Impulso, Trabalho e Energia na Física

Prévia do material em texto

Outros docentes: dr. Sandro Pais Page 1 
 
 
 
IV Impulso de uma força 
Entende-se por impulso de uma força, a grandeza vectorial definida pelo produto da força 
pelo intervalo de tempo em que ela actua. Em outras palavras, impulso é uma força muito 
intensa agindo durante um tempo curto, como exemplo, quando um tenista atinge a bola, ele 
aplica uma força intensa durante um tempo muito curto. 
 
 ⃗ 
 ⃗⃗
 
 ( ) ∫ ⃗⃗
 
 
 ∫ ⃗
 
 
 ∫ ⃗
 
 
 ( ) 
A quantidade ⃗ ∫ ⃗
 
 
 (4.3) é chamada impulso, daí que a relação (4.2) nos diz que: 
 
Agora se substituirmos a definição da quantidade de movimento na expressão (4.2), 
resulta, 
 ( ) 
 
 
 ( ) ( ) 
Ao recorrermos a definição da velocidade, podemos chegar a expressão de posição, isto é, 
 
 
 
 
 
 ∫ 
 
 
 ∫ ( 
 
 
 )
 
 
 
 
 
∫ 
 
 
 ( ) 
Nos problemas da física, a força sobre uma partícula não é conhecida como função do 
tempo, mas como função de posição ⌈ ( ) ( )⌉ e, para contornar o problema, 
introduzimos novos conceitos, isto é, o trabalho e a energia. 
 
Universidade Zambeze 
Faculdade de Ciência e Tecnologia 
Disciplina: Física I 
Lição n
0
 5: Trabalho e Energia 
Cursos: Eng
rias
, Mecatrónica, Civil e Eléctrica Data: 23/03/20 – I Semestre 
 Aula Teórica 
 
 Impulso e Trabalho  Energia Total 
 Potência  Forças Conservativas 
 Energia Cinética  Discussão de Curvas de Energia 
 Energia Potencial  Forças não conservativas 
 
 
 
Subtemas: 
Mecânica como ciência 
 
 
 
 A variação da quantidade de movimento da parrtícula é igual ao impulso. 
Docente Responsável: Msc. Enfraime Jaime Valoi (valoi.enfraime@gmail.com) 
Outros docentes: dr. Sandro Pais Page 2 
 
 
IV.1 Trabalho. 
Antes de mais, é preciso diferenciarmos o conceito trabalho aplicado no quotidiano (por 
exemplo, quando afirmamos: vou levar 5 horas para terminar o trabalho) ao conceito trabalho na 
física. Em física, trabalho está associado a força e não a corpos: diz-se “trabalho de uma força” e 
nunca “trabalho de um corpo”. 
Podemos definir o “trabalho”, como sendo a energia transferida para um objecto ou de 
objecto através de uma força que age sobre o objecto. Quando a energia é transferida para o 
objecto, o trabalho é positivo e, negativo, quando a energia é transferida do objecto. 
O trabalho de uma força nem sempre contribui para o deslocamento do corpo, dai que 
encontramos dois tipos de trabalhos de uma força. O trabalho potente (também chamado motor), 
quando a força favorece ao deslocamento (trabalho positivo) e, o trabalho resistente, quando a 
força não favorece ao deslocamento (trabalho negativo). 
 
 
 
 
 
 ⃗ ⃗ ( ) 
Exemplo, ao deixar cair em queda livre um corpo, sua força peso favorece ao deslocamento 
(trabalho potente) e, em situação contrária, quando atiramos um corpo para cima, seu peso opõe-
se ao deslocamento (trabalho resistente). 
Agora vamos considerar uma partícula que se move sob acção de uma força ⃗ (não 
paralela ao deslocamento) ao longo da linha como mostra a figura 4.2. 
 
 
 
 𝑑𝑤 𝐹 𝑑 𝑐𝑜𝑠𝜃 ( 7) 
Tomando a figura a 4.2, ao considerar que o ângulo 
entre vectores das forças é 𝜃, então a componente da 
força �⃗� ao longo do deslocamento �⃗�1 é definida 
pela relação: �⃗�1 �⃗� cos 𝜃. De relação (4.6) resulta, 
 O trabalho é igual ao produto do deslocamento pela componente da força ao longo desse 
deslocamento. 
Figura 4.1 Trabalho Potente (a) e Resistente (b) (Fonte: Fundamentos de Física, 9aEd, Soares et al) 
 
Figura 4.2 Trabalho de uma força não paralela 
(Fonte: Fundamentos de Física, 9aEd, Soares et al) 
Outros docentes: dr. Sandro Pais Page 3 
 
 Quando a linha de actuação da força for perpendicular em relação ao deslocamento do 
corpo ( ), então, de expressão (4.7) o trabalho em causa será nulo. 
∫ 
 
 
 ∫ 
 
 
 ∫ ⃗ ( ) 
Onde, ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗ ( ) ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗ ( ) 
 ∫ ∫ ∫ ( ) 
 ∫ 
 
 
 ( ) ∫ 
 
 
 ( ) ∫ 
 
 
 ( ) ( ) 
 
IV.1.1 Trabalho de uma Força Elástica 
 
 
 
 
 
 
 
∫ 
 
 
 ∫ 
 
 
 ∫ 
 
 
 ( ) 
 
 
 ( ) 
IV.2 Potência 
 
Em aplicações práticas, é importante conhecer a rapidez com que o trabalho é realizado. 
A eficiência de uma máquina é medida pelo trabalho de sua força em relação ao tempo de 
realização, definindo assim a potência. Analiticamente, as potências média e instantânea são 
definidas nas formas, 
 
 
 
 ( ) 
 
 
 
 
 ( ) ⌈
 
 
 ⌉ ( ) 
A figura ao lado mostra uma mola que é comprimida 
por um bloco que é afastado da sua posição de equilíbrio. 
Neste caso, a força elástica da mola (em c) definida pela lei de 
Hooke é positiva (𝐹𝑒𝑙 > ) enquanto, o deslocamento (x) é 
negativo, por via disso, o trabalho necessário para comprimir a 
mola, será dada por integração da força elástica na direcção 
em causa (eixo X), isto é, 
 
Figura 4.3 Mola Comprimida (Fonte: Fundamentos 
de Física, 9aEd, Soares et al) 
Outros docentes: dr. Sandro Pais Page 4 
 
Ao considerar que no instante inicial , então, integrando a 
relação anterior, temos, 
∫ 
 
 
 ∫ 
 
 
 ⌈ ⌉ ( ) 
Derivando em ao tempo a relação (4.8), outra relação para a potência pode ser escrita, se 
assumirmos que a força é constante, 
 
 
 
 
 
 ( ) 
 
IV.3 trabalho e Energia Cinética 
 
Considerando a figura 4.4, facilmente percebemos que o corpo varia sua posição 
deslocando-se de A para B graças a força resultante ⃗ . 
 
 
Recorrendo a definição do trabalho, onde: ⃗ ⃗ 
 
 
 ( 7) 
 ∫ 
 
 
 ∫ 
 
 
 
 
 
 ∫ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ( ) 
 
 
 ( ) ( ) 
 ( ) 
 
 
 
 
 
 
 O trabalho realizado sobre uma partícula pela força resultante é igual a variação da sua 
energia científica. 
Figura 4.4 Pelo efeito da força resultante �⃗�𝑅 , o corpo passa da posição A para a posição B (Fonte: Fundamentos de Física, 9
aEd, Soares et al). 
Outros docentes: dr. Sandro Pais Page 5 
 
IV.4 Trabalho e Energia Potencial 
 
 
 
 
 
A figura 4.5 mostra um objecto movendo-se de A para B. Veja que nessa situação a força de 
gravidade (peso) opõe-se ao deslocamento e, por essa razão, o trabalho efectuado pela força de 
gravidade será negativo (resistente), isto é, 
 ⃗⃗ ( ) 
 
A quantidade ( ) é denominada energia potencial e é função das coordenadas. 
Logo se F é uma força conservativa (cosntante), então: 
 ∫ ⃗⃗
 
 
 ∫ 
 
 
 ( ) ( ) 
 ( ) 
 ( ) 
 
 
 
 
 O trabalho realizado pelas forças conservativas não depende da trajectória. 
 O trabalho realizado pelas forças conservativas ao longo de uma curva fechada é nula, 
 ∮ ( ) Integral fechada. 
 
Visto que, ⃗ 
 
 ⃗
 ⃗ 
 
 
 ( ) 
 (
 
 
 ⃗ 
 
 
 ⃗ 
 
 
 ⃗⃗) ( ) 
 
 
 
 ( ) 
 
 
 ( ) 
 
 
 ( ) ( ) 
 
 O trabalho realizado sobre uma partícula pela força resultante é igual ao negativo da 
variação da sua energia potencial. 
 
Uma força é conservativa quando sua dependência com o vector-
posição 𝑟 ou com as coordenadas 𝑥 𝑦 𝑒 𝑧 da partícula é tal que o 
trabalho 𝑤 pode ser sempre expresso como a diferença entre os 
valores de uma quantidade 𝐸𝑃(𝑥 𝑦 𝑧) nos pontos iniciais e finais. 
 
Figura 4.5 Mola Comprimida (Fonte: 
Fundamentos de Física, 9aEd, Soares etal) 
Outros docentes: dr. Sandro Pais Page 6 
 
IV.5 Princípio de Conservação da Energia. 
IV.5.1 Energia total (forças conservativas) 
 
Nos processos mecânicos, a energia pode ser transformada, isto é, de energia cinética em 
energia potencial ou vice-versa. Por exemplo, quando um corpo sobe, sua velocidade diminui 
(diminuindo sua energia cinética), enquanto sua altura aumenta (aumentando a sua energia 
potencial). 
Quando a força que age sobre uma partícula é conservativa, então podemos relacionar as 
expressões (4.19) e (4.22), isto é, 
 ( ) ( ) ( ) 
Definindo a energia mecânica (total) como sendo a soma da energia cinética com a 
energia potencial, então analiticamente temos; 
 ( 7) 
 
 
Analiticamente temos, 
1
 
 ( ) 
A expressão anterior é válido para forças conservativas 
 
Exercício de Aplicação 
Determine a altura mínima da qual deve partir uma bola para completar com sucesso a curva em laço mostrado 
na figura abaixo. Suponha que a bola desliza sem rolar e sem atrito. 
 
 
 
 
 
 
 Quando as forças são conservativas, a energia total (𝐸𝑀) de uma pertícula 
permanence constante (conservada). 
 
𝐹𝑔 
𝐹𝑔 
𝑣 
𝐹𝑁 
𝐹𝑔 
𝐹𝑁 
𝐹𝑁 
Figura 4.4 Conservação de Energia Total 
𝑦 𝑅 
𝐹𝑔 
𝑣 
𝐹 
𝑅 
ℎ 
B 
𝐺 
𝐶 
𝐴 𝐵 
𝐷 𝐸 𝐹 
𝐻 
 
 
 
 
𝑋 
𝐸𝑃(𝑥) 
Figura 4.5 Curva de Energias Potencial e Total 
5 
6 
Outros docentes: dr. Sandro Pais Page 7 
 
Resolução: 
Pela segunda lei de Newton, temos, , então, ( ) 
 ( ) 
 
 
 
No ponto B, a bola e o piso estão em contacto, mas, podemos desprezar a força que o 
piso exerce ( ) visto que aquela posição, é a posição da iminência da bola, isto é, 
dependendo da velocidade com que tiver, a bola tende a abandonar o piso. Visto isto, de eq.(*), 
resulta: 
 
 
 
 
 √ 
Nota que se, √ , a bola perde o conctato com o piso. Para além disso, facilmente 
podemos ver que a velocidade não depende da massa da bola. Quanto a altura mínima procurada, 
recorremos ao princípio de conservação de energia, e escrevemos, 
 ℎ 
 
 
 ℎ 
 
 
 
 (ℎ) (
 
 
 ) 
 
 
 ( ) 
 
Conclusão: 
 
 Se , a bola não terá a velocidade para manter-se em contacto com o piso, e, em algum ponto, a bola 
abandonará o piso. 
 É importante também observar que para qualquer valor de > , a bola atinge a velocidade suficiente 
para descrever o laço. 
 
 
 
 
Outros docentes: dr. Sandro Pais Page 8 
 
IV.6 Discussão de Curvas de Energia Potencial 
 
Para fazer o estudo das curvas de energias, vamos considerar a figura 4.4. Naquela figura, 
as rectas 1, 2, 3, e 4, representam a energia total, ou mecânica ( ) em cada nível, assim, 
analisando a figura, facilmente percebemos que a esquerda de A e a direita de B, a energia 
mecânica é menor em relação a energia potencial ( ) e segundo a relação (4.28), a 
energia cinética será negativa ( ), o que não pode, pois segundo a definição (4.19), a 
energia cinética é sempre positiva. 
Quando a energia potencial é máxima [ ( )], o equilíbrio diz-se instável e quando é 
mínimo [ ( )], o equilíbrio diz-se estável. Para verificar este facto, basta levar em 
consideração uma partícula oscilando entre A e B, bem como entre D e E. 
Ainda analisando a figura, veja que a partícula pode deslizar do ponto H até D, mas não 
pode passar para E, porque na região DE, , logo, esta região, podemos chamar de 
barreira de potencial (ou proibida). 
 
VI.7 Forças não-conservativas. 
 
Frequentemente encontramos na natureza, forças que não são conservativas. Uma 
partícula pode em simultâneo estar submetida a forças conservativas e não conservativas. Agora 
vamos considerar uma partícula caindo em um fluido. Veja que ela estará, submetida a força 
conservativa gravitacional e não conservativa, o atrito viscoso. 
Se é a energia potencial correspondente ás forças conservativas e , o trabalho realizado 
pelas forças não conservativas – , então, o trabalho total realizado será, 
 
 ( ) 
 
 ( ) ( ) 
 ( ) 
Desta vez a quantidade ( ) não permanence constante, ela cresce ou decresce, 
dependendo de o ser positivo ou negativo. Para além disso, a mesma quantidade já não é 
chamada de energia total. 
A equação (4.31) dá-nos o ganho ou perda de energia devido as forças não- conservativas.