Aula 01 - Raciocinio Lógico

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PACOTE DE TEORIA E EXERCÍCIOS PARA MINISTÉRIO DA FAZENDA 
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Aula 1 
1. Matrizes ..................................................................................................................................................... 2 
2. Classificação das Matrizes ......................................................................................................................... 3 
3. Igualdade de Matrizes ............................................................................................................................... 5 
4. Adição de Matrizes .................................................................................................................................... 5 
5. Matriz Oposta ............................................................................................................................................ 6 
6. Produto de número real por matriz .......................................................................................................... 9 
7. Produto de Matrizes ................................................................................................................................ 10 
8. Matriz Transposta .................................................................................................................................... 17 
9. Determinantes ......................................................................................................................................... 20 
10. Propriedades dos determinantes ........................................................................................................ 22 
11. Teorema de Binet ................................................................................................................................ 33 
12. Matriz Inversa ...................................................................................................................................... 34 
13. Sistemas Lineares ................................................................................................................................ 38 
14. Classificação dos sistemas lineares ..................................................................................................... 39 
15. Sistema Linear Homogêneo ................................................................................................................. 41 
16. Teorema de Cramer ............................................................................................................................. 42 
17. Relação das questões comentadas nesta aula .................................................................................... 55 
18. Gabaritos ............................................................................................................................................. 61 
 
 
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Olá, pessoal! 
Tudo bem? 
Vamos começar o nosso curso de Raciocínio Lógico. Resolvi fazer uma mudança na nossa 
programação. Vou colocar os assuntos de Matemática que estão inseridos no programa de 
Raciocínio Lógico no início do curso. Assim, vocês terão mais tempo para treinar e tirar as suas 
dúvidas no nosso fórum. Acho que essa mudança vai ser produtiva para o nosso curso, já que 
Matemática costuma ser o calo de muita gente. Doravante, seguiremos a seguinte programação. 
Aula 0 Análise Combinatória 
Aula 1 Á lgebra linear (Matrizes, determinantes e sistemas lineares) 
Aula 2 Probabilidade 
Aula 3 Estruturas lógicas. Lógica de argumentação. Diagramas lógicos. (Parte 1) 
Aula 4 Estruturas lógicas. Lógica de argumentação. Diagramas lógicos. (Parte 2) 
Aula 5 Problemas Gerais de Raciocínio Lógico 
 
1. Matrizes 
 
A ideia de matriz do tipo é a de uma tabela retangular formada por números reais 
distribuídos em linhas e colunas. 
Adotamos a convenção que linha é horizontal, coluna é vertical e fila se refere à linha ou coluna 
(horizontal ou vertical). 
Vejamos alguns exemplos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Em uma matriz qualquer, cada elemento é indicado por . Este elemento é o cruzamento da 
linha i com a coluna j. Por exemplo, o elemento é elemento que fica no cruzamento da 
segunda linha com a terceira coluna. 
Convencionamos que as linhas são numeradas de cima para baixo e as colunas da esquerda para 
a direita. Além disso, podemos utilizar colchetes, parêntesis ou barras duplas para representar 
matrizes. Por exemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Uma matriz M do tipo m x n (m linhas e n colunas) pode ser indicada por 
2. Classificação das Matrizes 
 
Existem diversas classificações das matrizes. Veremos as principais e mais conhecidas. 
Deixaremos de lado definições de matrizes nilpotente, ortogonais, anti-simétricas, periódicas, etc. 
 
- Matriz Retangular é aquela cujo número de linhas é diferente do número de colunas. 
 
 
 
 
 
- Matriz Quadrada é aquela cujo número de linhas é igual ao número de colunas. Quando 
uma matriz quadrada é formada por linhas e colunas dizemos que ela é uma matriz 
quadrada de ordem . 
 
 
 
 
Os elementos 5 e 2 forma a diagonal principal e os elementos 3 e 0 formam a diagonal 
secundária. 
 
 
 
 
 
Os números 1, 4 e 1 formam a diagonal principal e os números 5,4 e 6 formam a diagonal 
secundária. 
- Matriz Linha é a matriz que possui apenas uma linha. 
 
- Matriz Coluna é a matriz que possui apenas uma coluna. 
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- Matriz identidade é a matriz diagonal cujos elementos da diagonal principal são todos 
iguais a 1. Denotamos por a matriz identidade de ordem n. 
Percebam as condições para que uma matriz seja denominada de identidade: deve ser uma 
matriz quadrada, todos os elementos fora da diagonal principal devem ser iguais a 0 e todos os 
elementos da diagonal principal são iguais a 1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
- Matriz Nula é aquela que tem todos os elementos iguais a 0. 
 
 
 
 
EP 1. Construa a matriz definida por 
 
Resolução 
Tem-se uma matriz quadrada de terceira ordem. A matriz tem a seguinte representação: 
 
 
 
 
 
 
Sabemos que 
 . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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- Matriz diagonal é a matriz quadrada cujos elementos que não pertencem à diagonal 
principal são iguais a 0. 
 
 
 
 
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Portanto, 
 
 
 
 
 
3. Igualdade de Matrizes 
 
Duas matrizes e são iguais quando todos os forem iguais aos 
para todo i e para todo j. Ou seja, para que duas matrizes sejam iguais, elas devem ser do mesmo 
tipo (ter o mesmo número linhas e o mesmo número de colunas) e todos os elementos 
correspondentes (com mesmo índice) devem ser iguais. 
Exemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. Adição de Matrizes 
 
Para começo de conversa, só podemos somar matrizes do mesmo tipo, ou seja, para que seja 
possível somar matrizes, elas devem ter o mesmo número de linhas e o mesmo número de 
colunas. Esta é a condição de existência da soma de duas ou mais matrizes. 
Então vamos considerar duas matrizes A e B do mesmo tipo: m x n. Sejam 
 e , chama-se soma a matriz C do tipo m x n tal que 
 . 
Vamos parar de falar em símbolos e vamos traduzir: 
i) Só podemos somar matrizes do mesmo tipo, ou seja, as matrizes obrigatoriamente devem 
ter o mesmo número de linhas e o mesmo número de colunas. 
ii) O resultado (a soma) será uma matriz do mesmo tipo das matrizes originais. 
iii) Para determinar os elementos da matriz soma, devemos somar os elementos 
correspondentes das matrizes originais. 
Exemplos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Observe que, assim como os números reais, a adição entre matrizes também é associativa e 
comutativa. Isto quer dizer que, se A,B e C são matrizes do mesmo tipo, então: 
 
 
5. Matriz Oposta 
 
Observe novamente o exemplo que foi feito acima: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A matriz 
 
 
 
 é a matriz oposta da matriz 
 
 
 
 e reciprocamente, a matriz 
 
 
 
 é 
a matriz oposta da matriz 
 
 
 
 porque a soma das duas matrizes é uma matriz nula, ou seja, 
com todos os elementos iguais a 0. 
Dada uma matriz A, sua matriz oposta é indicada por – . 
Se é dada a matriz A, para determinar a sua oposta deve-se multiplicar todos os elementos por 
 , ou seja, trocar os sinais de todos os elementos. 
Desta forma, a matriz oposta da matriz 
 
 
 é a matriz 
 
 
 . 
EC 1. (AFC 2002/ESAF) De forma generalizada, qualquer elemento de uma matriz M pode ser 
representado por mij, onde i representa a linha e j a coluna em que esse elemento se localiza. 
Uma matriz S = sij, de terceira ordem, é a matriz resultante da soma entre as matrizes A = (a ij) e B 
= (bij), ou seja, S = A + B. Sabendo-se que (aij) = i
2 + j2 e que bij = (i + j)2, então a soma dos 
elementos da primeira linha da matriz S é igual a: 
a) 17 
b) 29 
c) 34 
d) 46 
e) 58 
Resolução 
Vamos construir as matrizes A e B. 
 
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A soma dos elementos da primeira linha é igual a 6 + 14 + 26 = 46. 
Obviamente não precisaríamos construir as matrizes completamente, apenas o fizemos para fins 
didáticos. 
Letra D 
EC 2. (SERPRO 2001/ESAF) Genericamente, qualquer elemento de uma matriz M pode ser 
representado por mij, onde i representa a linha e j a coluna em que esse elemento se localiza. 
Uma matriz S = sij, de terceira ordem, é a matriz resultante da soma entre as matrizes A = (a ij) e B 
= (bij), ou seja, S = A + B. Sabendo-se que (aij) = i
2 + j2 e que bij = (i + j)2, então a razão entre os 
elementos s31 e s13 é igual a: 
 
a) 1/5 
b) 2/5 
c) 3/5 
d) 4/5 
e) 1 
 
Resolução 
Questão praticamente idêntica! As matrizes utilizadas são idênticas! 
Se você nos permite, vamos dar um Ctrl+C / Ctrl+V... 
Vamos construir as matrizes A e B. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Queremos calcular a razão entre os elementos s31 (terceira linha e primeira coluna) e s13 (primeira 
linha e terceira coluna). 
Colocamos estes números em vermelho. 
 
 
 
 
 
 
Letra E 
EC 3. (AFC-CGU 2003/2004 – ESAF) Genericamente, qualquer elemento de uma matriz M pode 
ser representado por , onde “i” representa a linha e “j” a coluna em que esse elemento se 
localiza. Uma matriz , de terceira ordem, é a matriz resultante da soma das matrizes 
 e . Sabendo que 
 e que 
 , então o produto dos elementos 
 é igual a: 
a) 16 
b) 18 
c) 26 
d) 65 
e) 169 
Resolução 
Não vamos mais construir a matriz completamente. Estamos interessados nos elementos 
 . 
 
 
 
 
O produto dos elementos é igual a . 
Letra D 
EC 4. (MPOG 2003/ESAF) Genericamente, qualquer elemento de uma matriz M pode ser 
representado por , onde “i” representa a linha e “j” a coluna em que esse elemento se localiza. 
Uma matriz , de terceira ordem, é a matriz resultante da soma das matrizes e 
 . Sabendo que 
 e que 
 , então a soma dos elementos é 
igual a: 
a) 20 
b) 24 
c) 32 
d) 64 
e) 108 
Resolução 
A resolução é praticamente idêntica à da questão anterior. 
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A soma dos elementos é igual a . 
Letra C 
EC 5. (AFC – SFC 2000/ESAF) A matriz , de terceira ordem, é a matriz resultante da soma 
das matrizes e . Sabendo-se que 
 e que , então a soma 
dos elementos é igual a: 
 
a) 12 
b) 14 
c) 16 
d) 24 
e) 32 
Resolução 
Outra questão idêntica!!A soma dos elementos é igual a . 
Letra E 
6. Produto de número real por matriz 
 
Para multiplicar uma matriz por um número real basta multiplicar todos os elementos de A por 
 . 
Exemplos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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7. Produto de Matrizes 
 
Para começo de conversa, nem sempre é possível multiplicar duas matrizes. Para que exista o 
produto de uma matriz A por uma matriz B é necessário e suficiente que o número de colunas de 
A seja igual ao número de linhas de B. Desta maneira, se a primeira matriz do produto é do tipo m 
x n, então a segunda matriz deve ser do tipo n x p. 
Pois bem, considere então uma matriz e uma matriz . Ao efetuar o produto da matriz A 
pela matriz B, o resultado será uma matriz do tipo m x p. Ou seja, o produto é uma matriz que tem 
o número de linhas de A e o número de colunas de B. 
Resumindo, para verificar se é possível multiplicar duas matrizes, coloque o tipo da primeira 
matriz à esquerda e o tipo da segunda matriz à direita. O produto existirá se os “números do meio” 
coincidirem e o resultado será uma matriz do tipo m x p, onde m e p são os números das 
extremidades. 
 Por exemplo, será que é possível multiplicar uma matriz do tipo 2 x 4 por uma matriz 4 x 1? 
 
 
Os números do meio coincidiram? 
Sim! 
Então o produto existe! E o resultado é uma matriz de que tipo? Basta olhar os números das 
extremidades: será uma matriz do tipo 2 x 1. 
Vejamos outro exemplo: será que é possível multiplicar uma matriz 4 x 1 por uma matriz 2 x 4? 
 
 
Os números do meio coincidiram? 
Não!! 
Portanto, o produto entre essas duas matrizes não existe. 
Observe que existe o produto de uma matriz do tipo 2 x 4 por uma matriz 4 x 1, mas não existe o 
produto de uma matriz do tipo 4 x 1 por uma matriz do tipo 2 x 4. 
Bom, já sabemos verificar se podemos ou não multiplicar duas matrizes e já sabemos identificar o 
tipo da matriz produto. 
Falta ainda o principal: aprender a multiplicar. 
Existe um processo muito fácil para multiplicar matrizes. É o seguinte: 
 
 
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Desenhe uma cruz bem grande... Assim: 
 
 
 
 
 
 
 
 
É óbvio que você só vai desenhar esta cruz depois de verificar se é possível multiplicar as 
matrizes, pois se não for possível, nem perca o seu tempo. 
Bom, e o que fazer com esta cruz? No “terceiro quadrante” (lembra dos quadrantes do plano 
cartesiano?) você escreverá a primeira matriz e o no primeiro quadrante você escreverá a 
segunda matriz. 
 
 
 
 
 
 
 
 
- Beleza até agora? 
- Beleza não, professor! Chega de delongas e coloca umas matrizes aí para ficar claro. 
- Ok! 
EP 2. Dadas as matrizes 
 
 
 e 
 
 
 
 
 
 
 
 
 , determine, se existir, as 
matrizes e . 
Resolução 
1ª matriz 
2ª matriz 
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A matriz A possui 2 linhas e 4 colunas, portanto é do tipo 2 x 4. 
A matriz B possui 4 linhas e 3 colunas, portanto é do tipo 4 x 3. 
Será que existe o produto ? 
 
 
Os números do meio coincidem! É possível multiplicar. O resultado será uma matriz do tipo . 
Será que existe o produto 
 
 
Os números do meio não coincidem, portanto não existe a matriz . 
Bom, vamos agora calcular a matriz que já sabemos ser do tipo 2 x 3. 
Vamos desenhar a cruz e colocar a matriz A no terceiro quadrante e a matriz B no primeiro 
quadrante. 
 
 
 
 
 
 
 
 
O resultado do produto das matrizes ficará localizado no quarto quadrante. 
 
 
 
 
 
 
 
1ª matriz 
2ª matriz 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RESULTADO 
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Sabemos que o resultado é uma matriz do tipo 2 x 3, ou seja, terá 2 linhas e três colunas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Bom, e agora, como descobrimos cada uma destes números? 
Vejamos por exemplo o elemento que está na primeira linha e segunda coluna (a bolinha 
vermelha abaixo). 
 
 
 
 
 
 
Observe que esta bolinha vermelha é fruto do “cruzamento” entre a primeira linha da matriz da 
esquerda com a segunda coluna da matriz de cima. 
Então faremos o seguinte. Multiplicaremos os elementos correspondentes destas duas filas e 
somaremos os resultados. Assim: 
i) O primeiro elemento fila da esquerda é 1 e o primeiro elemento da fila de cima é 2. 
Multiplicamos . 
ii) O segundo elemento da fila da esquerda é 3 e o segundo elemento da fila de cima é 5. 
Multiplicamos . 
iii) O terceiro elemento da fila da esquerda é e o terceiro elemento da fila de cima é 
 . Multiplicamos 
iv) O quarto elemento da fila da esquerda é 5 e o quarto elemento da fila de cima é 1. 
Multiplicamos . 
v) Devemos somar estes resultados obtidos: . 
Pronto! O número a ser colocado no lugar da bolinha vermelha é 28!! 
Será sempre assim... Multiplicando linha por coluna... 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Vamos descobrir agora o elemento que está na primeira linha e na primeira coluna. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Devemos multiplicar os elementos correspondentes e somar os resultados. Vamos fazer um 
pouquinho mais rápido. Será assim: 1º x 1º + 2º x 2º + 3º x 3º + 4º x 4º. 
 
Pronto! O número a ser colocado no lugar da bolinha vermelha é igual a 15. 
 
 
 
 
 
 
 
Vamos calcular o elemento da primeira linha e terceira coluna. Vamos então multiplicar a fila da 
esquerda pela fila de cima. Lembre-se: multiplicamos os elementos correspondentes (primeiro 
com primeiro, segundo com segundo, ...) e somamos os resultados. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
28 
28 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
15 
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Vamos agora determinar o elemento que está na segunda linha e na primeira coluna. 
Efetue o mesmo processo. Multiplicamosos elementos correspondentes das duas filas e 
somamos os resultados. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Vamos calcular o número que está na segunda linha e na segunda coluna (bolinha vermelha). 
Multiplicando a fila da esquerda pela fila de cima, elemento a elemento. 
 
Vamos calcular o número que está na segunda linha e terceira coluna (bolinha azul). 
Multiplicamos a fila da esquerda pela fila de cima, elemento a elemento. 
 
 
 
39 28 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
15 
39 28 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
15 
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Terminamos! 
 
 
 
 
 
 
 
Desta forma, o produto da matriz 
 
 
 pela 
 
 
 
 
 
 
 
 
 é a matriz 
 
 
 
 . 
Ufa! Trabalhoso, não? 
Este mecanismo é bom porque faz com que as pessoas não confundam quais as linhas e quais as 
colunas que devem ser multiplicadas. 
EC 6. (LIQUIGAS 2007/CETRO) Se A= (aij)3x3 é a matriz definida por aij = i + j e B=(bij)3x3 é 
a matriz definida por bij= 2i –j, então o elemento localizado na terceira linha e segunda coluna da 
matriz A.B é 
(A) 28. 
(B) 34. 
(C) 31. 
(D) 22. 
(E) 44. 
Resolução 
O problema pede apenas um elemento do produto AB. Vamos determinar os elementos das 
matrizes A e B. Lembrando que i é a linha e j é a coluna do elemento. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Estamos multiplicando uma matriz do tipo 3 x 3 por outra matriz do tipo 3 x 3. O produto existe 
(porque os números do meio coincidem) e o resultado será uma matriz do tipo 3 x 3 (números das 
extremidades). 
39 28 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
15 
1 21 28 
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Queremos calcular o elemento localizado na terceira linha e na segunda coluna. 
Vamos multiplicar a fila da esquerda pela fila de cima. 
 
Letra B 
Vale a pena notar que a multiplicação de matrizes não é uma operação comutativa, ou seja, 
para duas matrizes quaisquer A e B é falso dizer que necessariamente . 
Note também que, se estivermos trabalhando com números reais, é sempre verdade que se 
 . Isto não é verdade quando estivermos trabalhando com 
matrizes. Ou seja, é possível encontrar matrizes não nulas cujo produto é a matriz nula. 
Experimente multiplicar, por exemplo, a matriz 
 
 
 pela matriz 
 
 
 e verifique que o 
resultado é a matriz 
 
 
 . 
8. Matriz Transposta 
 
Considere uma matriz qualquer . Chama-se transposta da matriz A a matriz 
 do tipo 
n x m que se obtém trocando as linhas pelas colunas. Ou seja, as colunas da transposta são 
ordenadamente iguais às linhas de da matriz original. 
Exemplos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Propriedades 
 
 
 
 
 
 
 
 
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i) 
Ou seja, a transposta da matriz transposta de A é a própria matriz A. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ii) Se A e B são matrizes do mesmo tipo, ou seja, com o mesmo número de linhas e 
o mesmo número de colunas, então . 
Isto quer dizer que tanto faz: 
Somar duas matrizes e depois calcular a transposta do resultado. 
 Calcular as transpostas das matrizes e depois somar o resultado. 
iii) Se é um número real qualquer e é uma matriz, então 
Isto quer dizer que tanto faz: 
 Multiplicar uma matriz por um número real e depois calcular a transposta do resultado. 
 Calcular a transposta da matriz e, em seguida, multiplicar por um número real. 
iv) Se A e B são matrizes que podem ser multiplicadas, então e também podem 
ser multiplicadas e 
Isto quer dizer que tanto faz: 
 Multiplicar a matriz A pela matriz B e, em seguida, calcular a transposta. 
 Calcular a transposta de B, calcular a transposta de A e multiplicar (nesta ordem). 
 
EC 7. (MPU 2004/ESAF) Sejam as matrizes 
 
 
 
 e 
 
 
 e seja o elemento 
genérico de uma matriz X tal que , isto é, a matriz X é a matriz transposta do produto 
entre as matrizes A e B. Assim, a razão entre e é igual a: 
a) 2 
b) ½ 
c) 3 
d) 1/3 
e) 1 
Resolução 
 
 
 
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Vamos multiplicar as matrizes. Devemos multiplicar uma matriz do tipo 3 x 2 (3 linhas e 2 colunas) 
por uma matriz do tipo 2 x 4. O produto existe, porque os números do meio coincidem e o 
resultado é uma matriz do tipo 3 x 4 (números das extremidades). 
 
 
 
 
 
 
Observe que não precisamos calcular todos os elementos do produto. 
O nosso objetivo é calcular a matriz transposta deste resultado. A matriz transposta será: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Queremos calcular a razão entre e . Ou seja, a razão entre o elemento que está situado na 
terceira linha e primeira coluna (elemento c) e o elemento que está situado na primeira linha e 
segunda coluna (elemento e). 
Portanto, queremos calcular c/e. 
Vamos voltar ao produto das matrizes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Portanto, 
 
 
 
 
 
 
Letra A 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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9. Determinantes 
 
O nosso intuito é fazer com que o candidato se sinta seguro para fechar as provas de Raciocínio 
Lógico. Portanto, definiremos determinantes visando às provas de concursos. Na realidade, os 
assuntos da presente aula (matrizes, determinantes e sistemas lineares) são tópicos da 
“alfabetização” para uma cadeira universitária denominada álgebra linear. Livros universitários de 
Álgebra Linear, como o de Bernard Kolman, definem determinantes genericamente sem fazer 
referências à ordem da matriz utilizando conceitos de permutações pares e ímpares, etc. 
Não seguiremos esta linha. Definiremos determinantes de matrizes quadradas de ordem 1, 2 e 3. 
Verificaremos diversas propriedades e teoremas de forma que em eventuais casos que 
precisemos calcular determinantes de ordem maior que 3, o possamos fazer sem maiores 
esforços. 
Pois bem, para começar, devemos frisar que apenas matrizes quadradas admitem o cálculo de 
determinantes.O determinante da matriz A é denotado por . 
i) Se a matriz quadrada é de ordem 1, então o determinante da matriz é o único elemento da 
matriz. 
 
Exemplo: Considere a matriz . O determinante da matriz A é o número 2. 
 
 
ii) Se a matriz quadrada é de ordem 2, então o determinante é o produto dos elementos da 
diagonal principal menos o produto dos elementos da diagonal secundária. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observe que indicamos o determinante de uma matriz A com barras verticais ao lado dos 
elementos da matriz. 
 
Exemplo: Calcule o determinante da matriz 
 
 
 . 
Resolução 
 
 
 
 
 
iii) Se a matriz é de ordem 3, o determinante é calculado com o auxílio da regra de Sarrus. 
 
 
 
 
 
Devemos repetir as duas primeiras colunas. 
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Multiplicamos os elementos na direção da diagonal principal de acordo com as flechas e 
somamos os 3 resultados. 
 
Multiplicamos os elementos na direção da diagonal secundária e trocamos os sinais dos 
produto e somamos os resultados. 
Em seguida somamos os dois resultados obtidos. 
Vejamos um exemplo: 
EP 3. Calcule o determinante da matriz 
 
 
 
 . 
Resolução 
 
 
 
 
 
Devemos repetir as duas primeiras colunas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Multiplicamos os elementos no sentido da diagonal principal. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Multiplicamos os elementos na direção da diagonal secundária e trocamos os sinais dos 
produtos e somamos os resultados. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Devemos somar os dois resultados obtidos. 
 
 
10. Propriedades dos determinantes 
 
Vejamos algumas propriedades dos determinantes: 
i) Se os elementos de uma fila qualquer (linha ou coluna) de uma matriz M de ordem 
n forem todos nulos, então det M = 0. 
Exemplo. 
 
 
 
 
 
O determinante da matriz M é igual a 0, pois a matriz possui uma fila composta por zeros. 
ii) Se uma Matriz M tem duas filas paralelas (duas linhas ou duas colunas) formadas 
por elementos respectivamente iguais, então det M = 0. 
Exemplo: 
 
 
 
 
 
Como a primeira coluna é igual à terceira coluna, então o determinante da matriz é igual a 
0. 
iii) Se uma matriz M tem duas filas paralelas (duas linhas ou duas colunas) 
formadas por elementos respectivamente proporcionais, então det M = 0. 
Exemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Observe a primeira e a terceira coluna. Elas são proporcionais e a constante de 
proporcionalidade é igual a 3 (ou seja, a terceira coluna foi produzida multiplicando a 
primeira coluna por 3). Assim, o determinante da matriz é igual a 0. 
iv) Se uma matriz quadrada M tem uma linha (ou coluna) que é combinação linear 
de outras linhas (ou colunas), então det M = 0. 
Deixe-me falar numa linguagem bem coloquial para explicar o que é combinação linear. 
Imagine que você vai “construir” uma matriz de terceira ordem. 
 
 
 
 
 
Você construiu a primeira coluna e a segunda coluna. E você resolveu ser um pouco mais 
criativo para construir a última coluna. E o que você fez? Você multiplicou a primeira 
coluna por 2 e multiplicou a segunda coluna por 3 e somou os dois resultados. O que 
você obteve? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pronto! A terceira coluna é uma combinação linear das duas primeiras colunas. Ou seja, 
você deve multiplicar uma fila por um certo número A e outra fila por qualquer outro 
número B. Somando os dois resultados, você obtém uma combinação linear das duas 
filas. 
Pense bem, uma coisa é criar a matriz e saber que uma fila é combinação linear das 
outras duas. Imagine que o quesito fosse assim: 
Calcule o determinante da matriz 
 
 
 
 
 
Obviamente a pessoa que criou a questão sabe que a terceira coluna é combinação linear 
das outras duas e, portanto, o determinante é zero. 
A dificuldade é “perceber” na hora da prova isso. Não será você o criador das questões!! 
Veja só outro exemplo. 
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Calcule o determinante da matriz: 
 
 
 
 
 
Se você tiver um excelente olho e perceber que 
Primeira coluna = (Segunda coluna) x 2 + (Terceira coluna) x 5 
Você poderá concluir que o determinante é zero. Caso contrário, terás que usar a regra 
de Sarrus (o que é bem provável que aconteça. Não perca seu tempo tentando achar 
alguma regra. Faça as contas que em muitos casos é mais rápido!) 
v) Se é uma matriz quadrada de ordem n e é a sua transposta, então 
 . 
vi) Se multiplicarmos uma fila qualquer de uma matriz A de ordem n por um número 
real , o determinante da nova matriz será o produto do determinante de A pelo 
número . 
Exemplo: Já vimos que o determinante da matriz 
 
 
 
 é igual a 36. Vamos 
multiplicar uma fila qualquer por , digamos a segunda coluna. 
 
 
 
 
 
Para calcular o determinante desta nova matriz, basta multiplicar o determinante da matriz 
original por . 
Desta forma, . 
vii) Se uma matriz quadrada A de ordem n for multiplicada por uma constante k, 
então o seu determinante será 
 
 
 
Na verdade, esta propriedade vii é uma decorrência da propriedade vi. Isto porque 
multiplicar uma matriz de ordem n por uma constante k é o mesmo que multiplicar as n 
linhas por k (ou as n colunas). 
Ao multiplicar a primeira linha por k, multiplicamos o determinante por k. 
Ao multiplicar a segunda linha por k, multiplicamos o determinante por k. 
Ao multiplicar a terceira linha por k, multiplicamos o determinante por k. 
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Se a matriz é de ordem n, então terá n linhas. 
Então, 
 
 
 
 
viii) Considere uma matriz quadrada de ordem maior ou igual a 2. Se trocarmos a 
posição de duas filas paralelas (ou duas linhas ou duas colunas), então o 
determinante da matriz troca de sinal. 
 
Exemplo: Já vimos que o determinante da matriz 
 
 
 
 é igual a 36. Se 
trocarmos a posição da primeira linha com a terceira linha, o determinante da matriz troca 
de sinal.O determinante desta matriz é igual a . 
 
ix) O determinante de qualquer matriz identidade é igual a 1. 
 
EC 8. (MPOG 2008 ESAF) Uma matriz X de quinta ordem possui determinante igual a 10. 
A matriz B é obtida multiplicando-se todos os elementos da matriz X por 10. Desse modo, 
o determinante da matriz B é igual a: 
 
a) 10-6 
b) 105 
c) 1010 
d) 106 
e) 103 
Resolução 
Quando multiplicamos uma fila (linha ou coluna) de uma matriz por um número real “a”, o 
determinante da matriz também será multiplicado por “a”. Nessa questão, quando 
multiplicamos todos os elementos da matriz X por 10, o que aconteceu? 
 
 Multiplicamos a primeira linha por 10, assim o determinante será multiplicado por 
10. 
 Multiplicamos a segunda linha por 10, assim o determinante será multiplicado por 
10. 
 Multiplicamos a terceira linha por 10, assim o determinante será multiplicado por 
10. 
 Multiplicamos a quarta linha por 10, assim o determinante será multiplicado por 10. 
 Multiplicamos a quinta linha por 10, assim o determinante será multiplicado por 10. 
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Assim, o determinante da matriz X, que é igual a 10, será igual a: 
 
 
 
É válido o seguinte teorema: se uma matriz quadrada A de ordem n for multiplicada 
por uma constante k, então o seu determinante será 
 
 
 
Assim, como a matriz do problema é de 5ª ordem e foi multiplicada por 10, 
 
 
 
Letra D 
 
EC 9. (ATA – MF 2009/ESAF) Seja uma matriz quadrada 4 por 4. Se 
multiplicarmos os elementos da segunda linha da matriz por 2 e dividirmos os 
elementos da terceira linha da matriz por –3, o determinante da matriz fica 
a) Multiplicado por –1. 
b) Multiplicado por –16/81. 
c) Multiplicado por 2/3. 
d) Multiplicado por 16/81. 
e) Multiplicado por –2/3. 
Resolução 
Vamos relembrar uma das propriedades. 
vi) Se multiplicarmos uma fila qualquer de uma matriz A de ordem n por um número 
real , o determinante da nova matriz será o produto do determinante de A pelo 
número . 
Ora, se multiplicarmos os elementos da segunda linha da matriz por 2, o determinante 
será multiplicado por 2. Se dividirmos os elementos da terceira linha da matriz por –3, o 
determinante será dividido por -3. Assim, juntando tudo, o determinante será multiplicado 
por –2/3. 
Letra E 
EC 10. (MPOG 2002 ESAF) A transposta de uma matriz qualquer é aquela que se 
obtém trocando linhas por colunas. Sabendo-se que uma matriz quadrada de segunda 
ordem possui determinante igual a 2, então o determinante do dobro de sua matriz 
transposta é igual a: 
 
a) –2 
b)–1/2 
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










3 2 c
2 3 b
1 5 a
B 
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c)4 
d) 8 
e) 10 
Resolução 
O determinante da matriz transposta é igual ao determinante da matriz original. Assim, o 
determinante não será alterado. Porém, quando multiplicamos uma matriz de segunda 
ordem por 2 (já que queremos o determinante do dobro da matriz), o determinante será: 
 
 
 
Letra D 
 
EC 11. (BNB 2002 VUNESP) Dadas as matrizes 






















3 2 c
2 3 b
1 5 a
B e 
6 4 2
2 3 5
c b a
A , de determinantes não nulos, para quaisquer valores de “a”, 
“b” e “c”, temos 
 
A) det(A) = det(B) 
B) det(B) = 2.det(A) 
C) det(A) = 2.det(B) 
D) det(A) = –2.det(B) 
E) det(A) = – det(B) 
Quais foram as transformações sofridas por A para “chegar” na matriz B? 
Observe que a primeira linha de A é igual à primeira coluna de B. A segunda linha de A é 
igual à segunda coluna de B. 
Vamos construir a matriz transposta de A. 
A transposta de uma matriz qualquer é aquela que se obtém trocando linhas por colunas. 
 
 
 
 
 
 
 
Observe agora a matriz B. 
 
 
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A terceira coluna da matriz transposta de A é igual ao dobro da terceira coluna de B. 
Dessa forma, o determinante da transposta de A é o dobro do determinante da matriz B. 
 
 
 
Como o determinante de A e de sua transposta são iguais, 
 
 
 
Letra C 
 
EC 12. (AFC/STN 2005 ESAF) Considere duas matrizes quadradas de terceira 
ordem, A e B. A primeira, a segunda e a terceira colunas da matriz B são iguais, 
respectivamente, à terceira, à segunda e à primeira colunas da matriz A. Sabendo-se que 
o determinante de A é igual a x3, então o produto entre os determinantes das matrizes A e 
B é igual a: 
a) –x-6 
b) –x6 
c) x3 
d) –1 
e) 1 
Resolução 
Considere a matriz A: 
 
 
 
 
 
 
 
A primeira, a segunda e a terceira colunas da matriz B são iguais, respectivamente, à 
terceira, à segunda e à primeira colunas da matriz A. 
 
 
 
 
 
 
 
Observe que as segundas colunas das matrizes são iguais. Apenas permutamos a 
primeira com a terceira coluna. 
 
Quando permutamos (trocamos de lugar) duas filas (linhas ou colunas), o determinante 
troca de sinal. 
 
Como o determinante de A é igual a x3, então o determinante de B será igual a –x3. 
 
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O produto entre os determinantes das matrizes A e B é igual a 
 
 
 
Letra B 
 
EC 13. (MPOG 2005 ESAF) O menor complementar de um elemento genérico xij de 
uma matriz X é o determinante que se obtém suprimindo a linha e a coluna em que esse 
elemento se localiza. Uma matriz Y = yij, de terceira ordem, é a matriz resultante da soma 
das matrizes A = (aij) e B = (bij). Sabendo-se que (aij) = (i+j)
2 e que bij = i
2 , então o menor 
complementar do elemento y23 é igual a: 
 
a) 0 
b) -8 
c) -80 
d) 8 
e) 80 
Resolução 
Vamos construir as matrizes A e B. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se quisermos calcular o menor complementar do elemento y23, devemos suprimir a 
segunda linha e a terceira coluna de Y. 
 
 
 
 
 
 
Lembre-se que para calcular o determinante de uma matriz de segunda ordem devemos 
calcular a diferença entre o produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos 
elementos da diagonal secundária. 
 
Letra C 
 
EC 14. (ANA 2009/ESAF) O determinante da matriz 
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a) 2bc + c - a 
b) 2b - c 
c) a + b + c 
d) 6 + a + b + c 
e) 0 
Resolução 
Resolveremos esta questão de duas maneiras: a primeira usando a força bruta do braço e 
a segunda utilizando algumas propriedades dos determinantes. 
Um determinante de terceira ordem pode ser calculado com o auxílio da regra de Sarrus. 
Devemos repetir as duas primeiras colunas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Multiplicamos os elementos na direção da diagonal principal de acordo com as flechas. 
 
Obtemos 
Vamos multiplicar os elementos que estão na direção da diagonal secundária e trocar o 
sinal do resultado. 
 
Obtemos 
Para calcular o determinante da matriz A, devemos somar os dois resultados obtidos: 
 
Vamos voltar ao quesito: 
(ANA 2009/ESAF) O determinante da matriz 
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a) 2bc + c - a 
b) 2b - c 
c) a + b + c 
d) 6 + a + b + c 
e) 0 
Ora, perceba que multiplicando a primeira linha por 2 e somando com a segunda linha, 
obtemos a terceira linha. 
Assim, a terceira linha é combinação linear das outras duas e o determinante é zero. 
Letra E 
EC 15. (Gestor Fazendário – MG 2005/ESAF) Considere duas matrizes de segunda 
ordem, A e B, sendo que . Sabendo que o determinante de A é igual a , 
então o determinante da matriz B é igual a: 
a) 21/2 
b) 2 
c) 2 -1/4 
d) 2 -1/2 
e) 1 
Resolução 
As matrizes são de segunda ordem. 
Se uma matriz quadrada A de ordem n for multiplicada por uma constante k, então o seu 
determinante será 
 
 
 
Como a matriz A é de segunda ordem, então . 
Estamos multiplicando a matriz A por , portanto, . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Letra E 
 
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EC 16. (AFC-STN 2000/ESAF) Uma matriz quadrada X de terceira ordem possui 
determinante igual a 3. Sabendo-se que a matriz Z é a transposta da matriz X, então a 
matriz tem determinante igual a: 
 
a) 1/3 
b) 3 
c) 9 
d) 27 
e) 81 
 
Resolução 
 
A matriz é de terceira ordem, logo . 
 
Estamos multiplicando a matriz Z por 3, logo . 
 
Sabemos também que e sabemos que o determinante de uma matriz é igual ao 
determinante da sua transposta. 
 
 
 
 
 
Sabemos que 
 
 
Como 
 
Letra E 
 
EC 17. (AFC-CGU 2008 ESAF) Qualquer elemento de uma matriz X pode ser representado por 
xij , onde i representa a linha e j a coluna em que esse elemento se localiza. A partir de uma 
matriz A (aij), de terceira ordem, constrói-se a matriz B (bij), também de terceira ordem, dada por: 
 
 
 Sabendo-se que o determinante da matriz A é igual a 100, então o determinante da matriz B é 
igual a: 
a) 50 
b) -50 
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c) 0 
d) -100 
e) 100 
Resolução 
 
A matriz A é dada por: 
 
 
 
 
 
 
 
A matriz B é dada por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A matriz B foi construída a partir da matriz A a partir do seguinte processo: 
 
 Repetimos a segunda linha. 
 Trocamos a primeira linha com a terceira linha 
Vimos na propriedade viii que se trocarmos a posição de duas filas paralelas (ou duas 
linhas ou duas colunas), então o determinante da matriz troca de sinal. 
 
Como o determinante da matriz A é igual a 100, então o determinante da matriz B é igual 
a . 
Letra D 
11. Teorema de Binet 
 
Se e são matrizes quadradas de ordem n, então: 
 
Isto quer dizer que tanto faz: 
 Calcular o produto AB e calcular o determinante do produto. 
 Calcular o determinante de A, calcular o determinante de B e multiplicar os resultados. 
 
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EC 18. (MPU 2004/ESAF) Considere as matrizes 
 
 
 
 ; 
 
 
 
 onde os 
elementos a,b e c são números naturais diferentes de zero. Então, o determinante do produto das 
matrizes X e Y é igual a: 
a) 0 
b) 
c) 
d) 
e) 
Resolução 
Queremos calcular . 
Pelo Teorema de Binet, sabemos que 
 
 
Dê uma olhada na matriz X. 
 
 
 
 
 
 
Percebeu que a segunda linha é igual a primeira linha multiplicada por 2? 
Se uma matriz M tem duas filas paralelas (duas linhas ou duas colunas) formadas 
por elementos respectivamente proporcionais, então det M = 0. 
Podemos concluir que o determinante da matriz X é igual a 0. 
 
 
Letra A 
12. Matriz Inversa 
 
Considere uma matriz quadrada de ordem n. Vamos chamar esta matriz de A. Dizemos 
que a matriz A é inversível se existir uma matriz B tal que . 
Lembre-se que é a matriz identidade de ordem n. 
Esta matriz B é chamada matriz inversa de A e é denotada por . 
e criminal.
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Exemplo: A inversa da matriz 
 
 
 é a matriz 
 
 
 porque 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 . 
Para verificar basta fazer: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ora, sabemos que . 
Vamos aplicar o teorema de Binet. 
 
 
Lembre-se que o determinante da matriz identidade é igual a 1, portanto: 
 
Este fato é muito importante. Pois se for dado o determinante de uma matriz, podemos 
automaticamente calcular o determinante da sua inversa e reciprocamente. 
Se a matriz A não admite inversa, a matriz A é chamada de matriz singular. 
Uma matriz quadrada não é inversível quando o seu determinante é igual a 0. 
Por exemplo, a matriz 
 
 
 é uma matriz singular, isto é, não admite inversa. Isto pode ser 
verificado calculando o seu determinante. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Bom, podemos concluir que se o determinante da matriz quadrada é diferente de zero, então a 
matriz é inversível. E como calculamos a matriz inversa? 
Neste curso, ficaremos restritos ao cálculo de matrizes inversas de ordem 2. 
Considere uma matriz quadrada de ordem 2 com determinante diferente de 0. 
 
 
 
 
A inversa da matriz A é calculada da seguinte forma: 
 
 
 
 
 
 
 
Ou seja, trocamos de posição os elementos da diagonal principal e mudamos o sinal dos 
elementos da diagonal secundária. Depois dividimos todos os elementos pelo determinante da 
matriz original. 
EP 4. Determine, se existir, a inversa da matriz 
 
 
 . 
Resolução 
 
O primeiro passo é calcular o determinante da matriz A. 
 
 
 
Vamos trocar a posição dos elementos da diagonal principal e trocar o sinal dos elementos da 
diagonal secundária. 
 
 
 
 
O próximo passo é dividir todos os elementos pelo determinante da matriz original que é igual a 2. 
 
 
 
 
 
EC 19. (Oficial de Chancelaria – MRE 2002/ESAF) Dada a matriz 
 
 
 e sabendo que o 
determinante de sua matriz inversa é igual a 1/2, então o valor de é igual a: 
a) 
b) 0 
c) 1/2 
d) 1 
e) 2 
Resolução 
Sabemos que . O problema já forneceu o determinante da inversa que é igual a 
1/2. 
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Ora, temos em mãos o determinante da matriz original. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Letra A 
 
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13. Sistemas Lineares 
 
Equação linear nas incógnitas é toda equação do tipo 
 
Os números reais (os números que multiplicam as incógnitas) são chamados de 
coeficientes e o número é o termo independente da equação. 
É importante notar que os expoentes das incógnitas devem ser todos iguais a 1 para que a 
equação seja considerada linear. 
São equações lineares: 
 
 
Não são equações lineares: 
 
 
 
É importante também notar que não é permitido o produto de duas incógnitas em algum dos 
termos da equação. 
Vamos relembrar alguns fatos das aulas de lógica. 
Vimos que uma sentença do tipo não é uma proposição lógica. Isto porque não 
podemos determinar o seu valor lógico sem que sejam fornecidos os valores das incógnitas. 
Se alguém nos disser que , então a sentença tornar-se-á verdadeira 
porque ; ao passo que se , a sentença será 
classificada como falsa porque . 
Pois bem, já que torna a sentença verdadeira, dizemos que a 
sequência (2,3) é uma solução da equação linear. 
Falamos em equações lineares. E o que vem a ser um sistema linear? 
Nada mais nada menos que um conjunto de equações lineares! 
Por exemplo: 
 
 
 
 
Aqui, dizemos que uma sequência de números é uma solução do sistema linear, se a sequência 
for solução de todas as equações lineares que compõem o sistema. 
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Por exemplo: A sequência é solução do sistema linear acima, porque: 
 
 
 
 
14. Classificação dos sistemas lineares 
 
Se um sistema linear admitir pelo menos uma solução, diremos que o sistema é possível (alguns 
dizem que o sistema é compatível). Se o sistema não admitir soluções, ou seja, não existir uma 
sequência que satisfaça todas as equações do sistema, diremos que o sistema é impossível ou 
incompatível. 
 
Se o sistema é possível, ainda podemos fazer uma subclassificação: se o sistema admitir apenas 
uma solução, dizemos que o sistema é possível e determinado; se o sistema admitir infinitas 
soluções, dizemos que o sistema é possível e indeterminado. 
 
Para quem nunca estudou este assunto, parece um pouco estranho que um sistema linear não 
possua soluções (impossível) ou que possua infinitas soluções (possível e indeterminado). 
Vamos ver alguns exemplos: 
EP 5. Resolva o sistema linear 
 
 
 . 
Resolução 
Vamos isolar a incógnita na primeira equação. 
 
Sistema linear 
Possível 
(admite solução) 
Determinado 
(a solução é única) 
Indeterminado 
(existem infinitas 
soluções) Impossível 
(não admite solução) 
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Vamos agora substituir esta expressão na segunda equação 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como , então: 
 
Portanto, o sistema admite apenas uma solução: . O sistema é possível e 
determinado. 
EP 6. Resolva o sistema linear 
 
 
 . 
Resolução 
Vamos isolar a incógnita na primeira equação. 
 
Vamos agora substituir esta expressão na segunda equação. 
 
 
 
 
Ora, devemos encontrar um número que multiplicado por zero seja igual a . Mas sabemos que 
qualquer número multiplicado por 0 obrigatoriamente tem como resultado o número 0. Desta 
forma, não existe um número tal que . 
O sistema é impossível. 
EP 7. Resolva o sistema linear 
 
 
 
Resolução 
Vamos isolar a incógnita na primeira equação. 
 
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Vamos agora substituir esta expressão na segunda equação. 
 
 
 
 
 
Devemos pensar em um número que multiplicado por 0 seja igual a 0. Ora, qualquer número real 
serve!! Pense em um número qualquer, digamos . Neste caso, . 
E já que , então 
 
 
Portanto é uma solução do sistema. 
Vamos colocar . Já que , então 
 
 
Portanto, é outra solução do sistema. Na verdade, você pode escolher o valor que 
quiser para a incógnita , substituir o valor na equação e calcular o valor 
correspondente de . 
O sistema admite infinitas soluções e, portanto, é possível e indeterminado. 
15. Sistema Linear Homogêneo 
 
Um sistema linear é dito homogêneo se o termo independente de todas as equações é igual a 0. 
Exemplos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
É fácil perceber que todo sistema linear é possível. Basta substituir todas as incógnitas por 0. Esta 
solução em que todas as incógnitas são iguais a 0 é chamada de soluçãotrivial. Se houver, 
as outras soluções são chamadas de não-triviais. 
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Desta forma, todo sistema linear homogêneo é possível. Em breve aprenderemos a classificá-lo 
em determinado ou indeterminado. 
16. Teorema de Cramer 
 
O bem conhecido teorema de Cramer, publicado em 1750 por Gabriel Cramer (1704-1752) 
provavelmente era conhecido por Maclaurin desde 1729. Isso ocorre com muita frequência na 
Matemática. Uma pessoa descobre algum fato e outra, vários anos depois, leva o crédito. Bom, 
deixemos a História da Matemática de lado (quem se interessar, depois de passar no concurso, 
pode comprar o livro História da Matemática de Carl B. Boyer). 
Vamos lá. Considere um sistema linear em que o número de incógnitas é igual ao número de 
equações. 
Como o nosso intuito é fechar as provas de concurso, vamos ficar restritos aos sistemas com 2 
equações e 2 incógnitas e aos sistemas com 3 equações e 3 incógnitas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Estamos considerando que as incógnitas são as letras . 
Vamos considerar alguns determinantes especiais que podem ser calculados com os coeficientes 
e com os termos independentes. 
Chamaremos de o determinante da matriz formada pelos coeficientes das incógnitas. 
No caso do sistema de segunda ordem: 
 
 
 
 
No caso do sistema de terceira ordem: 
 
 
 
 
 
Chamaremos de o determinante da matriz obtida da matriz dos coeficientes, substituindo a 
coluna do pelos termos independentes. No caso, substituiremos a primeira coluna (a do ) pelos 
termos independentes ( ). 
Chamaremos de o determinante da matriz obtida da matriz dos coeficientes, substituindo a 
coluna do pelos termos independentes. No caso, substituiremos a segunda coluna (a do ) 
pelos termos independentes ( ). 
Chamaremos de o determinante da matriz obtida da matriz dos coeficientes, substituindo a 
coluna do pelos termos independentes. No caso, substituiremos a terceira coluna (a do ) pelos 
termos independentes ( ). É óbvio que só existe em sistemas de terceira ordem. 
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No caso de sistemas de segunda ordem, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
No caso de sistemas de terceira ordem, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Vamos ver alguns exemplos numéricos. 
 
Considere o sistema 
 
 
 . 
Temos os seguintes determinantes relacionados a este sistema: 
 é o determinante da matriz formada pelos coeficientes das incógnitas. 
 
 
 
 
 
 é o determinante da matriz obtida da matriz dos coeficientes, substituindo a coluna do pelos 
termos independentes. No caso, substituiremos a primeira coluna (a do ) pelos termos 
independentes. 
 
 
 
 
 
Analogamente, temos: 
 
 
 
 
 
O Teorema de Cramer afirma que se um sistema linear tem o número de equações igual ao de 
incógnitas e se o sistema será possível e determinado (apresenta solução única) e: 
 
 
 
 
 
 
 
No nosso exemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Já tínhamos resolvido este sistema pelo método da substituição anteriormente. 
Obviamente, o Teorema de Cramer tem mais valor teórico que valor prático. Principalmente ao 
trabalhar com sistemas de ordem maior ou igual a 3. 
O que nos interessa é que o Teorema de Cramer afirma que se , então o sistema é 
possível e determinado. Isso é IMPORTANTÍSSIMO!!! Tem cheiro de ESAF no ar... 
E o que acontece se ?? 
Há duas possibilidades. 
Se todos os outros determinantes associados ao sistema forem iguais a 0, ou seja, 
 
então o sistema é possível e indeterminado. 
Se pelo menos um dos outros determinantes associados ao sistema for diferente de 0, então o 
sistema é impossível. 
Resumindo: 
Se você estiver trabalhando em um sistema de equações com número de equações igual ao de 
incógnitas, então ele pode ser: 
 Possível e determinado, se . 
 Possível e indeterminado, se 
 Impossível, se e existir algum . 
Na verdade, o resuminho acima está incompleto. É que pode haver casos em que todos os 
determinantes são nulos e o sistema ser impossível. São casos excepcionais, raros de 
acontecerem. Só que, para efeito de concurso, podemos simplesmente ignorar esta exceção, pois 
nunca foi cobrado. Certo? 
 
Sistema linear 
Possível 
(admite solução) 
Determinado 
(a solução é única) 
Indeterminado 
(existem infinitas 
soluções) Impossível 
(não admite solução) 
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E se o sistema for homogêneo? 
Ora, já vimos que um sistema linear homogêneo sempre admite solução. Portanto temos duas 
possibilidades: ser possível e determinado ou ser possível e indeterminado. 
Basta calcular o valor de . 
O sistema é possível e determinado se . 
O sistema é possível e indeterminado se . 
EC 20. (LIQUIGAS 2007/CETRO) Para que o sistema abaixo seja possível e 
determinado, o valor de a deverá ser: 
 
ax + 3y = 7 
x +2y = 1 
 
(A) a = 3. 
(B) a = 3/2. 
(C) a 3/2. 
(D) a 5/2. 
(E) a 2/5. 
 
Resolução 
 
Para que o sistema seja possível e determinado o determinante da matriz dos 
coeficientes das variáveis deve ser diferente de zero. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Letra C 
 
EC 21. (Técnico MPU Administrativa 2004 ESAF) Um sistema de equações 
lineares é chamado “possível” ou “compatível” quando admite pelo menos uma solução; 
é chamado de “determinado” quando a solução for única, e é chamado de 
“indeterminado” quando houver infinitas soluções. 





42
03
mba
mbma
 
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Assim, sobre o sistema formado pelas equações em que a e b são as incógnitas, é 
correto afirmar que 
a) se m≠0 e a=2, qualquer valor de b satisfaz o sistema. 
b) se m=0, o sistema é impossível. 
c) se m=6, o sistema é indeterminado. 
d) se m≠0 e a≠2, qualquer valor de b satisfaz o sistema. 
e) se m≠0 e m≠6, o sistema é possível e determinado. 
Resolução 
Para que o sistema seja possível e determinado, o determinante da matriz dos 
coeficientes deve ser diferente de 0. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Assim, m≠6 e m≠0 fazem com o que o sistema seja possível e determinado. 
 
Letra E 
 
Vamosterminar de discutir o sistema. 
 
Vamos supor que ou seja, ou . 
 
i) 
 
O sistema ficará assim: 
 
 
 
 
 
 
Neste caso: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se então portanto o sistema é impossível. 
 
ii) 
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PACOTE DE TEORIA E EXERCÍCIOS PARA MINISTÉRIO DA FAZENDA 
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O sistema ficará assim: 
 
 
 
 
 
 
Da segunda equação, tem-se: 
 
 
 
 
 
 
Vamos substituir este valor na segunda equação: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Portanto, o número b é tal que multiplicado por 0 é igual a 0. Ora, qualquer número 
multiplicado por 0 é igual a 0. Concluímos que se , então e pode ser 
qualquer número real. Portanto, há infinitas soluções para o sistema e ele é possível e 
indeterminado. 
 
EC 22. (TFC-CGU 2008 ESAF) Considerando o sistema de equações lineares 





qpxx
xx
21
21
2
2
 , 
pode-se corretamente afirmar que: 
a) se p = -2 e q ≠ 4, então o sistema é impossível. 
b) se p ≠ -2 e q = 4, então o sistema é possível e indeterminado. 
c) se p = -2, então o sistema é possível e determinado. 
d) se p = -2 e q ≠ 4, então o sistema é possível e indeterminado. 
e) se p = 2 e q = 4, então o sistema é impossível. 
Resolução 
Para que o sistema seja possível e determinado, o determinante da matriz dos 
coeficientes das variáveis deve ser diferente de 0. 
 
 
 
 
 
 
 
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Para que o sistema seja possível e indeterminado esse determinante deve ser igual a 0, 
ou seja, p=-2 ; e, além disso, o determinante de qualquer uma das variáveis deve ser igual 
a 0. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Assim, o sistema é possível e indeterminado se e . 
 
Até agora não encontramos alternativas... 
 
Para que o sistema seja impossível, o determinante dos coeficientes deve ser igual a 0, 
ou seja, ; e o determinante de qualquer uma das variáveis deve ser diferente de 0, 
ou seja, q 4. 
 
Letra A 
 
EC 23. (Analista MPU Administrativa 2004 ESAF) Com relação ao sistema 





02
0
ax
yax
 de incógnitas x e y, é correto afirmar que o sistema 
 
a) tem solução não trivial para uma infinidade de valores de a. 
b) tem solução não trivial para dois e somente dois valores distintos de a. 
c) tem solução não trivial para um único valor real de a. 
d) tem somente a solução trivial para todo valor de a. 
e) é impossível para qualquer valor real de a. 
Resolução 
Da segunda equação já concluímos que . 
 
Vamos substituir este valor na primeira equação. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Portanto, o sistema possui solução não-trivial para uma infinidade de valores de . 
 
Letra A 
 
EC 24. (TFC 2000/ESAF) Um sistema de equações lineares é chamado “possível” 
ou “compatível” quando admite, pelo menos, uma solução, e é chamado de “determinado” 
quando a solução for única e de “indeterminado” quando houver infinitas soluções. A partir 
do sistema formado pelas equações, e , pode-se afirmar que se 
 e , então o sistema é: 
a) impossível e determinado. 
b) impossível ou determinado. 
c) impossível e indeterminado. 
d) possível e determinado. 
e) possível e indeterminado. 
 
Resolução 
 
A primeira equação já está pronta. Na segunda equação vamos substituir por e 
por . 
 
Teremos o seguinte sistema: 
 
 
 
 
 
 
Vamos calcular os determinantes associados a este sistema. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como , então os sistema é possível e indeterminado. 
 
Poderíamos tirar esta conclusão tentando resolver o sistema. 
 
Da primeira equação, concluímos que . Vamos substituir esta expressão na 
segunda equação. 
 
 
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Devemos encontrar um número que multiplicado por 0 seja igual a 0. Ora, qualquer 
número multiplicado por 0 é igual a 0, portanto, o sistema admite infinitas soluções sendo 
possível e indeterminado. 
 
Letra E 
 
EC 25. (AFRFB 2009/ESAF) Com relação ao sistema, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Onde e , pode-se, com certeza, afirmar que: 
a) é impossível. 
b) é indeterminado. 
c) possui determinante igual a 4. 
d) possui apenas a solução trivial. 
e) é homogêneo 
Resolução 
Esta é mais uma questão que a ESAF copia da coleção Fundamentos de Matemática 
Elementar. Na prova do AFRFB 2009 foram três questões copiadas: a questão que foi 
resolvida na aula demonstrativa sobre permutações circulares (anulada), uma questão 
sobre divisão de polinômios. Eles também copiaram a primeira questão da prova da 
SUSEP 2010. 
Bom, quando você vai copiar alguma questão, você tem que saber copiar. Não basta 
copiar o enunciado e colocar algum trecho da solução nas alternativas. 
O enunciado do livro é o seguinte: 
Resolva o sistema pela regra de Cramer: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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criminal.ecivilresponsabilizaçãoàinfratoresos
 
Temos o seguinte sistema: 
 
 
 
 
 
Vamos calcular o valor dos determinantes associados ao sistema: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
sujeitando-sedistribuição,edivulgaçãocópia,reprodução,
aemeiosquaisquerporvedada,Reis08614095660,dosAparecidaElianedeexclusivousodeécursodesteconteúdoO
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O primeiro passo é destrinchar as igualdades do segundo conjunto de equações. 
 
 
 
 
 
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A solução do sistema é dada