Apostila preparatória ESA

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ESA (Exército Brasileiro - Escola de Sargentos das Armas) 
 
Cursos de Formação e Graduação de 
Sargentos Comum as Áreas: 
Geral/Aviação, Música e Saúde 
 
 
 
Matemática 
 
1) Teoria dos Conjuntos e Conjuntos Numéricos: Representação de conjuntos, subconjuntos, operações: 
união, interseção, diferença e complementar. Conjunto universo e conjunto vazio ................................................. 1 
Conjunto dos números naturais e inteiros: operações fundamentais, números primos, fatoração, número 
de divisores, máximo divisor comum e mínimo múltiplo comum ................................................................................ 4 
Conjunto dos números racionais: operações fundamentais. conjunto dos números reais: operações 
fundamentais, módulo, representação decimal, operações com intervalos reais. .................................................. 13 
Razões e proporções ........................................................................................................................................................ 17 
Grandezas diretamente e indiretamente proporcionais e porcentagem; e números complexos: operações, 
módulo, conjugado de um número complexo, representações algébrica e trigonométrica. Representação no 
plano de Argand - Gauss, Potencialização e radiciação. Extração de raízes. Fórmulas de Moivre. Resolução de 
equações binomiais e trinomiais. ....................................................................................................................................... 19 
2) Funções: Definição, domínio, imagem, contradomínio, funções injetoras, sobrejetoras e bijetoras, 
funções pares e ímpares, funções periódicas; funções compostas; relações; raiz de uma função;função 
constante, função crescente, função decrescente;função definida por mais de uma sentença;função inversa e 
seu gráfico; 3) Função Linear, Função Afim e Função Quadrática: Gráficos, domínio, imagem e 
características;variações de sinal; máximos e mínimos; e inequação produto e inequação quociente. ........... 25 
4) Função Modular: Definição, gráfico, domínio e imagem da função modular;equações modulares; e 
inequações modulares. ......................................................................................................................................................... 36 
5) Função Exponencial: Gráficos, domínio, imagem e características da função exponencial, logaritmos 
decimais, e equações e inequações exponenciais. .......................................................................................................... 38 
6) Função Logarítmica: Definição de logaritmo e propriedades operatórias;gráficos, domínio, imagem e 
características da função logarítmica; e equações e inequações logarítmicas. ....................................................... 41 
7) Trigonometria: Arcos notáveis; trigonometria no triângulo (retângulo e qualquer); lei dos senos e lei dos 
cossenos; unidades de medidas de arcos e ângulos: o grau e o radiano; círculo trigonométrico, razões 
trigonométricas e redução ao 1º quadrante; funções trigonométricas, transformações, identidades 
trigonométricas fundamentais, equações e inequações trigonométricas no conjunto dos números reais; 
fórmulas de adição de arcos, arcos duplos, arco metade e transformação em produto; e sistemas de equações 
e inequações trigonométricas e resolução de triângulos. ............................................................................................ 46 
8) Contagem e Análise Combinatória: Fatorial: definição e operações; princípios multiplicativo e aditivo da 
contagem; arranjos, combinações e permutações; e binômio de Newton: desenvolvimento, coeficientes 
binomiais e termo geral......................................................................................................................................................... 61 
 9) Probabilidade: Experimento aleatório, experimento amostral, espaço amostral e evento; probabilidade 
em espaços amostrais equiprováveis; probabilidade da união de dois eventos; probabilidade condicional; 
propriedades das probabilidades; e probabilidade de dois eventos sucessivos e experimentos binomiais. ... 66 
10) Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares: Operações com matrizes (adição, multiplicação por 
escalar, transposição e produto); matriz inversa; determinante de uma matriz: definição e propriedades; e 
sistemas de equações lineares. ........................................................................................................................................... 70 
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11) Sequências Numéricas e Progressões: Sequências numéricas; progressões aritméticas: termo geral, 
soma dos termos e propriedades; progressões geométricas (finitas e infinitas): termo geral, soma dos termos 
e propriedades. ....................................................................................................................................................................... 82 
12) Geometria Espacial de Posição: Posições relativas entre duas retas; posições relativas entre dois planos; 
posições relativas entre reta e plano; perpendicularidade entre duas retas, entre dois planos e entre reta e 
plano; e projeção ortogonal. ................................................................................................................................................ 85 
13) Geometria Espacial Métrica: Prismas: conceito, elementos, classificação, áreas e volumes e troncos; 
pirâmide: conceito, elementos, classificação, áreas e volumes e troncos; cilindro: conceito, elementos, 
classificação, áreas e volumes e troncos; cone: conceito, elementos, classificação, áreas e volumes e troncos; 
esfera: elementos, seção da esfera, área, volumes e partes da esfera; inscrição e circunscrição de sólidos. ... 87 
14) Geometria Analítica Plana: Ponto: o plano cartesiano, distância entre dois pontos, ponto médio de um 
segmento e condição de alinhamento de três pontos; reta: equações geral e reduzida, interseção de retas, 
paralelismo e perpendicularidade, ângulo entre duas retas, distância entre ponto e reta e distância entre duas 
retas, bissetrizes do ângulo entre duas retas, Área de um triângulo e inequações do primeiro grau com duas 
variáveis .................................................................................................................................................................................... 99 
Circunferência: equações geral e reduzida, posições relativas entre ponto e circunferência, reta e 
circunferência e duas circunferências; problemas de tangência; e equações e inequações do segundo grau com 
duas variáveis; ..................................................................................................................................................................... 103 
Elipse: definição, equação, posições relativas entre ponto e elipse, posições relativas entre reta e elipse; 
hipérbole: definição, equação da hipérbole, posições relativas entre ponto e hipérbole, posições relativas entre 
reta e hipérbole e equações das assíntotas da hipérbole; parábola: definição, equação, posições relativas entre 
ponto e parábola, posições relativas entre reta e parábola; reconhecimento de cônicas a partir de sua equação 
geral. ....................................................................................................................................................................................... 108 
15) Geometria Plana: Ângulo: definição, elementos e propriedades; Ângulos na circunferência; Paralelismo 
e perpendicularidade; Semelhança de triângulos; Pontos notáveis do triângulo; Relações métricas nos 
triângulos (retângulos e quaisquer); Triângulos retângulos, Teorema de Pitágoras; Congruência de figuras 
planas; Feixe de retas paralelas e transversais, Teorema de Tales;Teorema das bissetrizes internas e externas 
de um triângulo; Quadriláteros notáveis; Polígonos, polígonos regulares, circunferências, círculos e seus 
elementos; Perímetro e área de polígonos, polígonos regulares, circunferências, círculos e seus elementos; 
Fórmula de Heron; Razão entre áreas; Inscrição e circunscrição. .......................................................................... 113 
16) Polinômios: Função polinomial, polinômio identicamente nulo, grau de um polinômio, identidade de 
um polinômio, raiz de um polinômio, operações com polinômios e valor numérico de um polinômio; divisão 
de polinômios, Teorema do Resto, Teorema de D'Alembert e dispositivo de Briot-Ruffini; relação entre 
coeficientes e raízes. Fatoração e multiplicidade de raízes e produtos notáveis. Máximo divisor comum de 
polinômios; 17) Equações Polinomiais: Teorema fundamental da álgebra, teorema da decomposição, raízes 
imaginárias, raízes racionais, relações de Girard e teorema de Bolzano. ............................................................... 132 
 
Português 
 
1) Leitura, interpretação e análise de textos Leitura, interpretação e análise dos significados presentes em 
um texto e o respectivo relacionamento com o universo em que o texto foi produzido. ....................................... 1 
2) Fonética, ortografia e pontuação Correta escrita das palavras da língua portuguesa, acentuação gráfica, 
partição silábica e pontuação. ............................................................................................................................................... 3 
3) Morfologia Estrutura e formação das palavras e classes de palavras. ............................................................ 19 
4) Morfossintaxe Frase, oração e período, termos da oração, orações do período (desenvolvidas e 
reduzidas), funções sintáticas do pronome relativo, sintaxe de regência (verbal e nominal), sintaxe de 
concordância (verbal e nominal) e sintaxe de colocação. ............................................................................................ 42 
5) Noções de versificação Estrutura do verso, tipos de verso, rima, estrofação e poemas de forma fixa. .. 63 
6) Teoria da linguagem e semântica História da Língua Portuguesa; linguagem, língua, discurso e estilo; 
níveis de linguagem, funções da linguagem; figuras de linguagem e significado das palavras. .......................... 64 
7) Introdução à literatura A arte literária, os gêneros literários e a evolução da arte literária, em Portugal e 
no Brasil. .................................................................................................................................................................................. 83 
8) Literatura brasileira Contexto histórico, características, principais autores e obras do Quinhentismo, 
Barroco, Arcadismo, Romantismo, Realismo, Naturalismo, Impressionismo, Parnasianismo, Simbolismo, Pré-
modernismo e Mordenismo. ............................................................................................................................................... 94 
9) Redação Gênero textual; textualidade e estilo (funções da linguagem; coesão e coerência textual; tipos 
de discurso; intertextualidade; denotação e conotação; figuras de linguagem; mecanismos de coesão; a 
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ambiguidade; a não-contradição; paralelismos sintáticos e semânticos; continuidade e progressão textual); 
texto e contexto; o texto narrativo: o enredo, o tempo e o espaço; a técnica da descrição; o narrador; o texto 
argumentativo; o tema; a impessoalidade; a carta argumentativa; a crônica argumentativa; a argumentação e 
a persuasão; o texto dissertativoargumentativo; a consistência dos argumentos; a contraargumentação; o 
parágrafo; a informatividade e o senso comum; formas de desenvolvimento do texto dissertativo-
argumentativo; a introdução; e a conclusão. ................................................................................................................ 117 
10) Alterações introduzidas na ortografia da língua portuguesa pelo Acordo Ortográfico da Língua 
Portuguesa, assinado em Lisboa, em 16 de dezembro de 1990, por Portugal, Brasil, Angola, São Tomé e 
Príncipe, Cabo Verde, Guiné-Bissau, Moçambique e, posteriormente, por Timor Leste, aprovado no Brasil pelo 
Decreto nº 6.583, de 29 de setembro de 2008 e alterado pelo Decreto nº 7.875, de 27 de dezembro de 
2012........... ............................................................................................................................................................................. 140 
 
História e Geografia do Brasil 
 
1) História do Brasil a) A expansão Ultramarina Européia dos séculos XV e XVI ............................................... 1 
b) O Sistema Colonial Português na América Estrutura político-administrativa; estrutura socioeconômica; 
invasões estrangeiras; expansão territorial; interiorização e formação das fronteiras; as reformas pombalinas; 
rebeliões coloniais; e movimentos e tentativas emancipacionistas. ............................................................................ 3 
c) O Período Joanino e a Independência (1) A presença britânica no Brasil, a transferência da Corte, os 
tratados, as principais medidas de D. João VI no Brasil, a política joanina, os partidos políticos, as revoltas, 
conspirações e revoluções e a emancipação e os conflitos sociais. (2) O processo de independência do Brasil. 
d) Brasil Imperial Primeiro Reinado e Período Regencial: aspectos administrativos, militares, culturais, 
econômicos, sociais e territoriais; Segundo Reinado: aspectos administrativos, militares, econômicos, sociais 
e territoriais; e Crise da Monarquia e Proclamação da República. ............................................................................. 13 
e) Brasil República Aspectos administrativos, culturais, econômicos, sociais e territoriais, revoltas, crises e 
conflitos e a participação brasileira na II Guerra Mundial. .......................................................................................... 21 
2) Geografia do Brasil a) O território nacional: a construção do Estado e da Nação, a obra de fronteiras, 
fusos-horários e a federação brasileira. ........................................................................................................................... 36 
b) O espaço brasileiro: relevo, climas, vegetação, hidrografia e solos. ................................................................ 39 
c) Políticas territoriais: meio ambiente. ..................................................................................................................... 42 
d) Modelo econômico brasileiro: o processo de industrialização, o espaço industrial, a energia e o meio 
ambiente, os complexos agro-industriais e os eixos de circulação e os custos de deslocamento. ...................... 43 
e) A população brasileira: a sociedade nacional, a nova dinâmica demográfica, os trabalhadores e o mercado 
de trabalho, a questão agrária, pobreza e exclusão social e o espaço das cidades. ................................................ 49 
f) Políticas territoriais e regionais: a Amazônia, o Nordeste, o Mercosul e a América do Sul. ........................ 57 
 
Inglês 
 
1) Competências e Habilidades a) Compreender a utilização de mecanismos de coesão e coerência na 
produção escrita; b) Compreender de que forma determinada expressão pode ser interpretada em razão de 
aspectos sociais e/ou culturais; c) Analisar os recursos expressivos da linguagem verbal, relacionando textos 
e contextos mediante a natureza, função, organização, estrutura, de acordo com as condições de produção .. 1 
2) Conteúdos linguístico-textuais: a) Denotação e conotação ................................................................................ 11 
b) Sinonímiae antonímia ................................................................................................................................................ 13 
c) Correlação morfológica, sintática e/ou semântica ............................................................................................... 13 
d) Pronomes e suas referências ..................................................................................................................................... 16 
e) Artigos (definidos e indefinidos) ............................................................................................................................. 17 
f) Singular e Plural ............................................................................................................................................................ 20 
g) Verbos no tempo presente, para expressar hábitos e rotinas, em suas formas afirmativa, interrogativa 
ou negativa; h) Verbos no Presente Contínuo, para expressar atividades momentâneas e futuro, em suas 
formas afirmativa, interrogativa ou negativa .................................................................................................................. 22 
i) Comparativo e superlativo; j) Adjetivos e advérbios e suas posições nas frases ........................................... 24 
k) Quantificadores (many, much, few, little, a lotof) ................................................................................................ 29 
 
 
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MATEMÁTICA 
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APOSTILAS OPÇÃO 
 
 
Matemática 1 
 
 
 
 
Como representar um conjunto 
Pela designação de seus elementos: Escrevemos os 
elementos entre chaves, separando os por vírgula. 
 
Exemplos 
{3, 6, 7, 8} indica o conjunto formado pelos elementos 3, 6, 
7 e 8. 
{a; b; m} indica o conjunto constituído pelos elementos a, 
b, m. 
Pela propriedade de seus elementos: Conhecida uma 
propriedade P que caracteriza os elementos de um conjunto A, 
este fica bem determinado. 
P termo “propriedade P que caracteriza os elementos de 
um conjunto A” significa que, dado um elemento x qualquer 
temos: 
Assim sendo, o conjunto dos elementos x que possuem a 
propriedade P é indicado por: 
{x, tal que x tem a propriedade P} 
Uma vez que “tal que” pode ser denotado por t.q. ou | ou 
ainda :, podemos indicar o mesmo conjunto por: 
{x, t . q . x tem a propriedade P} ou, ainda, 
{x : x tem a propriedade P} 
 
Exemplos 
- { x, t.q. x é vogal } é o mesmo que {a, e, i, o, u} 
- {x | x é um número natural menor que 4 } é o mesmo que 
{0, 1, 2, 3} 
- {x : x em um número inteiro e x² = x } é o mesmo que {0, 
1} 
 
Pelo diagrama de Venn-Euler: O diagrama de Venn-Euler 
consiste em representar o conjunto através de um “círculo” de 
tal forma que seus elementos e somente eles estejam no 
“círculo”. 
 
Exemplos 
- Se A = {a, e, i, o, u} então 
 
 
- Se B = {0, 1, 2, 3 }, então 
 
 
Conjunto Vazio 
Conjunto vazio é aquele que não possui elementos. 
Representa-se pela letra do alfabeto norueguês Ø ou, 
simplesmente { }. 
 
Exemplos 
 - Ø= {x : x é um número inteiro e 3x = 1} 
- Ø= {x | x é um número natural e 3 – x = 4} 
- Ø= {x | x ≠ x} 
 
Subconjunto 
Sejam A e B dois conjuntos. Se todo elemento de A é 
também elemento de B, dizemos que A é um subconjunto de B 
ou A é a parte de B ou, ainda, A está contido em B e indicamos 
por A ⊂ B. 
 
Portanto, A ⊄B significa que A não é um subconjunto de B 
ou A não é parte de B ou, ainda, A não está contido em B. 
Por outro lado, A ⊄ B se, e somente se, existe, pelo menos, 
um elemento de A que não é elemento de B. 
 
Exemplos 
- {2, 4} ⊂{2, 3, 4}, pois 2 ∈ {2, 3, 4} e 4 ∈ {2, 3, 4} 
- {2, 3, 4} {2, 4}, pois 3 ∉{2, 4} 
- {5, 6} ⊂ {5, 6}, pois 5 ∈{5, 6} e 6 ∈{5, 6} 
 
Inclusão e pertinência 
A definição de subconjunto estabelece um relacionamento 
entre dois conjuntos e recebe o nome de relação de inclusão 
(⊂). 
A relação de pertinência (∈) estabelece um relacionamento 
entre um elemento e um conjunto e, portanto, é diferente da 
relação de inclusão. 
 
Exemplo 
{1, 3} ⊂{1, 3, 4} 
 2 ∈ {2, 3, 4} 
 
Igualdade 
Sejam A e B dois conjuntos. Dizemos que A é igual a B e 
indicamos por A = B se, e somente se, A é subconjunto de B e B 
é também subconjunto de A. 
Demonstrar que dois conjuntos A e B são iguais equivale, 
segundo a definição, a demonstrar que A ⊂ B e B ⊂ A. 
Segue da definição que dois conjuntos são iguais se, e 
somente se, possuem os mesmos elementos. 
Portanto A ≠ B significa que A é diferente de B. Portanto A 
≠ B se, e somente se, A não é subconjunto de B ou B não é 
subconjunto de A. 
 
Exemplos 
- {2, 4} = {4, 2}, pois {2, 4} ⊂ {4, 2} e {4, 2}⊂ {2, 4}. Isto nos 
mostra que a ordem dos elementos de um conjunto não deve 
ser levada em consideração. Em outras palavras, um conjunto 
fica determinado pelos elementos que o mesmo possui e não 
pela ordem em que esses elementos são descritos. 
- {2, 2, 2, 4} = {2, 4}, pois {2, 2, 2, 4} ⊂ {2, 4} e {2, 4} ⊂ {2, 2, 
2, 4}. Isto nos mostra que a repetição de elementos é 
desnecessária. 
- {a, a} = {a} 
- {a, b} = {a} ↔ a= b 
1) Teoria dos Conjuntos e 
Conjuntos Numéricos: 
Representação de conjuntos, 
subconjuntos, operações: 
união, interseção, diferença e 
complementar. Conjunto 
universo e conjunto vazio 
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APOSTILAS OPÇÃO 
 
 
Matemática 2 
- {1, 2} = {x, y} ↔ (x = 1 e y = 2) ou (x = 2 e y = 1) 
 
Número de Elementos da União e da Intersecção de 
Conjuntos 
Dadosdois conjuntos A e B, como vemos na figura abaixo, 
podemos estabelecer uma relação entre os respectivos 
números de elementos. 
 
𝑛(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑛(𝐴) + 𝑛(𝐵) − 𝑛(𝐴 ∩ 𝐵) 
 
Note que ao subtrairmos os elementos comuns (𝑛(𝐴 ∩ 𝐵)) 
evitamos que eles sejam contados duas vezes. 
 
Observações: 
a) Se os conjuntos A e B forem disjuntos ou se mesmo um 
deles estiver contido no outro, ainda assim a relação dada será 
verdadeira. 
b) Podemos ampliar a relação do número de elementos 
para três ou mais conjuntos com a mesma eficiência. 
 
Observe o diagrama e comprove. 
 
 
 
𝑛(𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶) = 𝑛(𝐴) + 𝑛(𝐵) + 𝑛(𝐶) − 𝑛(𝐴 ∩ 𝐵) − 
−𝑛(𝐴 ∩ 𝐶) − 𝑛(𝐵 ∩ 𝐶) + 𝑛(𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶) 
 
Conjunto das partes 
Dado um conjunto A podemos construir um novo conjunto 
formado por todos os subconjuntos (partes) de A. Esse novo 
conjunto chama-se conjunto dos subconjuntos (ou das partes) 
de A e é indicado por P(A). 
 
Exemplos 
a) = {2, 4, 6} 
P(A) = {Ø, {2}, {4}, {6}, {2,4}, {2,6}, {4,6}, A} 
 
b) = {3,5} 
P(B) = {Ø, {3}, {5}, B} 
 
c) = {8} 
P(C) = {Ø, C} 
 
d) = Ø 
P(D) = {Ø} 
 
Propriedades 
Seja A um conjunto qualquer e Ø o conjunto vazio. Valem 
as seguintes propriedades: 
 
Ø≠(Ø) Ø∉Ø Ø⊂Ø Ø∈{Ø} 
Ø⊂A ↔ Ø ∈ P(A) A ⊂ A ↔ A ∈ P(A) 
 
Se A tem n elementos então A possui 2n subconjuntos e, 
portanto, P(A) possui 2n elementos. 
 
União de conjuntos 
A união (ou reunião) dos conjuntos A e B é o conjunto 
formado por todos os elementos que pertencem a A ou a B. 
Representa-se por A∪B. 
Simbolicamente: A∪B = {X | X∈A ou X∈B} 
 
 
 
Exemplos 
- {2, 3}∪{4, 5, 6}={2, 3, 4, 5, 6} 
- {2, 3, 4}∪{3, 4, 5}={2, 3, 4, 5} 
- {2, 3}∪{1, 2, 3, 4}={1, 2, 3, 4} 
- {a, b}∪{a, b} 
 
Intersecção de conjuntos 
A intersecção dos conjuntos A e B é o conjunto formado por 
todos os elementos que pertencem, simultaneamente, a A e a 
B. Representa-se por A∩B. Simbolicamente: A∩B = {X | X∈A e 
X∈B} 
 
 
 
Exemplos 
- {2, 3, 4}∩{3, 5}={3} 
- {1, 2, 3}∩{2, 3, 4}={2, 3} 
- {2, 3}∩{1, 2, 3, 5}={2, 3} 
- {2, 4}∩{3, 5, 7}=Ø 
Observação: Se A∩B=Ø, dizemos que A e B são conjuntos 
disjuntos. 
 
 
 
Subtração 
A diferença entre os conjuntos A e B é o conjunto formado 
por todos os elementos que pertencem a A e não pertencem a 
B. Representa-se por A – B. Simbolicamente: A – B = {X | X ∈A 
e X∉B} 
 
 
 
O conjunto A – B é também chamado de conjunto 
complementar de B em relação a A, representado por CAB. 
Simbolicamente: CAB = A – B = {X | X∈A e X∉B} 
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APOSTILAS OPÇÃO 
 
 
Matemática 3 
Exemplos 
A = {0, 1, 2, 3} e B = {0, 2} 
CAB = A – B = {1, 3} e CBA = B – A =Ø 
 A = {1, 2, 3} e B = {2, 3, 4} 
CAB = A – B = {1} e CBA = B – A = {14} 
 
 A = {0, 2, 4} e B = {1 ,3 ,5} 
CAB = A – B = {0, 2, 4} e CBA = B – A = {1, 3, 5} 
 
Observações: Alguns autores preferem utilizar o conceito 
de completar de B em relação a A somente nos casos em que B 
⊂ A. 
- Se B ⊂ A representa-se por B̅ o conjunto complementar 
de B em relação a A. Simbolicamente: B ⊂ A ↔ B̅= A – B = CAB´ 
 
 
 
Exemplos 
Seja S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}. Então: 
a) A = {2, 3, 4} → A̅ = {0, 1, 5, 6} 
b) B = {3, 4, 5, 6 } → B̅ = {0, 1, 2} 
c) C = Ø→ C̅ = S 
 
Número de elementos de um conjunto 
Sendo X um conjunto com um número finito de elementos, 
representa-se por n(X) o número de elementos de X. Sendo, 
ainda, A e B dois conjuntos quaisquer, com número finito de 
elementos temos: 
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B) 
A ∩ B = Ø → n(A ∪ B) = n(A) + n(B) 
n(A - B) = n(A) - n(A ∩ B) 
B ⊂ A → n(A - B) = n(A) - n(B) 
 
Questões 
 
01. (MGS- Nível Fundamental Incompleto-IBFC) A união 
entre os conjuntos A ={ 0,1,2,3,4,5} e B = {1,2,3,5,6,7,8} é: 
(A){0,1,2,3,5,6,7,8} 
(B){0,1,2,3,4,5,6,7,8} 
(C){1,2,3,4,5,6,7,8} 
(D){0,1,2,3,4,5,6,8} 
 
02. (Pref. de Maria Helena/PR - Professor - Ensino 
Fundamental - FAFIPA) Considere os conjuntos A= 
{3,6,11,13,21} e B= {2,3,4,6,9,11,13,19,21,23,26}. Sobre os 
conjuntos A e B podemos afirmar que: 
(A)A ⊂ B 
(B)9 ∉ B 
(C)17 ∈ A 
(D)A ⊃ B 
 
03. (Metrô/SP – Oficial Logística –Almoxarifado I – 
FCC) O diagrama indica a distribuição de atletas da delegação 
de um país nos jogos universitários por medalha conquistada. 
Sabe-se que esse país conquistou medalhas apenas em 
modalidades individuais. Sabe-se ainda que cada atleta da 
delegação desse país que ganhou uma ou mais medalhas não 
ganhou mais de uma medalha do mesmo tipo (ouro, prata, 
bronze). De acordo com o diagrama, por exemplo, 2 atletas da 
delegação desse país ganharam, cada um, apenas uma medalha 
de ouro. 
 
A análise adequada do diagrama permite concluir 
corretamente que o número de medalhas conquistadas por 
esse país nessa edição dos jogos universitários foi de: 
(A) 15. 
(B) 29. 
(C) 52. 
(D) 46. 
(E) 40. 
 
04. (Pref. de Camaçari/BA – Téc. Vigilância em Saúde 
NM – AOCP) Qual é o número de elementos que formam o 
conjunto dos múltiplos estritamente positivos do número 3, 
menores que 31? 
(A) 9 
(B) 10 
(C) 11 
(D) 12 
(E) 13 
 
05. (Pref. de Camaçari/BA – Téc. Vigilância em Saúde 
NM – AOCP) Considere dois conjuntos A e B, sabendo que 𝐴 ∩
𝐵 = {3}, 𝐴 ∪ 𝐵 = {0; 1; 2; 3; 5} 𝑒 𝐴 − 𝐵 = {1; 2}, assinale a 
alternativa que apresenta o conjunto B. 
(A) {1;2;3} 
(B) {0;3} 
(C) {0;1;2;3;5} 
(D) {3;5} 
(E) {0;3;5} 
 
06. (Metrô/SP – Engenheiro Segurança Do Trabalho – 
FCC) Uma pesquisa, com 200 pessoas, investigou como eram 
utilizadas as três linhas: A, B e C do Metrô de uma cidade. 
Verificou-se que 92 pessoas utilizam a linha A; 94 pessoas 
utilizam a linha B e 110 pessoas utilizam a linha C. Utilizam as 
linhas A e B um total de 38 pessoas, as linhas A e C um total de 
42 pessoas e as linhas B e C um total de 60 pessoas; 26 pessoas 
que não se utilizam dessas linhas. Desta maneira, conclui-se 
corretamente que o número de entrevistados que utilizam as 
linhas A e B e C é igual a: 
(A) 50. 
(B) 26. 
(C) 56. 
(D) 10. 
(E) 18. 
 
Comentários 
 
01. Resposta: B. 
A ={0,1,2,3,4,5} e B = {1,2,3,5,6,7,8} 
A união entre conjunto é juntar A e B: 
{0,1,2,3,4,5,6,7,8} 
 
02. Resposta: A. 
A "está contido em" B ou seja todos os números do 
conjunto A estão no conjunto B. 
⊂ = A está contido em 
∉ = não pertence 
∈ = Pertence 
 
03. Resposta: D. 
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APOSTILAS OPÇÃO 
 
 
Matemática 4 
Pelo diagrama verifica-se o número de atletas que 
ganharam medalhas. 
No caso das intersecções, devemos multiplicar por 2 (por 
ser 2 medalhas )e na intersecção das três medalhas 
(multiplica-se por 3). 
Intersecções: 
6 ∙ 2 = 12 
1 ∙ 2 = 2 
4 ∙ 2 = 8 
3 ∙ 3 = 9 
Somando as outras: 
2+5+8+12+2+8+9=46 
 
04. Resposta: B. 
A={3,6,9,12,15,18,21,24,27,30} 
10 elementos 
 
05. Resposta: E. 
Como a intersecção dos dois conjuntos, mostra que 3 é 
elemento de B. 
A-B são os elementos que tem em A e não em B. 
Então de AB, tiramos que B={0;3;5}. 
 
06. Resposta: E. 
 
92-38+x-x-42+x+94-38+x-x-60+x+110-42+x-x-60+x+38-
x+x+42-x+60-x+26=200 
X=200-182 
X=18 
 
 
 
CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS - N 
 
O surgimento do Conjunto dos Números Naturais, deveu-
se à necessidade de se contarem objetos. Embora o zero não 
seja um número natural no sentido que tenha sido proveniente 
de objetos de contagens naturais, iremos considerá-lo como 
um número natural uma vez que ele tem as mesmas 
propriedades algébricas que estes números. 
 
 
Subconjuntos notáveis em N: 
1 – Números Naturais não nulos 
N* ={1,2,3,4,...,n,...}; N* = N-{0} 
 
2 – Números Naturais pares 
Np = {0,2,4,6,...,2n,...}; com n ∈ N 
3 - Números Naturais ímpares 
Ni = {1,3,5,7,...,2n+1,...} com n ∈ N 
 
4 - Números primos 
P = {2,3,5,7,11,13...} 
 
A construção dos Números Naturais 
- Todo número natural dado tem um sucessor (número que 
vem depois do número dado), considerando também o zero. 
- Todo número natural dado N, excetoo zero, tem um 
antecessor (número que vem antes do número dado). 
Exemplo: 
 
 
- Se um número natural é sucessor de outro, então os dois 
números juntos são chamados números consecutivos. 
Exemplos: 
a) 1 e 2 são números consecutivos. 
b) 7 e 8 são números consecutivos. 
 
O conjunto abaixo é conhecido como o conjunto dos 
números naturais pares. P = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, ...} 
O conjunto abaixo é conhecido como o conjunto dos 
números naturais ímpares. I = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ...} 
 
Operações com Números Naturais 
As duas principais operações possíveis no conjunto dos 
números naturais são: a adição e a multiplicação. 
 
- Adição de Números Naturais: tem por finalidade reunir 
em um só número, todas as unidades de dois ou mais números. 
Exemplo: 
5 + 4 = 9, onde 5 e 4 são as parcelas e 9 soma ou total 
 
- Subtração de Números Naturais: é usada quando 
precisamos tirar uma quantia de outra, é a operação inversa 
da adição. A operação de subtração só é válida nos naturais 
quando subtraímos o maior número do menor, ou seja quando 
a - b tal que a ≥ 𝑏. Exemplo: 
254 – 193 = 61, onde 254 é o minuendo, o 193 
subtraendo e 61 a diferença. 
 
Obs.: o minuendo também é conhecido como aditivo e o 
subtraendo como subtrativo. 
 
- Multiplicação de Números Naturais: tem por 
finalidade adicionar o primeiro número denominado 
multiplicando ou parcela, tantas vezes quantas são as 
unidades do segundo número denominadas multiplicador. 
Exemplo: 
2 x 5 = 10, onde 2 e 5 são os fatores e o 10 produto. 
 
Fique Atento!!! 
2 vezes 5 é somar o número 2 cinco vezes: 
2 x 5 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10. 
Podemos no lugar do “x” (vezes) utilizar o ponto (.), para 
indicar a multiplicação. 
 
- Divisão de Números Naturais: dados dois números 
naturais, às vezes necessitamos saber quantas vezes o segundo 
está contido no primeiro. O primeiro número que é o maior é 
denominado dividendo (D) e o outro número que é menor é o 
divisor (d). O resultado da divisão é chamado quociente (Q). Se 
multiplicarmos o divisor pelo quociente obteremos o 
dividendo. Muitas divisões não são exatas, logo temos um resto 
(R) maior que zero. 
Conjunto dos números 
naturais e inteiros: operações 
fundamentais, números 
primos, fatoração, número de 
divisores, máximo divisor 
comum e mínimo múltiplo 
comum 
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APOSTILAS OPÇÃO 
 
 
Matemática 5 
 
 
Fique Atento!!! 
- Em uma divisão exata de números naturais, o divisor 
deve ser menor do que o dividendo. 
35 : 7 = 5 
- Em uma divisão exata de números naturais, o 
dividendo é o produto do divisor pelo quociente. 
35 = 5 x 7 
 
- A divisão de um número natural n por zero não é 
possível pois, se admitíssemos que o quociente fosse q, 
então poderíamos escrever: n ÷ 0 = q e isto significaria que: 
n = 0 x q = 0 o que não é correto! Assim, a divisão de n por 
0 não tem sentido ou ainda é dita impossível. 
 
Propriedades da Adição e da Multiplicação dos 
números Naturais 
Para todo a, b e c ∈ 𝑁 
1) Associativa da adição: (a + b) + c = a + (b + c) 
2) Comutativa da adição: a + b = b + a 
3) Elemento neutro da adição: a + 0 = a 
4) Associativa da multiplicação: (a.b).c = a. (b.c) 
5) Comutativa da multiplicação: a.b = b.a 
6) Elemento neutro da multiplicação: a.1 = a 
7) Distributiva da multiplicação relativamente à adição: 
a.(b +c ) = ab + ac 
8) Distributiva da multiplicação relativamente à 
subtração: a .(b –c) = ab –ac 
9) Fechamento: tanto a adição como a multiplicação de um 
número natural por outro número natural, continua como 
resultado um número natural. 
 
Referências 
IEZZI, Gelson – Matemática - Volume Único 
IEZZI, Gelson - Fundamentos da Matemática – Volume 01 – Conjuntos e 
Funções 
 
Questões 
 
01. (UFSBA – Técnico em Tecnologia da Informação – 
UFMT/2017) O esquema abaixo representa a subtração de 
dois números inteiros, na qual alguns algarismos foram 
substituídos pelas letras A, B, H e I. 
 
Obtido o resultado correto, a sequência BAHIA representa 
o número: 
(A) 69579 
(B) 96756 
(C) 75695 
(D) 57697 
 
02. (Câmara de Sumaré/SP – Escriturário – 
VUNESP/2017) Se, numa divisão, o divisor e o quociente são 
iguais, e o resto é 10, sendo esse resto o maior possível, então 
o dividendo é 
(A) 131. 
(B) 121. 
(C) 120. 
(D) 110. 
(E) 101. 
 
03. (Prefeitura de Canavieira/PI- Auxiliar de serviços 
gerais -IMA) São números pares, EXCETO: 
(A)123 
(B)106 
(C)782 
(D)988 
 
Comentários 
 
01. Resposta: D. 
Sabemos que o minuendo é maior que o subtraendo, pois 
temos como resultado um número natural positivo. 
Fazendo cada número temos: 
8 – 2 = H ⇾ H = 6 
A - 4 = 3 ⇾ A = 3 + 4 ⇾ A = 7 
3 – 1 = 2 
B – A = 8, como já sabemos que A = 7; B – 7 = 8 ⇾ B = 8 – 7 
= 15, sabemos que só podemos ter número de 0 a 9, logo 15 – 
10 = 5, então B = 5. Aqui neste caso o número 5 não tem como 
subtrair de 7, e pede 1 “emprestado” ao do lado. 
Sabemos que o I deve ser acrescido de 1, já que 
“emprestou” um para o lado. I – 4 = 4 ⇾ logo I = 4 + 4 = 8 , 
acrescido de 1 = 9 
B A H I A 
5 7 6 9 7 
 
02. Resposta: A. 
Como o resto é o maior possível e sabemos que R < d, temos 
que: 10 < d. Logo podemos sugerir que d seja igual a 11. 
D = 11 . 11 + R ⇾ D = 121 + 10 = 131 
Também podemos montar a equação através do 
enunciado: 
D = d. Q +R 
d = Q 
R = 10 
D = d. d + 10 ⇾ D = d² + 10 ⇾ D – 10 = x². Observando as 
respostas, temos que o resultado que torna a equação possível 
é 131. 131 – 10 = x² ⇾ 121 = x² ⇾ x = 11 
 
03. Resposta: A. 
Sabemos que: 
- Todo número par é terminado em um dos seguintes (0, 
2, 4,6,8). 
- Todo número ímpar é terminado em um dos 
seguintes (1, 3, 5, ,9). 
Portanto: O número que NÃO é PAR acima é 123 
 
CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS – Z 
 
Definimos o conjunto dos números inteiros como a reunião 
do conjunto dos números naturais N = {0, 1, 2, 3, 4,..., n,...}, o 
conjunto dos opostos dos números naturais e o zero. Este 
conjunto é denotado pela letra Z (Zahlen = número em 
alemão). 
 
 
N ᑕ Z – O conjunto dos números Naturais está contido no 
Conjunto do Números Inteiros. 
 
Subconjuntos notáveis: 
- O conjunto dos números inteiros não nulos: 
Z* = {..., -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, ...}; 
Z* = Z – {0} 
 
- O conjunto dos números inteiros não negativos: 
Z+ = {0, 1, 2, 3, 4, ...} 
Z+ é o próprio conjunto dos números naturais: Z+ = N 
 
- O conjunto dos números inteiros positivos: 
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APOSTILAS OPÇÃO 
 
 
Matemática 6 
Z*+ = {1, 2, 3, 4, ...} 
 
- O conjunto dos números inteiros não positivos: 
Z_ = {..., -5, -4, -3, -2, -1, 0} 
 
- O conjunto dos números inteiros negativos: 
Z*_ = {..., -5, -4, -3, -2, -1} 
 
Módulo 
O módulo de um número inteiro é a distância ou 
afastamento desse número até o zero, na reta numérica inteira. 
Representa-se o módulo por | |. 
O módulo de 0 é 0 e indica-se |0| = 0 
O módulo de +7 é 7 e indica-se |+7| = 7 
O módulo de –9 é 9 e indica-se |–9| = 9 
O módulo de qualquer número inteiro, diferente de zero, é 
sempre positivo. 
 
Números opostos ou simétricos 
Dois números inteiros são ditos opostos um do outro 
quando apresentam soma zero; assim, os pontos que os 
representam distam igualmente da origem. 
Exemplo: O oposto do número 4 é -4, e o oposto de -4 é 4, 
pois 4 + (-4) = (-4) + 4 = 0 
Particularmente o oposto de zero é o próprio zero. 
 
 
Operações com Números Inteiros 
 
Adição de Números Inteiros: para melhor entendimento 
desta operação, associaremos aos números inteiros positivos 
a ideia de ganhar e aos números inteiros negativos a ideia de 
perder. 
Ganhar 5 + ganhar 3 = ganhar 8 (+ 5) + (+ 3) = (+8) 
Perder 3 + perder 4 = perder 7 (- 3) + (- 4) = (- 7) 
Ganhar 8 + perder 5 = ganhar 3 (+ 8) + (- 5) = (+ 3) 
O sinal (+) antes do número positivo pode ser dispensado,mas o sinal (–) antes do número negativo NUNCA pode ser 
dispensado. 
 
Subtração de Números Inteiros: a subtração é 
empregada quando: 
- Precisamos tirar uma quantidade de outra quantidade; 
- Temos duas quantidades e queremos saber quanto uma 
delas tem a mais que a outra; 
- Temos duas quantidades e queremos saber quanto falta a 
uma delas para atingir a outra. 
 
A subtração é a operação inversa da adição. 
Observe que em uma subtração o sinal do resultado é 
sempre do maior número!!! 
3 + 5 = 8 
3 – 5 = -2 
 
Exemplificando: 
1) Na segunda-feira, a temperatura de Monte Sião passou 
de +3 graus para +6 graus. Qual foi a variação da temperatura? 
Esse fato pode ser representado pela subtração: (+6) – 
(+3) = +3 
 
2) Na terça-feira, a temperatura de Monte Sião, durante o 
dia, era de +6 graus. À Noite, a temperatura baixou de 3 graus. 
Qual a temperatura registrada na noite de terça-feira? 
Esse fato pode ser representado pela adição: (+6) + (–3) = 
+3 
Se compararmos as duas igualdades, verificamos que (+6) 
– (+3) é o mesmo que (+6) + (–3). 
Temos: 
(+6) – (+3) = (+6) + (–3) = +3 
(+3) – (+6) = (+3) + (–6) = –3 
(–6) – (–3) = (–6) + (+3) = –3 
 
ATENÇÃO: Subtrair dois números inteiros é o mesmo que 
adicionar o primeiro com o oposto do segundo. 
 
Fique Atento!!! 
Todos parênteses, colchetes, chaves, números, entre 
outros, precedidos de sinal negativo, tem o seu sinal 
invertido, ou seja, é dado o seu oposto. 
 
Multiplicação de Números Inteiros: a multiplicação 
funciona como uma forma simplificada de uma adição quando 
os números são repetidos. Poderíamos analisar tal situação 
como o fato de estarmos ganhando repetidamente alguma 
quantidade, como por exemplo, ganhar 1 objeto por 30 vezes 
consecutivas, significa ganhar 30 objetos e esta repetição pode 
ser indicada por um x, isto é: 1 + 1 + 1 ... + 1 + 1 = 30 x 1 = 30 
Se trocarmos o número 1 pelo número 2, obteremos: 2 + 2 
+ 2 + ... + 2 + 2 = 30 x 2 = 60 
Se trocarmos o número 2 pelo número -2, obteremos: (–2) 
+ (–2) + ... + (–2) = 30 x (-2) = –60 
 
Divisão de Números Inteiros: divisão exata de números 
inteiros. 
 Veja o cálculo: 
(– 20): (+ 5) = q  (+ 5) . q = (– 20)  q = (– 4) 
Logo: (– 20): (+ 5) = - 4 
 
Considerando os exemplos dados, concluímos que, para 
efetuar a divisão exata de um número inteiro por outro 
número inteiro, diferente de zero, dividimos o módulo do 
dividendo pelo módulo do divisor. 
 
Fique Atento!!! 
* (+7): (–2) ou (–19): (–5) são divisões que não podem 
ser realizadas em Z, pois o resultado não é um número 
inteiro. 
* No conjunto Z, a divisão não é comutativa, não é 
associativa e não tem a propriedade da existência do 
elemento neutro. 
* Não existe divisão por zero. 
* Zero dividido por qualquer número inteiro, diferente 
de zero, é zero, pois o produto de qualquer número inteiro 
por zero é igual a zero. 
Exemplo: a) 0: (–10) = 0 b) 0: (+6) = 0 c) 0: (–1) = 0 
 
Regra de Sinais aplicado a Multiplicação e Divisão 
 
 
Potenciação de Números Inteiros: a potência an do 
número inteiro a, é definida como um produto de n fatores 
iguais. O número a é denominado a base e o número n é o 
expoente. an = a x a x a x a x ... x a, a é multiplicado por a n vezes 
 
Exemplos: 
33 = (3) x (3) x (3) = 27 
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APOSTILAS OPÇÃO 
 
 
Matemática 7 
(-5)5 = (-5) x (-5) x (-5) x (-5) x (-5) = -3125 
(-7)² = (-7) x (-7) = 49 
(+9)² = (+9) x (+9) = 81 
 
Fique Atento!!! 
- Toda potência de base positiva é um número inteiro 
positivo. Exemplo: (+3)2 = (+3). (+3) = +9 
 
- Toda potência de base negativa e expoente par é um 
número inteiro positivo. Exemplo: (– 8)2 = (–8). (–8) = +64 
 
- Toda potência de base negativa e expoente ímpar é 
um número inteiro negativo. Exemplo: (–5)3 = (–5). (–5) . 
(–5) = –125 
 
Propriedades da Potenciação 
1) Produtos de Potências com bases iguais: Conserva-
se a base e somam-se os expoentes. Ex.: (–7)3 . (–7)6 = (–7)3+6 
= (–7)9 
 
2) Quocientes de Potências com bases iguais: Conserva-
se a base e subtraem-se os expoentes. Ex.: (-13)8 : (-13)6 = (-
13)8 – 6 = (-13)2 
 
3) Potência de Potência: Conserva-se a base e 
multiplicam-se os expoentes. Ex.: [(-8)5]2 = (-8)5 . 2 = (-8)10 
 
4) Potência de expoente 1: É sempre igual à base. Ex.: (-
8)1 = -8 e (+70)1 = +70 
 
5) Potência de expoente zero e base diferente de zero: 
É igual a 1. Ex.: (+3)0 = 1 e (–53)0 = 1 
 
Radiciação de Números Inteiros: a raiz n-ésima (de 
ordem n) de um número inteiro a é a operação que resulta em 
outro número inteiro não negativo b que elevado à potência n 
fornece o número a. O número n é o índice da raiz enquanto 
que o número a é o radicando (que fica sob o sinal do radical). 
 
 
- A raiz quadrada (de ordem 2) de um número inteiro a é a 
operação que resulta em outro número inteiro não negativo 
que elevado ao quadrado coincide com o número a. 
 
ATENÇÃO: Não existe a raiz quadrada de um número 
inteiro negativo no conjunto dos números inteiros. 
 
Fique Atento!!! 
Erro comum: Frequentemente lemos em materiais 
didáticos e até mesmo ocorre em algumas aulas 
aparecimento de: √9 = ±3 , mas isto é errado. 
O certo é: √9 = +3 
 
Observação: não existe um número inteiro não negativo 
que multiplicado por ele mesmo resulte em um número 
negativo. 
 
- A raiz cúbica (de ordem 3) de um número inteiro a é a 
operação que resulta em outro número inteiro que elevado ao 
cubo seja igual ao número a. Aqui não restringimos os nossos 
cálculos somente aos números não negativos. Exemplos: 
(𝐼)√8
3
= 2, 𝑝𝑜𝑖𝑠 23 = 8 
(𝐼𝐼)√−8
3
= −2, 𝑝𝑜𝑖𝑠 (−2)3 = 8 
 
Fique Atento!!! 
Ao obedecer à regra dos sinais para o produto de 
números inteiros, concluímos que: 
(1) Se o índice da raiz for par, não existe raiz de número 
inteiro negativo. 
(2) Se o índice da raiz for ímpar, é possível extrair a raiz 
de qualquer número inteiro. 
 
 
Propriedades da Adição e da Multiplicação dos 
números Inteiros 
Para todo a, b e c ∈ 𝑍 
1) Associativa da adição: (a + b) + c = a + (b + c) 
2) Comutativa da adição: a + b = b +a 
3) Elemento neutro da adição: a + 0 = a 
4) Elemento oposto da adição: a + (-a) = 0 
5) Associativa da multiplicação: (a.b).c = a. (b.c) 
6) Comutativa da multiplicação: a.b = b.a 
7) Elemento neutro da multiplicação: a.1 = a 
8) Distributiva da multiplicação relativamente à adição: 
a.(b +c ) = ab + ac 
9) Distributiva da multiplicação relativamente à 
subtração: a .(b –c) = ab –ac 
10) Elemento inverso da multiplicação: Para todo inteiro z 
diferente de zero, existe um inverso 
 z –1 = 1/z em Z, tal que, z x z–1 = z x (1/z) = 1 
11) Fechamento: tanto a adição como a multiplicação de 
um número natural por outro número natural, continua como 
resultado um número natural. 
 
Referências 
IEZZI, Gelson – Matemática - Volume Único 
IEZZI, Gelson - Fundamentos da Matemática – Volume 01 – Conjuntos e 
Funções 
 
Questões 
 
01. (Fundação Casa – Analista Administrativo – 
VUNESP) Para zelar pelos jovens internados e orientá-los a 
respeito do uso adequado dos materiais em geral e dos 
recursos utilizados em atividades educativas, bem como da 
preservação predial, realizou-se uma dinâmica elencando 
“atitudes positivas” e “atitudes negativas”, no entendimento 
dos elementos do grupo. Solicitou-se que cada um classificasse 
suas atitudes como positiva ou negativa, atribuindo (+4) 
pontos a cada atitude positiva e (-1) a cada atitude negativa. Se 
um jovem classificou como positiva apenas 20 das 50 atitudes 
anotadas, o total de pontos atribuídos foi 
(A) 50. 
(B) 45. 
(C) 42. 
(D) 36. 
(E) 32. 
 
02. (CGE/RO – Auditor de Controle Interno – 
FUNRIO/2018) O jornal “O Globo” noticiou assim, em 
10/02/2018, em sua página eletrônica, o desfile 
comemorativo do centenário de fundação do tradicional bloco 
carnavalesco “Cordão da Bola Preta”. 
Se o tradicional bloco desfilou pela primeira vez em 1918 
e,de lá para cá, desfilou todos os anos, apenas uma vez por ano, 
então o centésimo desfile do Cordão da Bola Preta realizou-se 
ou se realizará no ano de: 
(A) 2016. 
(B) 2017. 
(C) 2018. 
(D) 2019. 
(E) 2020. 
 
03. (BNDES - Técnico Administrativo – CESGRANRIO) 
Multiplicando-se o maior número inteiro menor do que 8 pelo 
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APOSTILAS OPÇÃO 
 
 
Matemática 8 
menor número inteiro maior do que - 8, o resultado 
encontrado será 
(A) - 72 
(B) - 63 
(C) - 56 
(D) - 49 
(E) – 42 
 
04. (MPE/GO – Secretário Auxiliar – Cachoeira 
Dourada – MPE-GO/2017) Para o jantar comemorativo do 
aniversário de certa empresa, a equipe do restaurante 
preparou 18 mesas com 6 lugares cada uma e, na hora do 
jantar, 110 pessoas compareceram. É correto afirmar que: 
(A) se todos sentaram em mesas completas, uma ficou 
vazia; 
(B) se 17 mesas foram completamente ocupadas, uma 
ficou com apenas 2 pessoas; 
(C) se 17 mesas foram completamente ocupadas, uma ficou 
com apenas 4 pessoas; 
(D) todas as pessoas puderam ser acomodadas em menos 
de 17 mesas; 
(E) duas pessoas não puderam sentar. 
 
05. SAP/SP – Agente de Segurança Penitenciária – MS 
CONCURSOS/2017) Dentre as alternativas, qual faz a 
afirmação verdadeira? 
(A) A subtração de dois números inteiros sempre resultará 
em um número inteiro. 
(B) A subtração de dois números naturais sempre 
resultará em um número natural. 
(C) A divisão de dois números naturais sempre resultará 
em um número natural. 
(D) A divisão de dois números inteiros sempre resultará 
em um número inteiro. 
 
Comentários 
 
01. Resposta: A. 
50-20=30 atitudes negativas 
20.4=80 
30.(-1)=-30 
80-30=50 
 
02. Resposta: B. 
Em 1918 ele desfilou uma vez, logo 100 – 1 = 99. Somando 
1918 + 99 = 2017. 
 
03. Resposta: D. 
Maior inteiro menor que 8 é o 7 
Menor inteiro maior que - 8 é o - 7. 
Portanto: 7(- 7) = - 49 
 
04. Resposta: E. 
Se multiplicarmos o número de mesas por lugares que 
cada uma tem, teremos: 18. 6 = 108 lugares. 
108 lugares – 110 pessoas = -2, isto significa que todas as 
mesas foram preenchidas e 2 pessoas não sentaram. 
 
05. Resposta: A. 
(a) A subtração de dois números inteiros sempre resultará 
em um número inteiro. – V 
(b) A subtração de dois números naturais sempre resultará 
em um número natural. – somente se o primeiro for maior que 
o segundo - F 
(c) A divisão de dois números naturais sempre resultará 
em um número natural. – somente se o dividendo for maior 
que o divisor - F 
 (d) A divisão de dois números inteiros sempre resultará 
em um número inteiro. – somente se o dividendo for maior que 
o divisor - F 
NÚMEROS PRIMOS 
 
Um número natural P é um número primo quando ele tem 
exatamente dois divisores distintos: o número 1 e ele mesmo 
(P). 
Sendo assim, o número 1 não é primo, pois possui apenas 
um número divisor que é ele mesmo. O número zero também 
não é primo, pois possui vários divisores naturais. Já os 
números 2, 3, 5, 7 e 11 são primos, pois possuem apenas dois 
divisores naturais. 
Nota: o número 2 é o único número primo que é par. Os 
demais são números ímpares. 
Para verificar se um número é primo ou não devemos 
dividir esse número começando pelo menor número primo, 
que é o número 2, e posteriormente com os demais números 
naturais primos, até que seu quociente seja menor ou igual ou 
número que está sendo dividido. Exemplo: o número 127 é 
primo? 
127: 3 = o resultado é 42 e sobra resto 1; 42 > 3 
127: 5 = o resultado é 25 e sobra resto 2 ; 25 > 5 
127: 7 = o resultado é 18 e sobra resto 1; 18 > 7 
127 : 11 = o resultado é 11 e sobra resto 6; 11 = 11 
 
Nesse caso, as divisões foram realizadas pelos números 
naturais primos e na última divisão, o quociente é igual ao 
divisor. Logo, o número 127 é primo. 
O conceito de número primo é muito importante na teoria 
dos números. Um dos resultados da teoria dos números é 
o Teorema Fundamental da Aritmética, que afirma que 
qualquer número natural diferente de 1 pode ser escrito de 
forma única (desconsiderando a ordem) como um produto de 
números primos (chamados fatores primos): este processo se 
chama decomposição em fatores primos (fatoração). 
Os 100 primeiros números primos positivos são: 
 
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 6
1, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 
137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 
199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 
277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 
359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 
439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 
521, 523, 541 
 
Exemplos 
1 não é primo pois D(1)={1} 
2 é primo pois D(2)={1,2} 
3 é primo pois D(3)={1,3} 
5 é primo pois D(5)={1,5} 
7 é primo pois D(7)={1,7} 
14 não é primo pois D(14)={1,2,7,14} 
 
Observação: 1 não é primo pois tem apenas 1 divisor e todo 
número natural pode ser escrito como o produto de números 
primos, de forma única. 
 
Múltiplos e Divisores 
Diz-se que um número natural a é múltiplo de outro 
natural b, se existe um número natural k tal que: 
a = k . b 
 
Exemplo 1 
15 é múltiplo de 5, pois 15 = 3 x 5. 
Quando a = k x b, segue que a é múltiplo de b, mas também, 
a é múltiplo de k, como é o caso do número 35 que é múltiplo 
de 5 e de 7, pois: 35 = 7 x 5. 
Quando a = k x b, então a é múltiplo de b e se conhecemos 
b e queremos obter todos os seus múltiplos, basta fazer k 
assumir todos os números naturais possíveis. 
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APOSTILAS OPÇÃO 
 
 
Matemática 9 
Por exemplo, para obter os múltiplos de 2, isto é, os 
números da forma a = k x 2, k seria substituído por todos os 
números naturais possíveis. 
Observação: Um número b é sempre múltiplo dele 
mesmo. 
a = 1 x b ↔ a = b. 
 
Exemplo 2 
Basta tomar o mesmo número multiplicado por 1 para 
obter um múltiplo dele próprio: 3 = 1 x 3 
A definição de divisor está relacionada com a de múltiplo. 
Um número natural b é divisor do número natural a, se a é 
múltiplo de b. 
 
Exemplo 3 
3 é divisor de 15, pois 15 = 3 x 5, logo 15 é múltiplo de 3 e 
também é múltiplo de 5. 
Um número natural tem uma quantidade finita de 
divisores. 
Por exemplo, o número 6 poderá ter no máximo 6 
divisores, pois trabalhando no conjunto dos números naturais 
não podemos dividir 6 por um número maior do que ele. Os 
divisores naturais de 6 são os números 1, 2, 3, 6, o que significa 
que o número 6 tem 4 divisores. 
 
Decomposição de um número natural em fatores 
primos 
Para decompor um número natural em fatores primos é 
necessário dividir o número pelo seu menor divisor primo, 
repetindo as divisões até chegar ao quociente 1. Exemplos: 
a) 8 = 2.2.2 = 2³ 
b) 9 = 3.3 = 3² 
c) 54 = 2.3.3.3 = 2.3³ 
d)12 = 2.2.3 = 2².3 
Dentre os exemplos citados podemos dizer que todas essas 
formas são formas fatoradas dos números naturais. 
 
Modos de reconhecimento de um número primo. 
1º Modo: 
 Dividimos o número pelos primeiros números primos: 2, 
3, 5, 7, 11, 13, 17. …, até encontrarmos: 
– um quociente exato. Neste caso, verificamos que o 
número não é primo. 
– um quociente, na divisão inexata, menor ou igual ao 
divisor. Neste caso, verificamos que o número é primo. 
 
Exemplos: 
– Verifique se o número 101 é primo. 
Solução: Observe as divisões sucessivas abaixo: 
 
 
 
Executamos as divisões conforme a regra acima veja que a 
última divisão é inexata e o quociente (9) é menor do que o 
divisor (11). Assim, podemos afirmar que o número 101 é 
primo. 
 
Vejamos outro exemplo: 
– Verifique se o número 403 é primo. 
Solução: Veja que 403 não é divisível por 2, também não é 
por 3 e nem por 5, então começaremos a divisão a partir do 7. 
 
 
 
Perceba que a últimadivisão é exata, isto quer dizer que 13 
é um divisor de 403, logo 403 tem mais de dois divisores e não 
é primo. 
 
2º Modo: 
 Procuramos um número natural n, cujo seu quadrado seja 
mais próximo do número a ser verificado. Se nenhum dos 
primos menores, ou iguais, a n dividir o número a ser 
verificado, podemos afirmar que ele é primo, caso contrário, 
não é. 
Exemplo: Verifique se o número 181 é primo. 
Solução: primeiro observe que o quadrado de 13 é o mais 
próximo do número 181, isto é, 132 = 169, agora vamos 
verificar se, pelo menos um, dos números primos menores ou 
iguais a 13 (2, 3, 5, 7, 11 e 13) divide 181. Verifique você 
mesmo que nenhum dos números (2, 3, 5, 7, 11 ou 13) divide 
181. Assim, podemos afirmar que o número 181 é primo. 
 
Questões 
 
01. (MPE/GO – Secretário Auxiliar – Ceres – MPE/GO/ 
2017) Quais dos números a seguir são primos? 
(A) 13. 
(B) 30. 
(C) 49. 
(D) 65. 
(E) 87. 
 
02. (MPCM- TÉCNICO EM INFORMÁTICA - SUPORTE 
TÉCNICO-CETAP) Um número primo é um número que pode 
ser dividido somente por 1 e por ele mesmo. Segundo esse 
critério, selecione a alternativa na qual se listem somente 
números primos. 
(A) 2, 3, 27, 511. 
(B)3, 8, 57, 201. 
(C)2, 5, 7, 99. 
(D)5,17, 29, 61. 
(E)5, 23, 57, 73. 
 
03. (BRDE- ANALISTA DE SISTEMAS-SUPORTE-
FUNDATEC)Considere os conjuntos definidos por: 
 A = { 2,3,5,7,9,11,13,15} 
Assinale a alternativa que apresenta uma sentença 
verdadeira para descrever os elementos do conjunto. 
(A)Todos os elementos do conjunto A são números pares. 
(B)Algum elemento do conjunto A é divisível por 4. 
(C)Nenhum elemento do conjunto A é divisível por 3. 
(D)Existem elementos do conjunto A que são ímpares e 
maiores que 15. 
(E)Existem elementos do conjunto A que são primos. 
 
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APOSTILAS OPÇÃO 
 
 
Matemática 10 
04. (COPASA-AGENTE DE SANEAMENTO - TÉCNICO EM 
INFORMÁTICA-FUNDEP) Ao fatorar em números primos o 
número 270, a quantidade de números primos, distintos, que 
encontramos é 
(A)1 
(B)2 
(C)3 
(D)4 
 
05. (UFAL-AUXILIAR EM ADMINISTRAÇÃO- COPEVE-
UFAL)Dados os itens acerca dos números inteiros, I. Todos os 
números primos são ímpares. II. Todo número múltiplo de 2 é 
par. III. O valor da expressão 8 – 3 x 4 é negativo. verifica-se 
que está(ão) correto(s) 
(A)I, apenas. 
(B)II, apenas. 
(C)I e III, apenas. 
(D)II e III, apenas. 
(E)I, II e III. 
 
Respostas 
 
01. Resposta: A. 
 
02. Resposta: D. 
Sabe-se que por definição, os números primos 2, 3, 5, 7, 11, 
13, 17 ... são aqueles divisíveis, somente, por um e por ele 
mesmo. E se suas divisões sucessivas por números primos 
resultarem resto diferente de 0, até o divisor ser maior ou igual 
ao quociente. 
Avaliando cada alternativa, podemos verificar que: 
A- ERRADA, pois o 27 pode ser dividido por 9 
B - ERRADA pois 8 não é primo 
C - ERRADA, pois o 99 pode ser divido por 33 
D - CORRETA 
E - ERRADA, pois o 57 pode ser dividido por 3 
 
03. Resposta: E. 
Avaliando cada alternativa, podemos verificar que: 
a) Todos os elementos do conjunto A são números 
pares.Sao todos impares 
b) Algum elemento do conjunto A é divisível por 4.Nenhum 
é divisivel por 4 
c) Nenhum elemento do conjunto A é divisível por 3.3, 9 e 
15 são divisíveis 
d) Existem elementos do conjunto A que são ímpares e 
maiores que 15.nenhum elemento e maior que 15 no conjunto 
e) Existem elementos do conjunto A que são 
primos. CERTO 
 
04. Resposta: C. 
270/2 = 135 
135/3 = 45 
45/3 = 15 
15/3 = 5 
5/5 = 1 
Portanto, números primos distintos, que são 2, 3 e 5 
 
05. Resposta: D. 
 Ao avaliarmos cada alternativa, verifica-se que: 
I. Falso. Porque o numero 2 é primo e par. 
III. Verdadeiro. (Porque quando a expressão não delimita 
números com parênteses, inicia-se pela multiplicação). 
Portanto, -3x4 = -12+8 = -4 ( sim , valor negativo) 
 
MÚLTIPLOS E DIVISORES 
 
Sabemos que 30 : 6 = 5, porque 5 x 6 = 30. 
Podemos dizer então que: 
“30 é divisível por 6 porque existe um número natural (5) 
que multiplicado por 6 dá como resultado 30.” 
Um número natural a é divisível por um número natural b, 
não-nulo, se existir um número natural c, tal que c . b = a. 
 
Conjunto dos múltiplos de um número natural: É 
obtido multiplicando-se esse número pela sucessão dos 
números naturais: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,... 
Para acharmos o conjunto dos múltiplos de 7, por exemplo, 
multiplicamos por 7 cada um dos números da sucessão dos 
naturais: 
7 x 0 = 0 
7 x 1 = 7 
7 x 2 = 14 
7 x 3 = 21 
⋮ 
 
O conjunto formado pelos resultados encontrados forma o 
conjunto dos múltiplos de 7: M(7) = {0, 7, 14, 21, ...}. 
 
Observações: 
- Todo número natural é múltiplo de si mesmo. 
- Todo número natural é múltiplo de 1. 
- Todo número natural, diferente de zero, tem infinitos 
múltiplos. 
- O zero é múltiplo de qualquer número natural. 
- Os múltiplos do número 2 são chamados de números 
pares, e a fórmula geral desses números é 2k (kN). Os demais 
são chamados de números ímpares, e a fórmula geral desses 
números é 2k + 1 (k N). 
O mesmo se aplica para os números inteiros, tendo k Z. 
 
Critérios de divisibilidade 
São regras práticas que nos possibilitam dizer se um 
número é ou não divisível por outro, sem efetuarmos a divisão. 
 
Divisibilidade por 2: Um número é divisível por 2 quando 
termina em 0, 2, 4, 6 ou 8, ou seja, quando ele é par. 
Exemplo: 
9656 é divisível por 2, pois termina em 6, e é par. 
 
Divisibilidade por 3: Um número é divisível por 3 quando 
a soma dos valores absolutos de seus algarismos é divisível por 
3. 
Exemplo: 
65385 é divisível por 3, pois 6 + 5 + 3 + 8 + 5 = 27, e 27 é 
divisível por 3. 
 
Divisibilidade por 4: Um número é divisível por 4 quando 
seus dois algarismos são 00 ou formam um número divisível 
por 4. 
Exemplos: 
a) 536400 é divisível por 4, pois termina em 00. 
b) 653524 é divisível por 4, pois termina em 24, e 24 é 
divisível por 4. 
 
Divisibilidade por 5: Um número é divisível por 5 quando 
termina em 0 ou 5. 
Exemplos: 
a) 35040 é divisível por 5, pois termina em 0. 
b) 7235 é divisível por 5, pois termina em 5. 
 
Divisibilidade por 6: Um número é divisível por 6 quando 
é divisível por 2 e por 3 ao mesmo tempo. 
Exemplos: 
a) 430254 é divisível por 6, pois é divisível por 2 e por 3 (4 
+ 3 + 0 + 2 + 5 + 4 = 18). 
b) 80530 não é divisível por 6, pois não é divisível por 3 (8 
+ 0 + 5 + 3 + 0 = 16). 
 
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APOSTILAS OPÇÃO 
 
 
Matemática 11 
Divisibilidade por 7: Um número é divisível por 7 quando 
o último algarismo do número, multiplicado por 2, subtraído 
do número sem o algarismo, resulta em um número múltiplo 
de 7. Neste, o processo será repetido a fim de diminuir a 
quantidade de algarismos a serem analisados quanto à 
divisibilidade por 7. 
Exemplo: 41909 é divisível por 7 conforme podemos 
conferir: 9.2 = 18 ; 4190 – 18 = 4172 → 2.2 = 4 ; 417 – 4 = 413 
→ 3.2 = 6 ; 41 – 6 = 35 ; 35 é multiplo de 7. 
 
Divisibilidade por 8: Um número é divisível por 8 quando 
seus três últimos algarismos forem 000 ou formarem um 
número divisível por 8. 
Exemplos: 
a) 57000 é divisível por 8, pois seus três últimos 
algarismos são 000. 
b) 67024 é divisível por 8, pois seus três últimos 
algarismos formam o número 24, que é divisível por 8. 
 
Divisibilidade por 9: Um número é divisível por 9 quando 
a soma dos valores absolutos de seus algarismos formam um 
número divisível por 9. 
Exemplos: 
a) 6253461 é divisível por 9, pois 6 + 2 + 5 + 3 + 4 + 6 + 1 = 
27 é divisível por 9. 
b) 325103 não é divisível por 9, pois 3 + 2 + 5 + 1 + 0 + 3 = 
14 não é divisível por 9. 
 
Divisibilidade por 10: Um número é divisível por 10 
quando seu algarismo da unidade termina em zero. 
Exemplo: 
563040 é divisível por 10, pois termina em zero. 
 
Divisibilidadepor 11: Um número é divisível por 11 
quando a diferença entre a soma dos algarismos de posição 
ímpar e a soma dos algarismos de posição par resulta em um 
número divisível por 11 ou quando essas somas forem iguais. 
Exemplo: 
 - 43813: 
1º 3º 5º  Algarismos de posição ímpar.(Soma dos 
algarismos de posição impar: 4 + 8 + 3 = 15.) 
 4 3 8 1 3 
 2º 4º  Algarismos de posição par.(Soma dos 
algarismos de posição par:3 + 1 = 4) 
 
15 – 4 = 11  diferença divisível por 11. Logo 43813 é 
divisível por 11. 
 
Divisibilidade por 12: Um número é divisível por 12 
quando é divisível por 3 e por 4 ao mesmo tempo. 
Exemplo: 
) 78324 é divisível por 12, pois é divisível por 3 ( 7 + 8 + 3 
+ 2 + 4 = 24) e por 4 (termina em 24). 
 
Divisibilidade por 15: Um número é divisível por 15 
quando é divisível por 3 e por 5 ao mesmo tempo. 
Exemplo: 
a) 650430 é divisível por 15, pois é divisível por 3 ( 6 + 5 + 
0 + 4 + 3 + 0 =18) e por 5 (termina em 0). 
 
Fatoração numérica 
Essa fatoração se dá através da decomposição em fatores 
primos. Para decompormos um número natural em fatores 
primos, dividimos o mesmo pelo seu menor divisor primo, 
após pegamos o quociente e dividimos o pelo seu menor 
divisor, e assim sucessivamente até obtermos o quociente 1. O 
produto de todos os fatores primos representa o número 
fatorado. 
Exemplo: 
 
Divisores de um número natural 
Vamos pegar como exemplo o número 12 na sua forma 
fatorada: 
12 = 22 . 31 
 O número de divisores naturais é igual ao produto dos 
expoentes dos fatores primos acrescidos de 1. 
Logo o número de divisores de 12 são: 
22⏟
(2+1)
. 31⏟
(1+1)
 → (2 + 1) .(1 + 1) = 3.2 = 6 divisores naturais 
 
Para sabermos quais são esses 6 divisores basta pegarmos 
cada fator da decomposição e seu respectivo expoente natural 
que varia de zero até o expoente com o qual o fator se 
apresenta na decomposição do número natural. 
Exemplo: 
12 = 22 . 31 → 22 = 20,21 e 22 ; 31 = 30 e 31, teremos: 
20 . 30=1 
20 . 31=3 
21 . 30=2 
21 . 31=2.3=6 
22 . 31=4.3=12 
22 . 30=4 
O conjunto de divisores de 12 são: D(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12} 
A soma dos divisores é dada por: 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 12 = 28 
 
Observação 
Para sabermos o conjunto dos divisores inteiros de 12, basta 
multiplicarmos o resultado por 2 (dois divisores, um negativo e 
o outro positivo). 
Assim teremos que D(12) = 6.2 = 12 divisores inteiros. 
 
Questões 
 
01. O número de divisores positivos do número 40 é: 
(A) 8 
(B) 6 
(C) 4 
(D) 2 
(E) 20 
 
02. O máximo divisor comum entre dois números naturais 
é 4 e o produto dos mesmos 96. O número de divisores 
positivos do mínimo múltiplo comum desses números é: 
(A) 2 
(B) 4 
(C) 6 
(D) 8 
(E) 10 
 
03. Considere um número divisível por 6, composto por 3 
algarismos distintos e pertencentes ao conjunto 
A={3,4,5,6,7}.A quantidade de números que podem ser 
formados sob tais condições é: 
(A) 6 
(B) 7 
(C) 9 
(D) 8 
(E) 10 
Respostas 
 
01. Resposta: A. 
Vamos decompor o número 40 em fatores primos. 
40 = 23 . 51 ; pela regra temos que devemos adicionar 1 a 
cada expoente: 
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APOSTILAS OPÇÃO 
 
 
Matemática 12 
3 + 1 = 4 e 1 + 1 = 2 ; então pegamos os resultados e 
multiplicamos 4.2 = 8, logo temos 8 divisores de 40. 
 
02. Resposta: D. 
Sabemos que o produto de MDC pelo MMC é: 
MDC (A, B). MMC (A, B) = A.B, temos que MDC (A, B) = 4 e 
o produto entre eles 96, logo: 
4 . MMC (A, B) = 96 → MMC (A, B) = 96/4 → MMC (A, B) = 
24, fatorando o número 24 temos: 
24 = 23 .3 , para determinarmos o número de divisores, 
pela regra, somamos 1 a cada expoente e multiplicamos o 
resultado: 
(3 + 1).(1 + 1) = 4.2 = 8 
 
03. Resposta: D. 
Para ser divisível por 6 precisa ser divisível por 2 e 3 ao 
mesmo tempo, e por isso deverá ser par também, e a soma dos 
seus algarismos deve ser um múltiplo de 3. 
Logo os finais devem ser 4 e 6: 
354, 456, 534, 546, 564, 576, 654, 756, logo temos 8 
números. 
 
MDC 
 
O máximo divisor comum(MDC) de dois ou mais números 
é o maior número que é divisor comum de todos os números 
dados. Consideremos: 
 
- o número 18 e os seus divisores naturais: 
D+ (18) = {1, 2, 3, 6, 9, 18}. 
 
- o número 24 e os seus divisores naturais: 
D+ (24) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}. 
 
Podemos descrever, agora, os divisores comuns a 18 e 24: 
D+ (18) ∩ D+ (24) = {1, 2, 3, 6}. 
 
Observando os divisores comuns, podemos identificar o 
maior divisor comum dos números 18 e 24, ou seja: MDC (18, 
24) = 6. 
 
Outra técnica para o cálculo do MDC: 
Decomposição em fatores primos 
Para obtermos o MDC de dois ou mais números por esse 
processo, procedemos da seguinte maneira: 
 
- Decompomos cada número dado em fatores primos. 
- O MDC é o produto dos fatores comuns obtidos, cada um 
deles elevado ao seu menor expoente. 
Exemplo: 
 
MMC 
 
O mínimo múltiplo comum(MMC) de dois ou mais 
números é o menor número positivo que é múltiplo comum de 
todos os números dados. Consideremos: 
 
- O número 6 e os seus múltiplos positivos: 
M*+ (6) = {6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, ...} 
 
- O número 8 e os seus múltiplos positivos: 
M*+ (8) = {8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, ...} 
 
Podemos descrever, agora, os múltiplos positivos comuns: 
M*+ (6) M*+ (8) = {24, 48, 72, ...} 
 
Observando os múltiplos comuns, podemos identificar o 
mínimo múltiplo comum dos números 6 e 8, ou seja: MMC (6, 
8) = 24 
 
Outra técnica para o cálculo do MMC: 
 
Decomposição isolada em fatores primos 
Para obter o MMC de dois ou mais números por esse 
processo, procedemos da seguinte maneira: 
- Decompomos cada número dado em fatores primos. 
- O MMC é o produto dos fatores comuns e não-comuns, 
cada um deles elevado ao seu maior expoente. 
Exemplo: 
 
O produto do MDC e MMC é dado pela fórmula abaixo: 
 
MDC(A, B).MMC(A,B)= A.B 
 
Questões 
 
01. Um professor quer guardar 60 provas amarelas, 72 
provas verdes e 48 provas roxas, entre vários envelopes, de 
modo que cada envelope receba a mesma quantidade e o 
menor número possível de cada prova. Qual a quantidade de 
envelopes, que o professor precisará, para guardar as provas? 
(A) 4; 
(B) 6; 
(C) 12; 
(D) 15. 
 
02. O policiamento em uma praça da cidade é realizado por 
um grupo de policiais, divididos da seguinte maneira: 
 
Grupo Intervalo de passagem 
Policiais a pé 40 em 40 minutos 
Policiais de moto 60 em 60 minutos 
Policiais em viaturas 80 em 80 minutos 
 
Toda vez que o grupo completo se encontra, troca 
informações sobre as ocorrências. O tempo mínimo em 
minutos, entre dois encontros desse grupo completo será: 
(A) 160 
(B) 200 
(C) 240 
(D) 150 
(E) 180 
 
03. Na linha 1 de um sistema de Metrô, os trens partem 2,4 
em 2,4 minutos. Na linha 2 desse mesmo sistema, os trens 
partem de 1,8 em 1,8 minutos. Se dois trens partem, 
simultaneamente das linhas 1 e 2 às 13 horas, o próximo 
horário desse dia em que partirão dois trens simultaneamente 
dessas duas linhas será às 13 horas, 
(A) 10 minutos e 48 segundos. 
(B) 7 minutos e 12 segundos. 
(C) 6 minutos e 30 segundos. 
(D) 7 minutos e 20 segundos. 
(E) 6 minutos e 48 segundos. 
 
 
 
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APOSTILAS OPÇÃO 
 
 
Matemática 13 
Respostas 
 
01. Resposta: D. 
Fazendo o mdc entre os números teremos: 
60 = 2².3.5 
72 = 2³.3³ 
48 = 24.3 
Mdc(60,72,48) = 2².3 = 12 
60/12 = 5 
72/12 = 6 
48/12 = 4 
Somando a quantidade de envelopes por provas teremos: 
5 + 6 + 4 = 15 envelopes ao todo. 
 
02. Resposta: C. 
Devemos achar o mmc (40,60,80) 
 
𝑚𝑚𝑐(40,60,80) = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 = 240 
 
03. Resposta: B. 
Como os trens passam de 2,4 e 1,8 minutos, vamos achar o 
mmc(18,24) e dividir por 10, assim acharemos os minutos 
 
Mmc(18,24)=72 
Portanto, será 7,2 minutos 
1 minuto---60s 
0,2--------x 
x = 12 segundos 
Portantose encontrarão depois de 7 minutos e 12 
segundos 
 
 
 
CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS – Q 
 
Um número racional é o que pode ser escrito na forma 
𝑚
𝑛
, 
onde m e n são números inteiros, sendo que n deve ser 
diferente de zero. Frequentemente usamos m/n para significar 
a divisão de m por n. 
Como podemos observar, números racionais podem ser 
obtidos através da razão entre dois números inteiros, razão 
pela qual, o conjunto de todos os números racionais é 
reconhecido pela letra Q. Assim, é comum encontrarmos na 
literatura a notação: 
Q = {
n
m
: m e n em Z, n ≠0} 
 
 
N ᑕ Z ᑕ Q – O conjunto dos números Naturais e Inteiros 
estão contidos no Conjunto do Números Racionais. 
 
Subconjuntos notáveis: 
No conjunto Q destacamos os seguintes subconjuntos: 
- Q* = conjunto dos racionais não nulos; 
- Q+ = conjunto dos racionais não negativos; 
- Q*+ = conjunto dos racionais positivos; 
- Q _ = conjunto dos racionais não positivos; 
- Q*_ = conjunto dos racionais negativos. 
 
Representação Decimal das Frações 
Tomemos um número racional 
𝒎
𝒏
, tal que m não seja 
múltiplo de n. Para escrevê-lo na forma decimal, basta efetuar 
a divisão do numerador pelo denominador. 
Nessa divisão podem ocorrer dois casos: 
1º) O número decimal obtido possui, após a vírgula, um 
número finito de algarismos (decimais exatos): 
3
5
= 0,6 
 
2º) O número decimal obtido possui, após a vírgula, 
infinitos algarismos (nem todos nulos), repetindo-se 
periodicamente (Decimais Periódicos ou Dízimas Periódicas): 
1
33
= 0,3030… 
 
Existem frações muito simples que são representadas por 
formas decimais infinitas, com uma característica especial 
(existência de um período): 
 
Uma forma decimal infinita com período de UM dígito 
pode ser associada a uma soma com infinitos termos desse 
tipo: 
0, 𝑎𝑎𝑎𝑎. . . = 𝑎.
1
(10)1
+ 𝑎.
1
(10)2
+ 𝑎.
1
(10)3
+ 𝑎.
1
(10)4
… 
 
Aproveitando, vejamos um exemplo: 
0,444. . . = 4.
1
(10)1
+ 4.
1
(10)2
+ 4.
1
(10)3
+ 4.
1
(10)4
… 
 
Representação Fracionária dos Números Decimais 
Estando o número racional escrito na forma decimal, e 
transformando-o na forma de fração, vejamos os dois casos: 
1º) Transformamos o número em uma fração cujo 
numerador é o número decimal sem a vírgula e o denominador 
é composto pelo numeral 1, seguido de tantos zeros quanto 
forem as casas decimais após a virgula do número dado: 
0,7 =
7
10
 
 
0,007 =
7
1000
 
 
2º) Devemos achar a fração geratriz (aquela que dá 
origem a dízima periódica) da dízima dada; para tanto, vamos 
apresentar o procedimento através de alguns exemplos: 
 
a) Seja a dízima 0, 444... 
Veja que o período que se repete é apenas 1(formado pelo 
4), então vamos colocar um 9 no denominador e repetir no 
numerador o período. 
Conjunto dos números 
racionais: operações 
fundamentais. conjunto dos 
números reais: operações 
fundamentais, módulo, 
representação decimal, 
operações com intervalos 
reais 
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APOSTILAS OPÇÃO 
 
 
Matemática 14 
 
Assim, a geratriz de 0,444... é a fração 
4
9
. 
 
b) Seja a dízima 3, 1919... 
O período que se repete é o 19, logo dois noves no 
denominador (99). Observe também que o 3 é a parte inteira, 
logo ele vem na frente, formando uma fração mista: 
3
19
99
 → 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑢𝑚𝑎 𝑓𝑟𝑎çã𝑜 𝑚𝑖𝑠𝑡𝑎, 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑛𝑑𝑜 
→ (3.99 + 19) = 316, 𝑙𝑜𝑔𝑜 ∶ 
316
99
 
 
Assim, a geratriz de 3,1919... é a fração 
316
99
. 
 
Neste caso para transformarmos uma dízima periódica 
simples em fração, basta utilizarmos o dígito 9 no 
denominador para cada dígito que tiver o período da 
dízima. 
 
c) Seja a dízima 0,2777... 
Agora, para cada algarismo do anteperíodo se coloca um 
algarismo zero, no denominador, e para cada algarismo do 
período se mantém o algarismo 9 no denominador. 
No caso do numerador, faz-se a seguinte conta: 
 
(Parte inteira com anteperíodo e período) - (parte inteira 
com anteperíodo) 
 
 
 
d) Seja a dízima 1, 23434... 
O número 234 é a junção do anteperíodo com o período. 
Neste caso temos uma dízima periódica composta, pois existe 
uma parte que não se repete e outra que se repete. Neste caso 
temos um anteperíodo (2) e o período (34). Ao subtrairmos 
deste número o anteperíodo (234-2), obtemos como 
numerador o 232. O denominador é formado pelo dígito 9 – 
que corresponde ao período, neste caso 99(dois noves) – e 
pelo dígito 0 – que corresponde a tantos dígitos que tiverem o 
anteperíodo, neste caso 0(um zero). 
 
 
1
232
990
 → 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑢𝑚𝑎 𝑓𝑟𝑎çã𝑜 𝑚𝑖𝑠𝑡𝑎, 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑛𝑑𝑜 − 𝑎: 
(1.990 + 232) = 1222, 𝑙𝑜𝑔𝑜 ∶ 
1222
990
 
 
Simplificando por 2, obtemos 𝑥 =
611
495
 , a fração geratriz da 
dízima 1, 23434... 
 
Módulo ou valor absoluto: é a distância do ponto que 
representa esse número ao ponto de abscissa zero. 
 
 
Logo, o módulo de: 
−
5
7
 é 
5
7
 . 
𝐼𝑛𝑑𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑟: |−
5
7
| =
5
7
 
 
Números Opostos: dizemos que −
5
7
 𝑒 
5
7
 são números 
racionais opostos ou simétricos e cada um deles é o oposto do 
outro. As distâncias dos pontos −
5
7
 é 
5
7
 ao ponto zero da reta 
são iguais. 
 
Inverso de um Número Racional 
(
a
b
)
−n
, a ≠ 0 = (
b
a
)
n
, b ≠ 0 → (
5
7
)
−2
= (
7
5
)
2
 
 
Representação geométrica dos Números Racionais 
 
 
Observa-se que entre dois inteiros consecutivos existem 
infinitos números racionais. 
 
Operações com Números Racionais 
 
Soma (Adição) de Números Racionais: como todo 
número racional é uma fração ou pode ser escrito na forma de 
uma fração, definimos a adição entre os números racionais a/b 
e, c/d, da mesma forma que a soma de frações, através de: 
𝑎
𝑏
+
𝑐
𝑑
=
𝑎𝑑 + 𝑏𝑐
𝑏𝑑
 
 
Subtração de Números Racionais: a subtração de dois 
números racionais p e q é a própria operação de adição do 
número p com o oposto de q, isto é: p – q = p + (–q), onde p =
𝑎
𝑏
 e 
q = 
𝑐
𝑑
. 
𝑎
𝑏
−
𝑐
𝑑
=
𝑎𝑑 − 𝑏𝑐
𝑏𝑑
 
 
Multiplicação (Produto) de Números Racionais: como 
todo número racional é uma fração ou pode ser escrito na 
forma de uma fração, definimos o produto de dois números 
racionais a/b e, c/d, da mesma forma que o produto de 
frações, através de: 
𝑎
𝑏
.
𝑐
𝑑
=
𝑎𝑐
𝑏𝑑
 
 
O produto dos números racionais a/b e c/d também pode 
ser indicado por a/b × c/d ou a/b . c/d. Para realizar a 
multiplicação de números racionais, devemos obedecer à 
mesma regra de sinais que vale em toda a Matemática. 
 
Divisão (Quociente) de Números Racionais: a divisão 
de dois números racionais p e q é a própria operação de 
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APOSTILAS OPÇÃO 
 
 
Matemática 15 
multiplicação do número p pelo inverso de q, isto é: p ÷ q = p × 
q-1 onde p = 
𝑎
𝑏
, q = 
𝑐
𝑑
 e q-1=
𝑑
𝑐
; 
𝑎
𝑏
:
𝑐
𝑑
=
𝑎
𝑏
.
𝑑
𝑐
 
 
Potenciação de Números Racionais: a potência bn do 
número racional b é um produto de n fatores iguais. O número 
b é denominado a base e o número n é o expoente. 
bn = b × b × b × b × ... × b, (b aparece n vezes) 
Exemplos: 
𝑎) (
3
7
)
2
=
3
7
.
3
7
=
9
49
 
 
𝑏) (−
3
7
)
3
= (−
3
7
) . (−
3
7
) . (−
3
7
) = −
27
343
 
 
Propriedades da Potenciação 
1) Toda potência com expoente 0 é igual a 1. 
(
3
7
)
0
= 1 
 
2) Toda potência com expoente 1 é igual à própria base.
 
 
(
3
7
)
1
=
3
7
 
 
3) Toda potência com expoente negativo de um número 
racional, diferente de zero é igual a outra potência que tem a 
base igual ao inverso da base anterior e o expoente igual ao 
oposto do expoente anterior. 
(
3
7
)
−2
= (
7
3
)
2
=
49
9
 
 
4) Toda potência com expoente ímpar tem o mesmo sinal 
da base. 
(−
3
7
)
3
= (−
3
7
) . (−
3
7
) . (−
3
7
) = −
27
343
 
 
5) Toda potência com expoente par é um número positivo. 
(
3