Análise de Tensões e Deformações em Solos (1)

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ANÁLISE DE TENSÕES E 
DEFORMAÇÕES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Izabel Christina Duarte Azevedo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Viçosa, abril de 2006 
 
ÍNDICE 
 
 
CAPÍTULO 1 – INTRODUÇÃO 
1.1 – Considerações gerais……………………………………............................
1.2 – Histórico…...………………………………………………........................
1.3 – Teoria da elasticidade………………………………………......…...…......
 1.3.1 - Experiências básicas – O teste de tração...........................................
 1.3.2 – Comportamento elástico e comportamento plástico dos materiais 
 1.3.3 – Hipóteses da teoria da elasticidade…………………………...........
1.4 – Organização do texto………………………………………………............
CAPÍTULO 2 – TENSÃO 
2.1 – Introdução…………….....…………………………………………............
2.2 – Definição de tensão - Tensão em um ponto………………………............ 
2.3 – Notação para tensões e convenção de sinal………………………..............
2.4 – Tensor de tensões………………………………………………………..... 
2.5 – Análise de tensões em 2 dimensões……………………..…………........... 
 2.5.1 – Mudança de eixos coordenados……….……………………...........
 2.5.2 – Tensões em um plano qualquer…………………………….............
 2.5.3 – Tensões principais – Tensão de cisalhamento máxima….................
 2.5.4 – Círculo de Mohr …………………………………..………............. 
 2.5.5 – Polo do círculo de Mohr …………………………………..……….
 2.5.6 – Exemplos........................…………………………………..……….
 2.6 – Análise de tensões em 3 dimensões…………………………………........... 
 2.6.1 – Mudança de eixos……………………………………………….......
 2.6.2 – Tensões principais……………………………………………..........
 2.6.3 –Tensão de cisalhamento máxima…………………………….............
 2.6.4 – Planos octaédricos - Tensões octaédricas…………………...............
 2.6.5 – Círculo de Mohr 3-D……………………………………………......
 2.6.6 – Exemplos............................................................................................
 2.6.7 – Tensões desviadoras (desviatórias).................................................... 
 2.7 – Equações diferenciais de equilíbrio…………....………………………........
 2.8 – Exemplos........................................................................................................
 
 
 
 
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40 
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77 
 
CAPÍTULO 3 – DEFORMAÇÃO E DESLOCAMENTO 
 3.1 – Introdução.......................................................................................................
 3.2 – Relações deformação-deslocamento.............................................................. 
 3.2.1 Relações deformação-deslocamento em coordenadas cartesianas......
 3.2.2 Relações deformação-deslocamento em coordenadas cilíndricas.......
 3.3 – Equações de compatibilidade.........................................................................
 3.4 – Estado de deformação em um ponto.............................................................. 
 3.5 – Análise de deformações em duas dimensões (2-D)....................................... 
 3.5.1 – Mudança de eixos coordenados........................................................
 3.5.2 – Deformações principais e planos principais de deformação............ 
 3.5.3 – Deformação cisalhante máxima....................................................... 
 3.6 – Análise de deformações em três dimensões (3-D).........................................
 3.6.1 – Deformações principais e planos principais de deformação – 
 Invariantes de deformação .............................................................. 
 3.6.2 – Deformação cisalhante máxima ...................................................... 
 3.6.3 – Deformações octaédricas..................................................................
 3.6.4 – Deformações desviadoras.................................................................
 3.6.5 – Deformação volumétrica..................................................................
 3.7 – Deformação térmica....................................................................................... 
 3.8 – Deslocamentos gerais.....................................................................................
 3.9 – Exemplos........................................................................................................
CAPÍTULO 4 – RELAÇÕES TENSÃO-DEFORMAÇÃO 
 4.1 – Introdução.......................................................................................................
 4.2 – Equações constitutivas................................................................................... 
 4.2.1 – Lei de Hooke ...................................................................................
 4.2.2 – Lei de Hooke generalizada...............................................................
 4.3 - Módulo de variação volumétrica.................................................................... 
 4.4 – Princípio da superposição...............................................................................
 4.5 – Exemplos........................................................................................................
CAPÍTULO 5 – FORMULAÇÃO DE PROBLEMAS EM ELASTICIDADE 
 5.1 – Introdução.......................................................................................................
 5.2 – Condições de contorno...................................................................................
 5.2.1 – Forças prescritas: 1o Problema de valor de contorno....................... 
 5.2.2 – Deslocamentos prescritos: 2o Problema de valor de contorno......... 
79 
79 
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124 
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 5.3 – Equações governantes em problemas 2-D..................................................... 
 5.3.1 – Problemas de deformação plana........................................................
 5.3.1.1 – Formulação em deslocamentos do problema de estado 
plano de deformação......................................................................................................... 
 5.3.1.2 – Formulação em tensões do problema de estado plano de 
deformação........................................................................................................................
 5.3.2 – Problemas de tensão plana................................................................ 
 5.3.2.1 – Formulação em tensões do problema de estado plano de 
tensão.................................................................................................................................
 5.3.2.2 – Formulação em deslocamentos do problema de estado 
plano de tensão..................................................................................................................
 5.3.3 – Problemas axissimétricos...................................................................
 5.4 – Equações governantes em problemas 3-D..................................................... 
 5.4.1 – Formulação em deslocamentos......................................................... 
 5.4.2 – Formulação em tensões....................................................................5.5 – Exemplos.........................................................................................................
CAPÍTULO 6 – TENSÕES DEVIDAS A SOBRECARGAS 
 6.1 – Introdução.....................................................................................................
 6.2 – Distribuição de tensões.................................................................................
 6.3 – Soluções da teoria da elasticidade................................................................
 6.4 – Ábaco de Newmark......................................................................................
 6.5 – Algumas considerações................................................................................
 6.6 – Trajetórias de tensão.....................................................................................
 6.7 – Exemplos......................................................................................................
CAPÍTULO 7 – ENERGIA DE DEFORMAÇÃO ELÁSTICA 
 7.1 – Conceitos fundamentais............................................................................... 
 7.2 – Energia de deformação elástica....................................................................
 7.3 – Cálculo de deslocamentos pelos métodos de energia...................................
 7.4 – Teorema de reciprocidade dos trabalhos e deslocamentos – Teorema de 
Maxwell.............................................................................................................................
 7.5 – Teorema de Castigliano................................................................................
 7.6 – Determinação de deflexões pelo Teorema de Castigliano........................... 
 7.7 – Exemplos......................................................................................................
APÊNDICE A..................................................................................................................
APÊNDICE B..................................................................................................................
APÊNDICE C..................................................................................................................
128 
128 
 
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137 
 
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150 
150 
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202 
205 
207 
211 
217 
217 
217 
222 
 
222 
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228 
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240 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS..........................................................................
 
252 
 
 
CAPÍTULO 1 
 
 
INTRODUÇÃO 
 
1.1 Considerações gerais 
 
Para se entender de modo satisfatório a solução de um problema, é necessário, primeiramente, 
compreender as hipóteses básicas envolvidas e as limitações que estas hipóteses podem impor 
às soluções obtidas. Isto é particularmente verdadeiro no campo da elasticidade, já que várias 
das equações obtidas são simples devido às severas restrições impostas: (a) às condições de 
contorno do problema, (b) ao comportamento dos materiais e, (c) aos limites de tensão ou de 
deformação que devem ser aplicados ao corpo em estudo. Exceder ou desprezar qualquer uma 
destas restrições ou limitações pode tornar uma equação inválida e pode levar a sérios erros de 
projeto (Sechler, 1952). 
A mecânica do contínuo é baseada em princípios governantes que independem da constituição 
interna do material. Entretanto, a resposta de um sistema submetido à ação de forças externas 
não pode ser determinada de forma única somente a partir das equações de campo 
governantes derivadas destes princípios. A constituição interna do material tem papel 
fundamental na mecânica do contínuo (Desai & Siriwardane, 1984). Deste modo, a resposta 
de um corpo sólido às forças externas é influenciada pela configuração geométrica do corpo e 
também pelas propriedades mecânicas do material. 
Para efeito de estudo, os corpos sólidos podem ser classificados em rígidos ou deformáveis. 
Nos corpos ditos rígidos, a distância relativa entre dois pontos quaisquer do corpo não varia 
sob a ação de forças. Nos corpos deformáveis, ao contrário, esta distância varia e o corpo 
sofre deformação. Embora, em muitos problemas da Mecânica seja possível desprezar o 
movimento relativo entre partes do corpo, os sólidos reais sempre se deformam, em maior ou 
menor grau, em conseqüência de solicitações atuantes (Villaça & Garcia, 1996). 
Corpos sólidos deformáveis podem ser classificados em plásticos e elásticos. O sólido plástico 
é aquele que, ao ser solicitado por uma força se deforma, mas quando a força é removida o 
corpo não retorna à sua configuração inicial, permanecendo, total ou parcialmente, em seu 
estado deslocado ou deformado. Uma argila lamacenta ou úmida representa, de modo 
satisfatório tal sólido plástico. 
O sólido elástico, ao qual o estudo clássico da elasticidade é normalmente devotado, também 
necessita de uma força para provocar deformação. Entretanto, quando a força que atua neste 
corpo é removida, este retorna à sua configuração inicial sem qualquer mudança em sua 
forma. A maioria dos materiais de Engenharia utilizados em construção satisfaz esta 
condição, dentro de certos limites de carregamento, e as equações da elasticidade são então 
válidas somente dentro destes limites. Além do limite de carregamento especificado, os 
materiais usuais da Engenharia entram em uma região, a qual, em geral, é parcialmente 
elástica e parcialmente plástica. Nesta região, algumas das equações da elasticidade não são 
mais válidas (Chou & Pagano, 1992). 
Denomina-se elasticidade a propriedade de um material pela qual um corpo dele constituído, 
deformado sob a ação de forças, uma vez cessada a ação dessas forças, retorna à sua 
 2
configuração original. Quando o retorno é apenas parcial, o material é dito elasto-plástico 
(Villaça & Garcia, 1996). 
A teoria da elasticidade diz respeito ao estudo sistemático de tensão, deformação e 
deslocamento em um sólido elástico sob a influência de forças externas, e é a este estudo que 
se limita este texto. 
 
1.2 - Histórico 
 
No final do século XVIII e no início do século XIX, movidos pelas demandas da revolução 
industrial, matemáticos e físicos conseguiram enormes avanços em suas ciências dando 
origem à chamada matemática-física (ou matemática aplicada, ou física aplicada), que 
permitiu a formulação da teoria da elasticidade. A grande dificuldade é que a análise 
matemática se fundamentava no conceito de espaço geométrico contínuo (cálculo diferencial 
e integral) e a física, fundamentada na teoria molecular Newtoniana (moléculas que se atraem 
e se repelem), admitia, no limite, os materiais descontínuos. O grande segredo foi descobrir a 
existência de infinitésimos de ordem superior ou de que existem pequeno e PEQUENO pois o 
limite matemático, apesar de extremamente pequeno, ainda podia ser considerado contínuo, 
pois continha um número grande de moléculas. Ensaios experimentais comprovaram a 
hipótese. 
A teoria da elasticidade foi desenvolvida em meados do século XIX pelos matemáticos e 
físicos franceses Cauchy, Navier e Poisson. Nomes como Galileu, Hooke, Bernoulli e 
Coulomb deram enormes contribuições a respeito da teoria da flexão de vigas e, 
principalmente, Lagrange, na teoria da flexão de lajes (ambos são casos particulares da teoria 
da elasticidade). Contribuições de destaque foram dadas por Lamé, Clapeyron, Saint-Venant, 
Kelvin e Timoshenko, entre outros. 
 
1.3 Teoria da elasticidade 
 
A resposta mecânica interna de um material pode ser expressa em termos de tensões e 
deformações. Para um material elástico, o estado de tensão é função somente do estado 
corrente de deformação. Um meio elástico retorna a sua configuração inicial após um ciclo de 
carregamento-descarregamento. Ou seja, não existe qualquer deformação permanente (ou 
plástica). 
Um material elástico pode ser não linear. Um caso especial é o de comportamento elástico e 
linear. A lei elástica e linear de Hooke é o exemplo mais simples de relaçãoconstitutiva. Para 
corpos tridimensionais, a lei de Hooke generalizada pode ser expressa como 
 
{ } [ ]{ }ε=σ C (1.1) 
 
em que {σ} representa as tensões, [C] as propriedades do material e {ε} as deformações. 
 3
Em geral, a relação para a lei elástica não linear pode ser expressa como uma relação única 
entre os estados de tensão e de deformação 
 
lkjiji f ε=σ i, j, k=1, 2, 3 (1.2) 
 
em que fij são funções. 
Freqüentemente, as leis e as equações básicas que governam problemas em Engenharia são 
determinadas com base na energia armazenada pelo corpo. Pode-se mencionar o potencial de 
um corpo em realizar trabalho com relação a uma configuração de referência, e do mesmo 
modo, o potencial de uma força realizar trabalho quando atua em um corpo. O corpo, ao se 
deformar, armazena energia interna devido à deformação sofrida. Existe uma relação definida 
entre o potencial da força gasto e a energia interna de deformação. A energia interna de 
deformação está geralmente relacionada ao meio e é freqüentemente utilizada na 
determinação de leis constitutivas ou de tensão-deformação (Desai & Siriwardane, 1984). 
Este assunto será tratado no Capítulo 7. 
 
1.3.1 – Experiências básicas – O teste de tração 
 
São apresentados os resultados de algumas experiências básicas sobre o comportamento dos 
metais. 
 
Ensaio à tração 
 
A relação entre tensões e deformações, para um determinado material, fica definida por meio 
de um ensaio de tração. É o ensaio mais simples de ser executado, o mais comum e o mais 
importante. 
Utiliza-se um corpo de prova típico do material, em geral uma barra de seção transversal 
circular, como mostrado na Figura 1.1. Mede-se cuidadosamente a área da seção transversal 
na parte cilíndrica central. Duas marcas são desenhadas no corpo do cilindro, separadas por 
uma distância L0. O corpo de prova é levado à máquina de ensaio e submetido à tração. À 
medida que o valor de P aumenta, a distância L0 entre as duas marcas também aumenta. 
Leituras da carga, do comprimento entre as marcas e/ou do diâmetro são registradas. Um 
extensômetro indica o valor de L, e o alongamento δ (diferença entre o comprimento final e o 
inicial, em cada estágio de carregamento) é anotado para cada valor de P. Em geral, é 
utilizado um outro medidor para aferir as alterações no valor do diâmetro do corpo de prova. 
Para cada par de valores lidos, P e δ, a tensão nominal σn é calculada como (Beer & Johnston, 
1996): 
 
0
n A
P
=σ (1.3) 
 4
 
em que A0 é a área da seção transversal inicial, e a deformação específica, ε, como 
 
0
0
L
)LL( −
=ε (1.4) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (a) (b) 
Figura 1.1 – (a) Ensaio à tração; (b) Diagrama tensão vs. deformação típico 
 
Como pode ser observado na Figura 1.1(b), a relação σn vs. ε é, inicialmente, linear. A teoria 
da elasticidade é válida até o ponto A, conhecido como limite de proporcionalidade, e a Lei 
de Hooke pode ser empregada. 
Após o ponto A, um aumento de carga faz com que a deformação aumente não mais 
linearmente com a tensão, mas, entretanto, o material permanece elástico, ou seja, com a 
remoção da carga o material volta à sua configuração inicial. Esta condição permanece até 
que o ponto B, conhecido como limite elástico ou limite de escoamento, seja atingido. A 
tensão correspondente ao início do escoamento é chamada tensão de escoamento. 
Na maioria dos materiais a diferença entre os pontos A e B é muito pequena. Podem-se 
considerar, então, os pontos A e B coincidentes. 
Em alguns materiais, o limite elástico ou de escoamento (ponto B) é indefinido e, neste caso, 
este valor é assumido como àquele correspondente a uma deformação permanente de 0,2 %. 
O valor da tensão convencional de escoamento é obtida tomando-se no eixo das abscissas a 
deformação específica ε=0,002, e, por este ponto, traçar uma reta paralela ao trecho linear 
inicial do diagrama até sua interseção com o diagrama. 
Além do limite elástico, ocorre uma deformação permanente ou deformação plástica. No 
ponto C a carga é máxima. A tensão neste ponto é a resistência à tração ou tensão última. Se 
em qualquer ponto entre B (limite elástico) e C (carga máxima) a carga é removida, o 
descarregamento será dado ao longo da linha paralela (B’C’) à parte elástica da curva. Nota-se 
σn 
p e 
D 
ε 
ε 
ε ε 
B’ C 
A
B
C’O 
P 
LL0 
P 
A0 
ΔL 
 5
que parte da deformação é recuperada e parte é permanente. Portanto, a deformação total é 
composta por duas parcelas: deformação elástica (εe ) e deformação plástica (εp). 
 
pe ε+ε=ε (1.5) 
 
O ponto D corresponde ao ponto de ruptura do material e a tensão correspondente é chamada 
tensão de ruptura. 
O diagrama tensão-deformação varia de material para material e depende da temperatura do 
corpo de prova e da velocidade de aplicação da carga P. Portanto, mesmo para um mesmo 
material, podem ocorrer resultados diferentes em vários ensaios. 
A partir de algumas características comuns aos seus diagramas tensão-deformação, os 
materiais podem ser divididos em duas categorias: dútil e frágil. 
Os materiais dúteis, que compreendem o aço estrutural e outros metais, se caracterizam por 
apresentar escoamento a temperaturas normais: atingido um valor crítico de tensão, o corpo 
de prova sofre uma grande deformação, com um pequeno aumento da carga aplicada. Quando 
o carregamento atinge um valor máximo, o diâmetro do corpo de prova começa a diminuir, 
devido à perda de resistência local. Esse fenômeno é denominado estricção. Depois de 
iniciada a estricção ou estrangulamento, um carregamento mais baixo é suficiente para 
continuar provocando deformação do corpo de prova. 
Materiais frágeis, tais como vidro, a maioria das rochas e ferro fundido, são caracterizados por 
uma ruptura que ocorre sem nenhuma mudança sensível no modo de deformação do material. 
Para este tipo de material, não existe diferença entre tensão última e tensão de ruptura e a 
deformação até a ruptura é muito menor do que nos materiais dúteis (Beer & Johnston, 1996). 
 
1.3.2 - Comportamento elástico e plástico dos materiais 
 
Um material tem comportamento elástico quando as deformações provocadas por 
determinado carregamento desaparecem com a retirada do carregamento. O limite de 
elasticidade do material corresponde ao maior valor de tensão para o qual o material ainda 
apresenta comportamento elástico. 
Os materiais elásticos ou reversíveis se comportam num ciclo fechado, isto é, a curva de 
carregamento/descarregamento volta a zero. Esse retorno ao ponto zero poderá se dar das 
seguintes maneiras (Figura 1.2): 
 
 
 
 
 
 
 6
 
 
 
 
 
 
 (a) (b) 
 
 
 
 
 
 
(c) 
Figura 1.2 – Materiais com comportamento elástico – Ciclo carregamento-descarregamento. 
(a) sem histerese: material Hookeano (linearmente elástico); (b) sem histerese: material não 
Hookeano; (c) com histerese 
 
Se o material atingir o escoamento e se deformar ao se retirar a carga, as tensões e 
deformações decrescem de modo linear, ao longo de uma reta CD paralela à reta AB da curva 
de carregamento (Figura 1.3). O valor de ε não volta a zero indicando que o material sofreu 
uma deformação permanente ou plástica. 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.3 – Materiais com comportamento plástico – Ciclo carregamento-descarregamento 
 
Para muitos materiais, a deformação plástica atingida não depende somente da tensão máxima 
a que o material foi submetido, mas também do tempo decorrido entre a aplicação e a retirada 
do carregamento. A parcela de deformação dependenteda tensão é denominada deformação 
lenta do material, enquanto que a parcela de deformação que depende do tempo de 
carregamento e da temperatura é conhecida como fluência. 
ε 
σ 
σ 
ε 
σ 
ε 
σ 
ε 
A D 
C 
B 
 7
Se, após um ciclo de carregamento-descarregamento, o corpo de prova é novamente 
carregado (carregamento-descarregamento-recarregamento), conforme mostrado na Figura 
1.4, a curva de recarregamento praticamente coincidirá com a curva de descarregamento, até 
pouco antes de atingir o ponto C, havendo aí um desvio da nova curva para a direita até 
encontrar o diagrama tensão-deformação original. O ramo retilíneo do novo diagrama será 
mais longo do que o do diagrama inicial e, portanto, os limites de elasticidade e 
proporcionalidade terão seus valores aumentados, como conseqüência da recuperação de 
resistência que ocorreu durante o carregamento inicial (Beer & Johnston, 1996). 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.4 – Materiais com comportamento plástico – Ciclo carregamento-descarregamento-
recarregamento 
 
1.3.3 - Hipóteses da teoria da elasticidade 
 
Vários materiais empregados na Engenharia possuem até certo ponto a propriedade da 
elasticidade. Se a estrutura atômica não for considerada e admitindo que a matéria de um 
corpo elástico é homogênea e continuamente distribuída no seu volume, a teoria da 
elasticidade pode ser aplicada. 
A teoria da elasticidade é válida, portanto, para os materiais que apresentem as seguintes 
propriedades: 
Reversibilidade de deformações: a deformação desaparece quando as forças que induzem 
seu aparecimento cessam de atuar. 
Por exemplo: se o limite de elasticidade for ultrapassado, o material passa a apresentar 
comportamento plástico e uma parcela das deformações é permanente. 
Homogeneidade: qualquer porção retirada do corpo apresenta as mesmas propriedades, ou 
seja, suas propriedades não dependem das dimensões do volume destacado do corpo. 
Por exemplo: diversas camadas de solos representam um material não homogêneo. 
Continuidade: o material ocupa continuamente o volume que lhe é atribuído (não sendo 
consideradas particularidades da microestrutura). 
Por exemplo: maciços rochosos fraturados representam um material descontínuo. 
Sabe-se, entretanto, que os materiais estruturais não satisfazem completamente às hipóteses 
acima. Em nível microscópico, o aço, por exemplo, é constituído por cristais de várias 
espécies com diferentes orientações. O material é não homogêneo, mas, entretanto, a 
σ 
ε 
A D 
C
B 
 8
experiência mostra que soluções da teoria da elasticidade, baseadas nas hipóteses de 
homogeneidade e isotropia, podem ser aplicadas às estruturas de aço com grande precisão. 
A explicação para este fato é que os cristais que constituem o aço são muito pequenos e 
existem milhões deles em um cm3. Enquanto as propriedades elásticas de um único cristal 
podem ser diferentes em direções diferentes, os cristais são distribuídos de forma aleatória e 
as propriedades elásticas de porções maiores do metal representam médias das propriedades 
dos cristais. Desde que as dimensões geométricas que definem a forma de um corpo sejam 
muito grandes em comparação com a dimensão de um único cristal, a hipótese de 
homogeneidade pode ser usada com grande precisão e, se os cristais forem orientados 
aleatoriamente, o material pode ser tratado como isotrópico. Quando, devido a certos 
processos tecnológicos, tais como laminação, uma certa orientação dos cristais no metal 
predomina, as propriedades elásticas do metal tornam-se diferentes em direções diferentes e a 
condição de anisotropia deve ser considerada (Desai & Siriwardane, 1984). Materiais 
isotrópicos são aqueles que apresentam as mesmas propriedades em todas as direções. 
Anisotropia diz respeito àqueles materiais que apresentam propriedades diferentes em cada 
direção. 
 
1.4 – Organização do texto 
 
No Capítulo 2, são definidos os conceitos de tensão em um ponto, de componentes de tensão, 
de estado de tensão em um ponto e as equações que governam a variação das tensões no 
espaço (equações de equilíbrio). 
No Capítulo 3, são definidos os conceitos de deformação e deslocamento, de componentes de 
deformação e estudam-se suas propriedades. 
No Capítulo 4, são discutidas as equações constitutivas para os materiais elásticos, que 
relacionam as componentes de tensão às componentes de deformação (lei de Hooke 
generalizada). 
No Capítulo 5, as equações governantes introduzidas nos capítulos anteriores são agrupadas e 
são apresentadas as formulações (em deslocamentos e em tensões) de problemas de 
elasticidade bidimensionais (deformação plana, tensão plana e axissimétricos) e 
tridimensionais. 
No Capítulo 6, estuda-se o efeito de sobrecargas sobre meio semi-infinito ou infinito, elástico, 
linear, isotrópico e homogêneo. 
No Capítulo 7, são apresentados os conceitos fundamentais de energia de deformação elástica, 
o cálculo de deslocamentos pelos métodos de energia, o teorema de reciprocidade dos 
trabalhos e deslocamentos (Teorema de Maxwell), o Teorema de Castigliano e os princípios 
variacionais da Mecânica dos Sólidos. 
No Apêndice A, apresenta-se a solução analítica de uma equação cúbica. 
No Apêndice B, apresenta-se um breve resumo sobre tensões geostáticas. 
No Apêndice C, são apresentados alguns conceitos sobre álgebra matricial. 
CAPÍTULO 2 
 
 
TENSÃO 
 
2.1 – Introdução 
 
Neste capítulo, será definido o conceito de tensão. Serão discutidos aspectos importantes da 
tensão, como estado de tensão em um ponto e as equações que governam a variação das 
componentes de tensão no espaço. Além das expressões analíticas, apresenta-se também uma 
representação gráfica da transformação das componentes de tensão. 
A teoria sobre tensão apresentada aplica-se a qualquer meio contínuo, isto é, sólidos elásticos 
ou plásticos, fluidos viscosos, não importando as propriedades mecânicas do material. 
 
2.2 – Definição de tensão – Tensão em um ponto 
 
Quando um corpo está submetido a um sistema de forças aplicadas externas, forças internas 
são induzidas no corpo. O comportamento do corpo, isto é, a variação de suas dimensões ou, 
em alguns casos, sua ruptura eventual, é, principalmente, uma função da distribuição das 
forças internas, que por sua vez, depende do sistema de forças externas. A resposta de um 
corpo a um sistema de forças externas pode ser estudada de modo mais conveniente 
agrupando as forças aplicadas em duas categorias: forças de massa e forças de superfície. As 
forças de massa (ou de volume) estão associadas à massa do corpo e estão distribuídas por 
todo o seu volume. Estas forças não resultam do contato direto com outros corpos e são 
especificadas em termos de força por unidade de volume. As forças gravitacional, magnética, 
de inércia (no caso de um corpo em movimento) e de percolação, são exemplos de forças de 
massa. Forças de superfície resultam do contato físico entre dois corpos e são definidas como 
força por unidade de área (Chou & Pagano, 1992). A pressão de um corpo sobre outro ou a 
pressão hidrostática são exemplos desta categoria de forças. 
A Figura 2.1 apresenta um corpo em equilíbrio estático. Sob a ação de um sistema de forças 
externas P1, P2…., Pn, forças internas serão produzidas entre as partes do corpo: 
 
 10
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.1 – Corpo em equilíbrio submetido à ação de forças externas 
 
Para estudar a grandeza destas forças em um ponto qualquer, O, imagine-se um plano 
passando através do corpo pela seção transversal AB, seccionando-o em duas partes, 1 e 2. 
Pela consideração de equilíbrio de qualquer das partes tomada isoladamente, conclui-se que 
surgem forças de interação entre elas, de mesma intensidade e de sentidos opostos, pelo 
princípio da ação e reação. Ou seja, pode-se afirmar que a parte 1 está em equilíbrio sob a 
ação das forças externas P1 a P4 e das forças internas distribuídas na seção transversal AB, que 
representam as ações do material da parte2 sobre o material da parte 1. Será admitido que 
forças internas são continuamente distribuídas ao longo da área da seção AB. A resultante das 
forças internas na parte 1 é denominada P12. 
Para que o corpo permaneça como um todo e para que seu equilíbrio seja mantido, a força P12 
deve ser oposta a uma força igual, P21, que corresponde à força que a parte 1 exerce na parte 
2: 
0PP
PP
2112
2112
=+
−=
 (2.1) 
 
De acordo com a lei fundamental da mecânica, quando um corpo está em equilíbrio sob a 
ação de forças externas, qualquer parte deste corpo deve estar em equilíbrio sob a ação das 
forças externas e internas nesta parte. Portanto, na Figura 2.1, a parte 1 está em equilíbrio sob 
a ação das forças externas P1, P2, P3, P4 e da força interna resultante P12, e a parte 2 está em 
equilíbrio sob a ação das forças externas P5, P6, P7, P8 e da força interna resultante P21.. 
Considere-se agora a seção transversal AB dividida em pequenas áreas, como mostrado na 
Figura 2.2. 
 
 
 
P21
P1
P2
P3 P4 P5
P6
P7
P8
P12
1 2
A
B 
O
y
x 
z 
 11
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.2 – Seção transversal AB dividida em pequenas áreas 
 
Qualquer que seja a distribuição de forças pela área total A, admite-se que a resultante das 
forças atuantes na área elementar ΔA (devidas à ação do material da parte 2 sobre o material 
da parte 1) que contém o ponto O, é ΔP. Em geral, a direção da força ΔP é inclinada em 
relação à área sobre a qual atua. Considerando que o vetor unitário, n̂ , define a direção da 
normal à área ΔA, a força ΔP pode ser decomposta em duas componentes: uma força normal à 
área, ΔPn, e uma força de cisalhamento, ΔPc, no plano da área elementar (Figura 2.3a). A 
força média por unidade de área, neste ponto será 
 
A
P
med Δ
Δ
=p (2.2) 
 
A tensão em um ponto na área ΔA é definida como o valor limite da força média por unidade 
de área quando a área ΔA tende a zero ou seja, 
 
A
Plim
0A Δ
Δ
=
→Δ
p (2.3) 
e, portanto, 
A
P
lim n
0An Δ
Δ
=σ
→Δ
 (2.4a) 
 
A
P
lim c
0An Δ
Δ
=τ
→Δ
 (2.4b) 
 
P1
P2 
P3 P4
1
A
B 
ΔA
ΔP
P12
y 
x 
z 
O 
 12
em que p é a tensão total em um ponto quando ΔA tende a zero no plano considerado, e σn e 
τn são, respectivamente, as componentes de tensão normal e de cisalhamento no ponto. A 
tensão de cisalhamento pode ser decomposta ainda em duas componentes no plano da área 
elementar ΔA, segundo duas direções perpendiculares, τns e τnt, conforme mostrado na Figura 
2.3b. 
A tensão p deve estar referida a um determinado plano. Se um outro plano diferente, passando 
pelo mesmo ponto do corpo (ponto O), tivesse sido considerado, o valor de ΔP neste plano e, 
conseqüentemente, o valor de p seriam diferentes. 
Conclui-se, portanto, que a tensão não é um vetor mas uma quantidade tensorial já que a 
magnitude e a direção não são suficientes para definir seu valor; um plano de referência 
também tem que ser estabelecido. 
 
 
 
 
 
 (a) (b) 
Figura 2.3 – (a) Componentes da força ΔP em ΔA. (b) Componentes da tensão total p em ΔA. 
σn: tensão normal; τns e τnt: tensões de cisalhamento segundo dois eixos perpendiculares, s e t. 
 
O estado de tensão em um ponto fica então definido se forem conhecidos os valores de p 
correspondentes às várias áreas elementares ΔA que passam pelo ponto. Como existem 
infinitos planos que passam pelo ponto, tem-se um número infinito de valores para p, que, em 
geral, são diferentes. Entretanto, estes valores de tensão relacionam-se uns aos outros através 
da lei de equilíbrio de Newton. Portanto, para determinar a tensão em um ponto é necessário 
especificar as tensões em três planos mutuamente perpendiculares que passam pelo ponto. A 
tensão em um plano arbitrário qualquer que passe por este ponto pode ser então determinada a 
partir das tensões conhecidas nos três planos perpendiculares. 
A mesma análise pode ser feita quando se considera a parte 2 do corpo da Figura 2.1. As 
tensões obtidas no ponto O serão de mesma intensidade e direção, mas com sentidos 
contrários. 
 
2.3 – Notação para tensões e convenção de sinal 
 
Diferentes convenções de sinal são empregadas na mecânica dos sólidos e na geomecânica. 
Em algumas aplicações, tensões normais de compressão são consideradas positivas, enquanto 
que em outras, tensões normais de tração são admitidas como positivas. Nesta apostila, será 
utilizada a convenção de sinal da geomecânica e, portanto, são consideradas positivas as 
tensões normais de compressão. 
ΔP
ΔPn 
ΔPc 
ΔA 
n̂ n̂
s τns
ΔA
t 
τnt τn 
σn
 13
Considere-se, por exemplo, que a direção da normal n̂ , mostrada na Figura 2.3a coincida com 
a direção do eixo x. A tensão total neste plano pode ser decomposta em uma componente 
normal, σx, e duas componentes de cisalhamento que atuam nas direções y e z, 
respectivamente, τxy e τxz, conforme mostrado na Figura 2.4. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.4 – Componentes da tensão total p em um plano x 
 
Como visto no item anterior, para definir cada componente de tensão é necessário definir o 
plano, normalmente designado pela direção da sua normal, no qual a componente atua. 
Portanto, os subscritos nas tensões definem a direção da normal ao plano e a direção da tensão 
de modo que a notação para as componentes de tensão indicadas nas Figuras 2.5(a), (b) e (c) é 
entendida como se segue: 
σxx = σx = tensão normal na face cuja normal tem a direção do eixo x (face x). 
σyy = σy = tensão normal na face cuja normal tem a direção do eixo y (face y). 
σzz = σz = tensão normal na face cuja normal tem a direção do eixo z (face z). 
τxz, τxy, τzx, τyx τyz,τzy = tensões cisalhantes, em que o primeiro subscrito designa a 
normal ao plano em consideração e o segundo indica a direção da tensão. 
Para facilitar a visualização do estado de tensão no ponto O, considera-se um cubo elementar 
com centro no ponto O. Na Figura 2.5 são mostrados os sentidos positivos das componentes 
de tensão que atuam nas faces do cubo, paralelas aos eixos coordenados, xyz. As forças de 
massa são omitidas na figura já que, no momento, só interessa estabelecer a nomenclatura 
para as tensões. As tensões atuantes nas faces do cubo diferem pouco daquelas que atuam no 
ponto O, e o erro cometido é muito pequeno, desaparecendo quando o lado do cubo tende a 
zero. 
z 
y 
τx 
p σx 
x≡ n̂
z 
τxz
y 
τxy
τx
 14
 
 
 
 
 
(a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(c) 
 
 
 
Figura 2.5 – (a) Sentidos positivos das componentes de tensão nas faces de um elemento 
infinitesimal cúbico; (b) Tensões nas faces positivas ou visíveis; (c) Tensões nas faces 
negativas ou invisíveis. 
y 
x 
σx 
τxy 
τxz σy 
τyz 
τyx 
σz
τzy 
τzx
z 
y 
z 
x 
σx
τxy 
τxz 
σz 
τzy 
τzx 
σy 
τyz 
τyx 
y 
x 
z
P 
dy 
dz 
dx 
O 
 15
2.4 – Tensor de tensões 
a) Em coordenadas cartesianas 
 
O estado de tensão em um ponto em um elemento 3-D é determinado por meio de nove 
quantidades, denominadas componentes de tensão, conforme as Figuras 2.5(a), (b) e (c): 
 
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
σττ
τστ
ττσ
=σ
zyzxz
zyyxy
zxyxx
 (2.5) 
 
Na realidade, nem todas as 9 componentes de tensão são independentes. Impondo a condição 
de equilíbrio de momentos em relação aos três eixos coordenados x, y, z: 
∑ = 0M x 
zyyz
xzxyzyxz
xyzyzyzy
0
2
dydzdy
2
dzdzdy
2
dydydx
2
dzdzdx
2
dydzdy
2
dzdzdy)dz(dydx
2
dydydx)dy(dzdx
2
dzdzdx
τ=τ
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛τ−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛τ+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛σ−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛σ+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛τ
+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛τ−τ−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛σ+τ+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛σ−
 
∑ = 0M y 
xzzxyzyxzx
xzxyxyzzxz
0
2
dxdzdx
2
dzdzdx
2
dxdydx
2
dzdzdy
dxdzdy
2
dzdzdy)
2
dz(dzdx
2
dxdzdx)dz(dydx
2
dxdydx
τ=τ
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛τ+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛τ−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛σ+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛σ−
τ−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛σ+τ+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛τ−τ+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛σ−
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 16
∑ = 0M z 
xyyx
yzyzxx
xyxyxyzxzy
0
2
dxdzdx
2
dxdydx
2
dydydx
2
dydzdy
dxdzdy
2
dydzdy)dy(dzdx
2
dxdzdx
2
dydydx
2
dxdydx
τ=τ
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛σ−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛τ−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛τ+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛σ+
τ+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛σ−τ−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛σ+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛τ−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛τ
 
Em resumo, 
 
xyyx
xzzx
zyyz
τ=τ
τ=τ
τ=τ
 (2.6) 
 
Existem três componentes de tensão de cisalhamento independentes das seis escritas 
anteriormente. Portanto, um estado de tensão tridimensional pode ser determinado a partir de 
6 componentes de tensão: 3 componentes normais, σx, σy, σz e 3 de cisalhamento: τyz, τxz, τyx. 
Essas quantidades são denominadas tensores e são sempre referidas a um sistema coordenado. 
 
b) Em coordenadas cilíndricas: 
 
Em coordenadas cilíndricas, considerando o eixo coordenado z como o eixo do cilindro, as 6 
componentes de tensão − 3 de tensão normal, σz, σr, σθ, e 3 de cisalhamento, τzr, τrθ e τzθ − 
estão mostradas na Figura 2.6. Impondo as condições de equilíbrio de momentos, demonstra-
se que τzr = τrz ; τrθ = τθr , τzθ = τθz. 
O ângulo θ é medido a partir de uma linha de referência que passe pela origem e que esteja 
contida no plano perpendicular ao eixo z. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 17
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.6 – Componentes de tensão em coordenadas cilíndricas 
 
2.5 – Análise de tensões em 2 dimensões 
2.5.1 – Mudança de eixos coordenados 
 
Se o campo de tensão referido a um sistema de eixos coordenados é conhecido, é possível 
determinar o campo de tensão referido a um outro sistema coordenado através de equações de 
transformação. Ou seja, se os eixos coordenados sofrerem uma rotação, o estado de tensão 
poderá ser representado por um conjunto diferente de componentes. 
Este assunto será tratado, inicialmente, no caso de tensões planas, ou seja, em situações em 
que duas faces paralelas do cubo elementar estão livres de tensões. Esta situação ocorre, por 
exemplo, em uma placa fina submetida a forças atuantes no plano médio da espessura da 
placa, ou ainda, na superfície de um elemento que não está sujeito a aplicação de uma força 
externa, conforme mostrado na Figura 2.7. 
Figura 2.7 – Tensões na superfície livre de: (a) um cubo elementar; (b) uma placa fina; (c) um 
corpo cilíndrico 
 
Considere-se um elemento infinitesimal com espessura unitária, em um ponto P, como mostra 
a Figura 2.8. 
σy 
σz 
τyz 
τzy 
P1 
P2 
σr 
σz 
σθ 
τrz
τrθ 
τθz 
τθr 
τzθ 
τzr 
x 
y
z 
θ 
dθ 
τθr τθr 
 18
Admitindo um campo de tensões bidimensional (2-D) no ponto P, dado pelas tensões σx ,σy e 
τxy, referidas ao sistema coordenado xyz, deseja-se conhecer as tensões σx’ ,σy’ e τx’y’ 
referidas a um outro sistema de eixos x’y’ que faz um ângulo θ com o sistema xy e que passa 
pelo mesmo ponto P. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (a) (b) 
Figura 2.8 – Mudança de eixos em elemento 2-D. (a)Componentes de tensão no plano x’; (b) 
Componentes de tensão no plano y’ 
 
De acordo com a lei fundamental da mecânica, todos os elementos de um corpo estão em 
equilíbrio se todas as forças, externas e internas, forem consideradas. Admitindo que a área 
da face do elemento cuja normal é x’ é A, então, 
 
θ=
θ=
=
sinAA
cosAA
AA
y
x
'x
 (2.7) 
 
Fazendo o equilíbrio de forças que atuam no elemento triangular da Figura 2.8(a) na direção 
x’, determina-se a tensão σx’. 
 
y
x
x’y’ 
σy 
τyx 
τxy 
τyx 
τxy 
σy 
σx σx 
θ
σy 
y 
x
x’
y’ 
σx’ τx’y’ 
τyx 
τxy 
σx θ 
O 
σy 
y 
x
x’
y’
σy’ 
τy’x’ 
τxy 
τyx 
σx 
θ O
 19
θτ+θσ+θσ=σ
=θθτ−θθσ−θθτ−θθσ−σ
′
′
2sinsincos
0sincosAsinsinAcossinAcoscosAA
xy
2
y
2
xx
xyyyxxx
 (2.8) 
 
Da mesma forma, considerando a área da face do elemento cuja normal é y’ (Figura 2.8b) 
igual a A, de modo que, 
 
θ=
θ=
=
cosAA
sinAA
AA
y
x
'y
 (2.9) 
 
e fazendo o equilíbrio de forças que atuam no elemento triangular da Figura 2.8(b) na direção 
y’, determina-se a tensão σy’: 
 
θτ−θσ+θσ=σ
=θθτ+θθσ−θθσ−θθτ+σ
2sincossin
0cossinAcoscosAsinsinAsincosAA
xy
2
y
2
x'y
xyyxyx'y
(2.10) 
 
A tensão de cisalhamento τx’y’ pode ser obtida através do equilíbrio de forças na direção desta 
componente de tensão a partir de qualquer das Figuras 2.8(a) ou 2.8(b): 
 
θτ+θσ−σ=τ
=θθτ−θθσ−θθτ+θθσ+τ
2cos2sin)(
2
1
0coscosAsincosAsinsinAcossinAA
xyxy'y'x
yxyxyx'y'x
(2.11) 
 
Este procedimento transportou a descrição do estado de tensão de um conjunto de planos (ou 
de um sistema de eixos) para outro. 
Portanto, a partir das equações 2.12, é possível determinar as componentes de tensão em um 
ponto referidas a qualquer sistema de eixos se forem conhecidas as componentes de tensão em 
relação a um sistema de eixos xy e o ângulo θ que os dois sistemas de coordenadas fazem 
entre si. 
 
θτ+θσ+θσ=σ ′ 2sinsincos xy
2
y
2
xx (2.12a) 
θτ−θσ+θσ=σ 2sincossin xy
2
y
2
x'y (2.12b) 
θτ+θσ−σ=τ 2cos2sin)(
2
1
xyxy'y'x (2.12c) 
 20
 
Na forma matricial, as equações 2.12 podem ser escritas como: 
 
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
τ
σ
σ
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
θθθ−
θ−θθ
θθθ
=
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
τ
σ
σ
xy
y
x
22
22
'y'x
'y
'x
2cos2sin
2
12sin
2
1
2sincossin
2sinsincos
 (2.13a) 
 
ou seja, 
 
{ } [ ] { }xy'y'x T σ=σ σ (2.13b) 
 
{ } 'y'xσ - componentes de tensão referidas ao sistema x’y’ 
[ ]σT - matriz de transformação de tensões do sistema xy para o sistema x’y’ 
{ }xyσ - componentes de tensão referidas ao sistema xy 
 
2.5.2 – Tensões em um plano qualquer 
 
Considere-se um elemento infinitesimal, de espessura unitária, em um ponto qualquer O, 
submetido a um campo de tensões bidimensional, como mostra a Figura 2.9. Se as 
componentes de tensão no ponto forem conhecidas, a tensão que atua em um plano qualquer, 
passando por este ponto, pode ser calculada utilizando as equações da estática. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.9 – Tensões em um plano qualquer - 2-D. 
 
 
σy 
y
x
σθ 
τθ 
τxy 
τyx 
σx 
θO
A 
B 
 21
Admitindo que a área da face AB é Aθ, então Ax é a área da face cuja normal é o eixo x e Ay é 
a área da face cuja normal é o eixo y, de tal forma que: 
 
θ=
θ=
θ
θ
cosAA
sinAA
y
x (2.14) 
 
Impondo a condição de equilíbrio estático ao elemento, obtêm-se os valores das componentes 
de tensão normal, σθ, e de cisalhamento, τθ, na face AB: 
 
θτ−θσ+θσ=σθ 2sincossin xy
2
y
2
x (2.15a) 
θτ+θσ−σ=τθ 2cos2sin)(2
1
xyxy (2.15b) 
 
que, na forma matricial, as equações 2.15 podem ser escritas como: 
 
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
τ
σ
σ
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
θθθ−
θ−θθ
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
τ
σ
θ
θ
xy
y
x22
2cos2sin
2
12sin
2
1
2sincossin
 (2.16a) 
 
ou seja, 
{ } [ ] { }xyR σ=σ θ (2.16b) 
 
 θ - ângulo entre a normal n̂ ao plano e o eixo x. 
{ }θσ - componentes de tensão em um plano qualquer cuja normal forma um ângulo θ com o 
eixo x. 
[ ]R - matriz de transformação de tensões do sistema xy para um plano qualquer θ. 
{ }xyσ - componentes de tensão referidas ao sistema xy 
O estado de tensão em um ponto pode ser descrito em termos das tensões que atuam em 
qualquer plano inclinado. Estas tensões são equivalentesao estado de tensão no ponto, 
porque elas, independentemente dos planos em que atuam, mantêm o equilíbrio do elemento. 
 
 
 
 
 22
2.5.3 – Tensões principais – Tensão cisalhante máxima 
 
Quais são os valores máximos e mínimos das tensões normal e de cisalhamento em um 
determinado ponto e em que planos estes valores ocorrem? 
Para se determinar a orientação dos planos de tensão normal máxima e mínima, diferencia-se 
a equação 2.15a em relação ao ângulo θ e iguala-se o resultado a zero de tal modo que: 
 
02cos22sin)( xyyx =θτ+θσ−σ−=θ∂
σ∂ θ (2.17) 
yx
xy
p
2
2tan
σ−σ
τ
=θ (2.18) 
θp é contado positivamente a partir do eixo x no sentido anti-horário, conforme a Figura 2.9. 
A equação 2.18 tem duas raízes, ou seja, há dois valores de (2θp) que diferem de 180o: o 
primeiro, entre 0o e 180o e o segundo entre 180o e 360o. Deste modo, os dois valores de θp 
diferem de 90o: um entre 0o e 90o e o outro entre 90o e 180o. Um desses valores acarreta um 
valor máximo para a tensão σθ e o outro, um valor mínimo. Estas duas tensões ocorrem, 
portanto, em planos perpendiculares. As tensões normais nestes planos, denominados planos 
principais, são chamadas tensões principais e são representadas usualmente por σ1 e σ2. A 
convenção adotada para as tensões principais é que σ1 > σ2. 
Comparando a equação 2.17 com a equação 2.15b, observa-se que a tensão cisalhante nos 
planos principais é nula. 
A substituição dos dois valores de θp, encontrados a partir da equação 2.18, na equação 2.15a, 
fornece os valores da duas tensões principais para qualquer caso particular. Da equação 2.18 
vem: 
( )
( ) 2xy2yx
xy
p
2
xy
2
yx
yx
p
4
2
2sin
4
2cos
τ+σ−σ
τ
±=θ
τ+σ−σ
σ−σ
±=θ
 (2.19) 
 
Substituindo as expressões acima na equação 2.15a obtem-se: 
 
 23
2
xy
2
yxyx
min2
2
xy
2
yxyx
max1
22
22
τ+⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ σ−σ
−
σ+σ
=σ=σ
τ+⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ σ−σ
+
σ+σ
=σ=σ
 (2.20) 
 
O fato de σ1 e σ2 serem os valores máximo e mínimo de σθ (equação 2.15a) pode ser 
verificado a partir da derivada segunda da equação 2.15a, avaliada com as duas raízes de θ 
(equação 2.18). 
Os planos em que a tensão de cisalhamento é máxima podem ser determinados diferenciando 
a expressão para τθ (equação 2.15b) em relação a θ e igualando a expressão resultante a zero: 
 
02sin22cos)( xyxy =θτ−θσ−σ=θ∂
τ∂ θ (2.21a) 
yx
xy
xy
xy
c
22
2gcot
σ−σ
τ−
=
σ−σ
τ
=θ (2.21b) 
 
As duas raízes de (2θc) na equação 2.21b também definem um conjunto de planos 
perpendiculares, de tal modo que as tensões de cisalhamento nestes dois planos são iguais. 
Comparando-se as equações 2.18 e 2.21b, observa-se que pc 2tg2gcot θ−=θ , concluindo-se, 
portanto, que (2θc) e (2θp) devem diferir de 90o. Assim, os planos de tensão máxima de 
cisalhamento fazem 45o com os planos principais. Estes resultados estão ilustrados na Figura 
2.10. 
Substituindo o valor de (2θc), dado pela equação 2.21b, na equação 2.15b, tem-se: 
 
2
xy
2
yx
max 2
τ+⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ σ−σ
±=τ (2.22a) 
2
21
max
σ−σ
=τ (2.22b) 
 
Nos planos de tensão máxima de cisalhamento, a tensão normal é dada por: 
 
2
yx
c
σ+σ
=σθ (2.23) 
 24
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.10 – Planos de tensão máxima (normal e de cisalhamento) 
 
2.5.4 – Círculo de Mohr 
 
Uma representação gráfica simples, que fornece uma visão geral do estado de tensão em um 
ponto do meio contínuo, pode ser dada às equações 2.15 e 2.20. 
Um método alternativo para a solução de problemas envolvendo a transformação de tensões 
planas foi desenvolvido por Mohr e o círculo da tensão 2-D é conhecido como Círculo de 
Mohr. 
A Figura 2.11 apresenta uma situação bidimensional de tensões no plano xy. As componentes 
de tensão σx, σy e τxy são conhecidas. O círculo de Mohr consiste em: 
i) Estabelecer um sistema de eixos, que deverão estar na mesma escala, no qual as 
abcissas são as tensões normais, σ, e as ordenadas são as tensões de cisalhamento, τ. 
ii) Definir o ponto A marcando, por exemplo, os valores σx e τxy. Admite-se σx>σy. O 
sinal da tensão de cisalhamento τxy é determinado segundo a convenção indicada na Figura 
2.11b: marca-se um ponto fora do plano, e verifica-se qual o sentido de rotação que a tensão 
cisalhante teria ao redor deste ponto. O sentido horário é, por convenção, positivo. Esta 
convenção é utilizada somente no desenho e na interpretação do círculo de Mohr. Portanto, a 
tensão τxy deve ser marcada como um valor negativo no círculo de Mohr. 
iii) Definir o ponto B da mesma maneira que foi feita para o ponto A. Neste caso, τyx é 
marcada positivamente já que tem sentido de rotação horário. 
iv) Ligar os pontos A e B localizando o centro do círculo no ponto C; 
v) Desenhar o círculo de Mohr com centro em C e raio igual a CA ou CB; 
O diâmetro AB do círculo representa o campo de tensão referido ao sistema de eixos 
coordenados xy. Qualquer outro diâmetro do círculo tal como A’B’ representa um campo de 
tensão referido a um outro par de eixos, x’y’, girados em relação aos eixos originais de um 
ângulo β qualquer. 
Os pontos correspondentes às tensões principais estão indicados na Figura 2.11c, nos planos 
em que as tensões de cisalhamento são nulas. Os pontos que correspondem às tensões máxima 
e mínima de cisalhamento também estão indicadas na mesma figura. 
45
σ1
σ1 
σ2
θp 
x
σ2 
 25
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (a) (b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (c) 
Figura 2.11 – (a) Estado bi-dimensional de tensões no plano xy; (b) Convenção de rotação das 
tensões cisalhantes no círculo de Mohr; (c) Círculo de Mohr 
 
 
y 
x
τxy 
σx 
θ 
O 
σy 
σθ τθ 
τyx 
+
-
+
τxy 
τyx 
y
x 
B
A
C
O σ2, G F, σ1
σy 
σx 
D
H
I
A
B’
E σ 
τ
2θp
2δ
2β 
2δ
2θp2 
 26
SEGUINDO O ROTEIRO: 
 
i) estabelece-se o par de eixos (τ, σ); 
ii) marca-se o ponto A (σx, -τxy) 
iii) marca-se o ponto B (σy, τyx) 
iv) centro do círculo 
 
2
OC yx
σ+σ
= 
v) raio do círculo: 
 
22 ADCDCBCAraio +=== 
em que: 
 
xy
yx
yx
y
x
AD
22
EDCDED
OE
OD
τ−=
σ−σ
==⇒σ−σ=
⎭
⎬
⎫
σ=
σ=
 
e, portanto, 
 
2
xy
2
yx
2
CBCAraio τ+⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ σ−σ
=== 
 
Tensões principais: 
 
São as tensões normais máxima e mínima. Atuam nos planos em que as tensões de 
cisalhamento são nulas: 
 
 • no círculo de Mohr os pontos em que a tensão de cisalhamento é nula são: 
 
- ponto F: σ1 é a maior tensão principal 
- ponto G: σ2 é a menor tensão principal 
 
 27
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
τ+⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ σ−σ
+
σ+σ
=σ
+=σ
2
xy
2
yxyx
1
1
22
raioOC
 
 
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
τ+⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ σ−σ
−
σ+σ
=σ
−=σ
2
xy
2
yxyx
2
2
22
raioOC
 
 
Ângulos principais: 
 
2p1p e θθ 
 
0
1p2p 90queem +θ=θ 
 
Tensão de cisalhamento máxima: 
 
A metade do diâmetro HI representa a localização e a magnitude da tensão de cisalhamento 
máxima, cujo valor é dado por: 
 
2
,ou
2
raio
21
máx
2
xy
2
yx
máx
σ−σ
=τ
τ+⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ σ−σ
±==τ
 
 
A tensão de cisalhamento máxima ocorre sempre em um plano a 45o do plano principal. 
 
Tensões em um plano qualquer: 
 
O campo de tensões referido a um outro par de eixos x’y’, girado de um ângulo β em relação 
aos eixos originais xy, representado no círculo de Mohr pelo diâmetro A’B’, é dado por: 
 
 28
 • ponto A’ 
 
 - tensão normal 
 
)2(cos'CAOC'A δ+=σ 
 
OC – centro 
CA’ = CB’ = raio 
)2cos(
22
2
xy
2
yxyx
'A δτ+⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ σ−σ
+
σ+σ
=σ 
 
 - tensão de cisalhamento 
 
)2(sin'CA'A δ=τ 
 
)2sin(2
2
xy
2
yx
'A δτ+⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ σ−σ
=τ 
 
 • ponto B’ 
 
 - tensão normal 
 
)2(cos'CBOC'B δ−=σ 
ou seja, 
)2cos(
22
2
xy
2
yxyx
'B δτ+⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ σ−σ
−
σ+σ
=σ 
 
 - tensão de cisalhamento 
 
)2(sin'CB'B δ=τ 
 29
)2sin(
2
2
xy
2
yx
'B δτ+⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ σ−σ
=τ 
σA’ e σB’ atuam em planos ortogonais e no círculo de Mohr estão defasadas de 180o. 
 
2.5.5 – Polo do círculo de Mohr 
 
Um método mais direto para determinar tensões representadas pelos pontos no círculo de 
Mohr e seus respectivos planos é denominado método do polo (Beer & Johnston, 1996; 
Ortigão, 1993). 
O polo do círculo de Mohr é uma construção gráfica auxiliar que permite determinar o ponto 
do círculo correspondente a um plano cuja direção seja conhecida, ou vice-versa. Este método 
consiste em encontrar um único ponto no círculo de Mohr, o polo (P na Figura 2.12), tal que o 
ângulo entre quaisquer duas linhas traçadas a partir do polo a qualquer um dos dois pontos 
1(σx, τxy) e 3(σθ, τθ) será o mesmo que o ângulo entre as normais aos planos nos quais elas 
atuam. Dito de outro modo, uma linha traçada a partir de qualquer ponto conhecido no círculo 
de Mohr paralela ao plano no qual o estado de tensão atue, interceptará o círculo de Mohr no 
polo. 
i) Determinar a localização do polo tomando um ponto no círculo de Mohr cujo plano 
correspondente tenha direção conhecida como é o caso do ponto 1 do círculo da 
Figura 2.12. 
ii) A partir deste ponto, traça-se uma paralela ao plano. O polo será determinado na 
interseção desta paralela com o círculo de Mohr, como indicado no ponto 2. 
iii) Uma vez determinado o polo, torna-se muito fácil obter, para qualquer plano, o ponto 
correspondente no círculo de Mohr. Para isto, traça-se, a partir do polo, uma paralela à 
face em que atuam as tensões σθ e τθ, cujos valores se desejam. Esta paralela cortará o 
círculo no ponto 3, que fornece graficamente o valor das tensões σθ e τθ. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FONTE: Ortigão, 1993 
Figura 2.12 – Determinação de σθ e τθ através do processo gráfico do polo 
σθ 
τθ 
σy σx τyx 
τxy 
1 
2
(σx, τxy) 
(σy, τyx) 
Polo P
3
τθ 
σθ 
τ 
σ C 
 30
2.5.6 – Exemplos 
 
1 - Um elemento está sujeito às seguintes tensões planas, conforme a figura abaixo: 
 
2
xy
2
y
2
x
cm/kgf4000
cm/kgf0006
cm/kgf00016
=τ
=σ
=σ
 
 
Obter, através do círculo de Mohr e das expressões apresentadas neste capítulo: 
a) as tensões e os planos principais 
b) as tensões em um elemento a 45o com o plano onde atua σx 
c) as tensões máximas de cisalhamento, os planos em que atuam e as tensões normais nestes 
planos 
 
Mostrar cada resultado em um diagrama. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O 
y 
x
6000 
16000 
4000 
4000 
4000 
4000 
16000 
6000 
 31
Resolução 
 
Utilizando o círculo de Mohr 
 
De acordo com a convenção adotada no círculo de Mohr para o sentido positivo da tensão de 
cisalhamento: 
 
 • ponto A: 
⎩
⎨
⎧
−=τ
=σ
4000
16000
xy
x 
 
 • ponto B: 
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=τ
=σ
4000
6000
yx
y 
 
 • centro do círculo: 11000
2
600016000
2
OC yx =+=
σ+σ
= 
 
 • raio do círculo: cm6403raio)4000(
2
600016000raio 2
2
=∴+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −= 
 
a) tensões e planos principais: 
 
oo
2p
o
1p
2
2
2
1
1099019
19
cm/kgf4600
cm/kgf17400
≅+≅θ
≅θ
≅σ
≅σ
 
 
b) tensões em um elemento girado de 45o em relação ao elemento dado: 
 
 - ponto E: 
 
2
9045
2
9045
cm/kgf5000
cm/kgf15000
0o
0o
≅τ
≅σ
+
+ 
 32
 
 - ponto F: 
 
2
45
2
45
cm/kgf5000
cm/kgf7000
o
o
−≅τ
≅σ
 
 
c) tensões máximas de cisalhamento e planos em que atuam: 
 
000
2c
0
1c
2
2
max
1549064
64
cm/kgf11000OC
cm/kgf6403raio
=+≅θ
≅θ
==σ
==τ
 
 
θc1 é o ângulo entre o plano em que atua σx e um plano de tensão cisalhante máxima e θc2 é 
ângulo entre o plano em que atua σy e outro plano de tensão cisalhante máxima (no sentido 
horário, a partir do ponto A, θc2= - 260). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A
B
CO σ2 σ1
σθ45
σy 
E
σ 
τ 
2θc1 
2θp2 
2θ45 2θp1 
τθ45
σx
τmax
τA 
τB 
F
τE 
τF 2θc2 
 33
Utilizando as expressões 
 
a) tensões e planos principais: 
 
- tensões principais: das equações 2.20, 
 
2
2
2
2
2
2
1
2
2
1
cm/kgf5964)4000(
2
600016000
2
600016000
cm/kgf40317)4000(
2
600016000
2
600016000
=σ∴+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −−
+
=σ
=σ∴+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −+
+
=σ
 
 
- direções principais: da equação 2.16, 
 
o
1p1p 3,19)600016000(
4000x2arctg
2
1
=θ∴⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
=θ 
 
o
2p
oo
2p
o
1p2p 3,109903,1990 =θ∴+=θ∴+θ=θ 
 
o
1p 3,19=θ → ângulo do plano principal em que atua a tensão principal maior, σ1, com o 
plano em que atua σx. 
o
2p 3,109=θ → ângulo do plano principal em que atua a tensão principal menor, σ2, com o 
plano em que atua σx. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
19,3o
17403
17403 
4600
4600
 34
b) as tensões em um elemento girado de 45o em relação ao elemento dado. Das equações 
2.12: 
 
oo2o2
9045'y
45'x'y
oo
45'y'x
oo2o2
45'x
90sin400045cos600045sin16000
90cos400090sin)160006000(
2
1
90sin400045sin600045cos16000
0o
oo
o
−+=σ
τ=+−=τ
++=σ
+
 
 
2
9045'y
2
45'y'x
2
45'x
cm/kgf7000
cm/kgf0005
cm/kgf15000
oo
o
o
=σ
−=τ
=σ
+
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) as tensões máximas de cisalhamento, os planos em que atuam e as tensões normais nestes 
planos 
 
- tensão máxima de cisalhamento: da equação 2.22a, 
 
2
máx
2
2
máx
cm/kgf4036
4000
2
600016000
±=τ
+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −±=τ
 
 
 - ângulo que faz o plano em que atua a tensão de cisalhamento máxima com o plano 
em que atua σx. Da equação 2.21b, 
 
45o
15000
5000
5000
15000
5000
5000
7000
7000
x´ y’ 
 35
oooo
1c2c
o
1c
c
4,64906,2590
6,25
160006000
)4000(22gcot
=+−=+θ=θ
−=θ
−
=θ
 
 
 - tensões normais nestes planos: 
 
2cm/kgf00011
2
600016000
=σ
+
=σ
 
 
 
 
 
 
 
 
 
θc1 é o ângulo entre o plano em que atua σx e um plano de tensão cisalhante máxima. 
25,6
11000
6403
6403
11000
64036403
11000
11000
x
y 
 36
2 - No círculo de Mohr apresentado na figura abaixo, o ponto A corresponde a uma faceta 
(plano) vertical. Determinar (Ortigão, 1993): 
 
(a) o polo; 
(b) as tensões atuantes na faceta horizontal; 
(c) os valores de σ1 e σ2 e as direções das facetas em que atuam; 
(d) τmax e τmin (iguais em módulo) e as direções das facetas em que atuam. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A 
Polo P
τ 
σ 
σh 
σv 
σ2 
σ1 
τmax 
τmax 
A
σh 
τ 
σ 
 37
2.6 – Análise de tensões em 3 dimensões 
 
Será considerado agora o caso geral de distribuição de tensões em 3 dimensões. 
Mostrou-se anteriormente (Figura 2.5) que as tensões que atuam nas faces de um elemento 
cúbico podem ser representadas por 6 componentes: σx, σy, σz, τxy, τxz, τyz. Se estas 
componentes são conhecidas em um ponto qualquer O, a tensão que atua em um plano 
inclinado qualquer, passando por este ponto, pode ser calculada através das equações da 
estática, do mesmo modo que foi feito no caso de um campo bidimensional de tensões (2.5.2). 
Considere-se o estado de tensão em um ponto O representado pelas componentes de tensão, 
σx, σy, σz, τxy, τxz, τyz, referidas ao sistema coordenado xyz (Figura 2.13). Deseja-se 
determinar as tensões normal e de cisalhamento em um plano qualquer que passe por este 
ponto. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.13 – Tensões em um tetraedro elementar 
 
Para se obter as tensões em um plano qualquer passando por O, toma-se um plano paralelo 
ABC, situado a uma pequena distância de O, de tal forma que este plano, juntamente com os 
planos coordenados, isole um tetraedro muito pequeno ABCO. A tensão que atua no plano 
ABC tenderá para a tensão que atua no plano paralelo passando em O, à medida que o 
elemento for feito infinitesimal. O problema é o de se determinar as tensões normal e de 
cisalhamento na superfície do plano ABC. Se isto puderser feito, será possível definir, então, 
as tensões normal e de cisalhamento em qualquer plano que passe pelo elemento 
tridimensional. 
Na consideração das condições de equilíbrio do tetraedro elementar, as forças de massa 
podem ser desprezadas. O volume é um infinitésimo de 3a ordem e as forças que atuam no 
tetraedro, determinadas multiplicando as componentes de tensão pelas áreas das faces, são 
infinitésimos de 2a ordem. 
A direção do plano ABC fica definida através dos ângulos θ, φ e ψ que a normal ao plano, n̂ , 
faz com os eixos x, y e z, conforme mostrado na Figura 2.14. Os cossenos diretores que 
definem este plano são 
 
σy 
y 
x
z
O
A
B 
C n̂
σx 
σz 
τxy 
τxz 
τyx 
τyz 
τzy τzx 
 38
)z,ˆ(coscosn
)y,ˆ(coscosm
)x,ˆ(coscosl
n
n
n
=ψ=
=φ=
=θ=
 (2.24) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.14 – Cossenos diretores da normal ao plano ABC com os eixos xyz 
 
Se A é a área da face ABC do tetraedro, as áreas das outras faces são obtidas pela projeção de 
A sobre os outros três planos, x, y e z. 
 
ψ===
φ===
θ===
cosAnAAOABarea
cosAmAAOBCarea
cosAlAAOACarea
z
y
x
 (2.25) 
 
Designando por Z,Y,X as 3 componentes da tensão total p, na direção dos eixos 
coordenados x, y, z, que atuam na face ABC do tetraedro mostrado na Figura 2.15, então a 
componente da força que atua na face ABC na direção do eixo x é XA . Analogamente, as 
componentes na direção x das forças que agem nas 3 outras faces do tetraedro são: 
 
zxz
yxy
xx
nA:Afacena
mA:Afacena
lA:Afacena
τ
τ
σ
 (2.26) 
Da condição de equilíbrio de forças na direção x obtém-se 
 
0nAmAlAXA zxyxx =τ−τ−σ− (2.27) 
 
z 
y 
x 
O A
B 
C n̂
ψ 
φ θ 
 39
Raciocinando de maneira análoga, as equações de equilíbrio nas direções dos eixos y e z são 
dadas por: 
 
0nAmAlAYA zyyxy =τ−σ−τ− (2.28) 
0nAmAlAZA zyzxz =σ−τ−τ− (2.29) 
 
ou seja, 
 
zxyxx nmlX τ+τ+σ= 
zyyxy nmlY τ+σ+τ= (2.30a) 
zyzxz nmlZ σ+τ+τ= 
 
que, na forma matricial, podem ser escritas como: 
 
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
σττ
τστ
ττσ
=
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
n
m
l
Z
Y
X
zyzxz
zyyxy
zxyxx
 (2.30b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.15 – Componentes da tensão total p que atuam no plano ABC 
 
As equações 2.30a ou 2.30b fornecem as componentes cartesianas de tensão em um plano 
inclinado qualquer, definido pelos cossenos diretores, l, m, n, que passe pelo ponto, desde que 
as 6 componentes de tensão no ponto, referidas a um sistema ortogonal xyz, σx, σy, σz, τxy, 
τxz, τyz, sejam conhecidas. Como estas expressões podem ser usadas também para relacionar 
y
x 
z 
O A
B 
C 
σy 
τyx 
τyz 
σz 
τzy 
τxz 
σx 
τxy 
τzx 
p 
X
Y
Z
n̂
 40
forças aplicadas em uma superfície inclinada qualquer às tensões internas, diz-se que elas 
fornecem condições de contorno. 
 
Tensão normal no plano ABC: 
 
A tensão normal no plano ABC pode ser determinada a partir das 3 componentes de 
tensão neste plano, Z,Y,X 
 
nZmYlXn ++=σ (2.31) 
 
A substituição das equações 2.30 na equação 2.31 fornece a seguinte expressão para a 
tensão normal neste plano 
 
nl2nm2ml2)nml( xzyzxy
2
z
2
y
2
xn τ+τ+τ+σ+σ+σ=σ (2.32) 
 
2.6.1 – Mudança de eixos 
 
Considere-se que a direção da normal n̂ ao plano ABC representa a direção x’ em um outro 
sistema cartesiano x’y’z’. O novo sistema x’y’z’ está relacionado ao sistema xyz através dos 
seguintes cossenos diretores: 
 
Quadro I – Cossenos diretores entre dois sistemas coordenados xyz e x’y’z’ 
Eixos x y z 
x’ l1 m1 n1 
y’ l2 m2 n2 
z’ l3 m3 n3 
 
NOTA: Como x’ é perpendicular ao plano ABC, então y’ e z’ deverão estar no plano ABC. 
 
A tensão normal σn, dada pela equação 2.32 corresponde exatamente à tensão normal σx’ 
referida ao novo sistema de eixos (x’,y’,z’): 
 
11xz11yz11xy
2
1z
2
1y
2
1xn'x nl2nm2lm2nml τ+τ+τ+σ+σ+σ=σ=σ (2.33) 
 
As tensões de cisalhamento neste plano, mostradas na Figura 2.16 são 
 41
 
'x'z333'z'x
'x'y222'y'x
nZmYlX
nZmYlX
τ=++=τ
τ=++=τ
 (2.34) 
 
Substituindo as equações 2.30 na equação 2.34 
 
'x'z3131zx3131yz
1331xy31z31y31x'z'x
'x'y2121zx2121yz
2121xy21z21y21x'y'x
)nlln()nmmn(
)lmlm(nnmmll
)nlln()nmmn(
)mllm(nnmmll
τ=+τ++τ
++τ+σ+σ+σ=τ
τ=+τ++τ
++τ+σ+σ+σ=τ
 (2.35) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.16 – Tensões atuantes no plano ABC 
 
De modo análogo, considerando os eixos y’ e z’ coincidentes com a normal ao plano, obtêm-
se as componentes de tensão normal e de cisalhamento nestes planos em função das 6 
componentes de tensão σx, σy, σz, τxy, τyz, τzx. 
Portanto, conhecidas as 6 componentes de tensão σx, σy, σz, τxy, τyz, τzx em relação a um 
sistema coordenado xyz e, se um novo sistema de eixos x’y’z’ é estabelecido relacionado ao 
primeiro sistema através dos cossenos diretores (Quadro I), então as 6 componentes de tensão 
no novo sistema de eixos são dadas por: 
 
11xz11yz11xy
2
1z
2
1y
2
1x'x nl2nm2lm2nml τ+τ+τ+σ+σ+σ=σ 
22xz22yz22xy
2
2z
2
2y
2
2x'y nl2nm2lm2nml τ+τ+τ+σ+σ+σ=σ 
33xz33yz33xy
2
3z
2
3y
2
3x'z nl2nm2lm2nml τ+τ+τ+σ+σ+σ=σ 
y 
x 
z 
O A 
B 
C 
XY
Z
n̂
z’ 
y’
x’
σx’ 
 42
'y'z3232zx3232yz3232xy32z32y32x'z'y
'x'z3131zx3131yz1331xy31z31y31x'z'x
'x'y2121zx2121yz2121xy21z21y21x'y'x
)nlln()nmmn()mllm(nnmmll
)nlln()nmmn()lmlm(nnmmll
)nlln()nmmn()mllm(nnmmll
τ=+τ++τ++τ+σ+σ+σ=τ
τ=+τ++τ++τ+σ+σ+σ=τ
τ=+τ++τ++τ+σ+σ+σ=τ
 
 (2.36) 
 
As equações 2.36 podem ser escritas na forma matricial de tal modo que: 
 
( ) [ ] ( ) [ ]TAA' σ=σ (2.37) 
 
( )σ - tensor das tensões em relação ao sistema coordenado xyz 
( )'σ - tensor das tensões em relação ao novo sistema coordenado x’y’z’ 
[ ]A -matriz de transformação das tensões no sistema coordenado xyz para o sistema x’y’z’ 
 
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
σττ
τστ
ττσ
=σ
zyzxz
zyyxy
zxyxx
)( (2.38a) 
 
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
σττ
τστ
ττσ
=σ
'z'z'y'z'x
'y'z'y'y'x
'x'y'x'z'x
' )( (2.38b) 
 
[ ]
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
333
222
111
nml
nml
nml
A (2.38c) 
 
Na realidade, os 9 cossenos diretores indicados no Quadro I não são independentes, podendo 
ser reduzidos a 3 variáveis independentes. Três valores podem ser eliminados através das 
relações: 
 
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=++
=++
=++
1nml
1nml
1nml
2
3
2
3
2
3
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
 (2.39) 
 43
 
Mais 3 valores podem ser eliminados através de equações mais complexas por considerações 
de ortogonalidade entre os dois sistemas de eixos 
 
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=++
=++
=++
0nlnlnl
0nmnmnm
0mlmlml
332211
332211
332211
 (2.40) 
 
2.6.2 – Tensões principais 
 
A equação da tensão normal (2.32) pode ser transformada em uma equação de uma superfície 
do 2o grau. Ou seja, a variação da tensão normal, σn, com a direção da normal n̂ , pode ser 
geometricamente representada como se segue (Timoshenko & Goodier, 1980). 
Define-se, na direção da normal n̂ ao plano ABC, um vetor cujo módulo, r, seja inversamente 
proporcional à raiz quadrada do valor absoluto da tensão σn: 
 
n
kr
σ
= (2.41a) 
2
2
n r
k
±=σ (2.41b) 
 
em que r é o módulo do vetor na direção da normal n̂ e k é um fator de escala constante. As 
coordenadas da extremidadedeste vetor são dadas por: 
 
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=→=
=→=
=→=
rznrnz
rymrmy
rxlrlx
 (2.42) 
 
Substituindo na equação de σn (equação 2.32), os valores de l, m, n dados pela equação 2.42, e 
a equação resultante na equação 2.41b, obtem-se: 
 
2
2
xzyzxy2
2
z2
2
y2
2
xn r
k
r
z
r
x2
r
z
r
y2
r
y
r
x2)
r
z
r
y
r
x( =τ+τ+τ+σ+σ+σ=σ (2.43a) 
ou, 
zx2zy2yx2)zyx(k xzyzxy
2
z
2
y
2
x
2 τ+τ+τ+σ+σ+σ=± (2.43b) 
 44
que é a equação de uma superfície do 2o grau denominada quádrica de Cauchy: 
 
tetanconszxfzyeyxdzcybxa 222 =+++++ (2.44) 
 
descrita pela extremidade do vetor r à medida que o plano ABC gira em torno do ponto O. 
Da Geometria Analítica, sabe-se que, mediante uma rotação adequada de eixos é sempre 
possível eliminar os termos cruzados para a superfície da equação 2.43. Ou seja, é sempre 
possível encontrar um conjunto de eixos xyz em que os termos que contêm os produtos 
cruzados se anulam. Quando isto acontece, os novos eixos coordenados coincidem com a 
direção das normais aos planos e, deste modo, as tensões resultantes são normais aos planos 
nos quais atuam. Estas tensões são denominadas tensões principais (denominadas σ1, σ2 e σ3) 
no ponto considerado; suas direções são os eixos ou direções principais (denominados x1, x2 e 
x3) e os planos em que atuam são os planos principais (denominados 1, 2 e 3). 
O estado de tensão em um ponto fica completamente definido se as direções dos eixos 
principais e os valores das tensões principais forem conhecidos. A superfície representada 
pela equação 2.43b deve portanto ser a mesma, independentemente da escolha dos eixos xyz. 
É possível demonstrar que as tensões principais são valores extremos (ou estacionários) das 
tensões normais, sendo, no caso geral, uma das tensões principais a máxima e a outra a 
mínima tensão normal no ponto (Villaça e Garcia, 1996). 
 
Determinação das tensões principais: 
 
Se as componentes de tensão para 3 planos coordenados são conhecidas, é possível 
determinar as direções e magnitudes das tensões principais, utilizando a propriedade de que 
estas são perpendiculares aos planos em que atuam. 
Considere-se um plano principal cuja normal é definida pelos cossenos diretores l, m, n com 
os eixos coordenados xyz e seja S o valor da tensão principal (tensão normal) 
correspondente. 
Como S é normal ao plano, suas componentes nas direções dos eixos x, y, z são: 
 
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
=
=
nSZ
mSY
lSX
 (2.45) 
 
Substituindo (2.45) em (2.30a), fica-se com o valor da tensão normal S em termos das 
componentes de tensão segundo os eixos coordenados xyz. 
 
 45
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
σ+τ+τ=
τ+σ+τ=
τ+τ+σ=
zyzxz
zyyxy
zxyxx
nmlnS
nmlmS
nmllS
 (2.46a) 
 
ou seja, 
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=σ−+τ−τ−
=τ−σ−+τ−
=τ−τ−σ−
0n)S(ml
0nm)S(l
0nml)S(
zyzxz
zyyxy
zxyxx
 (2.46b) 
 
O sistema de equações lineares e homogêneas em l, m, n (equações 2.46) admite soluções não 
triviais (diferentes de zero) somente se seu determinante for nulo. 
 
0
)S(
)S(
)S(
zyzxz
zyyxy
zxyxx
=
−σττ
τ−στ
ττ−σ
 (2.47) 
 
Igualando o determinante da matriz dos coeficientes do sistema de equações a zero, obtem-se 
uma equação do 3o grau em S, denominada equação característica do sistema: 
 
0)2(
S)(S)(S
2
xyz
2
xzy
2
yzxxzyzxyzyx
2
xz
2
yz
2
xyzyzxyx
2
zyx
3
=τσ−τσ−τσ−τττ+σσσ
−τ−τ−τ−σσ+σσ+σσ+σ+σ+σ−
 (2.48) 
 
As 3 raízes da equação 2.48 são as 3 tensões principais do campo de tensões dado. 
Considerando, convencionalmente, que σ1>σ2>σ3, então: 
 
332211 SSS σ=σ=σ= 
 
3 raízes distintas: 
 
- as 3 direções principais correspondentes serão únicas e ortogonais. 
 
2 raízes iguais: 
 
 46
- uma direção principal será única mas as outras direções podem ser quaisquer duas 
direções ortogonais à primeira. 
 
3 raízes iguais: 
 
- não existem direções principais únicas, quaisquer 3 direções podem ser escolhidas. 
Corresponde ao estado de tensão hidrostätica. 
 
Como a equação 2.48 não contem valores de coordenadas ou de cossenos diretores, ela é 
independente dos eixos coordenados originais. Ou seja, para qualquer campo uniforme de 
tensões existem 3 e somente 3 tensões principais As quantidades entre parênteses da equação 
2.48 são invariantes com relação aos eixos coordenados cartesianos. 
Uma vez conhecidos os valores das tensões principais, pode-se determinar a direção dos 
planos principais (seus cossenos diretores) com os eixos xyz. Substituindo a equação 2.49, 
para S=σ1, na equação 2.46b, determina-se a direção do plano principal 1 (seus cossenos 
diretores l1, m1, n1): 
 
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=σ−σ+τ−τ−
=τ−σ−σ+τ−
=τ−τ−σ−σ
0n)(ml
0nm)(l
0nml)(
1z11yz1xz
1zy1y11xy
1zx1yx1x1
 (2.49) 
 
No sistema de equações dado pelas equações 2.49, somente duas equações são linearmente 
independentes. Para determinar os valores de l1, m1 e n1, utiliza-se a relação de Euler: 
 
1nml 222 =++ (2.50) 
 
que, no caso particular do plano principal 1, l=l1, m=m1, e n=n1. 
 
De modo análogo determinam-se os planos principais 2 e 3. 
 
Resumindo 
As três raízes da equação 2.48 fornecem os valores das três tensões principais, σ1, σ2, σ3. 
Com a substituição do valor de cada uma destas tensões na equação 2.46b e por meio da 
relação 1nml 222 =++ , é possível determinar 3 conjuntos de cossenos diretores, 
correspondentes a cada uma das três direções principais. 
 
 
 47
Invariantes de tensão: 
 
Dado um estado de tensão definido por tensões principais e direções principais, pode-se 
representá-lo através de componentes em um sistema qualquer de eixos coordenados xyz. A 
equação 2.48 deve fornecer as mesmas 3 raízes para S, qualquer que seja a orientação 
escolhida para estes eixos coordenados. 
 
 
 
 
 
 
 
Consequentemente, os coeficientes da equação 2.48 devem ser sempre os mesmos. 
Escolhendo-se os próprios eixos principais como eixos coordenados tem-se, neste caso: 
 
0xzyzxy
3z
2y
1x
=τ=τ=τ
σ=σ
σ=σ
σ=σ
 
 
Os valores invariantes dos coeficientes da equação 2.48 são dados por: 
 
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
σσσ=
τσ−τσ−τσ−τττ+σσσ=
τσ−τσ−τσ−τττ+σσσ=
=σσ+σσ+σσ=
τ−τ−τ−σσ+σσ+σσ=
τ−τ−τ−σσ+σσ+σσ=
=σ+σ+σ=
σ+σ+σ=
σ+σ+σ=
321
2
'y'x'z
2
'z'x'y
2
'z'y'x'z'x'z'y'y'x'z'y'x
2
xyz
2
xzy
2
yzxxzyzxyzyx3
133221
2
'z'x
2
'z'y
2
'y'x'x'z'z'y'y'x
2
xz
2
yz
2
xyxzzyyx2
321
'z'y'x
zyx1
2
2I
.etc
I
.etc
I
 (2.51) 
x
y
z
1
3
2
 48
 
em que I1, I2 e I3 são chamados 1o, 2o e 3o invariantes de tensões, respectivamente. 
A equação 2.48 pode ser rescrita em função dos invariantes de tensão como: 
 
0ISISIS 32
2
1
3 =−+− (2.52) 
 
2.6.3 –Tensão de cisalhamento máxima 
 
Sejam xyz os eixos principais 123 de modo que σx, σy, e σz sejam tensões principais. 
Consequentemente, as tensões de cisalhamento referidas a estes eixos serão nulas (Figura 
2.12). 
Sejam l0, m0 e n0 os cossenos diretores de um dado plano oblíquo referido aos eixos principais 
(no caso, xyz). Da equação 2.32, a tensão normal neste plano oblíquo é igual a: 
 
2
03
2
02
2
01n nml σ+σ+σ=σ (2.53) 
 
22
03
2
02
2
01
2
n )nml( σ+σ+σ=σ (2.54) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.12 – Eixos coordenados coincidentes com os eixos principais 
 
O plano ABC fica definido por seus cossenos diretores l0, m0, n0 com os eixos principais, 1, 2, 
3 (Figura 2.13). 
 
 
 
σ2
y=2 
x=1 
z=3 
O
A 
B 
C
σ1
σ3
σ3
σ2
σ1
 49
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.13 – Tensões resultantes atuantes no plano ABC 
 
As componentes de tensão total, p, paralelas aos eixos 1, 2, 3 e que atuam no plano