Divisores, Múltiplos, Números Primos e Máximo Divisor Comum

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MATEMÁTICA
TURMA: 7° Ano
PROFESSORA: Fernanda Nascimento
CAPÍTULO 3: DIVISORES E MÚLTIPLOS DE UM NÚMERO NATURAL
EXEMPLO:
Taís comprou um pacote com 48 balas e tentou repartir igualmente em saquinhos com 5 balas cada um, mas sobraram 3 balas. Então ela tentou repartir em saquinhos com 6 balas cada e conseguiu montar 8 saquinhos, sem sobras.
48 : 6 = 8 é exata, ou seja, 6 é divisor de 48. Já a divisão 48 : 5 = 9 não é exata, pois tem resto 3.
Um número natural não nulo a é divisor de outro número natural b quando a divisão de b por a é exata.
MÚLTIPLOS
EXEMPLO:
Paulo e Rogério colecionam figurinhas. Dessa vez eles estão formando um álbum de carros esportivos. Cada envelope de figurinha que eles compram vem com 3 figurinhas diferentes. Esta semana Paulo comprou 5 envelopes de figurinhas e Rogério comprou 3 envelopes.
Quantas figurinhas cada um deles comprou? Vamos montar um quadro com a quantidade de figurinhas de acordo com o número de envelopes:
	Quantidade de Envelopes	Quantidade de Figurinhas
	1	3
	2	6
	3	9
	4	12
	5	15
Nessa situação, estão envolvidas multiplicações; veja:
1 x 3 = 3
2 x 3 = 6
3 x 3 = 9
4 x 3 = 12
5 x 3 = 15
Os números 3, 6, 9, 12 e 15 são exemplos de números múltiplos de 3. Então, Paulo comprou 15 figurinhas e Rogério, 9.
Um número natural a será múltiplo de um número natural b diferente de zero, quando a for divisível por b ou b for divisor de a.
NÚMEROS PRIMOS
Um número que possui apenas dois divisores naturais distintos (o número 1 e ele mesmo) é denominado número primo.
- Os números naturais que possuem mais de dois divisores distintos são chamados números compostos.
Assim:
O número 1 não é primo nem composto.
Os números 2, 3, 5, 7, 11 e 13 são alguns exemplos de números naturais primos.
Os números 4, 6, 8, 9 e 10 são alguns exemplos de números naturais compostos.
O único número primo par é o 2, já que todos os demais números pares são divisíveis por 2.
DECOMPOSIÇÃO EM FATORES PRIMOS
EXEMPLO:
Observe o número 24, que é um número composto:
24 = 2 x 12 = 2 x 2 x 6 = 2 x 2 x 2 x 3
Assim, 2 x 2 x 2 x 3 é a forma fatorada completa do número 24, ou seja, é o número 24 expresso como a multiplicação de fatores primos.
A decomposição em fatores primos de um número natural composto nos fornece a forma fatorada completa desse número.
EXEMPLOS:
a) b)
c) 
MÁXIMO DIVISOR COMUM (m.d.c.)
EXEMPLO:
Preciso saber quais são os divisores comuns dos números naturais 40 e 60 e, dentre esses, qual é o maior. Veja como podemos fazer:
Primeiro, determinamos os divisores de 40 e os divisores de 60:
D (40) = 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40
D (60) = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60
Observando esses divisores, percebemos que os divisores comuns de 40 e 60 são: 1, 2, 4, 5, 10 e 20
O maior dos divisores em comum é 20. Então, 20 é o máximo divisor comum de 40 e 60.
Indicamos: m.d.c. (40, 60) = 20
Divisor comum de dois ou mais números é aquele que é divisor de cada um desses números simultaneamente. Por exemplo: 7 é divisor comum de 21 e de 70, porque 7 é divisor de 21 e também de 70.
Dados dois ou mais números naturais, não simultaneamente nulos, denomina-se máximo divisor comum desses números o maior dos seus divisores comuns.
Outra forma de encontrar o máximo divisor comum (m.d.c.) é fazer a decomposição em fatores primos dos números e considerar apenas os fatores primos comuns de 40 e 60. Veja:
O produto desses fatores comuns será o m.d.c. de 40 e 60:
m.d.c. (40, 60) = 2 x 2 x 5 = 20
MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (m.m.c.)
EXEMPLOS:
1 - Um número natural N, diferente de zero, é o menor múltiplo de 12, 15 e 20 ao mesmo tempo. Qual é o número N?
- Para resolver esse problema, inicialmente escrevemos os múltiplos de 12, 15 e 20:
M (12) = 0, 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, ...
M (15) = 0, 15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, ...
M (20) = 0, 20, 40, 60, 80, 100, 120, ...
Observando esses múltiplos, verificamos que o menor número natural, diferente de zero, múltiplo simultaneamente de 12, 15 e 20 é 60.
O número 60 é chamado de mínimo múltiplo comum (m.m.c.) de 12, 15 e 20.
Indicamos: m.m.c. (12, 15, 20) = 60
O número N procurado é 60
Dados dois ou mais números naturais não nulos, denomina-se mínimo múltiplo comum desses números o menor de seus múltiplos comuns que seja diferente de zero.
Outra forma de encontrar o mínimo múltiplo comum é fazer a decomposição simultânea e considerar todos os fatores primos usados nas divisões dos três números dados. Veja:
2 - Dois navios fazem viagens entre dois portos: o primeiro navio viaja a cada 24 dias, e o segundo, a cada 30 dias. Se esses navios, em determinado dia, partirem juntos, depois de quantos dias voltarão a sair juntos?
- Para resolver esse problema, é necessário encontrar o número que representa o menor múltiplo comum dos números dados, ou seja, o m.m.c. (24, 30).
Os dois navios voltarão a sair juntos depois de 120 dias.
EXERCÍCIOS