Aula 2 - Introdução à modelagem

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1. Introdução à modelagem 
1.1. O que é modelagem? 
Modelar algo significa utilizar ferramentas físicas e matemáticas para obter uma 
aproximação de como aquele sistema se comporta. Nas ciências Física e Matemática, os 
pesquisadores estão interessados em obter o melhor modelo possível para aquele sistema. 
Contudo, em Engenharia, estamos interessados em resolver um problema de forma a 
simplificar o máximo possível aquele problema, facilitando a abordagem matemática, mas 
mantendo fidelidade em como o sistema se comportará. 
Temos um compromisso entre precisão e simplicidade do modelo: quanto mais simples, 
menos preciso. Cabe ao engenheiro decidir o que pode ser deixado de fora em certa 
situação analisada. 
“Esta é a essência da arte de modelar – saber selecionar somente as características, dentre muitas 
disponíveis, que são necessárias e suficientes para descrever o processo com precisão 
satisfatória.” Felicio (2010) 
 
É dentro do contexto de “soluções aproximadas” que encontramos o significado de 
Modelagem, pois Engenharia é um conjunto de modelos. 
Muitas ferramentas foram desenvolvidas para obtermos os modelos, mas sempre 
estaremos atentos às equações constitutivas daquele domínio físico, seja ele mecânico, 
elétrico, térmico, fluídico, magnético, econômico, biológico, químico ou outro sistema que 
se queira modelar. Por exemplo, no domínio mecânico, utilizando uma abordagem vetorial, 
a lei que podemos utilizar é a 2ª Lei de Newton (𝐹 = 𝑚�̈� para movimentos lineares), mas é 
possível obter as mesmas equações com outras formulações, como por energia (mecânica 
Lagrangeana), potência (bond graphs). Já em elétrica, utilizaremos as leis de Kirchoff para 
os nós e para as malhas. Ao longo do curso alguns modelos serão apresentados. 
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Imagine um sistema massa-mola-amortecedor, 
conforme a Figura 1. 
Se aplicarmos a segunda lei de Newton e 
sabendo das forças externas à massa, 
obteremos um modelo! Assim: 
∑𝐹𝑒𝑥𝑡 = 𝑀�̈� → −𝐾𝑠𝑥 − 𝐵�̇� + 𝑓(𝑡) = 𝑀�̈� → 
𝑀�̈� + 𝐵�̇� + 𝐾𝑠𝑥 = 𝑓(𝑡) 
Agora podemos definir outras ferramentas. 
 
 
Finalizando a introdução, vamos refletir sobre o conceito de Dinâmica de um Sistema. 
Sistema é um conjunto de elementos que se encontram dentro de uma fronteira imaginária 
escolhida especificamente para seu estudo. Por exemplo, estudar os esforços de um 
parafuso que une duas peças ou os o conjunto de todos os parafusos de um avião, são 
problemas diferentes. Em resumo, o sistema é definido para facilitar o estudo, enquanto 
aquilo com que o sistema vai interagir é chamado de meio externo. 
Assim, o fluxo de energia entre o sistema e o meio externo, ou entre um sistema e outro, a 
interação entre eles é modelada através de entradas e saídas. 
Assim, nosso sistema pode ser 
representado no bloco de “sistema”, 
tudo o que vai modificar seu 
comportamento ao longo do tempo é 
chamado de “entrada”, e aquilo que 
o sistema fornece para outro sistema ou o meio externo é chamado de saída. 
 
 
1.2. Como construir um modelo? 
 
 
Como já comentado, dado uma lista de requisitos, modelagem tem como necessidade de 
excluir partes do sistema físico real que não relevantes para esses requisitos. 
Vamos começar com elementos mecânicos que são muito utilizados em modelagens: mola, 
amortecedor e massa. 
 
Figura 1. Massa-mola-amortecedor 
Figura 2. Entradas e saídas de um sistema 
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Mola representa a rigidez concentrada em um elemento ideal que não tem massa nem 
amortecimento. Sua função é armazenar energia potencial. Como já sabemos, a Lei de 
Hooke aplica-se ao comportamento de uma rigidez para pequenos deslocamentos, pois 
assim permanecemos na região de comportamento linear da mola. A força de mola é 
sempre modelada como negativa uma vez que é sempre oposta ao saldo de posição. 
Quando quisermos saber a força de mola em relação ao corpo preso na extremidade 1, 
utilizamos a fórmula de 𝐹1. O análogo vale para a força F2. 
 
𝐹1 = −𝐾𝑆(𝑋1 − 𝑋2) 
𝐹2 = −𝐾𝑆(𝑋2 − 𝑋1) 
 
 
 
Outro elemento importante é o elemento 
amortecedor, que possui a função de dissipar 
energia. Um amortecedor ideal não possui massa nem efeitos de rigidez. Em sua 
modelagem, as mesmas aplicações valem, mas agora nossa conta depende do parâmetro 
B do amortecedor e das velocidades de cada extremidade. 
 
𝐹1 = −𝐵(�̇�1 − �̇�2) 
𝐹2 = −𝐵(�̇�2 − �̇�1) 
 
 
 
 
Por último, o elemento massa é modelado 
especificamente pela 2ª Lei de Newton e, idealmente, não possui algum efeito de rigidez 
ou amortecimento. Sua função é armazenar energia cinética. Lembrando que estamos 
utilizando uma abordagem chamada de parâmetros concentrados, onde cada elemento 
é puro no seu comportamento. Apesar de isso ser uma aproximação, dependendo das 
condições em que o sistema está inserido, essa afirmação é válida. 
Figura 3. Modelo de uma mola linear 
Figura 4. Modelo de um amortecedor linear 
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A mesma análise vale para elementos massa-mola-amortecedor em termos rotativos. Em 
um momento oportuno essas análises serão apresentadas. 
Vale aqui também uma palavra sobre outros domínios, como por exemplo, o domínio 
elétrico. O elemento responsável por dissipar energia é chamado de resistência 
(analogamente ao amortecedor), enquanto os elementos que armazenam energia são o 
capacitor (similar à mola) e o indutor (análogo à massa). As equações constitutivas podem 
ser encontrados no livro de Felício (2010), bem como a análise de sistemas térmicos e 
fluídicos. 
1.3. Exemplos 
1.3.1. Massa com duas molas 
Encontre a equação diferencial do 
sistema da Figura 5. Resolução em 
sala. 
Resposta: 𝑚�̈� + (𝑘1 + 𝑘2)𝑥 = 𝐹(𝑡) 
 
1.3.2. Três massas 
Encontre as três equações diferenciais 
que modelam o sistema da Figura 6. 
 
 
 
 
Resposta: 
𝑀1�̈�1 + 𝐵1�̇�1 + (𝐾1 + 𝐾2)𝑥1 − 𝐾2𝑥2 − 𝐵1�̇�3 −𝐾1𝑥3 = 0 
𝑀2�̈�2 + 𝐵2�̇�2 + 𝐾2𝑥2 −𝐵2�̇�3 −𝐾2𝑥2 = 𝐹(𝑡) 
𝑀3�̈�3 + (𝐵1 + 𝐵2)�̇�3 + (𝐾1 +𝐾2)𝑥3 − 𝐵1�̇�1 − 𝐾1𝑥1 − 𝐵2�̇�2 − 𝐾2𝑥2 = 0 
Figura 5. Exemplo 1.3.1 
F(t) 
Figura 6. Três massas 
F(t)