Álgebra Linear e Geometria Analitica

Esta é uma pré-visualização de arquivo. Entre para ver o arquivo original

Capa 
Roberto Franklin Rondine 
Sylvio Ulhoa Cintra F ilho 
Rua da Grama, 38 - S. Paulo , 
Cohlposição 
Paika Realizações Gráficas Ltda. 
u Rua Tenente Gomes Ribeiro, 58 - S. Paulo 
Equipe de Produção 
Jorge Fuzii, Ricardo H. Soares, Marisa T. Fujiwara 
Ricardo M. Gomes, Jorge A. S. Barreto, 
Ricardo 8. de Souza, Rosangela R. Ribeiro 
Fotolitos 
H.O.P. Fotolitos Ltda. 
Rua Dei mira Ferreira, 325 - S. Paulo 
Impressão e Acabamento: Cromoset 
Hl29a 
2.ed. 
CIP-Braall. Catalogaçio•ft&•Publlcaçio 
Ctmara Braallelra do Livro, SP 
Machado , Antônio dos Santos,, 1948-
Ãlgebra linear e geometria anal!tica / An-
tonio dos Santos Machado. -- 2. ed. -- são Pau-
lo : Atual, 1982. 
Bibliografia. 
l. Ãlgebra linear (20 grau) 2. Geometria 
anal!tica (20 grau) r. Título, 
17. CDD-.512,897 
18. -.512.5 
17. -516 
18. -516,3 
, lndlcaa para catálogo al1lem611co: 
1. Ãlgebra linear 512.897 (17.) .512.5 (18.) 
2. G7ometria analítica 516 (17 .) .516.3 (18.) 
Copyright desta edição: 
ATUAL EDITORA LTDA., 1997. 
Rua José Antônio Coelho, 785 
04011-062 - São Paulo - SP 
Todos os direitos reservados. 
LCLUc l 
NOS PEDIDOS TELEGRÁFICOS BASTA CITAR O CÓDIGO ADSM0501W 
• 
-APRESENTACAO 
• 
Neste texto abordamos os espaços vetoriais IR 2 e IR3 e desenvolvemos a 
Geometria Analítica no plano e no espaço ao nível da escola de segundo grau. 
Queremos com ele colocar à disposição dos estudantes que se preparam 
para os exames vestibulares (principalmente da Fundação Cesgranrio, cujo pro-
grama nos orientou) um livro de Geometria Anal(tica com conceitos e racio-
cínios que futuramente encontrarão nas universidades. Também visamos auxi liar 
estudantes universitários que desejam consultar um texto introdutório de Álgebra 
Linear e Geometria Analítica. 
Optamos por uma linguagem simples e informal. Procuramos apresentar a 
teoria em pequenas doses, sempre acompanhadas de exemplos e muitos exercícios. 
Estes são geralmente cofocados, em cada série, em ordem crescente de dificul-
dade, sendo que alguns aparecem com as respectivas re~oluções. No final de 
cada cap(tulo há uma série de testes que são destinados a uma revisão do capítulo. 
Todos os exercícios e testes propostos, têm as respostas apresentadas no final 
do livro. 
Gostar(amos de receber daqueles que nos honrarem com sua leitura as 
críticas e sugestões sobre este trabalho, b.em como agradecer as que foram apre-
sentadas, por ocasião da leitura dos originais, pelo · meu amigo Nilson e pela 
minha cunhada Marisa. Agradecimentos· são endereçados ainda aos editores, pela 
oportunid~de e incentivo que me deram e a todas as pessoas que me incentivaram 
e ajudaram nesta tarefa. Certamente aí está inclui'da a minha esposa, Fafinha, 
que comigo colaborou em todas as etapas da confecção deste livro. 
Correspondência para 
ATUAL EDITORA L TOA. 
Rua José Antonio Coelho, 785 
04011 - São Paulo - SP 
São Paulo, 1980 
O autor 
..,__ .. 
, 
INDICE 
CAPITULO 1 - O ESPAÇO VETORIAL IR2 
1. O conjunto 1R2 •• • . . •. . •• . .• • ••. • . •• • 
2. Igualdade e operações com pares o rdenados .... . 
3. Vetores no plano ......... . ... . .. . . 
4. Aplicações: ponto médio e bar icentro . .. . .... . . 
CAPITULO li - PRODUTO INTERNO No · lR 2 
1. Produto escalar de dois vetores 
2. Módulo de um vetor .... .. . 
3. Distância entre do is pontos . . . . . . 
4. Paralel ismo e ortogonalidade . . . . . . . . .. . 
5 . Ângulo de dois vetores .. . .. . ... . .. . .. ..... . 
6. Área de um tr iângulo e alinhamento de três pontos . . .. . 
CAPfTULO Ili - ESTUDO DA RETA NO lR2 
1. Equação da reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... . . 
2. Posições relativas e intersecções de retas .............. . 
3. Paralelismo e perpendicular idade . . . . . . . . . . . . . 
4 . Ponto e reta: distância e inequações 
5. Equação reduzida e inclinação . .. . . .. . . 
6. Fo rmas da equação da reta . . . . . . . . . . . 
CAPfTULO IV - A CIRCUNFERÊNCIA NO 1R2 
1. Equação da circunferência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
2. A circunferência definida por três pontos . . . . . . . 
3. Posições relativas e intersecções . . . . . . . . . . . .. . 
4. Posições de um ponto em relação a urna circunferência ... . .. . 
1 
2 
5 
10 
16 
17 
19 
21 
25 
29 
37 
43 
50 
55 
61 
69 
80 
85 
90 
96 
.... 
CAPfTULO V - LUGARES GEOMl:TRICOS; AS CÔNICAS 
1. Lugares geométricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 
2. A parábola. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 
3.. A e I i pse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 6 
4 . A hipérbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 
CAPITULO VI -O IR3 E A GEOMETRIA ANALITICA NO ESPAÇO 
1. O espaço vetoria l IR 3 • • •• .•••.• • .• • • • • • ••• •• •.• • 129 
2. Produto interno no IR3 • • • . . • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 134 
3. Produto vetorial e produto misto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 
4. Áreas e volumes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 
5. Equação do plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 
6 . Equações da reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 
7. Sistemas de equações lineares a três incógnitas . . . . . . . . . . . . 161 
8. Equação da superf i'cie esférica . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 171 
CAPITULO VII - DEPENDÊNCIA LINEAR, SUBESPAÇOS E 
TRANSFORMAÇÕES LINEARES 
1. Combinações lineares ... ... .. .. ... .. . , . . . . . . . . . . . 182 
2. Dependência linear . .. ... ... . . .. . . ·. . . . . . . . . . . . . . . 18,3 
3. Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 
4. Subespaços vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 
5 . Transformações lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 
• . 
1. O conjunto 1R2 
CAPÍTULO/ 
O ~SPA ÇO VETORIAL R2 
Representamos por .R.2 o conjunto de todos os pares ordenados de números 
reais·; ou seja: 
JR2 = {(x, y) 1 X E 1R e y E R } 
Por exemplo, são elementos de 1R2 os pares (3, 4), (- 2, 7), ( ~ , O) , 
(-y2, -y2), (; , - 1) , (O, 2y3), etc. 
Cada elemento do JR.2 pode ser associado a ~m ponto de um plano no qual 
fixamos um sistema de coordenadas conforme indicamo~ a seguir. 
y 
YP 
___ ____ _,p 
1 
1 
' 1 
1 
1 
1 
1 
0 Xp P 1 
p = (xp, Yp ) 
X 
e t- - -
1 
1 
F 1 
1 o 
1 
1 
1 
---------e 
V 
A 
------· E ' 1 
1 
1 
1 
1 
1 
l 
-----• D 
1 
1 
1 
A = (4, 3) B = (-2, 2) 
D = (3 , - 3) E = (O, 2) 
X 
C= f-4,-2) 
F = f- 3, O) 
1 
2. Igualdade e operações com pares ordenados 
a) Igualdade 
Dizemos que os pares ordenados (x1, y 1) e (x2 , y2 ) são iguais se, e somente 
se, x 1 = Xz e Y 1 = Y-i • 
exemplo 1 
(a, b)=(-2, 3) 
exemplo 2 
====:::> a = -2 e b = 3 
(x + 1, y - 1) = (O, 1) ===::;:, { x+l=O 
y -1 = 1 
b) Adição 
===>x=-1 e y=2 
Chamamos soma dos pares (x1 , y1) e (x2 , y2 ) ao par (x1 + x2 , y1 + y2) e 
indicamos: 
exemplo 3 
(3, 1) + (2, - 4) = (3 + 2, 1 - 4) = (5, -3) 
e) Multiplicação por número real 
Chamamos produto do número real k pelo par (x, y) ao par (kx, ky) e 
indicamos: 
\ k~, y) = (4, ky) 1 
exemplo 4 
9(5, -3) = (9 · 5, 9 · (- 3)) == (45, -27) 
d) Propriedades 
Sêjam A = (x1, y1 ) , B = (x2 , y2 ) e C = (x3 , y 3) três elementos quaisquer 
do IR.2 e sejam k e m dois números reais quaisquer. Podemos constatar as seguintes 
2 
propriedades das operações com pares ordenados: 
lq) associativa: (A + B) + C = A + (B + C) 
2q) comutativa: A + B = B + A 
3é!) elemento neutro da adição: é o par O = (O, O). Temos: 
A+O=A
4~) oposto de A: é o par - A = (- Xi, - y 1) . Temos: 
A+ (- A)= O 
A soma A + (- B) indica-se por A - B. 
5?) k (A + B) = kA + kB 
6~) (k + m)A = kA + mA 
7<}.) k (mA) = (km)A 
8?) 1 · A = A 
exemplo 5 
Dados A = (3, 7), B = (- 2, 1) e C = (4, 4) temos A+ B - 2C = (3, 7) + 
+ (-2, 1) - 2(4, 4) = (3 - 2 - 8, 7 + 1 - 8) = ( - 7, O). 
NOTA: Por serem verdadeiras estas oito propriedades, o conj~to lR2 com as 
operações definidas é chamado um espaço vetorial real . Adiante veremos que os 
elementos do IR2 podem ser associados aos vetores de um plano. 
EXERCÍCIOS 
1. Dar as coordenadas dos pontos indi-
cados na figura. 
e 
H 
D 
y 
G 
1 
o 1 
1 
A 
,-
B 
F 
X 
E 
3 
2. Entre os pontos A (4 , O) , B (- 3, 1), C (O, - 7), D ( ~ , O} , E (O, ./3) e F (O, O). 
a) quais estão no eixo das abscissas (eixo dos x)? 
b) quais estão no eixo das ordenadas (eixo dos y)? 
3. Dizemos que um ponto P (x, y) está 
no l 9 quadrante quando x ~ O e y ~ O 
no 29 quadrante quando x < O e y ~ O 
no 39 quadrante quando x E;; O e y ..;;; O 
no 49 quadrante quando x ~ O e y ~ O 
Dar o quadrante onde está o ponto P em cada caso: 
a) P (-7,2) b) P ( ./2, - 5) 
d) P( - ..[2, -/5 - 2) e) p(1, -l~fi ) 
4. Se xy < O em quais quadrantes pode estar situado o ponto P (x, y)? 
5. Em cada caso calcular x e y de modo que seja verdadeira a igualdade: 
a) (x, y) = (3, 0) b) (x, 1) = (- 2, y ) 
c) (2x, y + 3) = (10, 10) d) (x + y, x - y) = (5, 1) 
6. Dados A = (3, 2) e B = (7, 5), calcula~ 
a) A+ B b) 5.A e) - 2B d) 2A + 3B 
7. Dados A = (- 3, - 1) e B = (4 , O), calcular 
a) SA + 4B b ) 7B - 3 A e) 3 (2A)- B d) 5 (3 B - 2A) 
8. Dados A = (- 1, 4), B = (- 3, - 2) e C = (O, 5), calcular 
a) A + B + C b) 2A + B - C e) 3 A - 2B + C d) 4(A +2B) - 3(C- B) 
9. Dados A = (3, 7), B = (- 1, 2) e C = (1 1, 4), determinar os números x e y que tornam 
verdadeira a igualdade x A + y B = C. 
Resolução 
xA + yB = C ====> x (3, 7) + y (-1, 2) = (11, 4 ) 
(3x, 7x) + (-y, 2y) = (11, 4) 
4 
(3 X - y, 7 X + 2 y) = (11, 4 ) 
{
3x - y = 11 
7x + 2y = 4 
<D 
Q) 
... , 
De (D vem y = 3x - 11, que substituímos em Q) : 
7x +2(3x - 11) =4 =~7x + 6x - 22=4 =~ 13x=26 ==::>x=2 
Y = 3 X - i 1 = 3 (2) - 11 = - 5 
10. Calcular x e y para que seja verdadeira a igualdade x (1 , O) + y (O, 1) = (4, 7). 
11. Determirnu x e y em cada equação. 
~) (x_, O) + 3 Cl, y) = (O, O) 
b) 3(7, 2) - 2(x,y) = (6, 0) 
c) x(3, - 1) + y(7, 5) = (4, 6) 
12. Calcular x e y na equação x (1 , -2) + y (- 2, O)= 2 (x, y) - 3 (y, -x). 
3. Vetores no plano 
a) Introdução 
No paralelogramo ABCD (figura) os segmentos orientados AD e BC apre-
sentam em comum: 
D e 
- -19) o comprimento (ou módulo): IAD I = !BCI 
29) a direção: estão em retas paralelas 
39) o sentido 
A 
----+ ~ ----+ 
Por isto, dizemos que) AD e BC representam um mesmo veto v: AD é o 
vetor v aplicado em A e BC é o vetor v aplicado em B. 
Um número real não negativo (denominado módulo), uma direção e um 
sentido são os três elementos que caracterizam o que denominamos vetor, ente 
que é representado geometricamente através de segmentos orientados . 
5 
o 
b) Vetores no plano cartesiano 
Na figura indicam0s três seg-
mentos orientados, AB, CD e OP, 
representantes de um mesmo vetor 
u. 
Para cadâ um destes segmen-
tos,, a projeção na direção (orien-
tada) do eix:o x tem medida algé-
brica - 3, enquanto que a projeção 
p 
2 
-3 
y 
B 
2~u 
--- -~A 
i - 3 1 
' J 
1 ' 1 1 
o 1 X 
-~'º : • 1 2 u : 
- ' C 
-3 
na direção ( orientada) do eixo y tem medida algébrica 2. O mesmo ocorre com 
qualquer outro segmento orientado que represente o vetor u, isto é, que tertha o 
mesmo módulo, direção e 'Sentido dos segmentos dados,. Podemos assim associar 
o vetor u ao par (-3, 2) do IR2, escrevendo u = (-3, 2). 
Em geral, todo vetor v do plano cartesiano pode ser associado a um par 
ordenado (a, b) do IR2 . Escrevemos 
v=(a,b) 
quando a e b são, nesta ordem, as medidas algébricas das projeções de v nas 
direções (orientadas) dos eixos x e y. Dizemos que v é o vetor de componentes 
(ou coordenadas) a e b. 
V 
, 
• 
X, 
' V 
b 
o 
- V 
b 
a 
a X o X 
e) Cálculo das-compon~ntes 
Podemos calcular as componentes de um vetor v a partir das coordenadas 
das extremidades de um segmento orientado que o representa. 
·--+ 
, Se v = AB, A = (X1, y 1) e B' = (x2 , y2), então, 
1 V= ~X:~ - *1, V2 :_ 11) . . , 
ou seja.,, t v;: ~= B - ~ 1 
6 
onde B -- A é a diferença entre os pares ordenados associados a0s pontos B e A. 
y 
Y2 
Y1 
o 
exemplo 6 
A=(l,-1)} 
B = (5, 1) 
B 
d) As operações eom V'etores 
X 
y 
Y1 
o 
A 
xi 
--+ . 
v = AB = B - A = ( 5 - 1, 1 - ( -1)) = ( 4, 2) 
ctdição -.J~ t-?\-~ ~ Y~G:'RAN/J l 'YVWYYVIOv O'V\y} 
X 
Dados. dois vetores u e v, à soma u + v corresponde a soma dos pares orde-
nados associados a u e v. 
y y 
Yt + Yz. 
- - ------------ Yl +v,2 
---- / i 
- - I ) 
Y2 -- - 1 . 1 /1 1 
I l u+v l I 1 V 1 I 1 1 I 1 1 I 1 Y1 l 1 1 
1 1 1 1 X X o x2 Xt Xt +x2 o XJ X1 + X2 
1 
multiplicação por número real 
Dado um número real k e um vetor v, ao produto kv currespohde o produto 
de k pelo par ordenado associado a v. 
y 
ky 
o X 
J k E li e v = ~ , y} ==> kv = ~' ky) 1 
y 
kx 
2 
;;:;;__ 5 a:r _ r A. _ 2 ( e, - A.) + 5 ( e - B) .- ~ A - e') :: . nv--t u.- Vf'"' - ) (-\'2 i) _ ~ (-1\f\ ,~01 -t- SC-- , ,..,:z.")-lt21 -1) = (-22120) + (-5,- 10 -+ \ -
. tt-?A, ií?)\ ~ 
exemplo 7 
Dados A = (11, - 7), B = (O, 3.) e C = (- 1, 1) vamos calcular o vetor 
~ ---+ ~ 
2AB + 5 BC - CA. Temos: 
-* AB = B - A= (0, 3)- (1.1,-7) = (-11 , 10) 
; ~ 
:BC = C - B = (-1, 1) - (O, 3) = (- l i -2) 
-+ CA = A- C = (11, - 1)- (-1, 1) = (12, -8) 
--,), -:+ ~ 
logo 2AB + 5BC - CA = 2 (- 11, 10) + 5 (- 1, -2) - (1 2, -8) = {-39, 18). 
8 
O cálculo também pode ser efetuado como segue: 
. ~ ~ ~ . . 
2 AB + 5BC - CA = 2(B - A)+ 5 (C - B) - {A - C) = 
= 2B - 2A + se - 5B - A+ C = -3A - 3B + 6C = 
= - 3 ( 11 ,, - 7) - 3 (O, '3) + 6 (- 1, 1) = ( - 39, 18) 
EXERC.ÍCIOS Í!:!2_ 
'2. 
13. Dar o par ordenaqo associado a.o vetor 'V nos casos: 
a) 
V 
b) 
-~ = 
y e) y 
~~ 
1 I 
1 1 
1 , 
d) y 
---~ 
1 1 
1 1 
1 1 
' J 
X 
e) 
X 
y 
r 
r 
1 
1 
r 
1 
·- -1-- ----- -
X 
f) 
)( 
y 
----0, 
V 1 1 
1 
------ 1 [ 
1 1 
' l 
-14. Déte.rminar as componentes (coOTdenadas) ao vetor AB nos casos 
a) A = (2, 1) e B = (4, 6) 
e) A = ( - 2, O) e B = (3, - 1) 
e) A = (4 , 3) e B = (4, 5) 
g) A = (3, - 1) e B = (lQ, - 1) 
b) A = (7, 5) e B = (1, 2) 
d) A = (1, O) e B = (O, 3) 
f) A = (2., 5) e B = (2, 2) 
h) A = (O, O) e B = (x, y) 
X 
X 
15. Dados A = (- 2, 3), B = (2, 0), C = (Ó, - 5) e D = (- 4, - 2), verificar que os vetores 
- :;::::;t - -AB e uc são iguais e que os vetores AD e CB são opostos .. Os pontos A, B, C e D são os 
vértices de que quadrilátero? 
-16. Dados A = (2, 1), B = (5, -1) e C = (- 4, O), calcular o vetor soma dos vetores AB e 
ÃC. 
17. Dados A= (O, 1), B = (-3, 1), C = (4,4) e D= (5,-2), calcular os seguintes vetores 
- ~ 7-;!; -a) AB + 2CD b) 3AL - 2DB 
- ~ - - ;::-;t ~ -e) AB + 2Ac - 3AD d) AB + Bc + CD + DA 
18. Se v;;;;; AB, A = (3, 2) e v ;.;;;; (5, 8), então qual é o ponto B? 
9 
19. Dados A = (3, 7) e B = 01, 19), determJnar o ponto C tal que ÃC = ! ÃB. 
20. Os vetores u = (3, 4),, v = (2a, 7) e w = (1, Jb) satisfazem à equação 2u- v + 3w = Q, 
onde O indica o vetor nulo. Calcular a e b. 
4. Aplicaçõ.es: ponto médio e baricentro 
21. Determinar as coordenadas do ponto médio M do segmento de extremídades A= (x 11 y 1) 
e B = (xi, Y1). 
Resolução 
y 
Yl -- --
1 
1
1 
1 y ---- ,-- --
1 
1 
1 1 
1 1 Y2 ____ .J _____ L ____ B 
1 1 1 
1 1 1 
1 I 1 
1 I 1 
t I 1 
o X 
Sendo M o ponto médio de AB, os 
--vetores AM e MB possuem comprimentos 
iguais, mesma d,freção e mesmo sentido. 
Logo ÃM = MB. Temos então: 
M-A=B-M 
·2M =A + B 
IM- A2B1 
ou seja: 
·M= (:1,pY1)+tx2,Y2') = 
2 
( 
X 1 + l'C2 Y r _+ Y2 ) 2 , - 2 -
22. Dar o ponto médio do segmento de extremidades A = (3, 7) e B = {11 , - 1). 
Resob]ção 
"M = A + B = (3, 7' + (11, - 1) = ( 3 + 11 7 - 1 ) = (? 3.) 2 2 2 ' 2 ' . 
23. Dar o ponto médio do Ségmento AB nos casos: 
a) A = (2, 1) e B = (6, 9) 
c) A = (3, O) e B = (- 3, O) 
e) A = (- 21, ~) e B = (ri, - ~) 
b) A=(- 1~ - 4)' e B=(7; -1) 
d) A = ( ; , - 1) e B = (S_, - 1) 
24. Determinar os pontos médios dos lados do triângulo de vértices A {-11, 1), B (- 1, 7) e 
C.(5.,, -9). 
1() 
25. Obter os pontos que dividem o segmento de extremidades A(2 , 4) e B(14, 13) em três 
partes iguais. 
Resolução 
(Y,'iJ)-(_2, ~)- (1 1 !) 
Devemos obt-er os pontos C e D tais que 
-:-;:t 1 - --+ 2-Ac = 3 AB e AD = 3 AB. 
e -e) ~ ) -= e~ J ~ ) 
D 
Temos: 
-;-;:t 1--+ Ac= 3 AB -=:::::> C - A= 
= _!_(B - A) -==--=--> C = B + 2A 
3 3 
A~ 
A f := L ;A8 
logo: 
e= O 4, 13) + 2 c2. 4 ) = 
3 
3 ( = (14, 13) + (4, 8) = (6 7) 
e ) ) J .3 3) 3 ' 
. Y-,.~ -(2,-1 = 3 J ') 
Notando que D é o ponto médio de CB podemos obter D como segue 
D= C; B = (6, 7) +/14, 13) = (l0, l0) 
26. Obter os pontos que dividem em três partes iguais o segmento de extremidades A (- 3, 2) 
e B (12, - 7). 
27. Obter os pon tos que dividem em cinco paites iguais o segmento de extremidades A (1 , O) e 
B (- 9, 8). 
28. Entre os pontos que dividem o segmento AB, A(7, - 1) e B (-5, 5), em seis partes 
iguais, determinar aquele que está mais próximo de A. 
29. Prolonga-se o segmento AB, A (1, 2) e B (5, 4 ), no sentido de A para B, até o ponto P 
tal que o comprimento de AP é o triplo de AB. Determinar o ponto P. 
30. O segmento AB é prolongado, no sentido de A para B, até um ponto C tal que o compri-
mento de BC é o quíntuplo de AB. Dados A (3, - 1) e B (4, - 3)1 obter C. 
31. O ponto simétrico do ponto A, rela-
tivamente ao ponto B, é o ponto C 
tal que B é o ponto médio de AC. 
Dados A (3, 11) e B (5, 8), obter C. 
. A 
32. Dois vér tices de um paralelogramo são A(3, 5) e B (5, 3). Sendo M(l, - 1) o ponto 
médio das diagonais, obter os outros vértices, 
11 
33. 0$ pontos A (3, O) e C (O, 7) são extremidades de uma diagonal de um .paiâlelogramo. 
Dado também o vértice B (4, 4 ), obter o vértice D do paralelogramo. 
34. Determinar as coordenadas do baricentro dó triângulo ABC, dados A (x 1 , y 1), B (x2, y 2) e 
e f:x3, Y..3} . 
Resolµção 
O baricentro G é o ponto de intersecção 
das medianas do triângulo. G divide cada 
mediana na razão de. 2 para 1, no sen-
tido do vértice para o ponto médio do 
lado oposto. Sendo M o ponto mêdio 
de BC temos: 
AG=2GM 
Jogo: 
=:::::,. G -A = 2 (M - G) 
3G=A+2M 
3G=A +2 (~) 
IG=A+~ +C] 
G= (XuY1 ~ + (Xz,Y2) + (X3,Y3) 
3 
A 
B M e 
35. Usa1;1do a fórmula encontr'áda no exercício anterior, obter o baricentro do triângulo ABC 
nos caso~: 
a) A (O, 0),. B (9t U), G('O, 6) 
b) A (3, 2),_ B {7, 7.), C(S, - 3) 
e) A( - 1, -2), B(0,-4)1 C(l,6) 
d) Ã (a+ 1, a -1), B (-c- 1, 1), C (1 - a, 1 + a) 
36. Num tríângulo de baricentro G ( O, ; ) ~ dois dos vértices são A{l ; 1) e B (-2,;) . 
Obter o outro vértice. 
37. Num triângulo de baricentro G('6, '2),. dois dos lados têm pontos médios M(7 , 4) e 
N ( i , ; ) .. Obter os vértices do triângulo. 
12 
TESTES SOBRE O CAPÍTULO I 
38. Da igualdade (xy - 1, x - y) = (3, O) podemos concluir que 
a) x = 3 e y = O b) x = y = 1 
c) X= y = ± 2 d) x = 1 e y = O 
e) x = 2 e y = - 2 
39. O ponto simétrico do ponto P (3, - 2) em relação ao eixo dos x é o ponto 
a) (- 3, - 2) 
c) (3, 2) 
e) (2, 3) 
b) (-3, 2) 
d) (2, - 3) 
40. Dado o ponto P ( l , 3), os pontos simétricos de P em re lação ao eixo x, ao eixo y e à 
origem do sistema cartesiano são, respectivamente 
a) (1,-3), ( - 1,3) e (-1, -3) 
e) (- 1,3), (1,-3) e (-1, - 3) 
e) n.r.a. 
b) (- 1, 3), ( 1, - 3) e (1,-3) 
d) (1, -3), ( 1, 3) e (- 3, -1) 
Convenção: n.r.a. = nenhuma das respostas anteriOies. 
4 1. Um retângulo de centro na origem do sistema cartesiano apresenta os lados paralelos aos 
eixos coordenados e um vértice é A = (- 5, 3 ). Os outros vértices são: 
a) (5, 3) (5, O) e (- 5, O) 
e) (- 5, -3), (3, 5) e (-3, - 5) 
e) n.r.a. 
b) (3, 5), (5, - 3) e (- 3, - 5) 
d) (5, 3), (5, -3) e (-5, - 3) 
42. Se um ponto apresenta a abscissa maior do que a ordenada, o quadrante onde ele não 
pode estar é 
a) lP b) 2<? c) 39 d) 49 
e) tal ponto pode estar em q1,1alquer quadrante. 
43. Dados os vetores u = (4, 3), v = (5, - 1) e w = (- 3, O) temos que u - v + w = 
a) (2, 4) b) (- 4, 2) e) (6, 2) d) (- 4, - 4) 
e) (- 4, 4) 
13 
44. , Dado o vetor. u. = Ç- 3, 1}, uma rep:resentàção geométríca do vetor - 2u é. 
aJ y ·b) y e) y 
2 
X 
o 6 -6 o 
- d) 
y 6 
e) n:r.a. 
- ---+----+------.. X 
o 
45. Das representações geométricas seguintes_, a que não corresponde ao vetor (2. 1) ·é: 
à) 
d) 
, 
• 
y 
3 
2 
1 
o 
V 
1 
o 
~:;:7] 
1 1 
1 1 
1 
' 1 1 
1 ,2, 
X 
b) y 
X O 1 . 2 X ' 
e) y 
1 
X 
o 1 2 
46. Dados A (1,, Ot B (O, 4) e C (O, O), o vetor AB + 2BC é igual a: 
a) (- 1, - 4) b) (4_, 1) 
e) (- 1, 1) d) (-4, -4) 
,e) (-1, O) 
14 
e) y 
1 
X 
-2 -1 O 
47. Os vetores u = (1, 2), v = (9, 12) e w = (x, 6) do JR.2 , satisfazem à equação 3u + w = v. 
O valor de x é 
~) 12 Q.) 9 e) 6 d) 8 e) 10 
48. Dados 9s vetores u = (3, -1), v = (4, 2) e w = (-4, 3), os números x e y que verificam 
a equação xu + yv = w. são, respectivamente; 
5 5 
aj2e~ ~2e - T 
1 
e) -2- e 4 
e) n.r.a. 
d) -2 e ; 
49. "Dados os vetores u = (1 , 2), v = (- 1, - 2) e w = (O, O) , sobre a equação au + bv = w 
podemos afh:rn~ que 
a) verifica-se apenas para a = 1 e b = 1. 
b) verifica-se para todo a e para todo b,_reais. 
e) verifica-se para todo a e para tódo b, ·positivos. 
d) veritica-s.e apenas para a = h = O'. 
e) n.r.a. 
50 .. Os pontos médios dos lados do triângulo de vértices A ( 1, ; ) , B (3, - ~) e C(3, 3) são 
4) (2, O), (2, 7) e (3, 5) b) (2, O), (2, ; ) e ( 3, 1) 
e) (2,0), (2,;)e (3,i) d) (4,0),( ;,2) e(;,1) 
e) n .r.a. 
·st. Dados A (2, - 1) e 13 (5 , 2) o ponto do segmento AB que dista de A a metade do que 
dísta de B é. 
a) (3, O) 
e) (2i 2) 
e) n.r.a. 
b) (4, 1) 
d) (3,5; 0,5) 
52. Dos pontos que dividem o segmento AB, A = .(2, 9) e B = (16, - S), em 7 p~tes iguais, 
o q_ue está mais próximo de B é: 
a) (4, 7) 
e) (13, - 2) 
e) n.r.a. t 
b) (9,, 2) 
'$Ó (14,-3) 
'-1, 
15 
CAPÍTULO II 
PRODUTO INTERNO NO R2 
e Q\A, ~l)\)f\) E~ 1. 
1. Produto escalar de dois vetores 
Chamamos produto escalar ( ou produto interno usual) de dois vetores 
u = (xi, Y1) e v = (x2 , y2) do IR2 ao número real x1x2 + y1y2 . Indicamos este 
número pelo símbolo u • v, cuja leitura é "u escalar v". 
Adiante veremos a ·interpretação geométrica de·ste produto. 
exemp/0, 1 
, 
• 
Sendo u = (5, 3), v = (2, 4) e w = (-6, 1) temos: 
U • V = 5 • 2 + 3 • 4 = 22 
V • W = 2 (-:- 6) + 4 • 1 = - 8 
✓ u · u = 5 • 5 + 3 · 3 == 34 
O produto escalar goza das seguintes propriedades: 
r~) u • u ~ o e u • u == o ç:==~ u = o 
2~) U • V = V• U 
3~) u • (v + w) = u • v + u • w 
4~) u • (kv) == k(u • v) 
V uER\ V vEJR.2, V wElR2 e V kER. 
~empl@ 2 
Dad0s u = (1,, 2), v = (5, 3) e w = (- 3, 4) temos: 
u • (v + w) = (1, 2) • (2, 7) = 1 • 2 + 2 • 7 = 16 
lll • V + U • W = (1 • 5 + 2 • 3) + (1 • (-3) + 2 • 4) = 11 + 5 = 16 
2. Módulo de um vetor 
Dado o vetor u = (x, y) do JR.2,
podemos mostrar que o seu módulo (compri-
mento) é dado por 
1 IJJI =,;/x• +y2 1 
p 
y 
o X 
O módulo pode ser expresso usando o produto escalar. De fato, notemos 
que 
logo 
u · u = (x, y) • (x, y) = x • x + y • y = x 2 + y2 = (lul)2 
J loJ = '\1"'11.• u j 
NOTA: O módulo deu é também chamado norma de ue indicado por lul ou llull. 
exemplo 3 
u = (-6, 8) lu 1 = J (- 6)2 + 8 2 = J 36 + 64 = J"ioo = 1 o 
vetor unitário 
Um vetor que possui módulo igual a 1 é chamado vetor unitário. 
j v é unitáio -~( =~> lvl = L 1 
Dado um vetor não nulo v, o vetor v' = l:I é um vetor unitário de mesma 
• 
diieção e sentido de v, denominado versor de v. 
1:, 
exemplo 4 
O versor. de v = (3, 4) é o vetor 
(3,4) 
5 
N0t_emos que é um vetor unitário : 
(3 4J 
- \5'5) 
lv'I = /(;)' + G)2 = )fs +~~-A= v'T= 1 
EXERCÍCIOS 
1. Dados u = (4, 9), v = (2, - 1) e w = (5, 10), calcular 
.a:) u • V b) V • w 
e) w • u d) V. V 
e) u • (v + w) 
2. Provar que u • (v + VI). = u , v + u • w 
(considere u = (a, b), v = (e, d) e w = (x, y) e faça as contas). 
3. Dados u = J6, - 2), v = (- 3, 4) e w = (1, 5) calcular 
a'.) · u • (v -+ w) b) (u - v) • w 
e) 1u + v) • (u - v) 
. . 
d) (4 u) • v 
e) 4 (u • v) 
4A Dados u = (- 3, O), v = (1, -2), w = ·(- 3, ~ 3') e z = (O, O), calcular 
a) u. v + v, w + w. z b) (u + v) . (2w - z) 
5. Calcular o. m.ódulo dos seguirtt~s vetore.s.: 
, 
a) u = .(4, 3) 
✓ 
e) w = (-5, Ô) 
e). q = (- 3., - 3) 
b) v = (- 2, 1) 
d) p = (7, - 1) 
6. Dados u = (1, - 1), v = (- 3', 4) e w = (_:_2,; 0),. calcular 
a). lul b) lvl e) lu + vi d) lv - wl 
7. A igualdade lu + vi = lul + lvl é verdadeira para V u E IR.-2 e V v E IR2 '! 
8. Daâos u = (3) 7) e v = (1, - 4), calcular 
a) lu + vi b) 13u - 2,yl e) lu + 2vl 
18 
e) 15wl 
9. Dados u = (6, - 8) e v = (-41 - 3 ), calcular lu l + lvl + 2 (u • v). 
10. Entre os vetores seguintes, quais são unitá_rios? 
a)(~,;) b) (;, -~) e) (- 1, O) 
d) ( f , ;) e) (~ 1 ~) 
11. Calcular os valores de a P,ara os quais o vetor u = ( ; , a) é unitário. 
12. Dado u = (a, - 2), calcular os valores de a para que se tenha lul = 3. 
13. Dados 1,l = (a + 1, 2} e v = (- 3, a), calcular o valor de a para que se tenha u • v = O. 
14. Calcular os va-lores de m para que se t~nha (u + v, . (u - v) = O. Dados u = (m, l ) e 
V= (2, -1), 
15. Dados u = (2, - 1) e v = (x, O}, calcular x de modo que §e tenha 2 u . (u t v) = - 2. 
16. Determinar o versar de v no~ casos 
a) V= (10, Q) 
d) v = (../3, -1) 
b) v = (O, -6) 
e) V= (5, 5) 
c) V= (4, 3) 
f) V = (2, 3) 
17. Dados u = ( ~ 12, - 5) e v = (9, -12), determinar os vetores 
U V 
a) 1uf + lvT b) (u • v)v + (v. u)u 
18. Provar que: 
a) se u = (x, y) e k E IR, então lkul = lkl lul. 
c) ( U •V) V 
V,V 
b) se u = (Xp y 1) e v = (x,, y 2 ), então (lu + vl)2 = (lul)2 + ( lvl)2 + 2{u. v). 
3. Distância entre dois pontos 
A distância d entre dois pon-
tos A = (xi, Y1) e B = (x2, Y2) é 
o comprimento (módulo) do vetor 
~ 
AB. 
~ 
Como AB=B - A-
= (x2 - Xi, y2 - y1) ~ temos: 
y 
Yt -
B 
19 
r 
exemplo 5 
A distância entre A(l,, 3) e B(S, 6) é 
d= ✓(s 1)2 + (6 -3)2 = ✓42 + 32 = J16 + 9 = '1i:i = 5. 
4\ EXERCíCiúS 
19. Calcular a distância entre A e. B nos casos: 
a) A= {0,4) e B=(12, 9) 
cj A= (4, - 1) e B = (2, 3) 
b) A = (- 1, - 5) e B = ( O, - 6) 
d) A = (3; 1) e B = (7, 1) 
20. Calcular o perímetro do triângulo de vértices A (3, -1), B (6, 3) e C(7, 2). 
21. Para que valor de x o ponto A (x, 2) é equidistante dos pontos B (1 , O) e C {- 1, 1 )? 
Resolução 
Devemos calcular. x para que se verifique 
a igualdade 
isto é: 
J(1 - x)'l + (O - 1)2· = J<- 1 - x)'2 + (1 - 2)2 
Elevando ao quadrado ambos os membros vem: 
1 - 2x + x2 + 4 = 1 + 2x + x2 + 1 
por:tanto -4x = - 3 e, então, x = ! . 
1 
[ A 
1 
1 
1 
1 
1 
- - - - - -------;:í-· ----- ---
B i C 
• 1 
22. Calcular o valor de y de modo que o _ponto (1 , y) seja equidistante dos pontos (1, O) e 
(O, 2). 
23. Dete1tminar um ponto P que pertença ao :eixo dos x e 'Seja ~quidistante dos pontos 
A (-1.! 1) e B(S, 7). 
24. Obter no eixo dos y um ponto equidistante dos pontos (- 2, O) e (4, 2). 
25. Calcular a distância entre o ponto A Çl , l} e, o põnto '.~in'létrico de B(5, 2) em relação ao 
eixo dos _x. 
26. Os pontos A O, 1) e B (6, 4J -são extret;nidades de. um lado de um quafüado. Qual é a 
área deste quadra,do? 
20 
4. Paralelismo e ortogonalidade 
a) Condição de paralelismo de. dois vetqres 
Quando dois vetores u e v do IR 2 são paralelos, suas representações geomé-
tric~ por segmentos orientados, a partir da ·origem O, ficam sobre uma mesma 
reta. 
y 
/ 
/ 
/ 
/ 
/ 
/ 
/ ' 
✓ 
/ 
/ 
/ 
,,✓• u 
u ,/ 
--.fC------- ---->< / O 
,/ 
V 
' 
' 
' '\ 
' 
Neste caso, se v não é nulo, podemos concluir que u é um "múltiplo" de v, 
. k d k lul ou seJa, u = v on e = ± lvT . 
Assim, dado um vetor não nulo v, todo vetor u paralelo avé um "múltiplo" 
de v, isto é, 
onde k é um número real. 
Sendo u = (x1 , yi) e v = (x2 , y2) temos 
u = kv 
X1 Y1 
Se x2 • y2 :::/=- O, decorre que k = - e k = - , logo 
X2 Y2 
«: concluímos que a c-ondição de paralelismo dos vetores u e v é que eles apre-
sentem componentes proporcionais. 
21 
exemplo 6 
Dados v = (3, 5), são p·aralelos a v os seguintes vetores: 
u1 = (6.10) ; porque (6., 10) = 2(3., 5t logo u1 = '2v. 
u2 = (15, 25); porque U 5, 25) = 5 (3, 5), logo u2 = 5v. 
u3 = (-9, -JS); porque (-9, - 15) = -3(3, 5), logo u 3 = -3v. 
u4 = (1, ;) ; porque (i,;) = ~ (3,.5), logo u4 = ~ v. 
exemplo 7 
Os vetores u = (8, 1.6) e v = (1 O, 20) são paralelos, pois 1
8
0 = ~~ . 
exemplo 8 
O ( 1 O 12) . (2'-C 40) ~ - a1 1 . 1 o ...J_ 1 2 s vetores u = , e v = .; , _ nao sao par e os, pois 
25 
-,-
40 
. 
b) Condição de ortogonalidade (perpendicularidade) de dois vetores 
Dois vetores não nulos u e v 
são ortogonais quando podem ser 
representados por segmentos orien-
tados perpendiculares. Neste caso, 
temos: 
( lu + vl) 2 = ( lul)2 + (lvl)2 Q) 
u+v 
u 
V 
'· 
Se u = (x1 ,. Y1) e v = (x2, Y2), êntão, u + v = (x1 + X2, Y1 + y2), 
,. lu.+ vi = ✓(x1 + x2)2 + (Y1 + Y2Y2 , Jul = ✓(x1)2 + (Y1)2 e 
lvl = ✓ (x.2)2 + (y2)2 
De (D decorre que: 
(x1 + Xz) 2 + {Y1 + Y2)2 = (xí) 2 + (Y1)2 + {x2)2 + (y2)2 
ou seja, 
(x1) 2 + (x2-)2 + 2X1X2 + (Y1)2 + (Y2)2 + 2Y1Y2 = (x1)2 +(y1)2 + 
+ (x2)2 + (Y2)2· 
logo, 2x1x2 + 2y1y.2 = O e concluímos que 
t X 1,;X7 + ):' 1 Y2 = 0 
Como x1x2 + y1 y2 = u • v, temos que a condição de ortogonalidade é: 
U •V= 0 
exemplo 9 
Para os vetores u = (3, .5) e v = (1 O, - 6), temos: 
u • v = 3' • 1 O + S · (- 6) = O; 
1 ogo u e v são ortogonais. 
exemplo 10 
Para os vetores u ::::: (7, -2) e v = (-4, -15),. temós: 
ll • V , = 7 ( - 4) + ( - 2 ){ - 15) = 2 * 0; 
logo u e v não são ortogonais. 
Observações: 
1 ~) O vetor nulo é considerado paralelo e também ortogonal a qualquer outro 
vetor. Observemos que se z = (O, O) e v = (a, b), então, z =Ove z • v = O. 
2~) A condição de paralelismo de dois vetores pode ser expressa a partir de um 
determinante de ordem 2, cajas linhas são formadas pelas coordenadas dos 
vetores. 
Sendo u = (xi, y1) e v = (x2 , y2) a eondição de paralelismo é: 
=O 
ou seja: x 1 y2 - x2 Y1 = O. 
3~) A condição de ortogonalidade também pode ser deduzida a partir de (D 
como segue: 
(lu + vl)2 =(lul)2 +(lvl)2 (u + v) • (u + v) = 
=u•u+v • v <==~ u-u+u-v+v•u+v - v= 
= u • u + v • v <==~ 2 (u • v) = O ·<;· ===> u • v = O. 
13 
EXERCfCIOS 
27 .. Dàdó o vetor 
a) (8, 12) 
v = (4, 6), dizer quajs entre os vetore~ seguintes s~o P,a.ralelos a v:· 
b) (12, 18) 
e) (-4,-6J d) (- 20, -30) 
e) {2, 3) ( 1 1) o 2' 3 
g} (; , ! ) ( 3)
h) -1, - 2 
i) (- 8, 12) j) (O, O) 
28. Verificar se u e v são paralelos em cada caso.: 
a) u = (4, 2) e v = (12, 6) 
e) u = (6, 9) e v = (Í 2, 15) 
e} u = (- 3, 4) e v = (4, - 3) 
b) u = (- 6, - 12) e v = (1, 2) 
d) u = (8, 14) e v = (12 , 21) 
f) u = (2~ O) e v = (- 6, O) 
29. Verificar se u e v são o.rtogQnais nos casõs 
a) u = (3, 2) e v = (-4, 6) 
b) u = { - 1, -:- 3) e v = (3, -1) 
e) u= (5,4) e v=- (-2,3) 
d) u· = (_7, Q) e v = (O, 2) 
e) u = (- 1, 1) e v = (8, O) 
f) u = (a, b) e. v = (b, - a) 
30. Dados u = (2, S) e v = (5, 2), verificar se os vetore.s u + v e u - v são ortogonais. 
31. D'a.dos u = (3, 1) e v = (2.J 2), verificar se· os vetores u + v e u. - v são ortogonais. 
32. Para que valor de m os ve:tores u = (1, m) e v = ( - 2, 2) são ortogonais? 
33,. Calcular a para que se tenha u ortogc,mal a v nos casos: 
a) u == (a, - 3) e v = (2, 4) 
b) u = (1, 4) e v = (.a+ 1, - a) 
e) u = (a, a+ 2) e v = (3, a - 2) 
34, Para que valor de m os vetores u = (2, 5) e v = (8, .m) são paralelos? 
35. Determinar a de modo qúe u seja paralelo a v nos casos: 
a) u = (a, 9) e v = (- 2, 3) 
ô,). u = ('?, a+ 1) e v = (28, 16) 
e) u = (,a, 1) e v = (4, a) · 
24 
36. Obter y de modo que os pontos A (3, y), B (O, 4) e C{4, 6) sejam vértices de um biângulo 
1 
retângulo em A. 
Resolução 
O~ vetores ·AB e Aê devem ser 
ortogonais Temos: 
-AB = B - A= (O - 3, 4 - y) = 
= (- 3, 4 - y) 
Aê = c - A= (4 - 3, 6 - y) = 
= (1, 6 - y) 
B 
e 
A 
ABlAC ::;:::_ =~ ÃB-ÃC=O ====:> (-3), 1 + (4-y)(6-y)=0 ===> 
====:> - 3 + 24-4y- 6y + y1 =o==:> y 2 - l0y + 21 = o ===> 
10 ± ✓<-10) 2 -4 , 1 , 21 
y = 2. 1 ==~ r=7 ou y=3. 
37. Obter x para que o triângulo ABC seja triângulo retângulo em B. Dados A (5, 4), B (x, 2) 
e C(4, - 2). 
38. Calcular y para que o quadrilát~ro de vértices A (O, O}, B (5 , 1 ), C (7, 3) e D (3, y) possua 
as diagonais AC e BD perpendiculares, 
39. Calcular x de modo que o quadrilátero de vértices A (O, O), B (-2, 5), C (1, 11) e D (x, - 1) 
possua os ladós AB e CD paralelos. 
40. Verificar que os pontos A (- 3, - 1), B (2, - 41, C (7, - 1) e D (2~ 2) são os vértices de 
um quadrilátero que apresenta os lados opostos paralelos e as diagonais perpendiculares. 
41. O triângulo de vértices A(6, -4)t B(ll, 2) e C(l, 1) é triângulo retângulo? 
5. Ângulo de dois vetores 
Neste item vamos mostrar que o produto escalar de dois vetores está relaci~ 
nado com o âng:lilo formado por eles. Lembremos que o ângulo 0 ·entre d0ís 
vetores não nulos u e v varia· desde Oº até 180º: 
25 
V 
o u V 
()= oº 
u e v paralef 0$, de mesmo 
sentido 
u 
() 
O ... ·_.__ ____ v_ ... 
0 = 90° 
u e v ortogonais 
u 
• 
u 
() 
a 
o 
0 = 1soº 
V 
o 
soº < 8 < 1aoº 
V 
u e v paralelos, de sentidos oposto$ 
Aplicando a lei dos cossen.os ao triângulo ABC indicado na figura, temos: 
(lu - vl)2 = ( lul) 2 + (lvl)2 -
e 
A B 
- 2 lul lvl cos 0 , jsto é: 
(u - v) • (u - v) = u • u + v • v -
- 2 lul lvl cos 8 , isto é: 
u • u - 2 (u • v) + v • v = u • u + 
+ v • v - 2 lul 1vl cos 0, ou seja: 
- 2( u • v) = - 2 1 ui lv I cos 0 
l u • v = 1 u 1 1 vi cos 8 1 
Logo, o produto escalar de dois vetores u e v é o produto dos seüs módulos 
pelo cosseno do ângulo formado por eles. 
Observemos que: 
19) U • V > 0 cos 0 > O Oº ~ 0 < 90º 
O produto escalar é positivo quando o ângulo é agudo ( ou nulo) 
2Q) U • V < 0 ç:::= ::::::;> COS 0 < Q ç:::= ::::::;> 90° < 0 ~ 180° 
O produto escalar é negativp quando o ângulo é obtuso ( ou raso) 
39) U • V = 0 ç== ::::::::::::> COS () = 0 ç::;= ::::::::::::> 0 = 90° 
O produto escalar é nulo quando o ângulo é reto. 
26 
Para determinar o ângulo 0, sendo dados u = (xi, y 1) e v - (x2 , y2), 
partimos da fórmula 
cos0 -
exemplo 11 
U•V 
lul lvl 
Determinemos o ângulo entre u = (1 , 3) e v = (- 2, 4) : 
cos 0 = _u_,_v 1 (-2) + 3 • 4 __ 1_0 _ _ = V2 lullvl - ✓ 1 2 +32 • ✓c-2)2+42 - y'TI)y20 2 
Como Oº~ 0 ~ 180° e cos 0 = '1; temos que 0-= 45°. 
EXERCI CIOS 
42. Determinar o ângulo entre u e v nos casos: 
a) u = (1, 2) e v = (- 1, 3) 
b) u = (3, O) e v = (1, ./3) 
c) u = (O, 2) e v = (- 1, - 1) 
43. Obter o ângulo entre u e v nos casos: 
a) u = (1, - 2) e v = (10,5) 
b) u = (4, 3) e v = (8, 6) 
e) u = (3, - 1) e v = ( - 3, 1) 
44. Dados u = (4, 3) e v = (2, - 1), detenninar o ângulo entre os vetores u + v e u - v. 
45. Dados u = (1, 1), v = (1, O) e w = (O, 1), obter o ângulo entre os vetores u - w e w - v. 
46. Dado o triângulo de vértices A (0, 2), B (,J3, 5) e C (O, 6), calcular a medida do ângulo 
interno Â. 
Resolução 
No temos que o ângulo interno  do 
triângulo ABC é o ângulo 8 entre os ve-
tores ÃB e AC. 
Temos: 
AB = B - A= <v'3 - o, 5 - 2) = 
=(~3) 
-AC= C - A= (O - O, 6 - 2) = (O, 4) 
e 
A 
B 
27 
AB. Aê 
cos 
0 
= 1 ABI IACI = 
J3 . O+ 3 • 4 12 
✓c.JS)2 + 32 • Jo2 + 41 - ./TI. 4 = --2 
Logo1 0 = Â = 30° . 
4 7. Calcular as medidas dos três ângulos internos do triângulo ABC. Dados A (1 , 2), B (2, O} 
e C(O, - 1). 
48. Dados A(l, O), B (4, 1) e C(4 , y), calcule y de modo que se tenha BÂC = 60º. 
49. Seja v um vetor unitário, Mostre que a projeção de um vetor u na direção de v é o 
vetor p = (u • v)v. 
Resolução 
Corno p é um vetor de direção igual à 
de v, temos. que p = k v. 
Para calcular k vamos usar a ortogona-
lidade dos vetores u - p e v: 
U - p l V = ==:> (u - p) • V= Ü =====> 
= = > (u - kv) . v= O = => 
= =~ u r V - k (v • v) = o. 
Sendo v unitário (IVI = 1} temos v . v = 1 e, então, k = u . v. 
Logo, p = (u •. v) v. 
50. Calcular a projeção de u na direção de v nos casos 
a) u = (10, 5) e v= (l ~) 5 ' 5 
b) u = (- 3, 2) e V = (1, 3} 
Resolução 
a) Verifiquemos se v é unitário: 
•• IVI = j( ~ )2 + ( ~ ) 2 = j ;S + ~~ =vi= L 
Como· v é unitário a projeção é p = (u . v) v. Temos: 
3 4 
U • V = 10 • S + 5 • S = 10 
p = (u • v)v = 1 O ( ; , ! ) = (6, 8) 
b) 1v1 = Jt2 + 32 = vÍ10 ==> v não é unitário. 
Neste caso, determinamos inicialmente o versar de v: 
28 
. > 
A projeção pedida é p = (u • v')v'. Temos: 
u • v' = ( - 3) • 1 + 2 • 3 
v'IO 0Õ 
3 
P = (u • v')v' = Jio (Jio, Jio) =(/o• {o) 
51 . Determinar a projeção de u na direção de v nos casos: 
a) u = (5, 2) e v = ( ; , f) 
b) u = (0, 4) e v = (1, 1) 
c) u = (- 7 , 2) e v = (3, O) 
d) u = (4, - 2) e V = (4 , 8) 
52. Se p é a projeção de u = (O , 2) sobre v = (1, - 1), determine o vetor u - p. 
53. Calcular o módulo da projeção de u = (2, 6) sobre v = ( ~ , ~) . 
54. Mostre que se v é unitário , então, o produto escalar u . v é, em valor absoluto, o módulo 
da projeção de u so?tc v. 
55. Mostre que se v é um vetor não nulo, então, a projeção de um vetor u sobre v é um 
ve tor de módulo igual a I u I lcos e 1, onde 0 é o ângulo entre u e v. 
6. Área de um triângulo e alinhamento de três pontos 
a) Área de um triângulo 
Consideremos dois vetores não paralelos, u = ( a, b) e v = ( ct d) , aplicados 
num ponto A. Seja B a extremidade de u e C a extremidade de v. Vamos calcular 
a área S do triângulo ABC. 
e 
A u B 
Sendo 0 o ângulo entre u e v, eh a 
al tura relativa ao lado AB, temos: 
S = ~ lulh }==> 1 
h = lvlsenB S=21ullvlsen0 
Como 0° < 0 < 180° e cos 0 = 
U • V 
= lul lvl , temos 
29 
Logo: 
sen 8 :--
(u. v)2 ✓Clul) 2 (lvl)2 -(u. v)2 
1 
- (lul)2 (1vl)2 - lu l lvl 
1 ✓ (lul)~(lvl)2 - (u • v)2 
s = 2 lullvl lullvl 
S = l_J (lul)2 (lvl)2 - (u . v) 2 2 
S =-1 ✓ (a2 + b2) (c2 + d2) - (ac + bd)2 2 
S = _!_ ✓a2c2 + a2 d2 + b2 c2 + b2 d2 - a2c2 - 2abcd - b2 d2 2 . 
S = _!_ Ja2 d2 - 2abcd + b2c2 2 
S = ~ ✓ ( ad ..:... bG) 2 = ; 1 ad - bc I 
a b 
Fazendo 11 = = ad - bc concluímos que: 
d e 
exemplo 12 
•. Dados A(3, 1)~ H(7, SJ e <:::(2, 4) calqulemos a ,área do triângulo ABC: 
e 
~
u = AB = B - A = (4, 4) 
--+ 
v = AC = e - A = (- 1, 3) 
B 4 4 
t1 = = 12 - (-4) = 16 
-1 3 
A S = i 161 = ~ 1161 = 8 
30 
b) Alinhamento de três pontos 
Dados três pontos, A (x 1, y 1), B (x2 , y2) e C(x3 , y3), seja 6 o determinante 
-4- ---+ 
cujas linhas s-ão formadas pelas componentes dos vetores AB e AC: 
~ ' . ~ = B - A = (x2 - X1 , Y2 - Y1) } =====:> 6 = X2 - X1 
AC = C - A = (x3 - X1 , Y3 - Y1) X3 - X1 
Se A, B e C são os vértices de um triângulo, então, a área desse triângulo é 
~ 161 e, portanto, 6 -:f. O. Assim, se 6 = O podemos concluir que A, B e C não 
são vértices de um mesmo triângulo e, portanto, são pontos colineares. 
y y 
e 
---
~ ---
A --- --- A 
X X 
o o 
Por outro lado, observemos que os pontos A, B e C são colineares se, e 
~ ~ 
somente se, os vetores AB e AC têm a mesma direção (são paralelos). Assim: 
~ --+ 
A, B e C são colineares <:=== =:> 3 k E R I AC = kAB 
(x3 - Xi =k(x2 -xi) e y3 - Y1 =k(Y2 -Y1)) <====!> 
·êZ= =~!- 6 = 
Y2 - Y1 
= O 
logo 
1 A, B e C são colineares ts = o 
exemplo 13 
Dados A(- 1, -1), B(l,3) e C(4,9) temos: 
AB = B - A = (2, 4) } 
AC= C - A =(5, 10) = • 
2 4 
6= = O 
5 10 
logo, A, B e C são colineares. 
31 
EXERCÍCIOS 
56. Em cada caso, ve,rificar se os pontos A, B e. C são colineares ou se definem um triângulo. 
Se definirem triângulo, dar a. sua área.. 
a) A = (3, 11), D = (4., 13), e = (6,_ 18) 
b) A= (OJ -1), B .= (2, 5J, C = t - 1, - 4) 
e) A= {-2,J), B = (1 , -10), C = (- 4, 7) 
d) A = (6, 5), B = (- 4, O), C = (O, 2) 
57. Para que valor de x os pontos A (2, 5), B (7, 15) e C (x, 38) são colineares? 
58. Para que valores de x os pontos A (1, Q), B (8 , 3) e .e (x, 6) definem um triângulo 'dê 
área ígual a 6? 
59. Para q~e valores de y os pontôs A (-1,. 1), B (3, y) e C (4J O) de.finem um ttiângulo de 
'área igual a 0,5? 
60. Dados A = (1, O) e B = (4, O), determinar um ponto C no ebco 'dos y de tal modo 'que 
o túângulo ABC tenha área igua)._ a 5. 
61. Dados A= (2, 3) e·B = (4, 1) determinar o ponto onde a n,ta AB corta o eixo dos x. 
62. Calcular a átea do parálel0gramo de. 1ados definidos pelos vetores u = (5 , 3) e v = (2, 4). 
Resolução 
u e 
A u B 
Notemos que a área do paralelog,ramo é 
duas vezes a área do tríângulo que tem 
dois lados definidos por u e v: 
SABCJD = 2. ( ~ 1~1) = l~I 
5 3 
~ = = 14 
2 4 
==- SABCD = 14 
63. Calcular a área do paralelogpuno de lados de.finidos pelos: vêtores u - (4, - 1) e 
V= ( - 2.,_ - 'J). 
64 .. Calcular a área qe cad-a Efl:ladrilátero indiGad.0: 
a) Y 
4 
32 
3 
2 
1 
o 1 2 3 4 5 
, 
a b 
65. Dados D. 1 = 
e d 
a) calcular .61 e t::.,,,. 
a 
e t:,2 -
b 
d+b 
pede-se 
b) justifiçar a igualdade 11::,2 1 = IA,I através de áreas de paralelogramos. 
TESTES SOBRE O CAPÍTULO II 
66. Dados u = (4, 2) ·e v === (- 3, 5) o produto escalar u • v é igual a 
a) -2 b) - 1 e) O d) 1 e) 2 
- -67. Se A= (7, -1), B = (Q, 4) e C = (- 2,. 3), então, o produto escalar dos vetores AB e BC 
é igual a 
a) - 8 b) 15 é) o d) - 13 e) 9 
68. O módulo do vetor (4, - 2) é. igual a 
a) 5 b) 2 e) 4 d) 2-/3 e) 2../5 
69. Dados u = (3, - 1) e. v = (1, 4), , o módulo do vetor soma u + v é igual a 
a) ,J27 b) 4 e) 5 d) 3,Js 
e) v'lü+-JTT' 
70. O vetm u = ( m, ! ) é um vetor unitário se m = 
2-/2 1 
b) ± 3 e) ±-T d)± J3 e) n.r.a. 
71. Um vetor unitárjo da direção da bi~setriz do 19 e 39 quadrantes é 
1 ../2 
a) 2 (1 , l) b) (1,1) c) ./2(1,1) d) 2 (1,l) e) n.r.a. 
72. A distância do ponto P (.8, - 6) à origem do sistema cartesiano é 
a) 6 b) 8 c) 10 d) 15 e) n.r.a. 
73. Os pontos A(l, 1), B(-2, 3) e C(3,-2) são os vértices de um triângulo cujo perímetro 
é igual a 
a) 2./IT + 5 ./2 
c) 2( .jIT + v'S) 
e) n.r.a. 
b) J2 + .JT + y'11 
d) .JT02 
33 
74. Os pontos A(l, Q), B (O, 1) e C (2, 2) s.ão os vértices de um triângulo 
•a) equilátero b) retângulo 
ê) isósceles, inàs nã.o retânguló d) escaleno 
e) n.r.a. 
75. Dado o triâng\llo de v:éitices A (O, O), B(5, - 3) e C {3, - 3), a medida da mediana 
.relativa ao vêrtice A é 
a) 5 b) 4 
76. Na figura temos 
a) 7 
A = (2, 3") 
A' = (6, 9) 
AB li A'B' 
se IABI = 3,5 então IA'Il11 = 
b) 9 
e)~ d) .j2Õ 
V 
o 
e) 10,5 d) 12 
77. O ponto (x, 2x} é equidistante dos pontos (3, O) e (- 7, O) par~ 
ajx=-2 ~x= - ~ 
C) X = '± '.2 
7 
e) X=-
•2 
d) x. = O 
78. Um -vetor par-alelo ao vetor u = (4, - 2) ê 
~ -· •.,;,, 
a) (6, -4) b) (-2, 1) e) (- 2, 4) 
79. l.Jm vetor oitogonal ao vetor u = (3, 6) é 
a) (1, 2) b) (12, 6) e) (1, - 2) d) (-12, 6) 
80. Os vetores u = (4, 7) e v = (2, y) .são paralelos se y = 
a) 3 b) 3,5 . e} 4,.5 -8 d) --7 
e) n.r.a. 
e) n.r.a. 
e) n.r.a. 
e) n.r.a. 
e) n.r.a. 
81. Dados A(l,0), B (2,. 3) ·e C(5, y), os vetores Aê e AB são ortogonais se y = 
4 . 4 3 3 
a) - 3 .b) 3 e) 4 d) - 4 e) n.r.a. 
82. Dados u = (3, O) e v = (2? 2), os vetores v e u + kv, k Em.., são ortogonais se k = 
3 3 
a~ ü b) -1 e) 4 d) 4 e) n.r.a. 
34 
83. Os pontos A(l, 1); B(4, 6) e C(6, - 2) são os vér-tices de um triângulo 
a) retângulo em A b) retângulo em B 
e) retângulo em C d) isósceles, mas não retângl,l.lo 
e) equilátero 
84. Seu=(;,!) ev= (~, ;),então,oânguloformadopelosvetoresu+ve2u-vé 
a) 30° b) 45° e) 60° d) 120° e) n.r.a. 
85. O seno do ângulo 
e = (3, O)~ é igwil a 
formado pelos vetores ÃB e BC~ sendo A - (O, 1), B = (2, 2) e 
1 
a) - b) O 2 
fi 
c)--2 d) 1 
86. Se dois vetores são unitários:, então, o seu produto escalar é 
a) necessariamente 1 
b) necessariamente O 
e) o cosseno do ângulo formado por eles 
d) a tangente çio ângulo formado por e1es 
e) n.r.a. 
e) n.r.a. 
,87. Se dois vetores u e v são unitários e fonnarn um ângulo de 30~, então o módulo do 
vetor soma u + v é 
a) superior a 2 
e) .J2 
e) inferior a 1 
b) ✓2 +VJ 
d) v'3 
88. Num triângulo equilátero ABC, de lado igual a 3, os produtos escalares ÃB • Ãê e 
AB . BC são, resp·ectivamente, iguais a 
9 . 9 
a) 2 e -2 
9-/3 9./3 
e) - e 2 2 
e) n.r.a. 
9 9 b)-e-2 2 
9 9 d) -- e-2 2 
89. Os pontos (1, 1), (.a, b) e (a2 , b2 ) são colineares se e somente se 
a) a= 1 b) a = b 
e) a = 1, b = 1 e a = b 
e) a * b =f. 1 -::!= a: 
d) a = 1 ou b = 1 ou a = b 
35 
90. Os pontos O~ 2),., (O, .i) e éa, O) são os vértices d~ um mesmo triângulo se e -somente se 
a) çt = O b) a * O e a -4= 3 
e) a # 1 e a =/: - 1 . d) a = 2 ou a = 4 
e) n.r.a 
91. A(- ·1, -5), B(l, 3) e C ( 7, -5) são os vértices de um triângu1o cuja área~ 
a) 16 b) 64 e} 56 d) 32 e) n.J. a. 
92. Dado o triângulo de vértices A (O, O), B (a, a) e C (a, - a), o valor da área do triângulo 
cujos vértices são os pontos médios dos lados do triângulo ABC ~ 
a . ª2 
a) 2 b) 2 a
2 e) a 2 d) 2 
·a2 
e)-
4 
93. O ponto P (x1 1) pettem-:e a um dos. lados do . .triângulo de vértices A(O, 2), B (~, -1) e 
C (6, 3) se 
5 11 
a) X = -'- OU X = -3 2 
e) X = 2 OU X = l 7 3 
e) n.r.a. 
õ) X = 2 ou ,X = li 
d) x = ; ou x = 1: --= 
', 
94. Se o ponto P{x, y) perten.ce à reta que passa por A(l, 4) e B (2., 3), então, temos ne:ccs-
S<lriamente · 
a) 2x - y = 1 
e) X - Y = - 3 
e) X t Y = 5 
95, Se a área ha<.:hurada na figura •é. igual 
a f 6, então, o valor de a é 
â) 3 
b). 4 
e) 5 
d) 6 
e) ,n r . a. 
b) x + y = 3 
d) X - y = 5 
V 
2a 
X 
1. Eqqação da reta 
CAPÍTULO Ilf 
ESTUDO DA RETA NO R2 
Denominamos equaç-ão de uma reta no JR? a toda equação nas incógnitas 
x e y que é satisfeita pelos pontos P(x, y) que pertencem à reta e só por eles. 
a) Equação geral da reta 
Dada uma reta r do plano cartesiano, vamos supor que r passe pelos _pontos 
A(x 1, y1) e B(x2 , y2), A =/; B, e consideremos um ponto genérico P(x, y). 
y 
o 
8 (X21 Y2) 
A (x1. yi)
X 
Temo·s: . 
AP: =-p - A = ( X - X 1, Y - Y 1) 
~ 
AB = B - A = (x2 - x 1, Y 2 - Y t) 
O ponto P pertence à reta r se, e somente se, A, B e P são colineares, 
isto é: 
PEr L:l = o ~<::·~==:::>> Y-Y1 =O 
Desenvolvendo o determinante encontramos 
87 
Esta equação é denominada equação geral da reta. 
exemplo 1 
Vamos obter a equação da reta- qµe passa pelos pôntos A (1, 4) e B(2, 2): 
~-Xi Y-Y1 
=O 
X2 -X1 Y2 -Y1 
x-1 y-4 
1 -2 
- - > -2x-y +6 =0 
=Q 
x-1 
2-1 
y-4 
2-4 
=O 
- 2(x - 1) -1 (y -4) =O=::;;, 
----> 2x + y - 6 = O 
-
b) Condição para um ponto pertencer a uma reta 
Dada uma reta r de equação ax + by + e = O e um ponto P(x0 , y0) , a 
condíção para P pertenceJ a r é 
ou seJa, o par (x0, y 0) deve s·atisfazer à equação de r. 
exemplo 2 
Dada a retarde equação 2x + y - 6 = O e os pontos P(5, -4) e Q(- 2, 8) 
temos: 
2 ( XJ;-),,,,+ ( YP) - 6 = 2 ( 5) + ( - 4) - 6 = O, 1 ogo P E r 
J:7 
2(i Q) + {y0)- 6 = 2(- 2) + (8) - 6 = - 2 * o, logo Q $. r. J 
e) Anulamento dos coeficientes da equação 
Consideremos novamente a reta r que passa pelos pontos A (x., y 1) e 
B(x2 , y2), A =I= B. Conforme vimos a equação geral de r é 
ax + by + e= O 
onde a = y2 - y·i, b = x 1 - X2 e e = x2 y1 - x1 y2 . 
38 
Observemos que: 
1 P) a =I= O ou b =I= O 
porque a = b ::::: O (y 2 = y 1 e x2 = x 1) 
29) Caso a = O (e b =/=- O), a reta é paralela ao eixo dos x 
porque a = O Y2 = Y1 r // eixo x 
3<?) Caso b = O ( e a =/=- O), a reta é paralela ao eixo dos y 
porque• b = O r // eixo y 
49) Caso e = O, a reta passa pela origem 
B=A 
porque o ponto (O, O) satisfaz à equação se, e somente se, a(0) + b (O)+ e= O, 
isto é, e = O. 
y 
Y2= YI A B r 
X 
o ><1 
exemplo 3 
A reta de equação 
y-2=0 
é paralela ao eixo dos x. 
É a reta cujos pontos apre-
sentam ordenada (y) igual a 2. 
exemplo 4 
A reta de equação 
x -3 - o 
é paralela ao eixo dos y. 
É a reta cujos pontos apre-
sentam abscissa ( x) igual a 3. 
y r 
V'2 -------- ---- B 
Yl - ---- --- ---- A 
X 
o 
y 
(O, 21 (1; 21 (2, 2) (3, 2) 
o 
V 
---------- - ---·-
(3, 3) 
-- ------------
(3, 2) 
------------- (3, 1) 
(3, O) 
o 
------------ -
(3, -1) 
X 
X 
39 
exemplo 5 
A reta de equação 
2x - 3y=0 
passa pela origem do sistema carte-
siano pois 2,(0) - 3(0) = O. 
,Ela também passa pelo ponto 
(3,, 2), pois 2{3) - 3 (2) = O. 
d) O gráfico .da equação ax +- by + e = O 
y 
X 
O gráfico de toda equação da forma -ax + by + e = O, on.de a =fo O ou b '';:/= O,. 
no plano cartesiano, é uma reta. 
De fato, vamos cbnsider~r duas soluções d·a equação: 
X= O: a(O) + by + e =O -e para y=-b 
1: a(lJ +b,.y+c=O -a-e para, x= y= b 
( estamos 'Supondo que b =fo O. Caso b = O a:s soluções da equa.ção seriam todns os 
pares (x,, y) onde x = -' : , e o grá(ic9 seria uma reta paralela. ao eixo dos y ) 
fi -e \ ( -ab-c) Sejam A = \º' b) e B = 1, ·e determinemos a equação 
da reta AB: 
Y-Y1 
Y2 -Y1 
=O 
X 
1 
by + e 
b 
-a 
b 
=O 
ax + by +e= O 
x-0 
1-0 
=O=:=:;, 
-a;c -( 
0
G) 
-a by + e 
==- -x---- =O b b 
logo, toda solução (x, y) da equação dada é formada pelas coordenadas ·de un:i 
ponto da reta AB, e todo ponto desta reta é solução da equação dada. 
40 
exemplo 6 
O gráfico da equação 2x + y - 4 = O no plano cartesiano é uma reta Pata 
obter pontos desta reta basta atribuir valores arbitrários a uma das incógnitas e 
calcular a outra na equação: 
para x = O temos: 
2(0) + y - 4 = O, logo y = 4. v 
para y = O temos: 
2x + ( O) - 4 = O_, logo x = 2. 
A reta passa pelos pontos (O, 4) e 
(2, O). 
EXERdCIOS 
X. -J 
- k 
o 
\.> J. t.31? o 
1. Obter a equação da r_eta que pass_a por A.(3, l) e B (5, 2). 
2. Obt~r a equação da 'reta AB nos casos,: 
a) A = (1, .2) e ]3 = (7, 6) 
b) A= (-1,2) e B = (3,0) 
X 
3. Dados A (1, 2), B (4, O), C (O, - 2) e D ( ; , ~ ) , determinar as equações das retas ~. 
BC e CD. 
4. Obter a equação da reta que passa por A(p, -p) e B (- p, -2p), p * O. 
5. Provar que para todos os valores reais de k e t os pontos A (1 , 2), B (1 + k, 2 - ~) e 
C (1 - t, 2 + t) são colineares. Determinar a equação da reta que os contém . ~ "j _ ~ . C 
6. Verificar que os pontos A (2, 3), B (5 , Il) e C (1 O, 25) são vértices de um mesmo triângulo 
e determinar as equações das retas suporti:' dos lados· d.este triângulo. 
\ 
7. Dado~ A (O, O), B O, 7) e C (5, - 1), determinar a equação da reta q,ue passa por A e pelo 
ponto médio do segmento BC. 
41 
J 
" _,, ,~-x -z_ /2)1 _ o 
v(~ •l~ + ,x-e-;;;c 3x( 5~-y 
""· q.,. >y " l~Z - lb "-\ >-" ~ 
8. Determinar as equações das retas r, 
s, t e u indicadas no gráfico. 
A ~*\ 
• 3 -3. J ,,: E ~ ~ 
M .L.1 3 .3 
9. Quais entre os pontos A (2, 3), B (3, 2), C (- 6, 8) e D (18, - 8) estão na reta 
r: 2x + 3y - 12 = O? 
10. Calcular k para que o ponto P(l, k) pertença à reta r: 3x - 4y + 1 = O. 
11 . Calcular k para que a reta r : 2x + ky I k = O passe pelo ponto P(- 3, 2) . 
s 
12. Para que valor de k a reta r: 5 x - 3 y + k = O passa pelo baricentro do triângulo de 
vértices A(- 5, -5), B(1,5) e C (19,0)? 
13. Representar graficamente as equações 
a) 3 X + 2 Y - 6 = 0 
e) 2x - 4 = O 
b) X - 3y = 0 
d) y + 3 = O 
14. Dada a equação m2x + my + (2 - m) = O, m E JR, 
a) para que valores de m ela representa uma reta? 
('l>i:-1 
b) para que valor d~ m ela representa reta passando pela origem do sistema cartesiano? 
15. Quais são as equações das bissetrizes dos quadrantes? 
16. Obter um ponto A na reta r : x - y = O e equidistante dos pontos B (1, O) e C(5, 2). 
Resolução 
A E r ==> XA -YA =o==:> 
YA = XA 
logo, A = (x, x). 
Determinamos x impondo a condição 
dAB = dAc: 
J (1 - x)2 + (O - x) 2 = Jcs - x) 2 + (2 - x)2 
1 - 2x + x2 + x2 = 25 - l0x + x2 + 4 - 4x + x2 
7 (7 7) 12 x = 28, portanto x = 3 e A = 3 , 3 
42 
y 
I 
/ 
I 
I 
I 
B 
r 
' I ' 
I ', 
I ' 
/ ', 
/ ' • e 
X 
J... 
17. Obter um ponto A na reta r: 2x - y = O e equidistante dos pQntgs B(D, 1) e e«6., 3). 
18. Obter um ponta P na reta r: y = 3 x e equidistante dos pq_ntos A (4, O) e~ (O, 2), 
( -x' -\, 
..... ~ . ;: ,'k, .. 
19. _ Obte~ um ponto A na reta r: y =. x tal que o ponto, 1;1yÇÍIO go se.1ento AB, B = (2, 4), pertença a reta s: 2x - y - 4 = O. ~ '71, e; ,l.. I 1• 1 1 1 , 
- . ~ fA {:t_~) • 
20. Ohter um ponto A na reta r: y = x e um ponto B na reta s: y = 4x tais que o ponto 
médio do segmento AB seja M = (1, 2) . 
2 :-.e._ -1 .2 - (' X --,. 
-'s: '7 
X ·r'2. -~ - ¾2 - ¼ -=~ 
2. 
2. Posições rehitivas e intersecções de retas 
a) Vetor normal a uma reta 
1.1 -
- 1 ~ 
'k. --~-= -{, 
-z.... 
~ - ,, 
--? . ,__ 
Consideremos a reta r do plano cartesiano, de equação ax + by + e = O. 
V 
n 
X 
De fato, se A(x1 , y 1) e B (x2 , y2) são dois pontos quaisquer da reta r temos 
--+ 
que AB = (x2 - Xi , Y2 - Y1) e: 
A Er 
.. BE r ax2 + by-2 + e = O 
@ - (D ===> ax2 - ax1 + by2 - by1 + 4 -4 = O 
• 
=:=::!> a(x2 - X1) + b(y2 - Y1) = O ===:> n • AB = O 
~ 
logo n e AB são ortogonais. 
exemplo 7 
Um ·vetor normal à reta 2x - 5y + 4 = O é n = (2, - 5). 
~ 2.):= K - 43 
b) Posições relativas de duas retas 
Duas retas r e s do plano cartesiano podem ser concorrentes ou paralelas : 
o 
concorrentes 
rX s 
X o 
paralelas distintas 
X o X 
paralelas coincidentes 
r // s 
Dadas as equações de r e s, r: ax + by + c = O e s: a'x + b'y + o' = O, 
podemos reconhecer a posição das retas a partir dos coeficientes das equações. 
Como n = (a, b) e n' = (a' , b') são vetores normais ar e a s, nesta ordem, 
temos que 
r // s a b 
a b 
- - - •: ;. = O 
a' b' a' b' 
r Xs a b 
a b 
a'
* -.;; < :• *º a' b' 
a b e _ 
NOTA: Quando - 1 = -b, = -, as retas sao paralelas coincidentes e quando a ,e 
a b c 
-, = -b' -=I= -, as retas são paralelas distintas. 
a · c 
exemplo 8 
Dadas r: 2x + Sy + 4 = O e s : 4x - lOy - 3 = O temos: 
n = (2, 5) 
n' = (4, - 1 O) = =;. n ~ n' = = ~ 
r X s 
44 
exemplo 9 
Dadas r : 2x - 3y + 1 = O e s: 6x - 9y + 4 = O ternos: 
n = (2, = 3) 
n' = (6, -9) n // n' 
2 - 3 1 
Corno 6 = _ 9 * 4 , r e s são paralelas distintas. 
exemplo 10 
= ='>r//s 
Dadas r: 2x + 3y + 4 = O e s: 4x + 6y + 8 = O ternos: 
n = (2, 3) 
n' = ( 4, 6) 
2 3 4 
Corno 4 = 6 = 8 , r e s são coincidentes. 
c) Ponto de intersecção 
Um ponto de intersecção P(xp , 
yp) de duas retas, 
r: ax + b y + c = O e 
s: a'x + b'y + c' = O, 
satisfaz às equações de ambas as 
retas e, então, é solução do sistema 
{
ax + by + c = O 
S· 
a'x + b'y + c' = O 
n // n' 
y 
o Xp X 
Reciprocamente, toda solução (x, y) do sistema Sé ponto de intersecção das 
duas retas. 
exemplo 11 
Dadas r: 2x + y + 1 = O e s: x - 2y - 7 = O temos: 
X 2 
{
2x + y + 1 = O 
S: 
X - 2y - 7 = Ü ---
4x + 2y + 2 = O 
+ 
X - 2y - 7 = Ü 
Sx - 5 = O X= 1 
46 
Substituindo x na 1 ~ equação vem: 
2(1) + y + 1 = O y = -3 
Lõgo., r e s. são c.offcorrentes no p.onto P = (l, - 3). 
d) O sistema das equações de duas retas 
Considerando que 
19) duas retas concorrentes apie.sentam um único ponto de intersecção; 
29) duas retas paralelas coincidentes apresentam infinitos pontos comuns; 
39) duas retas paralelas distintas não apresentam ponto comum. 
A partir dos itens: b) ·e e) podemos tirar as seguinte$ conclusões sobre o 
sistema 
{
ax + by + e = O 
S: 
a'x + b'y + e' = O 
formado pelas equações de duas retas· r e s: 
19) ~ -:1= l 
a' b' 
,, 
S admite uma única solução 
(S é sistema possível e determinado) 
ºº) _!_ = _Q_ = ~ ~ .. . ,- b' ' a . e S admite infinitas soluções 
(S é sistema possível e indeter.minado) 
39) _,;. - b -:/= _!::_ b' e' <===::;, S não admite s.ol.uç:ão a 
(S é sistema impossível) 
ex emplo f2 
,. 
Dado { 
2x + 3y - 1 = O 
S: 
6x - 9y- 3 = O temos.: 
1. -:/= _3_ 
6 - 9 
a b 
==~ -, -:/= -b~·==::> 
a S é determinado. 
A única solução de S é ( ~ , o) ,· que é obtida resolvendo o sistema. O ponto 
( ~ , o) é o ponto de intersecção das retas 2x + 3y - 1 = O e 6x - 9y - 3 ~ O. 
46 
exemplo 13 
S·. { 2x + 3. y + 4 = O Dado 
4x + 6y + 8 = O 
a b 
-;::;;;-
a' b' 
temos: 
e 
;::;;; -
e' 
S é indeterminado. 
As infinitas soluções de S são as coordenadas dos pontos da reta 2.x. + 3y + 4 = O. 
exemplo 14 
{
2x + Sy + 4 = O 
Dado S· 
4x + lüy - 1 = O 
temos: 
2 5 4 
-=-=l=- a b e - = - =I=- ====!> 4 10 - 1 a' b' e' 
EXERCI CIOS 
21. Classificar em verdadeiro (V) ou falso (F): 
a) Um vetor normal à Íeta 3x + y -- 1 = O é n = (3, 1) 
b) Um vetor notmal à reta 2x - 5,y + 3 = O é u = (2, 5) 
e) Um vetor normal à reta x + y + l = O é v = f2, 2) 
d) Um vetor normal à reta 4x - 1 = O é w = (1, O) 
e) Um veto:r paralelo à reta 2x t 5y - 3 ;;:; O é v = (5 , - 2) 
f) Um vetor paralelo à reta 3x - y + 1 = O é v = (1, 3) 
22. Dar a posição relativa de r e s nos casos: 
a) r: Sx - 2y - 1 = O e s: 2x - 4y + '7 = O 
b) r: 3x + y + 1 = O e s.: 6x + 2y + 3 = O 
3 
e) r: Sx - 4y + 6 = O e s: 2x - y + 2 = O 
d) r: Sx + 2y = O e s: lOx - 4y = O 
S é impossível. 
23. Detenniriar os valores de k para os quais as retas r: kx + y + 2 = O e s: 3x - 6y - .2 = O são 
concmrentes. 
24. Determinar a intersecção das retas x + 3y = 4 e 2x + 5y = 7. 
47 
25. Determinar o po,nto d.e intersecção das retás ·r e s nos casos: 
a~ · '!: 3 x + 4 y - 11 = O e s: 4 x - 2y - 14 = O 
X b) r: 2 + y = 1 e s: y = 3x - 1 
e) r: 3x - '2y = 7 e .s: 4 .x + Sy = -6 
.26. Dados A (1, 1), B (3.,, - 1), C (4, 2) e D (3, 1), acha-r as equações das retas AB e CD e, 
depois, obter o ponto de intersecção destas retas. 
27. Dados A (3, O), B (5, O), e {O, 5) e D (- 1, 2), determinar o ponto de intersecção das 
diag:onais AC e BD do quadrilátero ABCD. 
28. Detexminar as coordenadas do ponto 
P indicado na figura. 
V 
29. Dados A (O, 0),, B (1 O, O), C (6, 4) e D (2, 4 ), pede-se 
. ~ 
a) determinar o ponto de intersecção P das tetas AD e BC 
b) determinar os. pontos médi9s M e N dos segmentos. AB e CD, re$pecUvamente 
c) provar que M, N e P são colineares 
X 
30. Determinar os vértices do triângulo cujos .lados estão nas retas x - 2y = O, 2 x - y = O e 
x + y - 6 = O. 
31. Calcular q perímetro ç a área ão triângulo cujos fados estão .nas retas x - y = O, 
X - 3y = Ü e y - 2 = Q. 
32. Considere. o triâ'ngulo cujos ládos ,estão nas retas 2x - 3y = O, x + y - 5 = O ex + 6y = 
=O. 
a) Determinar os vértices do triân~lo 
·b) Determinar os valores de y para os quais o ponto P ("3 , y) e~,tá no interior do triângulo. 
33. Mostrar que as retas 3x - 2y - 8 = O, x + 2y - 8 = O e 5.x - 6y - 8 = O $ão couc_or-
rentes num mesmo ponto P. 
Resolução 
Notemos que r : 3x - 2y - 8 = Ot s: x + 2y - 8 = O e t , Sx - 6y - .8 = O são con-
correntes duas a duas; pois os vetores nonnais são n = (3, - 2), n' = (1, 2) e n" = (5, - 6). 
Para mostrar que são concorrentes num mesmo ponto devemos mos-trat que existe um 
único par (x,, y) que satisfaz às ttês equaçõ~s, ísto é, que o sistema 
48 
{ 
3x - 2y. - 8 = O (D 
x+2.y-8=0 Q) 
5x ~ 6y - 8 = O (J) 
apresente uma única solµção. Temos: 
CD e@ 
em @: 4 + 2y = 8 
{
3x - 2y = 8 
X + 2y = 8 
==>y=2 
4x = 16 ==~ x=4 
logo, o par (4 i 2) é o único que satisfaz simultaneamente às ·equações CD e Q). Mostremos 
que ele satisfaz também à equação @ : 
para x = 4 e y = 2 temos 5x - 6y - 8 = 5 (4) - 6 (2) - 8;;;;; O. 
Portanto, o ponto (4, 2) está nas três retas; 
34. Verificar se as tetas 3x + y - 4 = Õ, 2x - 3y + 23 =· O e Sx - y t 12 = O são concor-
rentes num mesmo ponto. 
35. Verificar se as retas 2x + 3y - 5 = O, 3x + 2y - 5 = O e x + y - 5 = O são concor-
rentes num mesmo ponte. 
36. Para que valores de .k as retas x + y = 2k, x - y = k e kx + 3y = O passam por um 
mesmo ponto? 
3 7. Para que valores de k o sistema 
{ 
x + ky = - 3 
2x - y = k 
x+y = -k 
38. Para que valores de m o sistema 
{
3x + 2y = 1 
4x + my = 3 
Sx + 4y = m 
39. Para que valores de m o sistema 
{
mx + 2y = 3 
3x- y=m 
adn;üte solução? 
é possível e determinado? 
é _pos.síveJ .e determinado? 
49 
40. Par~ que valores de a e b o 5,istema 
{ 
x+ ay=b 
2x + '5.y = 10 
é indeterminado? 
41. Paxa que valotes de p e q o sistema 
{ 
X+ Sy = - 2 
px -2y=q 
ádmite infinitas soluções? 
42. Para que valores de m e n ô sistema 
{
2x + my = 3 
X - 3y = n 
43. Daí a condição sobre ·a e b de modo que o sistema 
{ 
ax + ·0y = 1 
bx - ay = 1 
3. Paralelismo e perpendicµlaridade 
admita uma única solução. 
a) Condição de paralelismo e de pérpendicukz.ridade de duas retas 
, Conforme vimos, dadas as reta& r: ax + by + e= O e s: a'x + b'y + e' = O, 
os ve..sores n = (a, b) e n' = (a\ h;J são, nesta ordem, ·vetores normais a r e 
.a s. Usamos esse fato para obter a condição de paralelismo de duas retas: 
a b j a =~ o 1 > -=- :; :> a• 6' at 
Podemos também obter a condição de perpendicularid'ade de dua.s retas: 
,,;;:::::::==;,,r n ~ d" -~: :=:::lí::~;• •iA' D • n' = O •~<~~=}~• iaa' ± ft)J' = 01 : 
50 
X 
r li s <=;> n li n' r ls ç:::> nl n' s 
exemplo 15 
Dadas r: 2x + Sy - 3 = O e s: 1 Ox + 2Sy + 29 = O temos: 
n = (2, 5) 
n' = (1 O, 25) 
exemplo 16 
2 5 
-=-
10 25 =~r//s 
Dadas r: 2x + 5y - 3 = O e s: lOx - 4y - 1 = O temos: 
>< 
n = (2, 5) } 
n•n' = 2(10) + 5(-4) = O ==!>rls . 
n' = (10, -4) 
b) Obtenção de urna reta paralela a uma reta dada 
Dada uma reta
r de equação ax + by + e = O, toda reta paralela a r admite. 
uma equação da fonna 
1 a'.lí + by + .k = O j 
onde k E IR. 
De fato, como n = (a, b) é um vetor normal à reta r, 'éle também é vetor 
normal a qualquer reta paralela à reta r. 
exemplo 17 
Toda reta paralela à reta r: 3x + 2y ~ 1 = O admite uma equação da forma 
3x + 2y + k = O. 
Vamos obter a reta s paralela a r e que passa pelo ponto P(4, 1). 
51 · 
Deter.minamos kimpondo que 
P satisfaça. à equação: 
P E s ··<=,: ==> 3 ( 4) + 2( 1) + 15: = O ~=~ 
<=<==~> k = - 14 
Logo, a equação de s é 
Jx + 2y - 14 = O. 
e) Obtenção de uma reta perpendicular a uma teta dada 
Dada uma reta r de equação ax + by + e = O, toda reta perpendic\llat a r 
admite uma equação dá· forma 
ay - bx + k = O 
onde k E IR. 
De fato,. os vetoJes n = ( a> b) •e n' = ( - b, a) são ortogonais pois n • n' = 
= a{- b) + ba = O. Como n é um vetor normal ar, o vetor n' é um vetor normal 
a qualquer reta perpendicular a r. 
exemplo 18 
Toda reta perpendicular à reta r: Sx + 2y + 1 = O admite uma equação da 
forma 3y - 2x + k = O. 
Vamos obter a reta s pe(pendicular a r e que passa pelo ponto P(4, 1). 
Determinamos k impondo que P satisfaça à equação: 
P E s <=== ~ 3 (1) - 2(4) + k = O ·<=Z=~> 
<===~ k = 5 
Logo, a equação de s é. 
3y - 2x + 5 = O, 
ou seja, 
- 2x + 3y + 5 = O, 
ou ainda, 
2x - 3y - 5 = O. 
52 
r 
EXERCÍCIOS 
44. Associar a cada item (1 a X) uma das afirmações (A a C). 
A) r e s são paralelas. 
B) r e s são ·perpendiculares. 
C) r e s são concorrentes, mas não perpendiculares. 
1,. r : 3 X + 4y = Q, s: 15 X t 20y - 1 = Ü 
II. r: 8x - 4y - 3 = O, s: 2x - y + 1 = O 
III. r: 3x + 2y - 1 = O, s: 4x - 6y - 3 = O 
IV: r: 5x + y = O, s: x - 5y + 2 = O 
V, i- : X + y + 1 = 0, S : X - y - 1 = 0 
VI. r : 3 x - 4y = O, s: 4x - 3y - 1 = O 
VII. r : 7 x + y = O, s: x - 7y = O 
VIII. r: 4x + 3y - 1 = O, s : 2.x + 5 = O 
IX. r : 2 x + 3 = O, s: 3y - 7 = O 
X. r : 3 x - 2 = O, s : 4 x + 5 = O 
45. Determinar o valor de lé para que as retas r: kx + 2y + 3 = O e s: 3x - y - k = O sejam 
paralelas. 
46 .. Determina:r os valores de 'k que tornam as retas r_: 2x - ky + 1 = O e s: 8x + ky - 1 = O 
perpendiculares. 
4 7. Obter a equação da reta paralela à reta r: 2x + 3y + 1 = O e que passa pelo ponto 
P(S,-2). 
48. Conduzir por lP a reta paralela a r, nos casos: -=O 
o .:: 
a) P = (1, 1) e r: 3x - 4y + 2 = O 
b) P = (O, 2) e .r: 7x + y = O 
cJ P = ( - 3, - 5) e r: x - 2Y - 4 = O ~ 1 1 e .:::O D.?1- -- ~ ~I -\-" ? \) l 
49. Qual é a equação da reta paralela ar: 7x + l5y - 11 = O e que passa pela origem do 
sistema cartesiano? 
50. Uma reta r é paralela à reta x + 2y = O e passa pelo ponto P (-4,. 8). Determinar ós 
pontos de interseção de r com os eixos coordenados. 
5 l. Obter a equação da reta perpendicular à reta r: 2x + 5 y - 1 = O e que passa pelo ponto 
P (1, 1), 
53 
52. Conduzir por P a reta perpendicular ~ r , rtos casos: 
à) P = (O, 7) e r: 3x - y + 2 = O 
b) P = (- Í, 3) e r: .x + 2y = O 
e) P = (0f O) e r: x - y - 1 = O 
5L Determinar a projeção ortogonal do ponto P (2, '3) sobre a reta r .: x + y + 1 = O. 
Résolução 
Obtemos are-tas, que passa por P 
e é perpendj.cular a r : · 
s: X: - y + k = o 
P E s ====;> (2) - ( 3) + k = 0 ·=~ 
==:;::,k=l 
logo, s: x - y + 1 = O. 
p 
' 1 1 
1 
1 
1 
1 
1 
PP' 1 
1 
1 $ 
r 
A projeção ortog9nal de P sobre r é o ponto de interseção de r e s: 
{
x. +y+l=O P' 
x-y+l=O 
2x + 2 = O 
na ·H eqµação: (-1) + y + 1 = O ==~ y = O 
logo, P' = (- 1., O). 
==-;;,x=-1 
54. Determinar a projeção ortogonal do ponto P (7, 2) sobre a reJa r: x - y + 1 = O. 
55. Determinar o pé da perpendicular baixada de P {l, 6) a r: 3x + 4.y ~ 2 = O. 
56. Dadas as retas r: 3x - y = O,.~: 2x + y = O e o ponto H (3, 4), con.duzir por H a reta t, 
perpendiculat a r, e detem1inar 0 ponto onde. t íntercepta ·s. 
57. Determinar o ponto simétrico do ponto P (2, 3) em relação à re&a r: x + y + 1 = O. 
Resolução 
Os dados são os mesmos do 
exercício 53, onde determinamos P' = 
= (-1, O). 
Como P' é ponto médio do seg-
mento PQ temos: 
P' = J> + Q ==;:,c P -"- Q = 2 P' 
. 2 T ===;;,,· Q = 2P' - P 
= (-2, 0)- (2, 3) = (-4, -3). 
T p 
J: 
1 P' 
r 
~a 
1 
1 
1 
l 
1 $ 
r 
Q = 2-(- 1, 0) - (2, 3) = 
58. Determinar o ponto •s,imêtrico do ponto P .(0, 4) em relação à reta r: 2x + y = O. 
54 
59. Dados P (O~ O) e r: x + y - 5 = O, determinar o ponto médio do segment0 cujas exfte-
midades são o ponto P e a sua. projeção ortogonal sobre r. 
60. Num triângµlo retângulo ABC a hipotenusa tem extremidades B = (;4, 1) e C = (6, 8), 
e o cateto que pas·sa por B é paralelo à reta 3x + 4y + 5 = O. Determinar ó vértice A. 
61. Num triângulo retângulo ABC, o vértice do ângulo reto é A= (7, 7), a hipotenusa está 
na reta 4x - 3y = O e um cateto é paralelo à reta x + y + 1 = O. Calcular a medida da 
hipotenusa 
62. Dois lados de um paralelogramo estão em r: x - 2y = O e s: 2x - y = O e um dos 
vértices é o ponto A (101 10). Determinar os outros vértices. 
63. Calcular as medidas dos ângulos .formados pelas retas r: 2x + y + 1 = O e s: 3x - y -1 = O. 
Resolução 
Notemos que se r e s formam os 
ângulos de medidas e e 180º - 8 , o 
mesmo ocorre com as direções normais 
a r e a s. Assim, vamos determinar ·o 
ângulo entre os vetores n = (2, 1) e 
n' = (3, - 1) que são vetores normais a 
r e a s: 
\ / 1) 180° -8 
f0'\ 
I ' / r 
s 
n • n' 2 (3) + 1 (- 1) 5 ,J1 
cos 8 = lnl ln'I - -✓,,=.2:::::;2;:::+:::::::::::1===2-✓'=32;::=:::+=(=-=1=):;-2 - ,.JS -y1Õ = - 2- ==:;:> e =45º 
Concluímos qµe r e s formam ângulos 'êie 45º e 135º. 
64. Calcular as medidas dos ângulos formados por T e s nos casos: 
a) r: 2 x - 2y - 1 = O 
b) í: X + y - 1 = O 
e) r: 5x - 3 = O 
s : y + 4 = O 
s: X + 3y + 3 = 0 
s: X + J3y + 3 = 0 
65. A distância entre um ponto P e uma reta r é a distância entre P e a sua projeção ortogenal 
P' sobre r. Dados P = (7, -3) e r: 8x + 6y + 17 = O, calcular a distância entre P e r. 
4. Ponto e reta: distância e inequações 
a) Distância 
A distância entre um ponto P e urna reta r é, por definíção, a distância 
entre P e a sua projeç,ão ortogonal. P' sobre r: 
55 
~ 
d= IP'PI 
Dados J> (xo,,, Yo) e 
r: ax + by + q = O, 
·podemos ealeular d da seguinte ma-
neira: 
1~) tomemos um ponto, Atx 1,.Y1) -em r: 
p 
r-----; 
1 / 
1 / d 
1 /. 
n 10 ./ 
/ 
. / 
A P' 
A E r =~ ax 1 + by 1 + e = O (D 
r 
--• , --+ 
2Ç>) notemos que p~p é a projeção de AP na direção de n = (a, b); portanto sendo() 
~ 
o ângulo entre AP e n temos: 
-----+, ~ -+ 
d= IP'PI = IA.ri lcot01 = IAPI 
--+ 
AP · n 
--+ 
IAPllnl 
____,,. 
AP • n 
1 nl 
' -• . . 
39) como AP = P - A = (x0 - x 1, y0 - y 1) e n = ta, b), decorré que 
-• . 
·d= AP • n 
lrt 1 
(xo - X1) a+ (Yo - Y1)b 
✓a2 + b2 
De (D tem.os e = - ax 1 - by 1 e, portanto, 
exemplo 19 
ax0 + by0 - ax1 - by1 
✓a2 + b2 
A distância entre P(7, -3) e r: 8x + 6y + 17 = O é: 
d= 8(7)+6(-3)+17 
. -✓s2 + 62 -
S6 - 18 + 17 
vÍOO 
55 55 
- -10 - 10 = S,S 
b) O sinal do númerà ax0 + by0 + e 
Notemos no cálculo da distância entre P(x0 , y0) e r :- ax + by + e= O que 
. ~ 
o número ax0 + by0 + e é o valor. do produto escalar do vetor AP pelo vetor n: 
--+ 
AP · n = ax0 + by O + ·e 
56 
Assim, conforme o semi-plano onde esteja P temos um sinal para o número 
ax0 + by0 + e: 
I 
/ 
A 
I 
I 
/ 
I 
I 
I 
I 
/ 
p 
I 
n 
• 
19) 0 agud0 
29) 0 o.l:>toso 
• 
==-AP•n>O 
• 
=::::::::::> AP • n < O 
==:!> ax0 + by O + e > O 
==:!>· ax0 + by0 + e < O 
Podemos então conçluir que a reta r: ax + oy + e = O divide o plano carte-
siano em dois semi-planos tais que, excluindo
os pontos de r, para os pontos 
P(x0 , y0 ) de um dos semi-planos tem-se ax0 + by0 + e> O e para os pontos do 
outro semi-plano tem-se ax0 + by0 + e < O. 
exemplo 20 
• 
Na figura indiçamos a reta r: X + 2y - 4 = Ü. 
y 
r 
3 _____ _,e 
1 
1 
1 
1 
1 1 
o 1 2 3 
Para os pontos A (5, 1) e B (2, 3) 
que estão num dos semi-planos de-
finidos por r temos: 
A-- x0 + 2y0 - 4 = 
= (5) + 2 (1) - 4 = 
=3>0 
B --- x0 + 2y0 - 4 = 
= ( 2) + 2 (3) - 4 = 
=4>0 
Para os pontos C(l, 1) e 0(0, O) que estão no outro semi-plano temos: 
C Xo + 2 y o - 4 = (1) + 2 (1) - 4 = - l < 0 
O --> x0 + 2 Yo - 4 == (O) + 2 (O) - 4 = -4 < O 
57 
e). Inequação de um semi-plano 
Dada uma reta r: ax + by + e = O, seja P(x0, y 0) um ponto que não 
pertence a r. 
Caso ax0 + by O + e > O) denominamos inequação do semi-plano de origem r 
e que contêm P à- inequação 
lax +by+e~ol 
.. 
e., caso ax0 + by O + c < O, denominamos inequação do semi-plano ,de origem r 
e, que contém P à inequação 
1 ax + by + e ~ O 1 
NOTA: A reta r é chamada orige-m dos semi-planos ( os pontos de r estão em ambos 
os semi-planos). 
exempla 21 
Dados P(ll 2) e r: x + y - 5 = O temos: 
ax0 + by0 + e = ( 1) + (2) - 5 = - 2 < O 
logo, a inequação do semi-plano de origem r e que contém P é x + y - 5 ¾ O. 
São exemplos de pontos deste semi-plano os seguintes: 
'· 
( O, OJ, pois O + O - 5 < O 
(3, I), pois 3 + 1 - 5 < O 
(- 1_,4), pois (-1) + 4 - s <o 
( 1 O,. - 7), pois ( 1 O)+ ( - 7) - 5 < O 
EXERCÍCIOS 
66. Calcular a distância. entre P (- 7, -4) e r: 4x + 3y - ao = O, 
67. Calcular a distância entre P e r ·nos casos 
a) P = (2, 4) e r : 8x - 6 y + 13 = O 
b) P = (3, - 1) e r: 2x + y = O 
58 
e) P = (- 3, O) e r: 3x + 2y = 1 
d) P = {ô, 5) e r: 3x = 4y - 2 
68. Calcular a distância da origem do sistema cartesiano à reta de equa~ão t2 + ~ = 1. 
69. Calcular a .distância entre. o ponto A (1, 2) e a reta. que passa por B ~- i, -1) e C (5, 7). 
70. Calcular a altura, relativa ao vértice A,. do triângulo de vértices A (1, 1), B (-1, - 3) e 
C(2, -7). 
71. Dado ô triângulo de lados contidos nas retas r: x + y = 6, s : x - y = 2 e t: 3x + $y - 30, 
calcular as suas três alturas. 
72. Calcular a área de um quádrado que tem uni vértice no ponto P (7, - 5) e um lado na 
reta r: 2x + y + 1 = O. 
73. Caicular o lado de um quadrado que tem um vértice no ponto P ( O, 5) e uma c;liagonal na 
reta r: x - y = O. 
74. Calcular a distância entre as retas r: x + 2y + 3 = O e s: x + 2y + 13 = O. 
Resolução 
Como r e s são paralelas, a distâneia entre r e :s é a distância entre um p.onto P, 
P E r, e a reta s. 
Em r: x + 2y + 3 = O, para y = O 
ternos 
x + 2 (O) + 3 = O.; logo x = - 3. 
Assim1 P = (-3,, O) E r Temos: 
d -d _ (-3) + 2(0) + 13 10 2 .JT r, s - P, s - .Jl2 + 22 = Js = 
p 
1 
1 
' l d 
1 
1 
1 
r 
s 
75. Calcular a distância entre as retas r: 3x + 4y - 12 = O e s: 3x + 4y + 18 = O. 
76. Calcular a distância entre as re.tas í: 3x + y - 1 = O e s: 6x + 2y - 3 = O. 
77. Determinar os pontos da retas: y = 2x que distam 3 unidades da reta r: 3x - 4y = O. 
Resolução 
PEs ===> Yp = 2xp 
====> P = (X.1 2x) 
dp = 3 
,I 
3(x) - 4(2x) = 3 
J(3)2 + (-4)2 
==:,.1-Sxl = 1.S =::::!>x= ±3 
logo, P = (3, 6) ou P = ( - 3, - 6). 
59 
78. Determinar os pontos da reta s: y = x + 1 que distam uma unidade da reta 
r : x + y - 1 = O. 
79. Determinar os pontos do eixo dos x que são equidistantes das retas r: 3x + 4y + 6 = O 
e s: 4x + 3y + 1 = O. 
80. Determinar o ponto do eixo dos y que é equidistante do ponto A ( 2, ~) e da reta 
r : 2y + 1 = O. 
81. Dada a reta r: 2x + 3y + 5 = O e os pontos A (1, 1), B (2, -4) e C (- 3, - 1), quais 
destes pontos estão num mesmo semi-plano relativamente à reta r? 
Resolução 
Basta substituir as coordenadas dos pontos no primeiro membro da equação da reta e 
observar os sinais dos resultados obtidos: 
A -+ 2 (1) + 3 (1) + 5 = 10 > O 
B --+2(2)+3(- 4) + 5= - 3<0 
e - 2 e - 3) + 3 e - 1) + s = - 4 < o 
B e C estão num dos semi-planos, enquanto que A está no outro semi-plano. 
82. Dada a_reta r: Sx - 2y - 7 = O e os pontos A (4 , 7) , B (- 2, - 9) e C (o, - 133), quais 
s:ão os d.ois pontos que estão num mesmo semi-plano de origem r? 
83. Dada a reta r: 3x + 2y + 1 = O, determinar a ínequaç,ão do s.emi·plano de origem r e 
que contém o ponto P(- 1, - 1). 
84. Dada reta r: 2x - y + 1 = O e o ponto P (O, - 1), determinar a inequação do semi-plano 
de origem r e que contém P. 
85. Determinar a inequação de cada semi-plano hachurado: 
a) 
y b) y e) y 
X 
60 
86; Represe,ntar graficamente o semi-plano definido pela inequação 3lX - 2y - 6 ;;;i. O. 
Resolução 
Desenhamos a reta 
r: 3x - 2y - 6 = O. 
Tomamos um ponto P que não pertence 
a r e verificamos qual é a inequação do 
semi-plano de origem r e que contém P. 
r 
X 
Por exemplo, se P = (O, O) temos 3 (0) - 2 (O) - 6 < O; logo o semi-plano que contém 
P é 3x - 2y - 6 ~ O. O semi-plano pedido é, portanto, o que não contém P. 
87. Representar graficamente os semi-planos 
a) X+ y - 3 ~ Ü b) 2x - y - 4 ~ O C} X+ 2y - 6;;., Ü 
8'8. Representar grafieamente o conjunto solução do sistema 
{
X t y ~ 1 
x - y~l 
89. Fazer o gráfico da relação I x + y 1 ~ 2. 
90. Qual é o sistema de inequações que 
define o triângulo da figura? 
5. Equação reduzida e inclinação 
a) Equação reduzida 
X 
Consideremos uma reta r: ax + by + e = O, onde b =I=- O. Notemos que: 
ax + by + ç = O =~ by = -ax - e 
a e 
===> y = --X --b b 
61 
-a - c 
Fazendo-se b = m e b = q obtemos a equação 
1 Y = mx + q 1 
que é denominada equação reduzida da reta. 
exemplo 22 
Dada a reta r: 3x + 2y - 6 = O vamos obter a sua equação reduzida : 
3x + 2y - 6 = O 3 2y = - 3x + 6 ==> y = - -2 X + 3 
b) Os coeficientes na equação reduzida 
Na equação reduzida, y = mx + q, os coeficientes m e q são denominados, 
respectivamente, coeficiente angular e coeficiente linear da reta r. As suas inter-
pretações geométricas são as seguintes: 
coeficiente angular 
m = tg a, onde a é o ângulo de inclinação da reta r em relação ao eixo dos 
x, definido conforme indicam as figuras (D, @ e G) seguintes. 
coeficiente linear 
q é a ordenada do ponto onde r cort a o eixo dos y. 
Q) CT) G) 
y r y y. 
m + q 
1 Q 1 q p r 1 
1 
a ' 
-- ----; R 
a 
m+q 
o 1 X 
. o 1 X o X 
I\ 
a = xr agudo I\ a = xr = O 
r,.. 
a= xr obtuso 
m = tg a> O m = tg a= O m = tg Ci< O 
62 
De fato, considerando a equação y = mx + q temos que: 
19) para x = O, y = m( O) + q = q. 
Logo, a reta r corta o eixo dos y no ponto Q = (O, q). 
29) para x = l ; y = m{l) + q = m + q 
Logo, o ponto P = ( 1, m + q) pertence a r. 
Se m > O, então m + q > q, e temos o caso da figura (D, onde, no triângulo 
PQR, tga = m. 
Se m = O, então m + q = q , e temos o caso da figura @. 
Se m < O, então m + q < q, e temos o caso da figura G), onde, no triângulo 
PQR, tg (rr - a) = - m; logo, tg a = m. 
exemplo 23 
A reta de equação reduzida 
y == x + 3 tem coeficiente angular 
m = 1 e coeficiente linear q = 3. 
logo , ela forma ângulo de 45° com 
o eixo x e intercepta o eixo y no 
ponto (O, 3). 
e) Paralelismo e perpendicularidade 
X 
Consideremos duas retas r e s de equações reduzidas y = mx + q e 
y = m'x + q', nesta ordem. 
As retas r e s são paralelas se, e somente se, suas inclinações em relação ao 
eixo x são iguais. Logo, podemos concluir que: 
1 r // s ~<== :::>> m = m' 
Observemos ainda que: 
r: y = mx + q 
s: y = m'x + q' 
-mx + y - q = O 
- m'x + y - q' = O 
V 
o 
os vetores n = (- m, 1) e n' = {- m', 1) são vetores normais a r e a s, nesta ordem. 
63 
1.0gb: 
r // s n // n' 
- m 1 
=O m = rn' 
-m' 1 
A eondição de perpendicularidade