algebra e porta lógicas

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Capítulo 3 - Portas Lógicas e Álgebra Booleana 
Introdução: 
Os circuitos lógicos digitais operam no modo binário, onde os 
níveis lógicos de entrada e saída podem ser 0 ou 1; sendo 
que 0 e 1 representam faixas de tensões predefinidas. As 
portas lógicas constituem os circuitos lógicos fundamentais, 
que podem ser combinadas formando circuitos mais 
complexos, que podem ser descritos e analisados pela 
álgebra de Boole. 
3.1 Variáveis e Constantes Booleanas 
Uma variável booleana e uma quantidade que pode ser igual 
a 0 ou a 1 e representam o estado de uma tensão variável, ou 
seu “nível lógico”: 
0 Lógico 
(Nível Lógico 0) 
1 Lógico 
(Nível Lógico 1) 
Falso Verdadeiro 
Desligado Ligado 
Baixo Alto 
Não Sim 
Chave aberta Chave fechada 
A álgebra booleana é utilizada para exprimir os resultados ou 
saídas de circuitos lógicos e para manipular variáveis lógicas, 
com a finalidade de se obter o melhor circuito para uma 
determinada função lógica. Esta álgebra possui apenas três 
operações: 
1. Adição lógica, ou operação OR. Símbolo: (+) 
2. Multiplicação lógica, ou operação AND. Símbolo: (.) 
3. Complementação lógica, ou inversão, ou operação NOT. 
Símbolo: barra sobreposta ( ) 
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3.2 Tabelas-Verdade 
A maioria dos circuitos lógicos possui mais de uma entrada, e 
somente uma saída. A tabela-verdade nos mostra como a 
saída dos circuitos lógicos responde às combinações dos 
níveis lógicos de entrada: 
 Entradas Saída Entradas Saída 
 ↓ ↓ ↓ ↓ 
A B X 
0 0 ? 
0 1 ? 
1 0 ? 
1 1 ? 
A B C X 
0 0 0 ? 
0 0 1 ? 
0 1 0 ? 
0 1 1 ? 
1 0 0 ? 
1 0 1 ? 
1 1 0 ? 
1 1 1 ? 
3.3 Operação OR 
A B x = A + B
0 0 0 
0 1 1 
1 0 1 
1 1 1 
A
B x = A + B 
Porta OR
A expressão x = A + B deve ser lida como “x é igual a A ou B” 
As características fundamentais das portas OR e da operação 
lógica OR são: 
1. A operação OR resulta em 1 sempre que qualquer 
variável de entrada for 1. 
2. A operação OR resulta em 0 apenas quando todas as 
entradas forem zero. 
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Porta OR com 3 entradas: 
A B C x = A+B+C 
0 0 0 0 
0 0 1 1 
x = A + B + CA0 1 0 1 
0 1 1 1 
1 0 0 1 
1 0 1 1 
1 1 0 1 
1 1 1 1 
B
C
3.4 Operação AND 
A B x = A • B 
0 0 0 
0 1 0 
1 0 0 
1 1 1 
Porta AND
A
B x = A • B
A expressão x = A • B = AB deve ser lida como 
“x é igual a A e B” 
As características fundamentais das portas AND e da 
operação lógica AND são: 
1. A operação AND resulta em 0 sempre que qualquer 
variável de entrada for 0 (igual à multiplicação 
aritmética). 
2. A operação AND resulta em 1 apenas quando todas as 
entradas forem 1. 
 
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3.5 Operação NOT 
A x = A 
0 1 
1 0 
x = A A
Porta NOT
A expressão x = A deve ser lida como “x é igual a A barrado” 
ou “x é o complemento de A” ou “x é o inverso de A”. 
A saída da porta NOT ou inversor é sempre o oposto ao nível 
lógico da entrada. 
3.6 Circuitos Lógicos - Descrição Algébrica 
Qualquer circuito lógico, por mais complexo que seja, pode 
ser implementado pelas operações OR, AND e NOT: 
 A 
B 
C x = A • B + C 
 
 
 
A 
B 
C
x = (A + B) • C 
A
B
x = BA +A 
B 
x = A + B
 
 
 
 
 
Uma expressão onde existam as operações AND e OR, a operação 
AND é realizada primeiro, desde que não haja parêntesis. Havendo 
parênteses, a expressão entre eles é realizada primeiro. 
A expressão ( )BA + é diferente da expressão ( )BA + , a 
primeira significa que A e B foram somados por uma porta 
OR cuja saída foi aplicada a uma porta NOT, e a segunda 
significa que A e B foram invertidos e depois somados por 
uma porta OR. 
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3.7 Avaliação da Saída de Circuitos Lógicos 
O nível lógico da saída de um circuito digital pode ser obtido 
uma vez conhecida a equação boolena: 
1. Substituir o valor das variáveis dentro da expressão. 
2. Execute todas as inversões de um único termo. 
3. Execute as operações entre parênteses. 
4. Execute as operações AND antes de qualquer operação 
OR, respeitados os parênteses. 
5. Se uma expressão estiver “barrada”, execute as 
operações sob a barra e depois inverta o resultado. 
Determinação do Nível de Saída Através do Diagrama do 
Circuito: 
O processo consiste em se obter a saída de cada porta a 
partir dos níveis de entrada, até alcançarmos o resultado 
final. 
3.8 Implementação de Circuitos a Partir de Expressões 
Booleanas 
A expressão BCACBACy ++= pode ser implementada como 
a soma (uma porta OR) de três produtos (3 portas AND) com 
duas inversões (duas portas NOT): 
 
 
 
 BCACBACy ++= 
 
A 
 
 
B 
C 
AC
BC
 
 ABC 
 
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3.9 Portas NAND e NOR 
A B x = A + B
0 0 1 
0 1 0 
1 0 0 
1 1 0 
A
B x = A + B 
Porta NOR
Indica inversão 
A B x = A • B 
0 0 1 
0 1 1 
1 0 1 
1 1 0 
A
B x = A • B
Porta NAND
3.10 Teoremas Booleanos 
(1) x • 0 = 0 
(2) x • 1 = x 
(3) x • x = x 
(4) x • x = 0 
(5) x + 0 = x 
(6) x + 1 = 1 
(7) x + x = x 
(8) x + x = 1 
(9) x + y = y + x 
(10) x • y = y • x 
teoremas comutativos 
(11) x + (y + z) = (x + y) + z = x + y + z 
teoremas associativos 
(12) x(yz) = (xy)z = xyz 
(13a) x(y + z) = xy + xz 
(13b) (w + x)(y + z) = wy + xy + wz + xz leis distributivas 
(14) x + xy = x 
(15) x + xy = x + y 
 
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3.11 Teoremas de DeMorgan 
(16) ( ) yxyx •=+ úteis na simplificação de 
expressões lógicas(17) ( ) yxyx +=• 
 
 ( )yx + ( )yxyx +=• y 
x 
 
x 
y 
y 
x ( )yxyx +=• 
 
 
 ( )yx • ( )yxyx •=+ 
 
( )yxyx •=+ 
3.12 A Universalidade das Portas NAND e NOR 
Todas as equações boolenas são combinações das funções 
básicas OR, AND e NOT, que podem ser obtidas 
exclusivamente através da combinação de portas NAND: 
 
A AAAx =•= 
 
 
y 
x 
x 
y 
x 
y 
x = A
Porta NOT 
A
 
A AB x = AB 
B 
x = A • B
Porta AND 
A
B
 
A A 
x = A + B
Porta OR 
A x AB A B= = +
BB B 
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As funções básicas OR, AND e NOT também podem ser 
obtidas através da combinação de portas NOR: 
 
A AAAx =+= 
 
 
 
A 
B 
 
 
A 
 ABBAx =+= 
A x = A
Porta NOT 
A
A
B
Porta OR 
x = A + B
x = A • B
Porta AND 
BB 
 
 
3.13 Representações Alternativas das Portas Lógicas 
 
A x = A
NOT 
A 
B 
x = A • B
AND 
A 
B 
x = A + B
OR 
A 
B 
x = A • B
NAND 
A 
B 
x = A + B
NOR 
A
A
B
x = A • B A
B
x = A + B
A
B
x = A • B A
B
x = A + B 
x = A 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Os símbolos alternativos são obtidos da seguinte maneira: 
1. Inverta cada entrada e saída do símbolo padrão 
(adicionando ou retirando a bolha). 
2. Troque o símbolo OR por AND e AND por OR. 
Interpretação dos Símbolos Lógicos: 
Quando não existe a bolha de inversão em uma entrada ou 
saída de um símbolo lógico, esta linha é considerada 
“ativa no nível alto” ou ativa-Alto. Caso contrário, dizemos que 
a linha é “ativa no nível baixo” ou ativa-Baixo. 
 
A A saída vai para o nível BAIXO 
somente quando todas as 
entradas estiverem no nível alto 
x = A • BB 
ativo-ALTO Nível BAIXO é o nível ativo 
 
A saída vai para o nível alto 
quando qualquer uma das 
entradas estiver no nível baixo 
 
ativo-BAIXO Nível ALTO é o nível ativo 
 
3.14 Qual Representar Utilizar 
Em alguns casos, o uso dos símbolos alternativos facilita a 
análise do circuito. A escolha do nível ativo da saída vai 
depender da função executadapelo circuito. Sempre que 
possível, interligue saídas com bolhas de inversão a entradas 
com bolhas de inversão e saídas sem bolha de inversão a 
entradas sem bolha de inversão. 
 
AA 
B 
ABBx =+=
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3.15 Símbolos Lógicos “Padrão IEEE/ANSI 91-1984” 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Símbolos IEEE/ANSI para CI’s 
 
 1 2 1 1 2 
 
 3 4 3 4 
 
 5 6 5 6 
 
 9 8 9 8 
 
11 10 11 10 
 
13 12 13 12 
 7404 7404 
 
A x = A
A 
B x = A • B
A 
B x = A + B
A 
B x = A + B
A 
B x = A • B
1 
& 
≥1 
& 
≥1 
A simbologia IEEE/ANSI será mais útil na representação de 
dispositivos lógicos mais complexos. 
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