1°Série_MAT_PROF_2°BI OK

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Matemática 
 
 Professor 
 
 CCaaddeerrnnoo ddee AAttiivviiddaaddeess 
PPeeddaaggóóggiiccaass ddee 
AApprreennddiizzaaggeemm 
AAuuttoorrrreegguullaaddaa –– 0022 
11°° SSéérriiee || 22°° BBiimmeessttrree 
Disciplina Curso Bimestre Série 
Matemática Ensino Médio 2° 1° 
Habilidades Associadas 
1. Resolver problema que envolva variação proporcional, direta ou inversa, entre grandezas. 
2. Resolver problema envolvendo uma função polinomial do 1º grau 
3. Reconhecer o gráfico de uma função polinomial de 1º grau por meio de seus coeficientes 
4. Reconhecer a representação algébrica de uma função do 1º grau dado o seu gráfico 
5. Resolver problema que envolva razões trigonométricas no triângulo retângulo (seno, cosseno, 
tangente). 
6. Utilizar relações métricas do triângulo retângulo para resolver problemas significativos. 
 
2 
 
A Secretaria de Estado de Educação elaborou o presente material com o intuito de estimular o 
envolvimento do estudante com situações concretas e contextualizadas de pesquisa, aprendizagem 
colaborativa e construções coletivas entre os próprios estudantes e respectivos tutores – docentes 
preparados para incentivar o desenvolvimento da autonomia do alunado. 
A proposta de desenvolver atividades pedagógicas de aprendizagem autorregulada é mais uma 
estratégia pedagógica para se contribuir para a formação de cidadãos do século XXI, capazes de explorar 
suas competências cognitivas e não cognitivas. Assim, estimula-se a busca do conhecimento de forma 
autônoma, por meio dos diversos recursos bibliográficos e tecnológicos, de modo a encontrar soluções 
para desafios da contemporaneidade, na vida pessoal e profissional. 
Estas atividades pedagógicas autorreguladas propiciam aos alunos o desenvolvimento das 
habilidades e competências nucleares previstas no currículo mínimo, por meio de atividades 
roteirizadas. Nesse contexto, o tutor será visto enquanto um mediador, um auxiliar. A aprendizagem é 
efetivada na medida em que cada aluno autorregula sua aprendizagem. 
Destarte, as atividades pedagógicas pautadas no princípio da autorregulação objetivam, 
também, equipar os alunos, ajudá-los a desenvolver o seu conjunto de ferramentas mentais, ajudando-
os a tomar consciência dos processos e procedimentos de aprendizagem que podem colocar em prática. 
Ao desenvolver as suas capacidades de auto-observação e autoanálise, ele passa a ter maior 
domínio daquilo que faz. Desse modo, partindo do que o aluno já domina, será possível contribuir para 
o desenvolvimento de suas potencialidades originais e, assim, dominar plenamente todas as 
ferramentas da autorregulação. 
Por meio desse processo de aprendizagem pautada no princípio da autorregulação, contribui-se 
para o desenvolvimento de habilidades e competências fundamentais para o aprender-a-aprender, o 
aprender-a-conhecer, o aprender-a-fazer, o aprender-a-conviver e o aprender-a-ser. 
 A elaboração destas atividades foi conduzida pela Diretoria de Articulação Curricular, da 
Superintendência Pedagógica desta SEEDUC, em conjunto com uma equipe de professores da rede 
estadual. Este documento encontra-se disponível em nosso site www.conexaoprofessor.rj.gov.br, a fim 
de que os professores de nossa rede também possam utilizá-lo como contribuição e complementação às 
suas aulas. 
Estamos à disposição através do e-mail curriculominimo@educacao.rj.gov.br para quaisquer 
esclarecimentos necessários e críticas construtivas que contribuam com a elaboração deste material. 
 
Secretaria de Estado de Educação 
 
 
Apresentação 
http://www.conexaoprofessor.rj.gov.br/
mailto:curriculominimo@educacao.rj.gov.br
 
3 
Caro Tutor, 
Neste caderno, você encontrará atividades diretamente relacionadas a algumas 
habilidades e competências do 2° Bimestre do Currículo Mínimo de Matemática da 1ª 
Série do Ensino Médio. Estas atividades correspondem aos estudos durante o período 
de um mês. 
 A nossa proposta é que você atue como tutor na realização destas atividades 
com a turma, estimulando a autonomia dos alunos nessa empreitada, mediando as 
trocas de conhecimentos, reflexões, dúvidas e questionamentos que venham a surgir no 
percurso. Esta é uma ótima oportunidade para você estimular o desenvolvimento da 
disciplina e independência indispensáveis ao sucesso na vida pessoal e profissional de 
nossos alunos no mundo do conhecimento do século XXI. 
Neste Caderno de Atividades, os alunos vão aprender um pouco mais sobre 
funções, em especial a função polinomial do primeiro grau. Há um interesse especial em 
construir a ideia desta função sempre associando a situações diárias do aluno. 
Reservamos as aulas de 1 a 6 para este fim. 
Nas aulas seguintes, você encontrará um estudo inicial da trigonometria. São 
apresentadas as razões trigonométricas sobre um triângulo retângulo. Finalizando, 
apresentados uma parte envolvendo trigonometria em um triângulo qualquer. 
Para os assuntos abordados em cada bimestre, vamos apresentar algumas 
relações diretas com todos os materiais que estão disponibilizados em nosso portal 
eletrônico Conexão Professor, fornecendo diversos recursos de apoio pedagógico para o 
Professor Tutor. 
Este documento apresenta 12 (doze) Aulas. As aulas podem ser compostas por 
uma explicação-base, para que você seja capaz de compreender as principais ideias 
relacionadas às habilidades e competências principais do bimestre em questão, e 
atividades respectivas. Estimule os alunos a ler o texto e, em seguida, resolver as 
Atividades propostas. As Atividades são referentes a dois tempos de aulas. Para reforçar 
a aprendizagem, propõem-se, ainda, uma pesquisa e uma avaliação sobre o assunto. 
 
Um abraço e bom trabalho! 
Equipe de Elaboração 
 
4 
 
 
 
 Introdução ............................................................................................... 03 
 
 Objetivos Gerais ...................................................................................... 
 Materiais de Apoio Pedagógico .............................................................. 
 Orientação Didático-Pedagógica ............................................................. 
 Aula 1: Função Polinomial do Primeiro Grau............................................ 
 Aula 2: Situações problemas sobre Funções ............................................ 
 Aula 3 : Proporcionalidade e função linear .......................................... 
 Aula 4 : Gráfico da função polinomial do primeiro grau ......................... 
 Aula 5 : Reconhecimento de uma função a partir do gráfico ................... 
 Aula 6 : Estudo do sinal da função polinomial do primeiro grau .............. 
 Aula 7: Razões trigonométricas no triângulo retângulo .......................... 
 Aula 8: Alguns ângulos Notáveis ............................................................. 
 Aula 9: Lei dos Senos ............................................................................... 
 Aula 10: Lei dos Cossenos ....................................................................... 
 Avaliação ................................................................................................. 
 Avaliação Comentada .............................................................................. 
 Pesquisa ................................................................................................... 
 
05 
05 
06 
07 
11 
15 
19 
27 
33 
41 
49 
57 
64 
72 
73 
78 
 
 Referências .............................................................................................. 80 
 Fonte das Imagens .................................................................................... 81 
 
 
Sumário 
 
 
5 
 
 
 Como visto no primeiro bimestre, na 1ª série do Ensino Médio, os conteúdos 
mais importantes são o conhecimento dos conjuntos numéricos e o estudo dasFunções. Neste bimestre vamos focar nossa atenção na função polinomial do primeiro 
grau. Consequentemente, falaremos também de forma introdutória, sobre a 
trigonometria no triângulo retângulo e em triângulos quaisquer. 
 
 
 
 No portal eletrônico Conexão Professor, é possível encontrar alguns materiais 
que podem auxiliá-los. Vamos listar estes materiais a seguir: 
 
 
 Teleaulas 
 
Telecurso: Aula 8 - Descrição: Aqui você pode visualizar a construção 
do sistema cartesiano a partir de uma situação problema. 
Endereço eletrônico: 
http://www.telecurso.org.br/matematica/ 
 
Telecurso: Aula 30 - Descrição: Aqui você pode visualizar uma 
abordagem contextualizada de aplicações em função do primeiro grau. 
Endereço eletrônico: 
www.telecurso.org.br/matematica 
 
Telecurso: Aula 45 - Descrição: Aula número 45. Uma abordagem para 
a aplicação da função do 1º grau. 
Endereço eletrônico: www.telecurso.org.br/matematica 
 
Orientações 
Pedagógicas do 
CM 
 
Nome: Jogando e Conhecendo o Plano Cartesiano 
Descrição: Neste site são apresentados jogos onde o aluno pode 
construir a ideia do sistema de coordenadas. Através de jogos é 
possível dar significado ao assunto. 
Endereço Eletrônico: 
http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=1913 
 
 
Materiais de Apoio Pedagógico 
 
Objetivos Gerais 
http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=1913
 
6 
 
A Função Afim – Um enfoque interdisciplinar 
Descrição: Neste artigo são propostas várias atividades para a 
construção da função afim, sempre baseado em situações cotidianas. 
Endereço Eletrônico: 
http://www.ccmn.ufrj.br/curso/trabalhos/pdf/matematica-
trabalhos/funcoesem/trabalhos%20 
%20aprovados/a%20fun%E7%E3o%20afim%20-
%20um%20enfoque%20interdisciplinar.pdf 
 
Artigo sobre Funções 
Descrição: Neste site o aluno pode encontrar artigos e diversas 
atividades sobre o estudo de funções. 
Endereço Eletrônico: 
 http://www.brasilescola.com/matematica/funcoes.htm 
 
 
 
 
 
 Para que os alunos realizem as Atividades referentes a cada dia de aula, 
sugerimos os seguintes procedimentos para cada uma das atividades propostas no 
Caderno do Aluno: 
1° - Explique aos alunos que o material foi elaborado para que o aluno possa 
compreendê-lo sem o auxílio de um professor. 
2° - Leia para a turma a Carta aos Alunos, contida na página 3. 
3° - Reproduza as atividades para que os alunos possam realizá-las de forma 
individual ou em dupla. 
4° - Se houver possibilidade de exibir vídeos ou páginas eletrônicas sugeridas na 
seção Materiais de Apoio Pedagógico, faça-o. 
5°- Peça que os alunos leiam o material e tentem compreender os conceitos 
abordados no texto-base. 
6° - Após a leitura do material, os alunos devem resolver as questões propostas 
nas ATIVIDADES. 
7° - As respostas apresentadas pelos alunos devem ser comentadas e debatidas 
com toda a turma. O gabarito pode ser exposto em algum quadro ou mural da 
 
Orientação Didático-Pedagógica 
http://www.brasilescola.com/matematica/funcoes.htm
 
7 
sala para que os alunos possam verificar se acertaram as questões propostas na 
Atividade. 
 Todas as atividades devem seguir esses passos para sua implementação. 
 
 
 
 Nas aulas anteriores, estudamos o que é uma função. Aprendemos também a 
representar o gráfico de diferentes tipos de funções. No universo matemático, 
existem algumas funções que, por sua contínua utilização no dia a dia, recebem um 
tratamento especial, isto é, são estudadas com maior profundidade. 
 Nesta aula, vamos aprender um pouco sobre uma destas funções. É a chamada 
função polinomial do 1° grau, também conhecida como função afim. 
 Esperamos que seja muito divertido e instrutivo para você. Bom estudo. 
 
1 ─ FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1º GRAU: 
 
 Denotamos função polinomial do 1º grau ou função afim a toda função do tipo: 
 
F (x) = a x + b , com a  0. 
 
 Você deve estar se perguntando por que a tem de ser diferente de zero? A 
resposta é simples! Note que se a = 0 temos y = 0 . x + b ,ou seja, y = 0 + b. Neste 
caso, anularíamos a variável e ficaríamos apenas com a parte constante: y = b. 
A função deixa de ser polinomial do primeiro grau, e passa a ser uma função 
constante. 
 Observe os exemplos: 
 
a) f(x) = 2x – 3  ( a = 2 e b = - 3) 
b) f(x) = - 5x + 2  ( a = - 5 e b = 2) 
c) f(x)= - x  ( a = - 1 e b = 0) 
 
Aula 1: Função Polinomial do primeiro Grau. 
 
8 
 É muito comum representar uma função do 1º grau por: y = a x + b, com 0a  . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Para cada valor de x, a função assume um valor y ou f(x), então podemos 
escrever um par ordenado como (x, y) ou (x, f(x)). Este par ordenado representa um 
ponto no plano cartesiano (x, y). Então usamos a notação f(x) = Y. Exemplos: 
 
a) f(x) = 2x - 3  y = 2x - 3 , 
b) f(x) = ─ 5x + 2  y = -5x + 2 
 
O domínio e a imagem desta função são números Reais, isto é, podemos 
atribuir qualquer valor Real para x e, automaticamente, será encontrado um valor Real 
para y. 
É interessante atentar para o fato do crescimento e decrescimento nesta 
função. O valor de y depende exclusivamente do valor atribuído a x, sendo assim, esta 
função permite modelar situações tanto de crescimento como de decrescimento 
proporcional. Vamos analisar alguns exemplos para que você compreenda melhor! 
 
EXEMPLO 01: 
Um taxista cobra por corrida R$10,00 Reais (bandeirada) e mais R$ 1,50 por 
quilômetro rodado. Qual a função que representa uma corrida com este taxista? 
 
Resolução: 
É evidente que a cada quilômetro percorrido, o taxímetro marcará mais R$1,50. 
Veja a tabela: 
Não há diferença entre 
escrever y ou f(x). 
Ambos representam a 
função. 
 
9 
Km percorrido Preço 
1 10 + 1 . 1,50 
2 10 + 2 . 1,50 
5 10 + 5 . 1,50 
X 10 + x . 1,50 
 
Analisando a tabelo, é possível perceber que a função será dada por 
f(x) = 1,50x + 10, onde f(x) é o valor a ser pago e x a quantidade de quilômetros 
percorridos. Temos então uma função polinomial do primeiro grau, onde a = 1,50 e b = 
10. 
Agora que tal exercitar um pouco? 
 
 
 
01. Escreva três exemplos de situações reais que podem ser modeladas através de 
uma função polinomial do 1° grau. 
 
Resolução: 
Qualquer função construída no formato f(x) = ax + b, mesmo com b = 0 deverá ser 
considerada. A única restrição é a diferente de zero. 
 
02. De acordo com a definição, uma função polinomial é representada por: 
f(x) = ax + b, com a  0. Escreva as seguintes funções dados a e b: 
 
a) a = 2, b = 3. 
b) a = -1, b = 5. 
c) a = 0, b = -3. 
d) a = -2, b = -7. 
 
Resolução: 
a) f(x)= 2x + 3 ou y = 2x + 3 
 
Atividade Comentada 1 
 
 
10 
b) f(x) = -x + 5 ou y = -x + 5 
c) A função não pode ser construída como função polinomial do primeiro grau, pois a = 
0. 
d) f(x) = -2x – 7 ou y = -2x - 7 
 
03. Dadas as funções, identifique o valor de a e b: 
 
a) f(x) = 2x – 5. 
b) y = -x + ½ 
c) y = 1 – x 
d) f(x) = 
 
 
 
 
Resolução: 
a) a = 2 e b = -5 
b) a = -1 e b = ½ 
c) a = -1 e b = 1 
d) a = ½ e b = -6 
 
04. Dadas as funções a seguir, defina quais são funções afim. Justifique suas respostas: 
 
a) y = x2 – 7. Não é afim, pois o expoente da variável é 2. 
b) y = 
 
 
 . É função afim. 
c) f(x) = 
 
 
 - 3. Não é função afim, pois a variável é o inverso de x, assim o expoente é -1. 
d) f(x) = 8. Não é função afim, pois a = 0. 
 
Resolução: 
a) Não é afim, pois o expoente da variável é 2. 
b) É função afim 
c) Não é função afim, pois a variável é o inverso de x, assim o expoente é -1. 
d) Não é função afim, pois a = 0. 
 
 
11 
05. Dada a função f(x) = 2x - 3, determine: 
 
a) f(1) 
b) f(-1) 
c) f(0) 
d) f(
 
 
) 
 
Resolução: 
a) f(1) = 2.1 – 3 = 2 – 3 = -1 
b) f(-1) = 2.(-1) – 3 = -2 – 3 = -5 
c) f(0) = 2.0– 3 = -3 
d) f(
 
 
) = 2. ½ - 3 = 
 
 
 – 3 = 1 – 3 = -2 
 
 
 
 
 Nesta aula vamos aprender a modelar alguns problemas com a função 
polinomial do primeiro grau. Você vai perceber que todos os dias nos deparamos com 
situações onde essa função se faz presente, e instintivamente, realizamos cálculos com 
ela. Através de alguns exemplos de aplicação da função polinomial do 1° grau, vamos 
levá-lo a compreender esse importante assunto: 
 
EXEMPLO 01: 
O custo da fabricação dos brincos de uma fábrica é 
dado pela função C(x) = 3x + 27, sendo x o número de 
brincos produzidos e C o custo em reais. Calcule: 
a) Qual o custo da fabricação de 200 brincos? 
b) E o custo da fabricação de 500 brincos? 
 
 
Aula 2: Situações Problemas sobre Funções 
 
12 
Resolução: 
 
a) Para calcular o custo da fabricação de 200 
brincos devemos calcular C(200), ou seja: 
C(x) = 3x + 27 , e sendo x = 200, temos que C(200) = 3 . 200 + 27, isto é, 
C(200) = 600 + 27 = 627. Então, conclui-se que C(200) = 627. 
Logo, o custo é igual a R$ 627,00. 
 
b) Para calcular o custo da fabricação de 500 brincos devemos calcular C(500), ou seja: 
substituir x = 500 na função dada: C(x) = 3x + 27. Então, teremos: 
C(500) = 3 . (500) + 27. 
Assim, C(500) = 1500 + 27. Conclui-se quem C(500) = 1527 
Logo, o custo é igual a R$ 1.527,00. 
 
 
EXEMPLO 02: 
Em uma sorveteria, o quilograma do sorvete é vendido a R$ 25,00, sendo que o 
cliente, após pesar o sorvete, pagando um acréscimo de R$ 3,00 pode acrescentar 
vários tipos de cobertura. Considerando x a quantidade de sorvete e y o valor a ser 
pago pelo sorvete, pede-se: 
a) Qual a função que define o valor a ser pago na compra do sorvete, levando-se 
em conta que não consumirá cobertura. 
b) Qual a função que define o valor a ser pago na compra do sorvete, incluindo a 
cobertura. 
c) Quanto pagarei se consumir 300 gramas de sorvete utilizando cobertura? 
d) Com R$8,00, quanto sorvete poderei comprar, se utilizar cobertura. 
 
Resolução: 
 Inicialmente, vamos construir uma tabela explicativa para o consumo de 
sorvete: 
 
 
 
13 
Peso Valor pago com cobertura Valor pago sem cobertura 
1 kg 25 . 1 + 3 25 . 1 
2 kg 25.2 + 3 25 . 2 
0,5 kg 25. 0,5 + 3 25 . 0,5 
 
a) Basta multiplicar o preço do sorvete pela quantidade consumida, assim, teremos: 
y = 25.x 
b) Análogo ao item anterior, o preço é dado pelo valor do quilo multiplicado pela 
quantidade consumida, porém, acrescido da taxa de R$3,00 da cobertura. Então, a 
função será dada por y = 25.x + 3 
c) Observe que 300 gramas de sorvete pode ser representado por 0,3 Kg. Como a 
função é dada por y = 25x + 3, vamos substituir x = 0,3 na função. Então, temos que 
y = 25 . 0,3 + 3. Conclui-se que o valor a ser pago é de R$ 10,50. 
d) Neste caso temos o valor a ser pago e precisamos calcular a quantidade. Como 
y = 25.x + 3, teremos que 8 = 25.x+3. Você se lembra como faz essa conta? Vamos 
relembrar!! 
1°) y = 25.x + 3, teremos que 8 = 25.x+3. 
2°) Subtraindo 3 de cada membro teremos: 
8 – 3 = 25x +3 ─ 3, 
5 = 25x 
X = 5 = 02 
 25. 
 Conclui-se que x = 0,2 Kg = 200 gramas de sorvete. 
 
OBSERVAÇÃO:: 
 Nas funções polinomiais do primeiro grau, quando b = 0, teremos a chamada 
função linear. Observe ainda que essa função é um caso típico de proporcionalidade, 
pois dependendo do sentido dessa função (crescente ou decrescente) teremos 
grandezas diretamente ou inversamente proporcionais. 
 
 
 
14 
 
 
01. O custo de fabricação dos carrinhos de brinquedo de uma fábrica está relacionado 
com a quantidade de carrinhos de acordo com a função C(x) = 2,5x + 50, calcule: 
 
a) O custo de fabricação de 50 carrinhos; 
b) O custo de fabricação de 80 carrinhos. 
 
Resolução: 
a) Vamos calcular C(50) = 2,5 . 50 + 50, logo C(x) = 125 + 50 = 175. Ou seja, o custo na 
fabricação de 50 carrinhos é de 175. 
b) Analogamente, faremos C(80) = 2,5 . 80 + 50, assim, C(80) = 200 + 50. Conclui-se que 
o custo na fabricação de 80 carrinhos é de 250. 
 
 02. O lucro de um artesão em função do número de peças vendidas é dado pela 
função L(x) = 6x - 3000. Pede-se: 
 
a) O número mínimo de peças vendidas para que não haja prejuízo é igual a: 
b) Qual o lucro para a venda de 250 peças? 
 
Resolução: 
a) Basta calcular L(x) =0. Visto que pelo enunciado, o lucro não pode ser negativo. 
Calculando a equação obtida temos 6x – 3000 = 0. Logo, 6x = 3000, e, x = 3000/6. 
Conclui-se então que o número mínimo de peças vendidas para não ter prejuízo é 500. 
b) Vamos calcular o lucro para 250 peças, ou seja L(250) = 6 . 250 -3000. 
L(250) = 1500 – 3000, temos que L(250) = -1500, conclui-se que com a venda de 250 
peças teremos lucro negativo, ou seja, prejuízo. 
 
03. Paulo recebe mensalmente R$ 2.000,00 fixos e mais R$ 100,00 por cada coleção de 
livros que ele vender. Seja x a quantidade de coleções de livros vendidas por Paulo e y 
 
Atividade Comentada 2 
 
 
15 
o salário total que Paulo irá receber. Qual a função que representa o salário final de 
Paulo. 
 
Resolução: 
Y = 2000 + 100x 
 
04. Em um restaurante, foi feita uma pesquisa para saber o custo na produção do 
alimento. 
 
 
 
 
 
Baseado nesta tabela, responda às questões: 
 
a) Qual o custo do restaurante caso não tenha produção de refeições? 
b) Escreva a função que define o custo do restaurante. 
 
Resolução: 
a) O custo para zero refeição, de acordo com a tabela é de 500,00. 
b) Uma função é na forma y = ax + b. Quando x = 0, teremos y = b, no caso o valor de b 
para x = 0 é 500. Temos então que y = ax +500. Vamos substituir os valores de x e y de 
acordo com a tabela: 650 = a. 50 + 500, conclui-se que 50.a=150, ou seja a = 3 
800 = a.100 + 500, conclui-se que 100.a = 300, ou seja a = 3. Podemos observar que o 
valor de a é igual a 3. Substituindo na função, teremos: y = 3x + 500. 
 
 
 
Uma das ideias mais interessantes estudadas no Ensino Fundamental é a 
questão da proporcionalidade. Você se lembra do conceito de proporcionalidade? 
Quantidade de 
refeições 
Custo 
0 500 
50 650 
100 800 
150 950 
 
Aula 3: Proporcionalidade e função linear 
 
16 
Na Grécia antiga, a partir dos estudos do Matemático Tales de Mileto 
começamos a tomar consciência da utilização da proporcionalidade. Ele descobriu que 
dadas duas ou mais grandezas, é possível que elas cresçam ou diminuam de forma 
constante. 
Vejamos um bom exemplo que podemos observar em nossa sala de aula. Se 
cada aluno precisa de dois cadernos, dois alunos vão necessitar de quatro cadernos e 
assim por diante. Observe a tabela: 
 
 
 
 
 
 
É evidente que o número de cadernos deve ser o dobro do número de alunos. 
Assim, podemos escrever a seguinte função polinomial do primeiro grau: y = 2x. 
Observe que não há valor de b, sendo assim, chamaremos este tipo de função de 
função linear. 
Seguem alguns exemplos para ilustrar esse conceito: 
 
EXEMPLO 01: 
Um motorista mantém seu carro numa estrada com uma velocidade constante de 60 
km/h. Responda: 
a) Em quanto tempo ele percorrerá 240 km? 
b) Quando quilômetros ele percorrerá em 3h? 
 
Resolução: 
 Esse problema envolve conceitos de proporcionalidade e função linear. 
Observe a tabela a seguir: 
t (em horas) d (em km) 
1 60 
2 120 
3 180 
t d = 60.t 
Número de 
alunos 
Número de 
cadernos 
1 2 
2 4 
3 6 
4 8 
x 2x 
 
17 
 Quando isso ocorre entre duas grandezas dizemos que elas são diretamente 
proporcionais, e na linguagem matemática, podemos dizer que duas grandezas são 
diretamente proporcionais se para cada valor de x de uma delas corresponde um valor 
y na outra, satisfazendo as condições: 
 
i. Quanto maior for x, maior será y 
ii. Se dobrarmos, triplicarmos, etc. o valor de x, então, o valor correspondente de y 
também será aumentando na mesma quantidade. 
 
 Essa correspondência de x e y que satisfazessas duas condições chama-se 
proporcionalidade. Mas, e se o valor ao invés de aumentar, ele diminuir na mesma 
proporção? Neste caso, dizemos que os valores x e y são inversamente proporcionais. 
 Interessante, não é? Então, vamos testar o que aprendemos nesta aula? 
 
 
 
01. Sejam L a medida do lado e P o perímetro de um quadrado. Verifique se a 
correspondencia de L em P é uma proporcionalidade. Justifique a sua resposta: 
 
Resolução: 
Sabemos que o perímetro é dado pela soma dos lados. Sendo assim, vamos analisar 
quadrados com diferentes tamanhos: 
 
Lado Perímetro 
1cm 1 + 1 + 1 + 1 = 4 cm 
2 cm 2 + 2+ 2 + 2 = 8 cm 
3 cm 3 + 3 + 3 + 3 = 12 cm 
X cm x + x + x + x = 4 x cm 
 
 Obviamente, a correspondência é uma proporcionalidade direta. Quanto maior o lado 
do quadrado, maior será seu perímetro. 
 
Atividade Comentada 3 
 
 
18 
 
02. Considere L a medida do lado e A a medida da área de um quadrado. A 
correspondencia de L em A é uma proporcionalidade? Justifique a sua resposta: 
 
Resolução: 
De maneira análoga vamos investigar a relação entre lado e área, lembrando que a 
área deum quadrado de lado x é dado por x . x, isto é, x2. 
 
Lado Área 
1cm 1 . 1 = 2 cm2 
2 cm 2 . 2 = 4 cm2 
3 cm 3 . 3 = 9 cm2 
x cm x . x = x2 cm2 
 
Então, é claro perceber que não há crescimento proporcional entre as grandezas lado e 
área. Enquanto o lado aumenta a cada uma unidade, o crescimento da área não 
acompanha na mesma proporção. 
 
03. Uma loja de eletrodomésticos lança uma promoção relâmpago. Nessa promoção, 
todas as notas fiscais receberão sobre o preço final um desconto de 10%. Pede-se: 
 
a) A função que representa o valor a ser pago após o desconto de 10%? 
b) Quanto um cliente pagará se comprar R$5600,00? 
c) Até que valor em mercadorias poderei comprar se tenho R$2.700,00 para gastar? 
 
Resolução: 
a) Podemos representar 10% pelo decimal 0,1, sendo assim, para calcular 10% sobre 
um montante, basta multiplicar esse montande por 0,1. Como o total é de 100%, após 
descontar os 10% o cliente pagará apenas 90% da mercadoria. Este percentual por ser 
representado pelo decimal 0,9. 
Representaremos a quantidade vendida pela variável x e o valor a ser pago pela 
variável y. Fica então y = 0,9 x 
 
19 
b) Lembrando que y = f(x), podemos escrever então como f(x) = 0,9 x. Calculando 
f(5600) teremos: f(5600) = 0,9 . 5600. Então, F(5600) = 5040,00. 
c) Dada a função y = 0,9x, como temos o valor de y, basta substituir e calcular x. 
0,9x = 3000, isolando a variável teremos: x = 
 
 
, conclui-se que x = 3.000,00. 
 
04. Em uma padaria o quilograma do pão custa R$ 5,50. Detemine. 
 
a) O preço pago por 2 Kg de pão. 
b) O preço pago por 500 gramas de pão. 
c) A função que define a relação entre o preço do quilograma de pão e o valor a ser 
pago. 
 
Resolução: 
a) 2 . 5,50 = 11,00 
b) O preço pago por 500 gramas de pão equivale a 0,5 quilograma, assim, teremos 0,5 . 
5,50 = 2,75 
c) A função que define a relação entre o preço do quilograma de pão e o valor a ser 
pago. Vamos considerar y como sendo o valor a ser pago e x a quantidade de pão 
adquirida. Logo, a função será dada por y = 5,5 x. 
 
 
 
 No plano cartesiano, o gráfico da função polinomial do 1º grau é representado 
por uma reta. Uma forma de construir esse grafico é conhecer os dois pontos 
principais da reta: o ponto onde o gráfico intersecta o eixo x e o ponto onde o gráfico 
intersecta o eixo y. 
 
 
 
 
 
Aula 4: Gráfico da função polinomial do 1° grau 
 
20 
1 - INTERSEÇÃO COM O EIXO X: 
 
 Na intersecção com o eixo x, temos que f(x) = 0, ou seja, isso significa que y = 0 , 
logo, x será a raiz da equação ax + b = 0. 
 Se resolvermos a equação ax + b = 0, temos que: ax = ─ b. Isolando a variável 
temos: x = 
 
 
 . 
 Podemos concluir que o ponto de intersecção da reta com o eixo x é dado por 
(─ b/a, 0). 
 
2 - INTERSEÇÃO COM O EIXO Y: 
 
 Na intersecção da reta com o eixo y, teremos que x = 0, isto é, na função 
y = ax + b, quando x = 0 teremos y = a . 0 + b, o que implica dizer que y = b. 
Concluimos então, que a interseção da reta com o eixo y é representada no ponto (0, 
b). 
 É claro que podemos determinar infinitos outros pontos da reta, porém estes 
dois nos são satisfatórios para a função afim. 
 Na função linear, o gráfico sempre intersecta o eixo x no ponto (0,0) e 
consequentemente também intersecta o eixo y no mesmo ponto. Assim teremos 
apenas um ponto, o que não define uma reta. Como proceder nesses casos? É simples! 
Sabendo que o domínio da função polinomial do primeiro grau é o conjunto dos 
números Reais, podemos atribuir a x qualquer valor desse conjunto. 
 
EXEMPLO 01: 
Vamos construir o gráfico da função linear y = 2x. 
 
Resolução: 
 Vamos começar calculando a raiz, que conforme já estudamos, é dada por: 
x = ─b/a. Então, considerando x =0,temos que x = 0/2 = 0. Definimos assim o ponto 
(0,0). Como a interseçao da reta com o eixo x ocorre no mesmo ponto que a 
interseção com o eixo y, precisamos de um outro ponto qualquer para construir a reta. 
 
21 
 Aleatoriamente escolhemos um valor Real qualquer. No desejo de não fazer um 
gráfico muito grande, vamos atribuir um valor menor, 2 por exemplo. Calculando x= 2 
temos y = 2 . 2 = 4. Assim, quando x = 2 temos y = 4. Temos então dois pontos 
conhecidos: (2,4) e ( 0,0). Basta agora, marcar os pontos no plano cartesiano e traçar 
a reta. 
 
 
EXEMPLO 02: 
Faça um esboço do gráfico da função f(x) = 3x + 6. 
 
Resolução: 
 Para construir esse gráfico, vamos encontrar os pontos de interseção com os 
eixos, ou seja, vamos calcular f(x) = 0 e x = 0. 
 
1°) f(x) = 0 
3x + 6 = 0 
3x = -6 
x = - 6/3 
x = - 2 
 O ponto de interseção com x é (-2, 0). Agora vamos calcular x = 0: 
 
 
 
22 
2°) x = 0 
f(x) = 3 . x + 6 
f(0) = 3 . 0 + 6 
f(0) = 6 
 Esse é o ponto (0, 6). 
 
 Para construi a reta, basta localizar os pontos (0, 6) e (─ 2, 0) na reta. O 
gráfico, é a reta que passa por esses dois pontos: 
420-2-4
15
10
5
0
-5
x
y
x
y
3*x + 6
 
EXEMPLO 03: 
Faça um esboço do gráfico da função f(x) = -2x + 4. 
 
Resolução: 
Fazendo f(x) = 0 temos: 
-2x+4 = 0 
-2x = -4 
x = -4/-2 
x = 2 
 Esse é o ponto (2, 0). Agora fazendo x = 0: 
 
f(0) = -2(0) + 4 
f(0) = 0 + 4 
f(0) = 4 
 
23 
 Esse é o ponto (0, 4). Agora basta localizar os pontos no gráfico: 
 
3210-1
6
4
2
0
-2
x
y
x
y
4 - 2*x
 
 Os exemplo 01 e 02, representam gráficos crescentes e o exemplo 03, 
decrescente. Uma função é dita crescente quando ao aumentarmos os valores de x, os 
valores correspondentes de y também aumentam, por outro lado, uma função é 
decrescente quando ao aumentarmos os valores de x, os valores correspondentes de y 
diminuem. Escrevendo em uma linguagem matemática podemos dizer que: uma 
função do 1º grau do tipo f(x) = ax+b será crescente quando a > 0 e decrescente 
quando a < 0. 
 Na função do 1º grau f(x) = ax+b, chamamos o coeficiente a de coeficiente 
angular, pois ele indica a inclinação da reta em relação ao eixo x e o coeficiente b é 
chamado de coeficiente linear, pois é o valor de y onde o gráfico intersecta o eixo das 
ordenadas (y). 
 O valor de x para que f(x) = 0, ou seja, a raiz da equação ax+b = 0, é chamado de 
zero da função. 
 
 
 
01. Faça um esboço do gráfico das funções: 
 
a) f(x) = 2x – 6 b) f(x) = x + 8 c) f(x) = 2x d) f(x) = -3x 
 
Atividade Comentada 4 
 
 
24 
Resolução: 
a) A interseção com x é dada por x = -b/a, segue que x = 6/2 = 3. Temos o ponto (3,0) 
Intersecção com y é (0,-6). Marcando os pontos no plano cartesiano, temos: 
 
 
b) A Intersecção com o eixo x é dada por x = -b/a, segue que x = -8/1 = -8. Temos o 
ponto (-8,0). A intersecção com y é (0,8). Marcando os pontos no plano cartesiano, 
temos: 
 
 
c) y = 2x 
x y = 2x 
2 4 
12 
 
 
25 
d) y = -3x 
x y = -3x 
1 -3 
0 0 
 
 
 
02. Dada a função f(x) = kx+6, calcule o valor de k para que f(3) = 12. 
(DICA: Substitua os valores de x e y na função dada.) 
 
Resolução: 
Se f(3) = 12 teremos 3x + 6 = 12, logo, 3x = 12 – 6 
Temos que 3x = 6, conclui-se que x = 2. 
 
03. Dada a função f(x) = 2x – 1, determine: 
 
a) f(2) = 2.2 – 1 = 4 – 1 = 3 
b) f(-1) = 2. (-1) -1 = -2 – 1 = -3 
c) f(1) = 2.1 – 1 = 2 – 1 = 1 
d) f(0) = 2.0 – 1 = 0 – 1 = -1 
e) f( ½ ) = 2.( ½ ) – 1 = 1 – 1 = 0 
 
04. Determine a raiz e o coeficiente linear em cada função: 
 
a) y = 2x – 1 
b) f(x) = x – 3 
c) f(x) = x 
d) f(x) = -3x +1 
 
 
26 
Resolução: 
a) y = 2x – 1 
x = -b/a = ½ 
Raiz = ½ 
Coeficiente linear = -1 
 b) f(x) = x – 3 
x = -b/a = 3/1 = 3 
Raiz = 3 
Coeficiente linear = -3 
c) f(x) = x 
x = -b/a = 0/1 = 0 
Raiz = 0 
Coeficiente linear = 0 
d) f(x) = -3x +1 
x = -b/a = -1/-3 = 1/3 
Raiz = 1/4 
Coeficiente linear = 1 
 
05. Verifique em cada caso quando a função é crescente ou decrescente. 
 
a) f(x) = -x + 4 
b) y = 2 – 3x 
c) f(x) = x 
d) f(x) = 2x – 1 
 
Resolução: 
a) a =-1, isto é, a < 0 . A função é decrescente 
b) a =-3, isto é, a < 0 . A função é decrescente 
c) a =1, isto é, a > 0 . A função é crescente 
d) a = 2, isto é, a > 0 . A função é crescente 
 
 
27 
 
 
Nas aulas anteriores aprendemos um pouco sobre funções, especialmente 
sobre a função polinomial do primeiro grau. Aprendemos a reconhecer uma função 
afim e também a função linear em sua forma algébrica. Estudamos como encontrar a 
raiz da função bem como a intersecção com o eixo y. Aprendemos também sobre os 
coeficientes a e b da função. 
Nesta aula, vamos inverter esse processo, pois até então nós partíamos da 
representação algébrica para construir o gráfico. Agora a proposta é inversa: a partir 
de um gráfico, vamos definir a expressão algébrica da função, e analisar o seu 
comportamento. Vamos lá? Observe o gráfico a seguir: 
 
EXEMPLO 01: 
3210-1
6
4
2
0
-2
x
y
x
y
4 - 2*x
 
 Como podemos determinar os valores dos coeficientes a e b? 
Muito simples! Basta observar onde o gráfico da função intersecta o eixo y. 
Temos então o valor do coeficiente b, para o nosso exemplo 1, temos que b = 4. E, 
para encontrar o coeficiente a, observamos a variação da função. Note que, enquanto 
 
Aula 5: Reconhecimento de uma função a partir do gráfico 
 
28 
x está variando em duas unidades, em y temos uma variação de quatro unidades. Já 
vimos que x = -b/ a . De forma equivalente podemos escrever a = - b/ x . Sabendo 
que b = 4 e aplicando o ponto ( 0, 2 ), temos que: a = -4/2 = -2. 
 Note que essa função é decrescente, com isso, atribuímos o sinal negativo ao 
valor de a. Concluímos assim que a função que descrever o gráfico é f(x) = ─´2x + 4. 
 
EXEMPLO 02: 
Neste exemplo, vamos fazer uma análise criteriosa da função, observe: 
 
 
 Inicialmente é preciso conhecer a forma algébrica dessa função. Para isso, 
vamos lembrar que toda função polinomial do primeiro grau é uma reta e se escreve 
algebricamente na forma y = ax + b. 
 Precisamos identificar dois pontos nessa reta, assim considerar os pontos 
A(-1,1) e B(2,-1). 
 Substituindo os valores de x e y na função y = ax+b temos o sistema: 
 1 = ─ a + b 
 ─ 1 = 2a + b 
 
 
29 
 Vamos resolver esse sistema pelo método da substituição. Caso não se recorde, 
não se preocupe, vamos explicá-lo passo a passo! 
 
1° Passo: Encontrar as equações que formam o sistema. Na primeira equação, isolando 
b, temos: 
 
1 = -a + b 
1+ a = b ou b = ( 1 + a ) 
 
2° Passo: Substituir o valor de b na outra equação: 
 
1 = 2a + b 
 -1 = 2a + (1+a) 
-1 = 2a + 1 + a 
-1 = 1 + 3a 
-1-1= + 3a 
-2 = 3a  a = -2/3 
 
3° Passo: Podemos agora substituir o valor encontrado para a na primeira equação: 
 
b = 1 + a 
b = 1 + (-2/3) 
b = 1- 2/3 
b = 3/3 – 2/3 
b = 1/3 
 
 Como y = ax + b, temos que 
 
 
 
 
 
 
 
 Note que como a função é decrescente o sinal de a obrigatoriamente é 
negativo, pois a deve ser menor que zero. 
 
 
30 
 
 
01. Dados os gráficos das funções reais, escreva a função f(x) = ax + b correspondente. 
 
a) 
 
 
b) 
 
 
Atividade Comentada 5 
 
Resolução: 
 
O valor de b = 2. 
Como a raiz é dada por x = –b/a, 
e sabendo que a raiz é 2, temos: 
 2 = -2/a, logo a = -1 
Podemos escrever y= ax + , ou seja, 
 y = ─ x +2. 
Resolução: 
 
O valor de b= 2 
Como a raiz é dada por x = –b/a, 
e sabendo que a raiz é -2, temos: 
 -2 = -2/a, logo a = 1 
Podemos escrever y=ax + b, ou seja, 
y = x +2 
 
31 
02. Em cada gráfico identifique e escreva a raiz da função, o valor de b, e se o valor de 
a é positivo ou negativo. 
 
a) b) 
 
c) d) 
 
 
 
32 
a) x = 1; b= -4 e a >0 
b) x = -1; b = -1 e a <0 
c) x = -3; b = 3 e a>0 
d) x = 1; b = 5 e a < 0 
 
03. A seguir é apresentado um gráfico do espaço em função do tempo. 
 
Pede-se: 
a) A expressão que define o espaço em função do tempo. 
b) O espaço inicial. 
c) O espaço percorrido após 5 segundos. 
d) O espaço total percorrido em 10 segundos. 
 
Resolução: 
a) A intersecção da reta com o eixo y (aqui representado por s (espaço) é 50, logo, na 
função, b=50. 
Em 10 segundos o espaço percorrido é 250, visto que partiu do espaço 50, terá 
percorrido 200 metros em 10 segundos, o que equivale a dizer que a cada segundo, 
proporcionalmente, percorreu 20 metros. No caso, a = 20. Assim teremos: 
S = 20 t + 50 
b) O espaço inicial se dá quando t=0, isto é s = 50 metros 
c) Vamos calcular S(5) = 20.5 + 50 = 100 + 50 = 150 
d) Vamos calcular S(10) = 20 . 10 + 50 = 200 + 50 = 250 
 
 
 
33 
04. Verifique se os pontos abaixo pertencem a função definida no gráfico: 
 
a) (-1,0) 
b) (-1,1) 
c) (2,4) 
d) (1,1) 
 
Resolução: 
Inicialmente precisamos definir a forma algébrica da função. 
O valor de b = 2. 
Como a raiz é dada por x = –b/a, e sabendo que a raiz é -2, temos: -2 = -2/a, logo a = 1 
Podemos escrever y=ax + b  y = x +2 
Para verificar se os pontos pertencem a reta, substituimos x e acharemos y. Se o ponto 
for pertencente a reta, encontraremos uma igualdade. Sendo assim, teremos que: 
a) (-1,0) 0 = -1 +2  0  1. Não pertence 
b) (-1,1) 1 = -1 + 2  1 = 1. Pertence 
c) (2,4) 4 = 2 + 2  4 = 4. Pertence 
d) (1,1) 1 = 1 + 2  1  3. Não pertence 
 
 
 
 
34 
 
 
Uma das muitas aplicações da função polinomial do primeiro grau é na 
economia. Aprendemos nas aulas passadas como essa função é utilizada na 
modelagem de problemas envolvendo proporcionalidade. É fácil entender que através 
dessa função, podemos observar o crecimento ou descrescimento de determinada 
atividade financeira, desde que essa atividade tenha como modelo a função polinomial 
do primeiro grau. 
Como exemplo, vamos nos ater ao seguinte problema: 
 
EXEMPLO 01: 
O Lucro de uma determinada empresa é modelado de acordo com a função 
L(x) = 5x ─ 200. Sendo x a quantidade de material produzido por essa empresa, qual a 
quantidade necessária para que o lucro seja positivo? 
 
Resolução: 
Inicialmente precisamos achar o lucro zero, isto é, quando a função é zero. 
Aprendemos que a função terá y = 0 no ponto que representa a raiz da função, 
assim, devemos calcular qual o valor de x que anula esta função. Observe que na 
função temos: a = 5 e b = ─ 200. Então: 
x = ─ b/a 
x = ─( 200)/5 
x = 40. 
 
Como a interceção da função com o eixo y é no ponto (0,─200), podemos 
facilmente traçar um gráfico, pois sabemos que essa reta intersepta x em x=40 e y em 
y= ─200. 
 
Aula 6: Estudo do Sinal da Função polinomial do 1° Grau. 
 
35 
 
 
Note que quando x = 40 a função está sobre o eixo x, isto é, vale zero. Neste 
caso, não há lucro e nem prejuízo.Se a quantidade produzida for maior que 40, a reta 
está acima do eixo x, ou seja, o lucro é positivo, e caso a produção seja menor que 40, 
teremos lucro negativo ou prejuízo. 
Fácil? Então vamos ao próximo exemplo! 
 
EXEMPLO 02: 
Pedro tem uma firma de reparos e cobra R$ 50,00 e mais R$ 10,00 por hora de 
trabalho. Seu irmão João oferece os mesmos serviços e com a mesma qualidade, 
porém, cobra a visita R$ 30,00 e R$ 15,00 a hora trabalhada. Qual destes profissionais 
devo chamar caso precise de seus serviços técnicos? 
 
Resolução: 
 Que dúvida, chamo o Pedro ou o João? Sabe qual a resposta? Ela depende do 
tempo gasto! Vamos construir uma função para cada caso, sabendo que ambas as 
expressões estão em função do tempo, que chamaremos de h (hora). 
 
 Pedro: P(h) = 50 + 10h ( R$50,00 de visita e R$10,00 por cada hora trabalhada) 
 João: J(h) = 30 + 15h (R$30,00 de visita e R$15,00 por cada hora trabalhada) 
 
36 
Vamos descobrir quando os preços são iguais, para isso faremos J(h )= P(h). Observe os 
cálculos a seguir: 
30 + 15h = 50 + 10h 
15h – 10h = 50 – 30 
5h = 20, 
h = 4 horas. 
 
 O que isso significa? Significa que se o serviço for de 4 horas de duração, 
qualquer um dos profissionais cobrará o mesmo preço. 
 E se número de horas for menor que 4? Qual devemos chamar? 
 Por exemplo, se o trabalho for de 3 horas de duração? Vamos substituir em 
cada função: 
P(3) = 50 + 10 . 3 = 80 
J(3) = 30 + 15 . 3 = 75 
 
 É evidente que se o tempo de duração for menor que 4 horas, devemos chamar 
o João, visto que cobrará um preço inferior ao cobrado por Pedro, obviamente 
mantendo a mesma qualidade de serviço. Entretanto, se a quantidade de horas 
trabalhadas for superior a 4 horas, é melhor contratar os serviços do João. 
 Por exemplo, 5 horas de trabalho, implicam que: 
 
P(5) = 50 + 10 . 5 = 100 
J(5) = 30 + 15 . 5 = 105 
 
EXEMPLO 03: 
Outro exemplo de aplicação prática é simplesmente estudarmos o sinal da função. Por 
exemplo, vamos estudar o sinal da função f(x) = ─ x +2. 
 
Resolução: 
 Inicialmente precisamos conhecer a raiz ou zero dessa função. Para isso, 
considere que a = ─ 1 e b = 2. 
 
 
37 
x = ─ b/a 
x = ─2/─1 
x = 2 
 
 Como o gráfico é uma reta crescente (o sinal de a é menor que zero), podemos 
analisar sobre o eixo x. Para saber qual o sinal da função para valores maiores e 
menores que 2, basta atribuirmos um exemplo de cada! Vamos considerar x = 1 e 
x = 4. 
 Vamos verificar qual o sinal de y para cada caso: 
X = 4  f(4) = ─ 4 + 2. X = 1  f(1) = ─ 1 +2. 
f(4) = ─ 2. f(1) = + 1. 
 
 Para valores de x maiores que 2, f(x) é negativo (está abaixo do eixo x) 
 Para valores de x menores que 2, f(x) é positivo (está acima do eixo x) 
 Para x igual a 2, teremos a função igual a zero. 
 
 
 
01. Dada a função afim definida pela expressão y = 2x – 6, determine: 
 
a) A raiz da função. 
b) A interseção da reta com o eixo y. 
c) O gráfico. 
d) O estudo da variação do sinal da função. 
 
Atividade Comentada 6 
 
 
38 
Resolução: 
a) A raiz da função é dada por x = -b/a  x = -(-6)/2  x =6/2  x = 3 
b) A interseção da reta com o eixo y ocorre em b = -6, ou seja, a intersecção se dará no 
ponto (0,-6) 
c) O gráfico: 
 
d) Se x =3 então f(x) = 0 
 Se x > 3 então f(x) > 0 
 Se x < 3 então f(x) < 0 
 
02. A academia BOA FORMA está em promoção. Oferece seus serviços a partir de uma 
matrícula de R$70,00 e mensalidade no valor de R$40,00. Sua concorrente, a academia 
SAÚDE DE FERRO, cobra apenas R$20,00 de matrícula, porém a mensalidade custa 
R$65,00. Baseado nestas informações, responda: 
 
a) Qual a expressão que representa o valor a ser pago em função do tempo para a 
academia BOA FORMA; 
b) Qual a expressão que representa o valor a ser pago em função do tempo para a 
academia SAÚDE DE FERRO. 
c) Para malhar 6 meses, qual das academias será vantajosa, levando em conta que os 
serviços prestados são os mesmos? 
d) Em que condição o preço de ambas as academias será o mesmo? 
 
39 
Resolução: 
a) Seja B o valor a ser pago e x a quantidade de meses de atividade na academia, 
teremos: 
B(x) = 70 + 40x 
b) Seja S o valor a ser pago e x a quantidade de meses de atividade na academia, 
teremos: 
S(x) = 20 + 65x 
c) B(x) = 70 + 40x  B(6) = 70 + 40.6  B(6) = 310 
S(x) = 20 + 65x  S(6) = 20 + 65.6  S(6) = 410 
A academia BOA FORMA é vantajosa, pois custa R$100,00 menos. 
d) S(x) = B(x)  20 + 65 x = 70 + 40x  65x – 40x = 70 – 20  25x = 50 
Concluindo, malhando 2 meses o preço das academias é igual. 
 
03. Faça o estudo da variação do sinal em cada uma das funções a seguir: 
 
a) f(x) = 2x – 4 
b) f(x) = x – 3 
c) f(x) = -x +1 
d) f(x) = 2x -3 
 
Resolução: 
a) f(x) = 2x – 4 
x = -b/a  x = -(-4)/2  x = 2. Como a função é crescente, teremos: 
Se x = 2 então f(x) = 0 
Se x > 2 então f(x) > 0 
Se x < 2 então f(x) < 0 
b) f(x) = x – 3 
x = -b/a  x = -(-3)/1  x = 3. Como a função é crescente, teremos: 
Se x = 3 então f(x) = 0 
Se x > 3 então f(x) > 0 
Se x < 3 então f(x) < 0 
 
 
40 
c) f(x) = -x +1 
x = -b/a  x = -1/-1  x = 1. Como a função é decrescente, teremos: 
Se x = 1 então f(x) = 0 
Se x > 1 então f(x) < 0 
Se x < 1 então f(x) > 0 
d) f(x) = 2x -3 
x = -b/a  x = -(-3)/2  x = 3/2. Como a função é crescente, teremos: 
Se x = 3/2 então f(x) = 0 
Se x > 3/2 então f(x) > 0 
Se x < 3/2 então f(x) < 0 
 
04. A função lucro de uma determinada empresa é definida pela expressão 
L(x) = 5x – 400. Seja x a quantidade de material produzido (em toneladas) por essa 
empresa. Determine: 
 
a) Para que valor de x não há lucro e nem prejuízo? 
b) No mínimo quantas toneladas de material a empresa deve produzir para ter lucro 
positivo. 
c) represente o gráfico da função lucro; 
 
Resolução: 
a) Não haverá lucro e nem prejuízo quando acontecer L(x) = 0, 
então: 
5x – 400 = 0  5x = 400  x = 80 toneladas de material. 
b) Será positivo se L(x) maior que zero. 
5x -400 > 0  5x > 400  x > 80 toneladas de material. 
c) O grafico ao lado representa a Função Lucro. 
 
 
 
 
 
 
 
41 
 
 
Muitas vezes nos deparamos com situações que despertam muita curiosidade 
acerca de suas criação! Um bom exemplo é a construção representada na figura 
abaixo. Como o carpinteiro mediu o comprimento das madeiras? E a inclinação 
(ângulo), que recursos ele utilizou? 
Observe que podemos formar vários triângulos nessa construção. Analise o 
desenho um pouco mais e verifique quantos triângulos você consegue identificar. 
Compare com seus colegas. 
 
Figura 1 
 
Na matemática existe um recurso interessante que nos ajuda a calcular tanto 
os ângulos quanto as medidas. É a trigonometria no triângulo retângulo. 
A palavra trigonometria vem do grego e pode ser dividida em três partes: 
tri+gono+metria, ou seja, medida dos três ângulos. 
Nesta aula veremos como encontrar lados e ângulos dos triângulos retângulos. 
 
1 ─ RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIANGULO RETÂNGULO: 
 
Observe a figura que representa o triângulo AA´D e a posição do ângulo . Ao 
aumentarmos os lados do triângulo, não significa que estamos aumentando o ângulo, 
pois ele se mantém constante. 
 
Aula 7: Razões trigonométricas no triângulo retângulo 
 
 
42 
Os matemáticos da antiguidade descobriram que ao dividirmos os lados dos 
triângulos, encontraremos valores constantes, isto é, ao dividir um cateto do triângulo 
pela hipotenusa no triângulo menor encontraremos o mesmo valor dividirmos o cateto 
pela hipotenusa correspondente no triângulo maior. Mas como posso dividir números 
maiores e menores e achar o mesmo resultado? É uma questão de proporcionalidade. 
Atentos a essas razões, digamos, especiais, os matemáticos nomearam cada 
uma delas. Na figura abaixo você pode observar três triângulos retângulos 
semelhantes, e assim fazer as seguintes razõesrelacionadas ao ângulo α: 
 
 Seno  = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Cosseno  = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Tangente  = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Observe como classificar os lados dos triângulos de acordo com a posição dos 
ângulos  e : 
 
Figura 2 Observe que no desenho o tamanho do triângulo 
não interfere no valor das constantes, mas, a 
inclinação das retas sim. Além disso, essas regras 
servem apenas para os triângulos retângulos. 
 
 
43 
 
 De acordo com as figuras acima, podemos escrever as razões da seguinte: 
 
 
 
 
 
 
 
OBSERVAÇÕES IMPORTANTES: 
 
1. Tendo conhecimento do seno e do cosseno de um determinado ângulo, outra 
maneira prática de calcular a tangente é fazendo a divisão do seno pelo cosseno. Isto 
é, seja um ângulo  qualquer, temos que tg  = 
 
 
 . 
2. Você pode notar que sen  = cos β, de mesma forma, sen β = cós . Isso se deve ao 
fato dos ângulos  e b serem complementares, ou seja, a soma dos ângulos é igual a 
90º. 
 
EXEMPLO 01: 
Encontrar estas razões em nosso dia a dia é mais comum do que parece. No desenho 
abaixo, vemos um triângulo com as suas medidas. Baseado nessas medidas, calcule as 
razões trigonométricas dos ângulos α e β. 
sen α = 
 
 
 
 
 
 
cos α = 
 
 
 
 
 
 
tg α = 
 
 
 
 
 
 
sen β = 
 
 
 
 
 
 
cos β = 
 
 
 
 
 
 
tg β = 
 
 
 
 
 
 
 
44 
 
Figura 3 
Resolução: 
Observe que na figura a hipotenusa mede 5m, e os catetos medem respectivamente, 
3cm e 4cm. Verifique ainda que, o cateto oposto ao ângulo  mede 4cm, e o adjacente 
a  , 3cm. Com relação ao ângulo , temos o inverso: cateto oposto a  mede 3cm e o 
adjacente, 4cm. Analisada a figura, basta aplicar a formula: 
 
sen α = 4/5 
cos α = 3/5 
tg α = 4/3 
sen β = 3/5 
cos β = 4/5 
g β = ¾ 
 
EXEMPLO 2: 
No triângulo abaixo vemos as seguintes medidas x cm e 50 cm, então calcule o valor de 
x. Dado tg 20° = 0,37. 
 
Resolução: 
 Como a tangente de um ângulo é dada pela razão entre cateto oposto e cateto 
adjacente, teremos: 
 
45 
tg 20º = x / 50, substituindo tg 20° = 0,37 teremos: 
0,37 = x/50. 
x = 0,37 . 50 
x = 18,5 cm. 
 
EXEMPLO 03: 
Niemeyer foi um arquiteto que gostava muito de projetar prédios fora do comum, por 
esse motivos ele se tornou mundialmente conhecido. A figura abaixo mostra uma de 
suas obras com as seguintes medidas: 
Considere dados: sen α = 0,8; cos α = 0,5 e tg α = 1,7. 
 
 
Figura 4 
 Calcule o valor de x e y? 
 
Resolução: 
 Como temos o cateto adjacente ao ângulo , vamos calcular a hipotenusa com 
a razão cosseno. 
Cosseno  = cateto adjacente a  
 hipotenusa. 
 
 Substituindo os valores dados no exemplo, teremos: 
0,5 = 30/y 
y = 30/0,5. 
y = 60 m. 
 
46 
 Agora que sabemos o valor da hipotenusa, podemos utilizar a razão seno para 
calcular o lado x que é oposto ao ângulo . 
 
Seno  = cateto oposto a  
 hipotenusa. 
 
 Substituindo os valores dados, teremos: 
0,8 = x/60 
x = 0,8 . 60. 
x = 48 m. 
 Vamos verificar se você aprendeu? Resolva os exercícios abaixo e em caso de 
dúvidas, retorne aos exemplos. 
 
 
 
01. Sabendo-se que cos α = 0,96, calcule a medida x do lado maior deste triângulo. 
 
 
Resolução: 
Como nós temos apenas o cateto adjacente e a hipotenusa, vamos utilizar a razão 
cosseno. 
0,96 = 
 
 
 
0,96 x = 15 
x = 
 
 
 
x = 15,625 m 
 
 
Atividade Comentada 7 
 
47 
02. Analise a figura abaixo e encontre a medida de y, em seguida, calcule também a 
medida x da parede. Dados os valores: tg α = 0,83. 
 
Figura 5 
Resolução: 
Inicialmente vamos calcular o valor de y. Como tg α = 0,83, temos que 0,83 = 
 
 
 , 
consequentemente, y = 
 
 
. Conclui-se que y = 1,2 m. Sendo assim, a medida do foro do 
telhado será 1,2 + 3 = 4,2. Pelo mesmo processo, podemos agora calcular a altura x da 
parede. Desse modo, 0,83 = 
 
 
, segue que x = 4,2 . 0,83. Conclui-se que x é 
aproximadamente 3,49 m. 
 
03. Analise o triângulo abaixo e calcule cada valor pedido: 
 
 
a) sen α b) cos α c) tg α 
d) ses β e) cos β f) tg β 
 
Resolução: 
Para resolver estas questões, basta substituir os valores dos lados do triângulo nas 
razõs que já estudamos. 
 
48 
b) sen α = 
 
 
 
b) cos α = 
 
 
 
c) tg α = 
 
 
 
d) sen β= 
 
 
 
e) cos β = 
 
 
 
f) tg β = 
 
 
 
 
04. Em um triângulo ABC, retângulo em A, o valor da hipotenusa é 20 cm, se o sen = 
 
 
. Determine o valor AB e AC. 
 
Resolução: 
Vamos calcular o valor de AC utilizando a razão seno. 
sen B = 
 
 
 substituindo teremos: 
 
 
 
 
 
. Aplicando o principio da proporcionalidade 
teremos 5.AC = 4.20 
5.AC = 80 
AC = 
 
 
 . Conclui-se que AC = 16 cm. 
Para calcular o lado AB utilizaremos o teorema de Pitágoras: a2 = b2 + c2 
202 = 162 + AB2 , calculando teremos: 400 = 256 + AB2 
AB2 = 400 – 256 
AB2 = 144, segue que AB = , concluindo, AB = 12 cm 
 
05. No triângulo equilátero abaixo, calcule a medida x indicada. Dados sen 40° = 
 
 
, cos 
40° = 
 
 
, tg 40° = 
 
 
. 
 
49 
 
 
Resolução: 
O segmento vertical é perpendicular à base, logo divide o triângulo equilátero em dois 
triângulos retângulo, cujos lados são 8, 4 e x. 
Vamos utilizar a razão seno: sen 40º = 
 
 
 . Substituindo os dados do 
problema: 
 
 
 = 
 
 
, aplicando a propriedade teremos: 
5.x = 3.8 
5.x = 24, 
x = 
 
 
 
x = 4,8 
 
 
 
Dentro do estudo da trigonometria, alguns ângulos são utilizados com maior 
frequência, por esse motivo são chamados de ângulos notáveis, e devido a esse 
constante uso, recebem atenção especial. Nesta aula, vamos conhecer esses ângulos e 
desenvolver algumas atividades com os mesmos. 
 
1 ─ ÂNGULOS NOTÁVEIS: 
 
Para o desenvolvimento desta aula, destacamos os ângulos de 30°, 45° e 60°. 
Dada a frequência com que são utilizados na resolução de diversos problemas do 
 
Aula 8: Alguns ângulos notáveis 
 
 
50 
cotidiano, os valores de seno, cosseno e tangente desses ângulos podem ser 
memorizados, a fim de agilizar a aplicação dos mesmos em alguma atividade. 
A seguir é dada a tabela com os valores das razões trigonométricas para estes 
ângulos. 
 
 
 
 
 Na figura a seguir você verá a imagem de um homem medindo o ângulo 
formado verticalmente. E, com esse ângulo dado podemos calcular a altura e a 
distância do homem a torre. 
 
Figura 6 
 
 
 Figura 7 
 
 
 30° 45° 60° 
sen 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
cos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
tg 
 
 
 1 
Esse é o teodolito. Um tipo de telescópio 
montado em cima de um tripé, para ser 
usado de várias formas, uma delas é 
medir os ângulos verticais e horizontais. 
Como foi mostrado na figura acima. 
 
Não esqueça que 
o seno de um 
ângulo é igual ao 
cosseno do seu 
complementar. 
 
51 
2 - RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS: 
 
Usando as razões trigonométricas abaixo, podemos calcular qualquer lado do 
triangulo, tendo apenas um ângulo e um dos lados, veja as razões trigonométricas 
abaixo e leia os exemplos que se seguem: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Veja nos exemplos a seguir, como utilizar a tabela de ângulos para encontrar 
valores nos triângulos: 
 
EXEMPLO 01: 
Usando a tabela de ângulos, descubra o valor de x: 
 
Resolução: 
 O valor de x é o cateto oposto ao ângulo 30° . Desse modo, utilizaremos a razão 
seno: 
Sen 30 = x/10. 
½ = x/10, 
2x = 10 
x = 5. 
sen α = 
 
 
 
 
cos α = 
  
 
 
 
tg α = 
 
 
 
 
52 
 
EXEMPLO 02: 
De acordo com o esquema abaixo calcule o valorde x e de y: 
 
 
Resolução: 
 Analisando o desenho da escada, observe que conhecemos o cateto adjacente 
ao ângulo. Vamos calcular o cateto oposto. Para isto, utilizaremos a razão tangente. 
tg 45º = y/3, logo, 1 = y/3. Conclui-se que y = 3 m. 
Para determinar a hipotenusa (x), podemos utilizar o cosseno ou o seno, visto que já 
temos os dois catetos. Utilizaremos a razão cosseno. Pela formula apresentada, tem 
que: Cosseno 45º = 3/x. Sendo cos 45°=
 
 
 . Basta igualar as razões: 
 
 2
2
= 
3
x
 
 
x = 
 
 
 
 
Racionalizando o denominador: x = 
 
 
 =
 
 
 
 
 
. Dividindo 6 por 2, teremos 
que x = 3 m 
 
 
 
 
53 
EXEMPLO 03: 
 Na figura, temos dois jovens medindo o ângulo no teodolito. Para encontrar a altura 
do muro, eles precisam de um dos lados do triangulo rosa. Encontre-o e descubra a 
altura x. 
 
 Mais uma vez é possível utilizar a razão tangente, visto que temos a medida do 
cateto adjacente. Vamos calcular a medida do cateto oposto ao ângulo dado, para isso 
chamaremos o cateto oposto de z. 
Tg 30º = z/3. Como tg 30º = 
 
 
 = 
 
 
 
3z = 3 . Conclui-se então que z = 
Z é aproximadamente igual a 1,73 m 
Como x é a altura do muro somado com a altura do aparelho, teremos: 
X = 0,7 + 1,73 
X = 2,43 m 
 Vamos exercitar um pouco? Em caso de dúvidas, retorne aos exemplos. 
 
 
 
01. Usando a tabela de ângulos importantes, calcule o valor de x no triângulo: 
 
Atividade Comentada 8 
 
54 
 
 
Resolução: 
Sen 30º = 
 
 
 . Substituindo, teremos: 
 
 
 
 
 
 
X = 2 . 10, conclui-se que x = 20 cm. 
 
02. No esquema abaixo temos duas velas e os seguintes ângulos 30° e 60°, determine a 
altura das velas do barco. 
 
Resolução: 
Em ambos os casos, como não temos a hipotenusa, iremos utilizar a razão tangente. 
 Cálculo da vela menor: Tg 30º = 
 
 
 substituindo pelo valor da tabela teremos: 
 
 
 
 
 
  , isolando a variável x, teremos: x = 
 
 
. Precisamos racionalizar 
esta fração, para isto multiplicaremos tanto o numerador quanto o denominador por 
 . Temos então: 
 
 
. Segue que 
 
 
 conclui-se então que a vela menor mede 
 metros, que vale aproximadamente 1,73 metros. 
 
55 
 
 Cálculo da vela maior: Utilizaremos a mesma razão trigonométrica para calcular 
a altura da vela maior: a tangente. Sendo assim, temos: tg 60º = 
 
 
, substituindo pelo 
valor encontrado na tabela, teremos: 
 
 
 segue que: y = 
 
 
. Igual ao exercício 
anterior, vamos racionalizar esta fração. Encontraremos que y = 
 
 
. Para achar o 
valor da altura da vela maior, vamos substituir por 1,73. Temos então: y = 
 
 
 , 
calculando temos que y = 
 
 
 conclui-se então que a altura da vela maior é 
aproximadamente 1, 86 metros. 
 
03. Analise o triângulo abaixo e descubra a medida da altura: 
 
Resolução: 
Ao traçarmos a altura dividiremos a base em duas partes iguais com 13 cm cada. 
Teremos então dois triângulos retângulos, onde a altura será o cateto oposto. Como o 
cateto adjacente é conhecido, podemos utilizar a razão tangente mais uma vez. 
Vamos chamar a altura de h, então calculando tg 30º = 
 
 
, e substituindo pelo valor 
encontrado na tabela, teremos: 
 
 
= 
 
 
 . Resolvendo a proporção: 3h = 13 , e 
Isolando a variável teremos: h = 
 
 
. 
Mais uma vez é preciso substituir o valor por 1,73. Lembre-se que estamos 
trabalhando com um número irracional, isto é, não é um valor preciso e sim 
aproximado. 
h = 
 
 
 = 
 
 
 = 7,5 cm. 
 
56 
04. No esquema abaixo vemos três casas distantes entre si. Responda: 
 
Figura 8 
 
a) Qual a distância entre a casa de Ana e a escola? 
b) A distância entre o Correio e a casa de Ana é: 
 
Resolução: 
a) Neste exercício temos o cateto adjacente ao ângulo e precisamos calcular a 
hipotenusa do triângulo. Usaremos a razão cosseno: cos 45º =
 
 
, como cos 45 = 
 
 
, 
teremos que: 
 
 
 = 
 
 
. Multiplicando teremos: 
x Isolando a variável teremos x = 
 
 
. Racionalizando a fração teremos: 
 
 
 = 
 
 
 = 800 Admitindo 
Teremos: 800 . 1,41 = 1128 metros. 
 
b) Agora precisamos encontrar o valor do cateto oposto. Neste caso, utilizaremos a 
razão seno. 
Sen 45º = 
 
 
 , substituindo temos: 
 
 
 
 
 
 
2y = 1128 , isolando a variável teremos: y = 
 
 
 
Y = 564 , substituindo por 1,41 teremos: y = 564 . 1,41 
Conclui-se que a distância entre o correio e a casa de Ana é 795,24 m. 
 
57 
05. Determine a altura da torre já que o ângulo encontrado pelo teodolito foi um 
ângulo especial. Usando a tabela descubra: 
 
Figura 9 
Resolução: 
Para resolver este exercício temos o cateto adjacente ao ângulo e precisamos 
encontrar o valor do cateto oposto a este mesmo ângulo. Assim, utilizaremos a razão 
tangente. 
Tg 45º = 
 
 
  1 = 
 
 
 conclui-se que a altura da parte da torre representada 
é 47 metros. Vamos agora adicionar a altura do teodolito e teremos a altura da torre. 
47 m + 1,5 m = 48,5 metros. 
 
 
 
 Caro aluno, nesta aula você estudará uma importante propriedade da 
trigonometria, a lei dos senos. Esta lei estabelece uma importante relação entre as 
medidas dos lados de um triângulo qualquer e seno de ângulos agudos e obtusos. 
 
1─ SENO DE ÂNGULOS OBTUSOS: 
 
Nas aulas anteriores, vimos senos de ângulos agudos, nesta sessão veremos 
como calcular valores de senos dos ângulos obtusos, o triangulo abaixo, mostra a 
diferença entre os ângulos. 
 
Aula 9: Lei dos Senos. 
 
58 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 O seno de um ângulo obtuso é igual ao seno do ângulo suplementar desse 
ângulo. Resumindo, queremos dizer que: 
sen x = sen (180° - x) 
 Então se desejamos calcular o valor de sen 120°, por exemplo, basta calcular: 
 
sen 120° = sen (180° - 120°) 
sen 120° = sen 60° 
sen 120° = 
 
 
 
 
2 - LEI DOS SENOS: 
 
 Observe a seguinte situação problema: 
 
 A seleção da Argentina, no ano de 2011, sob o comando de Alejandro Sabella, 
usava a triangulação como tática de jogo. Esse esquema facilita o jogo na hora de dar 
passes e na marcação. Como saber a distância entre os jogadores Messi e Gago na 
Os ângulos obtusos são os 
ângulos maiores que 90° e 
ângulos agudos, são os 
menores que 90°. 
 
59 
hora que congelarem a imagem, e verem que, nesse momento, um triângulo foi 
formado por três jogadores que representam os vértices? 
 
 
Figura 10 
 
 Em qualquer triângulo as medidas dos lados do triângulo são proporcionais aos 
senos dos ângulos opostos. Veja: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXEMPLO 01: 
 No triângulo abaixo, determine o valor de x. 
 
60 
 
Resolução: 
Substituindo os dados apresentados no triângulo na lei dos senos, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
Como os senos de 45° e senos de 30° são conhecidos, o problema está resolvido!! 
x
 2
2
= 
5
1
2
 
1
2
 . x = 5 . 
 2
2
 
X = 5 
 
EXEMPLO 02: 
Obtenha o seno do ângulo obtuso, e em seguida calcule o valor de x. 
 
 Resolução: 
 Substituindo os valores do problema na lei dos senos, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
61 
 No entanto, 135° não é um ângulo notável. Como vamos descobrir o valor de 
sen (135°)? É simples! Já estudamos nesta aula que: sen (135°) = sen ( 180° - 135° ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
X . = 2 
X = 
 
 Agora, que tal exercitar um pouco!!! 
 
 
 
01. Encontre o valor de a no triângulo: 
 
Resolução: 
Nesse triângulo temos, lado a oposto ao ângulo 45°, 8 oposto ao ângulo 60°. 
 
 
 
 
 
 
Substituindo os senos pelas frações: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Atividade Comentada 9 
 
 
62 
 = 
a = 
 
 
 
a =02. Obtenha o valor de x no triângulo: 
 
 
Resolução: 
Nesse triângulo temos: lado 5 ângulo 45°, lado x ângulo 30°. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
03. Obtenha o seno do ângulo obtuso, e calcule o valor de x no triângulo: 
 
 
63 
Resolução: 
No triângulo acima temos um ângulo obtuso, então encontraremos o suplemento 
desse ângulo para resolver a questão. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 . 
 
04. Maloca é o nome que se dá há várias habitações indígenas de uma mesma tribo. É 
um nome também empregado para designar uma aldeia indígena. Na figura abaixo 
vemos uma dessas habitações. Determine a medida das madeiras usadas para 
construir essa Maloca. 
 
Figura 11 
Resolução: 
 No desenho acima temos: lado x oposto ao ângulo 60°, lado 3 oposto ao ângulo 
60°. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
X = 3 
 
64 
05. A seleção da Argentina, no ano de 2011, sob o comando de Alejandro Sabella, 
usava a triangulação como tática de jogo. Esse esquema facilita o jogo na hora de dar 
passes e na marcação. Encontre a distância entre os jogadores Messi e Gago na hora 
que congelaram a imagem. 
 
Figura 12 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
X = 2. 
 
 
 
Caro aluno, nesta aula você estudará uma importante propriedade da 
trigonometria: a lei dos cossenos. Essa lei estabelece uma importante relação entre as 
medidas dos lados de um triângulo qualquer e cosseno de ângulos agudos e obtusos. 
 
1- COSSENO DE ÂNGULOS OBTUSOS: 
 
Nas aulas anteriores, vimos cossenos de ângulos agudos, nesta sessão, veremos 
como calcular os valores dos cossenos dos ângulos obtusos. O triangulo abaixo, mostra 
a diferença entre os ângulos. 
 
Aula 10: Lei dos Cossenos. 
 
65 
 
 
 O cosseno de um ângulo obtuso é igual ao cosseno do ângulo suplementar 
desse ângulo. Observe: 
cos x = - cos (180° - x) 
 
 Então, por exemplo, para calcular o valor de cos 135°, basta fazer o seguinte: 
 
cos 135° = - cos (180° - 135°) 
cos 135° = - cos 45° = - 
 
 
 
 
2 - LEI DOS COSSENOS: 
 
 Vamos explicar a lei dos cossenos, através da seguinte situação problema: 
 
No ramo da construção civil, as figuras geométricas estão continuamente 
presentes, mas uma das figuras bastante utilizada é o triângulo, nesse projeto vemos 
uma casa com esse formato. Na Lei dos Cossenos podemos calcular a medida de 
qualquer lado, tendo o ângulo oposto ao lado e as medidas dos segmentos que 
formam o ângulo. 
 
 
66 
 
Figura 13 
 
 Em qualquer triângulo, o quadrado da medida de um lado é igual à soma dos 
quadrados das medidas dos outros dois lados, menos duas vezes o produto das 
medidas desses lados pelo cosseno do ângulo formado por eles. Escrevendo em uma 
linguagem matemática, temos: 
 
 
 α 
 β 
 
 
EXEMPLO 01: 
 No triângulo abaixo, determine o valor de a. 
 
67 
 
Resolução: 
 Aplicando a lei dos cossenos, temos: 
 
 
 
a² = 36 + 100 – 2 
 
 
 
a² = 36 + 100 – 60 
a² = 76 
a = 
a = 
a = 
 
EXEMPLO 02: 
Calcule o valor de x no triangulo: 
 
Resolução: 
 Aplicando a lei dos cossenos, temos: 
 
68 
 
 
 
c² = 36 + 25 – 2 
 
 
 
c² = 36 + 25 – 30 
c² = 61 - 30 
c = – 
 
EXEMPLO 03: 
Obtenha o cosseno do ângulo obtuso e calcule o valor de x no triangulo. 
 
Resolução: 
 
 
 
 
a² = 4 + 25 – 2 
 
 
 
a² = 4 + 25 + 10 
a² = 39 
a = 
 
 Viu como é simples!! Leia o problema, anote os dados informados e aplique na 
lei! Agora, vamos fazer alguns exercícios para testar seus conhecimentos! 
 
 
 
 
 
69 
 
 
01. Encontre o valor de x no triângulo: 
 
Resolução: 
Aplicando a lei dos cossenos temos, a = x e seu ângulo oposto 60°. 
 , substituindo. 
 
a² = 16 + 49 – 2 
 
 
 
a² = 16 + 49 - 28 
a² = 37 
a = 
 
02. Determine o valor de b no triângulo abaixo: 
 
 
Atividade Comentada 10 
1010
 Definindo Plano Cartesiano 
 
 
70 
Resolução: 
No triângulo acima temos que encontrar o valor de b, sabendo que os valores de a e c 
são iguais e vale 6, aplicando a lei dos cossenos, , e 
substituindo. 
 
b² = 36 + 36 – 2 
 
 
 
b² = 36 + 36 – 36 
b² = 36 
b = 
b = 6 
 
03. Obtenha o cosseno do ângulo obtuso e calcule x no triângulo: 
 
Resolução: 
Antes de calcular os valores na fórmula, calcule o suplemento do ângulo obtuso, não 
esqueça que o valor do cosseno do ângulo obtuso é igual ao angulo menos o seu 
suplemento.. 
 , substituindo. 
 
 
a² = 16 + 100 + 2 
 
 
 
a² = 16 + 100 + 40 
a² = 156 
a = 
a = 
 
 
71 
04. O Triângulo das Bermudas é uma das partes do mundo mais temidas pelos 
navegantes, esse território tem a fama de ser muito perigoso, pelo seu grande numero 
de acidentes registrados. Nesse triangulo as cidades de Miami e San Juan estão 
localizada nos vértices A e B respectivamente. Descubra o valor de x no mapa abaixo: 
 
Figura 14 
 
Resolução: 
Usando a lei dos cossenos para calcular x no mapa acima. 
 , substituindo. 
 
a² = 64 + 49 – 2 
 
 
 
a² = 64 + 49 - 56 
a² = 113 - 56 
a = 
 
05. Na construção desse casa triângular foi usado um grande caibro representado pela 
letra x na figura. Analise as medidas indicadas e descubra o valor de x: 
 
72 
 
Figura 15 
 
Resolução: 
No desenho acima vemos uma casa em que queremos medir quantos metros tem o 
telhado, para isso usaremos a lei dos cossenos. 
 , substituindo. 
 
a² = 25 + 49 – 2 
 
 
 
a² = 25 + 49 - 35  a² = 39  a = 
 
 
 
 Caro Professor Aplicador, sugerimos duas diferentes formas de avaliar as turmas 
que estão utilizando este material: uma avaliação e uma pesquisa. 
 Nas disciplinas em que os alunos participam da Avaliação do Saerjinho, pode-se 
utilizar a seguinte pontuação: 
 
 Saerjinho: 2 pontos 
 Avaliação: 5 pontos 
 Pesquisa: 3 pontos 
 
Avaliação 
 
 
73 
 
 Nas disciplinas que não participam da Avaliação do Saerjinho podem utilizar a 
participação dos alunos durante a leitura e execução das atividades do caderno como 
uma das três notas. Neste caso teríamos: 
 
 Participação: 2 pontos 
 Avaliação: 5 pontos 
 Pesquisa: 3 pontos 
 
 A seguir apresentaremos as avaliações propostas neste caderno para este 
bimestre. Abaixo você encontrará o grupo de questões que servirão para a avaliação dos 
alunos. As mesmas questões estão disponíveis para os alunos no Caderno de Atividades 
Pedagógicas de Aprendizagem Autorregulada – 02. 
 
 
 
Segue o gabarito das questões da avaliação proposta no caderno de atividades 
do aluno: 
 
01. O proprietário de uma lanchonete descobriu que na produção do hambúrguer 
comum gasta R$ 1,25 de material em cada unidade, além disso, tem um gasto fixo de 
R$ 97,00 por conta de gás e outros materiais. Qual a função que representa o custo (C) 
total na produção dos hambúrgueres em função da quantidade produzida (x). 
 
(A) C(x) = 1,25 + 97x (B) C(x) = (1,25 + 97).x (C) C(x) = 97 + 1,25x 
(D)C(x) = 1,25 x (E) C(x) = 97 – 1,25x 
 
Resolução: 
A parte fixa é 97 e a parte que está em função da quantidade é 1,25. Assim, C(x) = 97 
+ 1,25x 
 
Avaliação Comentada 
 
7402. Na função polinomial do primeiro grau v(t) = 2t – 4 e t(x) = 3x – 4. Determine V(t) 
quando x = 1. 
 
(A) -2 
(B) -1 
(C) -6 
(D) -10 
(E) 0 
 
Resolução: 
t(1) = 3.1 – 4  t(1) = 3 – 4  t(1) = -1 
Como t = -1, vamos calcular v(t): 
v(-1) = 2 (-1) -4  v(-1) = -2 – 4  v(-1) = -6 
 
03. Raquel emprestou R$ 500,00 a juros simples para um amigo na taxa de 6% ao mês. 
Qual a função J(t) que define o total de juros a ser pago pelo amigo de Raquel após um 
intervalo t de tempo. 
 
(A) J(t) = 6t 
(B) J(t) = 500t 
(C) J(t) = 500 + 30t 
(D) J(t) = 30t 
(E) J(t) = 30 + 500t 
 
Resolução: 
A cada mês Raquel pagará 6% de 500 de juros, como 6% de 500 é igual a 30, temos que 
mensalmente o valor pago de juros é 30. Como temos t meses, a função será: J(t) = 30t 
 
 
 
 
 
 
75 
04. No gráfico a seguir é correto afirmar que: 
 
 
 
 
 
05. Qual a função que melhor representa o gráfico 
 
 
 
(A) f(x) = x - 2 
 (B) f(x) = x + 2 
 (C) f(x) = -x + 2 
 (D) f(x) = -x - 2 
 (E) f(x) = -2x 
 
Resolução: 
A função é decrescente, isto 
é, a <0 e tem b = 2 
 
 
(A) a = 0; b= 2; raiz 3 
(B) a > 0; b=3; raiz 2 
(C) a > 0; b= 2; raiz 3 
(D) a < 0; b = 2; raiz 3 
(E) a < 0; b = 3; raiz 2; 
 
Resolução: 
A reta é decrescente, logo a <0 . Corta 
o eixo y em (0,3), logo b = 3. Corta o 
eixo x no ponto (2,0), logo a raiz é 2. 
 
 
76 
06. Em uma fábrica o lucro é calculado a partir da função L(x) = 5x – 100. L(x) é o lucro 
em função da quantidade de caixas vendidas. Baseado nesta afirmação, assinale a 
única afirmação correta: 
 
(A) O ponto de equilíbrio, ou seja, quando não há lucro ou prejuízo, será definido 
quando x = 40 caixas. 
(B) Se a fábrica vender 20 caixas terá lucro. 
(C) A fábrica terá lucro com a venda superior a 20 caixas. 
(D) A fábrica terá lucro a partir da venda de 100 caixas. 
(E) A fábrica terá lucro para qualquer produção. 
 
Resolução: 
Estudando o sinal da função, temos raiz x = -(-100)/5  x = 20. Como a função é 
crescente, ela será positiva para valores de x maiores que 20. 
 
07. Observe as seguintes razões a partir do ângulo  interno em um triângulo 
retângulo; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 . Ao citar essas razões, 
estamos falando respectivamente de: 
 
(A) seno, cosseno e tangente 
(B) tangente seno e cosseno 
(C) tangente, cosseno e seno 
(D) cosseno, seno e tangente 
(E) seno, tangente e cosseno 
 
08. Em um triângulo retângulo a hipotenusa mede 8 cm. Calcule a medida do lado 
oposto ao ângulo de 30°. 
 
(A) 
(B) 2 
(C) 6 
(D) 
(E) 4 
 
77 
Resolução: 
sen 30o = x/8  0,5 = x/8  x = 0,5 . 8. Conclui-se que x = 4. 
 
09. Sabendo que sen 85o = 0,99, podemos afirmar que a medida do lado b no triângulo 
abaixo é aproximadamente: 
 
(A) 8 cm 
(B) 7 cm 
(C) 19 cm 
(D) 20 cm 
 (E) 16 cm 
 
Resolução: 
De acordo com a tabela dos ângulos notáveis, sabemos que sen 30º = ½ , ou seja, 0,5. 
Utilizando a lei dos senos teremos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Assim, 
 
 
 
 
 
  
 
 
 
 
 
  0,5 b = 8 . 0,99  0,5 b = 7,92  b = 
 
 
 = 15,84 
A resposta aproximada é 16 cm. 
 
10. Seja o triângulo ABC com as seguintes medidas: AB = 6 cm, AC = cm e BC = 5 
cm. Determine a medida do ângulo B. 
 
(A) 90º 
(B) 30º 
(C) 60º 
(D) 45º 
(E) 65º 
 
78 
Resolução: 
Vamos aplicar a lei dos cossenos para encontrar o ângulo B: 
b2 = a2 + c2 – 2.a.c.cos B 
 2 = 52 + 62 – 2.5.6.cos B 
31 = 25 + 36 – 60 cos B 
31 = 61 – 60 cos B 
31 – 61 = -60.cos B 
- 30 = -60 cos B 
cos B = 
 
 
  cos B = ½ Pela tabela, sabemos que no triângulo o cosseno será ½ 
quando o ângulo for 60º . 
 
 
 
 Professor Aplicador, agora que o aluno já estudou todos os principais assuntos 
relativos ao 2° bimestre, é hora de discutir um pouco sobre a importância deles em 
suas vidas. 
 É um momento onde a busca do conhecimento é aguçada, trazendo o aluno 
para um universo diferente, onde as respostas buscadas se tornam desafios, tirando 
muitas vezes o aluno de um estado de acomodação e contribuindo para formar novos 
pesquisadores. 
 Na pesquisa você provavelmente encontrará diversos respostas distintas, por 
isso, neste documento não responderemos as questões propostas. O aluno deverá 
responder a pesquisa após interagir com os colegas, assistir a videos, pesquisar na 
internet ou em literaturas diversas. 
 Oriente-o a ler atentamente as questões respondendo cada uma delas de 
forma clara e objetiva. 
 
ATENÇÃO: Não se esqueça de ressaltar a importância de identificar as Fontes de 
Pesquisa, ou seja, o nome dos livros e sites os quais foram utilizados. 
 
 
Pesquisa 
 
79 
 Seguem algumas sugestões e propostas para a realização da pesquisa referente 
aos assuntos do 2° Bimestre: 
 
 I – Apresente algumas situações do cotidiano onde podemos empregar a função 
polinomial do primeiro grau. 
 
Espera-se como resposta a esta questão, qualquer função descrevendo um fato 
cotidiano, por exemplo: no cálculo da conta de energia elétrica, no cálculo da conta de 
abastecimento de água, nas relações de proporcionalidade, na associação de 
quantidade de produtos comprados e preço final, na associação de jornada de trabalho 
e salário, etc. 
 
II – Faça uma pesquisa sobre a utilização da função polinomial do primeiro grau no 
estudo da física. Quais assuntos são abordados onde essa função se faz presente. 
 
Pode ser feito um link com as atividades de Física, A velocidade em função do tempo, O 
espaço em função da velocidade, obviamente, no movimento uniforme. 
 
III – Pesquise em jornais e revistas alguns exemplos de gráficos de funções afim ou 
linear, verificando se a função é crescente ou decrescente. 
(ATENÇÃO: Fazer esta parte da atividade em uma folha separada! ) 
 
O aluno deve procurar gráficos em jornais e revistas. Os gráficos serão representados 
por retas. Busque essa associação gráfica da função polinomial do primeiro grau. 
 
IV – Assista ao vídeo sugerido sobre função polinomial do primeiro grau, e escreva 
suas observações sobre esta função. Qual a sua aplicabilidade no dia a dia e como é 
abordado em Matemática. 
O vídeo está disponível em http://www.youtube.com/watch?v=sx_RC5KR1dY 
 
A resposta é de cunho pessoal e irá ajudar o professor tutor a perceber se o aluno 
absorveu os conceitos de função polinomial do primeiro grau. 
http://www.youtube.com/watch?v=sx_RC5KR1dY
 
80 
 
 
[1] IEZZI, Gelson; MURAKAMI, Carlos. Fundamentos de Matemática Elementar 1: 
Conjuntos e funções. 8 ed. São Paulo: Atual, 2006 
[2] IEZZI, Gelson; ET al. Matemática, Ciências e Aplicações 1; 6ª edição.São Paulo; 
Saraiva, 2010. 
[3] SMOLE, Kátia Stocco; DINIZ, Maria Ignez. Matemática Ensino Médio; 5ª edição. São 
Paulo; Saraiva. 2008 
[4] LIMA, Elon Lages; ET al. A Matemática do Ensino Médio; volume 1; Rio de Janeiro, 
Sociedade brasileira de Matemática, 2006 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Referências 
 
 
81 
 
 
[1] Figura 1: http://clubeconstrucao.com.br/profiles/blog/list?tag=segredos 
[2] Figura 2: http://stor.pt.cx/feiramatik/2010/09/20/trigonometria-introducao/ 
[3] Figura 3: http://blog.rostev.com/2009_03_01_archive.html 
[4] Figura 4: http://www.arcoweb.com.br/arquitetura/oscar-niemeyer-centro-cultural-08-05-
2007.html 
[5] Figura 5: http://lorenaarquiteta.blogspot.com.br/2010/05/funcao-e-as-partes-de-um-
telhado.html 
[6] Figura 6: 
http://recursostic.educacion.es/multidisciplinar/wikididactica/index.php/Uso_del_teodolito 
[7] Figura 7: http://teresina.olx.com.br/teodolito-digital-topcon-iid-168006536 
[8] Figura 8: 
http://www.anossaescola.com/cr/testes/torresdemelo/2011provabrasilmatematicabloco1non
oano.htm