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1a lista de Execícios de Algebra Abstrata
Professora Dra. Elany Maciel
Relações e Operações Internas
1. Quais das relações abaixo são relações de equivalência sobre E = {a, b, c}?
a)R1 = {(a, a), (b, b), (c, c)}
b)R2 = {(a, a), (b, b), (c, c), (a, b), (b, c), (a, c)}
c)R3 = {(a, a), (b, b), (a, b), (b, a), (a, c)}
2. Quais das sentenças abertas abaixo definem uma relação de equivalência em Z?
a) x ≡ y (mod3)
b)x | y
c) x ≤ y
d)mdc(x, y) = 1
e) x + y = 7
3. Em cada caso a seguir, verifique se a operação ∗ sobre E é associativa.
a) E= R e x ∗ y = x + y
2
b) E= R e x ∗ y = x
c) E= R+ e x ∗ y =
√
x2 + y2
d) E= R∗ e x ∗ y = x
y
e)E=R+ e x ∗ y =
x + y
1 + xy
f) E= Z e x ∗ y = xy + 2x
4. Em cada caso a seguir está definida uma operação sobre Z× Z. Verifique se ela é associativa:
a) (a, b) ∗ (c, d) = (ac, 0)
b) (a, b)∆(c, d) = (a + c, b + d)
c) (a, b) ◦ (c, d) = (a + c, bd)
5. Examine novamente as operações do exercício 3 e 4 e verifique quais são comutativas.
6. Examine novamente as operações do exercício 3 e 4 e determine quais tem elemento neutro.
7. Determine todos os elementos neutros à esquerda para a operação de multiplicação em
E =
{(
a b
0 0
)
| a, b ∈ R
}
.
8. Examine novamente as operações do exercício 3 e 4 que têm elemento neutro para determinar os
elementos simetrizáveis.
9. Determine o conjunto dos elementos regulares para cada operação definida no exercício 3 e 4.
10. Em Z× Z estão definidas duas operações ∗ e ∆ da seguinte forma:
(a, b) ∗ (c, d) = (a + c, b + d)
(a, b)∆(c, d) = (ac, ad + bc)
Verifique se ∆ é distributiva em relação a ∗.
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2a lista de Execícios de Algebra Abstrata
Professora Dra. Elany Maciel
Grupos
1. Quais dos conjuntos abaixo são grupos em relação a operação indicada?
a) Z−; adição
b)Z+; multiplicação
c) A = {x ∈ Z|x é par; }; adição
d) A = {x ∈ Z|x é ímpar; }; multiplicação
e) C = {−2,−1, 0, 1, 2}; adição
f) D = {1,−1}; multiplicação
2. Mostre que R munido da operação ∆ tal que x∆y = x + y − 3 é um grupo comutativo.
3. Verifique se Z× Z é um grupo em relação a cada uma das seguintes leis de composição.
a) (a, b) ∗ (c, d) = (a + c, b + d)
b) (a, b)∆(c, d) = (a · c, b · d)
4. Mostre que Q∗ ×Q munido da operação ⊥ definida da seguinte forma
(a, b) ⊥ (c, d) = (ac, bc + d)
é um grupo.
5. Construa a tabela de multiplicação do grupo (Z∗5,.) e (Z∗8, .).
6. Mostre que GL2(R), munido da operação de multiplicação de matrizes, é um grupo não abeliano.
7. Dado o grupo aditivo (Z,+), mostre que nZ = {kn|k ∈ Z} é um subgrupo de Z para todo inteiro
n>1.
8. Consideremos o grupo aditivo M2(R). Mostre que
H =
{(
a b
c d
)
∈M2(R); a + d = 0
}
é um subgrupo de M2(R).
9. Para todo n ∈ N∗, o conjunto Rn é definido da seguinte forma:
Rn = {(a1, a2, ..., an) | ai ∈ R}
Sabendo que Rn é um grupo em relação a adição assim definida:
(a1, a2, ..., an) + (b1, b2, ..., bn) = (a1 + b1, a2 + b2, ..., an + bn)
verifique se H1, H2, H3 são subgrupos de Rn.
H1 = {(a1, a2, ..., an) ∈ Rn | a1 + a2 + ... + an = 0}
H2 = {(a1, a2, ..., an) ∈ Rn | a1 ∈ Z}
H3 = {(a1, a2, ..., an) ∈ Rn | a1 ≥ a2 ≥ ... ≥ an}
10. Determine todos os subgrupos do grupo aditivo Z.
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