gabarito DERIVADAS funções trigonométricas

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Nome: GABARITO.......................................................................................................................................... 
 Turma: ................................................................................. Data: ......./......../2020 
PARTE 01 – Exercícios guiados de limites e derivadas de funções trigonométricas 
1. Determine os l imites a seguir, uti l ize o limite fundamental 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎
 𝒔𝒆𝒏𝒙
𝒙
= 𝟏 
a) lim
𝑥→0
𝑥2 − 5𝑥 + 𝑠𝑒𝑛 𝑥
2𝑥
 → lim
𝑥→0
𝑥2 − 5𝑥 + 𝑠𝑒𝑛 𝑥
2𝑥
= lim
𝑥→0
𝑥2
2𝑥
− lim
𝑥→0
5𝑥
2𝑥
+ lim
𝑥→0
𝑠𝑒𝑛 𝑥
2𝑥
 
lim
𝑥→0
𝑥2 − 5𝑥 + 𝑠𝑒𝑛 𝑥
2𝑥
= lim
𝑥→0
𝑥
2
− lim
𝑥→0
5
2
+
1
2
lim
𝑥→0
𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝑥
 
lim
𝑥→0
𝑥2 − 5𝑥 + 𝑠𝑒𝑛 𝑥
2𝑥
= lim
𝑥→0
0
2
− lim
𝑥→0
5
2
+
1
2
lim
𝑥→0
𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝑥
= 0 −
5
2
+
1
2
= −𝟐 
b) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
𝑠𝑒𝑛5𝑥
𝑠𝑒𝑛2𝑥
 → 𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
𝑠𝑒𝑛5𝑥
𝑠𝑒𝑛2𝑥
= lim
𝑥→0
5𝑥
𝑠𝑒𝑛5𝑥
5𝑥
2𝑥
𝑠𝑒𝑛2𝑥
2𝑥
 
𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
𝑠𝑒𝑛5𝑥
𝑠𝑒𝑛2𝑥
= lim
𝑥→0
5𝑥
2𝑥
. lim
𝑥→0
𝑠𝑒𝑛5𝑥
5𝑥
𝑠𝑒𝑛2𝑥
2𝑥
=
𝟓
𝟐
 
2. Determine a derivada de primeira ordem d as funções a seguir: 
a) 𝑓(𝑥) = (𝑠𝑒𝑛 𝑥 + cos 𝑥). 𝑠𝑒𝑐 𝑥 → 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛 𝑥. 𝑠𝑒𝑐 𝑥 + cos 𝑥 . sec 𝑥 
mas 𝑠𝑒𝑐𝑥 =
1
cos 𝑥
 e 𝑡𝑔𝑥 =
𝑠𝑒𝑛 𝑥
cos 𝑥
 logo 𝑓(𝑥) = 𝑡𝑔 𝑥 + 1 
assim 𝒇′(𝒙) = 𝒔𝒆𝒄𝟐𝒙 
 
b) 𝑓(𝑡) =
𝑠𝑒𝑛 𝑡
1+𝑐𝑜𝑠 𝑡
 
u = sen t → u’ = cos t 
v = 1 + cos t → v’ = - sen t 
𝑓′(𝑡) =
𝑐𝑜𝑠 𝑡 . (1 + cos 𝑡) − 𝑠𝑒𝑛𝑡 . (−𝑠𝑒𝑛 𝑡)
(1 + 𝑐𝑜𝑠 𝑡)2
 
𝑓′(𝑡) =
𝑐𝑜𝑠 𝑡 + cos2 𝑡 + 𝑠𝑒𝑛2𝑡
(1 + cos 𝑡)2
=
1 + cos 𝑡
(1 + cos 𝑡)2
 
𝒇′(𝒕) =
𝟏
𝟏 + 𝐜𝐨𝐬 𝒕
 
 
 
 
2 
 
 
Nome: ........................................................................................................................................................... 
 Turma: ................................................................................. Data: ......./......../2020 
PARTE 02 – Exercícios guiados de limites e derivadas de funções trigonométricas 
3. 
a) Calcule a derivada da função 𝑓(𝑥) = 𝑥. 𝑠𝑒𝑛 2𝑥 no ponto 𝑥 = 𝜋. 
𝑓′(𝑥) = 1. 𝑠𝑒𝑛 2𝑥 + 𝑥. 2𝑐𝑜𝑠2𝑥 
𝑓′(𝜋) = 𝑠𝑒𝑛 2𝜋 + 𝜋. 2𝑐𝑜𝑠2𝜋 
𝒇′(𝜋) = 𝟐𝝅 
 
 b) Calcule a derivada de terceira ordem da função 𝑓(𝑥) = cos 2𝑥. 
 
𝑓′(𝑥) = −2sen 2𝑥 
 
𝑓′′(𝑥) = −4cos 2𝑥 
 
𝒇′′′(𝒙) = 𝟖𝐬𝐞𝐧 𝟐𝒙 
 
4. Derive as funções a seguir, utilizando a regra da cadeia: 
a) 𝑦(𝑥) = 𝑡𝑔3𝑥 
u = tg x → u’ = 𝑠𝑒𝑐2𝑥 ; m = 3 
𝒚′(𝒙) = 𝟑𝒕𝒈𝟐𝒙. 𝒔𝒆𝒄𝟐𝒙 
 
b) 𝑦(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠(7𝑥2 + 3) 
𝑢 = 7𝑥2 + 3 → 𝑢′ = 14𝑥 
𝒚′(𝒙) = −𝟏𝟒𝒙𝒔𝒆𝒏(𝟕𝒙𝟐 + 𝟑)