Lista-Cap_23-Lei-de-Gauss

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Exercícios sobre Lei de Gauss 
 1 . Um campo elétrico não uniforme é dado pela expressão: 
zcxybzxayE ˆˆˆ ++=
r
, 
onde a, b e c são constantes. 
 Determine o fluxo do campo elétrico através de uma superfície retangular contida no plano xy 
e com dois lados indo de x = 0 até x = w e y = 0 até y = h. 
 
 2. Uma barra cilíndrica condutora muito longa de raio R1 e comprimento L, 
carregada com carga Q1= +q, é envolta por uma casca cilíndrica, de raio R2 e mesmo 
comprimento L, carregada com uma carga Q2 = -2q. Use a lei de Gauss para determinar: 
 a) o vetor campo elétrico a uma distância radial r > R2; 
 b) o vetor campo elétrico a uma distância radial R1 < r < R2; 
 c) a carga nas superfícies interna e externa da casca. 
 
 3. Uma carga está distribuída uniformemente através do volume de um cilindro muito longo de 
raio R. 
 a) mostre que para uma distância r do eixo do cilindro e com r < R, temos : 
 
02ε
ρ r
E = , 
 onde ρ é a densidade volumétrica de cargas no cilindro. 
 b) Escreva uma expressão para E quando r > R . 
 4. Uma placa espessa plana de espessura d possui uma densidade de carga 
volumétrica uniforme ρ. Determine a intensidade do campo elétrico em todos os pontos do 
espaço: a) tanto dentro b) quanto fora da placa, em termos de x, com a distância medida a 
partir do centro da placa espessa. 
 
 5. As componentes do campo elétrico, existente na figura 
imediatamente abaixo, são 1/2, 0 0.x y zE bx E e E= = = Calcule: 
 a) o fluxo de Eφ através do cubo; 
 b) a carga elétrica contida no cubo. 
Dados 10a cm= e 1/2800 / .b N C m= ⋅ 
 
 
 6. A figura mostra o módulo do campo elétrico do lado de dentro 
e do lado de fora de uma esfera com uma distribuição de cargas 
positivas em função da distância ao centro da esfera. A escala do eixo 
vertical é definida por Es = 5,0 x 10
7 N/C. Qual a carga da esfera? 
 
 
 7. Um condutor isolado de forma arbitrária possui um excesso de carga –Q . No condutor 
existe uma cavidade em cujo interior há uma carga . Sendo q positiva, determine: 
 a) o campo elétrico em todos os pontos do condutor; 
 b) a carga qp sobre a parede da cavidade; 
 c) carga qs sobre a superfície externa do condutor; 
 d) trace algumas linhas de força, evidenciando o que é importante no traçado (dentro da 
cavidade, nas proximidades da superfície externa e muito distante). 
 
 8. Em uma região específica da atmosfera da Terra, o campo elétrico 
acima da superfície foi medido e registraram-se os seguintes valores: 150 N/C 
orientado para baixo a uma altitude de 250 m e 170 N/C orientado para baixo 
a uma altitude de 400 m. Calcule a densidade volumétrica de carga da 
atmosfera admitindo que seja uniforme entre 250 e 400m. (Pode-se desprezar 
a curvatura da Terra? Por quê?) 
 
 9. A figura mostra uma camada esférica com uma densidade 
volumétrica de cargas uniforme ρ = 1,84 nC/m3, raio interno a = 10 cm e 
raio externo b = 20 cm. Determine o módulo do campo elétrico em: 
 a) r = 0 ; 
 b) r = a ; 
 c) r = 1,5a ; 
 d) r = b ; 
 e) r =3 b ; 
10. A figura ao lado mostra a seção reta de duas esferas de raio R, com 
distribuições volumétricas uniformes de cargas. O ponto P está sobre a 
reta que liga os centros das esferas e se encontra a uma distância r/2 do 
centro da esfera 1. Se o campo elétrico no ponto P é zero, qual é a razão 
q1/q2 entre a carga da esfera 2 e a carga da esfera 1? 
 11. Uma carga Q está distribuída uniformemente por todo o volume de uma esfera de raio R. 
 a) que fração da carga está contida em uma esfera de raio r = R/2 ? 
 b) Qual a razão entre o módulo do campo elétrico no ponto r = R/2 e o módulo do campo 
elétrico na superfície da esfera? 
 
 12. Uma esfera de raio R envolve uma partícula de carga Q, localizada no seu 
centro. 
 a) Mostre que o fluxo do campo elétrico através de um tampão circular 
com meio-ângulo θ ( figura ) é igual a: 
 ( )θ
ε
φ cos1
2 0
−= QE 
b) Qual é o fluxo para θ = π/2? e para θ = π ? 
 
)( Qqq <
 
( )jn ˆˆ
( )jn ˆˆ−
Terra 
m400
m250
 
iE
r
h 
fE
r
A 
13. Considere uma esfera e uma camada esférica concêntricas, ambas condutoras. A 
camada externa é oca e tem inicialmente uma carga de -7Q. A esfera interna é maciça e 
tem carga de +2Q. 
a) Como é a distribuição da carga na camada ? Isto é, quais os valores das cargas 
nas suas faces interna e externa da camada? 
b) Calcule o campo entre elétrico entre a esfera e a camada. 
c) suponha que um fio condutor seja conectado entre a esfera e a camada. Após o 
equilíbrio eletrostático ser estabelecido, qual o valor da carga na camada 
esférica? 
d) aterrando-se a camada externa com um fio condutor (antes da conexão do item 
c) e, em seguida desconectando-a, qual o valor total da carga na camada? 
e) quais serão os novos valores das cargas nas faces interna e externa da camada? 
 
 14. Uma esfera sólida isolante de raio a está carregada com densidade 
volumétrica ρ uniforme e carga total Q. Concêntrica a esta esfera existe uma 
camada condutora de raios b e c, conforme figura ao lado. 
 a) Calcule o vetor campo elétrico para as seguintes regiões: r < a, 
 a < r < b, b < r < c e r > c; 
 b) Determine a carga induzida por unidade de área sobre as superfícies 
interna e externa da camada condutora. 
 
 15. Uma esfera sólida condutora de raio a tem uma carga positiva igual 2Q. 
Uma camada condutora de raio interno igual a b e raio externo igual a c é 
concêntrica à esfera, conforme figura ao lado. Esta camada possui uma carga 
igual a – Q. 
 a) Usando a lei de Gauss, calcule o vetor campo elétrico nas regiões 1, 2, 3, 
e 4; 
 b) Determine a distribuição de carga nas superfícies interna externa da 
camada, quando o sistema está em equilíbrio eletrostático. 
 
 16. Na figura ao lado temos uma esfera central isolante de raio a e carga 3Q. 
Concêntrica a esta esfera temos uma camada, também isolante, com raios interno e 
externo iguais respectivamente a b e c e carregada com uma carga igual –Q. Usando a 
lei de Gauss calcule o vetor campo elétrico para: 
 a) r < a; b) a < r < b; c) b < r < c; d) r > c. 
 
 
17. Considere um simples, porém surpreendente e preciso modelo para 
a molécula de hidrogênio: duas cargas puntiformes positivas, cada uma 
com carga +e, colocadas no interior de uma esfera de raio R, que tem 
uma carga –2e uniformemente distribuída. As duas cargas puntiformes 
 -2e 
+e +e 
R 
a a 
são posicionadas simetricamente. Determine a distância ao centro, a, onde a força 
resultante em ambas as cargas seja nula. 
 
 
 18. Desafio: 
a) Mostre que num plano infinito de cargas e numa superfície esférica, o campo elétrico é 
descontínuo na região das cargas superficiais, e a descontinuidade é 0/σ ε . 
b) Prove que, em geral, quando há uma densidade superficial de carga σ , a descontinuidade 
do campo vale 0/σ ε . 
Faça a demonstração construindo uma superfície gaussiana cilíndrica, com as faces planas 
de um e outro lado da superfície e a parte cilíndrica normal à superfície. Utilize a lei de 
Gauss para calcular 2 1E E− , onde 2E é a componente normal de E
r
de um lado, e 1E a 
componente normal do outro lado da superfície.