INTODUÇÃO À LÓGICA BIVALENTE E À TEORIA DOS CONJUNTOS

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INTODUÇÃO À LÓGICA BIVALENTE E À TEORIA
DOS CONJUNTOS
Tema: Lógica e teoria dos conjuntos
As seguintes expressões não são designações porque não identificam
objetos:
			 {cidades de Portugal}
 {portão, telhado, chão, dono}
		
No entanto, se considerarmos os conjuntos:
: 	 
: 	 A cidade 		 O w da casa
		
e se considerarmos que
, e 
podemos obter, por exemplo:
: 			.
: A cidade Coimbra.	 	A cidade Faro.		 
 O chão da casa	 	: O dono da casa.
		
Condições
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LÓGICA E TEORIA DOS CONJUNTOS
Por representarem um qualquer elemento de , e , dizemos que e são variáveis, sendo o seu Domínio, respetivamente,
 , e .
Quando substituímos uma variável por um elemento do respetivo
domínio dizemos que concretizamos a variável e convertemos cada expressão numa designação.
	Variável			Concretização das variáveis e designações resultantes		
						
						
						
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Exemplo 18 
No conjunto dos números reais, consideremos a expressão:
Observa que substituímos a expressão “um número” por uma letra
(variável) neste caso, .
(Concretização da variável)
O dobro da soma de um número com três.
Ao traduzirmos esta expressão para linguagem matemática escrevemos:
Para cada concretização de obtemos uma designação:
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Salvo indicação em contrário:
Se uma expressão numérica depender de uma variável , o seu
domínio é o conjunto dos números reais para os quais a expressão
tem significado.
Exemplo 19
Considera as expressões:
: 		 				
		
• Como a divisão por zero não tem significado, o domínio de é
.
• Como a raiz quadrada não está definida para números reais
negativos, o domínio de é 
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Exemplo 19 (continuação)
: 		 				
		
Como a raiz quadrada não está definida para números reais negativos e a divisão por zero não tem significado, só não dão significado à expressão os valores reais que tornam, simultaneamente, o radicando negativo e anulam o denominador. Ou seja, o seu domínio é tal que
Portanto, o domínio de é
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Definição
Designamos por “expressão proposicional” ou por “condição”, uma
expressão envolvendo uma variável , tal que, substituindo 
por um objeto se obtém uma proposição .
Expressão proposicional ou condição
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Exemplo 20
No conjunto dos números reais, considera a expressão proposicional 
:“O quadrado da soma de um número com três é igual a .”
Em linguagem matemática, escrevemos 
Vamos concretizar a variável para e :
• para obtemos a proposição falsa 
• para obtemos a proposição verdadeira 
• 
 Falso
• 
 Verdadeiro
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Exemplo 21
Considera as condições:
Tem-se que é uma proposição verdadeira e é uma proposição falsa, para qualquer diferente de .
Tem-se também que é uma proposição verdadeira se e só se é um número real superior a .
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Definição
Quantificador Universal
Dada uma condição , “qualquer que seja , ” ou
“para todo o , ” é uma proposição, que é verdadeira quando e
apenas quando se obtém uma proposição verdadeira sempre que se
substitui em por um objeto arbitrário.
“Qualquer que seja , ” representa-se por “”.
O símbolo “” designa-se por “quantificador universal”. 
Se a condição “” for verdadeira, dizemos que a condição é
universal.
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Exemplo 22
Considera as condições:
A é universal porque é verdadeira qualquer que seja . 
s
A não é universal porque s é uma proposição falsa.
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Definição
Dada uma condição e um conjunto , a proposição 
 representa-se por “ ”.
Se esta proposição for verdadeira, dizemos que é uma condição
universal em .
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Exemplo 23
Considera, em , as condições:
Observa que é uma proposição falsa.
 e 
Logo, a condição não é universal porque é falsa a proposição 
Como é uma proposição verdadeira para todo o número real , temos que é uma condição universal em e é uma proposição verdadeira.
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Exemplo 23 (continuação)
Considera, em , as condições:
Se considerarmos a condição em , então é uma proposição verdadeira, pois seja qual for o número natural , o seu quadrado é um número positivo. Logo, é uma condição universal em .
 e q
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Exemplo 24
No conjunto , consideremos a condição 
Em linguagem corrente temos:
“A terça parte de um número é menor ou igual a dois.”
6
Assim, a proposição verdadeira, visto que é verdadeira para qualquer pertencente ao intervalo .
Podemos, então, escrever , .
Logo, é uma condição universal em .
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Definição
Quantificador existencial
Dada uma condição , “existe tal que ” é uma proposição verdadeira se e somente se, para pelo menos um objeto , for verdadeira.
“existe tal que ” representa-se por “”.
O símbolo “” designa-se por “quantificador existencial”. 
Se a proposição “” for verdadeira, é uma condição
possível.
Se não for possível, dizemos que é uma condição impossível.
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Exemplo 25
Considera as condições
A condição é possível porque existe pelo menos um número par (por exemplo, o número 2).
 e 
A condição é impossível porque não existe tal que .
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