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Lista de Exercícios de Funções Projeto Rumo ao ITA www.rumoaoita.com 26 de Março de 2010 y x y = g (x) b) 1) Seja a∈R, 0< a < 1 e f a função real de variável real definida por : f(x) = ( ) cos( ) cos( ) a a x x x2 2 1 2 2 4 3 − + +pi pi . Sobre o domínio A desta função podemos afirmar que : a) ( ]– ∞,– 2 [ ∩Z) ⊂ A; b) A = [– 2 , 2 ] ∩ Z; c) ] – 2 , 2 [ ⊂ A; d) {x∈R : x∉Z e x ≥ 2} ⊂ A. e) A ⊂ [– 2 , 2 ] ; 2) Consideremos a função real de variável real definida por f x x se x x se x x se x ( ) , ... , ... , ... = + ≤ − < ≤ − > 2 1 2 1 2 2 3 2 5 3 3 . Se a = log 2 1024 e x 0 = a – 6, então o valor da função f(x) no ponto x 0 , f(x 0 ), é dado por : a) f(x 0 ) = 1; b) f(x 0 ) = 2; c) f(x 0 ) = 3; d) f(x 0 ) =1/8; e) n.d.a. 3) Seja f uma função real definida para todo x real tal que f é ímpar; f(x + y) = f(x) + f(y); e f(x) ≥ 0, se x ≥ 0. Definindo g x f x f x ( ) ( ) ( )= − 1 , se x ≠ 0, e sendo n um número natural, podemos afirmar que : a) f é não-decrescente e g é uma função ímpar; b) f é não-decrescente e g é uma função par; c) g é uma função par e 0 ≤ g(n) ≤ f(1); d) g é uma função ímpar e 0 ≤ g(n) ≤ f(1); e) f é não-decrescente e 0 ≤ g(n) ≤ f(1). 4) (ITA) Dadas as sentenças: 1- Sejam f: X→Y e g: Y→X duas funções satisfazendo (gof)(x) = x, para todo x ∈ X. Então f é injetiva, mas g não é necessariamente sobrejetiva. 2- Seja f: X→Y uma função injetiva. Então, f(A) ∩ f(B) = f(A ∩ B), onde A e B são dois subconjuntos de X. 3- Seja f: X→Y uma função injetiva. Então, para cada subconjunto A de X, f(A c ) ⊂ (f(A))c onde Ac = {x ∈ X/ x ∉ A} e (f(A))c = {x ∈ Y/ x ∉ f(A)}. Podemos afirmar que está (estão) correta(s): a) as sentenças n o 1 e n o 2. b) as sentenças n o 2 e n o 3. c) Apenas a sentença n o 1. d) as sentenças n o 1 e n o 2. e) Todas as sentenças. 5) (Escola Naval) O conjunto dos números reais x que satisfaz a desigualdade x2 x23 + − ≤ 4 é a) ] – ∞, –2 [ U ] –2, +∞ [ b) ] – ∞, –2 [ U ] – 6 5 , +∞ [ c) [ – 2 11 , – 6 5 ] U [ 2 3 , +∞ [ d) ] –∞, – 2 11 ] U [ – 6 5 , +∞ [ e) ] –∞, – 6 5 ] U [ 2 3 , +∞ [ 6) (Escola Naval) A figura acima é a representação gráfica de uma função f: IR → IR onde g(x) = ) x ( f é y y = f (x) y x y = g (x) a) y x y = g (x) d) y x y = g (x) e) y x y = g (x) c) Lista de Exercícios de Funções Projeto Rumo ao ITA www.rumoaoita.com 26 de Março de 2010 7) (COVEST) Considere a função 2 21 2 x(x) x- -x ++++ ====f definida para todo real x. Podemos afirmar que: 0-0) f ( x) = x221x21 x2x −−−−++++++++−−−−++++ −−−− 1-1) x- 22x2 x(x) ++++++++ ====f 2-2) (x)f não assume valores negativos 3-3) Existe um único real a tal que f(a) = 0 4-4) 0 < f (100) < 10 - 2 8 8) (U. F. Lavras-MG) O gráfico que descreve o volume de água no cone em função da altura do nível de água é: 9) (Cefet-RJ) Seja f(x) uma função cujo domínio é o conjunto dos números inteiros e que associa a todo inteiro ímpar o valor zero e a todo inteiro par o triplo de seu valor. O valor da soma f(1) + f(2) + f(3) + ... + f(2k – 1) é: a) k 2 d) 3k – 3 b) 3k (k – 1) e) 3k 2 c) 2k – 1 10) Considere a seguinte função real de variável real xx xx ee ee)x(M + − = − − . Então : a) para todo x >1, ocorre: M(x) >1; b) para todo número real x ocorrem, simultaneamente, M(–x) = –M(x) e 0≤ M(x) <1; c) existem: um a (número real positivo) e um b (número real negativo), tais que : M(a) < M(b) ; d) M(x) = 0, somente quando x = 0 e M(x)>0 apenas quando x < 0 e) n.d.a. 11) (Fatec/SP) As dimensões do retângulo de área máxima localizado no primeiro quadrante, com dois lados nos eixos cartesianos e um vértice sobre o gráfico de f(x) = 12 − 2x são: a) 2 e 9 b) 3 e 6 c) 3 e 36 d) 22 e 2 29 e) 23 e 23 12) (FEI) A função f(x) = x 2 + bx + c, definida para qualquer valor real x, é nula para x = r ou x = 3r. Determine r sabendo-se que o valor mínimo de f(x) é – 9. a) r = 0 ou r = 1 ou r = – 1 b) r = 3 ou r = – 3 c) r = 2 d) r = 4 ou r = – 4 e) r = 9 ou r = – 9 13) (FEI) Se o vértice da parábola de equação y = – 2x 2 + kx + m é o ponto (– 1, 8), podemos afirmar que o valor de (k + m) é: a) 2 b) – 2 c) – 1 d) 0 e) 1 14) (FGV-2002) Qual o domínio da função 1x3x 1x)x(f 2 +− − = . 15) (EEAR) O conjunto dos valores reais de x para os quais a expressão |21x10x| 1x 2 +− − é estritamente positiva é a) {x ∈ IR/ x > 1} b) {x ∈ IR/ x > 3 e x ≠ 7} c) {x ∈ IR/ x < 1 ou 3 < x < 7} 16) (EEAR) A soma das raízes da equação |2x – 3| = x – 1 é a) 1 b) 5/3 c) 10/3 d) 5 17) (U. Caxias do Sul-RS) Suponha que a tela de um computador esteja apresentando o gráfico da função f de variável real definida por f(x) = cosx – sen2x. Sabendo-se que sen2x = 2 . senx . cosx, conseguimos determinar o número de vezes que o gráfico de f deve estar interceptando o eixo Ox no intervalo [0, 2π]. Esse número é: Lista de Exercícios de Funções Projeto Rumo ao ITA www.rumoaoita.com 26 de Março de 2010 a) menor do que 2 b) 2 c) 3 d) 4 e) maior do que 4 18) (Cefet-RJ) Dada a função ���� � √9 � � , para qualquer número real, tal que |�| � 3, tem-se: a) f(3x) = 3f(x) b) f(0) = f(3) c) � ���� � � ���� , �� � � 0 d) f(–x) = f(x) e) f(x – 3) = f(x) – f(3) 19) (PUC-PR) O gráfico da função definida por f(x) = x 2 + bx + c, � � �, onde c = cos���� � : a) intercepta o eixo das abscissas em exatamente 2 pontos positivos. b) intercepta o eixo das abscissas em exatamente 2 pontos negativos. c) intercepta o eixo das abscissas em 2 pontos de sinais diferentes. d) intercepta o eixo das abscissas na origem. e) não intercepta o eixo das abscissas. 20) (ITA) O conjunto de todos os valores de m para os quais a função f(x) = )2m(x)1m2(x )3m(x)3m2(x 22 22 ++++ ++++ está definida e é não negativa para todo x real é: a) [ 4 7 , 4 1 [ d) ]-∞, 1/4 ] b) ] 1/4,∞ [ e) ]1/4,7/4[ c) ] 4 7 ,0 [ 21) (Cefet/PR) Determine as funções compostas fog e gof se f(x) = x 3 – 1 e g(x) = x 2 + 2x. A) fog = x 6 + 6x 5 + 12x 4 + 8x 3 – 1 e gof = x 6 – 1 B) fog = x 5 + 5x 4 + 3x e gof = x 3 – x 2 – 1 C) fog = x 6 – 1 e gof = x 3 – 2x + 1 D) fog = x 6 + 2x 5 + 4x 3 + 2x 2 – 1 e gof = x 4 – 3x 3 – 2x 2 + 1 E) fog = x 4 + 2x 3 + 2x – 1 e gof = x 6 – 2x 5 + 4x 4 – 2x + 1 22) Qual das funções definidas abaixo é bijetora? Obs: R + = {x∈R; x ≥ 0} e [a,b] é o intervalo fechado. a) f: R → R+ tal que f(x) = x2; b) f: R +→ R+ tal que f(x) = x +1; c) f: [1,3] → [2,4] tal que f(x) = x +1; d) f: [0,2] → R tal que f(x) = sen x; e) n.d.a 23) (UFV) Seja f a função real definida por ]5,1[,1)( ∈= xx xf . Dividindo-se o intervalo ]5,1[ em quatro partes iguais e calculando-se a área de cada retângulo, como na figura abaixo, a soma das áreas dos retângulos é: a) 77 60 b) 25 12 c) 25 24 d) 77 120 e) 77 30 24) (U.Católica-GO) Julgue os itens: ( ) Diz-se que uma função f de A em B é injetora se, para quaisquer x1, x2 ∈ A, com x1 ≠ x2, implicar f(x1) = f(x2) em B. ( ) O pH de uma solução é definido por ! � "#$�% � �&'� em que H + é a concentração de hidrogênio em íons-grama por litro de solução. Portanto, o pH será negativo se H + for maior que 1. ( ) Os valores de x que satisfazem a inequação 5)*+,��, -�. � � 1 são x < 1 ou x > 2. ( ) Na função f(x) = � |� �|. , a variável x pode assumir qualquer valor real. 25) (UECE) As funções x 1)x(f = e 1x 1)x(g − = (onde x ∈ R, x ≠ 0 e x ≠ 1) são tais que: a) (f o g)(x) = (g o f)(x) b) (f o g)(x) é sempre positivo c) (f o g)(x) . (g o f)(x) = −x d) (f o g)(x) . (g o f)(x) = x . (x −1) 26) (UECE) Se f é a função real de variável real, tal que f(2x + 1) = x para todo x, então 2f(x) + 3 é igual a: a) x + 2 b) x + 1 c) x d) x – 1 27) (UECE) Considere as funções reais f(x) = x + a e g(x) = x 2 + x + b, com a.b ≠ 0. O valor de x para o qual se tem f(g(x) = g(f(x)) é: a) 2 ba + b) 2ab c) 2 b d) 2 a − 28) (UECE) O conjunto {x ∈ R | x.(x + 1)2 ≥ x} é igual a: a) R b) R – {–1} c) [–2, + ∞) d) [1, + ∞) 29) (UECE) Se f:R→R é uma função tal que f(a + b) = f(a) + f(b) + a.b, para quaisquer números reais a e b, e f(2) = 3, então f(11) é igual a: a) 33 b) 44 c) 55 d) 66 Lista de Exercícios de Funções Projeto Rumo ao ITA www.rumoaoita.com 26 de Março de 2010 30) (UECE) Sejam f:R → R e g:R→R funções cujos gráficos são retas tangentes à parábola y = -x 2 . Se f(0) = g(0) = 1 então a função h(x) = f(x)g(x) é igual a: a) 1 – 4x 2 b) 1 + 4x 2 c) 1 – 2x 2 d) 1 + 2x 2 31) (UECE) Seja f:R → R a função definida por f(x) = − + irracionaléxse,x1 racionaléxse,x1 2 2 O valor de f(0,1) + f(1- 2 ) + f(2 -1 ) é: a) 0,26 + 2 2 b) 2,26 + 3 2 c) 3,25 + 2 d) 0,25 + 3 2 32) Considere x = g(y) a função inversa da seguinte função: “y = f(x) = x 2 – x + 1 , para cada número real x ≥ 1 2 ”. Nestas condições, a função g é assim definida : a) g(y) = 1 2 + y − 3 4 , para cada y ≥ 3 4 ; b) g(y) = 1 2 + y − 1 4 , para cada y ≥ 1 4 ; c) g(y) = y − 3 4 , para cada y ≥ 3 4 ; d) g(y) = y − 1 4 , para cada y ≥ 1 4 ; e) g(y) = 3 4 + y − 1 2 , para cada y ≥ 1 2 ; 33) Seja a função f: R - {2} → R - {3} definida por f x x x ( ) = − − + 2 3 2 1 . Sobre sua inversa podemos garantir que : a) não está definida pois f não é injetora; b) não está definida pois f não é sobrejetora; c) está definida por f – 1 (y) = y y − − 2 3 , y ≠ 3; d) está definida por f – 1 (y) = y y + − 5 3 , y ≠ 3; e) está definida por f – 1 (y) = 2 5 3 y y − − , y ≠ 3; 34) Considere g: {a,b,c} → {a,b,c} uma função tal que g(a) = b e g(b) = a. Então, temos: a) g(x) = x tem solução se, e somente se, g é injetora; b) g é injetora, mas não é sobrejetora ; c) g é sobrejetora, mas não é injetora ; d) se g não é sobrejetora, então g(g(x)) = x para todo x em {a,b,c}; e) n.d.a. 35) Se f( x x − − 2 12 ) = 42 3 + − x x , determine a lei que define f(x). 36) Sejam as funções f e g dadas por : f : R→R, f x se x se x ( ) , ... , ... = < ≥ 1 1 0 1 ; g : R – {1}→R, g x x x ( ) = − − 2 3 1 . Sobre a composta (fog)(x) = f(g(x)) podemos garantir que : a) se x ≥ 3 2 , f(g(x)) = 0 b) se 1 < x < 3 2 , f(g(x)) = 1 c) se 4 3 < x < 2, f(g(x)) = 1 d) se 1 < x ≤ 4 3 , f(g(x)) = 1 e) n.d.a. 37) Seja f: R→R uma função estritamente decrescente, isto é, quaisquer x e y reais com x < y tem-se f(x) > f(y). Dadas as afirmações : I - f é injetora. II - f pode ser uma função par. III - Se f possui inversa então sua inversa também é estritamente decrescente. Podemos assegurar que : a) Apenas I e III são verdadeiras b) Apenas II e III são falsas; c) Apenas I é falsa; d) Todas são verdadeiras; e) Apenas II é verdadeira. 38) (UFAL) Seja a função f, de [– 2, 4] em IR, definida por ≤<− ≤≤−+ = 4x1se,x8x2 1x2se,2x3)x(f 2 . Determine o conjunto imagem de f. 39) (UFBA) Uma microempresa fabrica um determinado bem de consumo e o coloca à venda, no mercado. O custo de fabricação do produto é composto de uma parcela fixa, correspondendo a R$300,00, e mais R$3,00 por unidade fabricada. A quantidade vendida depende do preço da unidade e obedece à lei de uma função afim. Quando o preço da unidade é de R$6,00, são vendidas, mensalmente, 200 unidades do produto. Aumentando-se o preço em R$2,00 por unidade, passam a ser vendidas 100 unidades mensais. Com base nessas informações, pode-se concluir: (01) A quantidade vendida em relação ao preço unitário é uma função decrescente. (02) Se o preço unitário for de R$3,00, 250 unidades serão vendidas. (04) O custo de fabricação de 1000 unidades do produto é igual a R$3300,00. (08) A receita máxima pela venda do produto é igual a R$1250,00. (16) Sendo L(x) o lucro em função das unidades vendidas, então L(x)= – 0,02x 2 + x – 100. (32) Quando o preço unitário se situar entre R$6,50 e R$9,00, o lucro será crescente. 40) (UFES) Dada a função ( ) 2 1xx)x(f −= , pode-se afirmar que, para todo 2- x ≠ e ,0≠x )2 x(f + é igual a A) x (f)x(f )2+ b) )2x(x )1x( f + + c) )2x(x )x(f + d) x )x(f )2x( ++ e) x 1) x(f )2x( ++ Lista de Exercícios de Funções Projeto Rumo ao ITA www.rumoaoita.com 26 de Março de 2010 GABARITO 1) E 2) C 3) E 4) B 5) D 6) A 7) V V F V V 8) A 9) B 10) E 11) B 12) B 13) A 14) {x ∈ IR/x > 1/2 e x ≠ 1} 15) D 16) C 17) D 18) D 19) C 20) D 21) A 22) C 23) C 24) F-V-F-V 25) C 26) A 27) D 28) A 29) D 30) A 31) A 32) A 33) E 34) A 35) 108 5 + −− x x 36) C 37) A 38) [- 8, 5] 39) V F V V F F 40) E Dúvidas e sugestões: juliosousajr@gmail.com
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