PESQ_Volume 10 - Métodos probabilisticos para projeto e planejamento de sistemas

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18216
ENGENHARIA EM 
UHIICOJ DE POtÉNCIA
MÉTODOS PROBABIliinCOS PARA
PROJETO E PLANEJAMENTO
PE SIS! EM AS EIEI PI€0S
CURSO DE ENGENHARIA 
EM SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA 
- SÉRIE PTI -
RELAÇÃO DE VOLUMES E TRADUTORES
1 - Análise de Circuitos de Sistemas de Potência -
Arlindo R. Mayer
2 - Teoria das Linhas de Transmissão I - J.Wagner Kaehler
3 - Teoria das Linhas de Transmissão II - Felix A. Farret
4 - Dinâmica das Máquinas Elétricas I - Somchai Ansuj,
Arlindo R. Mayer
5 - Dinâmica das Máquinas Elétricas II - Elvio Rabenschlag
6 - Dinâmica e Controle da Geração - Almoraci S. Algarve,
João M. Soares
7 - Proteção de Sistemas Elétricos de Potência -
Fritz Stemmer, 
Lenois Mariotto
8 - Coordenação de Isolamento - J. Wagner Kaehler
9 - Operação Econômica e Planejamento - Paulo R. Wilson
10 - Métodos Probabillsticos para Projeto e
Planejamento de Sistemas Elétricos - M. Ivone Brenner
Supervisão técnica: Somchai Ansuj
Coordenação geral: Arlindo R. Mayer
Norberto U. de V. Oliveira 
Waldemar C . Fuentes
CENTRAIS ELÉTRICAS BRASILEIRAS S.A. 
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA
MÉTODOS PROBABIIÍSTICOS PARA
PROJETO E PLANEJAM ENTO
PE SISTEMAS ELÉTRICOS
R. J. RINGLEE
Tradução: M. Ivone Brenner
Prof.a do Depto. de 
Eng. Elétrica da UFSM
CURSO DE ENGENHARIA EM 
SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA 
SÉRIE P. T. I. _____________ ___
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SANTA MARIA - RS 1Ô79' ° ^ '~'c ; íi ü T
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Título do original:
Probability Methods for System Planing and Design
Direitos para o Brasil reservados às Centrais Elétricas 
Brasileiras S.A. - ELETROBRÂS
Av. Presidente Vargas, 6 ̂ 109 andar
Rio de Janeiro - RJ
Métodos probabilísticos para projeto e pla­
nejamento de sistemas elétricos. Trad. /de/ M. 
Ivòne Brenner. Santa Maria, Universidade Fe­
deral de Santa Maria, 1979.
167p. ilust. 23cm (Curso de Engenharia
em Sistemas Elétricos de Potência - Série PTI, 10)
Título original: "Probability Methods for 
System Planing and Design"
1. Eletricidade - geração. 2. Energia elé­
trica. I. Brenner, M. Ivone (trad.) II. Títu­
lo.
1979
F I C H A C A T A L O G R Â F I C A
R581m Ringlee, R. J.
CDD 621.31 
CDU 621.311
Obra publicada 
Com a colaboração
do Fundo de Desenvolvimento Tecnológico 
da CENTRAIS ELÉTRICAS BRASILEIRAS S.A — ELETROBRÁS
em Convênio com a
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA — UFSM
APRESENTAÇÃO
Hã cerca de 10 anos vem a ELETROBRÂS patrocinan­
do a realização de Cursos na área de Sistemas Elétricos 
de Potência, visando o aperfeiçoamento de engenheiros 
eletricistas das Empresas do Setor de Energia Elétrica. 
Assim, cerca de 200 profissionais, nesse período, recebe­
ram formação a nível de Mestrado, tanto no exterior como 
no Brasil, em obediência a currículos estabelecidos pela 
ELETROBRÂS, tendo em vista as necessidades detectadas por 
seu pessoal especializado.
Como resultado da experiência de realização des­
ses e de outros Cursos, por vezes contando com a partici­
pação de professores estrangeiros especialmente contrata­
dos para reforçar as equipes docentes nacionais, vêm sen­
do publicados livros especializados em regime de co- 
edição com Universidades, e à conta de Recursos do Fundo 
de Desenvolvimento Tecnológico da ELETROBRÂS.
Ê constante a preocupação desta Empresa em 
apoiar as Instituições de Ensino Superior, razão pela qual, 
entre outras ações, têm sido sistematicamente oferecidas 
vagas a docentes universitários, sempre que grupos de en­
genheiros são enviados ao exterior para freqüência a cur­
sos especiais ainda não oferecidos regularmente no Brasil. 
Isso tem propiciado mais rápida resposta das Universidades 
no atèndimento de necessidades especiais no Setor de Ener­
gia Elétrica, inclusive pela imediata implantação de tais 
cursos no País, a mais baixo custo e possibilitando am­
pliar a faixa de atendimento de profissionais das Empre­
sas.
Em uma dessas ações, a ELETROBRÂS contratou com 
o Power Technologies, Inc. - P.T.I., de Schenectady - USA, 
a ministraçãò de um curso especial em Sistemas Elétricos, 
e constante dos tópicos que se seguem:
1 - Análise de Sistemas Elétricos de Potência
2 - Teoria das Linhas de Transmissão
3 - Releamento - Características e Princípios
Fundamentais de Operação dos 
Relês
4 - Coordenação de Isolamento
5 - Operação Econômica e Planejamento
6 - Dinâmica e Controle da Geração
•7 - Dinâmica das Máquinas Elétricas
8 - Métodos Probabilísticos para Projeto e
Planejamento de Sistemas Elétricos
9 - Economia das Empresas de Energia Elétrica
Esses tópicos, na forma como foram inicialmente 
ministrados pela equipe do P.T.I., e posteriormente re­
produzidos por outros docentes brasileiros em diversas 
oportunidades, constituem, a nosso ver, uma fonte de in­
formações capaz de proporcionar uma formação equilibrada 
de profissionais de alto nível que se destinam às Empresas 
de Energia Elétrica e que delas precisem ter inicialmente 
boa visão técnica de conjunto. Posteriormente tais profis­
sionais poderão aprofundar seus estudos em tópicos especí­
ficos, conforme necessário às suas áreas de atuação.
Foi, pois, com esta intenção que a ELETROBRAS de­
cidiu adquirir ao P.T.Í. os direitos de reprodução do Cur­
so, e contratou com a Universidade Federal de Santa Maria 
a tradução e edição do mesmo, visando sua distribuição às 
Empresas do Setor de Energia Elétrica e demais Institui­
ções de Ensino Superior que ministram cursos na área de 
Engenharia Elétrica. Estamos certos de que a divulgação 
desse material, agora em língua portuguêsa,atingirá apre­
ciável número de profissionais e estudantes universitários 
proporcionando-lhes um nível de aperfeiçoamento mínimo ho­
je desejável naquelas Empresas, e ao mesmo tempo consti­
tuindo-se em obra de referência para docentes especiali­
zados.
Arnaldo Rodrigues Barbalho 
Presidente da ELETROBRÂS
PREFACIO
Raros são os livros publicados em português so­
bre Sistemas Elétricos de Potência. Isso fez com que os 
professores do Departamento de Engenharia e professores que 
atuam no Curso de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica, da 
Universidade Federal de Santa Maria, aceitassem o desafio 
de realizar a estafante, porem, atraente tarefa de tradu­
ção, revisão e acompanhamento na impressão do Curso orga­
nizado por Power Technologies, Inc. - PTI, e cujos direi­
tos de reprodução foram adquiridos pela ELETROBRÂS.
Foi muito valiosa, para a realização desta tare­
fa, a união e o espírito de equipe de um conjunto de pro­
fessores que, além de suas atividades docentes, administra­
tivas e de pesquisa, passaram a dedicar-se a mais essa im­
portante tarefa.
É nosso dever deixarmos assinalados os nossos a- 
gradecimentos a todos os que contribuiram para a elaboração 
dessa obra. Destacamos a ajuda prestada pelo Diretor do Cen­
tro de Tecnologia, Prof. Gilberto Aquino Benetti, pelo Che­
fe do Departamento de Engenharia Elétrica, Prof. Wilson An- 
tonio Barin, pelo Coordenador do Convênio UFSM/ELETROBRÂS, 
Prof. Arlindo Rodrigues Mayer, como também pelo Professores 
Waldemar Correia Fuentes,Nilton Fabbrin,Norberto V.Oliveira 
e Maria Beatriz Bolzan de Moraes.
Pela Companhia Estadual de Energia Elétrica-CEEE- 
tiveram participação destacada, nesta realização, o EngÇ 
Paulo Roberto Wilson, Coordenador do Convênio CEEE/UFSM , 
e os Engenheiros José Wagner Kaehler e Fritz Stemmer, todos 
eles Professores visitantes do CPGEE da UFSM.
Nossos agradecimentos às Professoras Neuza Martins 
Carson e Celina Fleig Mayer e à Jornalista Veronice Lovato 
Rossato, pelos seus vários serviços de revisão. E à Profes­
sora June Magda Scharnberg e Carmem Silvia Taday pelo auxí­
lio na organização das fichas catalogrãficas.
NoBsos agradecimentos, “também, áo datilografo U- 
byrajar$ Tajes e ao desenhista Dêlcio Bolzan.
Aos Professores Ademir Carnevalli Guimarães e 
Hélio MOkarzel, da Esnola Federal de Engenharia de Itaju- 
bã, agradecemos a gentileza de nos terem enviado a tradu­
ção parcial de alguns dos volumes, os quais serviram como 
valiosas referênciasem nosso trabalho.
Finalmente, ê nosso dever deixar registrado 
nossos agradecimentos à Centrais Elétricas Brasileiras 
S.A. - ELETROBRAs , por seu apoio e confiança em nós depo­
sitados.
Derblay Galvão 
Reitor
SUMÁRIO
Capitulo 1 - Conceitos de probabilidade................ 1
Seção 1.0 - Introdução............................... 1
Seção 1.1 - Definições............................ .. 4
Experimentos , resultado, evento........ 5
Definições de probabilidade. ............ 5
Seção 1.2 - Eventos independentes e dependentes, e
Conceitos de probabilidade condicional.. 11 
Modelo de probàbilidade para curto- 
circuitos trifãsicos com aterramento. 12
Seção 1.3 - Variáveis aleatórias.................... 19
Seção 1.4 - Funções de distribuição................. 20
Seção 1.5 - Modelos de falha - funções de risco......23
Referências......................................... 26
Apêndice I - Interrupção por curto circuito trifási-
co sem aterramento modelo Wilson-Harders 27
Apêndice II- Distribuições.......................... 32
Apêndice III- Representação grafica de probabilidade. 42
Gráfico de riscos................... 54
Fenômeno de ligações fracas........ 60
Suplemento do Apêndice III - Métodos probabilís- 
ticos para planejamento e delineamen-
to. Distribuição de Weibull........... 63
Apêndice IV- Aplicação da distribuição normal ao i-
solamento elétrico de espaços de ar.... 65
Capítulo 2 - Aplicações de confiabilidade e disponibili­
dade para sistemas de distribuição........ 71
Introdução.......................................... 71
0 processo de substituição (sistema reparável) i- 
dentificando o ciclo operação - falha --reparo -
operação.............................................. 74
0 ciclo falha - reparo, tempo, disponibilidade.... 75
Componentes reparáveis em série............ 77
Componentes reparáveis em paralelo................. 81
Modelos para baixas simultâneas de componentes re­
dundantes............................................. 87
Efeitos de manutenção................................ 90
Falhas em cadeia..................................... 91
Efeitos de sobrecarga................................ 94
Falhas de ordem comuns............................... 99
Procedimentos de confiabilidade para subestações...100
Previsão da confiabilidade da subestação........... 105
A. Descrição do sistema físico................... 105
B. Critério de desempenho.........................107
C. Confiabilidade................................. 107
D. Análise de efeitos e tipos de falha.......... 107
E. Acumulação de efeitos de falha e resumo...... 110
Referências bibliográficas........................... 115
Apêndice I - Procedimentos para coleta de dados
da baixa................................ 118
Apêndice II - Leis de confiabilidade para sistemas 
não reparáveis e modelos de tempos de
falha....................................129
Confiabilidade de arranjos em sé­
rie...................................130
Confiabilidade de configuração em 
paralelo............................. 133
Capítulo 3 - Modelos de confiabilidade para planeja­
mento de fornecimento de potência......... 137
Seção 3.0 - Introdução............................... 137
Seção 3.1 - Conceitos de potência-carga............ 139
Seção 3.2 - Modelos de planejamento de capacidade 
de geração
Seção 3.3 - Modelos de confiabilidade de suprimen­
to de potência de carga.................154
Extensões do modelo Calabrese.......154
Representação em redes.............. 158
Simulação.............................161
Referências........................................... 16 3
Apêndice I - Estimação de probabilidade de falha...166
CAPITULO
CONCEITOS DE PROBABILIDADE
Seção 1.0 - INTRODUÇÃO
Os termos chance, escolha, probabilidade, sorte , 
risco e incerteza têm um uso tão comum que freqüentemente 
torna-se difícil atribuir a eles uma definição precisa , es­
sencial ao desenvolvimento de uma teoria de probabilidade . 
0 chavão "incertezas da vida" ê de tal modo comum, e o tema 
incerteza ê coberto em tal extensão, que é difícil encontrar 
um texto, romance ou outro tipo de trabalho que não trate de 
uma maneira intuitiva, lógica ou aritmética, de probabili­
dade .
Consideremos as opções trágicas de Hamlet, como ex­
pressas em seu monólogo.
Reflitamos sobre a maneira como Robert Frost en­
carou a escolha em seu poema "The Road Not Taken"^. Ele to­
mou o "one less travelled by and that has made all the dif- 
ference".
Como poderiamos considerar as"escolhas humanas" , 
senão como "riscos calculados"?
Isto não quer sugerir que o comportamento humano 
segue naturalmente escolhas baseadas na determinação racio­
nal das probabilidades dos diversos resultados. Considere - 
mos o extraordinário sucesso atribuído ao "State of New Jer-
sey Lottery". Os participantes de uma loteria não parecem 
estar baseados em uma restituição esperada mas, antes,em u- 
ma oportunidade de restituição sumamente esperada!
E consideremos a tese dos psiquiatras Eric Berne 
e Thomas A. Harris de que a capacidade de uma pessoa convi­
ver com a incerteza depende do desenvolvimento de seu lado 
"adulto". Como uma premissa no desenvolvimento interpessoal, 
"Análise Transacional", Berne e Harris atribuem as respos­
tas das pessoas aos estímulos emocionais,em termos de três 
estados psicológicos: os "pais, a "criança" e o "adulto".
2Harris atribui o desenvolvimento da faculdade de 
estimar probabilidades ao crescimento do "adulto" dentro da 
personalidade. O desenvolvimento processa-se lentamente na 
criança pequena e "para muitos de nós ê difícil ele nos al­
cançar através da vida". Harris usa o termo "probabilida - 
des não examinadas" e assinala que esta deve ser a base de 
muitos de nossos fracassos. Nós nos perguntamos se talvez 
ele estaria se referindo a resultados não examinados dentro 
da terminologia a ser desenvolvida neste capítulo.
Em uma nota mais afirmativa ele esclarece que a 
capacidade de estimação de probabilidade pode ser ampliada 
por esforço deliberado,e aumenta sua eficiência através do 
uso e treinamento. "Se o Adulto está atento para a possibi­
lidade de erro, através da estimação de probabilidades, ele 
pode também planejar soluções para refutar as dificuldades, 
se e quando estas aparecem".
Estes são aspectos subjetivos de probabilidade; será neces­
sário definir probabilidade mais precisamente, se usarmos 
métodos quantitativos para formular predições probabilísti- 
cas. Como um aspecto a considerar no desenvolvimento de um 
"background probabilístico", será necessário fazer uma dis - 
tinção entre fenômeno observável e um modelo matemático pa­
ra descrever o fenômeno.
Modelos matemáticos, quer determinísticos ou pro­
babilísticos, devem, por necessidade, simplificar o fenôme­
no a ser representado. Como observa Neyman,o sucesso do mo­
delo depende de aqueles detalhes ignorados serem realmente 
sem importância. A precisão da solução matemática ê necessã 
ria, mas, certamente, não pode garantir uma concordância do 
modelo com os dados observados. Ele então observa as exigên­
cias fundamentais para reduzir um número de conseqtlências 
com o modelo, e para comparar os resultados previstos com 
observações^.
L. Hogben, no início de seu trabalho "Chance and
4Choise by Cardpack and Chessboard" , faz uma advertência,to­
davia. Ele notou, com certo espanto, o estado lamentável do 
conhecimento de procedimentos estatísticos entre pesquisado­
res. Hogben considera de interesse a necessidade da criação 
de padrões para analisar modelos probabilísticos comparáveis 
aos padrões disponíveis no domínio físico.
Ele citou a controvérsia a respeito da função do 
Teorema de Bayes, que deveria combinar subjetivamente in­
formações apriorísticas com observações experimentais, para 
chegar a um julgamento correto "a respeito do mundo em que 
vivemos".
Neymann e Hogben descrevem bem o dilema que se a- 
presenta ao engenheiro e ao cientista: encontrar meios con­
vincentes para provar a adequação dos modelos e das conclu­
sões obtidas,quando tratando com processos que envolvem a
5incerteza. Papoulis apresenta a solução mais direta para es 
ta dificuldade, no primeiro capítulo de seu livro "Probabi- 
lity Random Variables and Stochastic Processes" e, no de­
correr do texto, apresenta uma interpretação filosófica de 
probabilidade.
Papoulis observa que as teorias científicas ocu- 
pam-se com conceitos, nunca com realidade. Resultados teó­
ricos são deduzidos a partir de certos axiomas; os resulta­
dos correspondem, de maneira conveniente mas aproximada, ao 
mundo real. Ele observa, além disso, que a justificativa fí­
sica para todas as conclusões teóricas ê baseada em alguma
forma de raciocínio indutivo.
Ele faz,então, uma observação interessante a res­
peito da aceitação, por parte do estudante, da separação en­
tre o mundo conceituai (modelo) e o mundo físico ao qual de­
nominou o "assim chamado fenômeno determinístico", e da re­
lutância para aceitar descrições probabilísticas "necessá­
rias apenas por causa de nossa ignorância". Esta visão de- 
terminística ou a crença, enfim, num universo determinísti­
co deve ser reconhecida como uma carga metafísica que nos foi 
transferida por nossos antepassados. Como observa Papoulis, 
"este profundo cepticismo, arraigado na validade de resul­
tados probabilísticos, pode ser dominado apenas por uma in­
terpretação apropriada do significado de probabilidade".Ele 
frisa que probabilidade é também uma ciência dedutiva e de­
ve ser desenvolvida axiomaticamente. Desta maneira,uma cla­
ra distinção deve ser delineada entre o modelo teórico e o 
processo real a ser estudado.
Assim, de Neymann, Hogben e Papoulis vem a clara 
advertência para introduzir os aspectos lógicos e axiomãti- 
cos em primeiro lugar, para após estabelecer uma distinção 
nítida entre o modelo teórico e o processo real. Esta dis - 
cussão seguirá suas recomendações, de modo que as definições 
necessárias ao estabelecimento dos axiomas da teoria da pro 
babilidade serão introduzidos antes. Um pequeno parêntesis 
será aberto para possibilitar uma compreensão histórica, a- 
través da introdução de quatro definições cronológicas de 
probabilidade.
Seção 1.1 - Definições
A teoria da probabilidade ocupa-se com valores mé­
dios de fenômenos de massa, os quais podem ocorrer tanto se- 
qüencialmente, quanto simultaneamente. Como um ponto de par­
tida lógico, são oferecidas definições dos termos experimen 
to, resultado e evento.
Experimento, Resultado, Evento
Em primeiro lugar, um experimento ê definido como 
uma operação levada a efeito sob condições controladas,a fim 
de testar ou estabelecer uma hipótese. O experimento pode 
ser físico ou conceituai. Um experimento bem definido ê a- 
quele onde o controle e os resultados possíveis podem ser 
definidos explícita e exclusivamente. Um resultado ê umacon- 
seqüência particular de um experimento. Apesar do conjunto 
de resultados possíveis ser conhecido antes, o resultado de 
um dado experimento ê conhecido apenas probabilisticamente. 
0 resultado de um experimento pode ser um elemento de um con­
junto finito, tal como o número de falhas num teste de iso­
lamento por onda completa em um "BIL" padrão de 100 trans­
formadores iguais e com as mesmas especificações:0,1,2 — 100. 
Para outro experimento, o resultado pode ser descrito como 
um elemento de um conjunto infinito, como a precipitação anu­
al de chuvas num determinado ponto (um numero real maior que 
zero). Um evento é definido como um conjunto de resultados 
possuindo propriedades comuns. Então, o evento "chuvas aci­
ma do normal" inclui todos os resultados,para os quais apre­
cipitação anual estã acima da média. Similarmente, o even­
to "razão de teste de falhas insatisfatória" pode ser defi­
nido em termos da razão de teste de falha de 100 transfor - 
madores que excedem a uma determinada especificação.
Definições de Probabilidade
Vamos agora retornar às quatro definições do termo 
probabilidade. Provavelmente, a primeira que se encontra é 
probabilidade como uma medida de opinião (raciocínio induti_ 
vo). Alguns autores se referem a esta interpretação como a 
interpretação "personàlística" ou subjetiva.
Circunstâncias e evidências são medidas em termos 
de nossa referência pessoal ou experiência. Julgamos certas 
proposições como verdadeiras ou falsas, aceitáveis ou ina­
ceitáveis, baseados em nossa avaliação da evidência, conhe­
cendo muito bem a futilidade de tentar sempre estabelecer u- 
ma proposição com absoluta certeza e, além disso, reconhe - 
cendo que o evento a ser julgado não pode ser reproduzido , 
como observa Robert Frost em suas reflexões. Não podemos pro 
testar contra a definição subjetiva de probabilidade.Até em 
trabalhos de Engenharia acontece freqüentemente de o julga­
mento de alguém ser o único ponto prático do qual se parte 
para definir um experimento, a fim de avaliarmos uma pro­
posição.
É da responsabilidade do engenheiro que organiza o 
experimento assegurar que, â medida que aumentam as evidên­
cias experimentais, o desenvolvimento "apriori" ou subjeti­
vo da informação tenha, progressivamente, menor influência 
nas conclusões finais (aposteriori).
Retornemos agora às três definições aritméticas ou 
quantitativas de probabilidade. A primeira, ou definição Clãs 
sica , foi apresentada por Pascal, no Século XVII, e foi de­
duzida a partir de jogos de azar. É uma definição apriori; 
a relação entre o número de alternativas favoráveis e o núme­
ro total de alternativas. De acordo com esta definição, a 
probabilidade P(A) de um evento A ê encontrada enumerando- 
-se o número total, N, de resultados possíveis, ou alterna­
tivas do experimento. Se o evento A ocorrer em NA destes re 
sultados, então, P(A) ê dada pela razão NA/N, como mostra a 
Equação 1.100.
P(A) = Na/N (1.100)
Considerando uma moeda não viciada e um método não 
viciado de lançamento, a probabilidade de obtermos "cara", 
em uma única jogada é a relação entre os resultados favorá­
veis e o número total de resultados possíveis (cara ou co­
roa) ; então, a probabilidade apriori de se obter "cara" é 
1/2. Observemos que, para o experimento de jogar uma moeda, 
dois resultados formam o universo.
O evento universal, prevemos com confiança, ocor­
rera em cada repetição. Isto é, cada vez que a moeda ê lan­
çada, o evento universal (observação de "cara" ou "coroa") 
é observado.
Podemos ver limitações na definição clássica;o uso 
de uma probabilidade apriori requer a explanação de como a- 
contece o evento. Porque o resultado "cara" é igualmente 
provável como "coroa"? Podemos confiar no jogador ou em sua 
moeda? Como se poderia provar que ela é honesta? Isto nos le­
va à segunda definição, que é a da freqüência relativa, de­
vida a VonMises. Sob esta definição, o experimento conside­
rado é repetido n vezes. Se o evento A ocorre nA vezes, en­
tão, sua probabilidade P(A) é definida como o limite da fre 
qüência relativa nA/n da ocorrência de A. Equação (1.101). 
A definição de freqüência relativa é a conseqüência natural 
da insatisfação, com a definição clássica e o prolongamen­
to da teoria da probabilidade, para incluir uma base experi 
mental.
P(A) = Lim (nA/n) (1.101)
n -*■ «•
Consideremos o seguinte exemplo, de um levantamen­
to realizado recentemente pelo Edison Electric Institute pa­
ra o New Brunswick Electric Power Commission. O estudo en­
volveu a duração de interrupções de energia forçadas em ge­
radores de turbina'de caldeiras com 10 anos ou menos,na ca­
tegoria de 100 a 199 MW. Os dados para as 61 unidades obser­
vadas estão representados na Tabela I . A primeira coluna da 
Tabela I apresenta os limites de variação de duração das 
interrupções classificadas para este estudo. Dado que a du­
ração das interrupções, pelo menos teoricamente, ê um núme­
ro real maior que zero, e , na prática, ê um número real mai­
or que zero e menor que 10 anos, neste caso, os limites de 
cada classe de interrupção podem ser considerados como de­
finindo eventos. Isto é, todas as observações corresponden­
tes a interrupções,dentro dos limites de 1 minuto atê 23
horas e 59 minutos, são situadas na primeira classe de du­
ração. Notemos que, na segunda coluna, estão anotadas 506 
observações deste evento particular, para um total de 881 
observações para todos os eventos. A freqüência relativa das 
observações, anotada na primeira coluna, lista as relações 
entre o número de observações relativas a um evento particu 
lar e o número total de observações. Interrupções de 23 ho­
ras e 59 minutos, ou menos, acontecem em aproximadamente 
57% das observações. A duração média de interrupção, em ca­
da categoria-evento, está representada na quarta coluna.En­
tão, as 506 interrupções, cuja duração foi de 23 horas e 59 
minutos, ou menos, tem um média de 8,87 horas de duração. 
Para todas as observações, a média foi de 50,77 horas. En­
tão, os dados da Tabela I, pela definição de probabilidade 
por freqüência relativa, fornecem um estimador da probabili 
dade de que um valor de interrupção, selecionado ao acaso , 
esteja dentro de um limite de duração especificado.
TABELA I
DURAÇÃO DE INTERRUPÇÕES OBSERVADAS
EM 61 GERADORES DE 10 ANOS OU MENOS
Classes de du­
ração de inter- 
rupções-hora
Numero de 
Observações
Por unidade 
do Total de 
Observações
Duração 
Média - Horas
0-23,99 506 0,574347 8,87
24-47,99 220 0,249716 32,75
48-167,99 122 0,138479 64,62
168-671,99 20 0,022701 292,3
672-1343,99 5 0,005675 834,4
1344-2687,99 7 0,007945 1675
2688 ou mais 1 0,001135 3406
TOTAL 881 1.0 50,77
A definição de freqüência relativa supõe que,à me­
dida que o experimento é repetido ou, neste caso, o número 
de observações aumenta sem limites, a razão entre os núme­
ros observados e o número total de observações aproxima-se 
de valores estacionários. O grau de. confiabilidade que se 
tem em um estimador então depende apenas do número de obser­
vações e da suposição de que o processo fundamental da ocor­
rência de interrupções forçadas é estacionário ou invariá­
vel com o tempo. (Nenhum efeito por envelhecimento, por e- 
xemplo). Podemos considerar 881 observações como uma rela­
tivamente grande massa de dados, mas não estamos tão certos 
de que uma observação na classe de duração maior que 2688
horas seja uma boa amostra sobre a qual vamos basear uma 
probabilidade de ocorrência, nem defendemos a coleta de da­
dos em unidades de idade de 0 a 10 anos. Uma questão inte­
ressante, a ser considerada posteriormente, ê uma determi­
nação da confiança com que podemos aceitar uma razão parti­
cular e um estimador dos limites quantitativos subentendi - 
dos por tal razão.
Apresentamos brevemente as objeções teóricas e prá­
ticas levantadas a respeito da clássica "definição apriori" 
e da definição segundo a freqüência relativa de probabili - 
dade. Ambas são fundamentadas em dificuldades teóricas. Fe­
lizmente, estas dificuldades teóricas foram resolvidas pela 
definição axiomática, apresentada por Kolomgoroff em 1933.
Através do uso da teoria da medida, Kolomgoroff de­
senvolveu uma base matemática, a partir da qual, dedutiva - 
mente, formou uma teoria de probabilidade. A definição axi-* 
omática de Kolomgoroff de probabilidade é baseada em três 
postulados:
Postulado 1: A probabilidade do evento A, P(A), é po­
sitiva; P (A) £0.
Postulado 2: A probabilidade do evento certo,S,é P(S) 
= 1. Aqui, S é o universo de eventos ou 
resultados.
Postulado 3: Se os eventos A e B são mutuamente exclu­
sivos, AB = 0, conjunto vazio, a probabi­
lidade de A ou B ê igual à probabilidade 
de A + probabilidade de B.
P {A + B} = P {A} + P {B}
Baseado nestes três postulados, Kolomgoroff esta­
va habilitado para construir a base de uma teoria completa 
de probabilidade. Todavia, ê necessário uma ponte para omun­
do real de experimentos e observações. A definição de fre- 
qüência relativa abre este caminho.
Ao considerar a aplicação da teoria de probabilidade 
a problemas de Engenharia, Papoulis sugere três etapas bá­
sicas nesta aplicação; chamamos a atenção para a página 4 da 
referência 5.
ETAPA 1 . Estimar as probabilidades P(A) de eventos A, 
por meios experimentais (freqüência relativa), 
ou usando a definição clássica de resultados 
igualmente prováveis, como a hipótese de tra­
balho.
ETAPA 2. Utilizando os axiomas da teoria de probabili 
dade e os métodos de dedução, determinar as 
probabilidades P(B) de eventos B, a partir das 
informações assumidas sobre P(A) de eventos A.
ETAPA 3. Estabelecer uma previsão baseada nas proba­
bilidades P (B) .
Papoulis observa que a teoria da probabilidade é 
aplicada na segunda etapa e que as etapas 1 e 3 conservam - 
-se no campo da investigação estatística. Resultados de in­
vestigações estatísticas são apresentados em termos de pro­
babilidades; um aspecto característico essencial de inves - 
tigações científicas ê que o delineamento do experimento é 
dirigido de maneira a testar uma hipótese, cuja probabilida
de de um resultado, baseado no modelo determinado na etapa 
1, é apenas uma.
Seção 1.2 - Eventos Independentes e Dependentes, e Concei- 
tos de Probabilidade Condicional
Os termos independência, dependência e probabili - 
dade condicional fornecem meios para descrever as formas pe­
las quais certos eventos podem ser relacionados. Por exem­
plo, suponhamos que a observação de um evento particular A^ 
forneça informações que afetem a determinação da probabili­
dade de ocorrência de um segundo evento . A probabilidade 
de observação de A 2 é, então, dependente da observação do 
evento A^. Se a observação de A^ não afeta a determinação da 
probabilidade de observação de A£/ então, os eventos A^ e 
A 2 são ditos independentes. 0 termo probabilidade condicio 
nal ê empregado para definir a probabilidade de observar o 
segundo evento, dado que o primeiro foi observado. Uma ma­
neira matemática de definir probabilidade condicional ê a- 
presentada nesta seção.
Para ilustrar os conceitos de eventos independente^ 
consideremos o comportamento de um interruptor, em um dis­
juntor. A capacidade de um interruptor de resistir à tensão 
de recuperação transitória, durante o processo de interrup­
ção, ê um processo complexo e poderiamos suspeitar da exis­
tência de vários resultados para um experimento de interrup­
ção de uma dada corrente de falta para uma tensão especifi­
cada. Vamos seguir a orientação de Wilson e Harders^,segun­
do o qual dois eventos são escolhidos para representar to­
dos os resultados possíveis de um experimento envolvendo in­
terrupção. Suponhamos que as condições do experimento sejam 
mantidas a um nível de corrente de curto e a uma dada ten­
são. Os dois eventos são em operação e em falha. Isto ê,uma 
falha ê carregada, se ocorre uma realimentação em qualquer 
ponto da onda de tensão transitória.
Wilson e Harders consideraram dois casos de opera­
ção de abertura. Eles compararam um curto trifãsico com a- 
terramento e um curto trifãsico sem aterramento, um trabalho 
de abertura.
Modelo de Probabilidade para Curto-Circuitos Trifásicos com 
Aterramento
Para o caso de curto-circuito trifãsico, Wilson e 
Harders observam que, a fim de que o disjuntor interrompa o 
curto ê necessário que os interruptores, em todas as três 
fases, interrompam a corrente de curto. Cada fase estã su­
jeita a uma tensão de restabelecimento, determinada pela que 
da de tensão entre fase e neutro do sistema. Eles afirmam, 
além disso, que a probabilidade de que uma fase seja inter­
rompida por uma dada corrente de curto-circuito e tensão de 
recuperação é uma constante e que o sucesso da interrupção 
em uma fase não ê dependente do sucesso ou falha dos inter­
ruptores nas outras fases. Consideremos o circuito e a ta­
bela apresentados na Figura 1, mostrando a situação nas três 
fases e os eventos correspondentes à interpretação em cada 
fase. Designemos a probabilidade de falha de um interruptor 
por P. O evento complementar, ou sucesso, abrange todos os 
resultados, nos quais o interruptor cumpre sua finalidade.A 
probabilidade de sucesso é, então, 1-P, dado que o sucesso 
e falha são eventos mutuamenteexclusivos, de acordo comnos- 
sa definição.
Consideremos agora o evento composto de sucesso no 
teste do disjuntor, nas três fases. A fim de que o disjuntor 
atue, é necessário que todas as três fases sejam interrompí 
das. Consideremos o numero de sucessos e falhas que podem 
ocorrer em relação ao disjuntor, dado que a interrupção de ca­
da fase ê independente das outras. A tabela ao lado da Figu­
ra lista oito eventos, mutuamente exclusivos, de um teste 
de falha. Dos oito eventos listados, apenas o de numero 1 
responde satisfatoriamente ao teste; os eventos de 2 atê 8 
significam falha do teste. Para o teste trifãsico, temos os 
oito eventos, em termos de interrupção nas três fases,cias-
sifiçados em sucesso e falha. O "evento sucesso" inclui a- 
penas o evento 1, enquanto que o "evento falha" inclui os
eventos de 2 a 8. O efeito de cada um dos oito eventos de
interrupção estã listado na coluna "Efeito". A coluna deno­
minada "Probabilidade" lista a probabilidade de ocorrência 
conjunta dos eventos específicos da fase A, fase Be fase C. 
Por exemplo, a probabilidade do evento 1 ê a probabilidade 
da ocorrência conjunta de sucesso nas fases A, B e C.A pro­
babilidade deste evento ê a probabilidade de sucesso na fa­
se A, multiplicada pela probabilidade de sucesso na fase B3e multiplicada pela probabilidade de sucesso na fase C, (1-P). 
Não provamos esta afirmação e ê nossa intenção apresentar, breve­
mente, uma demonstração mais convincente. Vamos oferecer u- 
ma observação para aumentar a segurança do leitor.Reparemos 
que os oito eventos são mutuamente exclusivos. Então, pela 
definição axiomãtica de probabilidades, a probabilidade dos 
eventos 1, 2, 3 e 4 é a soma das probabilidades dos eventos 
separados. Observemos que o evento,que inclui os eventos de 
1 a 4 da tabela, inclui todas as combinações possíveis en­
tre sucesso na fase A e sucesso ou falha nas fases B e C.Se 
somarmos as quatro probabilidades dos eventos 1 a 4, serã 
muito fácil mostrar que o resultado ê exatamente 1-P,a pro­
babilidade de sucesso na fase A, como na tabela seguinte.Na 
notação usada abaixo da tabela, os "+" significam a ocorrên­
cia de qualquer evento, l,ou 2, ou 3, ou- 4.
Interruptor a
Falha
P
Sucesso
i-p
Interruptor b P i-p
Interruptor c P i-p
////#///
Figura 1
EVENTOS DE UM TESTE DE FALHA NO CASO TRIFÂSICO
Evento Fase A Fase B Fase C Efeito Probabilidade
1 sucesso sucesso sucesso sucesso (1-P)3
2 sucesso sucesso falha falha P(l-P)2
3 sucesso falha sucesso falha P(l-P)2
4 sucesso falha falha falha P2 (l-P)
5 falha sucesso sucesso falha P(l-P)2
6 falha sucesso falha falha P2 (l-P)
7 falha falha sucesso falha P2 (l-P)
8 falha falha falha falha P3
P {1+2+3+4 }= P{1}+ P{2}+ Pf3}+ P[4} =(1-P)3+ 2P (1-P)2 + P2(l-P)
=(1-P)|(1-P)2 + 2P(1-P) + P2 
=(1-P)
Então, a regra do produto, para a probabilidade con­
junta de ocorrência de eventos independentes, foi esclare­
cida para o caso trifásico de falha. Para dar ênfase, vamos 
colocar a regra em palavras e em notação formal. A probabi­
lidade da ocorrência conjunta de dois eventos independentes 
A e B, AB, ê igual ao produto da probabilidade de ocorrên­
cia do evento A, P {A>, e a probabilidade de ocorrência do 
evento B, P {B}:
P{ AB} = P {A}. P {B} (1.200)
dados A e B independentes.
Suponhamos que a probabilidade de falha de um in­
terruptor, a uma corrente de curto específica, em uma linha 
calculada para a tensão de recuperação, seja:
P = 0,00033
A probabilidade de operação bem sucedida de um disjuntor,pa 
ra interromper um circuito trifãsico aterrado, seria
P {"Sucesso"} = (1-P)1 2 3 4 = 0,9990103 
P {" Falha "} = 1 - (1-P)3 = 0,0009897
Um resumo do modelo de probabilidade de Wilson-Har 
áers, para um circuito trifãsico sem aterramento, está no 
Apêndice I .
O modelo de disjuntor trifãsico foi selecionado pa 
ra exemplificar a aplicação dos conceitos de independência. 
A suposição de independência da operação de interruptores , 
num disjuntor trifãsico a óleo com os três interruptores lo­
calizados em tanques separados, ê razoável desde que elimi­
nemos fatores comuns ou iterativos, tais como:
1. Falha na abertura do disjuntor (elétrica ou mecâni­
ca) ;
2. Erros de teste ou de manutenção impedindo o funcio­
namento de todos os três interruptores;
3. Erros de projeto ou de fabricação afetando todos os 
interruptores;
4. Eventos catastróficos comuns, tanto internos como 
externos, em relação ao tanque, os quais poderiam 
interagir e afetar o desempenho dos outros interrup 
tores, tais como fogo ou explosão.
Independência não pode ser tomada como certa. Mui­
tos processos envolvem fenômenos fortemente correlacionados 
ou dependentes. Consideremos a distribuição simultânea de 
cargas em uma rede e a disponibilidade de fontes de ãgua de 
um mes para o outro. Ambos os exemplos ilustram fenômenos 
fortemente correlacionados. A probabilidade de uma dada va­
zão, entre determinados limites, estã condicionada a uma da­
da variação da vazão nos meses passados.
O termo probabilidade condicional ê usado para des­
crever a dependência da probabilidade de observar (ocorrên­
cia de ) um evento secundário, A2, dado que o evento primá­
rio, A f o i observado. A probabilidade condicional de A2/
dado (ou assumindo) que A foi observado (ocorreu), ê defi-1nida como:
P {A2 |Al> = P p*1^ (1.201)
A Equação(1.201)apresenta a maneira de se determi­
nar a probabilidade total do evento B, em termos da proba­
bilidade condicional de B, dado o conjunto íA^|j = l,n},on­
de Aj ê um dos eventos do conjunto de eventos mutuamente ex 
clusivos, cuja soma abrange todas as possibilidades (evento 
certo):
P ÍB} = Z P {B|Aj} P {Aj} (Teorema da Pro- 
 ̂ babilidade Total)
Se em n experimentos, o evento A^ ê observado em 
n1 resultados, o evento A 2 em n2 resultados, e os eventos A^ 
e A2 observados simultaneamente n ^ vezes, a definição de 
probabilidade condicional de A2, baseada na freqüência re­
lativa, ê:
P(A2 |A1) = Lim
n12/n
n^/n
n
(1.202)
Exemplo: A média de descarga mensal, nos meses de 
dezembro e janeiro, no ponto compacto perto de Lees Ferry, 
Arizona, tem as seguintes características para o período de 
37 anos, de 1914 a 1950:
Dezembro - fluxo mensal em 37 anos: 5956 cfs;
Janeiro - fluxo mensal em 37 anos: 5292 cfs
A^: Fluxo de dezembro menor que 5000 cfs. n^ = 7
A2? Fluxo de janeiro menor que 4500 cfs. ^ = 9
Nota: 5000 cfs e 4500 cfs são aproximadamente 84% 
do desvio padrão abaixo dos valores médios de 
dezembro e janeiro.
Aj^: Número de casos em que o fluxo de dezembro é me­
nor que 5000 cfs e o de janeiro menor que 4500 cfs
n12 = 7
P {A^} = 7/37 = 19% (estimador)
P {A2> = 9/37 = 24% (estimador)
P {a 2 | A ^ = 7757 = 1 (estimador)
A^: Fluxo de dezembro menor que 4800 cfs: n^ = 7(1 des­
vio padrão abaixo da média)
A ^ : Fluxo de janeiro menor que 4360 cfs: N^ = 7 (1 des­
vio padrão abaixo da média)
A ^ : Número de casos em que o fluxo de dezembro ê me­
nor que 4800 cfs e o fluxo de janeiro é menor que 
4360 n34 = 5
Ê {A3} = 7/37 (estimador)
P (A4) = 7/37 (estimador)
P {A4 |A3> = Tyjy = 5/7 (estimador)
Embora 37 anos seja uma amostra pequena, ela é su­
ficientemente grande para indicar que os fluxos de dezembro 
e janeiro são correlacionados.
Voltando â expressão de probabilidade condicional, 
consideremos o significado de independência dos eventos A^ 
e A 3: Se o evento A2 ocorre independentemente da ocorrência 
ou não do evento A^, então:
P {A2| = P {A^
Da mesma maneira, se a ocorrência de A^ ê indepen­
dente da ocorrência de A 2, então:
P {A1 |A2} = P {A1}
Sob a hipõtesê de independência, então, a Equação (1.201)to 
ma a forma:
P {A2 |A1> = P {A2> = P { A ^ } /P {A 
ou
P ( A ^ J = P {A1} P{A2J (1.203)
se os eventos A-̂ e A2 ocorrem independentemente.
Exemplo: Unidades de geração em serviço de carga; 
seja P^ a probabilidade do gerador n9 1 em baixa forçada(is 
to ê, não disponível), então, a probabilidade de que a uni­
dade esteja disponível é 1-P^.
Seja a seguinte tabela representando a capacidade 
possível paracada um dos dois geradores:
Disponível Não Disponível
Gerador N9 Probabilidade Capacidade Probabilidade Capacidade
1 0,94 300 0,06 0
2 0,93 400 0,07 0
Consideremos que os eventos capacidade dos dois ge­
radores ocorrem independentemente. Podemos descrever a capa­
cidade conjunta das duas máquinas como:
Probabilidade
Gerador 1 Gerador 2 Evento Capacidade do Evento
MW
Lig. (300) Lig. (400) 700 0,94x0,93 = 0,8742
Lig. (300) Desl. (0) 300 0,94x0,07 = 0,0658
Desl. (0) Lig. (400) 400 0,06x0,93 = 0,0558
Desl. (0) Desl. (0) 0 0,06x0,07 = 0,0042
Seção 1.3 - Variáveis Aleatórias
Dado um experimento, E, com resultados a^, a^ ---
ai---an , agora determinamos, por meio de alguma regra, o
numero X(a) como uma função de resultado.
Exemplo:
Na Tabela I, cada resultado determina um número i- 
gual â duração da baixa em horas. Os resultados foram agru­
pados em sete eventos. 0 primeiro evento, A^, contém todos 
os resultados no intervalo.
A^: 0 <X(a) < 23,99 horas
O sétimo evento, A^, contêm todos os resultados iguais ou 
maiores que 2688 horas.
Ay : 2688< X(a)
Uma variável aleatória será associada a um experi­
mento especifico. Variáveis aleatórias podem ser números re­
ais ou complexos, ou podem ser caracteres distintos,os quais 
podem ser associados, um a um, aos resultados do experimen­
to dado. Variáveis aleatórias reais são funções reais, cujo 
domínio ê o conjunto dos números reais, de tal modo que o 
conjunto dos resultados (X(a) < X} é um evento para qual­
quer número real X, e para o qual a ocorrência do evento 
{X(a)< - oo} é impossível e o evento {X(a)< <»} é certo.
Observemos que, para o experimento de duração da 
baixa, a duração ê uma variável aleatória com valores nega­
tivos impossíveis:
P {X(a)< 0} = 0
e o evento de se observar a duração de uma baixa maior que 
a idade das unidades geradoras ou dez anos ê da mesma forma 
impossível:
P (X(a) > 87660 horas} = 0
No modelo da capacidade do gerador, poderiamos as­
sociar a capacidade instantânea disponível a uma variável a- 
leatória. Para este exemplo, as capacidades menores que ze­
ro, ou maiores que a potência máxima da unidade geradora,são 
impossíveis:
P{ X (a) < 0} = 0
P{X(a) > Maior Potência Nominal} = 0
Seção 1.4 - Funções de Distribuição
A Função de Distribuição, F(X) ê definida como a 
probabilidade de ocorrência do evento ÍX(a) < x}.
F (X) = P{X (a) < X} (1.400)
Exemplo:
A função de distribuição para o modelo da capaci­
dade instantânea para o gerador 2, no último exemplo,na Se­
ção 2, ê dada a seguir:
0: X< 0
F(X) =< 0,07: 0 < X <400 (1.401)
1,0: 400 <X
A F(X), dada em (1.401), está representada graficamente na 
Figura 1.41-A, onde X é a capacidade disponível 10 MW.
P
ro
ba
bi
lid
ad
e 
A 
P
ro
ba
bi
lid
ad
e
1,0
0,5
Função de distribuição 
do Gerador de 
4 0 0 MW
0 - I
0 ÍÕÕ 205 3ÕÕ 405
e-oo■o
*25o.oo
t -CLa>•o
4)*oO■O’ <7> c
&
Função densidade de 
probabilidade do
Gerador de 400MW 0 ,9 3
,0,07
0 100 200 300 400
Capacidade — MW Capacidade — MW
Figura - A Figura — B
EVENTOS CONJUNTOS DAS UNIDADES DE 3 0 0 MW E 4 0 0 MW
1.0
0,5
Função distribuição
J - T 0,0042
0 200 400 600 800
Função densidade de 
probabilidade
0,8742
0,0658
f t
0,0558
0 200 400 600 800
Figura - C Figura - D
Figura 1.41
Funções de Distribuição para Modelos de Gerador
Exemplo:
A função de distribuição para a capacidade conjun­
ta no modelo de capacidade instantânea para os geradores 1 
e 2, no exemplo anterior, Seção 2, é dada a seguir:
0: X< 0
0,0042: 0 < X< 300 
F (X) =< 0,07: 300 < X < 400
0,1258: 400 < X< 700 
1,000: 700 < X
(1.402)
A F(X) está representada na Figura 1.41 C.
A função densidade de probabilidade, f.d.p., é a 
derivada da Função de Distribuição, em relação ao seu argu­
mento :
fdp(X) = (1.403)
desde que, evidentemente, esta derivada exista. Um proble­
ma aparecerá imediatamente se aplicarmos 1.403 à Função de 
Distribuição dada em 1.402 e 1.401. Para resolver o proble­
ma de descontinuidade na Função de Distribuição , as quais 
são sempre encontradas em modelos de estado discreto, usa­
mos a notação de "mass point" para a representação do im­
pulso que resulta em cada descontinuidade na Função de Dis­
tribuição :
MP(X) = Lim [f (X + e) - F(X - e)] (1.404)
e -»■ 0
Nas proximidades da descontinuidade, a função den­
sidade de probabilidade torna-se indefinida, mas pode ser 
substituída por MP(X) ô (x-X), onde ô(x-X) é a função de im­
pulso. Os gráficos das funções densidade de probabilidade de 
1.401 e 1.402 estão nas Figuras 1.41 B e 1.41 D, respectiva­
mente .
Seção 1.5 - Modelos de Falha - Funções de Risco
Extremamente importante no estudo de falhas é o mo­
delo de Poisson. Como aplicado aqui, o modelo é usado para 
descrever a probabilidade de sobrevivência de um componente 
ou equipamento. Consideremos que a chance de falha deumocm- 
ponente, a um dado instante, é uma função do tempo, h(t). 
Consideremos ainda que, em um pequeno intervalo, At, o ris­
co de falha ê proporcional a h(t)At, isto é, uma razão de 
risco ou falha vezes tempo.
P{ não sobrevivência | sobrevivência até t} = h(t)At (1.500) 
Então,
P{sobrevivência atê t+At|Sobrevivência até t} = l-h(t)At
(1.501)
Seja a probabilidade de sobrevivência de t até t 
P(t, tQ) onde p tQ )=1, dado que o componente ê conside - 
rado em operação, no instante t . Então, a probabilidade de 
sobrevivência de t até t+At é dada por
P(t + At,t ) = P(t,t ) (l-h(t)At) (1.502)
= P{sobrevivência atê t}p{sobrevivência atê t+At|sobrevivência atê t}
Rearranjando 1.501 e supondo P(t,t )>0
P(t + At,t0 ) - P(t,tQ)
PTtTtg = - h(t) At (1.503)
Calculando o limite para At, tornando-se arbitrariamente pe­
queno
Lim
dP(t,tQ )
PTtTt^T
At •+ dt
-h (t)dt (1.504)
Integrando 1.504, para o intervalo de t e t1 ?
p(t ,t ) r i
ln -p7. . "i = - \ h(t)dt (1.505)
o ' V O
°u rt
-\ 1 h (t) dt
P(tl ,to) = e ° (1.506)
Jã que
p ^ , ^ ) = i
A Equação 1.506 conduz à familiar curva de sobre­
vivência. Um exemplo da curva para um transformador de dis-„ 7tribuiçao esta na Figura 1.51 .
Os termos "razão de falha" e "razão de risco" são 
usados por vários autores para indicar a razão na qual as fa 
lhas ocorrem. Então, uma razão de falha de 3,3% ao ano, pa­
ra um equipamento de 30 anos de idade, na Figura 1.51,apli­
ca-se ao número de equipamento sobrevivente com idade de 30 
anos que falha durante o 309 ano de idade. A curva de "Fa­
lhas Anuais", mostrada na Figura 1.51, indica a porcentagem 
do equipamento original que falha durante os 30 anos.
P
er
ce
nt
ag
em
 
^
 
 ̂
Pe
rc
en
ta
ge
m
Curva de Sobrevivência para uma Amostra de 
Transformadores de Distribuição
Figura 1.51
REFERÊNCIAS
1. Collected Poems os Fobert Frost, Halcyon House, Garden 
City, N.Y. 1942.
2. Thomas A. Harris, "I'm OK You're OK", Harper and Row Pu- 
blishers, New York, 1969, pg. 33.
3. J. Neyman, "University of Califórnia Publications in Sta- 
tistics", Vol. I, University of Califórnia Press, 1954.
4. Lancelot Hogben, "Chance and Choise by Cardpack and Chess 
board", Chanticleer Press, New York, 1950.
5. A. Papoulis, "Probability Random Variables and Stochas- 
tic Processes", McGraw Hill Book Co., 1965.
6. W.W. Wilson and C. F. Harders, "Improved Reliability 
from Statistical Redundency of Three-Phase Operation of 
High Voltage Circuit Breakers", IEEE Transactions Paper 
70TP590, 1970 Summer Power Meeting.
7. H. E. Campbell, R.J. Ringlee, A. J. Wood, J.A. Smith, 
"Relationship Between Failure Rate, Average Life and E- 
conomic Life of Distribution Equipment", Procedimentos 
da Conferência Americana de Potência, Abril 23, 1969.
APÊNDICE I
INTERRUPÇÃO POR CüRTO TRIFÃSICO SEM ATERRAMENTO 
MODELO WILSON-HARDERS
A função de um disjuntor, para interrupção de uma 
falta trifãsica sem aterramento, é notadamente diferente da 
função destinada à interrupção de uma falta trifãsica com a 
terramento. Como observado na Seção 1.2, os interruptores em 
todos os três pólos devem atuar satisfatoriamente a umaten­
são de fase de 1,0 pu, com uma falta trifãsicacom aterra - 
mento.
Quando um disjuntor deve interromper uma falta tri­
fãsica sem aterramento, a primeira fase a ser interrompida 
"verã" uma tensão de recuperação de 1,5 pu. Isto é, no ins­
tante em que a corrente i zero, no pólo que interrompe pri­
meiro, a tensão de recuperação (diferença de potencial atra­
vés do interruptor no instante posterior ao de corrente ze­
ro) aproxima-se de 1,5 pu de tensão nominal de fase, devido 
ã troca de neutro. Os outros dois pólos vêem agora uma fal­
ta linha - a - linha e, no instante em que a corrente i nu­
la, após a interrupção da corrente, verão uma tensão linha- 
a - linha. Então, os dois interruptores em série vêem uma 
tensão de recuperação igual a /3 da tensão de fase. Dessa 
maneira, sob condições de equilíbrio, a função de cada in­
terruptor é relativamente menor do que a função requerida 
para uma falta trifãsica com aterramento.
Como observam Wilson e Harders, uma atuação satis­
fatória, em uma falta trifãsica sem aterramento, envolve
forças de interrupção diferentes no primeiro pólo e nos se­
guintes .
Se os pólos forem denominados A, B» C de acordooam 
a seqüência de fase do sistema, então, as sucessivas corren­
tes nulas de falta, nos interruptores A, B, C, estarão em 
seqüência. Conseqüentemente, a interrupção com êxito neces­
sita que pelo menos um pólo tenha uma capacidade de inter­
rupção igual ou maior que 1,5 pu de tensão na fase, e a for­
ça de interrupção combinada nos dois outros pólos, em se­
qüência, seja igual ou maior que /3 pu de tensão de fase.
Por exemplo, se a força de interrupção no póloB é 
maior que 1,5 pu, e a interrupção combinada de C e A é mai­
or que /3 pu da tensão de fase, então, o disjuntor pode a- 
tuar satisfatoriamente.
Para estudar o efeito da força de interrupção na 
abertura de disjuntores, Wilson e Harders propuseram quatro 
intervalos de variação desta força, como mostra o quadro a- 
baixo.
Evento Intervalo de Va- Força de Interrup- Probabili-
Interrupção riação do Evento ção mínima no dade de
em pu Intervalo Ocorrência
a 0 < V< 1,0 0 Pa
b 1,0< V< 1,5 1,0 pb
c 1,5 < V< 3 1,5 PC
d /3< V /3 pd
No exemplo da falta trifãsica com aterramento, to-
das as três interrupções devem estar nos intervalos b, c e
d.
O funcionamento perfeito no caso de falta trifãsi- 
ca sem aterramento é assegurado se todos os três pólos es­
tão nas categorias c ou d, mas, como observam Wilson e Har­
ders, outras combinações de eventos também podem resultar 
na abertura do disjuntor. Todas as combinações possíveis fo­
ram investigadas. Visto que cada pólo pode estar em cada u-
ma das quatro categorias, haverá 
Dos 64 eventos, 32 são favoráveis 
favoráveis (considçrando a fase A 
rompida).
Categorias do Evento In- 
Permutação terrupção
N9 Fase A Fase B Fase C
4x4x4 ou 64 permutações.
. Listamos os 32 eventos 
como primeira a ser inter-
Pirimeira Fase Tensão Mínima 
a ser inter- Combinada da 
rompida 1,5 pu 2; e 3? Fase
12 a c d B 1,732
16 a d d B 1,732
23 b b c C 2,0
24 b b d C 2,0
26 b c b B 2,0
27 b c c B 2,5
28 b c d B 2,73
30 b d b B 2,0
31 b d c B 2,5
32 b d d B 2,73
36 c a d A 1,732
38 c b b A 2,0
39 c b c A 2,5
40 c b d A 2,73
42 c c b A 2,5
43 c c c A 3,0
44 c c d A 3,23
45 c d a A 1,73
46 c d b A 2,73
47 c d c A 3,23
48 c d d. A 3,46
52 d a d A 1,73
54 d b b A 2,0
55 d b c A 2,5
56 d b d A 2,73
58 d c b A 2,5
59 d c c A 3,0
60 d c d A 3,23
61 d d a A 1,73
62 d d b A 2,73
63 d d c A 3,23
64 d d d A 3,46
Observação: A numeração das permutações é baseada em 1: a, 
a, a; 2: a,a,b; 3: a,a,c; 4: a,a,d; 5: a,b,a; 6: a,b,b; 
etc.
Observamos que a ordem é importante para os casos 
marginais: permutações como 12: a,c,d; 36:c,a,d e 45:c,d,a 
resultam em interrupção de falta, mas permutações como 15: 
a,d,c e 51: d,a,c e 57: d,c,a (não listados) não.Se a fa­
se com força de interrupção, na categoria d, ê a primeira a 
ser interrompida, então, a combinação das fases, na catego­
ria a e c, segundo o modelo de Wilson-Harders, não é sufi - 
ciente para interromper a tensão.
A probabilidade de sucesso é dada pela soma das pro­
babilidades dos 22 eventos (os eventos são mutuamente exclu­
sivos) :
P {Interrupção por falta trifãsica sem aterramento) =
- W 3pa+ 6pb + 3Pc + 3pd> + pc <3W +
+ 3pb>+ + 3pb
- Pc[Po + 3(pd (1+pb> + pb (pc+pb)).
+ Pd[Pd + 3(Pd <Pa+Pb> + Pb>.
Da mesma maneira, a probabilidade de falha pode ser 
obtida enumerando-se os termos correspondentes.
P {não interrupção por falta trifãsica sem aterramento }=
= P3 + P3 + 3P Tp, + P + P, (P + P, )1 a b a|_b c d a b J
Utilizando o mesmo exemplo numérico estudado na Se­
ção 1.2, mas considerando os dados, como na Figura 3, do Mo­
delo Wilson-Harders:
Pa = 0,00033 : Pfa = 0,100; PQ = 0,286; Pd = 0,61367 
(Observemos que Pd foi modificado para se tornar o comple-
mento de P + P, + P ) : a d c
P{ Falha na interrupção de falta trifãsica sem aterramento } = 
= 0/00144309 não aterrado
Comparando com o risco, no caso de falta trifãsica com ater­
ramento:
P {Falha na interrupção de falta trifãsica com aterramento} = 
= 0/0009897 aterrado.
Veremos que, de acordo com o modelo usado, a pro­
babilidade de falha na interrupção de faltas com aterramen­
to ê levemente menor que a probabilidade de falha na inter­
rupção de faltas sem aterramento. Observemos que a conclu­
são ê sensível ao grau de inclinação da probabilidade de fa­
lha na interrupção, versus tensão de recuperação.
APÊNDICE II
DISTRIBUIÇÕES
Para uma função densidade de probabilidade, f(x),o 
valor esperado da variável aleatória x ê designado por E{x}e 
é definido pela Equação II -100.
E{x} = y = \ x f (x) dx (11-100)O —00
A letra grega y é comumente usada para indicar o va 
lor esperado de uma variável aleatória, "y" é também denomi 
nada "média da população". Afirmamos, sem provar, que y ê o 
limite da média de uma amostra retirada da população ccm fun­
ção densidade de probabilidade dada, ã medida que o tamanho 
da amostra se torna arbitrariamente grande. Por exemplo,con­
sideremos a distribuição exponencial dada na Equação 11-101, 
com função densidade da probabilidade dada na 11-102. O va­
lor esperado de x, ou média da população, ê dada em 11-103; 
notamos que o parâmetro y, que aparece na Equação 11-102, é 
de fato, a média da população.
i _ ~ _ x / p ; x > o
F(x) = jo ; x < 0 (11-101)
f (x) = Íí/pe-x^’ x*°[0 ; x < 0 (11-102)
E{ x} = C°° X -x/y .\ — e Mdx = y
J o y
(11-103)
Queremos ressaltar as propriedades lineares do o- 
perador esperança. Estas propriedades podem ser ilustradas
da seguinte maneira: Primeiro, como mostra a Equação 11-104, 
a multiplicação de uma variável aleatória por uma constante, 
tal como um operador escalar, multiplica o valor esperado pe­
la mesma constante.
f°0
E {ax} = 1 ax f(x) dx = aE {x} (11-104)
Em seguida, a propriedade linear do operador espe­
rança aplica-se à soma de duas variáveis aleatórias. Sejam 
x e y duas variáveis aleatórias. Então, o valor esperado da 
soma de x + y é igual à soma do valor esperado de x, mais o 
valor esperado de y, como mostra a Equação 11-105.
E {x + y} = E{ x} + E {y} (11-105)
Uma forma generalizada do valor esperado de uma função de x 
é dada na Equação 11-106. Por exemplo, uma expressão, fre- 
qüentemente utilizada, envolve o valor esperado da diferen­
ça entre o valor de x e a média, elevada ao quadrado. Esta 
expressão é conhecida como a variança de população ou o qua­
drado do desvio padrão, e está representada na Equação II- 
107.
E{g(x)}= g (x) f (x) dx (11-106)vl_oo
E{(x - y)2} = E{x2-2yx + y2} (11-107)
= E{x2} + E{-2yx} + E{y2} (11-108)
= E{x2} - (E (x }) 2 (11-109)
A propriedade aditiva do operador esperança permite
ao fator quadrãtico dado na Equação 11-107, ser expandido
para a soma dos três termos da Equação 11-108. O primeiro
termo da Equação 11-108 ê o valor esperado do quadrado de x.
Neste caso, a função g(x), que aparece na Equação 11-106, é 
2 ~x . O segundo termo da Equaçao 11-104, e simplesmente acons 
tante (-2y) vezes o valor esperado de x. O terceiro termo da 
equação 11-108 dão valor esperado de uma constante. O valor es­
perado de uma constante é simplesmente igual ao valor desta 
constante. Com referência à definição do operador esperança 
dada em 11-100, advertimos que para uma constante, a função 
densidade de probabilidade seria sempre igual a zero, exce­
to para o valor x igbral à constante. Assim, com probabili­
dade 1, cada amostra retirada da distribuição de probabili­
dade para uma constante seria o valor desta constante.Deste 
modo, reconhecendo que y é o valor esperado de x, a Equação 
11-108 pode ser simplificada para a forma apresentada na E- 
quação 11-109. Por exemplo, a variância para a função de 
distribuição dada na Equação 11-101 pode ser desenvolvida , 
como nas Equações 11-110 e 11-111.
r- 2
Eíx2} = \ — e_x/,ydx = 2y2 (11-110)
j 0 y
EÍ(x-y)2} = EÍx2} - (Eíx}) 2=2y2 - y2=y2
CEI-lll)
Na Equação 11-110, para a distribuição exponencial, 
o valor esperado do quadrado de x é igual a duas vezes o 
quadrado do valor médio de x; a variância da distribuição
- , 2exponencial e dada pela Equaçao 11-111 e e igual a y .A dis­
tribuição exponencial na Equação 11-102, com valor esperado 
dado na Equação 11-103 e variância na Equação II-lll,i mui­
to utilizada para modelos de tempos de falha a tempo de re­
paro para razão de falha constante e processos de recupera­
ção. Neste caso, a razão é simplesmente igual ao recíproco 
do tempo médio para ocorrência do evento, tal como tempo mé­
dio de falha e ou tempo médio de reparo. Processos de razão 
de falha constante são a forma limite para um sistema com­
posto de muitos componentes. Para exemplificar, ver o arti­
go de R.F.Drenick,"The Failure Law of Complex Equipment" *.
* R.F. Drenick, "The Failure Law for Complex Equipment", 
Journal Society of Industrial and Applied Mathematics,Vol. 
8,N9 4 , Dezembro 1960, pp.680 - 689.
Uma amostra de distribuições freqtientemente encon­
tradas em aplicações estatísticas na Engenharia esta apre­
sentada na Tabela I. A primeira ê a exponencial jã discuti­
da. A distribuição uniforme representa a chance uniforme - 
mente provável da variável aleatória tomar valores dentro de 
um intervalo entre A e B. A próxima distribuição ê a Bino- 
mial, a qual se origina em testes com apenas dois resultados 
em N dispositivos, ou N testes em um sõ dispositivo. Se P ê 
a probabilidade de falha para um dos dispositivos ou testes, 
então, a distribuição de testes de falhas ê dada pela dis­
tribuição binomial. A distribuição de Poisson origina-se no 
estudo de ruído de choque, e a ocorrência de fenômenos ale­
atórios desse tipo, ê a razão segundo a qual pode ocorrer e- 
missão de partículas a partir de uma substância radioativa. 
Este ê também o modelo utilizado para estimar o numero de 
falhas que ocorrem durante um período especificado de tempo, 
onde y, neste modelo, e o numero esperado de falhas para o 
período de tempo, e n ê o numero de falhas observado.
A distribuição normal merece um lugar especial em 
estatística. A distribuição normal é a forma da soma de um 
grande número de variáveis aleatórias arbitrariamente dis­
tribuídas. Ê por esta razão que a distribuição normalé fre- 
qÜentemente considerada como o ponto de partida para a in­
vestigação da possível distribuição de um dado processo.Com 
média y e desvio padrão a, a distribuição normal ê dada na 
Tabela I e II, páginas 229 e 230 do "Statistics Manual"t
A variável dada nas Tabelas I e II é a "variável 
normalizada" transformada Z = (x-y)/a. Da Tabela I, notamos 
que a probabilidade de Z ser menor que 3,0 ê aproximadamen­
te 0,9987.
A distribuição seguinte, na tabela, é a distribui­
ção "t" de Student, a qual é usada para investigar a proba­
bilidade da razão do desvio da média amostrai pela media di­
vidida pela variância amostrai. *
* E.L.Crow, F.A.Davis, M.W.Maxfield, "Statistics Manual", Dover Pu- 
blications, New York, 1960.
Distribuição
Função Densidade de Pro- 
babilidade
Exponencial 1 e-x/yy
Uniforme 1B-A
Binomial xTTg^Tr PX(1 - p)n x
Poisson nl
Normal
- (X-U) 2 
1 e 2o2
/2tt a
"t" de Student , r(íí^) , f+i 1 l (1 + t2/f)" T “ 
/ü7 r (|)
Chi-quadrado 
JF de Snedecore
j. 2 (f/2-D-X2/2 
2 ^ 2 F (f/2) ÍX
- .fl*£2. £1 *2 Í£ Í
rt 2 > T - T ( P ) ^
T T T T T T 1 2 ?-ff7JF de Snedecore
Variação de
Função Média Variância
x > 0 p 2y
A < X < B
3 3 1 B -AJ
3 B-A
np
x=0,1/2— n
np(l-p)
n=0,l,2-- li P
- 00 < X < ao p o
f = 1 , 2 , 2 ---
— 00 < t < 00
f
T = 2
f = 1 , 2 , 3 ---
2 f0 < x < 00
f 1 ,f2 = l , 2 , 3 ---
2 f
0 < F < oo
Métodos Probabilísticos para Projeto e Planejamento de Sistemas Elétricos
Como ilustrado no "Statistics Manual", pãg. 45, a dis­
tribuição "t" de Student é de muita utilidade na comparação 
de duas medias amostrais, para testar se as duas amostras 
foram retiradas de uma mesma população.
A distribuição qui-quadrado descreve o modo como a so­
ma dos quadrados das variáveis aleatórias normalmente dis­
tribuídas, de uma amostra de tamanho f+1, ê distribuída.
A ultima distribuição é a F de Snedecore, a qual mede 
a variação da distribuição da razão entre duas variâncias 
calculadas de amostras de tamanhos f^+1, a do numerador, e 
f2+l, a do denominador. As distribuições "t" de Student rqui- 
-quadrado e F de Snedecore consideram as variáveis aleató­
rias como selecionadas de uma população fundamental que ê 
normalmente distribuída. As quatro ultimas distribuições da 
Tabela I serão utilizadas para ilustrar testes de signifi- 
cância para comparar medias e variâncias amostrais.
Até este ponto nos ocupamos com as propriedades linea­
res do operador esperança. Nenhuma informação sobre as pro­
priedades comuns das variáveis x e y foi considerada parade­
duzir a afirmação contida na Equação 11-105, de que a espe­
rança da soma ê igual â soma das esperanças de duas variã - 
veis aleatórias.
Quando desejamos o valor esperado do produto de duas 
variáveis aleatórias, devemos conhecer a distribuição con­
junta das duas variáveis. Usaremos a notação f(x,y) para in­
dicar a função densidade de probabilidade conjunta de duas 
variáveis aleatórias x e y. Agora, a operação esperança deve 
ser realizada sobre a variação de x e de y. A região conjun­
ta (x,y) naturalmente presta-se ã representação em coorde­
nadas cartesianas no plano x, y.
Necessitamos das seguintes definições para nossa dis­
cussão. A função de distribuição acumulada, F(X,Y) é defi­
nida comío:
f(x,y) dxdy— 00 —00 (11-112)
fpd (X.Y)
Funções de densidade marginal podem ser 
das para x e y separados como:
f (X)dx x
CX+dx f ~
= 1 \ f ( x ' y) dxdy
f (Y)dy - n
fY+dy
f(x,y) dxdy
-oo y
A independência exige que:
f(x,y) = f (x) . f (y)x y
yx = e {x } ■ r f
A média da variável aleatória, x, ê dada por:
x f(x,y) dxdy 
E, da mesma maneira, a média de y é dada por:
O
y f(x,y) dxdy
O
A covariância de x e y é definida como: 
cov(x,y) = E {(x-j^) (y-yy )}
yy = E{y} =
—00 —00
■ H '— OO — 00
determina-
(11-113)
(11-114)
(11-115)
(11-116)
(11-117)
(11-118)
fr-vx) (y-yy) f(x,y) dxdy (11-119)
O coeficiente de correlação, pxy, é definido como 
a relaçao entre a covariância e a raiz quadrada do produto 
das variâncias de x e y:
Í 00 poo
] <X“VX )2 f(x,y) dxdy (II-12Q)
p 00 pOO
ay = E{(y-U )2} = ] ] (y-u .) f(x,y) dxdy (11-121)—00 —00
Então, pxy = cov(x,y)/axcy (11-122)
0 coeficiente de correlação variará entre ± 1.
Duas variáveis aleatórias são não-correlacionadas se p=0.
Se x e y são perfeitamente correlacionadas (y=ax, 
neste caso, quando a é uma constante), então, o coeficiente 
de correlação é +1 se a>0, e -1 se a<0.
Expandirido a Equação 2.218, notamos que:
cov(x,y) = E{xy} - E{x}E{y} (11-123)
e, quando x e y são não-correlacionados, cov(x,y) = 0, por­
tanto,
E{ xy} = E {x } E {y }
Então, a variância de x+y, a soma de duas variáreis 
aleatórias, pode ser representada como segue:
var(x+y) = E {(x+y - E{x} - E{y})2} (H-124)
= E {(x- E {x })2+ (y-E{y})2+ 2(x-E{x}) (y-E{y}) }
=a 2+ a 2 + 2 cov(x,y) (11-125)x y
Se duas variáveis, x e y, são não-correlacionadas, 
a variânciade sua soma é igual à soma de suas variâncias.
Consideremos agora que as variáveis aleatórias, x 
e y, são ambas normalmente distribuídas. A variável x tem 
média yx e desvio padrão ax , e a variável y tem média y^ e 
desvio padrão a^. Por exemplo, a soma de x e y será normal­
mente distribuída com média igual à soma yx+y^ e com vari­
ância igual a dada pela Equação 11-125. A diferença entre x
e y será também, normalmente distribuída com média igual a
- 2 2y - y e com variancia igual a a + a - 2cov (x,y).*x y ̂ x y
Exemplo:
Se x ê uma variável aleatória normalmente distri­
buída com média 1000 kV e desvio padrão 50 kV, e y é uma va­
riável aleatória normalmente distribuída com média 900 kV e 
desvio padrão 45 kV, e, se x e y são não-correlacionados,en 
tão, a diferença x-y é uma variável aleatória normalmente 
distribuída com média igual a 1000 - 900 ou lOOkV e com des­
vio padrão igual a i/502 + 452 ou 67,26 kV.
Sejam x(t) e y(t) processos estocãsticos tais que, 
para algum t específico, os resultados ou valores assumidos 
por x e y são conhecidos apenas num sentido probabilístico. 
A média, covariância e correlação dos processos estocãsti - 
cos podem ser definidas como segue:
Média de x(t) e y(t):
yx (t) = E{x(t) } (11-126)
Vy (t) = E{y(t)} (11-127)
Variância de x(t):
ax2 (t) = e {(x(t) - yx (t))2} (11-128)
A autocorrelação de x(t^) e x(t2) ê definida como:
Rx x (tl,t2) = E{x(t1) x(t2)} (11-129)
e a relação cruzada dos processos estocãsticos x(t), y(t) 
definida como:
Rx y (tl ,t2) = E{x(ti) y(fc2)} (II-130)
A autocovariâncla de x(t^) e x(t2) é definida como:
S k ^ i ' ^ =E{(x(t1) - v>x (tj_)) (x(t2) - yx (t2^
e a covariância cruzada de x(t^) e yít^) é definida como: 
Scy^i'1̂ = - yy (t2))>
APÊNDICE III
REPRESENTAÇÃO GRÃFICA DE PROBABILIDADE
Uma considerável importância deve ser atribuída âs 
técnicas gráficas para a compreensão de processos probabilísti­
cos. Já aconteceu muitas vezes de um gráfico bem traçado 
fornecer informações mais satisfatórias do que se fossem a- 
presentadas sob forma algébrica. Um desses usos tem sido na a- 
plicação de gráficos de probabilidade, para auxiliar no re­
conhecimento da forma de uma distribuição acumulada. Dois 
métodos serão descritos para determinar uma distribuição a- 
cumulada, a partir dos dados apresentados na Tabela I, da 
vazão no mês de fevereiro no Rio St. John.
Ambos os métodos dependem de uma reordenação dos 
dados, do menor ao maior valor. Como mostra a Tabela II, o 
menor valor, 20.536 MW horas, ocorrido em fevereiro de 1944, 
é colocado em primeiro lugar. O segundo valor ê 21.900 MWho 
ras, ocorrido em 1948. Continuando a ordenação, o penúl­
timo valor é 170.920 MW horas, ocorrido em 1968 e ê coloca­
do em 379 lugar na lista. O maior valor ê 172.503 MW horas, 
e está colocado em 389 lugar. Os limites de variação entre 
o menor e o maior valor é a diferença entre eles: 172.503 - 
- 20.536 = 151.967 MW horas. A média, para os 38 anos, é 
77.297,13 MW horas. Estimativas para as distribuições cumu­
lativas estão contidas nas colunas 4 e 5 na Tabela II. As 
primeiras três colunas na Tabela II mostram o número de or­
dem, n, da menor até a maior vazão, isto ê, de 1 até 38, o 
ano de ocorrência e a vazão ocorrida.
Ano
1932
1933
1934
1935
1936
1937
1938
1939
1940
1941
1942
1943
1944
1945
1946
1947
1948
1949
1950
TABELA I
ENERGIA NATURAL SEGUNDO PROJETO HIDROELÉTRICO 
-MES DE FEVEREIRO
Energia Energia
MW horas Ano MW horas
96710 1951 172503
57292 1952 122457
26578 1953 134076
66454 1954 94196
52639 1955 167627
133661 1956 55059
116152 1957 34550
59725 1958 101759
38719 1959 41945
75565 1960 83465
69054 1961 28987
26756 1962 45900
20536 1963 42112
80847 1964 44330
54170 1965 64264
144961 1966 69493
21900 1967 45063
100353 1968 170920
107158 1969 69355
38
J 2 E = 2937291 
1
E = 77297,13
295.791.150.115
I E2-38 (E)2 68.746.981.666,1246
S2 = (^E2-38(E)2) = 1.858.026.531,5168
ã = 43104,8318 MW hora
S2- = 48.895.435,0399 a - = 6992,5270 MW horaX x
A coluna 4 é formada da seguinte maneira: (numero de ordem, 
n-1/2) / amostra total N=38. Este método atribui peso igual 
para cada observação. Para a amostra de 38 anos, a distri­
buição acumulada, estimada para o menor termo, ê 1/76.0 se­
gundo valor tem uma estimativa da distribuição acumulada de 
3/76 e assim por diante, até o 389 ou maior valor observado, 
o qual tem uma estimativa da função de distribuição acumu­
lada de 75/76.
Observemos que a função acumulada não assume valo­
res 0 e 1. É de nossa opinião que hã uma boa chance de que 
alguma outra amostra, ou uma amostra maior inclua pontos que 
estejam abaixo e acima dos limites observados na amostra de 
38 anos. O segundo método para estimar a função de distri­
buição acumulada é devido a Gumbel*. Ele considera o numero 
de ordem dividido pelo tamanho total da amostra mais um.En­
tão, a função de distribuição acumulada para o primeiro pon­
to ê 1/39, contrastando com 1/76 do primeiro método citado. 
0 método de Gumbel, então, atribui maior peso aos pontos ex­
tremos do grafico. Isto é, os pontos limites assumem um pe­
so maior. Isto significa que eles estão mais afastados de 
zero e um, do que no primeiro método citado. Gumbel aplica 
o segundo método a problemas onde hã o risco de ocorrências 
de valores extremos.
Considerando os dados amostrais selecionados de u- 
ma forma não-viciada ou aleatória, as amostras são conside­
radas não-correlacionadas? isto ê, no caso da vazão, não hã 
nenhuma ocorrência, devido a mudanças no terreno, inter­
ferência a longo prazo, ou variação do ciclo hidráulico.U- 
ma representação da distribuição acumulada, calculada pelo 
Método 1, estã na Figura 1. Os resultados da determinação 
da distribuição acumulada, pelos dois métodos, estão repre­
sentados na Tabela II. Enquanto a curva na Figura 1 é um
* E. J. Gumbel,"Statistical Theory of Extreme Values and So­
me Praticai Applications", U.S.Government Clearing House for 
Federal Scientific and Technical Information,Fevereiro 1954,PB 175818.
TABELA II
ENERGIA NATURAL SEGUNDO PROJETO HIDROELÉTRICO 
-MES DE FEVEREIRO
N9 de Função de Distribuição Acumulada
ordem Energia Método 1 Método 2
n Ano MW horas (n-1/2)/38 (n/39)
i 1944 20536 0,0132 0,0256
2 1948 21900 0,0395 0,0513
3 1934 26578 0,0658 0,0769
4 1943 26756 0,0921 0,1026
5 1961 28987 0,1184 0,1282
6 1957 34550 0,1447 0,1538
7 1940 38719 0,1711 0,1795
8 1959 41945 0,1974 0,2051
9 1963 42112 0,2237 0,2308
10 1964 44330 0,2500 0,256411 1967 45063 0,2763 0,2821
12 1962 45900 0,3026 0,3707
13 1936 52639 0,3289 0,3333
14 1946 54170 0,3553 0,3590
15 1956 55059 0,3816 0,3846
16 1933 57292 0,4079 0,4103
17 1939 59725 0,4342 0,4359
18 1965 64264 0,4605 0,4165
19 1935 66454 0,4868 0,4872
20 1942 69054 0,5132 0,5128
21 1969 69355 0,5395 0,5385
22 1966 69493 0,5658 0,5641
23 1941 75565 0,5921 0,5897
24 1945 80847 0,6184 0,6154
25 1960 83465 0,6447 0,641026 1954 94196 0,6710 0,6667
27 1932 96710 0,6973 0,6923
28 1949 100353 0,7237 0,7179
29 1958 101759 0,7500 0,7436
30 1950 107158 0,7763 0,7692
31 1938 116152 0,8026 0,794932 1952 122457 0,8289 0,8205
33 1937 133661 0,8553 0,8461
34 1953 134076 0,8816 0,8718
35 1947 144961 0,9079 0,8974
36 1955 167627 0,9342 0,9231
37 1968 170920 0,9605 0,9487
38 1951 172503 0,9868 0,9744
x = 77297,13
grafico útil para ilustrar a distribuição. 0 fato de que es­
ta é fortemente curva, motivou os autores a estudar outras 
maneiras de representação grafica, as quais tendem a re­
duzir distribuições cumulativas originando-se de tipos par­
ticulares de funções, para gráficos de linhas retas. Por e- 
xernplo, a Figura 2 ilustra um gráfico de "probabilidade nor­
mal". Observemos que a escala da distribuição acumulada foi 
estendida para refletir a pequena chance de ocorrência de va­
lores da variável longe da média. A distribuição acumulada, 
determinada pelo Método 1, para os dados da Tabela II, está 
representada na Figura 2. Aqui, os dados estão representa - 
dos mais em linha reta, do que na representação com proba­
bilidade linear, mas aindanão estamos certos de que a dis­
tribuição normal seria uma representação válida para a va­
zão. Nossa razão é, primariamente, baseada no fato de que a 
vazão deve ser um numero positivo. Enquanto há muitas dis­
tribuições que satisfazem esta condição, uma das mais inte­
ressantes é a log-normal, que aparece na Figura 3. Para a 
distribuição log-normal, o logaritmo da variável aleatória 
ê normalmente distribuído. Esta distribuição satisfaz a con­
dição de que a distribuição de uma variável assuma apenas 
valores positivos.
Observemos que a representação na escala log-nor - 
mal parece fornecer o "melhor ajusteV
O gráfico de probabilidade oferece uma maneira fá­
cil de representar dados observados e serve para se fazer 
previsões a respeito da variação provável e risco das vari­
áveis estarem num dado intervalo, isto é, limites de porcen­
tagens. Por exemplo, há um risco de 10%, baseado nos. dados 
da Tabela II, de que a vazão será menor que 27.000 MW horas. 
O autor recomenda que o Método 1 seja utilizado para esti­
mar a função de distribuição acumulada, se a distribuição de 
probabilidade básica é considerada normal. Hahn e Shapiro *
* G.J.Hahn, S.S.Shapiro, "Statistical Models in Engineerinçf 
John Wiley and Sons, New York, 1968.
observam que uma forma aproximada do valor esperado de um con­
junto de observações ordenado pode ser expresso por (n-c)/ 
(N-2c + 1) . O melhor valor de c depende da função densidade 
de probabilidade e do tamanho da amostra. Eles observam a- 
inda que o valor de c=0 ê o melhor para a função densidade 
de probabilidade uniforme; c=0 leva ao Método 2 descrito na 
Tabela II: n/(N+l). Finalmente, notam que c=i tem sido ge­
ralmente aceitável para uma grande variedade de distribui - 
ções e tamanhos de amostras; c=^ leva ao Método 1 descrito 
na Tabela II.
GRÁFICOS DE EXTREMOS
Gráficos de probabilidade podem ser usados para au­
xiliar na estimação de repetição provável de valores anu­
ais extremos , em variáveis atmosféricas baseada em dados an­
teriores. Dado um modelo atmosférico e um histórico de re­
gistros de informações superficiais, uma "variável atmosfé­
rica "pode ser determinada para cada dia, para uma hora es­
pecífica. O sistema de carga pode ser determinado a partir 
da soma de um termo de carga básica (o qual pode variar com 
o dia da semana e a estação), mais um termo de sensibili­
dade igual ao fator de demanda de resfriamento, vezes a va­
riável atmosférica. A variável atmosférica, então, forma um 
fator chave na previsão de valores extremos de demanda at­
mosférica.
Carga = Base + (Fator de demanda de resfriamento)(Va­
riável atmosférica)
Se dados atmosféricos são obtidos através do mode­
lo atmosférico, uma seqdência de valores de variáveis atmosfé­
ricas ê' determinada para cada estação, üm destes valores se­
rá o maior; a variável atmosférica diária variará entre os 
valores máximo e mínimo. Nossa atenção será dirigida para o 
valor máximo que a variável atmosférica assume na estação ; 
desejamos comparar este valor com o valor que poderia ter
resultado com condições atmosféricas, como derivado de ou­
tros anos. Se for feita uma simulação com as informações de 
registros atmosféricos para anos como de 1950 até 1970, en­
tão, as condições atmosféricas em alguns anos produzirão um 
valor extremo maior da variável atmosférica, comparado aos 
maiores valores de outros anos.
Um ponto de interesse considerável ê o risco de re­
petição de valores extremos da variável aleatória em anos fu­
turos. Consideremos duas suposições fundamentais: Primeiro, 
que o comportamento atmosférico de anos anteriores ê uma a- 
mostra representativa das condições atmosféricas que sãopos 
síveis de acontecer no futuro, isto é, o comportamento at­
mosférico forma um processo estocãstico estacionário; e,se­
gundo, que o modelo atmosférico básico será constante com o 
tempo, de tal modo que as mudanças na escala de carga atmos­
férica são medidas pelas mudanças rio fator de demanda.Estas 
suposições abrem caminho para a existência de uma função de 
distribuição acumulada, para melhor representar os valores 
extremos anuais observados da variável atmosférica.
E. J. Gumble, em seu trabalho "Statistical Theory 
of Extreme Values and Some Practical Applications", sugere 
um método para estimar a função de distribuição acumulada, 
dividindo o número de ordem do valor por um, mais o número 
total de observações. Os extremos anuais devem ser ordena­
dos do menor ao maior , e numerados de acordo. Então,para a 
amostra de vinte anos apresentada na Tabela III,a estimação 
da função de distribuição acumulada é feita dividindo o nú­
mero de ordem M por 21. Nesta tabela, o menor valor ê colo­
cado em primeiro lugar e o maior valor é colocado em última 
Gumble também sugere que o limite da distribuição cumulati­
va de extremos tende a exponencial da exponencial de umafun- 
ção de argumento: F(y) = e e . Um gráfico muito útil para 
os extremos pode ser construído plotando-se a função de dis­
tribuição acumulada em uma escala log(-log F) no eixo hori­
zontal, e uma função do valor extremo no eixo de ordenadas. 
Um gráfico deste tipo está representado na Figura 4, com o 
período amostrai de vinte anos de dados atmosféricos.
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da energia hidroelétrica
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40 60 80 100 120 140 160 180
ENER6IA AVALIADA EM MILHARES DE MW h
Capítulo 1 Apêndice III
O
Métodos Probabilísticos para Projeto e Planejamento de Sistemas Elétricos
EN
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Distribuição acumulada 
da energia hidroelétrica 
- Mês de fevereiro -
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P r o b a b i l i d a d e %
99,8 99,9 99,9
Capítulo 1 Apêndice III
TABELA III
EXTREMOS ANUAIS DA VARIÁVEL ATMOSFÉRICA
N9 de 
Ordem 
M
Variável 
Atmosférica 
Ajustada 
V. A.
F
Estimado
M/21
Período de 
Retomo: T 
1/íl-F)
y
■Zn (-£n F)
1 856 0,0476 1,05 -1,1133
2 907 0,0952 1,1053 -0,8550
3 918 0,1429 1,1667 -0,6657
4 926 0,1905 1,2353 -0,5057
5 931 0,2381 1,3125 -0,3612
6 954 0,2857 1,4000 -0,2254
7 956 0,3333 1,50 -0,0940
8 973 0,3810 1,6154 0,0355
9 987 0,4286 1,750 0,1657
10 998 0,4762 1,9091 0,2985
11 1002 0,5238 2,10 0,436
12 1003 0,5714 2,3333 0,5805
13 1007 0,619 2,625 0,7349
14 1023 0,6667 3,00 0,9027
15 1037 0,7143 3,50 1,0892
16 1065 0,7619 4,20 1,3022
17 1066 0,8095 5,25 1,5544
18 1092 0,8571 7,0 1,8698
19 1122 0,9048 10,5 2,3018
20 1231 0,9524 21,0 3,0202
- A variável é normalizada até julho, com aumento me­
dio de 2% no fator de demanda, por mes.
Nota
1200
1100
1000
900
800
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GRÁFICO DE EXTREMOS ANUAIS AJUSTADOS 
DA VARIAVEL METEOROLÓGICA
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0,75 0,80
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-3 -2 -1
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0 1
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2 3 4 5 6
C
a
pítulo 1 
A
pêndice III
Em adição à função de distribuição acumulada,o pe­
ríodo de retorno, ou número esperado de anos entre repeti­
ções sucessivas de um dado nível de valor extremo,está repre­
sentado na escala horizontal.O período de retorno em anos,nes­
te caso, é simplesmente o recíproco de um, menos a função de 
distribuição acumulada. T = 1/(1-F(y)). Por exemplo, se a fun­
ção de distribuição acumulada é 0,95, então, em algum ano fu­
turo selecionado ao acaso, o risco da variável atmosférica 
exceder o valor com a função de distribuição acumulada de 0,95 
é 1-0,95 ou 5%. Em vinte observações podemos esperar uma re­
petição em média; então, o "período de retorno" ê de vinte 
anos. Do mesmo modo, a variável