Trabalho Lajes PPT rev 1 (1)

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Dimensione a Laje L10 , levando em conta que não existe parede sobre a Laje :
• espessura média do contra piso ou camada de regularização 
com 3 cm, e peso específico da argamassa (garg,contr) de 21 
kN/m³;
• espessura média do revestimento da face inferior das lajes 
com 2 cm, e peso específico da argamassa (garg,rev) de 19 
kN/m³;
• considerado revestimento com piso cerâmico de 0,15 kN/m² 
em toda a área útil do apartamento;
• concreto C25 com brita 1 de granito, aços CA-50;
• todas as vigas com largura de 20 cm;
• classe II de agressividade ambiental;
• espessura mínima do cobrimento c = 2,0 cm, com gc = 5 mm 
(ver Tabela 2); 
• coeficientes de ponderação gc = gf = 1,4 ; gs = 1,15.
RESOLUÇÃO
1° PASSO – Calcule o vão efetivo ( Para o cálculo do vão efetivo, será utilizada uma altura 
comum para todas as lajes de h=10cm ):
Lefx = 300 – 20 + 3 + 3 = 286 cm Lefy = 400 – 20 + 3 + 3 = 386 cm
a1 = a2 < 20/2 = 10 cm a2 < t2/2 ou < 0,3.h
a1 = a2 < 0,3.10 = 3 cm 
2º PASSO – Calcule o valor de l e diga se a laje é armada em uma ou duas direções:
l = 386 = 1,35 < 2 Laje armada em duas direções.
286
3º PASSO – Classifique a Laje quanto a combinação de vínculos ( ex. 1, 2A, 5B):
Combinação de vínculos de bordas nº3.
10 10
10 10
4° PASSO – Faça a estimativa da altura da laje:
n L
d ~ (2,5 – 0,1 x 2) x 2,70 d ~ 6,21 cm
L* < 2,86 m d fl/2 c
L* < 0,7 x 3,86 = 2,70 m h = 6,21 + 1/2 + 2 = 8,71 ~ 9 cm
5º PASSO – Calcule as Ações atuantes levando em conta quarto em edifício residencial:
gpp = 25 x 0,09= 2,25 kN/m² Q = 1,5 kN/m²
g contrap. = 21 x 0,03 = 0,63 kN/m² G = 2,25+0,63+0,38 + 0,15 = 3,41 kN/m² 
g rev. = 19 x 0,02 = 0,38 kN/m²
P = G + Q = 4,91 kN/m²
6º PASSO – Calcule as Reações de apoio nas vigas de bordas. Faça um esquemático dos 
momentos atuantes nas bordas das lajes: (tabela A-6):
vx = 2,73 Vx = 2,73 . (4,91 x 2,86) / 10 = 3,83 kN/m
v'x = 3,99 V'x = 3,99 . (4,91 x 2,86) / 10 = 5,60 kN/m
vy = 2,17 Vy = 2,17 . (4,91 x 2,86) / 10 = 3,05 kN/m
v'y = 3,17 V'y = 3,17 . (4,91 x 2,86) / 10 = 4,45 kN/m
7º PASSO – Calcule os Momentos fletores e faça um esquemático da laje com os valores 
plotados: (Tabela A-9)
Para l = 1,35 
mx = 4,24 Mx = 4,24 x 4,91 x (2,86 )² / 100 = 1,70 kN.m / m 
m'x=9,65 M'x = 9,65 x 4,91 x (2,86)² / 100 = 3,87 kN.m / m 
my=2,45 My = 2,45 x 4,91 x (2,86)² / 100 = 0,98 kN.m / m 
m'y=7,88 M'y = 2,45 x 4,91 x (2,86)² / 100 = 3,16 kN.m / m
8º PASSO – Calcule as Armaduras ( As, min):
Utilize tabela 5 e 6 dos Slides.
( para C-25 - rmin = 0,150, negativa rs > rmin e positiva e positiva rs > 0,67 . rmin )
As, min neg = (rmin x bw x h)
As,min neg = ( 0,150 x 100 x 0,09 ) = 1,35 cm² /m
As,min pos = 0,67 x (rmin x bw x h)
As,min pos = 0,67 x ( 0,150 x 100 x 0,09 ) = 0,90 cm²/m
9º PASSO – Definir d para o cálculo de Kc :
Segundo a tabela 7.2 da NBR-6118, Classe de Agressividade 2 = 25 mm para Lajes
Para concretos de classe de resistência superior ao mínimo exigido, os cobrimentos 
definidos na Tabela podem ser reduzidos em até 5 mm.
De acordo com a norma também podemos reduzir o cobrimento na parte superior em 0,5 
cm, devido a presença de contra-piso para pisos secos.
Consequentemente c neg = 2,0 cm – 0,5 = 1,5 e c pos = 2,0 cm
h - c – fl/2
d neg = 9 – 1,5 – 0,5 = 7,0 cm d pos = 9 – 2 – 0,5 = 6,5
10º PASSO – Encontre as áreas As das armaduras e faça a verificação de domínio :
kcx = 100 x (6,5)² = 17,75 x/d= 0,04 < 0,45 Ok ks=0,023
1,4 x 170
Asx+ = 0,023 x 1,4 x 170 = 0,78 cm²/m < As,min pos = 0,90 cm²/m
6,5
Kcx’ = 100 x 7² = 9,02 x/d= 0,09 < 0,45 Ok ks=0,024
1,4 x 387
Asx- = 0,024 x 1,4 x 388 = 1,86 cm²/m 
7
Kcy = 100 x 6,5² = 30,79 x/d= 0,02 < 0,45 Ok ks=0,023
1,4 x 98
Asy+ = 0,023 x 1,4 x 98 = 0,48 cm²/m < As,min pos = 0,90 cm²/m
6,5
Kcy’ = 100 x 7² = 11,1
1,4 x 316
x/d= 0,07 < 0,45 Ok 
Ks = 0,024
Asy- = 0,024 x 1,4 x 316 = 
7
1,52 cm²/m
Armadura positiva na direção principal(Lx)
Armadura negativa na direção principal(Lx)
Armadura positiva na direção secundária (Ly)
Armadura negativa na direção secundária(Ly)
Asx
Asy
Asx-
Asy-
Domínio 2
Domínio 2
Domínio 2
Domínio 2
11º PASSO - Identifique o momento fletor na seção crítica do vão (meio) – Ma, calcule o 
momento de fissuração Mr e de fina o Estádio em que a estrutura se encontra:
Ma = 170 kN.cm – Momento fletor crítico Mx (meio do vão principal)
Mr = 1,5 x 0,2565 x 6075 = 519,4 kN.cm 
4,5
3
Fct = fct,m = 0,3 25² = 2,565 Mpa = 0,2565 kN /cm²
Ic = bh³/12 = 100cm x (9cm)³ /12 =72900/12 = 6.075 cm 
Yt = h/2 => Yt = 9/2 = 4,5cm
Mr > Ma => Estadio I O fator a é 1,5 para seção retangular. 
CG
yt
4
12º PASSO - Calcule a Flexa imediata (Ai) a na tabela A-1
A flecha imediata é aquela que ocorre quando é aplicado o primeiro carregamento na 
peça, que não leva em conta os efeitos da fluência. A NBR 6118 (item 17.3.2.1.1) 
prescreve que “Para uma avaliação aproximada da flecha imediata em vigas, pode-se 
utilizar a expressão de rigidez equivalente dada a seguir:” II 
Combinações de Serviço
No item 11.8.3 a NBR 6118 trata das combinações de serviço, classificadas em 
quase permanentes, frequentes e raras. 
As combinações quase permanentes “podem atuar durante grande parte do 
período de vida da estrutura, e sua consideração pode ser necessária na 
verificação do estado-limite de deformações excessivas.”
Na combinação de serviço quase permanente, conforme mostrada na Tabela 
11.4 da NBR 6118, todas as ações variáveis são consideradas com seus valores 
quase permanentes ᴪ2 Fqk. O valor da ação de serviço na combinação quase 
permanente é dado pela equação: 
12º PASSO - Calcule a Flexa imediata (Ai) a na tabela A-1
Fd,ser = 3,41 + 0,3 x 1,5 = 3,86 kN/m² = 0,000386 kN/cm²
10.000
E.I = 6.075 x 2408 = 14.628600 kN.cm² EI = rigidez à flexão da laje;
Ic = bh³/12 = 100 x 9³/12 =72.900/12 = 6.075 kN.cm²
Ecs = 0,86 x 1,0 x 5600 x 25 = 24.080 Mpa 
ai = 0,8 + 0,2 x 25 = 0,86
80
4
Ai = 3,99 x 0,000386 x 286 = 0,06 cm
12 14.628600
12º PASSO - Calcule a Flexa total e compare com a flecha máxima: (at)
at = 0,06 . ( 1 + 1,32) = 0,14 cm 
af = 1,32
De = 2 – 0,68 = 1,32
amax = Lx/250 = 286/250 = 1,14 cm > 0,14 OK “Aceitabilidade sensorial” 
A flecha total, que leva em conta a fluência do concreto da laje, é dada pela Eq 1: 
at = ai (1 + af)
O fator af é dado pela Eq. af = DE = DE
1 + 50 x 0 1 
onde r’ é igual a zero para flexão simples.
13º PASSO – Faça o detalhamento das armaduras : (utilize a tabela A-26)
Positivas x e y
0,90 cm²/m – f = 4,2 c/ 15 => 0,92 cm²/m
Negativa x
1,86 cm²/m - f = 6,3 c/ 16 => 1,97 cm²/m
Negativa y
1,52 cm²/m - f = 6,3 c/ 20 => 1,58 cm²/m 
14° PASSO - Comprimento de ancoragem
Comprimento da Armadura Positiva 
A NBR 6118 (20.1) apresenta que “Nas lajes armadas em uma ou em duas direções, em 
que seja dispensada armadura transversal de acordo com 19.4.1, e quando não houver 
avaliação explícita dos acréscimos das armaduras decorrentes da presença dos momentos 
volventes nas lajes, toda a armadura positiva deve ser levada até os apoios, não se 
permitindo escalonamento desta armadura. 
A armadura deve ser prolongada no mínimo 4 cm além do eixo teórico do apoio.” 
Positiva y –> C = 400 + 8 + 5 = 413 cm 
Positiva x –> C = 300 + 8 + 5 = 313 cm
400 
cm
8 cm
5 cm
Simplificadamente, todas as armaduras positivas serão estendidas 100 % até 
os apoios. 
O critério utilizado para definir o comprimento foi de estender as barras 5 cm 
além do eixo das vigas internas, e até a face externa das vigas de periferia do 
edifício, menos 2 cm para considerar o cobrimento (c) na extremidade (ponta) 
da barra pelo concreto. 
400 cm
8 cm
5 cm
Representação da laje adjacente
C = 2 cm
Comprimento da Armadura Negativa nos Apoios com Continuidade de LajesA armadura negativa deve estender-se o comprimento de ancoragem básico (Lb) além da 
seção de momento fletor nulo. Na Tabela A-27 encontram-se os comprimentos de 
ancoragem para os aços CA-50 em função da resistência do concreto. O comprimento de 
ancoragem deve ser considerado com gancho, porque geralmente faz-se a barra com 
ganchos nas extremidades. 
Na Figura 32 estão mostrados três arranjos diferentes para as barras da armadura 
negativa. O arranjo de número 1 é o mais simples, porém, conduz ao maior consumo de 
aço, e os arranjos 2 e 3 são mais econômicos. Na prática, de modo geral, o arranjo 3 tem 
a preferência porque as barras são idênticas, variando-se apenas o seu ponto de início. 
Verificação da aderência 9.3.1 Posição da barra durante a concretagem
Consideram-se em boa situação quanto à aderência os trechos das barras que estejam em 
uma das posições seguintes:
a) com inclinação maior que 45° sobre a horizontal;
b) horizontais ou com inclinação menor que 45° sobre a horizontal, desde que:
— para elementos estruturais com h < 60 cm, localizados no máximo 30 cm acima da face
inferior do elemento ou da junta de concretagem mais próxima;
— para elementos estruturais com h > 60 cm, localizados no mínimo 30 cm abaixo da face
superior do elemento ou da junta de concretagem mais próxima.
Os trechos das barras em outras posições, e quando do uso de formas deslizantes, devem 
ser considerados em má situação quanto à aderência.
Laje h = 9 cm < 60 cm
Limite = 30 cm
Lx = maior Lx entre as duas lajes adjacentes
Lb = comprimento de ancoragem básico (ver Tabela A-27); 
Lganchos = comprimento dos ganchos nas extremidades da barra.
Negativa cobrindo as bordas Entre as Lajes L10( Lx = 386) e L7(Lx 286)
Para definir o comprimento da barra inicialmente pode-se calcular: 
c = 0,25.Lx + Lb = 0,25 . 386 + 17 = 113,5 cm 
onde: c = comprimento da barra do arranjo 3 de um lado da viga;
Lx = maior vão entre os menores vãos das duas lajes. No caso das lajes L10 e L7 os vão menores são 
iguais a 386 cm; 
Lb = 17 cm: comprimento de ancoragem da barra f 6.3 mm, com gancho, região de boa aderência e 
C25, determinado na Tabela A-27. 
O valor calculado para c deve ser, preferencialmente, arredondado para múltiplo de 10, de modo 
que a barra terá 120 cm de comprimento de um lado da viga e a metade desse valor do outro. O 
comprimento total da barra será: C = c + c/2) + Lg +Lg C = 120 + (120/2) + 5 + 5 = 190 cm 
Ganchos
1,5 cm
2 cm
L-9 / h = 9 cm L-10 / h = 10 cm
Gancho = h – c = 9 – 3,5 = 5,5 adotaremos 5 cm 8 x 0,63 = 5 cm
Quando se fizer uso de ganchos nas 
extremidades das barras da armadura 
longitudinal de tração (Figura 23), os 
ganchos podem ser NBR 6118 (9.4.2.3; c) 
em ângulo reto, com ponta reta de 
comprimento não inferior a 8 f
Para facilitar os cálculos utilizaremos o 
negativo da laje L10 que é maior do que 
L-7 ao invés de compatibilizarmos.
Com isso para a área de aço negativa 
na borda comum teremos a área de 
aço da L-10 que é 2,82 cm² gerando 35 
f 6.3 c/ 11 no arranjo 3 
(INTRECALADAS)
60 cm 120 cm
5 cm5 cm
60 cm120 cm
5 cm 5 cm
2
5
 f
 4
.2
 c
/ 
1
5
19 f 4.2 c/ 15
24 f 6.3 c/ 16
14 f 6.3 c/ 20
Positivos x e y
0,90cm²/m – f = 4,2 c/ 15 => 0,92 cm²/m
y =280/15 = 18.7
X = 380/15 = 25.3
Negativo x
1,86 cm²/m - f = 6,3 c/ 16 => 1,97 cm²/m
380/16 = 23,75
Negativo y
1,52 cm²/m - f = 6,3 c/ 20 => 1,66 cm²/m
280/20 = 14 
Direção y
D
ir
e
çã
o
x Lo = 380 cm
Lo
= 
28
0 
cm
Valor não compatibilizado com a a laje adjacente.
Como a laje adjacente L-10 tem um valor 
negativo maior, devemos utilizar a área de aço da 
outra e assim encontraríamos 35 f de 6,3 c/11
1,86 cm²/m 
2,82 cm²