Semana3_FisicaII_Gabarito_exercicios_propostos_v2

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FÍSICA II
ATIVIDADES – SEMANA 3
GABARITO DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS
Prof. Valdir Bindilatti
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
EXERCÍCIO 1
A velocidade das ondas na superfície da água com comprimentos de onda
λmuito menores que a profundidade local (ondas rasas) é independente daprofundidade. Para comprimentos de onda acima de ≈ 10 cm, a velocidadede fase é dada, com boa aproximação, por
vf =
Æ
gλ/2π,
onde g = 9,8 m/s2 é a aceleração da gravidade.
a) Determine a expressão para a velocidade de grupo, vg, deste tipo de onda.
b) Suponha um tanque de água, muito longo e profundo, e um dispositivoque pode perturbar sua superfície oscilando harmonicamente com umafrequência ajustável. Que frequência da perturbação produz ondas senoi-dais com comprimento de onda de 15 cm? E de 30 cm?
SOLUÇÃO
a) Como λ= 2π/k e vf =ω/k:
vf =
√
√ gλ
2π
=
Æ
g/k⇔ω(k) = kvf =
p
gk,
que é a forma padrão da relação de dispersão.Usando a expressão para a velocidade de grupo:
vg =
dω
dk
= 12
Æ
g/k = 12 vf.
Observamos que as velocidades são maiores para as ondas mais longas.A velocidade de grupo, neste caso, é metade da velocidade de fase.
b) A relação entre frequência e comprimento de onda para uma onda senoi-dal pura é dada pela velocidade de fase, através de:
λ f =
ω
k
= vf.
Tomando λ1 = 15 cm e λ2 = 30 cm, as velocidades de fase corresponden-tes, através da relação dada vf =pgλ/2π, são:
v1 = 48,4 cm/s, e v2 = 68,4 cm/s.
Com f = vf/λ obtemos, respectivamente:
f1 = v1/λ1 = 3,2 Hz, e f2 = v2/λ2 = 2,3 Hz.
Alternativamente, poderíamos expressar a relação de dispersão na formada frequência em função do comprimento de onda, f (λ):
vf = λ f =
Æ
gλ/2π⇒ f =
Æ
g/2πλ.
EXERCÍCIO 2
Uma onda transversal senoidal com frequência f = 1,20 kHz e comprimentode onda λ = 32,0 cm se propaga numa corda fina e muito longa. Considereo eixo x paralelo à direção da corda estendida e positivo no sentido da pro-pagação da onda. No instante t = 0 o perfil da corda é descrito pela função
y0(x) = Acos(2πx/λ),
com A= 1,00 mm.
a) Determine a velocidade de propagação, vf, o vetor de onda, k, o númerode onda, ν, e a frequência angular,ω, desta onda.
b) Escreva a função de onda para um instante qualquer, y(x ,t).
c) Calcule a velocidade dos pontos da corda em função do tempo, vy(x ,t).
d) Em que pontos da corda o módulo da velocidade |vy | é máximo no ins-tante t = 0? Qual é este valor máximo?
e) A corda tem densidade linear de massa µ = 1,20 g/m. Qual é a energiaem um comprimento de onda da corda? Que potência média esta ondatransporta?
SOLUÇÃO
a) Usando as relações pertinentes com f = 1,20×103 Hz e λ = 0,320 m(todos os parâmetros são positivos):
vf = λ f = 384 m/s,
k = 2π/λ= 19,6 m−1,
ν= 1/λ= 3,12 m−1,
ω= 2π f = 7,54 rad/s.
b) A função de onda deve ser da forma de uma onda progressiva se propa-gando com velocidade +vf. Num instante t o valor da função num ponto
x é igual ao seu valor no ponto x − vf t no instante t = 0:
y(x , t) = y0(x − vf t) = Acos (2π[x − vf t]/λ)
ou, com k = 2π/λ, e ω= kvf,
y(x , t) = Acos(ω t − kx).
c) Derivando y(x ,t) em relação ao tempo:
vy(x ,t) =
∂ y
∂ t
= −ωAsen(ω t − kx)
d) O máximo valor do módulo de vy , a amplitude da velocidade, é
vmáx =ωA= 7,54 m/s.
Em t = 0, |vy |= vmáx nos máximos e mínimos de sen kx , ou seja:
kxn =
1
2π+ nπ⇒ xn =
λ
2π
�
1
2π+ nπ
�
=
λ
4
+ n
λ
2
xn = (8,0+ n× 16,0) cm, n inteiro qualquer.
Nestes pontos, separados demeio comprimento de onda, o deslocamentoé nulo, y(xn,0) = 0.
e) A densidade linear média de energia é
λE =
1
2µv
2
máx = 34,1 mJ/m
e a energia contida na extensão um comprimento de onda na corda é
Eλ = λEλ= 10,9 mJ.
Este valor é constante no tempo.O fluxo médio de energia na direção de propagação, através de qualquerponto, é
P = λE vf = 13,1 W.
Poderíamos obter o mesmo resultado pela expressão
P = 12 Z(ωA)
2,
onde a impedância desta corda é ZT = µvf = 0,461 kg/s e, do idem d),
ωA= vmáx = 7,54 m/s.
EXERCÍCIO 3
Um pulso transversal se propagando numa corda é descrito por h(x + v0 t),onde a constante v0 vale 200 m/s e a função h(u) é descrita, aproximada-mente, no gráfico abaixo. A densidade linear da corda é µ= 1,0 g/m.
−6 −4 −2 0 2 4 6 8
0
1
2
u/m
h(
u)
/c
m
a) Qual é a velocidade, módulo e sentido, de propagação deste pulso?
b) Faça um gráfico da velocidade dos pontos da corda, vy , no instante t = 0.
c) Qual é a energia que este pulso transporta?
d) Mostre num gráfico a potência transmitida na direção de propagação noponto x = 0 em função do tempo.
SOLUÇÃO
a) A função de onda de deslocamento pode ser reescrita em termos da velo-cidade de propagação V na forma:
y(x , t) = h(x − V t) = h(x + v0 t).
Assim,
V = −v0 = −200 m/s,
e o pulso se desloca no sentido negativo do eixo x .
−6 −4 −2 0 2 4 6 8
0
1
2
x/m
y/
cm ~V
`1 `2
h0
t = 0
Esta função de onda é mais fácil de desenhar do que expressar matemati-camente.Em termos dos parâmetros h0 = 2,0 cm, `1 = 2,00 m e `2 = 4,00 m de-finidos na figura e da constante v0 = 200 m/s, poderíamos expressá-lacomo:
y(x , t) = h(u), onde u= x + v0 t e
h(u) =



h0(1+ u/`1) para −`1 ≤ u≤ 0,
h0(1− u/`2) para 0≤ u≤ `2, e
0 de outra forma.
b) Como ∂ u/∂ t=v0, a velocidade transversal dos pontos da corda é dadapor
vy =
∂ y
∂ t
=
∂ h
∂ t
= v0 h
′(u)
onde
h′(u) =
dh
du
=



h′1 = +h0/`1 = 1,00 cm/m para −`1 ≤ u≤ 0,
h′2 = −h0/`2 = −0,50 cm/m para 0≤ u≤ `2.
0 fora do intervalo −`1 ≤ u≤ `2.
Os valores não nulos da velocidade vy são, nos intervalos correspondentesde u:
v1 = v0 h
′
1 = +2,00 m/s e v2 = v0 h′2 = −1,00 m/s.Para t = 0, u= x . O resultado é mostrado no gráfico abaixo.
−6 −4 −2 0 2 4 6 8−2
−1
0
1
2
3
x/m
v y
/(
m
/s
) t = 0
c) A densidade linear de energia para qualquer onda transversal progressivanesta corda, como este pulso, é dada por
λE(x , t) = µv
2
y = µv
2
0
�
h′(u)
�2
.
Assim, esta densidade tem dois platôs constantes, como a velocidade.Com µ= 1,0×10−3 kg/m, os valores em cada platô são
λE1 = µv
2
1 = +4,0 mJ e λE2 = µv22 = +1,0 mJ.
O resultado é mostrado no gráfico abaixo (em t = 0).
−6 −4 −2 0 2 4 6 8
0
2
4
x/m
λ
E
/(
m
J/
m
)
t = 0
Para obter a energia total, integramos a densidade de energia ao longo dacorda, o que é equivalente a calcular a “área” sob a curva no gráfico. Nestecaso, como a função é constituída por dois platôs em que é constante, aconta é simples.
E =
∫
corda
λE(x ,0) dx = λE1`1 +λE2`2 = 12,0 mJ.
Metade desta energia é da forma cinética e a outra metade é energia po-tencial elástica.
Observe como a energia se move com a onda (ou pulso neste caso). De-pois de, por exemplo, 0,1 s, esta energia estará localizada 20 m à esquerdada posição mostrada. Em contraste, os pontos da corda que em t = 0estão entre x = −`1 e x = `2, como todos os outros, continuarão ondeestão.
d) Para uma onda progressiva qualquer, o fluxo de energia na direção depropagação, através de um ponto é proporcional à densidade linear deenergia. Traduzindo para o nosso caso:
P(x ,t) = λE(x ,t)|V |= v0λE(u).
Esta função tem também dois platôs não nulos, com valores
P1 = λE1v0 = 0,80 J e P2 = λE2v0 = 0,20 J,
nos intervalos de u= x + v0 t correspondentes. Para x = 0, que é o pontofixo desejado, u = v0 t , e os intervalos de tempo em que a função h(u) esuas derivadas, não são nulas, se traduzem em:
−`1/v0 = −10,0 ms≤ t ≤ 0, e 0≤ t ≤ `2/v0 = +20,0 ms.
A função P(0,t) é mostrada no gráfico abaixo.
−30 −20 −10 0 10 20 30 40
0
0,4
0,8
t/ms
P
/W
x = 0
Como neste caso u = x + v0 t cresce tanto com x quanto com t , a formade P(t) neste gráfico tem a mesma orientação horizontal que λE(x) nográfico anterior. Se a onda se propagasse no sentido oposto, elas seriaminvertidas.
Â
As funções deste problema são de tal forma simples que todo o formalismo mate-mático poderia ser descrito em palavras. Optei por tratar a função como qualqueroutra.
EXERCÍCIO 4
O comprimento livre das cordas de uma guitarra é de 64,8 cm. Uma certacorda de aço tem densidade linear de massa de 1,14 g/m e deve ser afinadapara que seu harmônico fundamental tenha a frequência da nota sol (G3)de
196 Hz.
a) Qual é a velocidade de propagação de ondas transversais nessa cordaquando afinada?
b) Que tensão deve ser aplicada à corda?
c) Para tocar a nota dó (C4), cuja frequência é 261 Hz, a corda é pressionadacontra um traste de forma que seu comprimento livre seja reduzido a umafração r do original. Qual deve ser o valor de r?
d) Calcule a tensão necessária para fazer a mesma corda soar a nota C4 comseu comprimento original.
SOLUÇÃO
a) O comprimento de onda no harmônico fundamental é λ1 = 2L e suafrequência é dada por
f1 =
vT
λ1
=
vT
2L
.
Assim, com L = 64,8 cm e f1 = fG3 = 196 Hz:
vT = 2L fA2 = 254 m/s.
b) A velocidade de fase das ondas transversais é dada em termos de µ =
1,14×10−3 kg/m, a densidade linear de massa, e de F0, a tensão na corda.
vT =
Æ
F0/µ⇒ F0 = µv2T
FG3 = 73,6 N.
c) Para a mesma velocidade vT, a frequência é inversamente proporcional aocomprimento livre da corda. Assim:
vT = 2L fG3 = 2(r L) fC4
r =
fG3
fC4
= 196/231= 0,751.
O traste deve reduzir o comprimento livre da corda a aproximadamente 34do original.
d) Podemos expressar frequência de qualquer modo normal em termos datensão na corda, usando vT =pF0/µ:
fn = n
vT
2L
= n
1
2L
√
√ F0
µ
⇒ F0 = µ(2nL)2 f 2n .
Para multiplicar a frequência fn por um fator qualquer, mantendo as ou-tras condições, a tensão na corda deve ser multiplicada pelo seu qua-drado. Assim, usando a tensão FG3 do item b) para o modo fundamental e
fC4/ fG3 = 1/r = 1,332 (≈ 4/3):
FC4 = (1/r
2)FG3 = 130 N,
ou, aproximadamente 16/9 da tensão anterior.
EXERCÍCIO 5
As oscilações de umdiapasão de 600 Hz produzemondas estacionárias numacorda presa nas duas extremidades. A velocidade das ondas na corda é de
400 m/s. A onda estacionária produzida tem dois comprimentos de onda euma amplitude de 2,0 mm.
a) Qual é o comprimento da corda?
b) Em que pontos da corda a amplitude da velocidade é máxima? Qual é ovalor deste máximo?
SOLUÇÃO
a) Dados a frequência, f = 600 Hz e a velocidade de propagação vs =
400 m/s, o comprimento de onda é
λ= vs/ f = 0,667 m.
O comprimento da corda, de dois comprimentos de onda, é
L = 2λ= 1,33 m.
b) Como a corda tem dois comprimentos de onda, ela está vibrando no seuquarto harmônico. Há, portanto, quatro ventres ao longo da corda, emcujos centros há quatro antinós, onde a amplitude de vibração é a dada,
A= 2,0 mm. Eles se localizam nas seguintes distâncias de qualquer dasextremidades:
(1, 3,5, 7) 12 L.
0 1/4 2/4 3/4 1
-1
0
1
x/L
se
n(
k 4
x)
λ4
A amplitude da velocidade de seusMHS, de frequência angularω= 2π f ,é:
vmáx = 2π f A= 7,5 m/s.
EXERCÍCIO 6
Suponha que a corda do Exercício 3, com µ1 = 1,0 g/m, na região x < −10 mtenha o dobro desta densidade linear, ou seja µ2 = 2,0 g/m.
a) Quais são as alturas dos pulsos triangulares transmitido e refletido?
b) Que quantidade total de energia atravessa o ponto mencionado?
SOLUÇÃO
a) Quais são as alturas dos pulsos triangulares transmitido e refletido? Como
vT =
p
F0µ, a razão entre as velocidades nas duas porções da corda, comdensidades µ1 = 1,0 g/m e µ2 = 2,0 g/m, é
v2
v1
=
√
õ1
µ2
= 0,707= r.
Levando esta razão, que denotaremos por r , para expressão do coeficientede reflexão da amplitude,
Ar =
v2 − v1
v2 + v1
=
r − 1
r + 1
= −0,172.
E para o coeficiente de transmissão da amplitude
At =
2v2
v2 + v1
=
2r
r + 1
= 0,828.
Do Exercício 3, a altura do pulso é h0 = 2,0 cm antes de atingir o ponto dereflexão. Assim, para as alturas dos picos correspondentes, obtemos
hr = |Ar|h0 = 0,34 cm e ht = Ath0 = 1,66 cm.
Como Ar < 0, o pulso refletido é invertido verticalmente.
b) Para obter a energia transmitida, calculamos o coeficiente de reflexão dapotência
T =
4v1v2
(v1 + v2)2
=
4r
(r + 1)2
= 0,971.
Como a energia incidente é, do Exercício 3, Ei = 12,0 mJ, a energia totalque atravessa o ponto é
Et = T Ei = 11,6 mJ.
Apenas uma fração de r2 ≈ 3 % da energia é refletida nesta condição.