Método dos Deslocamentos-Introdução e Passo a Passo

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MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS: INTRODUÇÃO E PASSO A 
PASSO 
 
•O Método dos Deslocamentos baseia-se no Princípio da Superposição dos Efeitos, 
tomando como referência a deslocabilidade interna da estrutura que se esteja 
analisando. 
 
•A resolução de uma estrutura utilizando o Método dos Deslocamentos é feita com 
a transformação da estrutura real deslocável (simbolizada por: [ r ]) em uma 
estrutura indeslocável (simbolizada por: [ 0 ]), bloqueando-se os movimentos 
possíveis dos nós da mesma, com a introdução de vínculos. 
 
•Em seguida, são montadas as equações para a solução, considerando-se a soma de 
várias estruturas com deslocamentos impostos (simbolizadas por: [ 1 ], [ 2 ], [ 3 ], 
...), tendo-se, como incógnitas, os ângulos de rotação e os deslocamentos lineares 
sofridos pelos nós deslocáveis. Simbolicamente, tem-se: 
 
[ r ] = [ 0 ] + [ 1 ] + [ 2 ] + [ 3 ] 
 
•Ou seja, a estrutura real deslocável é obtida pela soma desta mesma estrutura, 
porém, totalmente indeslocável, com cada uma das deslocabilidades consideradas 
separadamente, o que é possível pelo Princípio da Superposição de Efeitos. Isso 
ficará claro nas aplicações resolvidas que são apresentadas adiante! 
 
•O Processo dos Deslocamentos permite que sejam determinados, inicialmente, os 
deslocamentos nodais (rotações), para que depois sejam calculados os esforços 
atuantes nas barras. 
 
GRAU DE DESLOCABILIDADE – DESLOCABILIDADE INTERNA 
 
•A deslocabilidade interna é a possibilidade de rotação (ou giro) dos nós. A partir 
da definição, tem-se que cada nó possui uma deslocabilidade interna, exceto os nós 
intermediários que sejam articulados (também denominados rotulados) e os nós de 
apoio que não possuem extremidades de barras contínuas entre si. 
 
•Para resumir, você deve entender o seguinte: a deslocabilidade interna existe 
quando se tem, em um nó, pelo menos duas extremidades de barras contínuas entre 
si, como exemplificado na Figura 1. Isso vale tanto para nós internos como de 
apoio. 
 
 
Figura 1 – Exemplos de cálculos de deslocabilidades internas. 
Fonte: Núbia Saad. 
 
 
EXEMPLO: Determinar o momento fletor nos nós B e C para a viga abaixo, 
utilizando o Processo dos Deslocamentos. Considere EI constante, ou seja, igual 
para todas as barras da estrutura: 
 
 
 
 
[ 1o Passo ]: Cálculo do Grau de Deslocabilidade 
 
� Deslocabilidade Interna: di = 2 (referentes aos nós B e C, pelo conceito 
estudado). 
 
[ 2o Passo ]: Transformação da estrutura real [ r ] em estrutura indeslocável [ 0 ] 
 
A 
6kN/m 
4,0 m 3,0 m 2,0 m 2,0 m 1,0 
10kN 
5kN.m 
B C 
D 
di = 0 di = 1 di = 0 
di = 0 
Após você identificar os nós que possuem deslocabilidades, procede-se ao bloqueio 
deles, ou seja, à restrição de tais possibilidades de deslocamentos. 
 
Sendo as deslocabilidades relativas a giros, representa-se tal bloqueio por um 
quadrado, conforme desenhado a seguir. Com os nós bloqueados, a estrutura real 
deslocável [ r ] se torna indeslocável [ 0 ]. 
 
Estrutura Real [ r ]: 
 
 
 
 
 
 
Estrutura [ 0 ]: 
 
 
 
 
 
 
 
[ 3o Passo ]: Geração das Estruturas [ 1 ] e [ 2 ] com deslocamentos impostos nos 
nós que foram bloqueados 
 
Estrutura [ 1 ]: 
 
 
 
 
 
 
 
 
A 
6kN/m 
10kN 
5kN.m 
B C 
D [0] 
Δ1 . [ 1 ] 
A 
B C 
D 
1 
1 
[r ] 
A 
6kN/m 
10kN 
5kN.m 
B C 
D 
Estrutura [ 2 ]: 
 
 
 
 
 
 
 
[ 4o Passo ]: Montagem das Equações de Compatibilidade para a Resolução 
Matricial 
 
Estrutura Real [ r ]: 
 
 
 
 
 
 
Estrutura [ 0 ]: 
 
 
 
 
 
 
Estrutura [ 1 ]: 
 
 
 
 
 
 
 
 
A 
6kN/m 
10kN 
5kN.m 
B C 
D [0] 
k10 k20 
Δ1 . [ 1 ] 
A 
B C 
D 
1 
1 
k11 k21 
[r ] 
A 
6kN/m 
10kN 5kN.m 
B C 
D 
k1r k2r 
[ 2 ] 
A 
B C 
D 
1 
1 
Δ2. 
Estrutura [ 2 ]: 
 
 
 
 
 
 
Com isso, são escritas as Equações de Compatibilidade, em forma de sistema de 
equações lineares: 
 



=⋅∆+⋅∆+
=⋅∆+⋅∆+
022k221k120k
012k211k110k
 
 
[ 5o Passo ]: Obtenção dos momentos nodais kij 
 
Para se fazer o cálculo dos momentos nodais (kij) é necessário obterem-se os 
momentos atuantes nas extremidades das barras que chegam a cada nó, para cada 
estrutura criada: [ 0 ], [ 1 ] e [ 2 ]. 
 
Sempre que se utiliza o Método dos Deslocamentos, têm-se as seguintes condições 
de extremidades para as barras: 
 
 
� barra engastada-engastada 
 
 
� barra engastada-apoiada 
 
 
� barra apoiada-engastada 
 
 
Antes de calculá-los, é necessário deixar clara a convenção de sinais utilizada no 
cálculo de estruturas hiperestáticas, que é denominada Convenção de Grinter, na 
[ 2 ] 
A 
B C 
D 
1 
1 
Δ2. 
k12 k22 
qual os momentos são positivos quando atuam nos seguintes sentidos de giro (vide 
Figura 2): 
 
� horário nos nós 
 
� anti-horário nas barras 
 
 
 
 
 
 
Figura 2 – Sentidos positivos para o momento fletor, segundo a Convenção de 
Grinter. 
Fonte: Núbia Saad. 
 
 
Estrutura [0 ]: 
 
 
 
 
 
Cálculo de k10: BCMBAM10k += 
 
 
 
Cálculo de k20: CDMCBM20k += 
 
 
 
k20 
C 
MCB MCD 
k10 
B 
MBA MBC 
A 
6kN/m 
10kN 
5kN.m 
B C 
D [0] 
k10 k20 
barra AB 
A B 
MAB MBA 
nó A nó B 
Cálculo dos MEPs da Barra AB apoiada-engastada: 
 
 
0ABM = 
m.kN12
8
24.6
8
2ql
BAM −=−=−= 
 
(cálculo dos MEPs:vide Tabela 1 – Anexo A) 
 
Cálculo dos MEPs da Barra BC engastada-engastada: 
 
m.kN625,5
24
23.1.10
2l
2Pab
BCM +=+=+= 
m.kN875,1
24
3.21.10
2l
b2Pa
CBM −=−=−= 
 
Cálculo dos MEPs da Barra CD engastada-apoiada: 
 
m.kN625,01
24
223
2
5
1
2l
2b3
2
M
CDM −=







−⋅+=








−+= 
0DCM = 
 
 
Finalmente, calculam-se: 
 



−=−−=+=
−=+−=+=
m.kN5,2625,0875,1CDMCBM20k
m.kN375,6625,512BCMBAM10k
 
 
Estrutura [ 1 ]: 
 
 
 
Cálculo de k11: BCMBAM11k += 
 
 
Cálculo de k21: CDMCBM21k += 
Δ1 . [ 1 ] 
A 
B C 
D 
1 
1 
k11 k21 
5kN.m 
C 
D 
2,0 m 2,0 m 
3,0 m 1,0 
10kN 
B C 
4,0 m 
A 
6kN/m 
B 
Cálculo dos MEPs da Barra AB apoiada-engastada: 
 
 
 
0ABM = 
 
EI75,0
4
EI3
l
EI3
BAM +=+=+= 
 
(observe que a unidade de M é 1/m) 
 
Cálculo dos MEPs da Barra BC engastada-engastada: 
 
 
EI
4
EI4
l
EI4
BCM +=+=+= 
EI5,0
4
EI2
l
EI2
CBM +=+=+= 
 
Cálculo dos MEPs da Barra CD engastada-apoiada: 
 
 
 
0CDM = 
 
0DCM = 
 
Após isso, calculam-se: 
 




=+=+=
=+=+=
EI5,00EI5,0CDMCBM21k
EI75,1EIEI75,0BCMBAM11k
 
 
Estrutura [ 2 ]: 
 
[ 2 ] 
A 
B C 
D 
1 
1 
Δ2. 
k12 k22 
C D 
4,0 m 
B C 
1 
4,0 m 
A 
1 
B 
4,0 m 
 
Cálculo de k12: BCMBAM12k += 
 
 
Cálculo de k22: CDMCBM22k += 
 
Cálculo dos MEPs da Barra AB apoiada-engastada: 
 
 
 
 
0ABM = 
 
0BAM = 
 
Cálculo dos MEPs da Barra BC engastada-engastada: 
 
 
EI5,0
4
EI2
l
EI2
BCM +=+=+= 
 
EI
4
EI4
l
EI4
CBM +=+=+= 
 
Cálculo dos MEPs da Barra CD engastada-apoiada: 
 
 
 
EI75,0
4
EI3
l
EI3
CDM +=+=+= 
 
0DCM = 
 
Com isso, calculam-se: 
 




=+=+=
=+=+=
EI75,1EI75,0EICDMCBM22k
EI5,0EI5,00BCMBAM12k
 
 
 
 
 
C 
D 1 
B C 
1 
4,0 m 
A 
B 
4,0 m 
[ 6o Passo ]: Cálculo das Incógnitas ∆1 e ∆2 
 
Finalmente, aqui são calculadas as incógnitas de deslocamento ∆1 e ∆2 que 
representam exatamente os giros que ocorrem nos nós que possuem 
deslocabilidade: nós B e C. 
 
Escrevem-se na forma de sistema linear: 
 



=⋅∆+⋅∆+
=⋅∆+⋅∆+
022k221k120k
012k211k110k ⇒



=⋅∆+⋅∆+−
=⋅∆+⋅∆+−
0EI75,12EI5,015,2
0EI5,02EI75,11375,6
 
 
Cuja resolução fornece: 
 
EI
52,3
1 =∆ e EI
42,0
2 =∆ 
 
 
Analisando-se os resultados, constata-se que ambos os valores de deslocamentos 
são positivos, ou seja, possuem sentido de giro igual ao que foi arbitrado no início 
da resolução. 
 
Verifique que os giros impostos foram anti-horários, ou seja, os nós da estrutura 
real terão giros de: 
 







−
−
horárioantisentidono
EI
42,0
degiro:Cnó
horárioantisentidonoEI
52,3
degiro:Bnó
 
 
Sendo assim, para cada trecho da viga em estudo: AB, BC e CD, serão calculados 
os valores dos momentos fletores reais M [ r ] aplicando-se a expressão abaixo. 
Nessa expressão, os momentos referentes aos problemas [ 0 ], [ 1 ] e [ 2 ] são 
aqueles calculados quando do desenvolvimento do Passo 5. 
 
[ ] [ ] [ ] [ ]
[ ]






=⋅+⋅+=
⋅+⋅+=
00
EI
42,0
0
EI
52,3
0rABM
2ABM
EI
42,0
1ABM
EI
52,3
0ABMrABM
 
 
 
[ ] [ ] [ ] [ ]
[ ]






⋅−=⋅+⋅+−=
⋅+⋅+=
mkN36,9)0(
EI
42,0
)EI75,0(
EI
52,3
)12(rBAM
2BAM
EI
42,0
1BAM
EI
52,3
0BAMrBAM
 
 
 
[ ] [ ] [ ] [ ]
[ ]






⋅+=⋅+⋅+=
⋅+⋅+=
mkN36,9EI5,0
EI
42,0
EI
EI
52,3
625,5rBCM
2BCM
EI
42,0
1BCM
EI
52,3
0BCMrBCM
 
 
 
[ ] [ ] [ ] [ ]
[ ]






⋅+=⋅+⋅+−=
⋅+⋅+=
mkN31,0EI
EI
42,0
EI5,0
EI
52,3
875,1rCBM
2CBM
EI
42,0
1CBM
EI
52,3
0CBMrCBM
 
 
 
[ ] [ ] [ ] [ ]
[ ]






⋅−=⋅+⋅+−=
⋅+⋅+=
mkN31,0EI75,0
EI
42,0
0
EI
52,3
625,0rCDM
2CDM
EI
42,0
1CDM
EI
52,3
0CDMrCDM
 
 
 
[ ] [ ] [ ] [ ]
[ ]






=⋅+⋅+=
⋅+⋅+=
00
EI
42,0
0
EI
52,3
0rDCM
2DCM
EI
42,0
1DCM
EI
52,3
0DCMrDCM
 
 
Por fim, têm-se os valores dos momentos nos nós B e C conforme mostrado abaixo: 
 
 
A 
6kN/m 
10kN 
5kN.m 
B C D 
9,36 9,36 0,31 0,31 
E F