primeira escola foi na escola de Pallais, di-
rigido pelo mestre de música da catedral. Lá Jo-
seph estudou latim e francês e mostrou grande
promessa. Ele entrou em 1780 na École Royale
Militaire de Auxerre, onde ele mostrou inicial-
mente um talento para a literatura, mas rapida-
mente, com a idade de treze anos, a matemática
tornou-se seu real interesse. Com a idade de 14,
ele havia concluído um estudo sobre os seis vo-
lumes de Cours de Bézout de mathématiques.
Em 1783 ele recebeu o primeiro prêmio pelo
seu estudo de Mécanique en général, de Bos-
sut.
9
10 2 Fourier
Em 1787 Fourier decidiu treinar para o sacerdócio e entrou na abadia beneditina de
St. Benoit-sur-Loire. Seu interesse pela matemática continuou, no entanto, e ele se
correspondeu com C. L. Bonard, o professor de matemática em Auxerre. Fourier não
tinha certeza se ele estava tomando a decisão certa na formação para o sacerdócio.
Ele submeteu um artigo sobre álgebra à Montucla, em Paris, e suas cartas a Bonard
sugerem que ele realmente queria ter um grande impacto na matemática. Em uma
carta escreveu Fourier: -
Ontem foi meu aniversário de 21 anos, e nessa idade Newton e Pascal já tinham adquirido
muitas reivindicações para a imortalidade.
Fourier não tomou seus votos religiosos. Tendo deixado St. Benoit, em 1789, visitou
Paris e leu um artigo sobre equações algébricas na Académie Royale des Sciences.
Em 1790 tornou-se professor na faculdade beneditina, École Royale Militaire de
Auxerre, onde havia estudado. Até este momento ele não tinha tido um conflito
sobre seguir uma vida religiosa ou uma de pesquisador na matemática. No entanto,
em 1793, um terceiro elemento foi adicionado neste conflito, quando ele se envolveu
na política e juntou-se ao Comitê Revolucionário local. Como ele escreveu:
Como as idéias naturais de igualdade desenvolvido foi possível conceber a esperança su-
blime de estabelecer entre nós um governo livre isentos de reis e sacerdotes, e para libertar
desse duplo jugo do solo a longo usurpado da Europa. Eu prontamente se apaixonou por
esta causa, na minha opinião o maior e mais belo que qualquer nação jamais realizada.
Certamente Fourier estava descontente com o terror que resultou da Revolução Fran-
cesa e ele tentou demitir-se do comitê. No entanto, este revelou-se impossível e
Fourier foi agora firmemente enredado com a Revolução e incapaz de se retirar. A
revolução foi um assunto complicado com muitas facções , com objetivos semelhan-
tes, violentamente se opõem um ao outro. Fourier defendia membros de uma facção
enquanto em Orléans. A carta descrevendo eventos relata: -
Cidadão de Fourier, um jovem cheio de inteligência, eloquência e fervor, foi enviado para
Loiret. ... Parece que Fourier ... apegou-se a certas plataformas populares. Ele pode falar
muito bem e se ele apresentar os pontos de vista da Sociedade de Auxerre ele não terá feito
nada condenável ...
Este incidente teve consequências graves, mas depois dele Fourier voltou a Auxerre
e continuou a trabalhar no comitê revolucionário e continuou a ensinar na Facul-
dade. Em julho de 1794 foi detido, com acusações relacionadas com o incidente
em Orléans, e foi preso. Fourier temia o que ele iria para a guilhotina, mas, depois
do próprio Robespierre ter ido para a guilhotina, mudanças políticas resultaram em
Fourier ser libertado .
Mais tarde, em 1794 Fourier foi nomeado para estudar na École Normale em Paris.
Esta instituição tinha sido criado para a formação de professores e que se destinava a
servir de modelo para outras escolas de formação de professores. A escola abriu em
Janeiro de 1795 e Fourier foi certamente o mais capaz dos alunos cujas habilidades
variou amplamente. Ele foi ensinado por Lagrange, que Fourier descreveu como
o primeiro entre os homens europeus da ciência,
2.1 Jean Baptiste Joseph Fourier - Breve Biografia 11
e também por Laplace, a quem Fourier não considerava no mesmo nível, e por
Monge que ele descreveu como
tem uma voz forte e está ativo, engenhoso e muito sábio.
Fourier começou a lecionar no Collège de France e, com as excelentes relações
com Lagrange, Laplace e Monge, aprofundou-se na pesquisa matemática. Ele foi
nomeado para um cargo na École Centrale des Travaux Publiques, que estava sob
a direção de Lazare Carnot e Gaspard Monge, e que logo seria renomeada École
Polytechnique. No entanto, a repercussão de sua prisão anterior permaneceu e ele
foi preso novamente. Sua liberação foi promovida por variedade de razões como,
pedidos de seus alunos, pedido de Lagrange, Laplace e Monge e uma mudança no
clima político. Na verdade todos os três podem ter desempenhado um papel.
Em 01 de setembro de 1795 Fourier estava de volta ensinando na École Polytech-
nique. Em 1797 ele sucedeu Lagrange, sendo nomeado para a cadeira de análise e
mecânica. Ele era conhecido como um excelente professor, mas ele não parece ter
realizado pesquisa original durante este tempo.
Em 1798 Fourier se juntou ao exército de Napoleão em sua invasão do Egito como
consultor científico. Monge e Malus também faziam parte da força expedicionária.
A expedição foi no início um grande sucesso. Malta foi ocupada em 10 de Junho de
1798, Alexandria tomada de assalto no dia 1 de julho, e o delta do Nilo foi tomado
rapidamente. No entanto, em 01 agosto de 1798 a frota francesa foi completamente
destruída pela frota de Nelson na Batalha do Nilo, de modo que Napoleão viu-se
confinado à terra que estava ocupando. Fourier agiu como um administrador na
medida em que instituições políticas ao estilo francês de administração foram sendo
criadas. Em particular, ele ajudou a criar instituições de ensino no Egito e realizou
explorações arqueológicas.
Enquanto no Cairo Fourier ajudou a fundar o Instituto do Cairo e foi um dos doze
membros da divisão de matemática, sendo dentre os outros Monge, Malus e até
mesmo Napoleão. Fourier foi eleito secretário do Instituto, cargo que continuou a
manter durante toda a ocupação francesa do Egito. Fourier também foi encarregado
de reunir as descobertas científicas e literárias feitas durante o tempo no Egito.
Napoleão abandonou o exército e retornou a Paris em 1799, e ele logo detinha o
poder absoluto na França. Fourier voltou à França em 1801, com os restos da força
expedicionária e retomou seu posto como professor de Análise na École Polytech-
nique. No entanto Napoleão tinha outras ideias sobre como Fourier poderia servi-lo
e escreveu: -
... O Prefeito do Departamento de Isère tendo morrido recentemente, gostaria de expressar
a minha confiança no cidadão Fourier, nomeando-o a este lugar.
Fourier não estava feliz com a perspectiva de deixar o mundo acadêmico e Paris,
mas não podia recusar o pedido de Napoleão. Ele foi para Grenoble, onde seus
deveres como prefeito foram muitos e variados. Suas duas maiores conquistas nessa
posição administrativa foram supervisionar a operação para drenar os pântanos de
12 2 Fourier
Bourgoin e supervisionar a construção de uma nova rodovia de Grenoble a Turim.
Ele também passava muito tempo trabalhando na Descrição do Egito, que não foi
concluída até 1810, quando Napoleão fez alterações, reescreveu a história em alguns
lugares, antes da publicação. No momento em que uma segunda edição apareceu
qualquer referência a Napoleão teria sido removida.
Foi durante seu tempo em Grenoble que Fourier fez o seu trabalho matemático im-
portante na teoria do calor. Seu trabalho sobre o tema começou por volta de 1804 e
por 1807ele havia terminado seu texto sobre a propagação de calor em corpos só-
lidos Théorie analytique de la chaleur. O livro foi lido para o Instituto de Paris em
21 de dezembro 1807 e uma comissão composta por Lagrange, Laplace, Monge e
Lacroix foi criada para relatar sobre o trabalho. Agora, este livro é muito altamente
considerado, mas na época causou polêmica .
Figura 2.2: Demonstração sa
série de Fourier
Havia duas razões para que o comitê se sentem
insatisfeitos com o trabalho. A primeira obje-
ção, feita por Lagrange e Laplace, em 1808, foi
a expansão de Fourier de funções como séries
trigonométricas, o que hoje chamamos de Sé-
rie de Fourier. Esclarecimentos adicionais de
Fourier não conseguiu convencê-los . Como é
apontado em [4]:
Todo este texto está escrito com tanta clareza
exemplar - a partir de um ponto de vista lógico e
não caligráfico - que a sua incapacidade de per-
suadir Laplace e Lagrange ... fornece um bom
índice da originalidade das ideias de Fourier.
A segunda objeção foi feita por Biot contra de-
rivação das equações de transferência de calor
de Fourier. Fourier não tinha feito referência a uma publicação de 1804, de Biot,
sobre este tema, mas este trabalho de Biot estava certamente incorreto. Laplace, e
mais tarde Poisson, tinham objeções similares.
O Instituto definiu como tema para a competição de matemática de 1811, a propaga-
ção de calor em corpos sólidos. Fourier apresentou seu livro junto com um trabalho
adicional no resfriamento de sólidos infinitos e calor terrestre e radiante. Apenas um
outro trabalho foi submetido, e a comissão criada para decidir sobre a atribuição do
premio, Lagrange, Laplace, Malus, Haüy e Legendre, concedeu a Fourier o mesmo.
O relatório não foi, porém, totalmente favorável e afirma:
... A maneira pela qual o autor chega a estas equações não está isenta de dificuldades e que
a sua análise para integrá-los ainda deixa algo a desejar no que diz respeito a generaliza-
ção e até mesmo rigor.
Com este relatório bastante misto não havia em Paris, quem se dispusesse a publicar
o trabalho de Fourier .
2.1 Jean Baptiste Joseph Fourier - Breve Biografia 13
Quando Napoleão foi derrotado e em seu caminho para o exílio em Elba, sua rota
deveria ter sido através de Grenoble. Fourier conseguiu evitar esse confronto difí-
cil, enviando uma mensagem de que seria perigoso para Napoleão. Quando soube
da fuga de Napoleão de Elba e que ele estava marchando em direção a Grenoble
com um exército, Fourier ficou extremamente preocupado. Ele tentou convencer o
povo de Grenoble a opor-se Napoleão e dar sua lealdade ao rei. No entanto, quando
Napoleão marchou entrou na cidade por uma porta Fourier a deixou com pressa por
outra.
Figura 2.3: Capa do livro de
Fourier
Napoleão estava irritado com Fourier que ele
esperava que o recebesse no seu retorno. Fourier
era capaz de convencer ambos os lados em seu
favor, e Napoleão fez dele Prefeito de Rhône.
No entanto Fourier logo renunciou ao receber
ordens, possivelmente de Carnot, que a era para
remover todos os administradores com simpa-
tias monarquistas. Ele não caiu completamente
frente a Napoleão e Carnot, pois no dia 10 de ju-
nho de 1815, Napoleão concedeu-lhe uma pen-
são de 6.000 francos, pagos a partir de 1 de Ju-
lho. No entanto Napoleão foi derrotado em 1 de
Julho e Fourier não recebeu qualquer dinheiro.
Ele voltou a Paris.
Fourier foi eleito para a Académie des Sciences
em 1817. Em 1822 Delambre, que era o Secre-
tário para a seção de matemática da Académie
des Sciences, morreu e Fourier juntamente com Biot e Arago candidatou-se para o
cargo. Depois de Arago retirou a candidatura a eleição deu a Fourier uma vitória
fácil. Pouco depois de Fourier tornar-se secretário, a Académie publicou seu pre-
miado ensaio Théorie analytique de la chaleur, em 1822. No entanto, não foi uma
manobras políticas de Fourier, pois Delambre tinha arranjado para a impressão antes
de morrer.
Durante os oito últimos anos de Fourier em Paris, ele retomou suas pesquisas mate-
máticas e publicou uma série de documentos, alguns em matemática pura, enquanto
outros eram em matemática aplicada. Sua vida dali por diante não foi sem pro-
blemas, pois sua teoria do calor ainda provocava controvérsias. Biot reivindicou
prioridade sobre Fourier, uma reivindicação que Fourier teve pouca dificuldade de
mostrar ser falsa. Poisson, porém , atacou as duas técnicas matemáticas de Fourier
e também alegou ter uma teoria alternativa. Fourier escreveu Historial Précis como
uma resposta a estas reivindicações, mas, embora o trabalho tenha sido mostrado
para vários matemáticos, nunca foi publicado.
As opiniões de Fourier sobre as reivindicações de Biot e Poisson, são dadas a seguir,
ver [4]:
14 2 Fourier
Tendo contestado os vários resultados [ Biot e Poisson ] agora reconhecem que eles são
exatos, mas protestam que eles inventaram outro método de expor e que este método é exce-
lente e o verdadeiro. Se eles tivessem iluminado este ramo da física por visões importantes
e gerais e tivessem aperfeiçoado a análise de equações diferenciais parciais, se tivessem
estabelecido os principais elementos da teoria do calor por meio de experimentos preci-
sos ... eles teriam o direito de julgar meu trabalho, e corrigi-lo. Eu aceitaria com prazer ..
Mas não se estende os limites da ciência, apresentando, de forma diferente, os resultados
que não se encontrou por si mesmo e, acima de tudo, por prevenir o verdadeiro autor de
publicar.
O trabalho de Fourier forneceu o ímpeto para o trabalho, mais tarde, em séries tri-
gonométricas e na teoria das funções de uma variável real.
Artigo por: J J O’Connor e E F Robertson
3
Série de Fourier
3.1 Mas, de onde vem a série de Fourier?
Apesar de Fourier não ter seguido este caminho, atualmente tornou-se mais interes-
sante para uma melhor compreensão do assunto, ligarmos este à áreas da matemática
que melhor o explicam, que melhor permitem um fluxo lógico de raciocínio, além de
ser o caminho usado na matemática atual. Por isso, partimos nosso estudo de séries
de Fourier, relembrando os conceitos básicos de teoria de conjuntos, e rapidamente
indo desta para a teoria de espaços vetoriais, vistos em álgebra linear.
3.2 Da Teoria de Conjuntos à Espaços Vetoriais
Conjuntos
Na matemática, um conjunto S é definido como sendo uma coleção de elementos
(quaisquer) que possuem uma (ou mais) característica comum. Como exemplos, o
conjunto de todos os veículos azuis, de todas as palavras da língua portuguesa, de
todos os astros que giram ao redor do Sol, de todos os números inteiros, de todos
os tipos de pizzas, dos números irracionais, etc. Tudo enfim, pode ser colocado em
conjuntos, desde que se defina a regra comum aos elementos do mesmo.
15
16 3 Série de Fourier
Anel
Quando associamos a um conjunto S as operações de adição (+) e de multiplica-
ção (·), criamos uma outra entidade matemática chamada de anel. De outra forma,
se somarmos ou multiplicarmos quaisquer dois elementos do conjunto e tivermos
como resultado um outro elemento do mesmo conjunto, teremos um anel. O con-
junto (anel) é fechado em si mesmo para as operações de adição e multiplicação.
Corpo ou Campo
Se introduzirmos neste anel as propriedades da comutatividade e do elemento in-
verso, criamos o que se chama em álgebra de corpo ou campo matemático.
Visualmente podemos representar estas entidades matemáticas associadas como
mostra a figura abaixo.
Conjunto
Comutatividade, +, x
Anel
Campo ou Corpo
Elemento Inverso
Espaço Vetorial
Produtos Escalar e Vetorial
Figura 3.1: De conjuntos à espaços vetoriais.
Como exemplos, o conjunto dos números inteiros forma um anel, mas não forma
um campo pois não tem o elemento inverso. O conjunto dos números reais forma
um campo matemático, pois todas estas propriedades são satisfeitas
3.2 Da Teoria de Conjuntos à Espaços Vetoriais 17
Para resumir, um conjunto S com o elemento nulo e duas operações binárias (+) e
(x) formam um campo se,
Tabela 3.1: Propriedades que definem um corpo (ou campo).
1 Associatividadeem (+): (∀ a,b,c ∈ S): (a+b)+c=a+(b+c)
2 Elemento neutro em (+): (∀ a ∈ S): a+0=0+a=a
3 Simétrico em (+): (∀ a ∈ S)(∃ b ∈ S): a+b=0
4 Comutatividade em (+): (∀ a,b ∈ S): a+b=b+a
5 Associatividade em (·): (∀ a,b,c ∈ S): (a ·b) · c = a · (b · c)
6 Distributividade de (·) em (+): (∀ a,b,c ∈ S): a · ()b+ c) = a ·b+a · c
7 Elemento neutro em (·): ∃1 ∈ S,1 �= 0∧ (∀a ∈ S)1 ·a = a ·1 = a
8 Elemento inverso: (∀x ∈ S 0)(∃y ∈ S) : x · y = 1
Usamos até este momento o conceito de conjunto como sendo uma coleção de ele-
mentos desordenados. Em contraste, uma coleção ordenada de n elementos formam
o que se denomina na matemática de vetor n-dimensional. Muito cuidado para não
confundir esta definição com a interpretação gráfica do mesmo.
Por exemplo, se considerarmos toda a população brasileira e analisarmos a altura de
cada pessoa, criaremos assim um conjunto formado por altura de brasileiros. Cada
elemento deste conjunto é um vetor unidimensional
−−−−→
Pessoa = (altura) que define
a altura de cada pessoa. Se associarmos a cada elemento do conjunto a informação
de peso da pessoa, teremos um par ordenado, e então um vetor bidimensional que
representa cada pessoa
−−−−→
Pessoa = (altura, peso). Podemos representar graficamente
este conjunto ordenado usando um plano cartesiano.
Este é um conjunto bastante atípico, pois os elementos poderão ser múltiplos, o
que levaria a relação não unívoca (revisar conceitos !), e em que a estatística e a
probabilidade são em geral as melhores ferramentas.
Espaço Vetorial
Dando mais um passo na direção da série de Fourier, construímos mais uma entidade
matemática, chamada de espaço vetorial, considerando,
Com a finalidade de facilitar o aprendizado, tomemos o caso do conjunto da inter-
pretação geométrica de vetores em R2 e o campo de escalares R.
Um elemento de R2, denominado vetor, pode ser representado da forma,
−→v = (v1,v2) ou −→v = v1 ·−→x1 + v2 ·−→x2
18 3 Série de Fourier
Tabela 3.2: Definição de espaço vetorial.
1 Um corpo K cujos elementos passamos a denominar escalares, conforme a
definição anterior;
2 Um conjunto de vetores V, dotado de uma operação binária VxV→ V, de-
nominada de produto vetorial;
3 Uma operação entre elementos do corpo e do conjunto acima, KxV → V,
denominada de produto escalar
onde
−→v ,−→xi ∈ R2
vi ∈ R
O escalar vi é interpretado como sendo a norma ("o comprimento") de −→v na direção
de −→xi .
Esta expressão mostra uma propriedade de espaços vetoriais, que diz que qualquer
elemento deste espaço pode ser obtido pela combinação linear (escalamento e soma)
de um conjunto de outros elementos do mesmo espaço. O requisito para tal é que
este conjunto de vetores forme uma base para o espaço vetorial. Isto é alcançado
se os vetores que formam este conjunto, denominados base para o espaço vetorial
sejam linearmente independentes ou seja, os vetores devem ser ortogonais entre si,
e o numero de vetores formando o conjunto seja exatamente igual à cardinalidade
do espaço vetorial ("sua dimensão").
Definindo a operação de produto interno no espaço vetorial como sendo,
�−→v ,−→w �=−→v ·−→w = |v| · |w| · cosθvw
−→v
−→w
θvw
Figura 3.2: Produto interno de dois elementos do espaço vetorial
Aplicando o produto interno aos vetores da base,
�−→xi ,−→x j �=−→xi ·−→x j = δi j =
�
0 : i �= j
|xi|2 : i = j
Existe uma base, chamada canônica, que é formada pelos vetores unitários do es-
paço vetorial. Esta é a mais simples que podemos utilizar, e a mais óbvia, apesar de
existirem infinitas bases. No caso da base canônica, o produto interno dos elementos
desta base é 1 para o caso de i=j (acima).
3.3 Espaço Vetorial de Funções 19
Podemos observar que, por causa da ortogonalidade dos vetores que formam a base
do espaço vetorial, podemos determinar a norma de qualquer vetor −→v na direção de
um vetor da base, pelo produto interno
�−→v ,−→xi �=
�
∑
j=1
v j ·−→x j
�
·−→xi = ∑
j=1
v j ·−→x j ·−→xi =
�
0 : i �= j
vi · |xi|2 : i = j (3.1)
Logo
vi =
�−→v ,−→xi �
�−→xi ,−→xi �
(3.2)
E se a base for canônica, o produto interno de seus elementos é unitário (a norma é
unitária), logo,
vi = �−→v ,−→xi � (3.3)
3.3 Espaço Vetorial de Funções
Iniciando com o estabelecido acima e generalizando para um espaço vetorial de
funções periódicas V, definidas no intervalo [-L,L], definimos a operação de produto
interno neste espaço vetorial como: dados dois elementos do espaço, f e g, define-se
como produto interno entre estes a expressão,
� f ,g� :=
� L
−L
f (x) g(x) dx (3.4)
As propriedades da operação de produto interno estão resumidas na tabela abaixo.
Dados dois elementos do espaço vetorial, f e g, define-se:
Qualquer função do espaço vetorial V pode agora ser definida usando uma combi-
nação linear de um conjunto de outras funções deste mesmo espaço. A este conjunto
de funções chamamos "base do espaço vetorial". O numero de elementos neste con-
junto "base"é definido pela cardinalidade (dimensão) do espaço, ou seja, para um
espaço em Rn, precisamos n elementos, e para o espaço em questão, de dimensão
infinita, precisamos de uma base com infinitos termos.
20 3 Série de Fourier
Tabela 3.3: Propriedades de um espaço vetorial de funções.
1 Bilinearidade: � f1 +a f2,g� = � f1,g�+a � f2,g�
� f ,g1 +b g2� = � f ,g1�+b � f ,g2�
2 Simetria: � f ,g� = �g, f �
3 Positividade definida: � f , f � ≥ 0�
� f , f �= 0 =⇒ f ≡ 0
4 Norma euclideana: � f �= � f , f �1/2
5 Desigualdade triangular: � f +g � ≤ � f �+ � g �
6 Desigualdade de Cauchy-Schwartz: ∀ f ,g : |� f ,g�| ≤ � f � · � g �
7 Ângulo entre dois vetores : θ := acos
�
� f ,g�
� f�·�g�
�
Escolhendo como base deste espaço vetorial o conjunto
{φ1(x),φ2(x),φ3(x), ...,φi(x), ...} (3.5)
Podemos representar qualquer elemento do conjunto V pela combinação linear
f (x) =
∞
∑
i=1
fi ·φi(x) (3.6)
onde fi é o comprimento (norma) de f(x) na direção de φi(x), e que é definido pela
operação de produto interno
fi =
� f (x),φi(x)�
�φi(x),φi(x)�
(3.7)
Se a base for formada por elementos unitários, o denominador da expressão anterior
será unitário.
� f (x),φi(x)� =
� L
−L
f (x) φi(x) dx (3.8)
Para este conjunto "base"pode-se escolher quaisquer funções, desde que respeitando
as restrições de ortogonalidade e dimensão.
• Numero de elementos na base igual à dimensão (cardinalidade) do espaço veto-
rial
• Todos os elementos da base são ortogonais entre si.
3.4 Série de Fourier 21
3.4 Série de Fourier
Escolhendo como base, especificamente as funções,
C0(x) = 1 (3.9)
Sn(x) = sen(
nπx
L
) n = 1,2, ...∞ (3.10)
Cn(x) = cos(
nπx
L
) n = 1,2, ...∞ (3.11)
Podemos calcular a norma da função f(x) na direção de cada uma das infinitas fun-
ções da base do seguinte modo.
a0 =
� f (x),C0(x)�
�C0(x),C0(x)�
(3.12)
an =
� f (x),Cn(x)�
�Cn(x),Cn(x)�
(3.13)
bn =
� f (x),Sn(x)�
�Sn(x),Sn(x)�
(3.14)
Os valores nos denominadores das expressões acima são calculados pelo produto
interno, da seguinte forma.
�C0(x),C0(x)�=
� L
−L
C0(x)
2 dx =
� L
−L
dx = 2L (3.15)
22 3 Série de Fourier
�Cn(x),Cn(x)�=
� L
−L
cos2
�nπx
L
�
dx
=
1
2
� L
−L
�
1+ cos
�
2nπx
L
��
dx
=
1
2
�
x+
L
2nπ
sen
�
2nπx
L
��L
−L
= L (3.16)
�Sn(x),Sn(x)�=
� L
−L
sen2
�nπx
L
�
dx
=
1
2
� L
−L
�
1− cos
�
2nπx
L
��
dx
=
1
2
�
x− L
2nπ
sen
�
2nπx
L
��L
−L
= L (3.17)
Logo, como o produto interno das funções senoidais �Sn(x),Sn(x)�= L ou das fun-
ções cossenoidais �Cn(x),Cn(x)� = L, e como �C0(x),C0(x)� = 2L, estas equações
reduzem-se para,
a0 =
� f (x),C0(x)�
2L
=
1
2L
� L
−L
f (x) dx (3.18)
an =
� f (x),Cn(x)�
L
=
1
L
� L
−L
f (x) Cn(x) dx =
1
L
� L
−L
f (x) cos(
nπx
L
) dx (3.19)
bn =
� f (x),Sn(x)�
L
=
1
L
� L
−L
f (x) Sn(x) dx =
1
L
� L
−L
f (x) sen(
nπx
L
) dx (3.20)
Coeficientes da Série de Fourier
E assim poderemos representar a função f(x) por uma combinação linear da base do
espaço vetorial, da forma,
f (x) = a0 ·C0 +
∞
∑
n=1
{an ·Cn(x)+bn ·Sn(x)} (3.21)
f (x) = a0 +
∞
∑
n=1
�
an · cos(
nπx
L
)+bn · sen(
nπx
L
)
�
(3.22)
Série de Fourier
3.4 Série de Fourier23
Esta é a chamada Série de Fourier. Sua importância na ciência e na engenharia
é incalculável, sendo utilizada direta ou indiretamente em praticamente todas as
aplicações.
No caso específico da engenharia, é bastante comum usarmos no argumento do
seno (ou cosseno) a frequência (ou período) da oscilação, da seguinte forma. Fa-
zendo x = ω t radianos, ω será a frequência de oscilação dada em radianos por
segundo (rad/s). Deste modo, L deve ser dado em radianos e deve ser um múltiplo
de π . O mais simples é quando L = π . Podemos então reescrever as expressões dos
coeficientes da série de Fourier da seguinte forma.
a0 =
1
2π
� π
−π
f (ωt) dωt (3.23)
an =
1
π
� π
−π
f (ωt) cos(nωt) dωt (3.24)
bn =
1
π
� π
−π
f (ωt) sen(nωt) dωt (3.25)
Coeficientes da Série de Fourier
f (ωt) = a0 +
∞
∑
n=1
{an · cos(nωt)+bn · sen(nωt)} (3.26)
Série de Fourier
É interessante observar que o termo ao é o valor médio da função f(x) no intervalo
considerado, [-π ,π]. Os valores an e bn, são os comprimentos (norma) da função
f(x) nas direções de Cn(x) e Sn(x), respectivamente.
3.4.0.1 Forma complexa da série de Fourier
Uma forma alternativa de representar a série de Fourier é obtida se considerarmos
a igualdade de Euler para as funções trigonométricas nas expressões da série e dos
parâmetros, dadas acima.
24 3 Série de Fourier
f (ωt) = a0 +
∞
∑
n=1
�
an
e jnωt + e− jnωt
2
+bn
e jnωt − e− jnωt
2 j
�
(3.27)
f (ωt) = a0 +
1
2
∞
∑
n=1
�
e jnωt · (an − jbn)
�
+
1
2
∞
∑
n=1
�
e− jnωt · (an + jbn)
�
(3.28)
Resolvendo
(an − jbn)
2
=
1
2π
� π
−π
f (ωt) cos(nωt) dωt − j 1
2π
� π
−π
f (ωt) sen(nωt) dωt
=
1
2π
� π
−π
f (ωt)
�
�
��e
jnωt
2
+
e− jnωt
2
−
�
�
�
j
e jnωt
2 j
+ j
e− jnωt
2 j
�
(3.29)
Podemos definir
cn =
(an − jbn)
2
=
1
2π
� π
−π
f (ωt) · e− jnωtdωt (3.30)
Do mesmo modo resolvemos
(an + jbn)
2
=
1
2π
� π
−π
f (ωt) cos(nωt) dωt + j
1
2π
� π
−π
f (ωt) sen(nωt) dωt
=
1
2π
� π
−π
f (ωt)
�
e jnωt
2
+
✚
✚
✚✚e− jnωt
2
+ j
e jnωt
2 j
−
✚
✚
✚✚j
e− jnωt
2 j
�
(3.31)
Podemos definir
c−n =
(an + jbn)
2
=
1
2π
� π
−π
f (ωt) · e jnωtdωt (3.32)
Substituindo cn e c−n na expressão de f (ωt),
f (ωt) = a0 +
∞
∑
n=1
cn · e jnωt +
∞
∑
n=1
c−n · e− jnωt (3.33)
Mas como
3.4 Série de Fourier 25
∞
∑
n=1
c−n · e− jnωt =
−1
∑
n=−∞
cn · e jnωt (3.34)
E também a0 = c0, podemos redefinir a série de Fourier, agora na sua forma com-
plexa, como sendo,
f (ωt) =
∞
∑
n=−∞
cn · e jnωt (3.35)
cn =
1
2π
� π
−π
f (ωt) · e− jnωtdωt (3.36)
Série de Fourier Complexa
Ou
f (x) =
∞
∑
n=−∞
cn · e j
nπx
L (3.37)
cn =
1
2L
� L
−L
f (x) · e− j nπxL dx (3.38)
Série de Fourier Complexa
A gama de aplicações desta série é imensa, podendo mencionar:
• Representação de funções periódicas complexas por funções "mais simples", se-
noidais.
• Solução de problemas envolvendo sinais em regime permanente. Ex.: equações
diferenciais, ordinárias ou parciais.
Como exemplo de aplicação, tomemos o caso da solução em regime permanente de
circuitos elétricos de primeira ordem. A aplicação à circuitos elétricos é uma das
mais importantes da série de Fourier em engenharia elétrica. Seja do circuito RC
abaixo, onde deseja-se obter a solução para a tensão vx(t).
26 3 Série de Fourier
+
−v(ωt)
R1
C R2
−
+
vx(ωt)
Para o caso de v(ωt) ser uma função periódica no tempo, podemos representá-la por
uma série de Fourier, como o exposto anteriormente.
v(ωt) =V0 +
∞
∑
n=1
{Vcn · cos(nωt)+Vsn · sen(nωt)}
então a fonte pode ser substituída por uma série infinita de fontes, conforme o dia-
grama abaixo.
+−
V0
+−
vc1(ωt)
+−
vs1(ωt)
+−
vc2(ωt)
+−
vs2(ωt)
vs∞(ωt)
Se assumirmos o circuito como sendo linear e invariante no tempo (LTI), é possível
aplicarmos o teorema da superposição, resolver o circuito para cada uma das fontes
da série, e posteriormente usando a combinação linear destas soluções, obtemos
a solução geral. Como a série é infinita, obteremos uma solução truncada em um
determinado n finito.
Como a solução dada pela série de Fourier é exclusivamente para regime perma-
nente (Fourier não representa transitórios), podemos usar o conceito de fasores para
representar as impedâncias dos componentes do circuito. Lembramos que a frequên-
cia base ω é multiplicada pela ordem n de cada termo da série. Assim sendo,
ZR = R
ZC = XC =
1
jnωC
=
1
nωC
e− jπ
ZL = XL = jnωL = nωL e jπ
3.4 Série de Fourier 27
Fasores
Qualquer grandeza cossenoidal pode ser represntada por exponenciais complexas
usando a relação de Euler.
f (t) = F · cos(ωt +θ) = F · e
j(ωt+θ) + e− j(ωt+θ)
2
(3.39)
Ou
f (t) = Re
�
F · e j(ωt+θ
�
= Re
�
Fe jθ · e jωt
�
(3.40)
O termo Fe jθ é chamado de fasor de f(t) (phase vector). Equivale à função f(t) em
regime permanente.
f (t) Fasor−−−→ F = Fe jθ (3.41)
OBSERVAÇÂO: Vale a pena revisar numeros complexos e fasores nesta etapa.
É necessário salientar que,
d
dt
f (t) =
d
dt
�
F · e j(ωt+θ)
�
= Fe jθ · d
dt
�
e jωt
�
= Fe jθ · j ωe jωt (3.42)
e
d
dt
Re{ f (t)}= Re
�
d
dt
f (t)
�
(3.43)
Ambas definições serão utilizadas a seguir, na continuação do exercício.
Para Lembrar
�
Desta forma, a solução do circuito para cada termo da série de Fourier equivalente
será dada por um divisor de tensão. No caso do termo para n=0, lembrando que a
impedância do capacitor torna-se infinita para frequência nula, o V0,
Vx0 =
R2
R1 +R2
·V0
No caso dos outros termos, podemos usar relações trigonométricas para reduzir para
um único termo.
vn(ωt) = vcn(ωt)+ vsn(ωt) =Vcn cos(nωt)+Vsn sen(nωt)
=
�
Vcn2 +Vsn2 ·
�
Vcn�
Vcn2 +Vsn2
· cos(nωt)+ Vsn�
Vcn2 +Vsn2
· sen(nωt)
�
28 3 Série de Fourier
Utilizando relações trigonométricas podemos definir um ângulo φ da seguinte
forma.
Vcn
� Vcn
2 +V
sn
2
Vsn
φn
Logo,
cos(φn) =
Vcn�
Vcn2 +Vsn2
sen(φn) =
Vsn�
Vcn2 +Vsn2
Substituindo na expressão anterior de vn(ωt) e
lembrando da expressão para cosseno da soma de dois ângulos,
vn(ωt) =
�
Vcn2 +Vsn2 · {cos(φn) · cos(nωt)+ sen(φn) · sen(nωt)}
vn(ωt) =Vn · cos(nωt −φn)
Podemos aqui usar o conceito de fasores para representar esta tensão.
Vn =Vn · e jφn
Vn =
�
Vcn2 +Vsn2
φn =
Vsn
Vcn
Não esqueçer que todos estes termos são dependentes de n!
Então, para cada valor de n, teremos um circuito equivalente da forma,
+
−Vn
R1
ZCn R2
−
+
Vx
E o fasor solução Vx será dado por,
Vxn =
R2//ZCn
R1 +R2//ZCn
·Vn = Kn ·Vn
3.5 Representação gráfica 29
Observem a dependência de tensões e impedância do capacitor da ordem (n) do
termo da série de Fourier.
O fasor Kn é dado por
Kn =Kn e jθn
Kn =
R2�
(R1 +R2)2 +(nωR1R2C)2
θn =−tg−1
�
nωR1R2C
R1 +R2
�
A solução para cada termo da série da tensão de saída será então,
Vxn = Kn ·Vn ∠(φn +θn)
ou
vxn(t) = Kn Vn cos(nωt −φn −θn)
A solução final se dá pela soma de todos os infinitos termos, ou seja,
vx(t) =Vx0 +
∞
∑
n=1
Kn Vn cos(nωt −φn −θn)
3.5 Representação gráfica
Nas expressões acima, se tomarmos como variável independente ω · t, substituindo
x, L será π , e podemos reescrever a série de Fourier como,
f (x) = a0 +
∞
∑
n=1
{an · cos(nω · t)+bn · sen(nω · t)} (3.44)
Considerando que nω é um termo múltiplo inteiro de ω , que passaremos a chamar
de fundamental, ou frequência fundamental, se colocarmos os valores de cn, que
é complexo, em gráficos de magnitude e de fase, como função de ω (frequência),
obteremos graficamente uma informação sobre a composição de f(t) em termos de
senoides (e/ou cossenoides). Isto é chamado de espectro de f(t).