Mecânica dos Fluidos_Aula 05

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FACULDADE MAURICIO DE NASSAU
CURSO BIOMEDICINA
DISCIPLINA: MECÂNICA DOS FLUIDOS
PROF. DR. IDNEY CAVALCANTI DA SILVA
DEFINIÇÃO DE FLUIDOS: DINÂMICA DOS FLUIDOS - AULA 05
DEFINIÇÃO DE UM FLUIDO
Nós temos um sentimento comum quando trabalhamos com um fluido que é oposto àquele
do trabalho com um sólido: fluidos tendem a escoar quando interagimos com eles (por
exemplo, quando você agita seu café da manhã); sólidos tendem a se deformar ou dobrar
(por exemplo, quando você bate sobre um teclado, as molas sob as teclas se comprimem).
Os engenheiros necessitam de uma definição mais formal e precisa de um fluido: Um fluido
é uma
substância que se deforma continuamente sob a aplicação de uma tensão de cisalhamento
(tangencial), não importando o quão pequeno seja o seu valor. Como o movimento do fluido
continua sobre a aplicação dessa tensão, definimos um fluido também como uma substância
que não pode sustentar uma tensão de cisalhamento quando em repouso.
Assim, líquidos e gases (ou vapores) são as formas, ou fases, que os fluidos podem se
apresentar. Gostaríamos de distinguir essas fases da fase sólida da matéria. Podemos ver a
diferença entre o comportamento de um sólido e um fluido na Fig. 1.1. Se colocarmos uma
espécie de uma ou da outra substância entre dois planos (Fig. 1.1a), e depois aplicarmos
uma força de cisalhamento F, cada uma sofrerá uma deformação inicial (Fig. 1.1b); contudo,
ao passo que um sólido ficará em repouso (considerando que a força não seja
suficientemente grande para levá­lo além do seu limite elástico), um fluido continuará se
deformando (Fig. 1.1c, Fig. 1.1d, etc.) enquanto a força for aplicada. Note que um fluido em
contato com uma superfície sólida não desliza sobre ela. O fluido tem a mesma velocidade
da superfície por causa da condição de não deslizamento, que é um fato experimental. O
tamanho da deformação do sólido depende do módulo de rigidez G do sólido; no Capítulo 2,
aprenderemos que a razão de deformação do fluido depende da viscosidade μ do fluido.
Referimos aos sólidos como elásticos e aos fluidos como viscosos. Mais informalmente,
dizemos que os sólidos exibem “elasticidade”. Por exemplo, quando você dirige sobre um
buraco, o carro salta para cima e para baixo devido à compressão e expansão das molas de
metal da suspensão do carro. Por outro lado, os fluidos exibem os efeitos do atrito de forma
que os amortecedores da suspensão (contendo um fluido que é forçado através de uma
pequena abertura conforme o carro salta) dissipam energia devido ao atrito do fluido, que
para o balanço do carro após poucas oscilações. Se os seus amortecedores estão “batendo”,
o fluido contido em seu interior escapou de modo que quase não existe atrito enquanto o
carro salta, e o carro balança muitas vezes em vez de retornar rapidamente ao repouso. A
ideia de que substâncias podem ser classificadas como um sólido ou um líquido serve para a
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maioria das substâncias, mas diversas substâncias exibem tanto rigidez quanto atrito; estas
substâncias são conhecidas como viscoelásticas. Muitos tecidos biológicos são viscoelásticos.
Por exemplo, o fluido sinovial no joelho humano lubrifica estas juntas, mas também absorve
parte do impacto que ocorre durante uma caminhada ou corrida. Note que o sistema de
molas e amortecedores que compreende a suspensão do carro é também viscoelástico,
embora os componentes individuais não sejam.
EQUAÇÕES BÁSICAS
A análise de qualquer problema de mecânica dos fluidos inclui, necessariamente, o
estabelecimento das leis básicas que governam o movimento do fluido. As leis básicas, que
são aplicáveis a qualquer fluido, são:
1. A conservação da massa
2. A segunda lei do movimento de Newton
3. O princípio da quantidade de movimento angular
4. A primeira lei da termodinâmica
5. A segunda lei da termodinâmica
Nem todas as leis básicas são necessárias para resolver um problema qualquer. Por outro
lado, em muitos problemas é necessário buscar relações adicionais que descrevam o
comportamento das propriedades físicas dos fluidos sob determinadas condições. Como
exemplo temos a equação dos gases ideais:
p=RT (Eq. 01)
modelo que relaciona a massa específica () com a pressão (p) e a temperatura (T) para
muitos gases sob condições normais. Na Eq. 01, R é a constante do gás, que no caso do
oxigênio (O2) vale 259,8 J/kg.K.
Exemplo 01: Aplicação da primeira lei ao sistema fechado:
Um dispositivo cilindro­pistão contém 0,95 kg de oxigênio inicialmente a uma temperatura
de 27°C e a uma pressão de 150 kPa (absoluta). Calor é adicionado ao gás até ele atingir uma
temperatura de 627°C. Determine a quantidade de calor adicionado durante o processo.
Solução:
Dados: T1 = 27 °C; T2 = 627 °C; mO2= 0,95 kg; p0 = 150 kPa
Primeira Lei para o sistemaQ12 - W12 = E2 - E1
Como o sistema é estacionário, E = U
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 
   
  
  
    kJcTTmQ
cvccTTmQccRKkgJc
RcTTmQ
TTmRTTmcWEEQ
TTmRWmRTpV
VVppdVW
TTmcuumUUEE
p
pvvpp
v
v
V
V
v
3,5184,909.27627.95,0
./4,909
)(
)()(
1212
1212
1212
1212121212
1212
1212
12121212
2
1








FLUIDO COMO UM CONTÍNUO
Estamos familiarizados com os fluidos, sendo os mais comuns a água e o ar, e os tratamos
como “lisos e suaves”, isto é, como um meio contínuo. Não podemos estar seguros da
natureza molecular dos fluidos, a menos que utilizemos equipamentos especializados para
identificá­la. Essa estrutura molecular é tal que a massa não está distribuída de forma
contínua no espaço, mas está concentrada em moléculas que estão separadas por regiões
relativamente grandes de espaço vazio. O esboço na Fig. 2.1a mostra uma representação
esquemática disso. Uma região do espaço “preenchida” por um fluido estacionário (por
exemplo, o ar, tratado como um único gás) parece um meio contínuo, mas se ampliarmos
um pequeno cubo da região, poderemos ver que a maior parte do espaço é vazia, com
moléculas de gás espalhadas ao redor, movendo­se a alta velocidade (indicada pela
temperatura do gás). Note que o tamanho das moléculas de gás está muito exagerado (elas
seriam quase invisíveis mesmo nesta escala) e que colocamos vetores de velocidade
somente sobre uma pequena amostra. Gostaríamos de perguntar: qual é o mínimo
volume, V que um ponto C deve ter, de modo a podermos falar sobre propriedades de
fluido contínuo tal como a massa específica em um ponto? Em outras palavras, sob que
circunstâncias um fluido pode ser tratado como um meio contínuo, para o qual, por
definição, as propriedades variam suavemente de ponto a ponto? Essa é uma questão
importante porque o conceito de um meio contínuo é a base da mecânica dos fluidos
clássica.
Considere a forma como determinamos a massa específica em um ponto. A massa específica
é definida como a massa por unidade de volume; na Fig. 2.1a a massa δm será dada pelo
número instantâneo de moléculas em V (e a massa de cada molécula), de modo que a
massa específica média no volume δV é dada por ρ = δm/δV . Dizemos “média” porque o
número de moléculas em δV, e consequentemente a massa específica, flutua. Por exemplo,
se o ar na Figura 2.1a estivesse nas condições­padrão de temperatura e pressão (CPPT) e o
volume fosse uma esfera de diâmetro 0,01 μm, poderá haver 15 moléculas em δV(como
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mostrado), mas um instante mais tarde poderá haver 17 (três podem entrar enquanto uma
sai).
Consequentemente, a massa específica em um “ponto” C flutua aleatoriamente com o
tempo, como mostrado na Figura 2.1b. Nesta figura, cada linha pontilhada vertical
representaum volume específico escolhido, δV, e cada ponto dado representa a massa
específica medida em um instante. Para volumes muito pequenos, a massa específica varia
grandemente, mas acima de certo volume δV, a massa específica torna­se estável, o volume
agora anexa um enorme número de moléculas. Por exemplo, se δV = 0,001 mm3 (em torno
do tamanho de um grão de areia), existirão em média 2,5.1013 moléculas presentes.
Consequentemente, podemos concluir que o ar nas CPPTs (e outros gases e líquidos) pode
ser tratado como um meio contínuo enquanto considerarmos que um “ponto” não é maior
do que aproximadamente este tamanho; isto é suficientemente preciso para a maior parte
das aplicações em engenharia.
O conceito de um contínuo é a base da mecânica dos fluidos clássica. A hipótese do contínuo
é válida no tratamento do comportamento dos fluidos sob condições normais. Ela falha, no
entanto, somente quando a trajetória média livre das moléculas torna­se da mesma ordem
de grandeza da menor dimensão característica significativa do problema. Isso ocorre em
casos específicos como no escoamento de um gás rarefeito (como encontrado, por exemplo,
em voos nas camadas superiores da atmosfera). Nestes casos específicos (não tratados
neste texto), devemos abandonar o conceito de contínuo em favor do ponto de vista
microscópico e estatístico. Como consequência da consideração do contínuo, cada
propriedade do fluido é considerada como tendo um valor definido em cada ponto no
espaço. Dessa forma, as propriedades dos fluidos, tais como massa específica, temperatura,
velocidade e assim por diante, são consideradas funções contínuas da posição e do tempo.
Por exemplo, temos agora uma definição exequível da massa específica em um ponto,
V
m
VV 

 '
lim

 (Eq. 02)
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Uma vez que o ponto C foi arbitrário, a massa específica em qualquer outro ponto no fluido
poderia ser determinada pela mesma forma. Se a massa específica fosse medida
simultaneamente em um número infinito de pontos no fluido, obteríamos uma expressão
para a distribuição da massa específica como uma função das coordenadas espaciais, ρ = ρ(x,
y, z), no instante dado. A massa específica em qualquer ponto pode também variar com o
tempo (como um resultado de trabalho realizado sobre o fluido, ou por ele, e/ou de
transferência de calor para o fluido). Portanto, a representação completa da massa
específica (a representação do campo) é dada por
 tzyx ,,,  (Eq. 03)
Como a massa específica é uma quantidade escalar, requerendo, para uma descrição
completa, apenas a especificação de um módulo, o campo representado pela Eq. 03 é um
campo escalar. Uma forma alternativa de expressar a massa específica de uma substância
(sólido ou fluido) é compará­la com um valor de referência aceito, tipicamente a massa
específica máxima da água, ρH20 (1.000 kg/m3 a 4 °C (277 K)). Desse modo, a gravidade
específica, ou densidade relativa, , de uma substância é expressa como
OH 2

  (Eq. 04)
Por exemplo, a δ do mercúrio é tipicamente 13,6, ou seja, o mercúrio é 13,6 vezes mais
denso que a água. A densidade relativa de líquidos é uma função da temperatura; para a
maioria dos líquidos, a densidade relativa decresce com o aumento da temperatura. O peso
específico, γ, de uma substância é outra propriedade útil da matéria. Ele é definido como o
peso de uma substância por unidade de volume e dado como
g
V
mg   (Eq. 05)
O peso específico da água é aproximadamente 9,81 kN/m3.
EXEMPLO 02: Calcule o peso específico  de um determinado fluido, que ao preencher um
recipiente de 2.000 litros, acumula uma massa de 7.350 kg. (g = 9,81 m/s2)
Solução:
33
2
2
051.36
000.1
000.2
.
..81,9.350.7
m
N
l
ml
mkg
sN
s
mkg
V
mg

CAMPO DE VOLOCIDADE
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Na seção anterior, vimos que a consideração do contínuo levou diretamente à noção do
campo de massa específica. Outras propriedades dos fluidos também podem ser descritas
por campos. Uma propriedade muito importante definida por um campo é o campo de
velocidade, dado por
 tzyxVV ,,,

 (Eq. 06)
A velocidade é uma quantidade vetorial, exigindo um módulo e uma direção para uma
completa descrição. Por conseguinte, o campo de velocidade (Eq. 06) é um campo vetorial.
O vetor velocidade, V

, também pode ser escrito em termos de suas três componentes
escalares. Denotando as componentes nas direções x, y e z por u, ν e w, então
kwjviuV ˆˆˆ 

(Eq. 07)
Em geral, cada componente, u, ν e w, será uma função de x, y, z e t. Necessitamos ser claros
sobre o que  tzyxVV ,,,

 mede: esse campo indica a velocidade de uma partícula fluida
que está passando através do ponto (x, y, z), no instante de tempo t, na percepção euleriana.
Podemos continuar a medir a velocidade no mesmo ponto ou escolher qualquer outro ponto
(x, y, z), no próximo instante de tempo; o ponto (x, y, z), não é a posição em curso de uma
partícula individual, mas um ponto que escolhemos para olhar. (Por isso x, y e z são variáveis
independentes. Concluímos que (x, y, z, t) deve ser pensado como o campo de velocidade
de todas as partículas, e não somente a velocidade de uma partícula individual. Se as
propriedades em cada ponto em um campo de escoamento não variam com o tempo, o
escoamento é dito em regime permanente. Matematicamente, a definição de escoamento
em regime permanente é
0
dt

(Eq. 08)
em que η representa qualquer propriedade do fluido. Por isso, para o regime permanente,
 
 zyxVV
dt
V
zyx
t
,,0
,,0





 
(Eq. 09 e 10)
Em regime permanente, qualquer propriedade pode variar de ponto para ponto no campo,
porém todas as propriedades permanecem constantes com o tempo em cada ponto.
Exemplo 03: Em regime permanente a velocidade de deslocamento do fluido varia segundo
a função   smczbyaxV /,, 

, onde a, b e c são funções de t, sendo que a = b = c = 0,
quando t = 0s. A posição de uma determinada porção do fluido ao longo do tempo é
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)4,1,2()( 32 tttts  , onde t é dado em segundos e s em metros qual o módulo da
velocidade ),,(0 cbaV 

no ponto P(8,3, 32)m?
Solução:
Se o regime é permanente, 0
dt
V

 
 














t
t
t
t
t
t
tdtttcttctctkV
dttbtbtbjV
ttdttattatatiV
tcttbtat
t
tVcttbttattV
tttstcztbytaxV
0
3222
0
0
2
232
32
0
0
0
412)(12)('0)('12:ˆ
00)(0)('0)(':ˆ
24)(4)('0)('4:ˆ
)('12),('),('4)()4),(1),(2()(
)4,1,2()(),(),(


Com os valores de s , é possível obter o tempo t,
     
stt
stt
stt
mPtttts
28
4
32324
21331
24
2
882
32,3,84,1,2
333
2
32





Assim, com os valores de a, b e c é possível escrever o vetor   )4,0,2( 320 tttV 

,
   
    smV
smsmV
/98,32088.110240643208)2(
/32,0,8/2.4,0,2.2)2(
222
32




EXERCÍCIOS
Exercício 01: Um dispositivo cilindro­pistão contém 1,05 kg de oxigênio inicialmente a uma
temperatura de 25°C e a uma pressão de 148 kPa (absoluta). Calor é adicionado ao gás até
ele atingir uma temperatura de 427°C. Determine a quantidade de calor adicionado durante
o processo.
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Exercício 02: Um dispositivo cilindro­pistão contém 0,05 kg de oxigênio inicialmente a uma
temperatura de 25°C e a uma pressão de 1,3 MPa (absoluta). Calor é adicionado ao gás até
ele atingir uma temperatura de 1.028°C. Determinea quantidade de calor adicionado
durante o processo.
Exercício 03: Um dispositivo cilindro­pistão contém 0,37 kg de oxigênio inicialmente a uma
temperatura de ­5°C e a uma pressão de 75 kPa (absoluta). Calor é adicionado ao gás até ele
atingir uma temperatura de 55°C. Determine a quantidade de calor adicionado durante o
processo.
Exercício 04: Calcule o peso específico  de um determinado fluido, que ao preencher um
recipiente de 2.000 litros, acumula uma massa de 7.350 kg. (g = 9,81 m/s2)
Exercício 05: O peso específico  de um determinado fluido é 14,7 kN/m3. Ao preencher um
recipiente com 1.500 litros desse fluido, qual a massa acumulada? (g = 9,81 m/s2)
Exercício 06: Calcule o peso específico  de um determinado fluido, que ao preencher um
recipiente de 12.720 litros, acumula uma massa de 14.770 kg. (g = 9,81 m/s2)
Exercício 07: Em regime permanente a velocidade de deslocamento do fluido varia segundo
a função   smzcbyxaV /3,2,

, onde a, b e c são constantes admensionais. A posição de
uma determinada porção do fluido ao longo do tempo é )24,1,32()( 2  tttts , onde t
é dado em segundos e s em metros. Qual o módulo da velocidade V

no ponto P(-1,2, 2)m?