ELETROTÉCNICA TEÓRICA - CAPÍTULOS I - II 1 - II 2 - II 3 -II 4 - II 5 - III

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UNISUAM 
 
 
 
 
ENGENHARIA 
 
 
ELETROTÉCNICA TEÓRICA 
 
PROFº RAED 
 
 
 
 
2012-1 
 
 1 
CAPÍTULO I – ELETRODINÂMICA 
 
1. Tensão Elétrica 
A tensão elétrica entre dois pontos, também chamada de diferença de potencial (ddp), é o 
trabalho necessário em joules para mover um coulomb de carga de um ponto a outro. 
 
A unidade no Sistema Internacional (SI) de tensão elétrica é o volt, cujo símbolo é V. O símbolo 
de tensão elétrica é U. 
 
q
W
U  
 
Onde: U  é a tensão elétrica, em volts (V). 
 W  é o trabalho, em joules (J). 
 q  é a carga elétrica, em coulomb (C). 
 
 
2. Corrente Elétrica 
É o movimento ou o fluxo de elétrons. Para se produzir a corrente, os elétrons devem se deslocar 
pelo efeito de uma ddp. 
 
A unidade no SI de corrente é o ampère, cujo símbolo é A. Os símbolos utilizados são o I para 
uma corrente constante e i para uma corrente variável no tempo. 
 
O condutor metálico da figura 1, submetido a uma ddp entre os seus extremos, possui uma 
quantidade de elétrons que atravessa a seção reta transversal do condutor desde o instante t até o 
instante t + t. Cada elétron apresenta uma carga elétrica elementar e de valor igual a 
C19106,1  . Em um intervalo de tempo t, passa pela seção transversal uma carga elétrica de 
valor absoluto igual a: 
 
enq . 
 
Onde: q  é a quantidade de carga elétrica em movimento, em coulomb (C). 
 n  é o número de elétrons. 
 e  é a carga elétrica elementar de um elétron, que é igual a 1,6x10
-19
C. 
 
 2 
 
 
Fig. 1 
 
Define-se intensidade média de corrente elétrica mi no intervalo de tempo t: 
 
t
q
im


 
 
Quando a corrente varia com o tempo, define-se intensidade de corrente i em um instante t o 
limite para o qual tende a intensidade média, quando o intervalo de tempo t tende a zero: 
 
t
q
i
ot 



lim 
 
Denomina-se corrente contínua constante toda corrente de sentido e intensidade constantes com 
o tempo. Neste caso, a intensidade média da corrente mi em qualquer intervalo de tempo t é a 
mesma e, portanto, igual à intensidade i em qualquer instante t . 
 
iim  
 
A figura 2 mostra o gráfico dessa corrente em função do tempo. Esse é o caso mais simples de 
corrente elétrica. A pilha mostrada ao lado do gráfico é um exemplo de fonte que fornece uma 
corrente contínua constante. 
 
Fig. 2 
 
 
 3 
A figura 3 mostra um gráfico de uma corrente elétrica que muda, periodicamente, de intensidade 
e sentido, esta é chamada de corrente alternada. Nos terminais das tomadas das residências, 
escritórios, comércios e indústrias há uma corrente alternada na freqüência de 60 Hz, ou seja, 
60 ciclos/segundo. 
 
Fig. 3 
 
Um ampère de corrente é definido como o deslocamento de um coulomb através de um ponto 
qualquer de um condutor durante um intervalo de um segundo. 
 
segundo
coulomb
ampére
1
1
1  
 
t
q
I


 
 
Onde: I  é a corrente elétrica, em ampères (A). 
 q  é a quantidade de carga elétrica em movimento, em coulomb (C). 
t  é o intervalo de tempo, em segundos (s), que a carga elétrica está em movimento. 
 
 
3. Densidade de Corrente 
É a relação entre a corrente elétrica em ampères e a área da seção transversal do condutor em m
2
. 
 
S
I
J  
 
Onde: J  é a densidade de corrente elétrica, em ampères/metro quadrado (A/m
2
). 
 I  é a intensidade da corrente elétrica, em ampères (A). 
S  é a área da seção transversal do condutor, em metros quadrados (m
2
). 
 
 4 
4. Resistores 
O resistor é todo elemento cuja função em um circuito é oferecer uma resistência especificada. 
 
A unidade no SI de resistência elétrica é o ohm, cujo símbolo é o . 
 
Para uma dada tensão elétrica, quanto maior a resistência menor será corrente elétrica. Portanto, 
a resistência é a oposição ao fluxo da corrente elétrica. 
 
São exemplos de resistores: filamentos de tungstênio de lâmpadas incandescentes e fios de 
nicromo enrolados em hélice em chuveiro elétrico. 
 
 
5. Lei de Ohm 
Considere o resistor da figura 4, mantido a uma temperatura constante, percorrido por uma 
corrente elétrica i , quando entre seus terminais A e B for aplicada a ddp U. 
 
 
Fig. 4 
 
Mudando-se a ddp sucessivamente para U1, U2, U3, ..., o resistor passa a ser percorrido por 
corrente de intensidade ...,,, 321 iii 
 
Ohm verificou, experimentalmente, que mantida a temperatura constante, o quociente da ddp 
aplicada pela respectiva intensidade de corrente era uma constante característica do resistor. 
 
Rtecons
i
U
i
U
i
U
i
U
 tan...
3
3
2
2
1
1 
 
A grandeza R assim introduzida foi denominada resistência elétrica do resistor. A resistência 
elétrica não depende da ddp aplicada ao resistor nem da corrente elétrica que o percorre; ela 
depende do condutor e de sua temperatura. A expressão que simboliza a lei de Ohm é: 
 
I
U
R  
 
 5 
Onde, conforme já definido: 
 R resistência elétrica, em ohms (). 
 U tensão elétrica, em volts (V). 
 I intensidade da corrente elétrica, em ampères (A). 
 
 
6. Resistores Ôhmicos e Não-Ôhmicos 
Na figura 5, o gráfico de U em função de i é uma reta que passa pela origem, constituindo, 
assim, a curva característica de um resistor ôhmico. O coeficiente angular da reta (tg ) é 
numericamente igual a resistência elétrica do resistor, que é igual a uma constante não-nula. 
 
R
i
U
tg  
 
 
Fig. 5 
 
Para condutores que não obedecem a Lei de Ohm, a curva característica passa pela origem, mas 
não é uma reta, conforme mostra a figura 6. Esses condutores são denominados condutores não-
lineares ou não-ôhmicos. A resistência aparente (Rap) é definida em cada ponto da curva da 
seguinte maneira: 
 
'
'
'
i
U
R
i
U
R apap  
 
 
Fig. 6 
 
 6 
7. Efeito Térmico ou Efeito Joule 
Um resistor transforma exclusivamente em térmica a energia elétrica recebida de um circuito. 
Portanto, é comum afirmar que um resistor dissipa energia elétrica que recebe do circuito. 
 
Nos aquecedores elétricos em geral (chuveiros elétricos, torneiras elétricas, ferros elétricos, 
secadores de cabelos), constituídos de resistores, ocorre a transformação de energia elétrica em 
energia térmica. 
 
O efeito da transformação de energia elétrica em térmica é denominado efeito térmico ou efeito 
joule. Esse efeito pode ser entendido considerando o choque dos elétrons livres contra os átomos 
do condutor. 
 
IUP . 
 
Onde P é potência elétrica, em watts (W). 
 
Pela Lei de Ohm, IRU  
 
2.. IRIIRIUP  
 
Sendo 
R
U
I  
 
A potência elétrica dissipada pode, também, ser dada por: 
R
U
P
2
 
 
A energia elétrica transformada em energia térmica ao fim de um intervalo de tempo t é dada 
por: tIREel 
2 . Esta expressão é conhecida como a Lei de Joule, podendo assim ser 
enunciada: 
 
A energia elétrica dissipada em um resistor, durante um dado intervalo de tempo t, é 
diretamente proporcional ao quadrado da intensidade de corrente que o percorre. 
 
 
 
 
 7 
8. Resistividade 
A resistência elétrica de um resistor depende do material que o constitui, de suas dimensões e de 
sua temperatura. Portanto, a resistência elétrica R de um resistor em dada temperatura é: 
 diretamente proporcional ao seu comprimento (  ), em metros (m); 
 inversamente proporcional à sua área de seção transversal (S), em m2; 
 dependente do material que o constitui (  ), em .m. 
 
S
R
.
 
 
Onde  (letra grega rô) é uma grandeza que depende do material que constitui o resistor e da 
temperatura, sendo denominado resistividade do material. 
 
A resistividade de um material varia com a temperatura. Para variações não-excessivas (até cerca 
de 400ºC), pode-se admitir como linear a variação da resistência com a temperatura. Nestas 
condições, a resistividade  a uma temperatura T é dada por: )](1[ 00 tT   
 
Onde:   resistividade na temperaturafinal (T), em .m. 
 0  resistividade na temperatura inicial (t0), em .m. 
   coeficiente de temperatura do material, em ºC-1. 
 T  temperatura final, em ºC. 
 t0  temperatura inicial, emºC. 
 
Tabela 1 - Resistividade de alguns materiais à temperatura ambiente (20ºC). 
MATERIAL RESISTIVIDADE (.m) 
Prata 1,47x10
-8 
Cobre 1,72x10
-8 
Ouro 2,44x10
-8 
Alumínio 2,75x10
-8 
Tungstênio 5,25x10
-8 
Ferro 9,68x10
-8 
 
 
 8 
Todos os condutores metálicos apresentam um aumento de resistência elétrica com a elevação de 
temperatura. Se uma determinada corrente elétrica aquecer um condutor, haverá uma diminuição 
desta corrente devido o aumento da resistência elétrica do condutor, provocado pelo aumento da 
temperatura. 
 
)](1[ 00 tTRR   
 
Onde: R  resistência na temperatura final (T), em . 
 0R  resistência na temperatura inicial (t0), em . 
   coeficiente de temperatura do material, em ºC-1. 
 T  temperatura final, em ºC. 
 t0  temperatura inicial, emºC. 
 
Tabela 2 - Coeficiente de temperatura ( ) de alguns materiais. 
MATERIAL  (ºC-1) 
Prata 0,0038
 
Cobre 0,00393
 
Alumínio 0,0039
 
Tungstênio 0,0045
 
Ferro 0,0050
 
 
 
9. Condutividade 
A condutividade de um material ( ) é o inverso da resistividade. 
 


1
 
 
A unidade no SI de condutividade é o mho/metro. 
 
 
 
 
 
 9 
10. Energia Elétrica e Potência 
De acordo com a figura 7, o movimento das cargas elétricas, para estabelecer a corrente elétrica, 
só é possível se for mantida a ddp U entre os pontos A e B. Sejam UA e UB os respectivos 
potenciais elétricos desses pontos e BA UUU  a ddp entre os pontos A e B. 
 
Fig.7 
 
A carga elétrica q no intervalo de tempo t, atravessa o trecho entre os pontos A e B. No ponto 
A, a carga tem energia potencial elétrica AP UqE A . e, ao chegar em B, ela tem energia 
potencial elétrica BP UqE B . . Quando a carga elétrica atravessa o trecho AB, o trabalho 
)( ABW das forças elétricas é dado por: 
BA PPBABAAB
EEUqUqUUqUqW  ..)(. 
 
Essa energia elétrica consumida pelo trecho AB pode ter sido transformada em energia térmica, 
energia mecânica, energia química, etc. Portanto, a fórmula é geral, podendo ser utilizada 
qualquer que seja o aparelho existente entre os pontos A e B. 
 
A potência elétrica consumida é dada por: 
t
Uq
t
W
P AB





.
 
 
Como I
t
q



 IUP . 
 
A energia elétrica )( ELE consumida pelo aparelho existente entre A e B, num intervalo de tempo 
t , é dada pelo trabalho das forças elétricas: tPWAB  . 
 
tPEEL  . 
 
A unidade usual de energia elétrica é o kWh. 
1Ws = 1 J 
JjoulesWssWhkWkWh 6106,3000.600.3000.600.33600.10001.11  
 
 10 
11. Múltiplos e Submúltiplos 
Os prefixos das unidades são utilizados para facilitar a escrita das mesmas quando elas estão 
expressas ou em valores muito grandes ou muito pequenos. A Tabela 3 mostra os prefixos, seus 
multiplicadores e seus símbolos. 
 
Tabela 3 – Múltiplos e Submúltiplos. 
 PREFIXO SÍMBOLO POTÊNCIA MULTIPLICADOR 
M
Ú
L
T
IP
L
O
S
 
DECA da 10 10 
HECTO h 10² 100 
QUILO k 103 1.000 
MEGA M 106 1.000.000 
GIGA G 109 1.000.000.000 
TERA T 1012 1.000.000.000.000 
PETA P 1015 1.000.000.000.000.000 
EXA E 1018 1.000.000.000.000.000.000 
ZETA Z 1021 1.000.000.000.000.000.000.000 
IOTA Y 1024 1.000.000.000.000.000.000.000.000 
 
 PREFIXO SÍMBOLO POTÊNCIA MULTIPLICADOR 
S
U
B
M
Ú
L
T
IP
L
O
S
 
DECI d 10-1 0,1 
CENTI c 10-2 0,01 
MILI m 10-3 0,001 
MICRO µ 10-6 0,000.001 
NANO n 10-9 0,000.000.001 
PICO p 10-12 0,000.000.000.001 
FEMTO f 10-15 0,000.000.000.000.001 
ATO a 10-18 0,000.000.000.000.000.001 
ZEPTO z 10-21 0,000.000.000.000.000.000.001 
IOCTO y 10-24 0,000.000.000.000.000.000.000.001 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 11 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
1. O gráfico abaixo representa a intensidade de corrente em um fio condutor, em função do 
tempo. Calcule para o intervalo de tempo de 0 a 20 segundos: 
(a) A quantidade de carga que passa por uma seção reta do condutor. 
(b) O número de elétrons que atravessa a seção reta do condutor. 
 
 
2. O gráfico a seguir representa a intensidade de corrente em um fio condutor, em função do 
tempo. Calcule para o intervalo de 0 a 6s: 
(a) A quantidade de carga que passa por uma seção reta do condutor. 
(b) O número de elétrons que atravessa a seção reta do condutor. 
 
 
3. Um condutor é percorrido por uma corrente elétrica de intensidade de 1A. Determine o 
número de elétrons que passam por uma seção transversal do condutor em um segundo, sabendo 
que a carga elétrica elementar de um elétron vale 1,6 x 10
-19
C. 
 
4. Relacione quatro efeitos principais produzidos pela corrente elétrica. 
 
5. Um resistor de 20 é percorrido por uma corrente elétrica de intensidade de 3A. Determine: 
(a) A ddp nos terminais do resistor. 
(b) A potência elétrica consumida pelo resistor. 
(c) A energia elétrica consumida no intervalo de tempo de 20s, expressa em joules. 
 
 
 12 
6. Sabendo-se que 20 lâmpadas de 100 watts e 10 lâmpadas de 150 watts permanecem acesas 5 
horas por dia, pergunta-se: Qual o consumo de energia elétrica, em kWh, no período de 30 dias? 
 
7. Um chuveiro elétrico alimentado sob ddp de 127V, consome uma potência de 4,4kW. 
Calcule: 
(a) A resistência elétrica do aparelho. 
(b) A intensidade de corrente que percorre o aparelho. 
(c) A energia elétrica consumida pelo chuveiro, quando ligado durante 72 segundos, expressa em 
kWh. 
(d) A energia elétrica consumida pelo chuveiro, quando ligado durante 72 segundos, expressa em 
joules. 
(e) O gasto de 30 dias, em reais, se o chuveiro é utilizado durante 90 minutos por dia. Suponha 
que o preço do kWh seja de R$0,52. 
 
8. Um chuveiro alimentado sob ddp de 220V, consome uma potência de 4,4kW. Calcule para 
esta condição: 
(a) A resistência elétrica do aparelho. 
(b) A energia elétrica consumida pelo chuveiro, quando ligado durante 24 minutos, expressa em 
kWh. 
(c) A energia elétrica consumida pelo chuveiro, quando ligado durante 5 minutos, expressa em 
joules. 
 
9. Aplica-se a ddp de 100V nas extremidades de um fio de 20m de comprimento e seção 
circular de área 2mm
2
. Sabendo-se que a corrente elétrica que circula tem intensidade 10A, 
calcule a resistividade do material que constitui o fio em .cm. 
 
 
10. Um ser humano pode ser eletrocutado se uma pequena corrente de 50mA passar perto do seu 
coração. Um eletricista trabalhando com as mãos suadas faz bom contato com os dois condutores 
que ele está segurando, um em cada mão. Se a sua resistência for de 2000, qual poderia ser a 
tensão fatal? 
 
 13 
11. Um fio condutor possui 1,0mm de diâmetro, um comprimento de 2,0m e uma resistência de 
50m. Qual a resistividade do material? 
 
12. Um resistor é ôhmico até 100V, tendo resistência de 6. Aplica-se no mesmo uma ddp 
de 30V e, depois, de 60V. A variação ocorrida na resistência do resistor é: (Justifique). 
 
13. O gráfico abaixo representa a tensão elétrica em função da intensidade de corrente elétrica 
em um resistor. Se o resistor for submetido a uma tensão elétrica de 6V, qual será a sua potência 
elétrica dissipada?14. O gráfico abaixo representa a tensão elétrica em função da intensidade de corrente 
elétrica em um resistor. Determine a potência elétrica dissipada no resistor, quando for 
percorrido por uma corrente de 50mA. 
 
 
15. Quando 115V são aplicados entre as extremidades de um fio que possui 10m de 
comprimento e 0,30mm de raio, a densidade de corrente é igual a 1,4x10
4
A/m
2
. Determine a 
resistividade do fio. 
 
16. Um fusível em um circuito elétrico é um fio que é projetado para derreter, e desse modo 
abrir o circuito, se a corrente exceder um valor predeterminado. Suponha que o material a ser 
usado em um fusível se funda quando a densidade de corrente atinge 440A/cm
2
. Que diâmetro de 
fio cilíndrico deveria ser usado para fazer um fusível que limitará a corrente a 0,50A? 
 
 14 
17. Um fio de tungstênio tem uma resistência de 10 a 20ºC. Determine a sua resistência a 
120ºC. Dado:  = 0,0045/ºC. 
 
18. Um fio de Nicromo (uma liga de níquel-cromo-ferro normalmente usada em elementos de 
aquecimento) possui 1,0m de comprimento e 1,0mm
2
 de área de seção transversal. Ele transporta 
uma corrente de 4,0A quando uma diferença de potencial de 2,0V é aplicada entre as suas 
extremidades. Calcule a condutividade  do Nicromo. 
 
 
Respostas: 
(1) (a) 60C; (b) 3,75x10
20
elétrons; (2) (a) 27C; (b) 1,6875x10
20
elétrons; (3) 6,25x10
18
 elétrons; 
(4) magnético, químico, fisiológico e térmico (ou joule); (5) (a) 60V; (b) 180W; (c) 3.600J; 
(6) 525kWh; (7) (a) 3,6657; (b) 34,646A; (c) 0,088kWh; (d) 316.800 joules; (e) R$102,96; 
(8) (a) 11; (b) 1,76kWh; (c) 1.320.000 joules; (9) 10
-4
.cm; (10) 100V; (11) 1,9635x10
-8
.m; 
(12) nula; (13) 18W; (14) 2W; (15) 8,2143x10
-4
.m; (16) 0,38037mm; (17) 14,5; 
(18) 2.000.000 mhos/metro 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 15 
CAPÍTULO II – CIRCUITOS ELÉTRICOS DE CORRENTE CONTÍNUA 
 
II.1 – CIRCUITOS EM SÉRIE 
 
1. Introdução 
Atualmente, dois tipos de corrente elétrica são usados nos equipamentos elétricos e 
eletrônicos. Um deles é a corrente contínua (CC), cujo fluxo de cargas (corrente) não varia 
em intensidade e sentido com o tempo. O outro é a corrente alternada (CA) senoidal, cujo 
fluxo de cargas varia continuamente em intensidade e sentido com o tempo. 
 
Uma bateria como a ilustrada na figura 1 tem, em função da diferença de potencial entre seus 
terminais, a capacidade de promover (‘pressionar’) um fluxo de cargas através de um simples 
circuito. O terminal positivo atrai os elétrons do fio com a mesma rapidez com que eles são 
fornecidos pelo terminal negativo. Enquanto a bateria estiver ligada ao circuito e mantendo as 
suas características elétricas, a corrente (CC) através do circuito não terá variações de 
intensidade nem sentido. 
 
Se considerar o fio como um condutor ideal (isto é, que não se opõe ao fluxo de elétrons), a 
diferença de potencial V entre os terminais do resistor será igual à tensão aplicada pela 
bateria. 
 
A corrente é limitada somente pelo resistor R. Quanto maior a resistência, menor a corrente, e 
vice-versa, como determinado pela lei de Ohm. 
 
Fig. 1 - Componentes básicos de um circuito elétrico. 
 
Por convenção, o sentido do fluxo convencional da corrente ( alconvencionI ) como indicado na 
figura 1, é oposto ao do fluxo de elétrons ( eletrônicoI ). Além disso, o fluxo uniforme de cargas 
leva a concluir que a corrente contínua I é a mesma em qualquer ponto do circuito. Segundo o 
sentido do fluxo convencional, observa-se que há aumento de potencial ao atravessar a bateria 
(de – para +) e uma queda de potencial ao atravessar o resistor (de + para -). Em circuitos de 
 
 16 
corrente contínua com apenas uma fonte de tensão, a corrente convencional sempre passa de 
um potencial mais baixo para um potencial mais alto ao atravessar uma fonte de tensão, como 
mostra a figura 2. 
 
 
Fig. 2 - Sentido convencional da corrente para circuitos CC com uma fonte de tensão. 
 
Entretanto, o fluxo convencional sempre passa de um potencial mais alto para um potencial 
mais baixo ao atravessar um resistor, qualquer que seja o número de fontes de tensão no 
mesmo circuito, como mostra a figura 3. 
 
 
Fig. 3 - Polaridade resultante da passagem de uma corrente I no sentido convencional, 
através de um elemento resistivo. 
 
 
2. Circuitos em Série 
Um circuito consiste de um número qualquer de elementos unidos por seus terminais, 
estabelecendo pelo menos um caminho fechado através do qual a carga possa fluir. O circuito 
visto na figura 4(a) possui três elementos, conectados em três pontos (a, b e c), de modo a 
constituir um caminho fechado para a corrente I. 
 
 Fig. 4(a) - Circuito em série Fig. 4 (b) - 1R e 2R não estão em série. 
 
 
 
 
 17 
Dois elementos estão em série se: 
 Possuem somente um terminal em comum (isto é, um terminal de um está conectado 
somente a um terminal do outro). 
 O ponto comum entre os dois elementos não está conectado a outro elemento 
percorrido por corrente. 
 
Na figura 4(a), os resistores 1R e 2R estão em série porque possuem apenas o ponto “b” em 
comum. As outras extremidades dos resistores estão conectadas a outros pontos do circuito. 
Pela mesma razão, a bateria U e o resistor 1R estão em série (terminal “a” em comum), e o 
resistor 2R e a bateria U estão em série (terminal “c” em comum). Visto que todos os 
elementos estão em série, o circuito é chamado circuito em série. 
 
Se o circuito mostrado na figura 4(a) for modificado de modo que um resistor 3R percorrido 
por corrente seja introduzido, conforme ilustra a figura 4(b), os resistores 1R e 2R não estarão 
mais em série porque a segunda parte da definição de elementos em série não será verdadeira. 
 
Uma característica do circuito em série é que a corrente elétrica é a mesma através de 
todos os elementos ligados no circuito. 
 
Um ramo do circuito é qualquer parte do circuito que possui um ou mais elementos em série. 
Na figura 4(a), o resistor 1R constitui um ramo do circuito, o resistor 2R , outro, e a bateria U, 
um terceiro. 
 
A resistência total de um circuito em série é a soma das resistências do circuito. 
 
Na figura 4(a), por exemplo, a resistência total ( TR ) é igual a 1R + 2R . Observa-se que a 
resistência total é na realidade a resistência ‘vista’ pela bateria quando ela ‘observa’ a 
combinação de elementos em série, conforme ilustra a figura 5. 
 
Fig. 5 - Resistência ‘vista’ pela fonte. 
 
 
 18 
Em geral, para determinar a resistência total (ou equivalente) de “N” resistores em série, é 
aplicada a seguinte equação. 
 
NT RRRRR  ...321 
 
Para determinar a resistência total de “n” resistores de mesmo valor em série, simplesmente 
multiplica-se o valor de um dos resistores pelo número total de resistores em série, n, ou seja: 
 
RnRT  
 
Uma vez conhecida a resistência total, o circuito visto na figura 4(a) pode ser redesenhado 
segundo mostrado na figura 6, revelando claramente que a única resistência que a fonte ‘vê’ é 
a resistência equivalente. Não importa como os elementos estão conectados para estabelecer 
TR . Desde que o valor de TR seja conhecido, a corrente drenada da fonte pode ser 
determinada usando a lei de Ohm da seguinte forma: 
 
T
T
R
U
I  
 
Fig. 6 – Circuito equivalente. 
 
Como a tensão “U” é fixa, a intensidade da corrente da fonte depende somente do valor de 
TR . Uma resistência TR elevada resultará em um valor relativamente pequeno de TI , 
enquanto valores pequenos de TR resultarão em grandes valores de corrente SI . 
 
O fato de a corrente ser a mesma em todos os elementos do circuito mostrado na figura 4(a) 
permite calcular a tensão entre os terminais de cada resistor usando diretamente a lei de Ohm, 
ou seja: 
IRUIRU 2211  
 
 19 
A potência fornecida a cada resistor pode então serdeterminada utilizando qualquer uma das 
três equações, conforme listado a seguir: 
1
2
12
111
R
U
IRIUP  
 
2
2
22
222
R
U
IRIUP  
 
N
N
NNN
R
U
IRIUP
2
2  
 
A potência fornecida pela fonte é: IUPfornecida  
 
A potência total fornecida a um circuito resistivo é igual a potência total dissipada pelos 
elementos resistivos, ou seja: Nfornecida PPPPP  ...321 
 
 
Exemplo 1: No circuito abaixo, determine: 
(a) A resistência total. 
(b) A corrente fornecida pela fonte I . 
(c) As tensões 321, UeUU . 
(d) A potência dissipada por 321, ReRR . 
(e) A potência fornecida pela fonte e a compare com a soma das potências calculadas em (d). 
 
Solução: 
(a)  8512321 RRRRT 
 
(b) A
R
U
I
T
5,2
8
20
 
 
 20 
(c) VIRU 5)5,2)(2(11  
VIRU 5,2)5,2()1(22  
VIRU 5,12)5,2)(5(33  
 
(d) WIUP 5,12)5,2)(5(11  
WIRP 5,12)5,2)(2( 2211  
W
R
U
P 5,12
2
52
1
2
1
1  
 
WIUP 25,6)5,2)(5,2(22  
WIRP 25,6)5,2)(1( 2222  
W
R
U
P 25,6
1
5,2 2
2
2
2
2  
 
WIUP 25,31)5,2)(5,12(33  
WIRP 25,31)5,2)(5( 2233  
W
R
U
P 25,31
5
5,12 2
3
2
3
3  
 
(e) WIUPT 50)5,2)(20(  
WPPPPT 5025,3125,65,12321  
 
 
Exemplo 2: Determine TR , I e 2U para o circuito mostrado. 
 
 
 
 
 21 
Solução: 
Observe o sentido da corrente, estabelecido pela bateria e a polaridade da queda de tensão 
entre os terminais de 2R determinada pelo sentido da corrente. 
 
 2577474321 RRRRRT 
 
Como  7431 RRR , o valor de TR pode ser calculado, também, da seguinte forma: 
 
 254)7)(3(21 RnRRT 
 
A
R
U
I
T
2
25
50
 
 
VIRU 8)2)(4(22  
 
 
3. Fontes de Tensão em Série 
As fontes de tensão podem ser conectadas em série, como mostra a figura 7, para aumentar ou 
diminuir a tensão total aplicada a um sistema. A tensão resultante é determinada somando-se 
as tensões das fontes de mesma polaridade e subtraindo-se as de polaridade oposta. A 
polaridade resultante é aquela para a qual a soma é maior. 
 
(a) 
 
 
 
(b) 
Fig. 7 - Reduzindo fontes de tensão CC em série a uma única fonte. 
 
 
 22 
Na figura 7(a), por exemplo, as fontes estão todas ‘forçando’ a corrente para a direita, de 
modo que a tensão total é dada por: 
VUUUU 182610321  
 
Entretanto, na figura 7(b) a maior ‘força’ é para esquerda, o que resulta em uma tensão total 
dada por: 
 
VUUUU 8439132  
 
 
4. Lei de Kirchhoff para Tensões 
A lei de Kirchhoff para tensões (LKT) afirma que a soma algébrica das elevações e quedas de 
tensão em uma malha fechada é zero. 
 
Uma malha fechada é qualquer caminho contínuo que, ao ser percorrido em um sentido a 
partir de um ponto, retorna ao mesmo ponto vindo do sentido oposto, sem deixar o circuito. 
Seguindo a corrente na figura 8, pode-se traçar um caminho contínuo que deixa o ponto “a” 
através de 1R e retorna através de U sem deixar o circuito. Assim, abcda é uma malha 
fechada. Para poder aplicar a lei de Kirchhoff para tensões, a soma das elevações e quedas de 
potencial precisa ser feita percorrendo a malha num certo sentido. 
 
 
Fig. 8 - Aplicando a lei de Kirchhoff para tensões em um circuito série. 
 
Por convenção, o sentido horário será usado para todas as aplicações da lei de Kirchhoff para 
tensões que se seguem. Entretanto, o mesmo resultado pode ser obtido se o sentido escolhido 
for o anti-horário e a lei for aplicada corretamente. 
 
 
 23 
Um sinal positivo indica uma elevação de potencial (de – para +), e um sinal negativo, uma 
queda (de + para -). Se seguir a corrente no circuito mostrado na figura 8 a partir do ponto 
“a”, primeiro encontra-se uma queda de potencial 1U (de + para -) entre os terminais de 1R e 
outra queda 2U entre os terminais de 2R . Ao passar pelo interior da fonte, tem-se um 
aumento de potencial U (de – para +) antes de retornar ao ponto “a”. 
 
0 U 
 
No circuito da figura 8 usando o sentido horário, seguindo a corrente I e começando no ponto 
“d”, tem-se: 
 
21
21 0
UUU
UUU


 
 
A tensão aplicada a um circuito em série é igual a soma das quedas de tensão nos elementos 
em série. 
 
A lei de Kirchhoff também pode ser baseada na seguinte fórmula: 
 
quedaselevações UU  
 
A soma das elevações de potencial em uma malha fechada tem de ser igual à soma das quedas 
de potencial. 
 
Se o circuito fosse estudado no sentido anti-horário, começando no ponto “a”, o resultado 
seria o seguinte: 
 
21
12 0
0
UUU
UUU
U



 
 
A aplicação da lei de Kirchhoff para tensões não precisa seguir um caminho que inclua 
elementos percorridos por corrente. Por exemplo, na figura 9 há uma diferença de potencial 
entre os pontos “a” e “b”, embora os dois pontos não estejam conectados por um elemento 
percorrido por corrente. A aplicação da lei de Kirchhoff para tensões em torno da malha 
 
 24 
fechada irá resultar em uma diferença de potencial de 4V entre os dois pontos. Usando o 
sentido horário: 
 
VU
U
x
x
4
0812


 
 
Fig. 9 - Demonstração de que pode existir tensão entre dois pontos não-conectados por um 
condutor percorrido por corrente. 
 
 
Exemplo 3: Determine as tensões desconhecidas nos circuitos abaixo: 
(a) 
 
 
Solução: 
A aplicação da lei de Kirchhoff para tensões no sentido horário irá resultar em: 
 
02211  UVVU 
VUVUV 8,292,4162211  
 
 
 
 
 
 25 
(b) 
 
 
Solução: 
Nesse caso, há duas formas possíveis de calcular a tensão desconhecida. 
 
1º) Adotando o sentido horário, incluindo a fonte de tensão U, tem-se: 
VUUU
UUU
x
x
201232
0
1
1


 
 
2º) Usando o sentido horário para a outra malha que envolve 32 ReR , tem-se: 
VUUU
UUU
x
x
20146
0
32
32


 
 
O que confirma o resultado anterior. 
 
 
5. Intercambiando Elementos em Série 
Os elementos de circuitos em série podem ser intercambiados sem que a resistência total, a 
corrente que atravessa o circuito e a potência consumida pelos diferentes elementos sejam 
afetadas. 
 
Fig. 10 - Circuitos CC em série com os elementos a serem intercambiados. 
 
 26 
Por exemplo, o circuito mostrado na figura 10 pode ser redesenhado, segundo ilustra a figura 
11, sem que os valores de I e a tensão U no resistor de 7 sejam afetados. A resistência total 
TR é de 15Ω nos dois casos e I = (37,5/15) = 2,5A. A tensão VIRU 5,17)5,2)(7(7   
nas duas configurações. 
 
Fig. 11 - Circuito da figura 10 com elementos intercambiados. 
 
 
6. Regras do Divisor de Tensão 
Nos circuitos em série a tensão entre os terminais dos elementos resistivos divide-se na 
mesma proporção que os valores de resistência. 
 
Por exemplo, as tensões entre os terminais dos elementos resistivos mostrados na figura 12 
são dadas. O maior resistor, de 6Ω, captura a maior parte da tensão aplicada, enquanto o 
menor resistor, 3R , fica com a menor. Observa-se também que, como a resistência de 1R é 6 
vezes maior que a de 3R , a tensão entre os terminais de 1R é também 6 vezes maior que entre 
os terminais de 3R . O fato de que a resistência de 2R é 3 vezes maior que a de 1R resulta em 
uma tensão 3 vezes maior entre os terminais de 2R . Finalmente, como a resistência de 1R é o 
dobro da resistência de 2R , a tensão entre os terminais de 1R é o dobro da de 2R . Portanto, em 
geral, a tensão entre os terminais de resistores em série está na mesma razão que suas 
resistências. 
 
Fig. 12 - Como a tensão se divide entre elementos resistivos em série. 
 
 27 
Se a resistência de todos os resistores da figura 12 for aumentada na mesma proporção como 
mostrado na figura 13, os valores de tensão permanecerão os mesmos. Em outras palavras, 
ainda que as resistências sejam multiplicadas por um milhão, as tensões continuarão as 
mesmas. Assim, fica claro que é a relação entre os valores dos resistores que conta para a 
divisãoda tensão, e não o valor absoluto dos resistores. O valor de corrente no circuito será 
profundamente afetado pela mudança nos valores das resistências da figura 12 para a figura 
13, mas os valores de tensão permanecerão os mesmos. 
 
Fig. 13 - A razão entre os valores das resistências determina a divisão da tensão em um 
circuito CC em série. 
 
 
O método denominado regra dos divisores de tensão, permite calcular às tensões sem 
determinar primeiro a corrente. A regra pode ser deduzida analisando o circuito mostrado na 
figura 14. 
 
Fig. 14 - Dedução da regras dos divisores de tensão. 
21 RRRT  
 
TR
U
I  
 
 28 
Aplicando a lei de Ohm: 
TT R
UR
R
U
RIRU 1111 





 
 
TT R
UR
R
U
RIRU 2222 





 
 
Regra geral: 
T
x
x
R
UR
U  
 
Onde xU é a tensão entre os terminais de xR , U é a tensão aplicada aos elementos em série e 
TR é a resistência total do circuito em série. 
 
 
Exemplo 4: Determine a tensão 1U para o circuito mostrado a seguir. 
 
 
Solução: 
 
V
RR
UR
R
UR
U
T
16
80
1280
6020
)64)(20(
21
11
1 



 
 
 
 
 
 
 
 
 
 29 
Exemplo 5: Usando a regra dos divisores de tensão, determine as tensões ', 31 UeUU para o 
circuito em série visto abaixo. 
 
Solução: 
V
kkk
Vk
R
UR
U
T
6
15
90
³1015
)45³)(102(
852
)45)(2(1
1 





 
 
V
k
Vk
R
UR
U
T
24
15
360
³1015
)45³)(108(
15
)45)(8(3
3 





 
 
V
k
Vkk
R
URR
U
T
21
15
315
³1015
)45³)(107(
15
)45)(52()(
' 21 







 
 
 
7. Fonte de Tensão e Terra 
Exceto em alguns poucos casos especiais, os sistemas elétricos e eletrônicos são aterrados por 
razões de segurança e para fins de referência. O símbolo que indica a conexão à terra aparece 
na figura 15 com seu valor de potencial definido (zero volt). 
 
Fig. 15 - Potencial do ponto de terra. 
 
 
Se a figura 4(a) fosse redesenhada com a fonte aterrada, pode ter o aspecto mostrado na figura 
16(a), 16(b) ou 16(c). Em qualquer caso, fica entendido que o terminal negativo da bateria e o 
terminal inferior do resistor 2R estão conectados ao potencial do ponto de terra. Embora a 
figura 16(c) não mostre nenhuma conexão entre os dois símbolos de terra, supõe-se que tal 
 
 30 
ligação exista para garantir o fluxo contínuo da carga. Se U = 12 V, então o ponto “a” está a 
um potencial positivo de 12 V em relação ao potencial do ponto de terra (0 V) e existem 12 V 
entre os terminais da combinação em série dos resistores 1R e 2R . Se, por exemplo, um 
voltímetro conectado entre o ponto “b” e a terra medir 4 V, então a tensão entre os terminais 
de 2R é igual a 4 V, com o potencial maior em b. 
 
Fig. 16 - Três formas de mostrar o mesmo circuito CC em série. 
 
 
O fato de a tensão ser uma grandeza que é estabelecida entre dois pontos resulta em uma 
notação de duplo índice inferior que define o primeiro índice inferior como correspondente ao 
ponto de maior potencial. Na figura 17(a), os dois pontos que definem a tensão entre os 
terminais do resistor R são representados por “a” e “b”. Como “a” é o primeiro índice em 
abU , o ponto de “a” deve estar a um potencial maior que o ponto “b” para que abU tenha um 
valor positivo. Se, na verdade, o ponto “b” estiver a um potencial maior que o ponto “a”, 
abU terá um valor negativo, conforme indicado na figura 17(b). 
 
A notação de duplo índice inferior abU especifica o ponto “a” como o de maior potencial. Se 
este não for o caso, um sinal negativo deve ser associado no valor de abU . A tensão abU é a 
tensão no ponto “a” em relação ao ponto “b”. 
 
 
Fig. 17 - Definindo o sinal para a notação de duplo índice inferior. 
 
 
 31 
Se o ponto “b” da notação abU for especificado como o potencial de terra (zero volt), então 
uma notação de subscrito inferior único poderá ser usada para informar a tensão em um ponto 
em relação ao ponto de terra. 
 
Na figura 18, aU é a tensão entre o ponto “a” e o ponto de terra. Neste caso ele é obviamente 
10V, pois é medida diretamente entre os terminais da fonte de tensão U. A tensão bU é a 
tensão entre o ponto “b” e o ponto de terra. Como é uma tensão obtida diretamente sobre o 
resistor de 4Ω, VUb 4 . 
 
Fig. 18 - Definindo o uso da notação de índice único para valores de tensão. 
 
 
A notação de índice inferior único aU especifica a tensão no ponto “a” em relação ao ponto 
de terra (zero volt). Se a tensão é menor que zero, um sinal negativo deve ser associado ao 
valor de aU . 
 
baab UUU  
 
Em outras palavras, se a tensão nos pontos “a” e “b” em relação ao ponto de terra for 
conhecida, a tensão abU pode ser determinada usando a equação anterior. A partir da figura 
18, por exemplo: 
 
VUUU baab 6410  
 
 
 
 
 
 
 
 32 
Exemplo 6: Determine a tensão abU . 
 
Solução: 
VUUU baab 42016  
 
Observe que o sinal negativo indica o fato de que o ponto “b” está a um potencial mais 
elevado que o ponto “a”. 
 
 
Exemplo 7: Determine a tensão aU . 
 
Solução: 
baab UUU  
VUUU baba 945  
 
 
Exemplo 8: Determine as tensões bU , cU e acU . 
 
Solução: 
Começando no potencial da terra (zero volt), subindo até 10V para chegar ao ponto “a” e em 
seguida passa-se por uma queda de potencial de 4V para chegar ao ponto “b”. O resultado é 
que o medidor lerá: 
VUb 6410  
 
Se continuar até o ponto “c”, haverá uma queda adicional de 20V, o que dará: 
VUU bc 1420620  
 
 33 
A tensão acU pode ser obtida usando a equação abaixo. 
VUUU caac 24)14(10  
 
 
8. Resistência Interna das Fontes de Tensão 
Toda fonte de tensão, seja ela um gerador, uma bateria ou uma fonte de alimentação para 
experiências de laboratório como a que é mostrada na figura 19, possui uma resistência 
interna. O circuito equivalente de qualquer fonte de tensão é, portanto, parecido ao mostrado 
na figura 19(b). 
 
Fig. 19 - (a) Fontes de tensão CC; (b) circuito equivalente. 
 
A fonte de tensão ideal não possui resistência interna e sua tensão de saída é U volts com 
carga máxima ou sem carga. Nas fontes reais, figura 20(b)(c), nas quais consideram-se os 
efeitos devido a resistência interna, a tensão de saída será de U volts somente quando a fonte 
não estiver ligada a nenhuma carga ( 0LI ). Quando uma carga for conectada à fonte, figura 
20(c), a tensão de saída da fonte diminui devido à queda de tensão na resistência interna. 
 
 34 
 
Fig. 20 - Fonte de tensão: (a) ideal intR = 0; (b) determinação de NLV ; (c) determinação de 
intR . 
Aplicando a lei de Kirchhoff para tensões ao circuito fechado da figura 20(c), tem-se: 
0int  LL UIRU 
LL IRUU int 
 
Se o valor de intR não for conhecido, ele pode ser determinado da seguinte forma: 
L
L
I
UU
R

int 
 
 
Exemplo 9: Antes que a carga seja conectada, a tensão de saída da fonte mostrada na figura 
(a) está ajustada para 40 V. Quando uma carga de 500 Ω é conectada, com mostra a figura 
(b), a tensão de saída cai para 36 V. O que aconteceu ao restante da tensão e qual a resistência 
interna da fonte? 
 
Solução: 
 
A diferença de 40V – 36V = 4V aparece entre os terminais da resistência interna da fonte. A 
corrente na carga é: 
AI L 072,0
500
36
 



 55,55
072,0
3640
int
L
L
I
UU
R 
 
 35 
9. Regulação de Tensão 
Para qualquer fonte de tensão, o ideal é que a tensão da saída se mantenha constante, 
independente do valor de corrente, dentro da faixa especificada para a corrente de carga ( LI ). 
Em outras palavras, se uma fonte for ajustada para 12 V, é desejável que ela mantenha essa 
tensão entre os terminais de saída, mesmo que a corrente de carga varia. Uma medida que 
indica o quanto uma fonte está próxima das condições ideais é dada pela característica de 
regulação de tensão da fonte. Por definição, a regulação de tensão de uma fonte entre as 
condições“sem carga” e em “plena carga” é dada pela seguinte equação: 
 
100100
arg
arg
)%(Re x
U
UU
ac
acvazio
Utensãodegulação
L
L
R



 
 
Em condições ideais LUU  e (UR)% = 0. Portanto, quanto menor a regulação de tensão, 
melhor, pois será menor a variação da tensão de saída de uma fonte quando a carga varia. 
 
Pode ser mostrado, por meio de uma breve substituição que a regulação também pode ser 
expressa na forma: 
 
100%)( int 
L
R
R
R
U 
 
Em outras palavras, quanto menor for a resistência interna de uma fonte, menor será sua 
regulação e mais ela se aproximará de uma fonte ideal. 
 
 
Exemplo 10: Calcule a regulação de tensão de uma fonte com VU 24 e  1,0intR , 
alimentando uma carga  5LR . 
 
 
 
 
 36 
Solução: 
%2100
5
1,0
100)%( int 
L
R
R
R
U 
 
Outra forma de resolução: 
A
RR
U
I
L
L 7059,4
51,0
24
int




 
 
VIRU LLL 529,23)7059,4()5(  
 
%2100
529,23
471,0
100
529,23
529,2324
100)%( 




L
L
R
U
UU
U 
 
 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
1 – Dado RT = 12k e I = 6mA, calcule 1R e U para o circuito abaixo. 
 
 
Solução: 
 
321 RRRRT  
6412 1  R 
 kR 210121 
VIRU T 72)106)(1012(
33   
 
 
 
 
 
 37 
2 – Determine 21 UeU . 
 
Solução: 
Para a malha 1, começando no ponto “a” e escolhendo o sentido horário, tem-se: 
01525 1 U 
VU 401  
 
Para a malha 2, começando no ponto “a” e escolhendo o sentido horário, tem-se: 
VU
U
20
020
2
2


 
 
 
3 – Usando a lei de Kirchhoff para tensões, determine as tensões desconhecidas para os 
circuitos mostrados. 
(a) 
 
Solução: 
Aplicando a lei de Kirchhoff para tensões no sentido horário, tem-se: 
VU
U
x
x
50304060
0304060


 
 
 
 
 38 
(b) 
 
Solução: 
Aplicando a lei de Kirchhoff para tensões no sentido horário, tem-se: 
VU
U
x
x
182146
02146


 
 
Como o resultado foi negativo, sabe-se que “a” deve ser negativo e “b” positivo, mas o valor 
absoluto de 18 V está correto. 
 
 
4 – Determine: 
a) A resistência TR . 
b) A corrente I. 
c) As tensões 21 UeU . 
d) A potência dissipada pelos resistores de 4Ω e 6Ω. 
e) A potência total fornecida pela bateria e a compare à dissipada pelos resistores de 4Ω e 6Ω 
combinados. 
 
Solução: 
a)  106421 RRRT 
 
b) A
R
U
I
T
2
10
20
 
 
 
 39 
c) VIRU 8)2)(4(11  
VIRU 12)2)(6(22  
 
d) W
R
U
P 16
4
64
4
)²8(
1
2
1
4  
 
 WIRP 16)2(.4. 2214  
 WIUP 1628.14  
 
 W
R
U
P 24
6
144
6
)²12(
2
2
2
6  
 
WIRP 24)²2)(6(²26  
 WIUP 24212.26  
 
e) W
R
U
P
T
T 40
10
400
10
)²20(2
 
 
WIRP TT 40)²2)(10(²  
WIUPT 40)2)(20(  
WWWPPPT 40241664   
 
 
5 – Para o circuito determine: 
a) A tensão 2U usando a lei de Kirchhoff para tensões. 
b) A corrente I. 
c) As resistências 31 ReR . 
 
 
 40 
Solução: 
a) A lei de Kirchhoff para tensões (escolhendo o sentido horário): 
0123  UUUU 
VUUUU 21181554132  
 
b) A
R
U
I 3
7
21
2
2  
 
c)  6
3
181
1
I
U
R  5
3
153
3
I
U
R 
 
 
6 – Determine a tensão abU . 
 
 
Solução: 
 
VUUU baab 35)15(20  
 
 
7 – Determine abU e cbU 
 
 
 41 
Solução: 
Existe uma queda de tensão de 54V entre os terminais dos resistores em série 1R e 2R . A 
corrente pode então ser determinada usando a lei de Ohm e os valores das tensões como 
segue: 
 
A
RR
UU
R
U
I
T
ac 2,1
45
54
2520
)19(35
21
12 





 
 
VIRUab 30)2,1)(25(2  
VUUa 352  
VUUUUUU ababbaab 53035  
VUUc 191  
VUUU bccb 24519  
 
 
8 – Usando a regra dos divisores de tensão, determine as tensões 21 UeU . 
 
 
Solução: 
Redesenhando o circuito com o símbolo de bateria, tem-se o circuito abaixo. 
 
 
 42 
Aplicando a regra dos divisores de tensão: 
 
V
RR
UR
U 16
24
)24)(4(
21
1
1 



 
 
V
RR
UR
U 8
24
)24)(2(
21
2
2 



 
 
 
9 – Calcule: 
(a) abU 
(b) bU 
(c) cU 
 
 
Solução: 
(a) V
R
UR
U
T
ab 2
532
)10)(2(1 

 
 
(b) V
R
URR
UUU
T
RRb 8
10
)10)(53()( 32
32




 
 
(c) VterradepontodopotencialUC 0 
 
 
 
 
 43 
10 – A bateria vista abaixo possui uma resistência interna de 2 Ω. Determine a tensão com 
carga ( LU ) e a potência dissipada pela resistência interna se a carga for um resistor de 13Ω. 
 
 
Solução: 
A
RR
U
I
L
L 2
15
30
132
30
int




 
 
VIRU LLL 26)2)(13(  
WIRP LR 8)2(2.
22
intint
 
 
 
11 – Calcule a regulação de tensão de uma fonte com VU 12 e  05,0intR , alimentando 
uma carga com VU L 8,11 . 
 
 
 
Solução: 
 
%6949,1100
8,11
2,0
100
8,11
8,1112
100)%( 




L
L
R
U
UU
U 
 
 
 
 
 
 
 44 
II.2 – CIRCUITOS EM PARALELO 
 
1. Elementos em Paralelo 
Dois elementos ou ramos ou circuitos estão conectados em paralelo quando possuem dois 
pontos em comum. 
 
Na figura 1, por exemplo, os elementos 1 e 2 têm terminais “a” e “b” em comum; portanto, 
eles estão em paralelo. 
 
 
Fig. 1 - Elementos em paralelo. 
 
 
Na figura 2 todos os elementos estão em paralelo porque satisfazem o critério anteriormente 
citado. Essas três configurações têm o objetivo de ilustrar como os circuitos em paralelo 
podem ser desenhados. 
 
Fig. 2 - Diferentes aparências para uma configuração com três elementos em paralelo. 
 
 
 
 
 
 45 
Na figura 3, os elementos 1 e 2 estão em paralelo porque têm os terminais “a” e “b” em 
comum, e esta combinação está em série com o elemento 3. 
 
Fig.3 - O elemento 1 está em paralelo com o elemento 2. O elemento 3 está em série com a 
combinação em paralelo de 1 e 2. 
 
 
Na figura 4, os elementos 1 e 2 estão em série devido ao ponto comum “a”, e esta 
combinação em série está em paralelo com o elemento 3, como evidenciam as conexões 
comuns aos pontos “b” e “c”. 
 
Fig. 4 - O elemento 1 está em série com o elemento 2. Esta associação de 1 com 2 está em 
paralelo com o elemento 3. 
 
Nas figuras 1 a 4, os retângulos numerados foram usados como símbolos genéricos 
representando um resistor, ou uma bateria, ou mesmo circuitos complexos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 46 
2. Circuitos em Paralelo 
O circuito mostrado na figura 5 é o mais simples dos circuitos em paralelo. Os terminais “a” 
e “b” são comuns a todos os elementos. 
 
Fig. 5 - Circuito em Paralelo. 
 
Como os terminais da bateria estão diretamente ligados aos terminais de 21 ReR , é óbvio que 
as tensões obtidas entre os terminais destes elementos em paralelo são iguais. 
 
Fazendo uso deste fato, tem-se: 
 
UUU  21 
 
11
1
1
R
U
R
U
I  
 
22
2
2
R
U
R
U
I  
 
Para circuitos em paralelo com apenas uma fonte, a corrente fornecida pela fonte ( TI ) é igual 
à soma das correntes em cada um dos ramos do circuito. Logo, a corrente fornecida pela fonte 
é: 
 
21 IIIT  
 
21 R
U
R
U
R
U
T
 
 
 47 
A potência dissipada pelos resistores e a potência fornecida pela fonte podem ser obtidas da 
seguinte maneira: 
1
2
12
11111 ..
R
U
IRIUP  
 
2
2
22
22222 ..
R
U
IRIUP  
 
21
2
2.. PP
R
U
IRIUP
T
TTTT  
 
 
3. Resistência Equivalente 
 
Fig. 6 - Determinação da resistência total (ou equivalente) para resistências em paralelo. 
 
NT IIIII ...321  
 
N
N
T R
U
R
U
R
U
R
U
R
U
 ...
3
3
2
2
1
1 
 
NUUUUU  ...321 
 
NT RRRRR
1
...
1111
321
 
 
Para dois resistores diferentes em paralelo: 
 
21
21
21 .
111
RR
RR
RRRT

 
21
21 .
RR
RR
RT

 
 
 48 
Para “ n ” resistores iguais a “R” em paralelo: 
n
R
RT  
 
A resistência total de um conjunto de resistores em paralelo é sempre menor que a do resistor 
de menor resistência. Além disso, quanto maior for a diferença entre os valores dasresistências de dois resistores em paralelo, mais o valor da resistência equivalente será 
próximo do valor da menor resistência. Por exemplo, a resistência total para um resistor de 
3Ω em paralelo com um de 6Ω vale 2Ω. Entretanto, a resistência total de um resistor de 3Ω 
em paralelo com um de 60Ω é de 2,857Ω. 
 
 
4. Condutância Equivalente 
A condutância é o inverso da resistência. A unidade de condutância é o siemens (S) ou mho 
(inverso de ohms). 
R
G
1
 
 
No caso de elementos em paralelo, a condutância total é a soma das condutâncias individuais. 
Ou seja, para o circuito em paralelo visto na figura 7, pode-se representar: 
 
NT GGGGG  ...321 
 
Fig. 7 - Determinação da condutância total para circuito em paralelo. 
 
Quanto maior a condutância total, maior é a intensidade da corrente total no circuito 
(mantendo constante a tensão aplicada). Quanto maior for o número de elementos em 
paralelo, maior será a corrente de entrada do circuito. Em outras palavras, à medida que 
aumenta o número de resistores em paralelo, a corrente na entrada do circuito também 
aumenta, para uma tensão de entrada constante. Este efeito é oposto ao que acontece no caso 
dos resistores em série. 
 
 49 
Exemplo 1: Determine a condutância e a resistência equivalente no circuito abaixo. 
 
Solução: 
SGGGT 5,0167,0333,0
6
1
3
1
21  
 
 2
5,0
11
T
T
G
R Ou, 




 2
63
63.
21
21
RR
RR
RT 
 
Ou, 

 2
2
1
6
3
6
12
1
6
1
2
3
1111
21
T
T
R
RRR
 
 
 
Exemplo 2: Determine a condutância e a resistência totais do circuito mostrado no exemplo 
anterior, se um resistor adicional de 10 Ω for colocado em paralelo com outros elementos. 
Solução: 
SGT 6,01,05,0
10
1
5,0   667,1
6,0
11
T
T
G
R 
 
Observa-se que a adição de mais resistores em paralelo, aumenta-se a condutância e diminui-
se a resistência. 
 
 
Exemplo 3: Determine a resistência total para o circuito abaixo. 
 
 
 
 
 50 
Solução: 
20
19
20
4510
4
5
1
5
4
1
10
2
11111
321



RRRRT
 
 
 0526,1
19
20
TR 
 
 
Exemplo 4: Determine a resistência equivalente de cada circuito. 
a) 
 
 
Solução: 
 4
3
12
n
R
RT 
 
 
b) 
 
 
Solução: 
RRRRR  4321 
 
 5,0
4
2
n
R
RT 
 
 
 
 
 51 
Exemplo 5: Calcule a resistência total do circuito. 
 
 
Solução: 
O circuito foi redesenhado de modo mais conveniente: 
 
 2
3
6'
n
R
RT 
 





 8
81
648
729
729.
42
42"
RR
RR
RT 
 
"' || TTT RRR  





 6,1
10
16
82
82.
"'
"'
TT
TT
T
RR
RR
R 
 
 
Exemplo 6: Determine a resistência total para cada circuito: 
a) 
 
Solução: 
 15
2
30
30||30 TR 
 
 52 
b) Qual o efeito no valor da resistência total do circuito do item (a) se acrescentarmos um 
resistor de mesmo valor? 
 
Solução: 
 10
3
30
30||30||30 TR 
 
O valor de TR diminui em relação ao circuito do item (a). 
 
 
c) qual o efeito no valor da resistência total do circuito do item (a) se acrescentarmos um 
resistor de valor grande em paralelo, conforme mostra a figura abaixo? 
 
Solução: 



 778,14
100015
100015
1||151||30||30 TRkk 
 
Pequena diminuição no valor de TR , em comparação ao valor de RT do circuito do item (a). 
 
 
d) Qual o efeito sobre a resistência total do circuito do item (a) se acrescentarmos um resistor 
de valor pequeno em paralelo, conforme figura abaixo? 
 
 
 
 53 
Solução: 



 099338,0
1,015
1,015
1,0||151,0||30||30 TR 
 
Diminuição considerável no valor de TR , em comparação ao valor de RT do circuito do item 
(a). 
 
Conclusão: Em todos os casos, a resistência total de um circuito em paralelo diminui quando 
é adicionado um resistor em paralelo, não importando o valor de sua resistência. Observa-se, 
também, que a resistência total é menor que a resistência de menor valor do circuito. 
 
 
Exemplo 7: Determine: 
(a) A resistência equivalente. 
(b) A corrente total TI . 
(c) As correntes 1I e 2I . 
d) A potência dissipada em cada resistor. 
e) A potência fornecida pela fonte comparando o resultado com a potência dissipada pelos 
resistores. 
 
Solução: 
a) 




 6
27
162
189
189.
21
21
RR
RR
RT 
 
b) A
R
U
I
T
T 5,4
6
27
 
 
c) A
R
U
R
U
I 3
9
27
11
1
1  
 
 54 
A
R
U
R
U
I 5,1
18
27
22
2
2  
 
d) WIUIUP 81327.. 1111  
WIUIUP 5,405,127.. 2222  
 
e) WIUP TT 5,1215,427.  
WPPPT 5,1215,408121  
 
 
Exemplo 8: A resistência equivalente do circuito é igual a 4, determine: 
a) A resistência 3R . 
b) A tensão da fonte U. 
c) A corrente total TI . 
d) A corrente 2I . 
e) A potência dissipada em R2. 
 
 
 
Solução: 
a) 
321
1111
RRRRT
 
 
3
1
20
1
10
1
4
1
R
 
 
20
2
20
125
1
20
1
2
10
1
5
4
11
3



R
 
 
 55 
  10
2
20
3R 
 
b) VIRUU 40410. 111  
 
c) A
R
U
I
T
T 10
4
40
 
 
d) A
R
U
R
U
I 2
20
40
22
2
2  
 
e) WIRP 80)2(20. 22222  
 
 
5. Lei de Kirchhoff para Corrente 
A lei de Kirchhoff para a tensão dá uma relação muito importante entre os valores da tensão 
ao longo de uma malha fechada de um circuito. A lei de Kirchhoff para corrente (LKC) 
fornece uma relação igualmente importante entre as corrente que chegam a qualquer nó. 
 
A lei de Kirchhoff para corrente (LKC) afirma que “a soma algébrica das correntes que 
entram e saem de um nó é igual a zero”. Em outras palavras, a “soma das corrente que 
entram em um nó tem de ser igual à soma das correntes que deixam este nó”. 
 
Em forma de equação, tem-se: saementram II  
 
Fig. 8 - Ilustração da lei de Kirchhoff para corrente. 
 
Na figura 8, por exemplo, a área sombreada pode representar um sistema completo, um 
circuito complicado ou simplesmente uma junção de dois ou mais ramos (um nó). Em 
 
 56 
qualquer dos casos, a soma das correntes que entram é igual à soma das corrente que saem, 
conforme pode ser verificado facilmente: 
AA
IIII
1212
10284
3241



 
 
A aplicação mais comum desta lei será em junções de dois ou mais caminhos (ramos) para a 
corrente, conforme é mostrado na figura 9. 
 
Fig. 9 - Demonstração da lei de Kirchhoff para corrente. 
 
Aplicando a lei de Kirchhoff para corrente ao nó da figura 9: 
saementram II  
426  
AA 66  
 
 
Exemplo 9: Determine as correntes 43 IeI no circuito abaixo usando a lei de Kirchhoff para 
corrente. 
 
Solução: 
Deve-se trabalhar primeiro com o nó “a”, pois neste caso a única incógnita é 3I . Na junção 
“b” existem duas correntes desconhecidas, I3 e I5, que não podem obviamente serem 
determinadas a partir de uma única aplicação da lei. 
 
 
 57 
Em “a”: 
saementram II  
321 III  
332 I 
AI 53  
 
Em “b”: 
saementram II  
453 III  
415 I 
AI 64  
 
 
Exemplo 10: Determine 5431 ,, IeIII para o circuito abaixo. 
 
Solução: 
Em “a”: saementram II  
21 III  
45 1  I 
AI 1451  
 
Em “b”: saementram II  
AII 131  
 
Um resultado esperado, pois 31 ReR estão em série, sendo que a corrente em elementos em 
série é igual. 
 
Em “d”: saementram II  
 
 58 
543 III  
AI 541 5  
 
Em “c”: 
AII 442  
 
Considera-se o circuito como um todo. Observa-se que a corrente que entra é I = 5 A. A 
intensidade da corrente que deixa o circuito, à direita, é AI 55  . Os dois valores têm de ser 
iguais, já que a corrente que entra em qualquer sistema tem de ser igual à corrente que sai do 
sistema. 
 
 
Exemplo 11: Determine as correntes 53 IeI aplicando a lei de Kirchhoff para corrente. 
 
Solução: 
Visto que na junção “b” há duas quantidades desconhecidas e na junção “a” apenas uma, tem 
que se aplicar a lei de Kirchhoff para corrente primeiro ao nó “a”. O resultado pode então ser 
aplicadoao nó “b”: 
 
Para o nó “a”: 
321 III  
334 I AI 73  
 
Para o nó “b”: 
543 III  
517 I 
AI 6175  
 
 
 59 
Exemplo 12: Encontre o valor e o sentido das correntes 7643 ,, IeIII no circuito mostrado. 
 
Solução: 
Embora os elementos não estejam em série nem em paralelo, pode-se aplicar a lei de 
Kirchhoff para corrente para determinar todas as correntes desconhecidas. 
 
Considerando o sistema em sua totalidade, sabe-se que a corrente que entra deve ser igual à 
corrente que sai. Portanto: AII 1017  
 
Como estão chegando 10A à junção “a” e 12A estão deixando esta mesma junção, 3I tem de 
estar fornecendo corrente a este nó. 
 
Aplicando a lei de Kirchhoff para corrente na junção “a”: 
AI
I
III
21012
1210
3
3
231



 
 
No caso do nó “b”, como 12A estão entrando e 8A saindo, logo 4I , também, deve sair deste 
ponto. Portanto: 
812 4
542


I
III
 
AI 48124  
 
Na junção “c”, tem-se AI 23  saindo e 4I = 4A entrando; logo 6I deve estar saindo. 
Aplicando a lei de Kirchhoff para a corrente ao nó “c”: 
AI
I
III
224
24
6
6
634



 
 
 
 60 
Verifica-se a consistência dos resultados na junção “d”: 
AA
A
III
1010
1028
765



 
 
 
6. Regra do Divisor de Corrente 
Conforme o nome sugere, a regra do divisor de corrente mostra que uma corrente que entra 
em um conjunto de elementos em paralelos se dividirá entre esses elementos. 
 
No caso de dois elementos em paralelo com resistências iguais, a corrente se dividirá 
igualmente. 
 
Se os elementos em paralelo tiverem resistências diferentes, o elemento de menor resistência 
será percorrido pela maior fração da corrente. 
 
A razão entre os valores das correntes nos dois ramos será inversamente proporcional a razão 
entre as suas resistências. 
 
Por exemplo, se a resistência de um dos resistores de uma combinação em paralelo for o 
dobro da resistência do outro, então a corrente que o atravessa será a metade da corrente que 
percorre o resistor de menor resistência. 
 
Na figura 10, como 1I vale 1 mA e o valor de 1R é seis vezes o de 3R , a corrente através de 
3R tem de ser 6mA (não havendo necessidade de se efetuar quaisquer outros cálculos). No 
caso de 2R a corrente tem de ser 2mA, pois 1R é o dobro de 2R . A corrente total, 321 III  , 
é de 9mA. Portanto, conhecendo somente a corrente que percorre 1R , é possível calcular 
todas as outras correntes no circuito, sem ter conhecimento adicional sobre o circuito. 
 
No caso de circuitos para os quais são conhecidos somente os valores dos resistores e a 
corrente de entrada, deve-se utilizar a regra do divisor de corrente para calcular as correntes 
nos vários ramos. 
 
 61 
 
Fig. 10 - Ilustração da forma como a corrente se divide entre resistências diferentes. 
 
 
 
Fig. 11 - Dedução da regra do divisor de corrente. 
 
A corrente de entrada )(I é dada por TRU / , em que TR é a resistência total do circuito. 
Substituindo esta expressão para xx IRU  , em que xI é a corrente que atravessa o ramo de 
resistência xR , a fórmula geral para a regra do divisor de corrente é obtida da seguinte forma: 
 
T
xx
T R
IR
R
U
I  
 
I
R
R
I
x
T
x  
 
Descrevendo em palavras, a corrente que percorre qualquer dos ramos em paralelo é igual ao 
produto da resistência total do circuito pela corrente de entrada, dividido pelo valor da 
resistência no ramo em que se deseja determinar a corrente. 
 
Para a corrente 1I : 
I
R
R
I T
1
1  
 
 62 
Para a corrente 2I : 
I
R
R
I T
2
2  
 
E assim por diante. 
 
 
No caso particular de dois resistores em paralelo como mostra a figura 12: 
 
Fig. 12 - Dedução de uma fórmula para a divisão da corrente entre dois resistores em 
paralelo. 
 
21
21
RR
RR
RT

 
 
1
21
21
1
1
R
I
RR
RR
I
R
R
I T

 
 
21
2
1
RR
IR
I

 
 
Analogamente para 2I : 
21
1
2
RR
IR
I

 
 
Ou seja, no caso de dois ramos em paralelo, a corrente através de um deles é igual ao produto 
da resistência no outro ramo pela corrente de entrada, dividido pela soma dos valores das 
duas resistências em paralelo. 
 
 
 63 
Exemplo 13: Determine a corrente 2I usando a regra do divisor de corrente. 
 
Solução: 
A
RR
IR
I T 2
3
6
12000
)6()4000(
80004000
)6)(4000(
21
1
2 



 
 
 
Exemplo 14: Determine o valor da corrente 1I usando a regra do divisor de corrente. 
 
Solução: Existem dois métodos para resolver este problema. 
 
1º Método: 
48
11
48
128
1
48
1
2
24
1
8
6
11



TR
  6363,4
11
48
TR 
 
Logo: mAmAI
R
R
I T 545,30)42(
6
3636,4
1
1 


 
 
2º Método: 



 16
4824
4824
48||24 mA
mA
I 545,30
616
)42(16
1 


 
 
Os dois métodos forneceram, é claro, a mesma resposta. E tem-se agora uma opção para 
resolver problemas que envolvam mais de dois resistores em paralelo. 
 
 
 64 
A corrente sempre procura o caminho de menor resistência. 
1) Para dois resistores em paralelo a maior corrente passará através do resistor de menor 
resistência. 
2) Uma corrente que entra em uma configuração de vários resistores em paralelo se divide 
entre estes resistores na razão inversa dos valores de suas resistências. Esse efeito é ilustrado 
a seguir. 
 
Fig. 13 - Divisão da corrente entre ramos em paralelo. 
 
 
 65 
II.3 – CIRCUITOS EM SÉRIE-PARALELO 
Circuitos em série-paralelo, também chamados mistos, são os que contêm componentes ligados 
em série e em paralelo. 
 
Exemplo 1: Determine: 
(a) A resistência equivalente. 
(b) A corrente I. 
(c) A corrente I1.. 
(d) A tensão U3. 
 
 
Solução: 
(a) 




 1612
612
612.
3
21
21 R
RR
RR
RT 
 
(b) A
R
U
I
T
4
16
64
 
 
(c) A
RR
IR
I 3333,1
612
46.
21
2
1 




 
 
(d) VIRV T 48412.33  
 
 
 
 
 
 
 
 66 
Exemplo 2: Determine: 
(a) A resistência equivalente. 
(b) A corrente total TI . 
(c) A corrente 1I . 
(d) A tensão U3. 
(e) A potência consumida em R2. 
 
 
Solução: 
(a) 




 1025325
412
412.
43
21
21 RR
RR
RR
RT 
 
(b) A
R
U
I
T
T 12
10
120
 
 
(c) A
RR
IR
I T 3
412
124.
21
2
1 




 
 
(d) VIRU T 60125.33  
 
(e) A
RR
IR
I T 9
412
1212.
21
1
2 




 
 
WIRPR 324)9(4.
22
222
 
 
 
 
 
 67 
II.4 – CURTO-CIRCUITO 
Provoca-se um curto-circuito entre dois pontos de um circuito quando esses pontos são ligados 
por um condutor de resistência desprezível. 
 
O exemplo 1 apresenta resistores em curto-circuito nos itens (a) e (b). Porém, não há curto-
circuito no item (c), pois nesse caso os três resistores estão em paralelo. 
 
Exemplo 1 – Em cada item, determine a resistência equivalente entre os pontos A e B. 
(a) 
 
 
RAB = 22 
 
 
 
(b) 
 
 
RAB = 11 
 
 
(c) 
 
 
RAB = (11/3) 
 
 
 
 
 
 68 
Exemplo 2 – Em cada item, determine a resistência equivalente entre os pontos A e B. 
(a) 
 
RAB = 10 
 
 
(b) 
 
RAB = 32 
 
 
(c) 
 
RAB = 2 
 
 69 
(d) 
 
RAB = 2 
 
 
(e) 
 
RAB = 1 
 
 
(f) 
 
RAB = 8 
 
 70 
(g) 
 
RAB = 2,5 
 
 
(h) 
 
RAB = 2 
 
 
(i) 
 
 
RAB = 5 
 
 
 
 71 
II.5 – AS LEIS DE KIRCHHOFF 
Considere um circuito elétrico constituído de três fontes de tensão (E1, r1), (E2, r2) e (E3, r3) e de 
resistores elétricos R1, R2 e R3, conforme o exemplo abaixo. 
 
 
Chama-se nó o ponto no qual a corrente elétrica se divide. 
 
Os trechos de circuitos entre dois nós consecutivos são denominados ramos. 
 
Qualquer conjunto de ramos formando um percurso fechado recebe o nome de malha. 
 
No circuito elétrico apresentado acima, como exemplo, são: 
Nós B e E. 
Ramos: BAFE, BE e BCDE. 
Malhas: ABEFA, BCDEB e ABCDEFA. 
 
A cada ramo do circuito elétrico atribui-se um sentido de corrente. Esse sentido, embora 
arbitrário,deve ser coerente com o elemento de circuito do ramo. Sendo uma fonte de tensão, a 
corrente elétrica entra pelo terminal negativo e sai pelo terminal positivo. Sendo um resistor, a 
corrente entra pelo terminal positivo e sai pelo negativo. 
 
A primeira lei de Kirchhoff ou lei dos nós estabelece que “em um nó, a soma das intensidades de 
corrente que chegam é igual a soma das intensidades de corrente que saem”. 
 
  saemchegam II 
 
 
 
 72 
A lei dos nós aplicada no nó “B” fornece: 
321 iii  (1) 
 
Essa lei aplicada ao nó “E” leva à mesma equação anterior. 
 
 
Conhecendo os valores de tensão das fontes e dos resistores, há três incógnitas ( 321 ,, iii ), logo, 
são necessárias três equações. Como já existe uma, 321 iii  , ficam faltando duas equações. 
Para solucionar, escolhem-se duas das três malhas existentes e adota-se um sentido, que nesse 
caso será aplicado o horário (). 
 
Malha ABEFA: 
0.... 1222211111  iREiriRirE (2) 
21221211 ..)( EEiriRRr  
 
Malha BCDEB: 
0... 33333222  irEiRirE (3) 
3233322 .)(. EEirRir  
321 iii  
32213322 )(.)(. EEiirRir  
322323131322 ..... EEiriRiriRir  
322332133 .)(.)( EEiRrrirR  
 
Dessa forma, é obtido o sistema de duas equações com duas incógnitas: 
21221211 ..)( EEiriRRr  
322332133 .)(.)( EEiRrrirR  
 
 
 73 
Exemplo 1: Determine as intensidades e os sentidos das correntes em todos os ramos. 
 
 
Solução: 
Adotam-se os seguintes sentidos para as correntes 321 ,, iii : 
A corrente 1i no sentido horário na malha da esquerda; 
A corrente 2i no ramo central no sentido para cima; 
A corrente 3i no sentido horário na malha da direita. 
 
321 iii  (1) 
 
0133210 21  ii 
101332 21  ii 
332 21  ii (2) 
 
05,3414313 332  iii 
5,3131453 32  ii 
5,2353 32  ii 
5,23)(53 212  iii 
5,23553 212  iii 
5,2385 21  ii (3) 
 
)10(332 21  ii 
)4(5,2385 21  ii 
 
 
 74 
303020 21  ii 
943220)( 21  ii 
12462 2 i 
 
Ai 2
62
124
2  
 
Uma equação deve ser escolhida, para encontrar a corrente 1i . 
332 21  ii 
3)2(32 1  i 
632 1  i 
32 1  i 
Ai 5,11  
 
213 iii  
Ai 5,325,13  
 
 
Exemplo 2: Determine as intensidades das correntes 321 ,, iii . 
 
 
Solução: 
321 iii  (1) 
040208210 122  iii 
)2(501020 21  ii 
25510 21  ii (2) 
 
 
 75 
0542040 331  iii 
45520 31  ii 
45)(520 211  iii 
455520 211  iii 
45525 21  ii (3) 
 
25510 21  ii 
45525)( 21  ii 
7035 1 i 
 
Ai 2
35
70
1  
 
25510 21  ii 
255)2(10 2  i 
20255 2 i 
55 2 i 
Ai 1
5
5
2  
 
321 iii  
12213  iii 
Ai 13  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 76 
Exemplo 3: Determine as intensidades das correntes 321, IeII . 
 
 
321 III  (I) 
 
0655475 21  II 
657554 21  II 
1054 21  II 
1054 21  II (II) 
 
01653565 332  III 
1636565 32  II 
5265 32  II 
5265 32  II 
  5265 212  III 
52665 212  III 
52116 21  II (III) 
 
52116 21  II 2084424)4( 21  II 
 1054 21  II 603024)()6( 21  II 
 14874 2 I AI 2
74
148
2  
1054 21  II 
10)2(54 1 I 
2010104 1 I AI 5
4
20
1  
AIII 725213  
 
 77 
Exemplo 4: A intensidade de corrente 1i vale 0,2A. Determine 32 , ii e 3R . 
 
Solução: 
23 2,0 ii  (1) 
 
053 331  iRi 
0)2,0()2,0()5(3 23  iR 
0.2,013 233  iRR 
2.2,0 233  iRR (2) 
 
055. 233  iiR 
055)2,0( 223  iiR 
55.2,0 2233  iiRR (3) 
 
55.2,0 2233  iiRR 
2.2,0)( 233  iRR 
35 2 i Ai 6,0
5
3
2  
 
Aii 8,06,02,02,0 23  
2.2,0 233  iRR 
2)6,0(2,0 33  RR 
28,0 3 R 
 
 5,2
8,0
2
3R 
 
 78 
Exemplo 5: Determine a diferença de potencial BA UU  . 
 
 
Solução: 
Adotam-se os seguintes sentidos para as correntes 321 ,, iii : 
A corrente 1i no sentido horário na malha da esquerda; 
A corrente 2i no ramo central no sentido para baixo; 
A corrente 3i no sentido anti-horário na malha da direita. 
 
 
321 iii  (1) 
 
0152010 21  ii 
201510 21  ii 
201510 21  ii (2) 
 
0101215 32  ii 
0)(101215 212  iii 
010101215 212  iii 
122510 21  ii (3) 
 
 79 
201510 21  ii 
122510 21  ii 
3240 2 i 
 
Ai 8,0
40
32
2  
 
201510 21  ii 
20)8,0(1510 1 i 
)8,0(152010 1 i 
122010 1 i 
810 1 i 
 
Ai 8,0
10
8
1  
 
213 iii  
213 iii  
8,08,03 i 
Ai 03  
 
ABBA UUU  
215iU AB  
8,015ABU 
VU AB 12 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 80 
Exemplo 6: Determine 321, IeII . 
 
 
 
321 III  
 
05130515180 121  III 
050520 21  II 
50520 21  II (I) 
 
08100125130 332  III 
0205230 32  II 
230205 32  II 
230)(205 212  III 
23020205 212  III 
5)(2302520 21  II 
4654 21  II (II) 
 
 50520 21  II 
 (+) 4654 21  II 
 9624 1 I  AI 4
24
96
1  
 
4654 21  II  465)4(4 2  I 
16465 2 I  305 2 I 
AI 6
5
30
2   213 III  
 AI 10643  
 
 81 
CAPÍTULO III – CAPACITOR 
 
1. Introdução 
O capacitor é bem diferente do resistor no que diz respeito à sua função, princípio de 
funcionamento e estrutura interna. Ao contrário do resistor, o capacitor apenas exibe seu 
comportamento característico quando ocorrem variações de tensão no circuito em que se 
encontra. Além disso, se considerar a situação ideal, não dissipa energia, como o resistor, mas 
armazena e pode devolvê-la mais tarde ao circuito. 
 
 
2. Capacitor 
O capacitor é um elemento constituído por dois condutores separados por um material isolante 
(dielétrico). Estes dois elementos podem assumir diversas formas. Um exemplo simples é o 
capacitor de placas paralelas constituído por dois condutores planos separados por um dielétrico. 
 
Na figura 1a, uma bateria U, uma chave S, um capacitor descarregado C e fios de interligação 
formam um circuito elétrico. O mesmo circuito é mostrado no diagrama esquemático da figura 
1b, nos quais os símbolos para uma bateria, uma chave e um capacitor representam esses 
dispositivos. A bateria mantém uma diferença de potencial V entre os seus terminais. O terminal 
de potencial mais alto é indicado pelo sinal + e freqüentemente é chamado de potencial positivo; 
o terminal de potencial mais baixo é indicado pelo sinal – e freqüentemente é chamado de 
terminal negativo. 
 
Fig. 1 
 
 82 
3. Carregando um Capacitor 
Inicialmente, com a chave S aberta, na figura 1b, o capacitor está descarregado e a ddp entre as 
suas placas é nula. 
 
Quando S é fechada, o campo elétrico criado pela bateria empurra os elétrons da placa “a” do 
capacitor até o terminal positivo da bateria; assim a placa “a”, perdendo elétrons, torna-se 
positivamente carregada. O campo empurra a mesma quantidade de elétrons do terminal 
negativo da bateria para a placa “b” do capacitor, assim, a placa “b”, ganhando elétrons, torna-
se negativamente carregada. 
 
Quando a ddp entre as placas do capacitor igualar a ddp da bateria, diz-se que o capacitor está 
completamente carregado, e a partir desse instante, o campo fica nulo e deixa de empurrar os 
elétrons no circuito. 
 
A variação da corrente e da tensão com o tempo aparece nas figuras 2 e 3, respectivamente. 
Quando a chave é fechada em st 0 , a corrente sobe bruscamente para um valor limitado 
apenas pela resistência do circuito e em seguida começa a diminuir à medida que as placas se 
carregam (fig. 2), rapidamente a princípio e depois cada vez mais devagar. 
 
Fig. 2 
 
A tensão  Cv entre as placas do capacitor está relacionada à carga das placas e aumenta com o 
tempo, conforme figura3. Naturalmente, quando a taxa de escoamento das cargas diminui, a 
tensão  Cv aumenta mais devagar. 
 
Fig. 3 
 
 
 83 
Finalmente, a tensão entre as placas do capacitor  Cv se torna igual à tensão da bateria  U e a 
corrente Ci deixa de circular; está encerrada a fase de carga. Neste momento, o capacitor 
adquire as características de um circuito aberto: existe uma tensão entre as placas do capacitor 
sem que haja corrente no circuito. 
 
A corrente no capacitor varia exponencialmente, de acordo com a figura 2 e com a equação 
abaixo. 
RC
t
c e
R
U
i

 
 
A tensão no capacitor varia exponencialmente, de acordo com a figura 3 e com a equação 
abaixo. 
)1( RC
t
c eUv

 
 
O fator RC
t
e

 é uma função exponencial da forma xe , onde RCtx / e o valor de 
...71828,2e Um gráfico de xe para 0x pode ser visto na figura 4. 
Tabela 1 - Valores de xe para alguns valores de x . 
Valores de x Valores de xe 
0x 11
11
0
0 
e
e 
1x 36788,0
11 
e
e 
2x 13534,0
1
2
2 
e
e 
3x 049788,0
1
3
3 
e
e 
4x 018316,0
1
4
4 
e
e 
5x 0067379,0
1
5
5 
e
e 
6x 0024788,0
1
6
6 
e
e 
10x 
000045400,0
1
10
10 
e
e 
 
 84 
 
Fig. 4 – A função )0(  xe x . 
 
 
O fator RC é chamado de constante de tempo  T . 
 
RCT  
 
O fator RC tem dimensão de tempo. 
 
t
U
qU
U
q
I
U
RC
t
q
 
 
A corrente Ci em um circuito capacitivo de corrente contínua é praticamente zero após terem se 
passado cinco constantes de tempo na fase de carga. 
 
 
Fig. 5 
 
 
 
 85 
4. Descarregando um Capacitor 
 
Fig. 6 – Chave na posição 1 no estado estacionário. 
 
Depois de atingir as condições de estado estacionário ( 0ci ; 0Rv e Uvc  ), a chave é 
alterada para a posição 2. Agora a corrente flui para fora do capacitor no sentido oposto ao do 
fluxo quando o capacitor estava sendo carregado. A corrente cai instantaneamente para 
R
U
 e 
cai gradativamente para zero. O capacitor descarrega com a mesma constante de tempo 
)( RCT  . Também, a tensão “ cv ” através do capacitor não pode variar instantaneamente, 
portanto, a tensão cv aparece através da resistência com polaridade oposta. Então, as duas 
tensões Rv e cv caem exponencialmente para zero. 
 
Fig. 7 – Ilustração da descarga de um circuito capacitivo. 
 
RC
t
C eUv

 . 
 
RC
t
C e
R
U
i

 . 
 
RC
t
R eUv

 . 
 
 
 
 86 
Se a chave da figura 6 for colocada alternadamente nas posições 1 e 2 a cada cinco constantes de 
tempo, as curvas de RCC veiv , terão o aspecto da figura 8. Como a polaridade de Cv é a 
mesma nas fases de carga e descarga, toda a curva está acima do eixo horizontal. A corrente Ci 
troca de sentido quando o capacitor começa a se descarregar, o que resulta em um pulso 
negativo para a corrente e para a voltagem Rv na segunda metade do ciclo. A tensão Cv não 
sofre variações bruscas, o que acontece com a corrente Ci toda a vez que a chave muda de 
posição. 
 
Fig. 8 – Formas de onda de cv , ci e Rv na fase de carga e descarga. 
 
 
 
 87 
5. Capacitância 
A capacitância é uma medida da quantidade de carga que o capacitor pode armazenar em suas 
placas, em outras palavras, é a sua capacidade de armazenamento de carga elétrica. 
 
O valor da capacitância depende apenas da geometria das placas e não da sua carga ou da 
diferença de potencial. 
 
Um capacitor possui uma capacitância de 1 farad se uma carga de 1 coulomb for depositada em 
suas placas por uma diferença de potencia de 1 volt entre elas. 
 
O farad recebeu este nome em homenagem a Michael Faraday, um químico e físico inglês do 
século XIX. Na prática ele se mostra, entretanto, uma unidade de medida muito grande para a 
maioria das aplicações; assim, é mais comum usar o microfarad (F), nanofarad (nF) ou o 
picofarad (pF). 
 
U
q
C  Onde: 
C é a capacitância, em farads (F). 
 q é a carga elétrica, em coulombs (C). 
 U é a tensão elétrica entre os terminais do capacitor, em volts (V). 
 
 
6. Cálculo da Capacitância 
6.1 – Capacitor de Placas Paralelas 
A capacitância de um capacitor depende da área das placas condutoras, da separação entre as 
placas e do dielétrico. Para um capacitor com duas placas paralelas, conforme mostra a figura 9, 
a sua capacitância é: 
 
d
A
C   
 
Onde: C  é a capacitância, em farads (F). 
  permissividade ou constante dielétrica do material isolante, em farads/metro (F/m). 
 A  é a área da placa, em metros quadrados (m
2
). 
 
d  é a distância entre as placas, em metros (m). 
 
 88 
 
 
Fig. 9 
 
 
6.2 – Capacitor Cilíndrico 
A figura 10 mostra, em corte transversal, um capacitor cilíndrico de comprimento L formado por 
dois cilindros coaxias de raios a e b. 
 
O cálculo da capacitância de um capacitor cilíndrico, assim como a de um capacitor de placas 
paralelas, depende apenas de fatores geométricos, neste caso L, b e a. Considerando, L » b. 
 
Fig. 10 – Vista superior de um capacitor cilíndrico. 
 
)/(ln
2
ab
L
C  
 
Onde: C  é a capacitância, em farads (F) 
  permissividade ou constante dielétrica do material isolante, em farads/metro (F/m). 
 L  é o comprimento do capacitor, em metros (m). 
 a  é o raio do cilindro menor, em metros (m). 
 b  é o raio do cilindro maior, em metros (m). 
 
 
 
 
 89 
6.3 – Capacitor Esférico 
A figura 10 também serve para ilustrar um capacitor esférico em um corte transversal passando 
pelo seu centro. 
 
O capacitor esférico é formado por duas cascas esféricas concêntricas, de raios a e b. 
 
O cálculo da capacitância de um capacitor esférico é igual a: 
 
ab
ba
C

 4 
 
Onde: 
C  é a capacitância, em farads (F) 
  permissividade ou constante dielétrica do material isolante, em farads/metro (F/m). 
a  é o raio da esfera menor, em metros (m). 
b  é o raio da esfera maior, em metros (m). 
 
 
6.4 – Uma Esfera Isolada 
A capacitância atribuída a um único condutor esférico isolado de raio R supondo que “a placa 
que está faltando” é uma esfera condutora de raio infinito. Para encontrar a capacitância do 
condutor isolado, em primeiro reescreve-se a equação do cálculo do capacitor formado por duas 
cascas esféricas. 
 
ab
ba
C

 4 
 
Se considerar b e substituir “a” por R, encontra-se a equação para o cálculo da 
capacitância da esfera isolada: 
 
RC 4 
 
Onde: C  é a capacitância, em farads (F) 
  permissividade ou constante dielétrica do material isolante, em farads/metro (F/m). 
 R  é o raio da esfera, em metros (m). 
 
 90 
6.5 – Capacitor Eletrolítico 
Um tipo especial de capacitor; adequado para altos valores de capacitância (da ordem de micro 
ou milifarads), é o eletrolítico, representado pelos símbolos da figura 11. 
 
Fig. 11 
 
A diferença deste capacitor para os demais, além da alta capacitância que permite maior 
armazenamento de cargas elétricas, é a polarização das placas, sendo uma positiva e outra 
negativa. Ao contrário dos capacitores comuns que são conectados em qualquer posição (os 
terminais não têm polaridade) e com qualquer tipo de tensão (CA ou CC) o eletrolítico só pode 
ser instalado em tensão CC com o terminal positivo ligado ao pólo positivo e o terminal negativo 
ao pólo negativo, conforme figura 12. 
 
Fig. 12 
 
Se um capacitor eletrolítico for ligado em tensão alternada ou com polarização invertida ele 
"estoura". É preciso ter cuidado, pois esta situação costuma provocar acidentes perigosos. 
 
 
7. Rigidez Dielétrica 
Para cada dielétrico existe um valor de campo elétrico que, se aplicado ao dielétrico, quebrará 
ligações moleculares internas, permitindo a passagem de corrente. A tensão por unidade de 
comprimento (intensidade do campo elétrico) necessária para que haja uma condução em um 
dielétrico é uma indicação de sua rigidez dielétrica e é denominada tensão de ruptura. Quando