Aplicacao Transformada de Fourier

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO 
CENTRO DE TECNOLOGIA E GEOCIÊNCIAS 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TRANSFORMADA DE FOURIER 
Aplicação na Análise de Circuitos Elétricos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Agosto/2015 
@ Luiz Antônio Magnata da Fonte 
Transformada de Fourier 
Aplicação na Análise de Circuitos Elétricos 
 
 
Sumário 
 
 
1. Método Generalizado de Resolução 3 
2. Método Expedito de Resolução 5 
 2.1 Representação no Domínio da Freqüência 6 
 2.2 Aplicação na Resolução do Circuito 8 
3. Passagem para o Domínio do Tempo 9 
 3.1 Caso 1 : Função Impulso 10 
 3.2 Caso 2 : Frações Parciais 12 
4. Circuitos com Condições Iniciais 14 
 4.1 Exemplo 1 15 
 4.2 Exemplo 2 18 
 
 
 
 
@ Luiz Antônio Magnata da Fonte 2
Transformada de Fourier 
Aplicação na Análise de Circuitos Elétricos 
 
 
1. MÉTODO GENERALIZADO DE RESOLUÇÃO 
O método geral para resolução de circuitos elétricos mediante o uso da Transformada de 
Fourier será ilustrado através do circuito RLC da Figura 1. Este circuito será considerado 
em estado nulo, ou seja, com condições iniciais nulas em t=0-s e pretende-se a 
determinação da tensão v(t) nos terminais do indutor parta t≥0 s. 
Figura 1 
 
Este circuito exibe dois nós essenciais, de modo que, com a escolha da referência, nó 
assinalado na Figura 1, a aplicação do Método da Análise Nodal ao nó restante 
proporcionará: 
( ) ( ) ( ) ( ) 01
0
=+⋅+
−
∫ dt
tdvCdttv
LR
tytv t 
A aplicação da Transformada de Fourier diretamente na equação acima, tendo-se em conta 
as propriedades da linearidade e da diferenciação, proporcionará: 
( ) ( ) ( ) ( ) 01
0
=+
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
⋅⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛+
−
∫ ωω
ωω CVjdttv
LR
YV t
F 
O termo contendo a integral na equação acima não possui Transformada de Fourier, uma 
vez que a propriedade da integração somente se aplica para outros limites, qual seja: 
( ) ( ) ( )ωδπ
ω
ω 0F
j
jFdt)t(f
t
+=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
∫
∞−
F 
 
A alternativa é, pois, derivar a equação acima para eliminar o termo citado, o que resultará 
em: 
 
@ Luiz Antônio Magnata da Fonte 3
Transformada de Fourier 
Aplicação na Análise de Circuitos Elétricos 
 
( ) ( ) ( ) ( ) 011 2
2
=++⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
dt
tvdCtv
Ldt
tdy
dt
tdv
R
 
 
Aplicando, outra vez, a Transformada de Fourier, se obtém: 
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 011 2 =++− ωωωωωω CVjV
L
YVj
R
 
( ) ( )ω
ω
ω
ω Y
Cj
LjR
R
V
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
++
=
11
1 
Esta é a resposta no domínio da freqüência da grandeza procurada, de modo que, para a 
determinação do comportamento no tempo da mesma, a Transformada Inversa de Fourier 
deverá ser usada. 
O tratamento mais indicado para este caso consistirá no uso do Método de Expansão em 
Frações Parciais juntamente com o Método de Heaviside de determinação dos resíduos 
dessas frações. Assim procedendo, a expressão acima será decomposta em parcelas mais 
simples, as quais podem ser encontradas nas tabelas com os pares usuais de transformadas 
inversas. 
Caso o indutor do circuito da Figura 1 possuísse uma condição inicial, admitida como uma 
corrente Io em t=0-s na direção positiva, a equação resultante da aplicação do Método da 
Análise Nodal seria: 
( ) ( ) ( ) ( ) 01
0
=+⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+⋅+
−
∫ dt
tdvCIdttv
LR
tytv
o
t
 
A operação de derivação nesta equação resultaria numa expressão idêntica àquela obtida 
anteriormente, já que Io é uma constante. Consequentemente, a resposta proporcionada pela 
aplicação da Transformada de Fourier seria exatamente a mesma, pois esta ferramenta 
matemática não dispõe de qualquer recurso para introdução a posteriori de tal condição. 
Em síntese, no que tange especificamente ao uso da Transformada de Fourier para a 
resolução de um circuito é indiferente à presença ou não de uma condição inicial, seja a 
corrente percorrendo um indutor, seja a tensão nos terminais de um capacitor. O tratamento 
desta questão será objeto de uma análise posterior. 
 
 
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Transformada de Fourier 
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2. MÉTODO EXPEDITO DE RESOLUÇÃO 
Um exame da expressão obtida no tópico anterior para a resposta do circuito mostra que, se 
a entrada aplicada ao circuito for o impulso na origem, cuja transformada é dada por: 
( ) ( ) ( ) 1=⇔= ωδ Ytty 
F
 
a resposta deste circuito será: 
( )
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
++
=
Cj
LjR
R
V
ω
ω
ω
11
1 
 
Ora, essa é, justamente, a denominada Função de Transferência do circuito, H(ω), a qual 
permite a determinação da resposta do mesmo no domínio da freqüência para qualquer 
sinal de entrada, pois conforme prescreve a propriedade da convolução da Transformada 
de Fourier: 
( ) ( ) ( )ωωω YHV ⋅= 
 
Assim, para obter-se a solução procurada de um dado circuito bastará determina-se esta 
Função de Transferência, expressa como a relação entre a saída desejada e a entrada 
aplicada ao circuito, quando ambas encontram-se no domínio da freqüência, como deduz-
se da propriedade acima: 
( ) ( )( )ω
ωω
Y
VH = 
 
No procedimento do tópico anterior, a Função de Transferência foi construída a partir do 
levantamento da equação diferencial descrevendo o comportamento do circuito no domínio 
do tempo, seguida da passagem desta para o domínio da freqüência, jω, via as 
propriedades da Transformada de Fourier. Todavia, uma rotina bem mais expedita poderá 
ser utilizada para obtenção desta função diretamente no domínio da freqüência, 
dispensando, portanto, a abordagem no tempo. Para tal, o circuito deverá ser convertido 
para o domínio da freqüência através de algumas regras especificadas no tópico seguinte. 
 
 
 
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Transformada de Fourier 
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2.1 Representação do Circuito no Domínio da Freqüência 
O procedimento para conversão de circuitos ao domínio da freqüência consistirá em 
transferir cada elemento para este domínio pela aplicação da Transformada de Fourier à 
relação que rege o comportamento tensão×corrente de cada um no domínio do tempo. O 
resultado desta aplicação encontra-se sumarizado no quadro apresentado na Tabela 1. 
 
 Tabela 1
DOMÍNIO DO TEMPO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA 
Resistor Resistor 
 
Indutor Indutor 
 
Capacitor Capacitor 
 
 
 
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O quadro da Tabela 1 aponta que, no domínio da freqüência, a relação entre a tensão e a 
corrente para qualquer dos elementos que constituem os circuitos elétricos, resistor, indutor 
ou capacitor, tomará a forma da Lei de Ohm, quando se efetua as seguintes substituições 
dos parâmetros dos mesmos: 
 
Cj
C
LjL
RR
ω
ω
1
 
 
 
 Frequência daDomínio Tempo doDomínio
→
→
→
 
 
Adicionalmente, as Leis de Kirchhoff, transpostas para o domínio da freqüência, resultam 
em equações similares (algébricas) para as grandezas neste domínio, pois: 
 
Lei das Malhas 
Domínio do tempo → ( )∑
=
=
n
i
i tv
1
0
Domínio da frequência → ( ) ( )[ ] ( ) 0
111
===
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
∑∑∑
===
n
i
i
n
i
i
n
i
i Vtvtv ωFF
 
Lei dos Nós 
Domínio do tempo → ( )∑
=
=
n
i
i ti
1
0
Domínio da frequência → ( ) ( )[ ] ( ) 0
111
===
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
∑∑∑
===
n
i
i
n
i
i
n
i
i Ititi ωFF
 
O quadro da Tabela 1 e as expressões das Leis Kirchhoff demonstram, pois, que todas as 
ferramentas desenvolvidas para a abordagem dos circuitos de corrente contínua no domínio 
do tempo serão igualmente válidas para o domínio da freqüência, pois cada elemento do 
mesmo poderá ser tratado como uma resistência fictícia neste domínio com o valor 
assinalado na Tabela 1. 
 
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Transformadade Fourier 
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2.2 Aplicação na Resolução do Circuito 
O circuito apresentado no tópico 1, quando convertido para o domínio da freqüência, 
resulta no circuito da Figura 2. onde as seguintes substituições foram executadas: 
 
 
( ) ( )
( ) ( )ω
ω
ω
ω
Yy
Vtv
Cj
C
LjL
RR
 t
 
 
 
 
→
→
→
→
→
1 
 
Figura 2 
 
Aplicando, outra vez, o Método da Análise Nodal se obtém: 
 
( ) ( ) ( ) ( ) 0=−++
R
YVCVj
Lj
V ωωωω
ω
ω 
( ) ( )ω
ω
ω
ω Y
Cj
LjR
R
V
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
++
=
11
1 
 
Ou seja, exatamente a mesma Função de Transferência determinada anteriormente, o que 
assegura que a mesma resposta será alcançada e, portanto, respalda o uso da metodologia 
ora proposta para esta finalidade. 
 
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3. PASSAGEM PARA O DOMÍNIO DO TEMPO 
A determinação da resposta no domínio do tempo a partir da obtenção do comportamento 
no domínio da freqüência requer a aplicação da Transformada Inversa de Fourier definida 
por: 
( ) ( ) ωω
π
ω dejYty tj ⋅⋅= ∫
+∞
∞−
2
1 
 
A determinação da resposta no tempo exigirá, pois, a realização de uma integração no 
plano complexo, a qual, dependendo da natureza das funções presentes no integrando, 
poderá apresentar alguma complexidade. Tais dificuldades, no entanto, serão inteiramente 
contornadas quando a resposta em freqüência do circuito, Y(jω), contiver funções do tipo 
impulso. Neste caso, o processo de resolução da integral será praticamente imediato por 
conta das características destas funções. 
Ainda mais, como os circuitos elétricos de interesse possuem caráter linear, a resposta no 
domínio da freqüência dos mesmos apresenta-se sempre na forma de uma fração racional, 
onde o denominador e o numerador são constituídos por polinômios em jω: 
 
( ) ( )( )ω
ωω
jD
jNjY = 
 
Tal situação facilita sobremaneira o processo de obtenção da resposta no domínio do 
tempo, uma vez que esta função poderá ser desenvolvida em frações parciais, cuja inversa 
será obtida diretamente das tabelas de transformadas disponíveis. Para essa condição, 
portanto, não haverá necessidade de realizar o processo de integração propriamente dito. 
Os dois casos descritos serão alvos de um tratamento específico nos tópicos que se 
seguem: 
 Caso 1 : Função Impulso 
 
 Caso 2: Frações Parciais 
. 
Ç 
 
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3.1 Caso 1 : Função Impulso 
Sempre que registrar-se a presença da função impulso na resposta do circuito no domínio 
da freqüência, a realização da operação de integração correspondente a transformada 
inversa tornar-se-á bastante simplificada por conta da propriedade desta função, a qual 
estabelece que: 
otto
)t(fdt)tt()t(f =
+∞
∞−
=−∫ δ 
Um exemplo desta situação pode ser apreciado na resolução do circuito da Figura 3, onde 
se deseja a corrente no ramo da direita, io(t), quando a entrada tem a forma: 
 
)t(sen)t(ii 210= 
Figura 3 
 
A Função de Transferência deste problema é obtida com a transformação do circuito para 
o domínio da freqüência, Figura 4, e pelo uso da regra do divisor de corrente: 
 
( )
ω
ω
ω
ω
ωω
31242
2
j
j
j
)j(I
)j(IjH
i
o
+
=
++
== 
Figura 4 
 
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A Transformada de Fourier do sinal de entrada será dada por: 
 
[ ])()(jdte)t(sen)j(I tji 2210210 −−+== ∫
+∞
∞−
− ωδωδπω ω 
 
A corrente de saída será, portanto: 
 
[ ])()(j
j
j)j(I)j(H)j(I io 221031
−−+⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
== ωδωδπ
ω
ωωωω 
 
A transformada inversa será, pois: 
 
[ ] ide)()(j
j
j)t(i tjo ∫
+∞
∞−
−−+⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
= ωωδωδπ
ω
ω
π
ω2210
312
1
 
 
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
−⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
−+⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
= ∫ ∫
+∞
∞−
+∞
∞−
ωωπδ
ω
ωωωπδ
ω
ω
π
ωω de)(j
j
jde)(j
j
j)t(i tjtjo 21031
210
312
1 
 
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
+⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
=
=−= 22 31
10
31
10
2
1
ω
ω
ω
ω
ω
ωπ
ω
ωπ
π
tjtj
o ej
jje
j
jj)t(i 
 
( ) ( )[ ]oo ,tj,tjtjtjo ee,ejej)t(i 548025480222 644161
10
61
10 +−− +=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
+⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
= 
 
Utilizando a Fórmula de Euler, a expressão acima poderá ser simplificada para: 
 
( )oo ,tcos,)t(i 548022883 −= 
 
 
 
 
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3.2 Caso 2 : Frações Parciais 
No caso geral dos circuitos lineares, o procedimento mais simples para efetuar a 
Transformada Inversa de Fourier consiste em desenvolver o quociente de polinômios em 
frações parciais: 
( ) ( ) ( ) ( )n
n
pj
K
pj
K
pj
KjY
−
++
−
+
−
=
ωωω
ω L
2
2
1
1 
 
Utilizando, então, a propriedade da linearidade e a tabela de transformadas, cada parcela 
das frações será convertida para o domínio do tempo. 
Um exemplo para este caso é o circuito da Figura 5, onde se pretende determinar a tensão 
vo(t) nos terminais do capacitor quando a tensão da fonte é do tipo exponencial: 
 
( ) ( )tuetv ti 32 −= 
 
 transformada do sinal de entrada será obtida diretamente da tabela de transformadas, 
Figura 5 
 
A
segundo a qual: 
ωja
u(t)e at
+
↔−
1
 
F
 
 
tilizando a propriedade da linearidade tem-se então: U
 
( )
ω
ω
j
jVi +
=
3
2 
 
 Função de Transferência do problema será obtida pela regra do divisor de tensão 
aplicada ao circuito convertido ao domínio da freqüência, Figura 6: 
A
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Transformada de Fourier 
Aplicação na Análise de Circuitos Elétricos 
 
( )
ωω
ω 1
1
jω
2112 jj
jH
+
=
+
= 
A tensão de saída do circuito será: 
 
Figura 6 
( )( )ωωωωωωω j(V)j(H)j(V io = j,jjj) ++=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
=
503
1
3
2
21
1 
 
Desenvolvendo o quociente acima em frações parciais tem-se: 
 
⎟⎟
⎠
⎞
( )( ) ⎜⎜⎝
+⎟⎟
⎠
⎜⎜
⎝ +
=
++
=
ωωω
ω
jj,j
)j(Vo 03503
⎛
+
⎞⎛
ωj,
BA
5
1 
 
Os resíduos A e B serão dados por: 
( )( )( )
( )( )( ) 403
1
503
150
40
50
1
503
13
5050
33
,
jj,j
j,limB
,
j,j,j
jlimA
,j,j
jj
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
=
++
+=
−=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
=
++
+=
−=
−→
−=
−→
ωω
ω
ω
ωωω
ω
ωωω
ω
 
Portanto: 
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
−
+
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
+⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
−
==
ωωωω
ω
j,j
,
j,
,
j
,)j(Vo 50
1
3
140
50
40
3
40 
 
Utilizando a tabela de transformadas para obter-se a inversa de Vo(jω): 
 
[ ]tt,o ee,)t(v 35040 −− += 
 
 
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Transformada de Fourier 
Aplicação na Análise de Circuitos Elétricos 
 
ES INICIAIS 
 Transformada de Fourier tem natureza bilateral, pois é definida como: 
−= dte)t(fjF tjωω 
enta será sempre 
considerada no intervalo [-∞,+∞]. 
Este fato dificulta a introdução de condições iniciais presente nos circuitos, uma vez que as 
 - 
 4. CIRCUITOS COM CONDIÇÕ
A
( ) ∫
+∞
∞−
Deste modo, a obtenção da resposta de um circuito através desta ferram
mesmas tomam lugar quando as seguintes relações são utilizadas: 
Indutor ( ) ( )01
0L
idt)t(vti
t
+= ∫ 
Capacitor - ( ) ( )01
t
0
vdt)t(i
C
tv += ∫ 
Ora, a Transformada de Fourier de uma integral definida é dada por: 
 
( ) ( ) ( )ωδπ
ωj⎥⎦⎢⎣
∫
ω 0FjFdt)t(f
t
+=⎥
⎤
⎢
⎡
∞−
F 
Assim, não é possível tratar diretamente as integrais contendo as condições inicias por 
conta dos seus limites de integração. Uma alternativa para abordar essa questão consistirá 
a derivação das equações que ditam o comportamento dos circuitos, transformando, dessa 
postas a tais elementos. Com esta manobra, todos os 
 
 
n
maneira, as operações de integração em derivações, como já foi apresentado anteriormente. 
Nesse caso, todavia, as condições iniciais serão eliminadas e o circuito será tratado como 
se encontrasse em estado nulo. 
A única opçãopara preservar os valores iniciais nos elementos do circuito consistirá na 
introdução de fontes externas, configuradas de modo a assegurar que, no intervalo [-∞,0-], 
as condições iniciais serão im
elementos do circuito poderão ser considerados em estado nulo e o tratamento via a 
Transformada de Fourier reproduzirá com fidelidade a resposta do circuito. Os exemplos a 
seguir ilustram tais situações. 
 
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Transformada de Fourier 
Aplicação na Análise de Circuitos Elétricos 
 
4.1 Exemplo 1 
No circuito da Figura 7, o capacitor encontra-se com uma tensão de 3 V em t=0s, quando 
ma fonte contínua de 5 V é aplicada ao mesmo. A 
btenção do comportamento da tensão nos terminais 
vo(t) utilizando as técnicas no domínio 
u
o
deste capacitor 
do tempo será: 
( ) ( ) τ
t
FinalInicialFinalo eVVVtv
−
−+= 
 
onde: 
Figura 7 
sRLeVV,VV InicialFinal 235 ==== τ 
Assim, a resposta será: 
( ) t,o etv 5035 −−= 
 
A preparação do circuito para a aplicação da Transformada de Fourier exigirá que uma 
uzida para garantir que, imediatamente antes da chave ser fechada, 
t=0-s, o capacitor exiba uma tensão de 3 V. Na 
ontagem apresentada na Figura 8, a fonte contínua 
m transformadas tabeladas: 
fonte externa seja introd
m
de 3 V assegura exatamente este requisito, pois, com a 
chave na posição a desde um tempo muito longo, o 
capacitor funcionará como um circuito aberto e, logo, 
apresentará a mesma tensão da fonte. Com a 
passagem da chave para a posição b, a tensão de 5 V será, então, aplicada ao circuito, 
estando o capacitor com a tensão residual de 3 V, como desejado. 
A combinação dessas duas fontes num sinal de entrada único é mostrada na Figura 9A, o 
qual será tratado, para efeito da obtenção da Transformada de Fourier, pela adição dos 
dois sinais indicados na Figura 9B; a função sign t e a função constante de intensidade 4. 
Tais sinais possue
Figura 8 
 
( ) ( ) ( )ωπδω
ω
ω 82 21 == jV,j
jV 
 
 
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Transformada de Fourier 
Aplicação na Análise de Circuitos Elétricos 
 
 
A transformada do sinal de entrada do circuito será, portanto: 
 
 A B 
Figura 9 
( ) ( )ωπδ
ω
ω 82 +=
j
jVi 
 
A função de transferência deste circuito será, como visto anteriormente: 
( )
ωω
ωω
1
1
12
1
jj
jjH
+
=
+
= 
 
2
 
Deste modo, o sinal de saída, tensão nos terminais do capacitor, será: 
( )
( )ωπδ
ωωω 2150 ⎟⎠⎜⎝ +⎟⎠⎜⎝
ω
ωπδ
ωω
ωωω
8111
82
21
1
⎟
⎞
⎜
⎛
+⎟
⎞
⎜
⎛
⎟⎟
⎞
⎜
⎛
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
==
)j(V
jj
)j(V)j(H)j(V ic
 
 
A transformada inversa do último termo da direita será obtida diretamente: 
⎠
⎜
⎝ + jjj,
c
( ) 4
21
48
21
1
2
1
0
1 =⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
=
=
+∞
∞−
∫
ω
ωω
ω
ωωπδ
ωπ
tjtj
c ej
de
j
)t(v 
 
 a transformada inversa do primeiro termo da direita será determinada pelo uso de Já
frações parciais: 
( )
ωωωω
ω
j,
B
j
A
jj,
jVc +
+=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
=
50
1
50
12 
@ Luiz Antônio Magnata da Fonte 16
Transformada de Fourier 
Aplicação na Análise de Circuitos Elétricos 
onde: 
( )
( ) 21
50
150
211 =⎟
⎞
⎜
⎛
50
50
0
−=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
+=
⎟
⎠
⎜
⎝
⎟⎟
⎠
⎜
⎝ +
−→
→
ωω
ω
ωω
ω
ω
jj,
j,limB
jj,
,j
j
 
A resposta correspondente a esse termo será: 
⎞
⎜
⎛
= ωjlimA
 
( )
ωω
ω
j,j
jVc +
−=
50
222 
 
tilizando-se a tabela de transformadas obtém-se: U
 
( ) ( ) t,c etsgntv 502 2 −−= 
 
 resposta total será,´portanto: A
( ) ( ) ( ) ( ) t,ccc etsgntvtvtv 21 4+=+= 502 −− 
 
Os dois primeiros termos da direita da equação acima podem ser combinados graficamente 
omo mostra a Figura 10, resultando em: 
 
c
Figura 10 
( )
st 05 >∀
 
st
tsgn
 03
4
<∀
=+ 
A resposta procurada diz respeito a t≥0 s, de modo que somente a parcela para esta 
condição deverá ser considerada, logo: 
( ) t,c etv 5025 −−= 
@ Luiz Antônio Magnata da Fonte 17
Transformada de Fourier 
Aplicação na Análise de Circuitos Elétricos 
 
4.2 Exemplo 2 
 O circuito da Figura 11 opera por um tempo muito longo com a chave na posição a e, no 
instante t=0 s, esta chave é levada à posição b. Deseja-se determinar o comportamento da 
tensão nos terminais do indutor para t>0 s. 
,0-], o circuito exibe a configuração da 
Figura 11 
 
No intervalo [-∞
Figura 12, de modo que, no instante t=0-s, a tensão 
nos terminais do capacitor é dada pela regra do divisor 
de tensão: 
 
( ) VVc 4510000
6000750 =⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛=− 
 
No interval
Figura 12 
o (0+, t), o circuito terá a configuração da 
o instante inicial uma tensão residual de 45 V. 
 
 
 
Figura 13, onde o capacitor apresenta 
n
Figura 13 
@ Luiz Antônio Magnata da Fonte 18
Transformada de Fourier 
Aplicação na Análise de Circuitos Elétricos 
 
A passagem deste circuito para o domínio da freqüência exigirá que esta condição inicial 
ja introduzida e isto será simulado pela fonte de 45 V indicada na Figura 14. 
om esta fonte presente no intervalo (-∞,0-), ao final do mesmo, em t=0-s, o circuito 
se
Figura 14 
C
encontrar-se-á em estado permanente e, logo, o indutor comportar-se-á 
como um curto-circuito, situação mostrada na Figura 15. Com esta 
configuração, o carregamento do capacitor com 45 V estará assegurado. 
No domínio da freqüência, o circuito da Figura 14 exibirá a forma da 
Figura 16, onde se identificam 3 nós essências. Com a escolha do nó 3 
como referência, a aplicação do Método das Tensões de Nó aos nós 1 e 2, tomados juntos 
aos moldes de um super-nó, proporcionará: 
( ) ( )[ ]
Figura 15 
( ) ( ) ( ) 0
108
221
81 =+++⎟⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
×
+
jVjVjVjjVjV c
ωωωωωω 
000600001508 ..j ω
A relação adicional entre as tensões individuais dos nós 1 e 2 será: 
Figura 16 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛+=+=
00060
1010 242
4
21 .
jVjVjijVjV o
ωωωωω 
( ) ( )ωω jVjV 12 7
6
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛= 
@ Luiz Antônio Magnata da Fonte 19
Transformada de Fourier 
Aplicação na Análise de Circuitos Elétricos 
 
Substituindo essa relação na expressão obtida anteriormente resultará em: 
( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) 0
000700001758108
111
81 =+++⎟⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
×
+
.
jV
.
jV
j
jVjjVjV c
ωω
ω
ωωωω 
( ) ( ) ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
×
−=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
++
× 88
1
10800050
1
8
1
108
ωω
ω
ωω jjV
.j
jjV c 
( ) ( ) ( )
( ) ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+×+
−=
832
2
1
101016 ωω
ωωω
jj
jjVjV c 
 
O sinal de entrada será tratado como a subtração de duas funções: a Função Constante com 
intensidade 45 V e a Função Sinal com mesm intensidade, Figura 17: 
 
a
( ) ( ) ( )tVtVtV ccc 21 −= 
Figura 17 
 
 
Utilizando a tabela, a Transformada de Fourier deste sinal será, portanto: 
 
( ) ( )( ) ( ) ( )
ω
ωπδ
ω
ωπδωπδω
jj
Vc
4545145245 −=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+−= 
 
Substituindo esse valor na expressão da tensão V1(jω) obtida anteriormente resulta em: 
 
( ) ( ) ( )
( ) ⎟
⎟
⎠⎝
⎞
⎜
⎜
⎛
+×+⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+−=
832
2
1
101016
4545
ωω
ωωπδω
jj
j
j
jV 
ω
 
 
 
@ Luiz Antônio Magnata da Fonte 20
Transformada de Fourier 
Aplicação na Análise de Circuitos Elétricos 
 
( ) ( )( )
( )
( )
( )
( )jωVjωV ba 11
A primeira parcela dessa expressão, V
44444 344444 2144444 344444 21
jj
j
jj
jjV
832832
2
1
101016
45
101016
45
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+×+
+⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+×+
−=
ωω
ω
ωω
ωωπδω 
 a função impulso, de modo que a 
ansformada inversa pode ser calculado diretamente: 
 
1a(jω), envolve
tr
( ) ( ) ( ) ( )
( )
ω
ωω
ωωπδ
π
ωω
π
ωω de
jj
jdejVtv tjtjaa ⋅⋅⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+×+
=⋅⋅= ∫∫
+∞
∞−
+∞
∞−
832
2
11
101016
45
2
1
2
1 
 
( ) ( )
( )
0
101016
45
2
1
0
832
2
1 =
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⋅⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+×+
=
=ω
ω
ωω
ωπ
π
tj
a e
jj
jtv 
 
Já a segunda parcela, V1b(jω), exigirá o desenvolvimento em frações parciais, o que está 
registrado abaixo: 
 
( )
( ) ( )[ ] ( )[ ]
( ) ( ) ( )3333133338321
106108106108
106108106108
45
101016
45
×−×+
+
×+×+
=
×−×+×+×+
=
+×+
=
jj
B
jj
AjV
jjjj
j
jj
jjV
b
b
ωω
ω
ωω
ω
ωω
ωω
 
 
 
( )
( )[ ] ( ){ }
( )
( )[ ] ( ){ } 30522106108
30522106108
1
33
106108
1
33
106108
33
33
j,jVjjlimB
j,jVjjlimA
jj
jj
+=×−×+=
−=×+×+=
×+×−→
×−×−→
ωω
ωω
ω
ω
 
 
( ) ( ) ( )33331 106108
30522
106108
30522
×−×+
+
+
×+×+
−
=
jj
j,
jj
j,jV b
ωω
ω 
 
Utilizando a tabela, a Transformada Inversa de Fourier será, pois: 
 
 
 
 
@ Luiz Antônio Magnata da Fonte 21
Transformada de Fourier 
Aplicação na Análise de Circuitos Elétricos 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )tjtjttjtjtb
tjtj
b
eeejeee,tv
ej,ej,tv
333333
3333
106106108106106108
1
106108106108
1
30522
3052230522
×−××−×−××−
×−×−×+×−
−−+=
++−=
 
 
 
 
Fazendo uso da Fórmula de Euler: 
 
Compilando essa expressão, tem-se: 
 
( ) t.senet.cosetv t.t.b 000660000645 000800081 −− −= 
 
( ) ( )ot.b ,t.cosetv 1353000645 00081 += − 
 
A resposta procurada, tensão no indutor, será, portanto: 
 
( ) ( ) ( )
( ) ( )ot.L
baL
,t.cosetv
tvtvtv
13530006450 0008
11
++=
+=
−
 
 
 
sendo que: 
 
 15, onde, em estado permanente, o indutor 
funciona como um curto-circuito, logo: 
 
Para t<0 s, o circuito é aquele da Figura
( ) VtvL 0= 
 Para t>0 s, exatamente a resposta procurada, tem-se: 
 
 
( ) Vt.senet.cosetv t.t.L 000660000645 00080008 −− −= 
 
 
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